maria da graça nunes da silva rendeiro...

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Maria da Graça Nunes da Silva Rendeiro Marques

Relatório de Actividades Fevereiro 1999/Outubro 2003

Departamento de Matemática Faculdade de Ciências e Tecnologia

Universidade do Algarve 2003

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Índice

1. Introdução ................................................................................................................... 3

2. Actividade Docente ..................................................................................................... 4

3. Actividade universitária não docente ....................................................................... 9

4. Actividades de extensão universitária..................................................................... 13

5. Actividades de Investigação..................................................................................... 15

5.1 Investigação fundamental...................................................................................... 15

5.2 Participação em encontros científicos. .................................................................. 16

5.3 Orientações............................................................................................................ 17

5.4 Participação em Júris de Provas Académicas........................................................ 17

5.5 Seminários proferidos. .......................................................................................... 18

6. Anexos........................................................................................................................ 19

6.1 Anexo 1 - Programas de algumas das disciplinas leccionadas.............................. 19

6.2 Anexo 2 - Citações em ISI Web of Science .......................................................... 26

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1. Introdução

Este relatório refere-se à actividade desenvolvida desde Fevereiro de 1999, data da

contratação como Professora Associada da Universidade do Algarve, até ao presente e é

elaborado no âmbito do n.º 1 do art.º 20º do Estatuto da Carreira Docente Universitária.

As actividades descritas decorreram na Unidade de Ciências Exactas e Humanas

(UCEH) da Universidade do Algarve até Outubro de 2000 e, posteriormente, na

Faculdade de Ciências e Tecnologia (FCT) da mesma Universidade, atendendo à

reestruturação efectuada na Universidade. Procurou-se no relatório que a descrição do

trabalho efectuado se cingisse ao período em causa, mas, no caso de cargos

administrativos iniciados antes de Fevereiro de 1999, é indicado o início das funções.

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2. Actividade Docente

Ano Lectivo 1998/99:

2º semestre

− Álgebra Linear e Geometria Analítica II - Licenciatura em Matemática (Aulas

teóricas) .

− Álgebra II - Licenciatura em Matemática (Aulas teóricas).

Todo o ano lectivo − Orientação dos seguintes núcleos de estágio pedagógico do 5º ano da Licenciatura em

Matemática, Ramo Educacional:

� Escola Secundária Dra. Laura Ayres, em Quarteira (dois estagiários)

� Escola Secundária de Loulé (três estagiários)

� Escola Secundária Júlio Dantas em Lagos (três estagiários)


1º semestre

− Álgebra Linear e Geometria Analítica I - Licenciatura em Matemática (Aulas

teóricas).

− Álgebra I - Licenciatura em Matemática (Aulas teóricas) .

− Álgebra Linear e Geometria Analítica – Licenciatura em Engenharia Agronómica

(Aulas teóricas)

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2º semestre


teóricas) .

− Álgebra II - Licenciatura em Matemática (Aulas teóricas) .

− Geometria Analítica – 4º ano Licenciatura em Matemática, ramo educacional (Aulas

teóricas e Teórico-práticas).

− Complementos de Álgebra – 4º ano Licenciatura em Matemática, ramo científico.


Matemática, Ramo Educacional:

� Escola Secundária Dra. Laura Ayres, em Quarteira (dois estagiários)

� Escola Secundária de Albufeira (três estagiários)


1º semestre


teóricas).

− Álgebra I - Licenciatura em Matemática (Aulas teóricas) .

− Álgebra Linear e Geometria Analítica – Licenciatura em Engenharia Agronómica

(Aulas teóricas).

2º semestre


teóricas) .


− Geometria Analítica – 4º ano Licenciatura em Matemática, ramo educacional (Aulas

teóricas e Teórico-práticas).


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Matemática, Ramo Educacional :

� Escola Secundária Dra. Francisco Fernandes Lopes (dois estagiários)

� Escola Secundária Dra. Laura Ayres, em Quarteira (três estagiários).


1º semestre


teóricas).

− Álgebra I - Licenciatura em Matemática (Aulas teóricas).

2º semestre


teóricas).



