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Matemática Financeira - Unidades 1 & 2 Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano Silva [email protected]

http://diegofernandes.weebly.com 1

Matemática financeira

Prof. Me. Diego Fernandes Emiliano [email protected]://diegofernandes.weebly.com

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Referências

HAZZAN, Samuel; POMPEO, José Nicolau. Matemática financeira. 5. ed.. São Paulo: Saraiva, 2005.

SANTOS, João Carlos dos. Matemática financeira. Londrina: Editora e Distribuidora S.A., 2016. (livro institucional)

VIEIRA SOBRINHO, José Dutra. Matemática financeira. 7. ed.. São Paulo: Atlas, 2000.

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Dica 1

• Quem quiser e puder, recomenda-se a compra de uma boa calculadora. Duas boas sugestões para alunos de Administração, Contábeis e afins: – Calculadora financeira HP-17BII+

– Calculadora cientifica Casio FX-991ex Classwiz

• Observação: O curso é de Matemática Financeira e não de como aprender a mexer na calculadora A, B ou C. Para isso, cada aluno deverá verificar o manual da calculado que possui, procurar vídeos tutoriais no Youtube, ou cursos específicos.

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Dica 2A chave do sucesso é dada pela equação:

+ + × =

Onde– Querer: Vontade, persistência– Saber: Adquirir conhecimento– Acreditar: Confiar que com trabalho duro resultados irão aparecer– Praticar: Treinar e exercitar tudo o que aprendeu– Realizar: Colocar em prática o resultado adquirido

Obs.: A disciplina / professor irão apresentar uma série de conteúdos, teorias, explicações básicas, além de compartilhar seus conhecimentos... O resultado de cada aluno e como ele irá aproveitar e aplicar o conteúdo depende inteiramente dele.

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Unidade 1

Juros e parcelamentos:

Conceitos básicos

5

Seção 1.1

Juros simples e taxa equivalente

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Matemática financeira

• Ramo da matemática que busca entender e analisar– Evolução e variação do dinheiro ao longo do tempo

– Alternativas de investimentos

– De financiamentos

– Aplicações

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Capital

• Valor aplicado em alguma operação financeira

• Conhecido também como– Principal

– Valor atual

– Valor presente

– Valor aplicado

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Juros

• Remuneração do capital

• Pode se dar segundo dois regimes– Juros simples

– Juros compostos

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Taxa de juros

• Taxa que indica a remuneração pelo o qual o capital foi aplicado

• A taxa é expressa em períodos– 50% a.a. (ao ano)– 30% a.s. (ao semestre)– 20% a.q. (ao quadrimestre)– 15% a.t. (ao trimestre)– 5% a.m. (ao mês)– 0,05% a.d. (ao dia)– Etc.

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Montante

• Resultado futuro de uma operação financeira

• Também conhecido como valor futuro

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Fatores

• Toda operação financeira depende de uma série de aspetos. Os principais são:– Riscos: Probabilidade de operação não se concretizar

– Despesas operacionais: Custos contratuais e tributários para formalizar operação

– Inflação: perda do poder aquisitivo da moeda

– Ganho: Lucro que pessoa deseja auferir

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Capitalização simples

Fórmulas:

= ∗ ∗

= += + ∗ ∗= ∗ 1 + ∗

Legendas

= valor do juros

= valor do capital ou principal

= taxa de juros

= prazo da operação

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Revisão básica

• Perceba através do exemplo que:

14



Exemplo 1

Qual o valor do juros correspondentes a um empréstimo de R$ 10.000,00 pelo prazo de 5 meses, sabendo-se que a taxa cobrada é de 3% ao mês? (VIEIRA SOBRINHO, p. 22, 2000).

Dados

= 10.000= 5 meses

= 3% a.m. ou 0,03= ?

Resolução

= ∗ ∗= 10.000 ∗ 0,03 ∗ 5

= $ . ,

15

Exemplo 2

Um capital de R$ 25.000,00, aplicado durante 7 meses, rende juros de R$ 7.875,00. Determinar a taxa correspondente. (VIEIRA SOBRINHO, p. 22, 2000).

Dados

= 25.000= 7 meses= 7.875= ?

Resolução

= ∗ ∗

7.875 = 25.000 ∗ ∗ 7

=7.875

25.000 ∗ 7= 0,045 ou 4,5% a. m.

16



Exemplo 3

Sabendo-se que os juros de R$ 6.000,00 foram obtidos com a aplicação de R$ 7.500,00, à taxa de 8% ao trimestre, pede-se que se calcule o prazo. (VIEIRA SOBRINHO, p. 23, 2000).

Dados

= 7.500= 6.000= 8% a.t. ou 0,08= ?

Resolução

= ∗ ∗

6.000 = 7.500 ∗ 0,08 ∗

=6.000

7.500 ∗ 0,08= 10

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Exemplo 4

Um empréstimo de R$ 23.000,00 é liquidado por R$ 29.200,00 no final de 152 dias. Calcular a taxa mensal de juros. (VIEIRA SOBRINHO, p. 23, 2000).

Dados

= 23.000= 29.200

= 152 dias% a.m. = ?

