MAT - 122 - Álgebra Linear IFísica - Diurno

Exercícios para a 1ªProva

Paulo F. Leite,

com a colaboração de Jéssica C. Paixão

Fevereiro de 2012

1 Espaços Vetoriais e Subespaço Vetoriais

De�nição 1 Dizemos que um conjunto V, cujos elementos chamaremos

de vetores, é um espaço vetorial sobre um corpo IK cujos elementos

chamaremos de escalares se as condições 1) e 2) abaixo, estiverem sat-

isfeitas.

1) Está de�nida uma operação de adição entre elementos de V sat-

isfazendo as propriedades:

A1) Quaisquer que sejam u e v em V, u+ v = v+ u

A2) Quaisquer que sejam u , v , w em V , (u+v)+w = u+(v+w)

A3) Existe um elemento neutro para a adição em V, isto é , existe

um elemento em V, que indicaremos por 0, satifazendo a condição

u+ 0 = u qualquer que seja u ∈ V.

A4) Qualquer elemento u de V possui um simétrico aditivo, isto é,

qualquer que seja u em V existe um elemento de V que indicaremos

por −u tal que u+ (−u) = 0

1

2) Está de�nida uma operação de multiplicação de elementos de

V por elementos do corpo IK satisfazendo para todos os elementos do

corpo e para todos os vetores u de V, as seguintes propriedades:

M1) (α+ β)u = αu+ βu

M2) α(u+ v) = αu+ αv

M3) (αβ)u = α(βu)

M4) 1.u = u

1.1 Propriedades que Decorrem Imediatamente da De�nição de Es-

paço Vetorial

1. Propriedade do cancelamento para a adição :

Se u+w = v+w então u = v.

2. Se α ∈ IR e 0 ∈ V então α0 = 0 .

3. Se 0 ∈ IR e u ∈ V então 0u = 0 .

4. Regra dos sinais :

α(−u) = (−α)u = −(αu)

5. Se αu = 0 então α = 0 ou u = 0

6. Se αu = βu e u 6= 0 então α = β

7. Se αu = αv e α 6= 0 então u = v

8. Existe um único elemento neutro para a adição.

9. O oposto ( simétrico) de um vetor é único.

2

1.2 Exemplos de Espaços Vetoriais

Veri�que que em cada um dos exemplos abaixo, o conjunto V, com asoperações indicadas, é um espaço vetorial.

1. V = IK � espaço vetorial

IK � corpo de escalares

Adição � adição usual de elementos do corpo IK.

Multiplicação de vetor por Escalar � multiplicação usual dos elemen-tos do corpo IK.

2. V = L e K, K ⊂ L, é um subcorpo de L.

IK � corpo de escalares.

Casos particulares:

(a) L = IC � complexos e IK = IR � reais

3. V = IKn Conjunto das n-uplas de elementos do corpo IK.

A adição de vetores de V = IKn é de�nida pela igualdade

- (u1,u2, . . . ,un) + (v1, v2, . . . , vn) = (u1 + v1,u2 + v2, . . . ,un + vn)

multiplicação por escalar - λ(u1,u2, . . . ,un) = (λu1, λu2, . . . , λun)

4. Mm×n(IR) Matrizes retangulares com m linhas e n colunas

adição - adição usual de matrizes.

multiplicação por escalar multiplicação usual de matrizes por númerosreais.

3

5. d) V = P(IR) Polinômios de uma variável com coe�cientes reais

adição - adição usual de polinômios.

multiplicação por escalar multiplicação usual de polinômio por númeroreal.

6. Prove que os itens abaixo são exemplos de espaços vetoriais:

(a) V = IR (vetores) K = IR (escalares)

(b) V = IR (vetores) K = lQ (escalares)

(c) V = IC (vetores) K = IR (escalares)

(d) V = IC (vetores) K = lQ (escalares)

(e) V =Mm×n(IR) (vetores) K = IR (escalares)

(f) V = IR[X] (vetores) K = IR (escalares)

(g) V = F(IR) funções de IR em IR K = IR (escalares)

(h) V = C(IR) funções contínuas de IR em IR K = IR (escalares).

7. Seja X um conjunto qualquer, não vazio, e IRX o conjunto de todas asfunções de X em IR. Nessas condições, com a adição usual de funçõese a multiplicação usual de funções por números reais IRX adquire aestrutura de um espaço vetorial sobre IR.

8. Seja X um conjunto qualquer e IR(X) o conjunto das funções, quase

nulas, de X em IR. Dizemos que uma função Xf−−−−→ IR é quase-nula

se se tivermos f(x) = 0, salvo em um número �nito de pontos de X.É claro que IR(X) ⊂ IRX. Mostre que IR(X) é um subespaço vetorial deIRX e, portanto, um espaço vetorial.

