Semelhança

Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf

Sumário Página

Figuras semelhantes ........................................................................................................ 1

Polígonos semelhantes .................................................................................................... 2

Propriedade dos perímetros em polígonos semelhantes........................................... 3

Triângulos semelhantes................................................................................................... 6

Propriedade dos triângulos semelhantes .................................................................. 7

Teorema fundamental da semelhança de triângulos .............................................. 11

Referências bibliográficas............................................................................................. 14

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SEMELHANÇA

Figuras semelhantes

Em Geometria, dizemos que duas figuras são semelhantes quando têm a mesma forma. Vejamos melhor o que significa ter a mesma forma ou ser semelhante em Geometria.

Os mapas abaixo são do estado do Paraná, mas estão em escalas diferentes. Neles destacamos algumas cidades.

Você pode notar que os dois mapas têm a mesma forma, embora tenham tamanhos diferentes, pois o mapa 2 é uma ampliação do mapa 1. Dizemos que esses mapas representam figuras semelhantes.

Em Geometria, duas figuras são semelhantes quando:

Todos os ângulos correspondentes têm medidas iguais; as distâncias correspondentes são proporcionais.

Observe nos mapas acima que:

• os ângulos correspondentes têm medidas iguais;

• a razão entre as distâncias correspondentes é sempre a mesma (1,6), então elas são proporcionais.

2

Polígonos semelhantes

Para que duas figuras sejam semelhantes, é necessário que tenham ângulos correspondentes de mesma medida e as medidas dos lados correspondentes proporcionais.

Dois polígonos com o mesmo número de lados são semelhantes quando possuem:

• os ângulos respectivamente congruentes;

• os lados correspondentes proporcionais.

Por exemplo, os quadriláteros ABCD e MNPQ abaixo, são semelhantes. Indicamos: quadrilátero ABCD ~ quadrilátero MNPQ.

~: símbolo de semelhança.

Observe que:

• os ângulos correspondentes possuem a mesma medida;

• a razão entre qualquer lado do quadrilátero ABCD e o lado correspondente no quadrilátero MNPQ é sempre a mesma (2,5).

Obs.: A definição de polígonos semelhantes só é válida quando ambas as condições são satisfeitas: Ângulos correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais. Apenas uma das condições não é suficiente para indicar a semelhança entre polígonos.

3

EXERCÍCIOS A

(1) Entre os polígonos abaixo há dois semelhantes. Quais são eles?

Propriedade dos perímetros em polígonos semelhantes

Observe os pentágonos ABCDE e E'D'C'B'A' abaixo:

Você pode notar que:

• os ângulos são respectivamente congruentes

• os lados correspondentes são proporcionais:

4

25,13

B'A'AB == 2

1,12,2

E'D'DE ==

23,16,2

C'B'BC == 2

4,18,2

A'E'EA ==

23,16,2

D'C'CD ==

Então, ABCDE ~ E'D'C'B'A' e a razão de semelhança é 2.

Vamos, agora, calcular os perímetros dos dois pentágonos.

• Perímetro de ABCDE (P):

P = 3 cm + 2,6 cm + 2,6 cm + 2,2 cm + 2,8 cm

P = 13,2 cm

• Perímetro de E'D'C'B'A' (P'):

P'= 1,5 cm + 1,3 cm + 1,3 cm + 1,1 cm + 1,4 cm

P'= 6,6 cm

Calculando a razão entre os perímetros:

26,62,13

P'P ==

Assim, podemos escrever:

Quando dois polígonos são semelhantes, os perímetros desses polígonos são proporcionais às medidas de dois lados correspondentes quaisquer.

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EXERCÍCIOS B

(1) Os hexágonos H1 e H2 abaixo são semelhantes.

Nessas condições:

a) Qual é a razão de semelhança entre H1 e H2?

b) Qual é a razão de semelhança entre os perímetros de H1 e H2?

c) O que podemos afirmar sobre os ângulos internos de H1 e H2?

(2) Os trapézios abaixo são semelhantes.

Nessas condições:

a) Qual é a razão de semelhança entre ABCD e MNPQ?

b) Calcule as medidas x, y e z indicadas.

c) Sem fazer cálculos, determine a razão entre os perímetros de ABCD e MNPQ.

(3) A planta de uma casa, que é uma redução da casa real, foi feita na escala

200

1 (razão de semelhança). Uma sala retangular dessa casa tem 5 cm e 6 cm de

dimensão nessa planta. Nessas condições:

a) Quais as dimensões reais dessa sala?

b) Qual a área da sala na planta?

c) Qual a área da sala real?

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Triângulos semelhantes

Diremos que dois triângulos são semelhantes se tiverem:

• os ângulos respectivamente congruentes

ou

• os lados correspondentes proporcionais

Então:

Se DEF~ABC FC e EB ,DA ∆∆→≅≅≅

ou

Se DEF~ABC FDCA

EFBC

DEAB ∆∆→==

Em dois triângulos semelhantes:

• Os ângulos congruentes são chamados ângulos correspondentes.

• Os lados opostos aos ângulos correspondentes são chamados lados homólogos.

OBS.: Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a 180º, podemos concluir que se dois ângulos de um triângulo forem respectivamente congruentes a dois ângulos de outro, os terceiros ângulos desses triângulos também serão congruentes.

