marcusvaf

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Tecnologia

Programa de Pos-Graduacao em Engenharia Eletrica e Computacao

Controlador Adaptativo por Modelo de Referencia e

Estrutura Variavel Aplicado ao Controle de Angulo

de Carga e Fluxo de Campo de um Gerador Sncrono

Marcus Vinicius Araujo Fernandes

Orientador: Prof. Dr. Aldayr Dantas de Araujo

Co-orientador: Prof. Dr. Ricardo Lucio de Araujo Ribeiro

Natal/RN - BrasilOutubro de 2008

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Tecnologia

Programa de Pos-Graduacao em Engenharia Eletrica e Computacao





Dissertacao de Mestrado submetida ao Pro-

grama de Pos-Graduacao em Engenharia

Eletrica e Computacao da Universidade Fe-

deral do Rio Grande do Norte (area de con-

centracao: Automacao e Sistemas) como

parte dos requisitos para a obtencao do grau

de Mestre em Ciencias.

Orientador: Prof. Dr. Aldayr Dantas de Araujo

Co-orientador: Prof. Dr. Ricardo Lucio de Araujo Ribeiro

Natal/RN - BrasilOutubro de 2008

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Divisao de Servicos Tecnicos

Catalogacao da publicacao na fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede

Fernandes, Marcus Vinicius Araujo.

Controlador Adaptativo por Modelo de Referencia e Estrutura Variavel Aplicado ao Controle

de Angulo de Carga e Fluxo de Campo de um Gerador Sncrono / Marcus Vinicius Araujo

Fernandes. - Natal, RN, 2008

94 f.

Orientador: Aldayr Dantas de Araujo.

Co-orientador: Ricardo Lucio de Araujo Ribeiro.

Dissertacao (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecno-

logia. Programa de Pos-Graduacao em Engenharia Eletrica e Computacao.

1. Controle Adaptativo Robusto - Dissertacao. 2. Sistemas com Estrutura Variavel -

Dissertacao. 3. Desacoplamento - Dissertacao. 4. Gerador Sncrono - Dissertacao. I. Araujo,

Aldayr Dantas de. II. Ribeiro, Ricardo Lucio de Araujo. III. Universidade Federal do Rio

Grande do Norte. IV. Ttulo.

RN/UF/BCZM CDU 681.326(043.3)

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Dissertacao de Mestrado aprovada em 23 de Outubro de 2008 pela banca axaminadora

composta pelos seguintes membros:

Prof. Dr. Aldayr Dantas de Araujo (orientador) DEE/UFRN

Prof. Dr. Ricardo Lucio de Araujo Ribeiro (co-orientador) DEE/UFRN

Prof. Dr. Jose Alvaro de Paiva CEFET/RN

Prof. Dr. Allan de Medeiros Martins DEE/UFRN

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Dedico esta dissertacao as pessoas que me amam.

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Agradecimentos

Ao Professor Aldayr Dantas de Araujo pelos ensinamentos e orientacoes academicas

desde a Iniciacao Cientfica ao Mestrado.

Ao Professor Ricardo Lucio de Araujo Ribeiro pelos ensinamentos e ajuda na sua

especialidade estudada neste trabalho.

A todos os meus familiares e amigos, que me incentivaram e me apoiaram nessa etapa

de minha vida. Em especial a minha mae Denise; meu pai Nivaldo; meu irmao Luiz;

aos meus amigos: Bruno, Pedro, Rafael e Andre; e minha namorada Camila que me

acompanharam e me apoiaram em todos os momentos.

Aos companheiros e amigos do LACI, entre eles: Kurios, Erico, Liviane, Marcelo e

Iuri pelas avidas discussoes academicas e nao-academicas.

A todos os professores do PPGEEC que me transmitiram seus conhecimentos e ex-

periencias profissionais durante este perodo.

Aos funcionarios da UFRN e a todos que, direta ou indiretamente, contriburam para

a realizacao deste trabalho.

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Resumo

Nesta dissertacao de mestrado e apresentada uma aplicacao do Controlador Adapta-

tivo por Modelo de Referencia e Estrutura Variavel em um Gerador Sncrono conectado

a um barramento infinito, para o controle do angulo de carga e fluxo de campo deste

gerador. Uma teoria de desacoplamento e usada no modelo do Gerador Sncrono para se

obter dois subsistemas, onde o angulo de carga e o fluxo de campo podem ser controlados

independentemente. A avaliacao da estrategia de controle proposta sera realizada atraves

de simulacoes para o modelo desacoplado do Gerador Sncrono. Tambem sera feita uma

comparacao com os controladores Proporcional Derivativo aplicado ao Gerador Sncrono

desacoplado e Proporcional Integrativo Derivativo aplicado ao Gerador Sncrono aco-

plado, sendo este ultimo, o sistema vigente hoje no Brasil. Os resultados das simulacoes

comprovarao a eficiencia e robustez desta estrategia de controle.