Todo o ano lectivo:

− Orientação dos seguintes núcleos de estágio pedagógico do 5º ano da Licenciatura em

Matemática, Ramo Educacional :

� Escola Secundária Dra. Francisco Fernandes Lopes (dois estagiários)

� Escola Secundária Dra. Francisco Fernandes Lopes (três estagiários)

� Escola Secundária de Loulé (dois estagiários)


1º semestre


teóricas).

− Álgebra I - Licenciatura em Matemática (Aulas teóricas e aulas teórico-práticas).

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− Estruturas Ordenadas – 4º ano Licenciatura em Matemática, ramo científico e

Mestrado em Matemática.

Todo o ano lectivo:

− Orientação dos estágios científicos do 4º ano da Licenciatura em Matemática, ramo

científico dos estudantes

� Rui Ladeiro

� Ludovic Mestre.

− Em todas as disciplinas leccionadas elaborou as listas de exercícios para as aulas

teórico-práticas e trabalhou regularmente com os docentes destas aulas (nos casos

em que as não leccionou) de modo a garantir a concretização dos objectivos

propostos. Muitos dos exercícios incluídos são originais e as listas foram elaboradas

tendo em vista os seguintes objectivos principais a serem atingidos pelos estudantes,

especialmente pelos do Curso de Licenciatura em Matemática:

� consolidação dos conteúdos teóricos;

� aquisição de capacidade de abstracção;

� domínio de técnicas de demonstração matemática;

� estruturação do raciocínio;

� agilidade na manipulação de conceitos com vista às aplicações.

Para cada disciplina as listas de exercícios foram revistas anualmente de acordo com:

� ajustamentos dos programas, derivados principalmente das alterações progra-

máticas nas disciplinas de matemática do ensino secundário;

� sugestões provindas da reacção dos estudantes nas aulas teórico-práticas;

� sugestões dos outros docentes da disciplina por sentirem a necessidade de

trabalhar mais algum ponto;

� introdução de novos exercícios, dos quais alguns extraídos de exames já

apresentados.

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− Os programas das disciplinas foram também revistos anualmente e procurou-se

melhorar a prestação pedagógica na leccionação de cada uma. Para isso, além de

actualização bibliográfica, procurou-se estabelecer diálogo com docentes de

disciplinas análogas noutras universidades do país (Universidade de Lisboa,

Universidade Nova de Lisboa, Instituto Superior de Agronomia, Instituto Superior

Técnico, Universidade de Coimbra, etc.) para troca de experiências sobre formas de

ensinar alguns assuntos e de conseguir métodos mais eficazes de avaliação.

− A orientação de estágios pedagógicos compreende:

� assistência regular a aulas leccionadas pelos estagiários, com uma frequência

mínima de três aulas por estagiário, em cada um dos períodos lectivos.

� atendimento aos estagiários para apoio científico e pedagógico, no dia em que

estes se deslocam à universidade;

� orientação de um trabalho de carácter científico a ser realizado por cada

estagiário ao longo do ano, sendo um resumo desse trabalho apresentado em

público na Universidade no final do estágio.

A tabela seguinte apresenta um resumo do número de horas de serviço docente nos anos

lectivos correspondentes ao período do relatório:

Ano lectivo 1º semestre 2º semestre Total do ano

1998/1999 10h30 9h 19h30

1999/2000 9h 13h 22h

2000/2001 9h 13h 22h

2001/2002 8h30 11h30 20h

2003/2004 12h30 6h30 19h

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3. Actividade universitária não docente

− Secretária do Conselho Científico da Unidade de Ciências Exactas e Humanas da

Universidade do Algarve - de Setembro de 1997 até Outubro de 2000.

− Secretária do Conselho Científico da Faculdade de Ciências e Tecnologia, de

Outubro de 2000 a Outubro de 2001.

No período a que se refere este relatório secretariou cerca de 90 reuniões do

Conselho Científico e da sua Comissão Coordenadora tendo elaborado as

respectivas actas (no total secretariou cerca de 130 reuniões).

− Primeiro mandato como Presidente da Comissão Directiva da Área Departamental de

Matemática, sendo Vice-Presidente a Prof.ª Doutora Marília Pires - de Janeiro de

1998 a Janeiro de 2000.