Resolução

M= +29.200 = 23.000 +

= 6.200

= ∗ ∗6.200 = 23.000 ∗ ∗ 152

= 0,001773 . .

Para taxa mensal, multiplicar por 30...

= , ∗= , % . . 18



Taxa equivalente em juros simples

• Dado períodos em unidades distintas (mensal e anual por exemplo), duas taxas e são ditas equivalentes quando aplicadas ao mesmo capital produzem exatamente o mesmo montante...

• Observação: Juros Comercial ... (Juros Exato)Ano = 360 dias ... (365 dias e 366 em anos bissextos)

Mês = 30 dias ... (número exato de dias do mês em questão)

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Taxa equivalente em juros simples

,

... ......

0 1 período1 1 ... ...... 1

Taxa e taxa são equivalentes, dessa forma temos:

= ∗

∗ = ∗ ∗

= ∗

Legendas: taxa de juros (período maior)

: taxa de juros (período menor): período de

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Tabela para conversão de tempo(juros comercial – ano com 360 dias)

Dia Mês BimestreTri

mestreQuadrimestre

Semestre Ano

1 1/30 1/60 1/90 1/120 1/180 1/360

30 1 30/60 30/90 30/120 30/180 30/360

60 2 1 60/90 60/120 60/180 60/360

90 3 90/60 1 90/120 90/180 90/360

120 4 2 120/90 1 120/180 120/360

180 6 3 2 180/120 1 180/360

360 12 6 4 3 2 1

21

Exemplo 5

• Em juros simples, qual a taxa trimestral equivalente a 15% a.a.?

Dados

= 15% a.a.= ? % a.t.

1 ano = 4 trimestres

Resolução

= ∗

15 = ∗ 4

=154

= 3,75% . .

22



Exemplo 6

• Em juros simples, qual a taxa anual equivalente a 2% a.t.?

Dados

= ?% a.a.= 2% a.t.

1 ano = 4 trimestres

Resolução

= ∗

= 2 ∗ 4 = 8% . .

23

Exemplo 7

Uma pessoa realiza uma compra de um bem, cujo valor à vista é de R$ 1.500,00. Ela dá uma entrada de R$ 400,00 e financia o restante em 2 meses. Sob uma taxa de juros simples de 24% a.a., pede-se para determinar o montante de juros pago na operação.

Dados

= − = 1.100,00= 2

= 24% . .1 ano = 12 meses

=?

Resolução

= ∗ ∗

= 1100 ∗24%

12∗ 2 = $ 44,00

24



Fórmulas de juros simples

Juros = Período =− 1

Montante= +

= 1 +Taxa =

− 1

Capital =1 +

Taxa equivalente = ∗

25

Exercícios (Vieira Sobrinho, 2000, p. 30-31)

1. Determinar quanto renderá um capital de $ 60.000,00 aplicado à taxa de 24% ao ano, durante sete meses. (R: $ 8.400,00).

2. Um capital de $ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de $ 11.200,00. Determinar a taxa anual. (R: 60% a.a.).

3. Qual o valor dos juros contidos no montante de $ 100.000,00, resultante da aplicação de certo capital à taxa de 42% a.a., durante 13 meses? (R: $ 31.271,48).

4. Em quanto tempo um capital de $ 800,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera um montante de $ 1.000,00? (R: 250 dias ou 8,333 meses.).

5. Em quantos dias um capital de $ 270.420,00 produzirá juros de $ 62.304,77 a uma taxa de 5,4% ao mês? (R: 128 dias.).

6. Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 6,2% ao mês, por 174 dias, produziu um montante de $ 543.840,00. (R: $ 400.00,00) 26



Resolução exercício 1

Determinar quanto renderá um capital de $ 60.000,00 aplicado à taxa de 24% ao ano, durante sete meses. (R: $ 8.400,00).

= ∗ ∗

= 60.000 ∗0,2412

∗ 7

J = R$ 8.400,00

27


Um capital de $ 28.000,00, aplicado durante 8 meses, rendeu juros de $ 11.200,00. Determinar a taxa anual. (R: 60% a.a.).

= ∗ ∗

11.200 = 28.000 ∗12

∗ 8

= 0,6 ou 60% a. a.

28



Resolução do exercício 3

Qual o valor dos juros contidos no montante de $ 100.000,00, resultante da aplicação de certo capital à taxa de 42% a.a., durante 13 meses? (R: $ 31.271,48).

= −

=1 +

= 100.000 −100.000

1 +0,4212 ∗ 13

≅ $ 31.271,4829


Em quanto tempo um capital de $ 800,00, aplicado à taxa de 0,1% ao dia, gera um montante de $ 1.000,00? (R: 250 dias ou 8,333 meses.).

= (1 + ∗ )

=

1.000800 − 1

0,001

= 250

30




Em quantos dias um capital de $ 270.420,00 produzirá juros de $ 62.304,77 a uma taxa de 5,4% ao mês? (R: 128 dias.).