Assim, para verificar se dois triângulos são semelhantes, basta verificar se eles possuem dois ângulos respectivamente congruentes.

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Propriedade dos triângulos semelhantes

Consideremos os triângulos ABC e MNP:

Observamos que: PC e NB ,MA ≅≅≅ .

Nessas condições, temos que ∆ABC ~ ∆MNP.

Vejamos o que ocorre com os lados homólogos:

54

2520

NPBC

54

6048

MPAC

54

4536

MNAB

==

==

==

⇒⇒⇒⇒ NPBC

MPAC

MNAB ==

Isso mostra que:

Se dois triângulos são semelhantes, então os lados de um são proporcionais aos lados homólogos do outro.

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Exemplo:

► Na figura abaixo, vamos determinar as medidas x e y indicadas.

Considerando os triângulos ABC e CDE, temos:

DA ≅ (retos)

ECDACB ≅ (ângulos opostos pelos vértices)

Como os dois triângulos têm, respectivamente, dois ângulos congruentes, podemos dizer que ∆ABC ~ ∆CDE. Os lados homólogos são DE e AB ,

CD e AC , CE e BC . Pela propriedade podemos escrever:

{ y

x 1586

9

CEBC

CDAC

DEAB

semelhança de razão

==→==

Então:

12672

72686

9

=

=

=

=

x

x

x

x

10990

909

1569

=

=

=

=

y

y

y

y

Logo, temos x = 12 e y = 10.

9

EXERCÍCIOS C

(1) Diga se os pares de triângulos abaixo são ou não semelhantes.

(2) Na figura a seguir, temos BC//PQ . Nessas condições, responda:

a) Quais as medidas a, b e c indicadas?

b) Quais os triângulos que são semelhantes nessa figura?

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(3) As figuras abaixo nos mostram pares de triângulos semelhantes. Calcule x e y em cada uma delas.

(4) Nas figuras abaixo, determine os valores de x e y.

11

Teorema fundamental da semelhança de triângulos

Consideremos o triângulo ABC da figura abaixo. Vamos traçar uma reta r, paralela ao lado AB do triângulo; essa reta r encontra o lado AC no ponto D e o lado BC no ponto E.

Como r // AB , temos que: DA ≅ (ângulos correspondentes)

EB ≅ (ângulos correspondentes)

CC ≅

Então, pode-se concluir que ∆CDE ~ ∆ABC. Assim temos a propriedade:

Toda reta paralela a um lado de um triângulo e que encontra os outros dois lados em pontos distintos determina com esse lados um triângulo semelhante ao

primeiro.

Separando os triângulos ABC e CDE, temos:

Sendo ∆ABC ~ ∆CDE, podemos escrever: CEBC

CDAC

DEAB ==

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Exemplo:

► Na figura abaixo, temos que AB//DE . Nessas condições, determine as medidas x e y indicadas.

Como AB//DE , temos que ∆ABC ~ ∆CDE (teorema fundamental).

Para escrever as proporções entre os lados homólogos, é conveniente separar os triângulos da figura dada:

Escrevendo a proporção entre os lados homólogos, temos: 694

88 =+=+

x

xy

Então:

43

12

123

24363

363242436

24)8(369

88

=

=

=−==+

=+⋅

=+

y

y

y

y

y

y

y

8324

243

)1(243

2496

924669

6)4(6694

=

=

=−−=−

−=−=+

=+⋅

=+

x

x

x

x

xx

xxx

x

x

xx

x

Logo, temos x = 8 e y = 4.

13

EXERCÍCIOS D

(1) Nas figuras abaixo, determine as medidas x e y.

a) DE//AC

b) BC//MN

(2) Na figura abaixo, BC//MN . Nessas condições, determine:

a) As medidas x e y indicadas.

b) As medidas dos lados AB e AC .

c) Os perímetros dos triângulos ABC e AMN.

d) A razão de semelhança entre os triângulos ABC e AMN.

(3) Para determinar a largura de um lago, foi utilizado o esquema representado pela figura abaixo. Qual é a largura do lago?

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Referências bibliográficas

ANDRINI, Álvaro; VASCONCELLOS, Maria José. Novo praticando

matemática. São Paulo: Brasil, 2002.

BIGODE, Antonio José Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo:

FTD, 2006.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. São Paulo: Ática, 2005.

EDIÇÕES EDUCATIVAS DA EDITORA MODERNA. Projeto Araribá:

Matemática. São Paulo: Moderna, 2007.

GIOVANNI, José Ruy; GIOVANNI JUNIOR, José Ruy. Matemática: pensar e

descobrir. São Paulo: FTD, 2005.

GIOVANNI, José Ruy; CASTRUCCI; Benedito; GIOVANNI JUNIOR, José

Ruy. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 1998.

GUELLI, Oscar. Matemática em construção. São Paulo: Ática, 2004.

IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo Cestari. Matemática paratodos. São

Paulo: Scipione, 2006.

KLICK EDUCAÇÃO: O PORTAL DA EDUCAÇÃO. Disponível em:

<http://www.klickeducacao.com.br>. Acesso em: 28 de setembro de 2008.

MIANI, Marcos. Matemática no plural. São Paulo: IBEP, 2006.