− Segundo mandato como Presidente da Comissão Directiva da Área Departamental de

Matemática, sendo Vice-Presidente o Prof. Doutor Filipe Barros - de Janeiro de 2000

a Fevereiro de 2002 .

Estes dois mandatos decorreram sem qualquer apoio de secretariado, por

insuficiência do número de funcionários administrativos existentes à data na

Faculdade.

− Presidente da Comissão Científica da Área Departamental de Matemática - de

Fevereiro a Novembro de 2002 .

− Membro eleito da Assembleia da Universidade do Algarve, como representante dos

docentes doutorados da UCEH - de Julho de 1998 a Janeiro de 2002, tendo estado

presente nas reuniões com vista à reestruturação da Universidade.

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− Membro eleito da Assembleia de Representantes da Faculdade de Ciências e

Tecnologia - desde Dezembro de 2001.

− Presidente da Assembleia de Representantes da Faculdade de Ciências e Tecnologia

- desde Janeiro de 2002, tendo presidido às reuniões de preparação dos Estatutos da

Faculdade de Ciências e Tecnologia, que finalizaram em Outubro de 2002.

− Membro por inerência do Senado da Universidade do Algarve - desde Janeiro de

2002.

− Membro por inerência da Assembleia da Universidade do Algarve - desde Janeiro de

2002.

− Representante da UCEH (por nomeação do Conselho Científico) na Comissão da

Biblioteca Central da Universidade do Algarve – de Abril a Dezembro de 2000.

− Representante da FCT (por nomeação do Conselho Científico) na Comissão da

Biblioteca Central da Universidade do Algarve - de Dezembro de 2000 a Outubro de

2003. Nestas funções participou em todas as reuniões de elaboração do Regulamento

de Funcionamento das Bibliotecas da Universidade do Algarve.

− Presidente da Comissão de Estágios Pedagógicos de Matemática da Unidade de

Ciências Exactas e Humanas e da Faculdade de Ciências e Tecnologia da

Universidade do Algarve:

� 1998/1999

� 1999/2000

� 2001/2002

� No ano lectivo 2000/2001, assumiu as funções de presidente desta comissão em

Dezembro de 2000, em substituição do presidente, entretanto eleito Presidente

do Conselho Directivo da Faculdade de Ciências e Tecnologia.

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− No âmbito do cargo de Presidente da Comissão de Estágios Pedagógicos de

Matemática organizou, no período a que este relatório se refere, as seguintes acções

de formação para os estagiários:

� “Introdução ao uso de Calculadoras Gráficas no Ensino da Geometria de acordo

com o Programa de Matemática do 10º Ano” – Novembro de 1999.

� “Calculadoras Gráficas no Ensino da Trigonometria, de acordo com o Programa

de Matemática do 11º Ano” – Novembro de 1999.

� “Modelação matemática num ambiente laboratorial usando calculadoras

gráficas” – Janeiro de 2000.

� “Introdução ao uso de Calculadoras Gráficas no Estudo de funções de acordo

com o Programa de Matemática do 10º Ano” – Fevereiro de 2000.

� “Introdução ao uso de Calculadoras Gráficas no Estudo de funções de acordo


� “Introdução ao uso de Calculadoras Gráficas na Estatística” – Março de 2000.

� “Introdução ao uso de Calculadoras Gráficas no Estudo de Sucessões” – Abril de

2000.

� “Introdução ao uso de Calculadoras Gráficas no Ensino da Geometria de acordo


− Ainda no âmbito do cargo de Presidente da Comissão de Estágios Pedagógicos de

Matemática e também como membro da Comissão Directiva da Área Departamental

de Matemática, promoveu a criação e apetrechamento de uma sala de didáctica da

matemática nas instalações da FCT, a ser utilizada pelos estagiários e pelos

estudantes do 4º ano do ramo educacional da licenciatura em matemática, com

vários materiais didácticos e técnicos. Esta sala encontra-se actualmente em pleno

funcionamento.

− Membro do júri de concurso documental para recrutamento de um assistente

estagiário para a Área Departamental de Matemática em Janeiro de 2001.

− Membro de várias comissões de avaliação de candidaturas a lugares de assistente e

professor auxiliar para a Área Departamental de Matemática.