Observe que se X é um conjunto �nito, então IR(X) = IRX

∗ Veremos, mais adiante, quando de�nirmos base de um espaço vetorial, que existe

uma correspondência bijetora entre o conjunto X e uma base de IR(X). Isso permite concluir

que existem espaços vetoriais com bases de qualquer cardinalidade. ∗

4

1.3 Subespaços Vetoriais

De�nição 2 Dizemos que um subconjunto S, não vazio, de um espaço

vetorial V é um subespaço vetorial de V se as seguintes condições es-

tiverem satisfeitas:

a) ∀u, v ∈ S ⇒ u+ v ∈ S

b) ∀λ ∈ IR , ∀v ∈ S ⇒ λv ∈ S

Obs. Decorre imediatamente das condições a) e b) acima que se S é umsubespaço vetorial, então 0 ∈ S. (veri�que isso!). Por causa disso, a ver-i�cação de que um subconjunto S de V é um subespaço vetorial pode serfeita mostrando que S satisfaz as condições abaixo:

1. 0 ∈ S

2. ∀u, v ∈ S ⇒ u+ v ∈ S

3. ∀λ ∈ IR , ∀v ∈ S ⇒ λv ∈ S

A veri�cação da condição 1) acima, corresponde a veri�cação de que S 6= ∅

1.4 Exercícios

1. Considere o sistema linear homogêneo2x− 3y+ z = 0x+ y− z = 0x− 4y+ 2z = 0

Prove que o conjunto S de vetores de IR3 que satisfazem esse sistema,formam um subespaço de IR3. O número de vetores desse subspaço é�nito?

2. Considere a equação matricial abaixo onde A é uma matriz quadradade ordem n e x e b são matrizes coluna com n linhas

Ax = b

5

Considere ainda o subespaço vetorial SH de Mn×1(IR)

SH = {x ∈Mn×1(IR) : Ax = 0}

e o subconjunto S de Mn×1(IR)

S = {x ∈Mn×1(IR) : Ax = b}

Prove queS = SH + xP

onde xP é uma matriz deMn×1(IR) tal que AxP = b , isto é, xP é umasolução particular da equação (1).

3. Considere o sistema linear{−2x1 + x2 + x3 + x4 = −2

x2 + x3 − x4 = 2

Exiba a solução geral desse sistema na forma do exercício anterior.

4. Seja Pn(IR) o subconjunto do espaço vetorial P(IR) de�nido por

Pn(IR) = { p ∈ P(IR) : p é nulo ou grau p 6 n }

Prove que Pn(IR) é um subespaço vetorial de P(IR)

5. Prove que em qualquer espaço vetorial vale a formula: 2u = u+ u

6. Prove que o axioma da comutatividade da adição num espaço vetorialdecorre dos outros axiomas que de�nem um espaço vetorial sendoportanto desnecessário.

sugestão: Desenvolva o produto (1+1)(u+v) de duas maneiras difer-entes.

7. De exemplo de um conjunto V munido de uma operação de adição ede uma operação de multiplicação por escalar satisfazendo todos osaxiomas que de�nem um espaço vetorial com exceção do axiomaM4)

que garante que para todo vetor 1u = u. Conclua que o axioma M4)

é independente dos outros axiomas, isto é, não é conseqüência deles.

6

8. Mostre que os vetores de F(IR) de�nidos abaixo não estão em P(IR)

(a) f(x) = 3√x

(b) f(x) = |x|

(c) f(x) = 3√x+ 5√x

(d) f(x) = 1+ x− x5 + 2 3√x2 + 4 5

√x4

(e) f(x) = sinx

(f) f(x) = ex

9. Mostre que

R[0, 1] = { f ∈ F[0, 1] : f é Riemann integrável }

munido das operações usuais de adição de funções e de multiplicaçãode uma função por um número real é um subespaço vetorial de F[0, 1].

10. De�nição Seja IRf−−−−→ IR uma função de F(IR, IR). Dizemos que:

(a) A função f é uma função par se ∀x ∈ IR f(−x) = f(x)

(b) A função f é uma função impar se ∀x ∈ IR f(−x) = −f(x)

11. De exemplo de uma função que não é nem par nem impar.

12. Mostre que se uma função é simultaneamente par e impar, então elaé a função nula.

13. De exemplos de funções, não polinomiais, pares e impares.

14. Mostre que:

(a) A soma de duas funções pares é uma função par.

(b) O produto de uma função par por um número real é uma funçãopar.

(c) Para as funções impares valem propriedades análogas às pro-priedades enunciadas nos itens (a) e (b) acima.

7

(d) O produto de duas funções pares é uma função par e que o produtode duas funções impares é uma função par.

(e) O produto de uma função par por uma função impar é uma funçãoimpar.

15. De um critério que permite caracterizar quando uma função polinomial

é par e quando ela é impar

16. Mostre que:

(a) F(IR, IR)P , isto é, o conjunto das funções pares formam um sub-spaço vetorial de F(IR, IR).