Palavras-Chave: Sistemas com Estrutura Variavel, Controle Adaptativo Robusto, De-

sacoplamento, Gerador Sncrono.

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Abstract

In this dissertation an application of a Variable Structure Model Reference Adaptive

Controller on a Synchronous Generator connected to an infinite-bus power system to

control the generators load angle and field flux is presented. A decoupling theory is

used on the Synchronous Generator model to obtain two subsystems, where load angle

and field flux can be controlled independently. This control strategy evaluation shall be

attained through simulations for the decoupled Synchronous Generator model. Then the

control strategy proposed will be compared with the Proportional Derivative Controller

applied for the decoupled Synchronous Generator model and the Proportional Integrative

Derivative Controller applied for the coupled one, being this last one, the system used

in Brazil nowadays. Simulation are used to verify the efficiency and robustness of this

control strategy.

Keywords: Variable Structure Systems, Robust Adaptive Control, Decoupling, Synch-

ronous Generator.

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Conteudo

Lista de Figuras v

Lista de Tabelas vi

Glossario de Termos vii

Lista de Smbolos viii

1 Introducao 1

1.1 Motivacao e Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Sistemas de Potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Gerador Sncrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Sistema de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Controladores Adaptativos Robustos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4 Estrutura da Dissertacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Modelo Desacoplado do Gerador Sncrono 9

2.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2 Modelo do Gerador Sncrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 Acoplamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Desacoplamento de um Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.1 Algoritmo de Inversao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Modelo Desacoplado do Gerador Sncrono . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Controlador Adaptativo Robusto 24

3.1 Introducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

i

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3.1.1 Sistemas de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.2 Controle Classico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.3 Controle Adaptativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2 Controle Adaptativo por Modelo de Referencia . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Sistemas com Estrutura Variavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.1 Descricao Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Controlador Adaptativo por Modelo de Referencia e Estrutura Variavel . . 36

4 Resultados das Simulacoes 42

4.1 Projeto dos Controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.1.1 Controle do Fluxo de Campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1.2 Controle doAngulo de Carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.2 Simulacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.1 Resultados das Simulacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5 Conclusoes e Perspectivas 53

5.1 Conclusoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2 Perspectivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Apendices 55

A Conceitos sobre Sistemas 55

A.1 Representacao de um Sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

A.2 Funcao de Transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

A.3 Polinomios Coprimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

B Conceitos sobre Estabilidade 59

B.1 Definicao de Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

B.2 Metodo Direto de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

B.2.1 Funcoes Definidas Positivas e Negativas . . . . . . . . . . . . . . . . 60

B.2.2 Translacao da Origem do Sistema de Coordenadas . . . . . . . . . . 60

B.2.3 Teoremas sobre Estabilidade (Segundo Lyapunov) . . . . . . . . . . 61

B.2.4 Analise de Sistemas baseado no Metodo Direto de Lyapunov . . . . 62

ii

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C Robustez e Desempenho de um Sistema 63

C.1 Estabilidade e Desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

C.1.1 Avaliacao do Comportamento Estacionario . . . . . . . . . . . . . . 64

C.1.2 Avaliacao do Comportamento Transitorio . . . . . . . . . . . . . . . 64

C.2 Robustez do Sistema de Controle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

C.2.1 Limitacao da Resposta do Atuador . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

C.2.2 Perturbacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

C.2.3 Atraso de Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

C.2.4 Variacoes Parametricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

C.2.5 Dinamica nao Modelada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

C.2.6 Rudos de Medicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

D Algoritmos 68

D.1 Controlador PI Aplicado ao Gerador Sncrono Acoplado . . . . . . . . . . . 68

D.2 Controlador PD Aplicado ao Gerador Sncrono Desacoplado . . . . . . . . 71

D.3 VS-MRAC Aplicado ao Gerador Sncrono Desacoplado . . . . . . . . . . . 75

Bibliografia 87

iii

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Lista de Figuras

2.1 Esquema do modelo matematico do gerador sncrono. . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Sistema multivariavel (MIMO) com duas variaveis de entrada e sada. . . . 13

