MatemáticaFascículo 01

Álvaro Zimmermann Aranha

Índice

Função Exponencial e Logaritmos

Resumo Teórico..................................................................................................................................1

Exercícios............................................................................................................................................4

Dicas ..................................................................................................................................................5

Resoluções .........................................................................................................................................6

Função Exponencial e Logaritmos

Resumo Teórico

Potência

Sendo a � IR e n � IN , temos:

Def.:a 1

a a a

0

n 1 n�

� �

���

�

Consequência: a a a a an

n vezes

� � � K1 24 34

Propriedades das Potências

P1: a a am n m n� � �

P2:a

aa

m

nm n� �

P3: (a ) am n m n� �

P4: (a � b)m = am � bm

P5:ab

a

b

m m

m

�

�

� �

Obs. 1: a1

an

n� � (a � 0)

Obs. 2: a amn mn� (n � IN* e am � 0)

Função Exponencial

É toda função da forma y = ax com a � IR , a > 0 e a � 1.

1

Gráficos da Função Exponencial

0 < a < 1 (função decrescente) a > 1 (função crescente)

Equação Exponencial

Propriedade: Se af(x) = ag(x) � f(x) = g(x)

Inequação Exponencial

Se 0 < a < 1: af(x) < ag(x) � f(x) > g (x)

inverte o sentido (0 < base < 1)

Se a > 1: af(x) < ag(x) � f(x) < g(x)

mantém o sentido (base > 1)

Função Logarítmica

Sendo x � IR / x > 0 e a � IR e 1 � a > 0 então:

loga x = y � x = ay

Obs.: Condição de Existência

Se y = loga x � C. E.x 0

a 0 e a 1

�

� �

���

Gráficos da Função Logarítmica

0 < a < 1 (função decrescente) a > 1 (função crescente)

2

Propriedade dos logaritmos

P1: loga (b . c) = loga b + loga c

P2: logabc

�

�

� = loga b – loga c

P3: loga bn = n loga b

P4: log b1nan � loga b

Fórmula de mudança de base: logb a =log alog b

c

c

Equação Logarítmica

1.o Tipo: loga f(x) = loga g(x) � f(x) = g(x)

2.o Tipo: loga f(x) = � � f(x) = a� (� � IR)

Obs.: Ao resolver as equações logarítmicas, é necessário verificar as condições de existência daequação inicial.

Inequação Logarítmica

1.o Tipo: log < log

Se 0 < a < 1

loga f(x) < loga g(x) � f(x) > g(x)

inverte o sentido (0 < base < 1)

Se a > 1

loga f(x) < loga g(x) � f(x) < g(x)

mantém o sentido (base > 1)

2.o Tipo: log < � (� � IR)

Se 0 < a < 1

loga f(x) < � � f(x) > a�

inverte o sentido (0 < base < 1)

Se a > 1

loga f(x) < � � f(x) < a�

mantém o sentido (base > 1)

Obs.: Ao resolver as inequações logarítmicas, é necessário verificar as condições de existência dainequação inicial.

3

Exercícios

01. A figura ao lado mostra o gráfico da função logaritmo na base b.O valor de b é:

a.14

b. 2c. 3d. 4e. 10

02. O número x > 1 tal que logx2 = log4x é:

a.2

4b. 2 2 c. 2 d. 2 2 e. 4 2

03. O número real x que satisfaz a equação log2 (12 – 2x) = 2x é

a. log25 b. log2 3 c. 2 d. log2 5 e. log23

04. Em que base o logaritmo de um número natural n, n > 1, coincide com o próprio número n?

a. nn b.1n

c. n2 d. n e. n1n

05. Considere a função f, definida por f(x)= logax. Se f(a) = b e f(a+2) = b + 1, os valores respectivos dea e b são:

a. 2 e 1 b. 2 e 2 c. 3 e 1 d. 3 e 2 e. 4 e 1

06. O mais amplo domínio real da função dada por f(x) log (2x 1)3� � é

a. x IR x� ����

���

|12

b. x IR x� ����

���

|12

c. x IR < x 1� ����

���

|12

d. { |x IR x 1}� �e. { |x IR x 1}� �

07. Se o par ordenado (a; b) é a solução do sistema 2 2

log (3x 4) 1 log (y 1)

x y y

10 10

� �

� � � �

���

��, então a � b é igual a

a. 2 b. 4 c. 6 d. 8 e. 9

4

Dicas

01. Observando o gráfico, vemos que para x = 0,25 temos y = –1. Substituindo x e y em y = logbx,obtemos b.

02. Resolver a equação na base 2, utilizando a propriedade de mudança de base:

logab =log alog b

c

c

(b > 0, a > 0 e a � 1, c > 0 e c � 1)

03. Devemos ter 12 – 2x > 0 (condição de existência). Para resolver a equação, use a definição delogaritmo (logab = c � b = ac ) e substitua 2x por y.