(b) F(IR, IR)I , isto é, o conjunto das funções impares formam umsubspaço vetorial de F(IR, IR).

(c) F(IR, IR)P ∩ F(IR, IR)I = {0}

(d) Mostre que qualquer função de F(IR, IR) é soma de uma funçãopar com uma função impar.

Usamos a notação:

F(IR, IR)P ⊕ F(IR, IR)I = F(IR, IR)

para indicar que as propriedades dos itens (c) e (d) estão satis-feitas e dizemos que F(IR, IR) é uma soma direta de seus subespaços

F(IR, IR)P e F(IR, IR)I.

(e) Prove que toda função f ∈ F(IR, IR) = F(IR, IR)P ⊕ F(IR, IR)I seescreve, de maneira única, como soma de uma função par comuma função impar.

2 Combinações Lineares e Sistema de Geradores

De�nição 3 Seja X um subconjunto, não vazio, do espaço vetorial V.

Dizemos que um vetor u de V é uma combinação linear de vetores de

X se existirem um subconjunto, �nito e não vazio {x1, x2, . . . , xk}, de

vetores de X e escalares λ1, . . . , λk de tal forma que

u = λ1x1 + . . .+ λkxk

8

Indicaremos por CL(X) o conjunto de todos os vetores de V que sãocombinações lineares de vetores de X, mais explicitamente,

CL(X) = {u ∈ V : u é combinação linear de vetores de X}

É importante chamar a atenção para o fato de que dizer que o vetor ué uma combinação linear de vetores de um conjunto X, independentementede X ser �nito ou in�nito, é dizer que u pode ser escrito como

u = λ1x1 + . . .+ λkxk

isto é, como uma soma �nita de vetores. Quando trabalhamos num con-texto puramente algébrico, somas in�nitas não estão de�nidas, nem fazemsentido o menor sentido. Em certas ocasiões (principalmente nos exem-plos) trabalhamos com somas in�nitas de números reais ou de númeroscomplexos onde a idéia de convergencia faz sentido. Em geral, o contextodeixa perfeitamente claro se estamos num caso ou no outro.

Apesar disso, sempre que acharmos que a expressão pleonástica �com-

binação linear �nita � contribuir para a clareza do texto, não hesitaremosem usá-la.

Resumiremos as propriedades básicas de CL(X) na seguinte proposição.

Proposição 1 Se X é um subconjunto, não vazio, de V, valem as pro-

priedades:

1. X ⊆ CL(X)

2. CL(X) é um subespaço vetorial de V.

3. Se X e Y são subconjuntos de V e X ⊆ Y então, CL(X) ⊆ CL(Y).

4. CL(X) = X ⇐⇒ X é um subespaço vetorial de V.

5. Se S é um subespaço de V e X ⊆ S, então CL(X) ⊆ S.

6. Se X ⊆ CL(Y), então CL(X ∪ Y) = CL(Y).

9

Demonstração.Sendo x = 1x e 0 = 0x particulares combinações lineares de elementos de

X temos que X ⊆ CL(X) e que 0 ∈ CL(X) . Como é imediato que multiplose somas de vetores de CL(X) estão em CL(X) concluimos que CL(X) éum subespaço vetorial. Uma vez que o item 3 decorre imediatamente dade�nição de CL(X), vamos demonstrar a implicação

X é um subespaço vetorial de V =⇒ X = CL(X)

do item 4 pois a implicação no outro sentido é uma conseqüência óbvia de2 . Como já vimos no item 1 que, em qualquer circunstância, vale a inclusãoX ⊆ CL(X), basta mostrar que se X é um subespaço vetorial, CL(X) ⊆ X.Mas isso decorre do fato de qualquer combinação linear de vetores de umsubespaço ser um vetor desse subespaço. Consideremos agora o item 5 .Por 3 temos que CL(X) ⊆ CL(S) mas como S é um subespaço vetorial,temos por 4 que CL(S) = S e portanto que CL(X) ⊆ S. Isso conclui ademonstração desse item e da proposição.

A maior parte dos textos de Algebra Linear usa a noção de combinação

linear, que acabamos de de�nir, para introduzir o conceito de sistema

de geradores de um subespaço vetorial. Esses livros adotam a seguintede�nição.

De�nição 4 Seja V um espaço vetorial e S um subespaço vetorial de V.

Dizemos que um subconjunto, não vazio, X ( �nito ou não) de V é um

sistema de geradores de S se CL(X) = S. Se CL(X) = V dizemos que X

é um sistema de geradores de V.

Essa é, como dissemos, uma de�nição muito usada, perfeitamente cor-reta e que o leitor poderá, sem maiores inconvenientes, adotar essa comosendo a sua de�nição de sistema de geradores.

Ela apresenta, no entanto, um pequeno inconveniente. Por só ter sentidoquando X 6= ∅, torna o caso X = ∅ excepcional e, para evitarmos exceções,temos que adotar, como convenção, que [∅] = {0}.

10

Usando fatos que de qualquer maneira são básicos e precisam ser con-hecidos podemos dar uma de�nição mais abrangente de sistema de ger-adores que evita tratar o conjunto vazio como caso excepcional e que co-incide com a de�nição que acabamos de dar quando X 6= ∅. Começamoscom algumas resultados simples e importantes.

1. Mostre que se I é a intersecção de dois subespaços de um espaçovetorial V, então I é um subspaço vetorial de V.

2. Seja {Si}i∈J uma família de subespaços de V, indexada por um con-junto J, que não precisa ser �nito e nem mesmo enumerável.Prove que a intersecção

S =⋂i∈J

Si

de todos os subespaços Si , i ∈ J , é um subespaço vetorial de V.

3. Mostre que se I é a intersecção de todos os subespaços de um espaçovetorial V, então I = {0}.

4. Seja X um subconjunto qualquer do espaço vetorial V. Seja [X] a in-tersecção de todos os subespacos vetoriais de V que contém X. Mostreque [X] é um subespaço vetorial de V. Mostre que se X = ∅, então[X] = {0}, isto é, [∅] = {0}

5. Seja V um espaço vetorial tal que X um subconjunto de V tal queX 6= ∅. Mostre que CL(X) = [X].

Os exercícios acima sugerem a seguinte de�nição para sistema de ger-adores de um subespaço.

De�nição 5 Seja V um espaço vetorial e S um subespaço vetorial

de V. Dizemos que um subconjunto X (�nito ou não) de V é um

sistema de geradores de S se [X] = S. Em particular, se [X] = V,

dizemos que X é um sistema de geradores do espaço vetorial V.

11

Obs. Note que nessa de�nição, não foi necessário exigir que X 6= ∅mas que, com essa hipótese, ela coincide com a de�nição anterior.Além disso, ela inclue o caso em que X = ∅. E nesse caso, temos[∅] = {0}.

É importante observar que entre os diversos exemplos de espaços ve-torias com que lidamos até agora, alguns são �nitamente gerados,isto é, possuem um conjunto de geradores com um número �nito

de vetores, outros só admitem conjuntos geradores com um número

in�nito de vetores. Dizemos nesse caso que os espaços não são �ni-

tamente gerados.

É, no entanto, fundamental ter em mente o seguinte fato:

Seja G é um sistema de geradores de espaço vetorial V e x um ve-tor qualquer de V. Independentemente de V ser ou não �nitamentegerado, x se escreve como combinação linear �nita de vetores de G.

IRk, com k > 0, Pn(IR) e MmnIR são exemplos de espaços vetoriais�nitamente gerados. Exiba, para cada um desses espaços vetoriais,um conjunto �nito de geradores.

Um exemplo de espaço vetorial que não é �nitamente gerado é oformado pelos polinômios de uma variável com coe�cientes reais.

6. Exemplo. P(IR) não é �nitamente gerado.

Observação importante.

O fato de sabermos que o conjunto in�nito

{1, x, x2, . . . , xn, . . .}

é um sistema de geradores de P(IR) não prova que P(IR) não é �nita-mente gerado, pois, a princípio, nada impediria que pudesse haver umoutro subconjunto de vetores de P(IR) que fosse �nito e que gerasseP(IR).

Vamos então demonstrar que isso não acontece, isto é, que P(IR) nãoé �nitamente gerado.

12

De fato, seja A um conjunto qualquer, mas �nito, de P(IR). Supon-hamos, por absurdo, que A gera P(IR). Como A é �nito, existe umpolinômio de maior grau em A. Seja m o grau desse polinômio. Éclaro que nenhum polinômio de grau maior do que m é combinaçãolinear de polinômios de A. Portanto, A não pode gerar P(IR), isto é,nenhum conjunto �nito pode gerar P(IR).

2.1 Exerc�cios

1. Mostre que todo espaço vetorial possui um sistema de geradores.

2. Mostre que se u1,u2, . . . ,un são vetores de um espaço vetorial V eλ1, λ2, . . . , λn, números reais, não nulos, então vale a igualdade

[u1,u2, . . . ,un] = [λ1u1, λ2u2, . . . , λnun]

3. Dê exemplo de dois subconjuntos X e Y de um espaço vetorial V taisque [X] ⊆ [Y] mas X ( Y.

4. Sejam x1, x2, . . . xk e y1,y2, . . . ,yl, vetores de um espaço vetorial V.Mostre que uma condição necessária e su�ciente para que [X] = [Y] éque xi ∈ [Y] para i = 1, 2, . . .k e yj ∈ [X] para i = 1, 2, . . . l.

5. Sejam X e Y subconjuntos de um espaço vetorial V.

(a) Prove que [X ∩ Y] ⊂ [X] ∩ [Y]

(b) De um exemplo mostrando que, em geral, [X ∩ Y] 6= [X] ∩ [Y].

(Sugestão: faça X = {u} e Y = {2u}, com u 6= 0).

6. Seja X um subconjunto qualquer de um espaço vetorial V e suponhaque u1,u2, . . . ,un ∈ [X] ( Observe que esses vetores podem não estar

em X). Mostre que existe um subconjunto �nito Y de X tal que [Y]

contem os vetores u1,u2, . . . ,un.

13

7. Seja X um subconjunto qualquer de um espaço vetorial V e suponhaque u1,u2, . . . ,un ∈ [X] ( Observe que esses vetores podem não estar

em X). Mostre que existe um subconjunto �nito Y de X tal que [Y]

contem os vetores u1,u2, . . . ,un.

8. Se S é um subespaço vetorial de V, diferente de V, isto é, S V,então [V − S] = V.

Sol. Observe, inicialmente que a suposição de que S V é essencial pois, se tivermos

S = V, teremos que V−V = ∅ e portanto [V−V] = {0} e, nesse caso, o resultado só

é válido se V = {0}. Podemos então, sem perda de generalidade, supor que V 6= {0}

e S 6= {0}. É claro que V−S ⊂ [V−S] . Como V = (V−S)∪S, para obtermos a tese

basta mostrar que S ⊂ [V − S]. Seja então s um vetor qualquer de S e x ∈ (V − S),

x 6= 0. Os vetores s+x e s−x de V, não pertencem a S (Porque?). Estão, portanto,

em (V − S). Em consequência, (s+ x) + (s− x) = 2s está em [V − S], o que implica

que s ∈ [V − S]. Isso conclue a demonstração.

3 Dependência e Independência Linear

Vimos que qualquer vetor de um espaço vetorial V pode ser representadopor uma combinação linear de vetores pertencentes a um sistema de ger-adores G, desse espaço.

Uma pergunta natural e importante � e, que se tiver resposta a�r-mativa, vai nos permitir de�nir as �coordenadas de um vetor� � é seessa representação é única, isto é, se x é um vetor qualquer de V e seg1,g2, . . .gm,g1 ′,g2 ′, . . .gn ′, são vetores de G e se, além disso, x pode serescrito comox = α1g1 + α2g2 + · · ·+ αmgmx = α1

′g1′ + α2

′g2′ + · · ·+ αn

′gn′

podemos garantir que m = n e gi = gi′ i = 1, 2, . . . ,n

Podemos antecipar que a resposta é negativa, isto é, a representaçãonão é única. Um exemplo muito simples serve de ilustração.

Exemplo. Não unicidade da representação de vetores por sistemas degeradores.

14

Considere o espaço vetorial IR2 e o seu subconjunto

A = {(1, 0), (0, 1), (1, 1)}

A é claramente um sistema de geradores de IR2 mas o vetor (1, 1) admiteduas representações distintas:

1. (1, 1) = 1.(1, 0) + 1(0, 1)

2. (1, 1) = 1(1, 1)

Se quisermos ter unicidade de representação vamos precisar introduzirum conceito novo: o de independência linear.

Para motivar a de�nição desse novo conceito vamos simpli�car um poucoas coisas 1 e supor que o vetor x de V possa ser escrito das formas descritasabaixox = α1g1 + α2g2 + · · ·+ αmgmx = β1g1 + β2g2 + · · ·+ βmgmNesse caso, unicidade de representação, signi�ca simplesmente queαi = βi para i = 1, 2, . . .mVamos tentar demonstrar isso e ver que propriedades adicionais os ve-

tores g1,g2, . . . ,gm vão precisar satisfazer.Se subtrairmos membro a membro a segunda equação da primeira �z-

ermos as transformações convenientes �caremos com a equação

(α1 − β1)g1 + (α2 − β2)g2 + · · ·+ (αm − βm)gm = 0

Se soubermos que essa igualdade só é possível quando todos os coe�cientesdos vetores g1,g2, . . . ,gm forem nulos, teremos queαi = βi para i = 1, 2, . . . ,me, portanto, a unicidade desejada.

1Na realidade essa simpli�cação é apenas aparente e não acarreta nenhuma perda degeneralidade pois podemos acrescentar a cada uma das representações do vetor x os vetoresque não comparecem na outra representação tomando como coe�ciente desses vetoreszeros.

15

Esse cálculo, feito para provar a unicidade da representação, sugere qualdeve ser a de�nição que caracteriza a propriedade que os vetores do conjuntode geradores devem ter para garantir a unicidade da representação.

