mariani geovana evangelista eliane scheid gazire - … · relações entre os polígonos regulares,...

MARIANI GEOVANA EVANGELISTA

ELIANE SCHEID GAZIRE

2

SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO ................................................................................................................... 4

CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES SOBRE O ENSINO DA GEOMETRIA NA

PERSPECTIVA DESTE TRABALHO .................................................................................. 5

O desenvolvimento de habilidades matemáticas.................................................................... 5

A sala de aula como ambiente de manipulação, experimentação e investigação ................ 7

A sequência de tarefas ............................................................................................................ 10

ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR ..................................................................................... 13

TAREFA 1: ............................................................................................................................. 14

CLASSIFICANDO FIGURAS PLANAS E ESPACIAIS ................................................... 14

TAREFA 2: ............................................................................................................................. 16

INVESTIGANDO POLÍGONOS E SUAS CARACTERÍSTICAS. .................................. 16

TAREFA 3: ............................................................................................................................. 18

INVESTIGANDO OS ÂNGULOS DE UM POLÍGONO................................................... 18

TAREFA 4: ............................................................................................................................. 21

INVESTIGANDO A SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM TRIÂNGULO

QUALQUER ........................................................................................................................... 21

TAREFA 5: ............................................................................................................................. 23

INVESTIGANDO A SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM QUADRILÁTERO

QUALQUER ........................................................................................................................... 23

TAREFA 6: ............................................................................................................................. 27

CONSTRUINDO POLÍGONOS REGULARES POR DOBRADURAS .......................... 27

TAREFA 7: ............................................................................................................................. 30

INVESTIGANDO DIFERENTES PAVIMENTAÇÕES DE POLÍGONOS

REGULARES NO PLANO ................................................................................................... 30

TAREFA 8: ............................................................................................................................. 32

CLASSIFICANDO SÓLIDOS GEOMÉTRICOS EM POLIEDROS OU CORPOS

REDONDOS............................................................................................................................ 32

TAREFA 9: ............................................................................................................................. 33

INVESTIGANDO A RELAÇÃO ENTRE PAVIMENTAÇÃO E ÂNGULO

POLIÉDRICO ........................................................................................................................ 33

TAREFA 10: ........................................................................................................................... 37

3

CONSTRUINDO POLIEDROS REGULARES ......................................................... 37

ANEXOS......................................................................................................................... 40

Folhas de registros dos alunos ...................................................................................... 40

Material para montagem do kit ................................................................................... 40

Atividade: Montagem do “Kit” .................................................................................... 58

REFERÊNCIAS............................................................................................................. 64

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4

APRESENTAÇÃO

Este caderno de tarefas é fruto da dissertação de Mestrado “Construindo o conceito de ângulo

poliédrico a partir dos elementos dos polígonos”. O objetivo é que este material sirva de

apoio ao professor no desenvolvimento de conceitos geométricos sistematizados para a busca,

através da investigação e experimentação, do entendimento do ângulo poliédrico. Para

desenvolvê-lo, foi realizada uma pesquisa com alunos da 1ª série do Ensino Médio de uma

escola privada de Belo Horizonte.

Apresentamos, inicialmente, uma síntese das ideias que fundamentaram a nossa proposta de

trabalho.

A seguir são apresentadas orientações ao professor, com o objetivo de auxiliar o seu fazer

pedagógico e 10 tarefas que compõem uma sequência didática, as quais tem, como referências,

os trabalhos de alguns pesquisadores do Ensino da Matemática, entre eles: Fiorentini e Miorim

(1990), Gazire (2000), Lorenzato (2006), Pais (1996), Passos (2000), Ponte, Brocardo e

Oliveira (2005), Nacarato e Passos (2003) e Van de Walle (2009).

Por fim, anexamos sugestões de folhas de registros a serem feitas pelos alunos no decorrer das

aplicações das tarefas, que, por sua vez, podem ser modificadas e/ou adaptadas de acordo com

as particularidades de cada turma.

Nossa crença é de que é possível desenvolver o conhecimento com verdadeira compreensão.

Bom trabalho!

As autoras.

5

CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES SOBRE O ENSINO DA

GEOMETRIA NA PERSPECTIVA DESTE TRABALHO

O desenvolvimento de habilidades matemáticas

A Geometria é um dos ramos da Matemática que, dependendo da maneira como for trabalhada,

permite o estímulo e o interesse pelo aprendizado, principalmente porque o aluno vivencia

várias experiências com material concreto, com a intuição e pode estabelecer relações entre o

objeto geométrico e a realidade, oportunizando-o o desenvolvimento de habilidades criativas.

Vale pensar que a Geometria é um campo fértil, pois permite relacionar objetos geométricos

com argumentos acerca das propriedades desses objetos, que poderão, posteriormente,

constituir-se como demonstrações.

De acordo com Passos (2000), a curiosidade, a fantasia e a imaginação, qualidades típicas das

crianças e jovens, constituem-se em fatores fundamentais a serem considerados no

desenvolvimento dos conceitos geométricos. O ensino da Geometria deve estar voltado para

problemas abertos (com mais de uma resposta e/ou com diferentes formas de resolução), com

caráter dinâmico, que propiciem um processo de busca e investigação para resolvê-los.

Um curso eficaz e efetivo de Geometria deve permitir ao aluno desenvolver habilidades de

observação e de lógica, percepção espacial, argumentação, representação gráfica, imaginação,

iniciativa, a descoberta e a criatividade e não somente a memorização das nomenclaturas das

figuras geométricas, o “conhecimento” dos conceitos primitivos (ponto, reta e plano),

postulados, axiomas e deduções para, posteriormente, enunciar teoremas. As representações

não devem ter simplesmente a natureza de ilustrações, pois, quando se pensa em figuras

geométricas, elas são simultaneamente conceitos e representações espaciais.

Para o pesquisador e autor de livros didáticos Roberto Dante, o pensamento geométrico, a partir

do 6º ano do Ensino Fundamental, deve ser trabalhado primeiramente com as figuras espaciais

(ou tridimensionais), posteriormente com as figuras planas (ou bidimensionais) e, em seguida,

os contornos de figuras planas (ou unidimensionais); classificando essas figuras, observando e

estabelecendo relações de semelhanças e diferenças entre elas; construindo representações

planas das figuras espaciais de diferentes pontos de vista; compondo, decompondo, ampliando

e reduzindo figuras geométricas planas; localizando pontos no plano cartesiano; verificando o

que varia e o que não varia em uma transformação geométrica, levando os alunos ao

entendimento dos conceitos de congruência e semelhança; trabalhando, incialmente, de modo

experimental (Geometria experimental) para, pouco a pouco, apresentar pequenas

demonstrações (Geometria dedutiva). (DANTE, 2012, p.10).

6

Imenes corrobora com Dante e afirma que, em geral, os alunos são apenas informados a

respeito das propriedades das figuras e as ideias contidas nas proposições deixam de ser

construídas. A Geometria apresentada desta maneira reduz-se a uma série de receitas,

sendo esta meramente dogmática, pois, não trabalha intuição ou experimentação, nem

dedução. Porém, muitas vezes, é possível construir conceitos e estabelecer relações,

realizando experimentos simples com tesoura e papel para, depois, apresentá-las

dedutivamente. (IMENES, 1987).

Acreditando no ensino de Geometria pautado nas características apresentadas por Dante e

Imenes é que pensamos na sequencia didática, composta por dez tarefas, apresentadas a seguir:

1. Classificando

figuras planas e

espaciais.

2. Investigando

polígonos e suas

características.

3. Investigando

os ângulos de um

polígono.

4. Investigando a

soma dos

ângulos internos

de um triângulo

qualquer.

5. Investigando a

soma dos

ângulos internos

de um

quadrilátero

qualquer.

6. Construindo

polígonos

regulares por

dobraduras.

8. Classificando

sólidos

geométricos em

Poliedros ou

Corpos

Redondos.

7. Investigando

diferentes

pavimentações

de polígonos

regulares no

plano.

9. Investigando a

relação entre

pavimentação e

ângulo

poliédrico.

10. Construindo

poliedros

regulares.

7

Iniciamos as tarefas com a exploração das figuras espaciais e planas, em seguida, classificamos

os polígonos e estabelecemos as relações entre seus ângulos. Trabalhamos com a decomposição

dos polígonos regulares em triângulos, experimentamos as pavimentações para estabelecer as

relações entre os polígonos regulares, a pavimentação e o ângulo poliédrico; para que a

compreensão do ângulo poliédrico seja, de fato, significativa.

Cabe ressaltar que tanto a Geometria experimental quanto a dedutiva são importantes. O que se

deve buscar são estratégias de ensino que englobem as duas abordagens, na compreensão de

que não existe um modelo linear melhor ou pior para se trabalhar. É importante saber, porém,

que quando se escolhe utilizar materiais manipulativos na Geometria experimental, em sala de

aula, eles são apenas acessórios. Sozinhos não implicam em aprendizagem, sendo fundamental

a intervenção do professor para que as sistematizações aconteçam. Quando se pensa em

Geometria dedutiva, não se está defendendo um ensino de modelos clássicos, conforme

enunciados por Euclides, e sim, em possibilitar ao aluno entender, em momentos adequados,

que algumas proposições estruturadas de maneira lógica geram teoremas.

O trabalho de Geometria baseado nos experimentos com material concreto mobiliza algumas

estruturas cognitivas que permitem ao estudante vivenciar experiências autênticas. Além disso,

a manipulação de objetos pode auxiliar o aluno a construir o conceito mental. (PAIS, 1996).

Segundo Pais (1996), embora não seja fácil definir formalmente o que seja uma imagem

mental, pode-se dizer que o indivíduo tem uma dessas imagens quando ele é capaz de enunciar,

de uma forma descritiva, propriedades de um objeto ou de um desenho na ausência desses

elementos. Assim, como as noções geométricas são ideias abstratas e, portanto, estranhas à

sensibilidade exterior do homem, a formação de imagens mentais é uma consequência quase

que exclusiva do trabalho com desenhos e objetos.

A sala de aula como ambiente de manipulação, experimentação e

investigação

Em um ambiente de manipulação e investigação, o aluno encontra condições para produzir o

conceito, o conhecimento, experimentar combinações, expressar-se livremente, desenvolver a

criatividade, resolver problemas e ampliar sua noção de mundo. Nesse contexto, o diálogo do

professor com a classe é importante, porém, sem impedir que cada estudante elabore o seu

pensamento. Para isso, dar tempo para que observe, pense e expresse o seu pensamento pode

motivar o aluno para que expresse suas ideias com clareza, a fim de que seja interpretado

corretamente. A linguagem do professor, para atingir esse objetivo precisa ser concisa e

cuidadosa, suficientemente rica para utilizar expressões equivalentes que tornem claras as

ideias e facilitem a compreensão dos significados. Após o estudante ter encontrado as relações

esperadas, faz-se mister os registros a fim de ir adquirindo a simbologia adequada.

(MACHADO, 2012).

8

De acordo com Pais (1996), o trabalho de Geometria pautado em elementos experimentais se

constitui um recurso necessário à transposição de um nível pré-categorial para o mundo das

ideias abstratas. Para ele, quatro elementos são fundamentais no ensino e aprendizagem da

Geometria euclidiana plana e espacial, sendo esses: o objeto (que também pode ser chamado

como material didático ou modelo físico para o ensino de Geometria), o conceito, o desenho e a

imagem mental. E esses quatro elementos estão correlacionados aos aspectos intuitivo,

experimental e teórico do conhecimento geométrico.

Uma das preocupações geradoras deste caderno de tarefas foi pensar em como relacionar a

experiência da manipulação com a Matemática presente no ângulo poliédrico, uma vez que essa

manipulação não deve ser vista apenas como uma atividade lúdica e sim como um instrumento

essencial para efetivar as relações entre teoria e prática.

Entre os pressupostos teóricos que embasam a maneira de ensinar a Matemática, gostaríamos

de destacar que, diferentemente do que foi praticada durante muitos anos, a Matemática deve

ser vista como um processo em permanente evolução, ou seja, não se trata de uma ciência

pronta e acabada que deve ser apenas estudada e não construída de maneira dinâmica.

Acreditamos que a compreensão do mundo para atuar melhor nele é essencial e, para que essa

compreensão aconteça, é necessário que os saberes informais e culturais sejam incorporados à

prática escolar, para que o aluno perceba a presença da Matemática no dia a dia, diminuindo a

distância entre a Matemática da escola e a Matemática da vida. Se conseguíssemos fazer com

que nossos alunos pensem de forma lógica, relacionem ideias para que haja a descoberta de

regularidades e padrões, desenvolvam o espirito de investigação, a curiosidade e a criatividade

na solução de problemas não teríamos discussão em relação à eficácia e à relevância do ensino

da Matemática.

Ao pensar na estrutura deste Caderno de Tarefas, procuramos elaborar uma sequência didática

que aliasse a investigação matemática com alguns recursos, como figuras impressas para a

manipulação, dobraduras, geoplano, transferidor e régua. Em nossa prática docente, já

adotávamos sequências investigativas e sempre buscávamos desenvolver nos alunos, uma

postura autônoma diante de atividades que exigem o envolvimento e a atenção na construção

dos conceitos.

Adotaremos o conceito de investigação de acordo com Ponte, Brocardo e Oliveira (2005, p. 9-

13), para os quais investigar

[…] é procurar conhecer o que não se sabe. […] Mas isso não significa,

necessariamente, lidar com problemas muito sofisticados na fronteira do

conhecimento. […] Significa, tão-só, que formulamos questões que nos

interessam para as quais não temos resposta pronta, e procuramos essa

resposta de modo tanto quanto possível fundamentado e rigoroso.

9

O primeiro grande passo para iniciar uma investigação é ter clareza do problema que se deseja

resolver. E nessa pesquisa, a busca passa pela compreensão e consolidação de alguns conceitos

da Geometria, como polígonos regulares, ângulos, ângulos dos polígonos regulares e

pavimentação, que servem de suporte para o entendimento do Ângulo Poliédrico.

O estudo da Geometria pode proporcionar a exploração de situações de investigação,

principalmente pela natureza dos conceitos e, por ser uma ciência a ser desenvolvida desde os

primeiros anos do Ensino Fundamental, sua exploração vai muito além da simples

memorização e da utilização de técnicas. Para Ponte, Brocardo e Oliveira (2005, p.71),

As investigações geométricas contribuem para perceber aspectos essenciais

da atividade matemática, tais como a formulação e teste de conjecturas e a

procura e demonstração de generalizações. A exploração de diferentes tipos

de investigação geométrica pode também contribuir para concretizar a

relação entre situações da realidade e situações matemáticas, desenvolver

capacidades, tais como a visualização espacial e o uso de diferentes formas

de representação, evidenciar conexões matemáticas e ilustrar aspectos

interessantes da história e da evolução da Matemática.

Não pensamos que o uso do material didático seja apenas um elemento motivador em sala de

aula, pois apenas um material nas mãos não é suficiente para o aluno aprender. Por isso,

buscamos relacionar, didaticamente, o uso do material, como uma maneira primária de

representar um conceito, à investigação de relações, mediadas pelo professor, na busca pela

abstração.

Para Lorenzato (2006), na escola, a experimentação é um processo que permite ao aluno se

envolver com o assunto em estudo, participar das descobertas e socializar-se com os colegas.

Inicialmente, a experimentação pode ser concebida como ação sobre objetos (manipulação),

com valorização da observação, comparação, montagem, decomposição (separação),

distribuição. Mas a importância da experimentação reside no poder que ela tem de conseguir

provocar raciocínio, reflexão, construção de conhecimento, o que lembra Guimarães Rosa:

“mesmo quando nada acontece, há um milagre que não estamos vendo”.

Mas quais são os efeitos de se utilizar materiais didáticos nas aulas? Estamos de acordo com

Lorenzato (2006) quando este discorre que se for verdadeiro que “ninguém ama o que não

conhece”, então fica explicado que tantos alunos não gostam da matemática, pois, se a eles não

foi dado conhecer a Matemática, como podem vir a admirá-la? No entanto, com o auxílio de

materiais didáticos, o professor pode, se empregá-lo corretamente, conseguir uma

aprendizagem com compreensão, que tenha significado para o aluno, diminuindo, assim, o

risco de serem criadas ou reforçadas falsas crenças referentes à Matemática, como a de ser ela

uma disciplina “só para poucos privilegiados”, “pronta”, “muito difícil”, entre outras. Outra

consequência possível se refere ao ambiente predominante durante as aulas de Matemática,

onde o temor, a ansiedade ou a indiferença serão substituídos pela satisfação, pela alegria ou

pelo prazer. Mas, talvez, o mais importante efeito será o aumento da autoconfiança e a melhoria

da autoimagem do aluno.

10

Assim, sequência didática apresentada a seguir foi elaborada a partir da teoria da Investigação

Matemática, mais especificamente das Investigações Geométricas, do percurso apresentado ao

Ensino de Geometria e sua importância (principalmente pelo aspecto experimental) e, pela

prática e busca das autoras em promover atividades eficientes e eficazes, baseadas na

experimentação, no trabalho em duplas, na reflexão sobre a experiência e no registro dos

resultados encontrados.

A sequência de tarefas

As tarefas podem ser realizadas em duplas. Antes de iniciar o trabalho com a sequência

investigativa, sugerimos que os alunos sejam orientados a montar um kit com todo o material

necessário para o desenvolvimento das tarefas. Uma sugestão é que providenciem uma caixa

(tipo de sapatos) e, nessa caixa, coloquem: régua, lápis de escrever, lápis de cor, tesoura, fita

adesiva, transferidor e uma esfera de isopor. Além disso, o professor deverá disponibilizar

polígonos (30 triângulos, 10 pentágonos, 15 hexágonos, 5 heptágonos e 5 octógonos) em papel

sulfite, que deverão ser recortados, planificações dos sólidos geométricos (cubo, prisma

triangular, prisma pentagonal, prisma hexagonal, pirâmide triangular, pirâmide quadrangular,

pirâmide pentagonal, pirâmide hexagonal, cone e cilindro) que deverão ser montados e

guardados no kit. Será necessário, também, um geoplano em madeira (ver abaixo) e cinco

gominhas (tipo de amarrar dinheiro) para cada dupla.

Veja no quadro a seguir a distribuição das tarefas com os objetivos relacionados a cada uma e

os recursos necessários.

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Organização das tarefas

Tarefas /

Conteúdos abordados Objetivos Recursos

1

Classificando

figuras planas e

espaciais.

- Classificar figuras em

planas e espaciais a partir

de suas características.

- Compreender o

significado de

bidimensionalidade e

tridimensionalidade.

Polígonos e não

polígonos

impressos em

papel sulfite.

2

Investigando

polígonos e suas

características.

- Classificar um polígono a

partir do seu número de

lados.

- Identificar semelhanças e

diferenças entre polígonos,

usando critérios, como

número de lados, número

de ângulos, eixos de

simetria etc.

Polígonos

impressos em

papel sulfite e

régua.

3

Investigando os

ângulos de um

polígono.

- Compreender a ideia de

ângulo, suas características

e nomenclaturas.

- Reconhecer ângulos em

figuras planas.

Geoplano de

madeira.

4

Investigando a

soma dos ângulos

internos de um

triângulo qualquer.

- Compreender, de maneira

prática, que a soma dos

ângulos internos de um

triângulo é 180º.

Papel sulfite,

tesoura e lápis de

cor.

5

Investigando a

soma dos ângulos

internos de um

quadrilátero

qualquer.

- Compreender que

qualquer polígono pode ser

composto a partir de

figuras triangulares.

- Determinar a soma dos

ângulos internos de um

polígono convexo

qualquer.

Papel sulfite e

lápis de cor.

12

Tarefas /

Conteúdos abordados Objetivos Recursos

6

Construindo

polígonos regulares

por dobraduras.

- Compreender o que são

polígonos regulares.

- Construir polígonos

regulares através de

dobraduras.

Polígonos

impressos em

papel sulfite,

transferidor,

régua e papel

colorido.

7

Investigando

diferentes

pavimentações de


no plano.

- Compreender a

pavimentação de polígonos

regulares no plano.

Polígonos

regulares

impressos em

papel sulfite.

8

Classificando

sólidos

geométricos em

Poliedros ou

Corpos Redondos.

- Identificar um poliedro

qualquer.

- Compreender diferentes

planificações de alguns

poliedros.

Sólidos

geométricos

construídos com

papel 60kg.

9

Investigando a

relação entre

pavimentação e

ângulo poliédrico.

- Estabelecer uma relação

entre pavimentação de


diferentes.

- Compreender o que é um

ângulo poliédrico.

Polígonos

regulares

impressos em

papel sulfite e fita

adesiva.

10 Construindo

poliedros regulares.

- Compreender a relação

entre o ângulo poliédrico e

os Poliedros de Platão.

Polígonos

regulares

impressos em

papel sulfite e fita

adesiva.

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ORIENTAÇÕES AO PROFESSOR

Nossa proposta é trabalharmos focados na investigação matemática e nos recursos didáticos

possíveis para o contexto de aplicação, com o objetivo de trabalhar, também, de maneira

experimental.

As tarefas foram elaboradas com o objetivo de propiciar aos alunos experiências que

promovessem a ressignificação ou a construção de conceitos importantes da Geometria plana

para a compreensão do ângulo poliédrico, presente nos Poliedros Platônicos da Geometria

espacial.

Buscamos trabalhar utilizando diferentes materiais didáticos, buscando sempre a atividade

experimental aliada à reflexão e ao entendimento dos conceitos envolvidos.

Como acreditamos na importância do registro das conclusões ou simplesmente das percepções

de regularidades, nos anexos deste caderno, você encontrará modelos de folhas de registros

como sugestão a ser aplicada após cada tarefa ser realizada. Ressaltamos que essas folhas

podem ser adaptadas de acordo com a demanda do seu trabalho.

A sequência didática apresentada foi pensada no seguinte formato: iniciamos com a exploração

das figuras espaciais e planas, utilizando polígonos regulares impressos em papel, planificação

e montagem de sólidos geométricos. Em seguida, classificamos os polígonos e estabelecemos

as relações entre seus ângulos, utilizando os polígonos impressos, transferidor e régua.

Utilizamos, ainda, o Geoplano como material de suporte para o entendimento dos ângulos de

um polígono e das suas classificações (reto, agudo ou obtuso). Após, realizamos as atividades

práticas de demonstração da soma dos ângulos internos de qualquer triângulo e, também, dos

quadriláteros, utilizando papel, tesoura e lápis de cor. Fizemos a construção de alguns

polígonos regulares através de dobraduras em papel sulfite. Em seguida, investigamos a

decomposição dos polígonos regulares em triângulos, buscando a compreensão da soma dos

ângulos internos dos polígonos. Experimentamos as pavimentações, utilizando diversos

polígonos, para estabelecer as relações entre os polígonos regulares, a pavimentação e o ângulo

poliédrico: tudo isso pensado para que a compreensão do ângulo poliédrico fosse, de fato,

significativa e, que desse ao aluno a possibilidade de consolidar e conseguir justificar o porquê

de só existirem cinco poliedros regulares.

É interessante que, ao final de cada atividade, os alunos possam socializar os resultados, com o

objetivo de perceber as explorações e as descobertas feitas pelos colegas. Esse momento é

extremamente importante, pois permite que os alunos comuniquem suas ideias e, que você,

professor, faça a mediação da aprendizagem.

14

TAREFA 1:

CLASSIFICANDO FIGURAS PLANAS E ESPACIAIS

Objetivos:

- Classificar figuras em planas e espaciais a partir de suas características.

- Compreender o significado de bidimensionalidade e tridimensionalidade.

Material utilizado: sólidos geométricos (pirâmide triangular, cubo, prisma pentagonal,

pirâmide hexagonal, prisma heptagonal e pirâmide octogonal) e algumas figuras planas.

(triângulo equilátero, quadrado, pentágono, hexágono, heptágono e octógono).

Duração: 50 minutos (1 hora aula).

Sugerimos que esta tarefa seja realizada em trio.

Solicite aos alunos que dividam as figuras planas e os sólidos recebidos em dois grandes

grupos.

Em seguida, questione:

- Qual/is foi/foram o/os critério/s utilizado/s para separar os grupos?

Peça aos alunos para fazer o registro dos grupos separados (ANEXO 1). As

representações podem ser feitas com desenhos ou com a própria nomenclatura.

Continue questionando:

- Existem características comuns a todos os elementos do grupo 1? Justifique.

- Existem características comuns a todos os elementos do grupo 2? Justifique.

Agora, cada aluno deverá retirar um elemento do grupo 1 e um elemento do grupo 2 que

tenham alguma característica em comum e alguma diferença.

Em seguida, o aluno deve apresentar para todo o grupo a sua escolha e fazer a exposição

das características.

Mais uma vez cada componente do trio retira outros dois elementos, um do grupo 1 e

outro do grupo 2 que tenha alguma característica em comum e alguma diferença.

Novamente, apresenta para todo o grupo.

15

Após as exposições, solicite o preenchimento da ficha:

O professor deve questionar o que significa dizer que algo é bidimensional ou tridimensional.

Bidimensional: que tem duas dimensões.

Tridimensional: que tem três dimensões.

Em seguida, questione: Em algum momento da tarefa vocês relacionaram uma figura

bidimensional com uma tridimensional? Como?

Não precisa desmontar. Essa é só para

pensar: Como ficariam as figuras

tridimensionais se fossem desmontadas?

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TAREFA 2:

INVESTIGANDO POLÍGONOS E SUAS

CARACTERÍSTICAS.

Objetivos:

- Classificar um polígono a partir do seu número de lados.