2.3 Sistema inverso a esquerda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Sistema inverso a direita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.5 Sistema multivariavel (MIMO) com desacoplador. . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6 Dois Subsistemas Monovariaveis (SISO). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.7 Diagrama de Blocos do Sistema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.1 Sistema de Controle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Controlador PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.3 Estrutura de um Controlador Adaptativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4 MRAC direto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.5 Superfcie de deslizamento em um sistema com estrutura variavel. . . . . . 35

3.6 Diagrama de Blocos do VS-MRAC para plantas com grau relativo maior

que 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.1 Diagrama de Blocos Completo do Sistema Simulado. . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Controle de um Gerador Sncrono Desacoplado com Variacao Parametrica

usando VS-MRAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3 Controle de um Gerador Sncrono Desacoplado com Perturbacao na En-

trada usando VS-MRAC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.4 Controle de um Gerador Sncrono Acoplado com Variacao Parametrica

usando Controladores PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.5 Controle de um Gerador Sncrono Acoplado com Perturbacao na Entradausando Controladores PID. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

iv

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4.6 Controle de um Gerador Sncrono Desacoplado com Variacao Parametrica

usando Controladores PD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.7 Controle de um Gerador Sncrono Desacoplado com Perturbacao na En-

trada usando Controladores PD. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

v

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Lista de Tabelas

3.1 Algoritmo do controlador MRAC convencional. . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Algoritmo do controlador VS-MRAC compacto. . . . . . . . . . . . . . . . 40

vi

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Glossario de Termos

APPC Adaptive Pole Placement Controller(Controlador Adaptativo por Posi-

cionamento de Polos)

DMAC Dual Model Adaptive Controller(Controlador em Modo Dual Adapta-

tivo)

DMARC Dual Mode Adaptive Robust Controller (Controlador em Modo Dual

Adaptativo Robusto)

ERP Estritamente Real Positivo

IVS-MRAC Indirect Variable Structure Adaptive Model Reference Controller (Con-

trolador Adaptativo Indireto por Modelo de Referencia e Estrutura

Variavel)

MIMO Multiple Input, Multiple Output(Multivariavel)

MIT Massachusetts Institute of Technology

MRAC Model Reference Adaptive Controller(Controlador Adaptativo por Mo-

delo de Referencia)

MRC Model Reference Controller (Controlador por Modelo de Referencia)

PID Proporcional Integrativo Derivativo (controlador)

SISO Single Input, Single Output (Monovariavel)

VS-APPC Variable Structure Adaptive Pole Placement Controller (Controlador

Adaptativo por Posicionamento de Polos e Estrutura Variavel)

VS-MRAC Variable Structure Model Reference Adaptive Controller (Controlador

Adaptativo por Modelo de Referencia e Estrutura Variavel)

VSMFC Variable Structure Model-Following Controller(Controlador Seguidor de

Modelo e Estrutura Variavel)

VSC Variable Structure Controller(Controlador por Estrutura Variavel)

vii

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Lista de Smbolos

Sistema de Potencia

Parametros do Modelo do Gerador Sncrono Conectado a um

Barramento Infinito

d constante de amortecimento (s)

H constante de inercia (s)

xd reatancia de armadura de eixo direto (p.u.)

xq reatancia de armadura de eixo em quadratura (p.u.)

xd reatancia transitoria de eixo direto (p.u.)

xaf reatancia mutua de eixo direto (p.u.)

xt reatancia da linha de transmissao (p.u.)

xf reatancia de campo (p.u.)

rf resistencia de campo (p.u.)

Te constante de tempo da excitacao de campo (s)

ke ganho da excitacao de campo (adimensional)

Tt constante de tempo da turbina (s)

Tg constante de tempo da governadora (s)

0 velocidade sncrona (rad/s)

f frequencia (Hz)

V voltagem no barramento infinito (p.u.)

viii

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Variaveis do Modelo do Gerador Sncrono Conectado a um Bar-

ramento Infinito

angulo rotorico (rad)

perturbacao na frequencia (rad/s)

f fluxo de campo (p.u.)

Ef d voltagem de campo (p.u.)

Pm potencia mecanica no eixo (p.u.)

Pg potencia mecanica de sada da governadora (p.u.)

ue sinal atuando na excitacao de campo (p.u.)

ug sinal atuando na valvula do regulador de velocidade (p.u.)

Pe potencia eletrica gerada (p.u.)

Vt tensao terminal (p.u.)