04. É dado no enunciado que logxn = n (0 < x � 1 e n > 1). Para obter a base x, aplique a definição delogaritmo.

05. Como f(x) = loga(x), f(a) = b e f(a + 2) = b + 1, trocando-se x por a e por a + 2, obtemos os valoresde a e b.

06.1. Para determinar o domínio de f(x) log (2x 1)3� � ,devemos ter log3(2x – 1) � 0.

2. Para resolver a inequação logarítmica, basta notarmos que são equivalentes as inequações:logaf(x) � c � logaf(x) � c � logaa �� logaf(x) � logaa

c � f(x) � ac se a > 1 e c � IR

07.1. Obtenha uma relação entre x e y na 1.a equação do sistema, lembrando que

a am

n mn� (a � IR+* , m � Z e n � IN*) e ab = ac �

b = c (0 < a � 1).

2. Na 2.a equação do sistema, use a propriedade do logaritmo do produto:loga(b � c) = logab + logac e a consequência da definição:logab = logac � b = c (0 < a � 1, b > 0 e c > 0).

3. Resolva o sistema obtido, equivalente ao sistema dado.

5

Resoluções

01. Alternativa d.

Do gráfico, temos: x = 0,25 e y = – 1.

Sendo y = logbx, vem: – 1 = logb0,25 � – 1 = logb14

� b–1

=14

� b = 4

02. Alternativa b.

logx2 = log4x

Aplicando a propriedade de mudança de base:

logab =log blog a

c

c

(b > 0, a > 0 e a � 1, c > 0 e c � 1) temos:log 2log x

log xlog 4

2

2

2

2

�

Como log22 = 1 e log24 = 2 vem:1

log xlog x

22

2�

(log x)22 � 2

log x = 2

log x = 2

ou

log x = 2 não serve pois x >1)2

2

2

� �

�

�

��

�(�

De log2x = 2 obtemos, pela definição de logaritmo, que x = 2 2

03. Alternativa e.

Devemos ter 12 – > 0 (condição de existência)

log2

(12 – 2x) = 2x � 22x = 12 – 2x � 22x + 2x – 12 = 0 �

� (2x)2 + 2x – 12 = 0

Seja 2x = y

y2 + y – 12 = 0

y =� �1 7

2� y = – 4 ou y = 3

Se y = – 4 temos que 2x = – 4 (não convém, pois 2x > 0 para todo x real)

Se y = 3 temos que 2x = 3, que satisfaz a condição 12 – 2x > 0.

Sendo 2x = 3, conclui-se que x = log23

04. Alternativa e.

Seja x a base procurada. É dado no enunciado que:logxn = n para 0 < x � 1 e n > 1

Assim, logxn = n � � � � � �x n (x ) (n) x nn n 1n

1n

1n

6

05. Alternativa a.

f(x) = loga(x)

condições de existência

0 a 1

e

x 0

� �

�

�

��

��

Se f(a) = b, temos que loga(a) = b�b = 1

Se f(a + 2) = b + 1, temos que loga(a + 2) = 2�a2 = a + 2

a2 – a – 2 = 0 � a =1 3

2�

� a = 2, a = – 1 (não serve)

Resposta: a = 2 e b = 1

06. Alternativa d.

f(x) log (2x 1)3� �

Para que exista f(x) � IR, devemos ter:

log3(2x – 1) � 0

log3(2x – 1) � 0 � log33 � log3(2x – 1) � log33º

log3(2x – 1) � log31 � 2x – 1 � 1 � 2x � 2 � x � 1

Então: D(f) = { x � IR | x � 1}

07. Alternativa b.

2

log (3x 4) log 10+log (y – 1)

x+y y

10 10 10

�

� �

���

��

2

� 2 2x y

2y x y 2y x y

x y2 y�

� ��

� � � � � �

� log10(3x + 4) = log1010(y – 1) � 3x + 4 = 10(y – 1) �

� 3x + 4 = 10y – 10 � 3x = 10y – 14

condição de existência: 10(y – 1) > 0 � y > 1

Assim, o sistema dado é equivalente a:x y

3x 10y 14

�

� �

���

3x = 10x – 14 � – 7x = – 14 � x = 2

Como x = y temos que y = 2 (satisfaz a condição y > 1)

Logo, a solução do sistema (a; b) é (2; 2)

Então: a � b = 2 � 2 = 4

7

�

