MAT 123 (IM-UFRJ/2019.1) Prova 3 Gabarito � Profa. Luciana Salgado 1

Nome: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Número Registro:

Q1 (2,5) O plano x + y + 2z = 2 intersecta o paraboloide z = x2 + y2 em uma elipse. Determine ospontos desta elipse que estão mais próximos e mais distantes da origem.

Resposta: mais próximos ( 12 ,12 ,

12 ) e mais longe (−1,−1, 2).

Figura 1: Curva, Planos

Figura 2: Curva, Planos

Q2 (2,5) Determine os valores extremos da função f(x, y, z) = yz + xy sujeita às restrições xy = 1 ey2 + z2 = 1.

Resposta:máximo 32 e mínimo 1

2 .

Q3 (3,0) a. Seja w = xy + yz + zx, x = r cos θ, y = rsenθ, z = rθ. Determine ∂w∂x e ∂w

∂y , quando r = 2e θ = π

2 .

Resposta:2π e −2π.

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b. Determine o maior conjunto no qual a função f(x, y, z) = arcsen(x2 + y2 + z2) é contínua.

Resposta: {(x, y, z);x2 + y2 + z2 ≤ 1}.

c. Calcule lim(x,y,z)→(π,θ,1)

ey2

tan(xz)

Resposta:√3.

Q4 (2,0) Suponha que uma função f(x, y) é diferenciável e f(2, 5) = 6, fx(2, 5) = 1 e fy(2, 5) = −1.Use aproximação linear para estimar f(2.2, 4.9).

Resposta:6.3.

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