- Identificar semelhanças e diferenças entre polígonos, usando critérios, como número de lados,

número de ângulos, eixos de simetria, etc.

Material utilizado: Polígonos impressos em papel sulfite e régua.

Duração: 50 minutos (1 hora aula)

O professor deverá solicitar aos alunos que separem todas as figuras bidimensionais

usadas na Tarefa 1.

Em seguida, questionar:

- Além da bidimensionalidade, vocês percebem mais alguma característica comum a todas

elas?

Espera-se que após discussões e intervenções do professor, os alunos cheguem à seguinte

conclusão:

Essas figuras são representações de Polígonos ou Regiões Poligonais.

É importante reconhecer nos polígonos, os seus lados, seus vértices, ângulos internos e

externos.

Vamos caminhar por partes!

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Instigue os alunos a perceber que:

Os lados são os segmentos de reta que compõem o polígono.

O encontro de dois lados consecutivos deste polígono é o vértice.

Os lados de um ângulo interno, também são lados do polígono.

O vértice de um ângulo interno, também é vértice do polígono.

Em geral, quando falamos em ângulo do polígono, estamos nos referindo a um de seus

ângulos internos.

A palavra polígono vem do grego. “POLI” quer dizer muitos e “GONO” quer dizer ângulo.

Cada polígono recebe um nome especial, que corresponde ao seu número de lados.

Veja:

Polígono de 3 lados: triângulo ou trilátero

Polígono de 4 lados: quadrângulo ou quadrilátero

Polígono de 5 lados: pentágono

Polígono de 6 lados: hexágono

Polígono de 7 lados: heptágono

Polígono de 8 lados: octógono

Polígono de 9 lados: eneágono

Etc.

Voltando aos nossos polígonos, têm algo comum a todos eles?

Agora, oriente os alunos que utilize uma régua e meça, em centímetros, as medidas dos

lados de cada polígono.

Registro: O que é possível concluir?

18

TAREFA 3:

INVESTIGANDO OS ÂNGULOS DE UM POLÍGONO

Objetivos:

- Compreender a ideia de ângulo, suas características e nomenclaturas.

- Reconhecer ângulos em figuras planas.

Material utilizado: Geoplano de madeira.


Reflita com os alunos que a palavra “ângulos” apareceu muitas vezes nas tarefas

anteriores.

Em seguida, solicite aos alunos que façam o registro do que entendem por ângulo.

Em geral, definimos como ângulo a figura formada por duas semirretas de mesma origem. As

semirretas são seus lados e o ponto de origem das suas semirretas é seu vértice.

O instrumento mais comum, utilizado para medir ângulos é o transferidor.

Porém, se não for necessário saber exatamente a medida de um ângulo, podemos usar a

aproximação, tomando como referência o ângulo reto.

Como esse não é o primeiro contato dos alunos com os conceitos de ângulos, solicite

que respondam:

Lemos ângulo ou ângulo .

19

- Quantos graus tem um ângulo reto?

- Como podemos identificar um ângulo agudo?

- E um ângulo obtuso?

- Quanto mede um ângulo raso?

Agora, utilize um geoplano e gominhas/elásticos e represente:

Dois ângulos retos

Dois ângulos agudos

Dois ângulos obtusos

Nos anexos deste caderno, constam as imagens dos geoplanos a seguir:

20

Peça aos alunos que observem os ângulos representados em cada um deles e responda:

- Em quais geoplanos estão representados ângulos retos?

- E ângulos agudos?

- Algum geoplano apresenta um ângulo obtuso?

É importante que façam o registro de como pensaram para concluir se os ângulos eram

retos, agudos ou obtusos.

Voltando aos nossos Polígonos...

Solicite aos alunos que retirem os polígonos do Kit.

- Como podemos relacionar o número de lados e o número de ângulos de um polígono?

Peça aos alunos que registrem.

21

TAREFA 4:

INVESTIGANDO A SOMA DOS ÂNGULOS

INTERNOS DE UM TRIÂNGULO QUALQUER

Objetivos: Compreender de maneira prática que a soma dos ângulos internos de um triângulo é

180º.

Material utilizado: Caderno de atividades, papel sulfite, tesoura e lápis de cor.


Uma das figuras mais importantes a estudar na Geometria é o triângulo. Sua importância se

deve ao fato de ser base para a construção de outras figuras e pela riqueza das propriedades

matemáticas possíveis de explorar nesta simples região interna à três segmentos de reta

distintos.

Quantos ângulos o triângulo ABC possui?

Quais são eles?

Solicite que cada aluno desenhe, usando um lápis e uma régua, um triângulo. Sugestão:

um aluno desenha um triângulo médio, o outro desenha um triângulo pequeno e o outro,

um triângulo grande. Faça as marcas dos ângulos.

No caso, AB, BC e CA são os segmentos,

lados do triângulo ABC.

A, B e C são os vértices do triângulo.

22

Agora, cada aluno deverá dividir este triângulo em três partes, de modo que cada

vértice do triângulo esteja em uma delas.

Solicite ao aluno que recorte o triângulo nessas três partes e encaixe-as de modo que os

três vértices coincidam.

Questione:

- A união destes três ângulos gerou um ângulo muito conhecido. Que ângulo é esse?

- Quantos graus ele mede?

- O que essa medida representa no triângulo?

Acabamos de concluir uma importante propriedade da Geometria. Ela será bastante útil para

nossas próximas descobertas!

23

TAREFA 5:

INVESTIGANDO A SOMA DOS ÂNGULOS

INTERNOS DE UM QUADRILÁTERO

QUALQUER

Objetivos:

- Compreender que qualquer polígono pode ser composto a partir de figuras triangulares.

- Determinar a soma dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer.

Material utilizado: Caderno de atividades, papel sulfite, tesoura e lápis de cor.


Na Tarefa 4, investigamos e descobrimos a propriedade da soma dos ângulos internos dos

triângulos.

- Existe uma propriedade para a soma dos ângulos internos dos quadriláteros? Vamos

investigar?

Sejam A, B, C e D quatro pontos de um mesmo plano, todos distintos e três não colineares. Se

os segmentos AB, BC, CD e DA interceptaram-se apenas nas extremidades, a reunião desses

quatro segmentos é um quadrilátero.

Semelhante ao que fizemos na Tarefa 4, cada componente do grupo deverá desenhar um

quadrilátero qualquer em tamanho diferente e marcar os quatro ângulos usando cores

diferentes.

24

Em seguida, divida o quadrilátero em quatro partes de modo que cada vértice esteja em

uma delas.