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− Membro da organização da sessão solene de homenagem a Pedro Nunes no V

centenário do seu nascimento, que se realizou na Universidade do Algarve em

Outubro de 2002.

− Membro da organização das palestras de homenagem a Pedro Nunes realizadas pela

Área Departamental de Matemática em colaboração com a Sociedade Portuguesa de

Matemática, que se realizaram em várias escolas secundárias do Algarve em Outubro

de 2002 e também na elaboração do artigo sobre esse evento publicado no Boletim

da Sociedade Portuguesa de Matemática.

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4. Actividades de extensão universitária

− Membro da Comissão Organizadora do ProfMat99, XV Encontro Nacional de

Professores de Matemática, que se realizou em Portimão de 10 a 13 de Novembro de

1999 e no qual participaram cerca de 1800 professores de matemática de todos os

níveis de ensino.

− Participou, como convidada e na qualidade de docente da Universidade do Algarve

ligada ao ensino em cursos de formação de professores de matemática, no Painel

“Formação Inicial de Professores”, que se realizou durante o encontro ProfMat99,

Portimão, Novembro de 1999.

− Participou, como convidada, nas Eurojornadas de Matemática sobre “A Matemática e

o Desenvolvimento Intelectual do Aluno”, que se realizaram para encerramento do

projecto luso-espanhol Suma no dia 4 de Fevereiro de 2000 em Lisboa, tendo falado

sobre “O contributo da Matemática para o desenvolvimento das capacidades

intelectuais dos alunos”.

− Em Janeiro de 2000, foi convidada para inaugurar as comemorações do Ano Mundial

da Matemática na Escola Secundária Fernando Lopes Graça, na Parede, tendo

apresentado durante o dia três conferências para diferentes níveis de ensino sobre “A

investigação em matemática”.

− Publicação na revista “Gazeta de Matemática” (n.º 139, Julho de 2000) do enunciado

e resolução de um exame de Álgebra Linear e Geometria Analítica I, referente ao

exame de Fevereiro de 2000 do curso de Matemática da Universidade do Algarve.

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− Participação no simpósio “A Matemática e o Ensino, Problemas e Perspectivas em

Portugal, Reflexos na Ciência”, organizado pela Sociedade Portuguesa de

Matemática e que se realizou no Instituto Superior de Economia e Gestão, em Lisboa,

em Abril de 2000.

− Participou no Encontro Nacional da Sociedade Portuguesa de Matemática, que

decorreu na Universidade de Coimbra em Fevereiro de 2002, tendo assistido ao

Mini-Curso de Ensino da Matemática, dado pelo Prof. Miguel de Guzmán da

Universidade Complutense de Madrid.

− Participou na Conferência Internacional “Pedro Nunes e a Ciência do seu Tempo”,

organizada pela Sociedade Portuguesa de Matemática e que se realizou no

Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra em Novembro de 2002

− Março a Maio de 2003 – Participou no programa “Ciência à Solta”, de divulgação da

Faculdade de Ciência e Tecnologia da Universidade do Algarve nas Escolas Básicas

e Secundárias da Região, tendo proferido a palestra “Colorir Mapas” nas seguintes

escolas:

� Escola Básica 2,3 de Quarteira – 3 sessões.

� Escola Secundária Dra. Laura Ayres, em Quarteira – 2 sessões.

� Escola Básica Dr. Neves Júnior, em Faro – 2 sessões.

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5. Actividades de Investigação

5.1 Investigação fundamental

É membro do Centro de Estruturas Lineares e Combinatórias da Universidade de Lisboa

(CELC), que integra desde a sua criação, tendo anteriormente sido membro do Centro

de Álgebra da Universidade de Lisboa. Desenvolveu sempre a investigação no âmbito

das actividades destes centros, tendo integrado diversos projectos de investigação.

Sempre que é possível a deslocação a Lisboa, sem prejuízo do trabalho na Universidade

do Algarve, participa nos seminários organizados semanalmente pelo CELC.

As pesadas cargas docente e administrativa que teve desde a sua contratação como

docente da Universidade do Algarve, justificadas pelo insuficiente número de

professores doutorados, dificultaram a prossecução da actividade de investigação

fundamental desenvolvida até então, que se centrou principalmente na área de

problemas de completação de matrizes. Essa actividade teve, no entanto, repercussões

em trabalhos de investigação subsequentes de outros membros do CELC , como pode

ser verificado pelas citações dos últimos artigos publicados (ver anexo).