= ∗ ∗

=62.304,77

270.420 ∗0,054

30

= 128

31


Calcular o valor do capital, que aplicado a uma taxa de 6,2% ao mês, por 174 dias, produziu um montante de $ 543.840,00. (R: $ 400.00,00)

= (1 + )

=543.840

1 +0,062

30 ∗ 174

= $ 400.000,00

32



Seção 1.2

Séries de juros simples

33

Por que é importante...

• Compras com ou sem entrada

• Saldo restante liquidado em uma série de parcelas periódicas iguais

• Quanto será que pagaríamos em cada parcela?

• Esse questionamento será respondido na aula de hoje.

34



Fórmula básica

=1 +

= −

35

Exemplo 1Um aluno deseja comprar uma calculadora para as aulas de matemática financeira, cujo preço à vista é R$ 360,00. O parcelamento será realizado sob uma taxa de juros simples de 2,5% a.m., durante 3 meses. Determine o valor das parcelas.

Resolução

− =1 +

360 =1 + 0,025 ∗ 1

+1 + 0,025 ∗ 2

+1 + 0,025 ∗ 3

360 =1

1,025+

11,05

+1

1,075

≅ 125,95, , 3 $ 125,95.

Dados= 360

= 0,025 . .= 3=?

36



Exemplo 2

Um produto foi adquirido com entrada de R$ 100,00 e o restante foi quitado em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na transação foi praticada taxa de juros simples de 60% a.a., qual o valor do produto à vista? Resolução

− =1 +

− 100 =250

1 + 0,05 ∗ 1+

2501 + 0,05 ∗ 2

A =2501,05

+2501,1

+ 100

≅ $ 565,37.

Dados= +

=0,6 . .

12= 0,05 . .

= 2= 250,00= 100,00

=?

37

Exercícios

1. Um produto foi adquirido com entrada de R$ 150,00 e o restante foi quitado em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na transação foi praticada taxa de juros simples de 2% a.m., qual o valor do produto à vista? (R: R$ 635,48).

2. Um aluno deseja comprar um PC, cujo preço à vista é R$ 1.500,00. O parcelamento será realizado sob uma taxa de juros simples de 3% a.m., durante 3 meses. Determinar o valor das parcelas. (R: R$ 529,72).

38



Exercício 1 - Resolução

Um produto foi adquirido com entrada de R$ 150,00 e o restante foi quitado em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na transação foi praticada taxa de juros simples de 2% a.m., qual o valor do produto à vista? (R: R$ 635,48) Resolução

− =1 +

− 150 =250

1 + 0,02 ∗ 1+

2501 + 0,02 ∗ 2

A =2501,02

+2501,04

+ 150

≅ $ 635,48.

Dados= +

= 0,02 . .= 2 = 250,00= 150,00

=?

39

Exercício 2 - Resolução

Um aluno deseja comprar um PC, cujo preço à vista é R$ 1.500,00. O parcelamento será realizado sob uma taxa de juros simples de 3% a.m., durante 3 meses. Determinar o valor das parcelas. (R: R$ 529,72).

Resolução

− =1 +

1500 =1 + 0,03 ∗ 1

+1 + 0,03 ∗ 2

+1 + 0,03 ∗ 3

1500 =1

1,03+

11,06

+1

1,09

≅ 529,72, , 3 $ 529,72.

Dados= 1.500,00

= 0,03 . .= 3=?

40



Seção 1.3

Juros compostos e taxa equivalente

41

Por que é importante

• Regime de capitalização composta ou exponencial é o mais usado nas operações financeiras...

• Neste regime os juros são incorporados ao principal em cada período considerado...

• Conhecido como juros sobre juros

42



Fórmulas básicas

Fórmulas

= −

= 1 +

= 1 + ⁄ − 1

Legendas= Capital= Valor à vista= Entrada= Montante= Taxa de juros= Período= Taxa que eu quero= Taxa que eu tenho= Período que eu quero= Período que eu tenho

43

Exemplo 1

Calcular o montante de uma aplicação financeira de R$ 30.000,00, pelo prazo de 5 meses, à uma taxa de juros de 5% a.m..

44

Resolução

= 1 +

= 30000 1 + 0,05

= $ 38.288,45

Dados= 30.000,00

= 0,05 . .= 5=?



Exemplo 2

No final de 3 anos, um empréstimo gera um pagamento de R$ 150.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros contratada foi 2,5% a.m., pergunta-se: Qual foi o valor emprestado?

Resolução

= 1 +

150000 = 1 + 0,025

=1500001,025

= $ 61.664,06

Dados=?

= 0,025 . .= 3 = 36 = 150.000,00

45

Exemplo 3

Uma calculadora, cujo preço à vista é R$ 750,00, foi financiada sem entrada e seu pagamento foi realizado no final do 6 mês em uma única prestação de R$ 875,36. Qual foi a taxa cobrada pela loja?

Resolução= 1 +

875,36 = 750,00 1 +

875,36750,00

= 1 +

Dados= 750,00

=? % . .= 6 = 875,36

875,36750,00

= 1 +

875,36750,00

= 1 +

=875,36750,00

− 1

= 0,0261 2,61% . . 46



Exemplo 4

Um capital C é aplicado a uma taxa de juros composto de 4% a.m.. Qual o prazo necessário para que o investidor dobre o seu capital?