Recorte as quatro partes e encaixe-as de modo que os quatro vértices coincidam.

A união destes quatro ângulos gerou um ângulo conhecido. Quantos graus ele mede?

Podemos concluir então que:

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é ______________.

É possível também pensar de outra maneira. Observe os quadriláteros.

Podemos dividi-los da seguinte maneira:

25

- O que você observa?

- É possível fazer esta divisão em todo quadrilátero?

- Então, todo quadrilátero pode ser decomposto em dois triângulos?

- Se a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, o que podemos concluir da soma dos

ângulos internos dos quadriláteros a partir da decomposição em dois triângulos?

É possível pensar na decomposição de outros polígonos em triângulos. Esta decomposição deve

ser feita com os vértices dos triângulos nos vértices dos polígonos.

Os polígonos a seguir constam no anexo desta tarefa.

Solicite aos alunos que considerem um único vértice de cada polígono como ponto de

partida e faça a divisão de cada polígono em triângulos, partindo sempre do mesmo

vértice.

Agora, complete a tabela:

Comparando o número de lados do polígono com o número de triângulos em que foi

decomposto, escreva uma relação válida para todos os casos.

Se tomarmos um polígono de 100 lados e o dividirmos, partindo sempre do mesmo vértice, em

triângulos, quantos obteríamos?

Assim como a soma dos ângulos internos dos quadriláteros pode ser entendida como a soma

dos ângulos internos de dois triângulos, ou seja:

26

Soma dos ângulos internos dos quadriláteros = 180º + 180º

Soma dos ângulos internos dos quadriláteros = 360º

Pode-se também concluir a soma dos ângulos internos dos outros polígonos com a

decomposição em triângulos. Complete na tabela:

- Qual é a soma dos ângulos internos do polígono de 100 lados?

27

TAREFA 6:

CONSTRUINDO POLÍGONOS REGULARES

POR DOBRADURAS

Objetivos:

- Compreender o que são polígonos regulares.

- Construir polígonos regulares através de dobraduras.

Material utilizado: Polígonos impressos em papel sulfite, transferidor, régua e papel colorido.


Nesta tarefa vamos precisar novamente dos polígonos recortados.

Na Tarefa 2, medimos e concluímos que estes polígonos têm as medidas de todos os lados

congruentes (iguais).

Solicite aos alunos que use o transferidor, meça cada ângulo interno dos polígonos e

registre o valor. No heptágono, deve-se aproximar a medida para a casa das unidades.

Questione os alunos:

- O que você pôde observar sobre os ângulos destes polígonos?

Um polígono é dito regular quando possui todos os lados de mesma medida e todos os ângulos

iguais.

- Estes polígonos podem ser considerados regulares?

- Sabendo a soma dos ângulos internos dos polígonos e, que estes polígonos são regulares,

como poderíamos determinar cada ângulo interno sem usar o transferidor?

28

- Que tal construir alguns polígonos regulares usando dobraduras?

Precisaremos de papel A4.

1ª CONSTRUÇÃO

1) Dobre ao meio uma folha, obtendo uma

dobra perpendicular à base AB.

2) Dobre novamente, fazendo o ponto

coincidir com a 1ª linha de dobra. Marque

o ponto C.

3) Corte o triângulo de vértices A, B e C.

É um triângulo equilátero.

4) Dobre as pontas do triângulo

equilátero, fazendo-as coincidir com o

centro do triângulo.

Você obtém um hexágono regular!

2ª CONSTRUÇÃO

1) Recorte um quadrado.

2) Dobre-o ao meio e mais uma vez ao

meio.

3) Faça uma dobra na diagonal.

4) Desdobre e dobre de acordo com o

esquema.

5) Corte a aba da figura resultante. Você

obtém um octógono regular!

29

3ª CONSTRUÇÃO

1) Pegue uma ficha de papel de 1cm a 2cm de largura.

2) Dê um “nó”, de acordo com o esquema acima.

3) Você obtém um pentágono regular!

Agora, meça com uma régua os lados e com um transferidor os ângulos e registre na tabela a

seguir as medidas:

30

TAREFA 7:

INVESTIGANDO DIFERENTES PAVIMENTAÇÕES

DE POLÍGONOS REGULARES NO PLANO

Objetivo:

- Compreender a pavimentação de polígonos regulares no plano.

Material utilizado: Polígonos regulares impressos em papel sulfite.


Nosso objetivo é usar os polígonos regulares, já recortados do Kit, para entender alguns tipos

de pavimentações no plano, ou melhor, entender formas de ocupação do plano por polígonos,

sejam eles todos iguais ou não.

Vamos começar experimentando!

Escolha um tipo de polígono regular;

Estabeleça um ponto de referência e ao redor deste ponto, vá encostando os polígonos

lado a lado;

Foi possível o “encaixe” das figuras sem justaposição?

Solicite aos alunos que experimentem para todos os polígonos e preencham a tabela.

Agora, vamos pavimentar com polígonos regulares de tipos diferentes.

Peça aos alunos que façam primeiro com dois tipos de polígonos. Em seguida, com três

tipos e registre as descobertas na tabela:

31

Instigue os alunos a perceber que todos os polígonos têm a mesma medida do lado.

Questione:

- Se as medidas dos lados já são iguais, “o quê” está influenciando na pavimentação ou na não-

pavimentação?

Relembre os conceitos que trabalhamos nas Tarefas 5 e 6, descubra o padrão existente nas

pavimentações e faça o registro das conclusões.

32

TAREFA 8:

CLASSIFICANDO SÓLIDOS GEOMÉTRICOS EM POLIEDROS

OU CORPOS REDONDOS

Objetivos:

- Identificar um poliedro qualquer.

- Compreender diferentes planificações de alguns poliedros.

Material utilizado: Sólidos geométricos construídos com papel 60kg.


Para realizar esta tarefa, serão necessários alguns sólidos geométricos do kit.

Solicite aos alunos que coloque todos os sólidos sobre uma mesa, deixando-os

movimentarem-se livremente sobre ela.

Agora, observando cada um deles separadamente, responda:

- Se você inclinar o tampo da mesa, ele rola em alguma posição? Ele rola em qualquer posição?

- Ele tem “pontas”? Quantas?

- Ele tem “dobras”? Quantas?

- Alguma parte da superfície deste sólido pode ficar totalmente apoiada sobre a superfície plana

da mesa?

- Qualquer parte da superfície do sólido pode ficar totalmente apoiada sobre a superfície plana

da mesa?

Separe os sólidos que rolam em alguma posição dos que não rolam em nenhuma posição.

Estes sólidos que rolam em alguma posição são classificados como CORPOS REDONDOS.

Os demais são conhecidos como POLIEDROS. Poliedro, assim como polígono é uma palavra

de origem grega, derivada de Polys, que significa várias e Hedrái que significa faces.

A partir das observações, como você definiria um poliedro? Instigue os alunos a responder que:

Um poliedro possui faces, que são polígonos, arestas, que são os lados dos polígonos e vértices,

que são os vértices dos polígonos.

33

TAREFA 9:

INVESTIGANDO A RELAÇÃO ENTRE

PAVIMENTAÇÃO E ÂNGULO POLIÉDRICO

Objetivos:

- Estabelecer uma relação entre pavimentação de polígonos regulares diferentes.

- Compreender o que é um ângulo poliédrico.

Material utilizado: Polígonos regulares impressos em papel sulfite e fita adesiva.


Para realizar esta tarefa, precisaremos novamente dos polígonos em papel e um rolo de fita

adesiva.

Nossa meta é a compreensão do fato (aparentemente pouco intuitivo) de que, enquanto

podemos construir uma infinidade de polígonos regulares, só é possível construir cinco tipos de

poliedros regulares.

Faremos análises de três casos para estabelecer as relações.

Professor, oriente os alunos a experimentar cada um dos três casos a seguir e registrar as

conclusões.

1º CASO:

Tente formar um “bico” com as seguintes peças:

- Dois pentágonos e um hexágono;

34

- Um heptágono, um quadrado e um pentágono;

- Dois hexágonos e um pentágono.

Registre o que vocês concluíram.

2º CASO:

Agora, tente formar um “bico” com as seguintes peças:

- Seis triângulos;

35

- Quatro quadrados;

- Três hexágonos.

Registre o que vocês concluíram.

3º CASO:

Novamente, tente formar um “bico” com as seguintes peças:

- Três heptágonos e três octógonos.

Registrem o que vocês concluíram.

36

Após registrarem cada caso, discuta com os alunos e solicite que respondam:

- Qual é a relação entre os ângulos internos dos polígonos que vocês utilizaram no 1º caso?

- E no 2º caso?

- E no 3º?

A partir das observações que vocês fizeram, responda:

- Em qual situação é possível formar um “bico”? Justifique.

- Em qual caso você formou um ângulo plano?

Quando não conseguimos formar “bico” temos duas situações: ou formamos um ângulo plano

ou não conseguimos o encaixe.

- Em qual caso você formou um ângulo poliédrico?

Quando você consegue um encaixe das três peças e forma um “bico”, esse é um ângulo

poliédrico.

37

TAREFA 10:

CONSTRUINDO POLIEDROS REGULARES

Objetivo: Compreender a relação entre o ângulo poliédrico e os Poliedros de Platão.

Material utilizado: Polígonos regulares impressos em papel sulfite e fita adesiva.


Solicite aos alunos que com os ângulos montados na Tarefa 9, construam poliedros.

Oriente-os a usar, primeiramente, somente triângulos. Em seguida os quadrados e por

último os pentágonos.

DICA: Com os triângulos vocês conseguirão construir três poliedros.

Agora, use fita adesiva para fixar os ângulos poliédricos e montar os Poliedros Platônicos.

39

Concluindo:

Na tentativa de construir poliedros regulares, verificamos, na prática, que não é possível fazê-lo nem

com hexágonos nem com polígonos que tenham mais que seis lados.

Enfim, só se pode construir cinco tipos de poliedros regulares:

Usando pentágonos, somente conseguimos construir o dodecaedro;

Usando quadrados, somente é possível construir o hexaedro;

Usando triângulos, é possível construir o tetraedro, o octaedro e o icosaedro.

Chegamos a essa conclusão valendo-nos de raciocínios simples e trabalhando apenas com construções

de papel. E pudemos compreender esse fato, conhecido desde a época de Platão, de que não existem

mais poliedros regulares do que os dedos de uma mão.

Bibliografia: MACHADO, N. J. Os poliedros de Platão e os dedos da mão – São Paulo: Scipione, 2000. –

(Coleção Vivendo a matemática).

40

ANEXOS

Folhas de registros dos alunos

Material para montagem do kit

TAREFA 1 ALUNOS: _______________________________________________________ DATA: ___/___/___

Quais foram os critérios utilizados para se separar os grupos de figuras?

Registrem, no espaço a seguir, os grupos de figuras que vocês separaram. Vocês

podem representar com desenhos ou com a própria nomenclatura.

GRUPO 1

GRUPO 2

41

Existem características comuns a todos os elementos do grupo 1? Justifiquem.

Existem características comuns a todos os elementos do grupo 2? Justifiquem.

Após as exposições, preencham a ficha:

Figura do grupo 1 Figura do grupo 2 Características comuns Diferenças

Em algum momento da tarefa vocês relacionaram uma figura bidimensional com uma

tridimensional? Como?

42


Além da bidimensionalidade, vocês percebem mais alguma característica comum a

todas as figuras?

00

Voltando aos nossos polígonos, têm algo comum a todos eles?

Utilizem uma régua e meça, em centímetros, as medidas dos lados de cada polígono.

O que é possível concluir?

43

TAREFA 3 ALUNOS: _______________________________________________________ DATA: ___/___/____

Discutam com o seus colegas e façam o registro do que vocês entendem por ângulo,

no espaço a seguir:

Quantos graus tem um ângulo reto? ________________________

Como podemos identificar um ângulo agudo?

E um ângulo obtuso?

Quanto mede um ângulo raso? ________________________

Atividade: Geoplano

44

Em quais geoplanos estão representados ângulos retos? ________________

E ângulos agudos? ______________________________________________

Algum geoplano apresenta um ângulo obtuso? ________________________

Registre como vocês pensaram para concluir se os ângulos eram retos, agudos ou

obtusos.

Voltando aos nossos Polígonos...

45

Como podemos relacionar o número de lados e o número de ângulos de um

polígono?

46


Investigando triângulos

A união dos três ângulos gerou um ângulo muito conhecido. Que ângulo é esse?

Quantos graus ele mede?

O que essa medida representa no triângulo?

Quantos ângulos o triângulo ABC possui?

Quais são eles?

47


Ângulos nos quadriláteros

A união dos quatro ângulos gerou um ângulo conhecido. Quantos graus ele mede?

Podemos concluir, então, que:

A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é ______________.

O que vocês observam nos quadriláteros acima?

É possível fazer esta divisão em todo quadrilátero?

Então, todo quadrilátero pode ser decomposto em dois triângulos?