No ano lectivo 2002/2003 usufruiu de licença sabática o que permitiu o retorno à

investigação fundamental. A investigação que desenvolve actualmente centra-se em

aspectos combinatóricos de Teoria de Matrizes, tendo neste ano iniciado um projecto de

investigação sobre comutatividade de padrões de matrizes, em colaboração com o Prof.

Charles R. Johnson, do College of William and Mary (Williamsburg, VA, USA) e com

a Prof.ª Zhang Yu Lin, da Universidade do Minho, tendo-se reunido diversas vezes com

estes professores na Universidade do Minho, na Universidade de Coimbra, na

Universidade de Lisboa e no College of William and Mary.

Pretende com o projecto em curso caracterizar os padrões e os padrões sinalizados de

matrizes que comutam. Entende-se por padrão uma matriz em que as entradas são * ou 0

e diz-se que uma matriz pertence ao padrão se as entradas não nulas da matriz

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correspondem às entradas * do padrão e as entradas nulas às entradas 0. Padrão

sinalizado é uma matriz cujas entradas são +, − ou 0 e diz-se que uma matriz real

pertence a esse padrão se as entradas positivas da matriz correspondem exactamente às

entradas + do padrão, as entradas negativas às entradas – e as entradas nulas às entradas

0. Diz-se ainda que dois padrões (ou padrões sinalizados) comutam ou permitem a

comutatividade se existirem matrizes pertencentes a cada um dos padrão que comutem.

A caracterização da comutatividade de padrões e de padrões sinalizados traduz-se em

dois problemas com características completamente diferentes e abordagens diferentes

em termos de técnicas e de pressupostos teóricos. Para o estudo do primeiro são, por

exemplo, utilizadas propriedades do produto de Kronecker de matrizes, dado que a

matriz do sistema de equações A X − X A = 0 , sendo A uma matriz de ordem n e X uma

matriz de incógnitas também de ordem n, é dada por ( I n ⊗ A ) − (A T⊗ I n ) , em que ⊗

designa o produto de Kronecker de matrizes. Para os dois problemas foram encontradas

condições necessárias para a comutatividade que já se provou não serem suficientes.

Dada a amplitude do projecto concentrou-se o estudo em padrões concretos,

nomeadamente a comutatividade com o padrão completo (todas as entradas são *) e com

o padrão positivo completo (todas as entradas são +) e os resultados obtidos até agora

são todos de natureza combinatórica.

Neste momento encontram-se em adiantada fase de elaboração, com vista a posterior

publicação, os seguintes artigos:

− Matrices that commute with the full pattern.

− Matrices that commute with the full positive pattern.

5.2 Participação em encontros científicos.

− Workshop on partially known matrices and operators – organizado pelo Centro

Internacional de Matemática no Departamento de Matemática da Universidade de

Coimbra em Setembro de 2000.

− Siam Conference on Applied Linear Algebra – organizada pela Society for Indsutrial

and Applied Mathematics no College of William and Mary em Williamsburg, VA,

Estados Unidos da América em Julho de 2003.

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− Meeting on Linear Algebra and Applications – organizado pelo Centro de Estruturas

Lineares e Combinatórias no Departamento de Matemática da Faculdade de ciências

e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa em Setembro de 2003.

5.3 Orientações. Orienta os trabalhos pedagógico e científico da assistente convidada Maria de Fátima

Lopes Borralho, do Departamento de Matemática da FCT da Universidade do Algarve,

com vista à realização de Provas de Aptidão Pedagógica e Capacidade Científica, que se

prevê que venham a decorrer no presente ano lectivo.

5.4 Participação em Júris de Provas Académicas.

− Universidade de Coimbra – 1999 – Mestrado de Maria Cláudia Freitas de Sousa

Mendes, com o título “Sobre a conjectura de Rodman-Shalom”.

− Universidade do Algarve – 2000 – Equivalência ao grau de mestre de Mário

Mourinho Melfe, com o título “Posição dos professores de matemática face à

utilização de estratégias metacognitivas no desenvolvimento da capacidade de

resolução de problemas”.

− Universidade de Lisboa – 2001 – Mestrado de Rogério Paulo Inácio Berrincha, com o

título “Inversão relativa a uma circunferência e transformações de Möbius”.

− Universidade do Algarve – 2002 – Doutoramento de Paulo Alexandre Valentim

Semião, com o título “Teorias Topológicas Quânticas do Campo no contexto da

Topologia Algébrica”.

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5.5 Seminários proferidos.

− Invariantes de Matrizes – Seminários de Álgebra do Departamento de Matemática em

Novembro de 2002.

− Problemas inversos – Seminários de Álgebra do Departamento de Matemática em

Novembro de 2002.

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6. Anexos

6.1 Anexo 1 - Programas de algumas das disciplinas leccionadas

Os programas que se apresentam de seguida estão conformes ao que foi entregue aos

alunos da disciplina no ano correspondente

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ÁLGEBRA I-2000/01

2º Ano-1º Semestre Escolaridade semanal: 2 horas teóricas + 3 horas teórico-práticas Créditos: 4 Docentes: Prof.ª Doutora Maria da Graça Marques Dr.ª Maria de Fátima Borralho PROGRAMA 1. Conjuntos e operações. Propriedades das operações. Noção de estrutura algébrica:

Grupóide, semi-grupo e grupo. Tabelas de Cayley. 2. Grupos. Definição e propriedades. Exemplos. 3. Subgrupos. 4. Grupos de permutações e grupo simétrico. 5. Grupo de simetrias de uma figura geométrica no plano. 6. Subgrupos gerados por um conjunto. Grupos cíclicos. Grupo dos inteiros módulo n. 7. Produtos directos de grupos. 8. Homomorfismos de grupos. Monomorfismo, epimorfismo, endomorfismo, isomor-

fismo, automorfismo. Núcleo e imagem de um homomorfismo. 9. Classes laterais associadas a um subgrupo. Teorema de Lagrange. Índice de um

subgrupo no grupo. 10. Subgrupos normais. Grupo cociente. Teorema do homomorfismo. Teoremas de

isomorfismo para grupos cocientes. 11. Acção de um grupo num conjunto. Órbita de um elemento e subgrupo de isotropia. 12. Grupos de Sylow.

BIBLIOGRAFIA • Álgebra-Um primeiro curso, António J. Monteiro e Isabel Teixeira Matos, Escolar

Editora, Lisboa, 1992. • Modern Algebra, John R. Durbin, John Wiley & Sons, 1992. • Algebra, Manuela Sobral, Universidade Aberta, 1996. • Algebraic Structures, C. F. Gardiner, Ellis Horwood Limited, 1986.

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• Grupos e Representações, Owen J.Brison, Textos de Matemática, Departamento de

Matemática, Faculdade de Ciências de Lisboa, 1999. • Introdução à Álgebra, Adilson Gonçalves, IMPA, 1995.

NORMAS DE AVALIAÇÃO Realizar-se-ão duas frequências. Serão dispensados de exame final todos os alunos que compareçam às duas frequências e que obtenham soma mínima de dezanove valores no conjunto das duas. Não há, portanto, classificação mínima para qualquer das frequências. Para aprovação em exame final é necessária a obtenção de classificação mínima de 9,5 valores. Em princípio não serão realizadas provas orais, a não ser que, por algum motivo particular, após frequências ou exame final os docentes considerem conveniente ou necessário realizá-las. Para a obtenção de classificação final maior ou igual a 18 valores, tanto em frequências como em exame final, pode ser requerido aos alunos a realização de alguma prova suplementar. Tanto as frequências como o exame final devem ser resolvidos em folhas próprias da UCEH. Depois de afixadas as classificações de qualquer das provas os estudantes podem e devem consultá-las em local e data que serão marcados. Em qualquer das frequências os estudantes podem consultar uma folha A-4, elaborada por eles próprios, na qual podem incluir quaisquer aspectos teóricos ou práticos que sintam serem necessários para a realização da prova. No exame final podem ser consultadas duas folhas A-4 nas mesmas condições. Durante as provas não é permitido o intercâmbio destas folhas.

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LICENCIATURA EM MATEMÁTICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA I-2000/2001

1º Ano-1º Semestre Escolaridade semanal: 3 horas teóricas + 3 horas práticas Créditos: 5 Docentes: Prof.ª Doutora Maria da Graça Marques Dr.ª Ana Luísa Nunes

PROGRAMA

1. Generalidades sobre estruturas algébricas.

Conjuntos e formas de definir um conjunto. Produto cartesiano de conjuntos. Definição de aplicação. Definição de operação n-ária num conjunto. Propriedades das operações binárias. Definição de grupóide, semi-grupo, anel e corpo. Propriedades elementares destas estruturas. 2. Espaços vectoriais.

Definição e propriedades. Subespaços vectoriais. Subespaço gerado. Soma e intersecção de subespaços. Soma directa. Combinações lineares. Independência linear. Espaços vectoriais de dimensão finita. Bases e dimensão de um espaço vectorial. Teorema da dimensão da soma de subespaços. 3. Matrizes

Matrizes com elementos num corpo. Tipos de matrizes. Operações com matrizes. Propriedades destas operações. Estruturas algébricas de conjuntos de matrizes. Característica de uma matriz. Operações elementares sobre matrizes e condensação. Matrizes em forma de escada. Matrizes elementares e ligação destas com as operações elementares. Equivalência e semelhança de matrizes. Matrizes invertíveis. Factorizações de matrizes. 4. Sistemas de equações lineares.

Sistemas homogéneos e não homogéneos. Sistemas possíveis, impossíveis, determinados e indeterminados. Aplicação da teoria de matrizes à resolução de sistemas de equações. Método de eliminação de Gauss. Aplicações ao cálculo de inversas de matrizes. 5. Aplicações lineares.

Definição e propriedades. Operações com aplicações lineares. Espaço vectorial das aplicações lineares entre dois espaços vectoriais. Núcleo e imagem de uma aplicação linear. Classificação de aplicações lineares: endomorfismos, epimorfismos, monomor-fismos, isomorfismos e automorfismos. Aplicações lineares entre espaços vectoriais de dimensão finita. Teorema das dimensões.

BIBLIOGRAFIA

• Curso de Álgebra Linear e Geometria Analítica- Emília Geraldes, Vítor Hugo Fernandes, M. Paula Marques Smith, Editora McGraw-Hill de Portugal, 1995.

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• Álgebra Linear como Introdução à Matemática Aplicada- L. T. de Magalhães, Texto Editora, 1989.

• Elementary Linear Algebra, Howard Anton, John Wiley & Sons, 1991. • Elementary Linear Algebra, William L. Perry, McGraw-Hill Publishing Company. • Introdução à Álgebra Linear e Geometria Analítica- F.R. Dias Agudo,

Escolar Editora, Lisboa, 1992. • Álgebra Linear e Geometria Analítica, problemas e exercícios, António Monteiro,

Gonçalo Pinto e Catarina Marques, Editora McGraw-Hill de Portugal, 1997. • Álgebra Linear, Gregório Luís, C. Silva Ribeiro, Editora McGraw-Hill de Portugal,

1995.

AVALIAÇÃO Realizar-se-ão duas frequências. Serão dispensados de exame final todos os alunos que compareçam às duas frequências e que obtenham soma mínima de dezanove valores no conjunto das duas. Não há, portanto, classificação mínima para qualquer das frequências. A classificação final é a média aritmética arredondada das duas frequências. Para aprovação em exame final é necessária a obtenção de classificação mínima de 9,5 valores. Em princípio não serão realizadas provas orais, a não ser que, por algum motivo particular, os docentes considerem conveniente ou necessário realizá-las. Para a obtenção de classificação final maior ou igual a 18 valores, tanto em frequências como em exame final, pode ser requerido aos alunos a realização de alguma prova suplementar. Tanto as frequências como o exame final devem ser resolvidos em folhas próprias da UCEH. Depois de afixadas as classificações de qualquer das provas os estudantes podem consultá-las em local e data que serão marcados.

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LICENCIATURA EM ENGENHARIA AGRONÓMICA ÁLGEBRA LINEAR E GEOMETRIA ANALÍTICA -2000/01

1º Ano-1º Semestre Escolaridade semanal: 4h30 Teórico-práticas

Créditos: 3

Docentes: Prof.ª Maria da Graça Marques

Dr.ª Nélia Amado

PROGRAMA

1. Matrizes com elementos reais.

Definição de matriz. Tipo da matriz. Matrizes quadradas. matrizes triangulares, diagonais e escalares. Soma e produto de matrizes e suas propriedades. Transposta de uma matriz. Matrizes invertíveis. Processo de condensação de matrizes. Matriz em forma de escada e matriz condensada. Característica de uma matriz. Matrizes invertíveis

2. Sistemas de equações lineares. Sistemas de equações lineares com n incógnitas e m equações. Solução de um sistema. Sistemas possíveis e determinados, possíveis e indeterminados e impossíveis. Forma matricial de um sistema de equações: matriz simples e matriz ampliada. Resolução de sistemas pelo método de eliminação de Gauss. Aplicação deste método ao cálculo de inversas de matrizes.

3. Determinantes. Produtos elementares de matrizes. Paridade de uma permutação de n números. Definição de determinante e propriedades. Cálculo de determinantes de ordem 2 e 3 por definição ("Regra" de Sarrus). Cálculo de determinantes de matrizes de ordem superior a três através da condensação de matrizes. Menores, complementos algébricos, matriz complementar e matriz adjunta. Teorema de Laplace. Cálculo da matriz inversa através de determinantes.

4. Valores e vectores próprios. Definição de valor e vector próprio de uma matriz.. Matriz característica e polinómio característico. Cálculo dos valores e vectores próprios.

5. Introdução ao cálculo vectorial no espaço. . Vectores no espaço. Produto interno de vectores. Ortogonalidade. Norma de um vector. Ângulo de dois vectores. Produto externo e misto de vectores: definição e propriedades.

BIBLIOGRAFIA

• Curso de Álgebra Linear e Geometria Analítica- Emília Geraldes, Vítor Hugo Fernandes, M. Paula Marques Smith, Editora McGraw-Hill de Portugal, 1995.

• Elementary Linear Algebra, Howard Anton, John Wiley & Sons, 1991.

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• Álgebra Linear como Introdução à Matemática Aplicada- L. T. de Magalhães, Texto Editora, 1989.

• Introdução à Álgebra Linear e Geometria Analítica- F.R. Dias Agudo, Escolar Editora, Lisboa, 1992.

• Álgebra Linear- Seymour Lipschutz, Editora McGraw-Hill de Portugal, 1994. • Elementary Linear Algebra, William L. Perry, McGraw-Hill Publishing Company.

AVALIAÇÃO Realizar-se-ão duas frequências. Serão dispensados de exame final todos os alunos que compareçam às duas frequências e que obtenham soma mínima de dezanove valores no conjunto das duas. Não há, portanto, classificação mínima para qualquer das frequências. Para aprovação em exame final é necessária a obtenção de classificação mínima de 9,5 valores. Em princípio não serão realizadas provas orais, a não ser que, por algum motivo particular, os docentes considerem conveniente ou necessário realizá-las. Tanto as frequências como o exame final devem ser resolvidos em folhas próprias da Universidade. Depois de afixadas as classificações de qualquer das provas os estudantes podem (e devem) consultá-las em local e data que serão marcados.

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ESTRUTURAS ORDENADAS – 2003/04 Opção - 4º Ano (ramo científico) e Mestrado em Matemática- Docente: Prof.ª Doutora Maria da Graça Marques Créditos: 3 PROGRAMA

1. Conjuntos parcialmente ordenados, totalmente ordenados e bem ordenados.

2. Conceitos gerais em reticulados.

3. Reticulados completos.

4. Reticulados complementados.

5. Reticulados distributivos.

6. Álgebras de Boole.

BIBLIOGRAFIA

• Lattice Theory , G. Grätzer, 1971.

• Théorie des Treillis, Szász, 1971.

• Cours d’Algèbre Génèrale, A. Almeida Costa,1969.

• Modern Algebra, John R. Durbin, 1992.

• Structures Ordonnées et Algèbres de Boole, H.Faure 1971.

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6.2 Anexo 2 - Citações em ISI Web of Science

maria da graça nunes da silva rendeiro...

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