Resolução= 1 +

2 = 1 + 0,04

Dados=

= 4% . .=?= 2

2= 1,04

2= 1,04

ln 2 = ln 1,04

=ln 2

ln 1,04

= 17,67

47

Quando não sabemos o valor do período, resolvemos por logaritmo

• Porque: = ⇔ log =

• E que mudança de base é dado por (maioria das calculadoras fazem logaritmo neperiano e/ou logaritmo de base 10)...

• Independente de qual base usar, desde que seja a mesma para os dois valores, o resultado é o mesmo...

=lnln

48



Exemplo 5

Determinar:

a. Taxa anual equivalente a 3% a.m.. (3% a.m. = 0,03 a.m., a.a. = ?)

b. Taxa diária equivalente a 60% a.a.. (60% a.a. = 0,6 a.a., a.d. = ?)

Resolução (a)

= 1 + − 1

= 1 + 0,03 − 1

= 0,4258 42,58% . .

Resolução (b)

= 1 + − 1

= 1 + 0,6 − 1

= 0,001306 0,1306% . .49

Exemplo 6

Qual a taxa mensal de juros cobrada num empréstimo de R$ 52.000,00 para ser quitada por R$ 82.000,00 no prazo de 252 dias?

Resolução

Primeira, precisamos descobrir a taxa do período...

=8200052000

− 1

Observação no slide seguinte...

Depois, achar a taxa equivalente

= 1 + − 1

= 1 +8200052000

− 1 − 1

= 0,05572 5,572% . .

50



Observação

• A taxa de juros é a razão entre os juros recebidos e o capital inicialmente aplicado. Matematicamente:

=

• Como o = − , também podemos achar a taxa como segue:

=−

= − = − 1

51

Exemplo 7

Foi feita uma aplicação de R$ 18.000,00 num título de renda fixa com vencimento em 82 dias, a uma taxa de juros de 68% a.a.. Qual o valor a ser resgatado?

Dados

= 68% . . = 0,68 . .= 18.000,00= 82 =?

Resolução

= 1 +

= 18000 1 + 0,68

= $ 20.257,83

52



Exercícios

1. Determinar o montante no final de 13 meses, resultante da aplicação de um capital de R$ 100.000,00 à taxa de 3,82% a.m.. (R: R$ 162.799,60).

2. Uma aplicação de R$ 20.000,00 aplicada a uma taxa de juros de 2,36% a.m. pode ser resgatada por R$ 34.455,00 depois de quanto tempo? (R: 23,32 meses).

3. Qual o valor, que aplicado a uma taxa de 14% a.t. durante 186 dias produz um montante de R$ 5.400,00? (R: R$ 4.118,99).

4. Uma aplicação rende 0,125% a.d.. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro do que aplicou? (R: 554,86 dias).

53

Exercício 1 - resolução

Determinar o montante no final de 13 meses, resultante da aplicação de um capital de R$ 100.000,00 à taxa de 3,82% a.m.. (R: R$ 162.799,60).

= 1 +

= 100000 1 + 0,0382

= $ 162.799,60

54



Exercício 2 - resoluçãoUma aplicação de 0R$ 20.000,00 aplicada a uma taxa de juros de 2,36% a.m. pode ser resgatada por R$ 34.455,00 depois de quanto tempo? (R: 23,32 meses).

= 1 +

34455 = 20000 1 + 0,0236

3445520000

= 1,0236

=ln

3445520000

ln 1,0236= 23,32

55


Qual o valor, que aplicado a uma taxa de 14% a.t. durante 186 dias produz um montante de R$ 5.400,00? (R: R$ 4.118,99).

= 1 +

5400 = 1 + 0,14

5400

1,14=

= $ 4.118,99

56




Uma aplicação rende 0,125% a.d.. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro do que aplicou? (R: 554,86 dias).

57

= 1 +

2 = 1 + 0,00125

2= 1,00125

ln 2 = ln 1,00125

=ln 2

ln 1,00125= 554,86

Seção 1.4

Séries de juros compostos

58



Por que é importante...

• Compras com ou sem entrada

• Saldo restante liquidado em uma série de parcelas periódicas iguais

• Quanto será que pagaríamos em cada parcela?

• Esse questionamento será respondido na aula de hoje.

59

Fórmula básica

=1 +

= −

60



Exemplo 1Um aluno deseja comprar uma calculadora para as aulas de matemática financeira, cujo preço à vista é R$ 360,00. O parcelamento será realizado sob uma taxa de juros compostos de 2,5% a.m., durante 3 meses. Determine o valor das parcelas.

Resolução

− =1 +

360 =1 + 0,025

+1 + 0,025

+1 + 0,025

360 =1

1,025+

11,050625

+1

1,076890625

≅ 126,05, , 3 $ 126,05.

Dados= 360

= 0,025 . .= 3=?

61

Exemplo 2

Um produto foi adquirido com entrada de R$ 100,00 e o restante foi quitado em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na transação foi praticada taxa de juros compostos de 60% a.a., qual o valor do produto à vista?

Dados= +

= 1 + 0,6 − 1= 0,0399 3,99% . .