Sistema de Controle

Desacoplador

nin numero de entradas do sistema

nout numero de sadas do sistema

u vetor de entradas do desacoplador

u1 entrada do desacoplador para o fluxo de campo (p.u.)

u2 entrada do desacoplador para o angulo de carga (rad)

y sada do desacoplador

ordem de rastreamento

ix

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Controlador

d grau do denominador da planta

dm denominador do modelo de referencia

dp denominador do modelo da planta

ea erro aumentado

e0 erro entre a sada da planta e a sada do modelo de referencia

e erro auxiliar

fi funcao de modulacao do rele i

fN funcao de modulacao do rele N

F1 filtro passa baixa

G(s) modelo da planta

h passo de integracao

km ganho do modelo de referencia

kp ganho da planta

L(s) polinomio usado para tornar o produto M(s)L(s) ERP

M(s) modelo de referencia

n grau do numerador da planta

nm numerador do modelo de referencia

np numerador do modelo da planta

n grau relativo

r sinal de referencia

ui sinal de controle do rele i

unom sinal de controle obtido do vetor de parametros nominais nom

(ui)eq sinal de controle equivalente

v1 filtro de entrada

v2 filtro de sada

ya predicao do erro

ym sada do modelo de referencia

x

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vetor filtrado do vetor regressor

vetor com amplitudes dos reles

vetor de parametros adaptativos

vetor de parametros na condicao de matching

2n+1 estimativa para (

2n)1

nom vetor de parametros nominais

parametro auxiliar

parametro auxiliar na condicao de matching

nom parametro auxiliar nominal

vetor filtrado de entrada

vetor regressor

xi

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Captulo 1

Introducao

1.1 Motivacao e Objetivos

O grande avanco verificado na tecnologia analogica e digital nos ultimos anos tem

possibilitado o desenvolvimento de leis de controle bastante complexas, com a utilizacao

de algoritmos nao lineares. Como uma consequencia direta do desenvolvimento dessas

leis, tem-se a possibilidade de representar o sistema que se deseja controlar, atraves de

um modelo nao linear bastante realstico, em uma ampla regiao do espaco de estado.

Entretanto, a maior parte das leis de controle, ja implementadas, ainda foram dedu-

zidas a partir da linearizacao do sistema em torno de um ponto de operacao nominal.

Embora funcionem de uma forma bastante satisfatoria nas aplicacoes normalmente pre-

vistas, apresentam limitacoes que, para determinadas situacoes, podem comprometer o

desempenho do sistema.

Estas limitacoes devem-se ao fato de que o modelo do sistema so e valido em umacerta vizinhanca do ponto de operacao nominal e que, para certos sistemas fortemente

nao lineares e com alto grau de acoplamento, esta vizinhanca e bastante reduzida. Grandes

perturbacoes no sistema e/ou a necessidade de grandes manobras, podem ultrapassar esta

vizinhanca. Alem disso, para o caso em que ha a necessidade de uma analise mais acurada

do comportamento do sistema, o modelo linearizado pode nao apresentar resultados muito

satisfatorios, tendo em vista que, na realidade, e uma simplificacao de um modelo mais

elaborado.Esta dissertacao tem como ob jetivo apresentar uma tecnica em que o gerador sncrono

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Captulo 1. Introducao 2

(sistema) com uma modelagem bastante realstica e controlado por um controlador adap-

tativo robusto, o que diminui consideravelmente as limitacoes de utilizacao de um modelo

linearizado. As leis de controle deduzidas baseiam-se em um algoritmo nao linear e apre-

sentam uma grande flexibilidade para melhorar o desempenho dinamico do sistema.

1.2 Sistemas de Potencia

Energia eletrica e uma forma de energia baseada na geracao de diferencas de potencial

eletrico entre dois pontos, que permitem estabelecer uma corrente eletrica entre ambos. E

uma das formas de energia que o homem mais depende e utiliza na atualidade, gracas a sua

facilidade de transporte e baixo ndice de perda energetica durante conversoes. Mediante

a transformacao adequada e possvel que tal energia mostre-se em outras formas finais

de uso direto, em forma de luz, movimento ou calor, segundo as leis de conservacao da

energia.

A funcao de um sistema eletrico de energia, ou sistema de potencia, e converter energia

de uma das formas naturais disponveis para a forma eletrica e transporta-la ate os pontos

de consumo. Um sistema de potencia e constitudo por uma rede interligada por linhas

de transmissao (transporte). Nessa rede estao ligadas as cargas (pontos de consumo de

energia) e os geradores (pontos de producao de energia).