De�nição. Seja V um espaço vetorial e L um subconjunto, não vazio,�nito ou não, de V. Dizemos que o conjunto L é linearmente independente

se qualquer que seja o subconjunto �nito {l1, l2, · · · , ln} de vetores de L aequação

α1l1 + α2l2 + · · ·αnln = 0

só admitir como solução escalares que sejam todos nulos, em outras palavras,devemos terα1 = α2 = α3 · · · = αn = 0Quando essa condição não estiver satisfeita diremos que o conjunto

L é linearmente dependente ou, o que é a mesma coisa, que L não é

linearmente dependente.Obs. Essa é a de�nição de independencia linear que �gura na grande maioria dos

textos que tratam do assunto e aqui novamente o conjunto vazio aparece como um caso

excepcional. Mais adiante mostraremos que é possivel dar uma de�nição que coincide com

a que acabamos de dar no caso de conjuntos não vazios mas que por ser mais abrangente

inclue o conjunto vazio na classe dos conjuntos que são linearmente independentes.

1. ∗ Seja V um espaço vetorial. Mostre que V, isto é, o conjunto detodos os vetores do espaço vetorial V, é um conjunto linearmentedependente de V.

2. Seja A = (aij) ∈Mm×n(IR) tal que

i < j =⇒ aij = 0 e akk 6= 0

Mostre que as linhas de A, consideradas como vetores de IRn sãolinearmente independentes.

3. ∗ Seja V um espaço vetorial e A, B e G subconjuntos (�nitos ou não)de V. Prove que:

(a) Se A ′ ⊆ A e A é linearmente independente, então A ′ é linearmente

independente.

16

(b) Se B ⊆ B ′ e B é linearmente dependente, então B ′ é linearmente

dependente.

(c) Se G é um sistema de geradores de V e G G ′, então G ′ é linear-

mente dependente.

4. ∗ Seja a1,a2, . . .an, n > 1, uma sequência qualquer de vetores não

nulos, de um espaço vetorial V. Prove que uma condição necessária

e su�ciente para que essa sequência seja linearmente dependente é queexista um número natural k, 1 < k 6 n, tal que

ak = α1a1 + α1a1 + · · ·+ α2a2 + · · ·αk−1ak−1

5. ∗ Seja V um espaço vetorial e A 6= ∅ um subconjunto qualquer, maslinearmente independente, de V. Seja a1,a2, . . .ak uma sequêcia devetores de A. Mostre que essa sequência pode não ser linearmenteindependente.

Sol Para vermos isso, basta considerar a sequência a1,a2, de elementos de A, com

a1 = a2

6. ∗ Seja S um subespaço vetorial de V e x um vetor de V que não estáem S, isto é, tal que x /∈ S. Prove que se x1, x2, . . . xk são vetoreslinearmente independentes de S então o conjunto {x1, x2, . . . , xk, x}é linearmente independente.

Sol. Seja α1x1 + α2x2 + · · ·+ αkxk + αx = 0.

Devemos ter, necessáriamente, α = 0 pois, caso contrário, teríamos que x ∈ S o quecontraria a hipótese. Isso nos fornece

α1x1 + α2x2 + · · ·+ αkxk = 0.

Como os vetores x1, x2, . . . xk são, por hipótese, L.I., temos a tese.

7. Seja V um espaço vetorial e {0} = S0 S1 S2 · · · Sn = V

uma sequência subespaços de V. Se x1, x2, . . . xn é uma sequência devetores de V tais que xi ∈ Si mas xi /∈ Si−1, i = 1, 2, . . .n então asequência x1, x2, . . . xn é linearmente independente.

8. Se λ2, . . . , λn é um conjunto qualquer de escalares e u1, . . . ,un sãovetores de um espaço vetorial V, então as seguintes condições sãoequivalentes:

17

(a) {u1, . . . ,un} é linearmente independente.

(b) {u1,u2 + λ2u1, . . . ,un + λnu1} é linearmente independente.

xi ∈ [Y] para i = 1, 2, . . . l a) =⇒ b)

Deα1u1 + α2(u2 + λ2u1) + . . .+ αn(un + λnu1) = 0

Segue que

(α1 + α2λ2 + α3λ3 . . .αnλn)u1 + α2u2 + · · ·+ αnun = 0

e como {u1,u2, . . . ,un} é linearmente independente, temos que

α1 + α2λ2 + α3λ3 + . . .+ αnλn = 0

α2 = 0...

αn = 0

veri�ca-se imediatamente que a única solução desse sistema é:

α1 = α2 = · · · = αn = 0

e portanto o conjunto {u1,u2 + λ2u1, . . . ,un + λnu1} é linearmenteindependente.

a) ⇐= b)

Façamos inicialmente

{v1 = u1

vi = ui + λiu1 i = 2, . . . ,n

e consequentemente

18

{u1 = v1ui = vi − λiu1 i = 2, . . . ,n

(1)

Devemos provar agora que do fato de {v1, . . . , vn} ser, por hipótese,linearmente independente decorre que {u1, . . . ,un} é linearmente in-dependente.

Se escrevermos

α1u1 + . . .+ αnun = 0 (2)

e substituirmos os valores de ui dados por (1) em (2) ,teremos

α1v1 + α2(v2 − λ2v1) + . . .+ αn(vn − λnv1) = 0

ou ainda

(α1 − α2λ2 − . . .− αnλn)v1 + α2v2 + . . .αnvn = 0

e portanto, como {v1, . . . , vn} é linearmente independente,

α1 − α2λ2 − . . .− αnλn = 0α2 = 0...αn = 0

Veri�ca-se, imediatamente, que a única solução desse sistema é

α1 = α2 = . . . = αn = 0

e, portanto {u1, . . . ,un} é linearmente independente.

xi ∈ [Y] para i = 1, 2, . . . l

19

3.1 Exercícios

1. ∗ Veri�que se os vetores de F(IR), descritos nos ítems abaixo, são ounão, linearmente independentes:

(a) x e |x|

(b) x e cos(x)

(c) x e 3√x

(d) p é uma função polinômial e g ∈ F(IR, IR) não é função polinomial.

(e) f,g ∈ F(IR, IR) f par, g impar

(f) p1(x),p2(x), . . .pn(x) onde as funções são polinômios tais que sei 6= j, então grau pi 6= grau pl. (Note que não estamos exigindo

que grau pn = n)

4 Bases, Dimensão

1. Todo espaço vetorial �nitamente gerado possui uma base com umnúmero �nito de vetores.

Sol. Use indução �nita sobre o número de elementos de um conjunto gerador do

espaço vetorial

2. Seja V um espaço vetorial �nitamente gerado e G e L, respectiva-mente, um conjunto de geradores de V e um conjunto linearmente

independente de V. Se G for �nito, então L também será �nito e#L 6 #G.

#A indica o número de elementos de A.

Sol. Aqui também a idéia é usar indução �nita. Existe raciocínio �heurístico,� mas

bastante convincente, que sugere que esse fato é verdadeiro

3. Duas bases quaisquer de um espaço vetorial �nitamente gerado pos-suem o mesmo número de elementos.

Sol. Use o exercício acima e as condições que de�nem uma base

20

De�nição. Chama-se dimensão de um espaço vetorial o número deelementos de uma qualquer de suas bases.

4. Seja B um subconjunto com n elementos de um espaco vetorial V dedimenssão n. As seguintes a�rmações são equivalentes:

(a) B é linearmente independente.

(b) B é um sistema de geradores de V

(c) B é uma base de V.

5. Prove que qualquer que seja o número real a, o conjunto

B = {1, (x− a), (x− a)2, . . . , (x− a)k}

é uma base do espaço vetorial Pk(IR)

6. Prove que qualquer que seja o número real a, o conjunto

B = {1, (x− a), (x− a)2, . . . , (x− a)k · · · }

é uma base do espaço vetorial P(IR)

7. Seja V um espaço vetorial e A um conjunto linearmente independentede V. Mostre que existe B ⊂ V tal que A ⊆ B e B é base de V.

4.1 Coordenadas de um Vetor

1. De�nição. Seja V um espaço vetorial, V 6= {0}, E = {e1, e2, . . . ek} umabase (ordenada pelos índices) de V e u ∈ V, um vetor qualquer.Nessas condições, existem escalares (únicos) tais que

u = u1e1 + u2e2 + · · ·+ ukek.

Os escalares u1,u2, . . .uk chamam-se, respectivamente, primeira, se-gunda, . . . ,k−ésima coordenada do vetor u em relação à base E. Asequência formada por essas coordenadas de�nem, portanto, um vetor(u1,u2, . . .uk) ∈ IRk.

21

(x)E = (x1, x2, . . . , xn)

é chamada de sequência de coordenadas ( ou simplesmente coordenadas)do vetor x em relação à base E. Para podermos operar de forma e�caz commatrizes é conveniente interpretarmos a n-úpla

(x)E = (x1, x2, . . . , xn)

como uma matriz linha e sua transposta

(x)tE = [x]E =

x1x2...xn

Que indicaremos sempre por [x]E, como uma matriz coluna.

4.1.1 Exercícios

1. Seja E uma base de um espaço vetorial V e x,y dois vetores quaisquerde V. Mostre que:

(x+ y)E = (x)E + (y)E

2. Seja E uma base de um espaço vetorial V, x um vetor de V e λ ∈ IR.Mostre que:

(λx)E = λ(x)E

3. Seja E uma base de um espaço vetorial V e u1,u2, . . . ,un uma sequên-cia de vetores de V. Mostre que as a�rmações abaixo são equivalentes:

(a) A sequência u1,u2, . . . ,un de vetores de V é linearmente inde-pendente.

(b) A sequência (u1)E, (u2)E, . . . , (un)E de vetores de IRn é linear-mente independente.

22

5 Matriz de Transição Entre Duas Bases

Vimos acima que a escolha de uma base num espaço vetorial nos permiteassociarmos coordenadas aos vetores. Um problema de fundamental im-portância é estudar como mudam as coordenadas de um vetor quandomudamos a base em relação à qual esse vetor está representado. Vamosintroduzir um formalismo (cálculo matricial) que nos permite relacionar,com relativa facilidade, as coordenadas de um mesmo vetor em relação aduas bases diferentes.

Sejam então E = {e1, e2, . . . en} e F = {f1, f2, . . . fn} duas bases de ummesmo espaço vetorial. Vamos escrever os vetores da base F como combi-nação linear dos vetores da base E. Como sabemos, por ser E uma base,os coe�cientes dessas combinações lineares são únicos. Assim, podemosescrever:

f1 = a11e1 + a21e2 + · · ·+ an1enf2 = a12e1 + a22e2 + · · ·+ an2en...

...fn = a1ne1 + a2ne2 + · · ·+ annen

Amaneira mais natural de trabalharmos com esses coe�cientes é utilizan-do-os para formar uma matriz. Devido as propriedades da multiplicação dematrizes a maneira mais conveniente de fazer isso é construir uma matrizcujas colunas são os respectivos coe�cientes das linhas que representam ascombinações lineares acima. Dessa forma, temos a matriz

MFE =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

...an1 an2 · · · ann

Essa éumade�nição

importante!

que chamaremos de matriz de transição da base E para a base F

Observe que de acordo com a de�nição da matriz de transição, quandoa base F coincidir com a base E a matriz de transição é a matriz identidade.

A propriedade mais importante dessa matriz é expressa pela proposisão

23

Proposição 2 Qualquer que seja o vetor x ∈ V, vale a fórmula Estafórmula éfun-damentalpara oque vema seguir←−

MEF.[x]F = [x]E

ou, de forma mais explicita,a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

...

am1 am2 · · · amn

.

x ′1

x ′2

...

x ′n

=

x1x2...

xn

Como a multiplicação de matrizes é linear, para demonstrar a proposição,

basta veri�cá-la para todos os vetores da base F. Mas isso, é um cálculomuito aimples. De fato, seja fi um vetor qualquer da base F. Para provara igualdade

MEF.[fi]F = [fi]E

é su�ciente observar que a multiplicação de matrizes do lado esquerdo daigualdade produz no lado direito uma matriz formada pelas coordenadasdo vetor fi.

a11 a12 · · · a1n...

......

...ai1 ai2 · · · ain

......

......

an1 an2 · · · ann

.

0...1...0

=

ai1

...aii

...ain

Isso termina a demonstração pois essa igualdade se veri�ca para todos osvetores da base F

C.Q.D.

Corolário 1 Matrizes de transição entre bases de um espaços vetorial V

de dimensão �nita n satisfazem as seguintes propriedades:

1. MEE = In matriz identidade de ordem n.

24

2. MGE =MG

F.MFE

3. (MFE) = (ME

F)−1

Demonstração.

1. A validade dessa fórmula já foi comentada na de�nição de matriz detransição dada acima.

2. A proposição 4.3 acima, nos permite escrever as fórmulas

[x]F =MFE[x]E MG

F[x]F = [x]G

Substituindo o valor de [x]F, dado pela primeira equação, na segunda,obtemos

MGF.(MF

E[x]E) =MGE[x]E

Pela associatividade da multiplicação de matrizes, podemos escrevera igualdade acima como

(MGF.MF

E)[x]E =MGE[x]E

Como essa igualdade vale para todos os vetores de V, em particularpara uma base de V, podemos concluir que

(MGF.MF

E) =MGE

o que demonstra a validade da equação.

3. Se �zermos G = E na equação

MGE =MG

F.MFE

do item 2, obtemos a equação

MEE =ME

F.MFE ou ainda In =ME

F.MFE

o que nos fornece a igualdade desejada

(MFE) = (ME

F)−1

É importante observar que essa equação mostra que a matriz de Não seesqueçadisso!

transicão de uma base para outra é sempre inversível.

25

5.1 Orientação de Espaços Vetoriais

Nesta secção todos os espaços vetoriais considerados terão como escalares Atenção→corpos ordenados.

6 Apêndice

6.1 Números naturais e Números inteiros

6.2 Polinômios

1. Seja p ∈ IR[X], de grau > 1, e α ∈ IR. Prove que são equivalentes asa�rmações:

(a) α é raiz de de p, isto é, p(α) = 0.

(b) p(x) é divisível por (x − α), isto é, existe q(x) ∈ IR[X], tal quep(x) = (x− α)q(x)

Sugestão: Use o fato de que existe um algoritmo de divisão emIR[X]. Tente demonstrar esse fato diretamente, isto é, sem supora existência do algoritmo de divisão.

2. Prove que se p é um polinômio de grau n, n > 0, então n tem, nomáximo, n raizes.

6.3 Matrizes

7 Transformações Lineares

8 Outros Exemplos de Espaços Vetoriais

1. Somas Diretas

2. Espaços Quocientes

3. Produto Tensorial

26

4. Produto Exterior

5. Produto Simétrico

27