= 2= 250,00= 100,00

=? 62

Resolução

− =1 +

− 100 =250

1 + 0,0399+

2501 + 0,0399

=250

1,0399+

2501,0814

+ 100

≅ $ 571,59.



Exemplo 3Pedro comprou uma impressora de R$ 1.300,00, pagou uma entrada de R$ 300,00 e financiou o restante em duas parcelas mensais nos valores de R$ 650,00 e R$ 450,00, respectivamente. O contrato foi celebrado sob regime de juros compostos. Determinar a taxa de juros.

63

Resolução

− =1 +

1.300 − 300 =650

1 ++

4501 +

1.000 =650 1 + + 450

1 +

1.000 1 + = 650 + 650i + 450

1.000 1 + 2 + = 1.100 + 650

1.000 + 2.000 + 1.000 − 1.100 − 650 = 0

−100 + 1.350 + 1.000 = 0

Δ = 1.350 − 4 1.000 −100 = 2.222.500

=−1.350 + 2.222.500

2 ∗ 1.000

= 0,0704 7,04% . .

Exercícios

1. Um produto foi adquirido com entrada de R$ 150,00 e o restante foi quitado em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na transação foi praticada taxa de juros composta de 2% a.m., qual o valor do produto à vista? (R: R$ 635,39).

2. Um aluno deseja comprar um PC, cujo preço à vista é R$ 1.500,00. O parcelamento será realizado sob uma taxa de juros compostos de 3% a.m., durante 3 meses. Determinar o valor das parcelas. (R: R$ 530,30).

3. Pedro comprou um PC de R$ 1.500,00, pagou uma entrada de R$ 500,00 e financiou o restante em duas parcelas mensais e iguais no valor de R$ 650,00. O contrato foi celebrado sob regime de juros compostos. Determinar a taxa de juros. (R: 19,43% a.m.)

64



Exercício 1 - resoluçãoUm produto foi adquirido com entrada de R$ 150,00 e o restante foi quitado em duas parcelas mensais e iguais de R$ 250,00. Sabendo que na transação foi praticada taxa de juros composta de 2% a.m., qual o valor do produto à vista? (R: R$ 635,39).

Resolução

− =1 +

− 150 =250

1 + 0,02+

2501 + 0,02

=250

1 + 0,02+

2501 + 0,02

+ 150 = R$ 635,3965

Exercício 2 - resoluçãoUm aluno deseja comprar um PC, cujo preço à vista é R$ 1.500,00. O parcelamento será realizado sob uma taxa de juros compostos de 3% a.m., durante 3 meses. Determinar o valor das parcelas. (R: R$ 530,30).

66

Resolução

− =1 +

1500 =1 + 0,03

+1 + 0,03

+1 + 0,03

1500 =1

1,03+

11,0609

+1

1,092727

=1500

11,03 +

11,0609 +

11,092727

= $ 530,30



Exercício 3 - resoluçãoPedro comprou um PC de R$ 1.500,00, pagou uma entrada de R$ 500,00 e financiou o restante em duas parcelas mensais e iguais no valor de R$ 650,00. O contrato foi celebrado sob regime de juros compostos. Determinar a taxa de juros. (R: 19,43% a.m.)

67

Resolução

− =1 +

1.500 − 500 =650

1 ++

6501 +

1.000 =650 1 + + 650

1 +

1.000 1 + = 650 + 650i + 650

1.000 1 + 2 + = 1.300 + 650

1.000 + 2.000 + 1.000 − 1.300 − 650 = 0

−300 + 1.350 + 1.000 = 0

Δ = 1.350 − 4 1.000 −300 = 3.022.500

=−1.350 + 3.022.500

2 ∗ 1.000

= 0,1943 19,43% . .

Unidade 2

Aplicações dos conceitos básicos

68



Seção 2.1

Capital de giro – desconto bancário

69

Contexto

• Em muitas situações, para conseguirem liquidez, pessoas e empresas podem antecipar recebimento de ativos financeiros.

• Capital de giro: recurso que garante condições para uma empresa dar continuidade às suas ações

• Desconto bancário: antecipação de recebimento de um título

70



São considerados títulos

• No caso de empresas (pessoas jurídicas)– Promissórias– Duplicatas– Boletos– Cheques– Faturas de cartão de crédito

• No caso de pessoas físicas– 13º salário– Restituição do IR

71

Desconto simplesTambém conhecido como desconto bancário ou comercial

Matematicamente== −= −= (1 − )

Pelo fato de ser taxa de juros simples, em caso de períodos diferentes usar a fórmula da taxa equivalente de juros simples:

= ∗

72

Legenda:= Desconto bancário ou comercial= Valor nominal do título a ser descontado= Taxa de desconto= Prazo= Valor descontado (valor recebido)



Taxa do período

73

N-D

N

0 n

C

M

0 n

= − 1

=−

− 1

Exemplo 11. Qual o valor do desconto simples de um título de

R$ 3.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de desconto comercial de 3% ao mês?

2. Qual o valor recebido na operação?

74

Resolução:

(1)== 3000 ∗ 0,03 ∗ 3 = $ 270,00

(2)= −= 3000 − 270 = $ 2.730,00

Dados:

=3000= 0,03 a.m.= 90 dias ou 3 meses= ?