Se a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, o que podemos

concluir da soma dos ângulos internos dos quadriláteros a partir da

decomposição em dois triângulos?

48

Considerem um único vértice de cada polígono como ponto de partida e façam

a divisão de cada polígono a seguir em triângulos.

Agora, completem a tabela:

Polígono Nº de triângulos em que

foi dividido

Quadriláteros 2

Pentágono

Hexágono

Heptágono

Octógono

Eneágono

Decágono

Comparando o número de lados do polígono com o número de triângulos em que foi

decomposto, escrevam uma relação válida para todos os casos.

Se tomarmos um polígono de 100 lados e o dividirmos, partindo sempre do

mesmo vértice, em triângulos, quantos obteríamos?

49

Pode-se também concluir a soma dos ângulos internos dos outros polígonos

com a decomposição em triângulos. Completem na tabela:

Polígono Soma dos ângulos

internos

Triângulos 180º

Quadriláteros 360º

Pentágonos

Hexágonos

Heptágonos

Octógonos

Eneágonos

Decágonos

Qual é a soma dos ângulos internos do polígono de 100 lados?

50


O que vocês puderam observar sobre os ângulos dos polígonos?

Estes polígonos podem ser considerados regulares?

Sabendo a soma dos ângulos internos dos polígonos e, que estes polígonos são

regulares, como vocês poderiam determinar cada ângulo interno sem usar o

transferidor?

Agora, meça com uma régua os lados e com um transferidor os ângulos e registrem

na tabela a seguir as medidas:

Polígono Medida dos lados Medida dos Ângulos

Triângulo equilátero

Hexágono regular

Octógono regular

Pentágono regular

51


Foi possível o “encaixe” das figuras sem justaposição?

Vocês deverão experimentar para todos os polígonos e preencher a tabela.

Polígonos Foi possível pavimentar? Sim

ou não?

Triângulos

Quadrados

Pentágonos

Hexágonos

Heptágonos

Octógonos

Registre as descobertas na tabela:

Polígonos usados Pavimentam? Sim ou não?

Se as medidas dos lados já são iguais, “o quê” está influenciando na

pavimentação ou na não-pavimentação?

52

Relembrem os conceitos que trabalhamos nas tarefas 5 e 6, descubra o padrão

existente nas pavimentações e façam o registro no espaço a seguir:

53


Observando cada um dos sólidos separadamente, responda:

Sólido 1: _________________________

Se inclinarmos o tampo da mesa, ele rola em alguma posição? Ele rola em

qualquer posição?

Ele tem “pontas”? Quantas?

Ele tem “dobras”? Quantas?

Alguma parte da superfície deste sólido pode ficar totalmente apoiada sobre a

superfície plana da mesa?

Qualquer parte da superfície do sólido pode ficar totalmente apoiada sobre a


Sólido 2: _________________________


qualquer posição?





54

Qualquer parte da superfície do sólido pode ficar totalmente apoiada

sobre a superfície plana da mesa?

Sólido 3: _________________________


qualquer posição?







Sólido 4: _________________________


qualquer posição?





55

Qualquer parte da superfície do sólido pode ficar totalmente apoiada

sobre a superfície plana da mesa?

Sólido 5: _________________________


qualquer posição?







A partir das observações, como vocês definiriam um poliedro?

56


1º CASO:

Registrem o que vocês concluíram:

2º CASO:


3º CASO:


Qual é a relação entre os ângulos internos dos polígonos que vocês utilizaram no 1º caso?

57

E no 2º caso?

E no 3º?

A partir das observações que vocês fizeram, responda: Em qual situação é possível formar

um “bico”? Justifique.

Em qual caso vocês formaram um ângulo plano?

Em qual caso vocês formaram um ângulo poliédrico?

58

Atividade: Montagem do “Kit”

1) Recortar as figuras planas.

2) Recortar e montar os sólidos geométricos. (Dica: encha-os de

algodão ou papel para dar firmeza).

3) Colocar o material em uma caixinha (de sapatos, por

exemplo).

4) Providenciar e também guardar na caixinha: uma régua, um

transferidor, quatro lápis de cores diferentes, uma tesoura e um

rolinho de durex.

ATENÇÂO: A utilização do “Kit” será imprescindível em todas

as aulas.

64

REFERÊNCIAS

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FIORENTINI, Dario. & MIORIM, Maria Ângela.Uma reflexão sobre o uso de materiais

concretos e jogos no Ensino da Matemática. Boletim da SBEM-SP, São Paulo: SBM/SP, ano

4, n.7, 1990.

GAZIRE, Eliane Scheid. O não resgate da Geometria. 2000. 224f. Tese (Doutorado em

Educação Matemática). Campinas, SP, 2000.

IMENES L.M. A Geometria no Primeiro Grau: Experimental ou Dedutiva? Revista de Ensino

de Ciências n. 19. FUNBEC: São Paulo, 1987.

LORENZATO, Sérgio. Laboratório de ensino de Matemática e materiais didáticos

manipuláveis. In: LORENZATO, Sérgio. (Org.) Laboratório de Ensino de Matemática na

formação de professores. Autores Associados, Campinas- SP, 2006. p.3-38.

MACHADO, N. J. Os poliedros de Platão e os dedos da mão. São Paulo: Scipione, 2000.

(Coleção Vivendo a Matemática).

MACHADO, Rosa Maria. Explorando o Geoplano. In: BIENAL DA SOCIEDADE

BRASILEIRA DE MATEMÁTICA, 2. Minicurso… Salvador – BA: UFBA, 2012. Disponível

em: <http://www.bienasbm.ufba.br/M11.pdf..> Acesso em: 24 mar. 2017.

NACARATO, Adair M.; PASSOS, Carmem L. B. A Geometria nas Séries Iniciais. Uma

análise sob a perspectiva da prática pedagógica e da formação de professores. São Carlos, SP:

Edufscar, 2003.

PAIS, Luís Carlos. Intuição, Experiência e Teoria Geométrica. In: Zetetiké. v. 4, n. 6,

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PASSOS, Carmem Lúcia. Brancaglion. Representações, interpretações e prática

pedagógica: a Geometria na sala de aula. 2000. 186f. Tese (Doutorado em Educação).

Universidade Estadual de Campinas. 2000.

PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações Matemáticas

na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.

VAN de WALLE, John A. O pensamento e os conceitos geométricos. In: VAN de WALLE,

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aula. São Paulo: Papirus, 2009. p.438-484.

mariani geovana evangelista eliane scheid gazire - … · relações entre os polígonos regulares,...

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