Exemplo 2

Qual a taxa de desconto comercial utilizada numa operação de 120 dias, cujo o valor de resgate é de R$ 1.500,00 e o valor atual é de R$ 900,00?

75

Resolução:

= 1 −900 = 1500 1 − 4

9001500

= 1 − 4

0,6 − 1 = −4

Dados:

=1500= 900

= 120 dias ou 4 meses= ?

Resolução (continuação):

−0,4 = −4 ∗ −10,4 = 4

=0,44

= 0,1 10% . .

Exemplo 3Um título de R$ 10.000,00 foi descontado num banco 42 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2% a.m.. Pergunta-se: (a) Qual o valor do desconto? (b) Qual o valor líquido recebido, sabendo-se que o banco cobra uma taxa de serviço de 0,5% do valor do título, pago no dia que a empresa a descontou?

76

(b)

ç = 0,005 ∗ 10000 = 50

= 10000 − 280 − 50

= $ 9.670,00

(a)

=

= 10000 ∗0,0230

∗ 42

= $ 280



Exemplo 4Uma empresa descontou dois títulos, um com valor de R$ 1.500,00 vencendo em 85 dias e outro com valor de R$ 2.700,00 vencendo em 10 dias. A taxa de desconto comercial é de 13,2% a.m.. Qual o valor resgatado pela empresa?

77

Título vencendo em 85 dias

=

= 1500 ∗0,132

30∗ 85

= $ 561,00

= −= 1500 − 561 = $ 939,00

Título vencendo em 10 dias

=

= 2700 ∗0,132

30∗ 10

= $ 118,80

= −= 2700 − 118,80 = $ 2.581,20

Valor resgatado é 939 + 2581,20 = R$ 3.520,20.

Relação entre taxa de desconto e taxa de juros simples

78

=−

− 1

− −−

=−

=1 −

=1 −

=1 −

Exemplo: Se a taxa de desconto comercial for de 4% a.m., e o prazo de vencimento de uma duplicata for 3 meses, qual a taxa mensal de juros simples da operação? (HAZZAN; POMPEO, 2005, p.22).

Resolução: : = 4% e = 3.

=0,04

1 − 0,04 3

= 0,04545455 4,54545455 % . .

V P 1 0 0 , 0 0R $ d 4 , 0 0 % V F 1 1 3 , 6 4R $ n 3i 4 , 5 5 %

N 1 1 3 , 6 4R $ V d 1 0 0 , 0 0R $

V d = N ( 1 - d n )

i = d / ( 1 - d n )V F = V P ( 1 + i n )



Exemplo 5

• Uma duplicata com prazo de vencimento de 2 meses foi descontado num banco, proporcionando-lhe uma taxa de juros efetiva de juros igual a 3% a.m.. Qual a taxa de desconto utilizada? (HAZZAN; POMPEO, 2005, p.20).

79

=1 −

0,03 =1 − 2

0,03 1 − 2 =

0,03 − 0,06 =

− − 0,06 = −0,03

−1,06 = −0,03

=0,031,06

= 0,283 2,83% . .

Exercícios (HAZZAN; POMPEO, 2005, p.23)

1. Uma duplicata de valor nominal igual a $ 9.000,00 foi descontada num banco dois meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial igual a 2% a.m.. Obtenha:

a. O desconto comercial (R: $ 360,00)b. O valor descontado (ou valor atual comercial) do título (R: $ 8.640,00)c. A taxa de juros no período (R: 4,17%)d. A taxa efetiva mensal de juros simples da operação (R: 2,08% a.m.)

2. Um fundo de investimento adquiriu por $ 48.000,00 um título governamental com valor de face de $ 50.000,00. Sabendo-se que o prazo do vencimento do título era de 49 dias, calcule:

a. A taxa de juros efetiva no período (R: 2,46%)b. A taxa efetiva mensal de juros simples da operação (R: 1,51% a.m.)

80




Uma duplicata de valor nominal igual a $ 9.000,00 foi descontada num banco dois meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial igual a 2% a.m.. Obtenha:

a. O desconto comercial (R: $ 360,00)

b. O valor descontado (ou valor atual comercial) do título (R: $ 8.640,00)

c. A taxa efetiva de juros no período (R: 4,17%)

d. A taxa efetiva mensal de juros simples da operação (R: 2,08% a.m.)

81

(a)== 9000 ∗ 0,02 ∗ 2= $ 360,00

(b)= −= 9000 − 360= $ 8.640,00

(c)

= − 1

=90008460

− 1

= 0,0417 4,17%

(d)= ∗

4,17 = ∗ 2

=4,17

2

= 2,08% . .


Um fundo de investimento adquiriu por $ 48.800,00 um título governamental com valor de face de $ 50.000,00. Sabendo-se que o prazo do vencimento do título era de 49 dias, calcule:

a. A taxa de juros efetiva no período (R: 2,46%)

b. A taxa efetiva mensal de juros simples da operação (R: 1,51% a.m.)

82

Dados:= 50.000− = 48.800= 49

= ? % . .= ? % . .

Resolução (a):

=−

− 1 =5000048800

− 1 = 0,0246 2,46% . .

Resolução (b):

= ∗

2,46% = ∗4930

= 1,51% . .



Seção 2.2

Desconto bancário com IOF

83

Contexto

• Em muitas situações, para conseguirem liquidez, pessoas e empresas podem antecipar recebimento de ativos financeiros.

• Capital de giro: recurso que garante condições para uma empresa dar continuidade às suas ações

• Desconto bancário: antecipação de recebimento de um título

• Parecido com seção 2.1, porém agora com a inclusão do IOF

84



IOF

• Imposto sobre Operações Financeiras

• É usado pelas instituições financeiras em:– Operações de câmbio

– Crédito

– Seguros

– Títulos

– Valores imobiliários

85

Desconto simples com IOF

Matematicamente= +NIOFn= += −= − += 1 − +

Pelo fato de ser taxa de juros simples, em caso de períodos diferentes usar a fórmula da taxa equivalente de juros simples:

= ∗

86

Legenda:= Desconto bancário ou comercial= Valor nominal do título a ser descontado= Taxa de desconto= Prazo= Valor descontado (valor recebido)

IOF = Imposto sobre operações financeiras



Exemplo 1

• Qual o valor do desconto simples de um título de R$ 3.000,00, com vencimento para 90 dias, à taxa de desconto comercial de 3% ao mês e IOF de 0,017% a.d.?

87

Resolução:

= += 3000 0,03 + 0,0051 ∗ 3= $ 315,90

Dados:

=3000= 0,03 a.m.= 90 dias ou 3 meses= ?

= 0,017% . . ou0,017 ∗ 30 = 0,51% a. m.

Exemplo 2Qual a taxa de desconto comercial utilizada numa operação de 120 dias, cujo valor de resgate é de R$ 1.500,00, o IOF é 0,02% a.d. e cujo valor atual é de R$ 900,00?

88

Resolução:

= ∗ 1 − + ∗ 900 = 1500 ∗ 1 − + 0,006 ∗ 4900

1500= 1 − + 0,006 ∗ 4

0,6 − 1 = − + 0,006 ∗ 4−0,4

4= − − 0,006

−0,1 + 0,006 = − ∗ −1= 0,094 9,40% . .

Dados:

=1.500= 900

= 120 dias ou 4 meses= 0,02% . .

0,02 * 30 = 0,6% a.m.= ?



Exercícios

1. (SANTOS, 2016, p. 82) Uma loja de joias raras irá pagar um de seus fornecedores com o valor obtido da antecipação de duas duplicatas nos valores de R$ 23.460,00 e R$ 36.780,00, com vencimentos em 6 e 19 dias respectivamente. O banco que fará a transação de antecipação cobra uma taxa administrativa nominal de 22,32% a.a. e IOF de 7,2% a.a. Calcule o valor que o fornecedor receberá. (R: R$ 59.551,55)

2. (SANTOS, 2016, p. 87) A antecipação de uma duplicada de R$ 12.600,00 em 27 dias resultou num resgate de R$ 10.830,96, é sabido que o IOF cobrado foi de 0,08% a.d. Determine a taxa nominal cobrada nessa antecipação. (0,44% a.d.)

89

Exercício 1 - resolução(SANTOS, 2016, p. 82) Uma loja de joias raras irá pagar um de seus fornecedores com o valor obtido da antecipação de duas duplicatas nos valores de R$ 23.460,00 e R$ 36.780,00, com vencimentos em 6 e 19 dias respectivamente. O banco que fará a transação de antecipação cobra uma taxa administrativa nominal de 22,32% a.a. e IOF de 7,2% a.a. Calcule o valor que o fornecedor receberá. (R: R$ 59.551,55)

90

Resolução: = ∗ 1 − + ∗

í 1: = 23460 ∗ 1 − 0,2232 + 0,072 ∗6

360= $ 23.344,58

í 2: = 36780 ∗ 1 − 0,2232 + 0,072 ∗19

360= $ 36.206,97

23.344,58 + 36.206,97 = $ 59.551,55

OBS: Dia dividido por 360 pelo fato da taxa ser em ano...




(SANTOS, 2016, p. 87) A antecipação de uma duplicada de R$ 12.600,00 em 27 dias resultou num resgate de R$ 10.830,96, é sabido que o IOF cobrado foi de 0,08% a.d.Determine a taxa nominal cobrada nessa antecipação. (0,44% a.d.)

91

Resolução: = ∗ 1 − + ∗

10.830,96 = 12.600,00 ∗ 1 − + 0,0008 ∗ 27 = 0,0044 . . 0,44% . .

Seção 2.3

Taxa efetiva e nominal

92



Observação

• Ao fazer leitura da seção 1.3, perceber que a mesma se encontra com erro...

• Para referência correta, sugere-se:– HAZZAN; POMPEO (2005) – p. 51-54

– VIERA SOBRINHO (2000) – p. 184-185

– MOTTA; CALÔBA ( 2002) – p. 45-46

93

Taxa nominal versus efetiva

• Taxa nominal e taxa efetiva costumam confundir muitas pessoas.

• Imagine que você emprestou ou aplicou determinado capital. Essa contrato, no final de um período, irá render uma quantia de juros a ser paga ou recebida.

• Agora imagine a seguinte situação. Você vai ao banco pegar um empréstimo, e taxa informada pelo banco é de 12% ao ano com capitalização mensal (12% a.a. / mês). O que será isso? Como entender essa situação?

94



TAXANOMINAL

Taxa nominal versus efetiva - exemplo

95

100

0 1n 2n 3n

10% a.m./m 10% a.m./m 10% a.m./m

110 121 133,10

30% a.t. / mês

33,1% a.t./t

TAXAEFETIVA

Taxa nominal versus efetiva - exemploTemos que a taxa nominal é30% a.t. / m

Achando a taxa equivalente ( = ∗ ) achamos

=%

= 10% a.m./mês, o que corresponde a nossa taxa efetiva

Agora, e a taxa efetiva trimestral? Por taxa equivalente em juros compostos

( = 1 + − 1) achamos

= 1 + 0,1 ⁄ − 1 = 0,331 ou 33,10% a.t./t

Sendo assim, você descobre que na realidade você esta pagando 33,10% a.t., o que é maior do que 30% a.t.



Aplicação

• Um capital de R$ 1.000,00 é aplicado à taxa de 12% a.a., durante 1 ano, com capitalização mensal. Determinar o valor do montante.

=

=12%12

= 0,01

= 1.000 1 + 0,01 = $ 1.126,83

97

Perceba: Capital de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de 12% a.a., durante 1 ano:

Com Capitalização

Taxa efetiva Montante

Anual 12% . . = 1000 1,12 = 1.120

Semestral 12%2

. = 1000 1 +0,12

2= 1.123,60

Trimestral 12%4

. . = 1000 1 +0,12

4= 1.125,51

Bimestral 12%6

. . = 1000 1 +0,12

6= 1.126,16

Mensal 12%12

. . = 1000 1 +0,1212

= 1.127,47

Diária 12%360

. . = 1000 1 +0,12360

= 1.127,47



Exercício 1

• Um capital de R$ 2.000,00 é aplicado à uma taxa de 24% a.a., durante 2 anos, com capitalização trimestral. Determinar o montante da operação.

=24%

4= 6% . .

= 1.000 1 + 0,06 = $ 3.187,70

99

Exercício 2

• Um capital de R$ 2.500,00 é aplicado à uma taxa de 24% a.a., com capitalização trimestral. Determinar o tempo necessário para triplicar o capital investido.

=24%

4= 6% . .

7.500 = 2.500 1 + 0,06 = 18,85

100



Seção 2.4

NEGOCIAÇÃO COM JUROS SIMPLES E COMPOSTOS

101

Para simplificar

• Vamos supor duas situações e comparar os:– capitais da situação A com a situação B, e o

– valor a vista da situação A com a situação B

102



Supondo

• Capital de R$ 1.000,00 foi emprestado a uma taxa de juros de 4% a.m., a ser devolvido (supor)

103

n Juros simples Juros compostos

0 R$ 1.000,00 R$ 1.000,00

5 dias R$ 1.006,67 R$ 1.006,56

15 dias R$ 1.020,00 R$ 1.019,80

1 mês R$ 1.040,00 R$ 1.040,00

5 meses R$ 1.200,00 R$ 1.216,65

12 meses R$ 1.480,00 R$ 1.601,03

Perceba

• Curto prazo – período de até 30 dias– Valor do juros simples é maior

• Valor igual – 1 mês – cruzamento entre juros simples e juros compostos

• Longo prazo – período acima de 30 dias– Valor do juros compostos é maior

– Perceba que pagar em juros simples depois de 30 dias é sempre melhor...

104



Negociação – exemplo 1

• Produto tem sua venda anunciada em duas parcelas mensais e iguais a R$ 600,00, sob o regime de juros compostos de 1,8% a.m.. Um comprador interessado no produto propõe pagá-lo nas seguintes condições: 3 parcelas iguais vencendo em 2, 3 e 5 meses, sob taxa e regime compostos de 2% a.m.. Determinar o valor das parcelas propostas.

105

Resolução – exemplo 1

=

6001 + 0,018

+600

1 + 0,018=

1 + 0,02+

1 + 0,02+

1 + 0,02

6001,018

+600

1,018=

11,02

+1

1,02+

11,02

= $ 415,90

106



Negociação – exemplo 2

• Produto está com sua venda anunciada em uma parcela de R$ 540,00 com pagamento para 30 dias, sob regime de juros compostos, a uma taxa nominal de 18% a.a./m.. Um comprador propõe pagar em duas parcelas mensais e iguais, sob uma taxa de juros compostos de 2,2% a.m. e entrada de R$ 200,00. Determinar o valor da parcela.

107

Resolução – exemplo 2

=18%

12 . . = 1,5% . .

=

5401 + 0,015

= 200 +1 + 0,022

+1 + 0,022

5401,015

− 200 =1

1,022+

11,022

= 171,81

108

mat fin unidades 1 e 2 - prof. diego...

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