Idealmente, as cargas devem ser supridas com confiabilidade, alem de tensao e frequen-

cia constantes em todos os instantes. E tambem necessario que os geradores nao percam

o sincronismo apos a ocorrencia de uma falta no sistema. Impactos de potencia aleatorios

podem ocorrer durante a operacao de um sistema de potencia e esta variacao de demanda

deve ser suprida pelos geradores. Com o intuito de manter a estabilidade, diversos nveis

de controle atuam no sistema para manter essas caractersticas [1].

Termeletricas, hidreletricas, usinas eolicas e usinas termonucleares sao as principais

instalacoes, hoje, ligadas a rede de transporte que injetam a energia solicitada pelas cargas.

A geracao de energia eletrica, em sua maioria, da-se basicamente pela transformacao de

energia cinetica em energia eletrica. Basicamente, uma usina geradora de energia a partir

de energia cinetica, seja qual for a fonte primaria, e composta de turbina, maquina eletrica,

sistema condicionador de potencia e sistema de controle [2].

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O objetivo da turbina e transformar a energia cinetica em energia mecanica para que a

maquina eletrica, acoplada ao seu eixo, possa gerar a diferenca de potencial necessaria para

o aparecimento de uma corrente eletrica em uma certa potencia. O sistema condicionador

de potencia tem composicoes diversas que dependem da fonte primaria de energia utilizada

e do tipo de maquina eletrica. Em uma hidreletrica, por exemplo, esse sistema e composto

por transformadores de potencia que irao condicionar a tensao para a transmissao e por

outros dispositivos para sincronizacao, protecao e supervisao do sistema [2].

O sistema de controle atua com o objetivo de manter valores nominais de sada para o

sistema, mantendo, por exemplo, tensao e frequencia constantes. Para tanto, sao usados

dois reguladores: o de tensao que controla a tensao nos terminais do gerador, atuando

na tensao aplicada (e, portanto, na corrente) no enrolamento do rotor (enrolamento de

excitacao), e o de velocidade que controla a frequencia, atraves da variacao de potencia,

atuando na valvula de entrada de agua da turbina. O regulador de velocidade tambem

pode ser conhecido como governadora.

1.2.1 Gerador Sncrono

O Gerador Sncrono e o tipo de maquina eletrica predominante nos sistemas de geracao

de energia eletrica. O nome sncrono se deve ao fato de esta maquina operar com uma

velocidade de rotacao constante sincronizada com a frequencia da tensao eletrica alternada

presente nos terminais da mesma. Com o mesmo pode-se controlar a geracao de potencia

ativa e reativa independentemente e e importante devido as suas caractersticas de controle

de tensao.

O sincronismo entre os torques dos geradores do sistema de potencia e necessariopara manter um sistema equilibrado. Um dos grandes problemas enfrentados na gera cao

de energia eletrica e a dificuldade de manter valores de sada nominais para grandes

variacoes de carga. Para isso o gerador sncrono deve suprir cargas com tensao e frequencia

constantes em todos os instantes, independente de perturbacoes, ou mesmo, de problemas

maiores, como: linhas desconectadas, geradores fora de sincronismo, mudancas na carga,

etc [1].

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1.2.2 Sistema de Controle

O problema de controle de frequencia e tensao em geradores sncronos em sistemas de

potencia interligados e bastante complexo tendo em vista a caracterstica multivariavel

(MIMO - Multiple Input, Multiple Output), imprecisao no conhecimento dos parametros

dos modelos das maquinas, presenca de nao linearidades e alto grau de acoplamento entre

as variaveis [3].

Este acoplamento pode ser percebido ao se tentar controlar a frequencia, atraves do

regulador de velocidade, e observar uma variacao tambem na tensao terminal desse gerador

sncrono. Assim como, ao se controlar a tensao terminal, atraves do regulador de tensao

(excitatriz), observar uma variacao na variavel de frequencia. Apesar da presenca de

acoplamento das variaveis do gerador sncrono, ao se realizar o seu controle nas usinas

geradoras de energia hoje no Brasil, este fato e desconsiderado.

O modelo utilizado para cada maquina e normalmente um modelo linearizado em

torno do ponto de operacao em regime permanente e, consequentemente, nao e adequado

para grandes perturbacoes no sistema. E claro que um unico controlador para a excitacao

de campo e para o regulador de velocidade de cada maquina, utilizando um modelo maiscompleto do sistema, tornaria bem melhor o desempenho deste.

Tradicionalmente, o controle de um sistema de potencia e feito da seguinte forma.

Para cada maquina, considera-se o restante do sistema como um barramento infinito e,

por simplicidade, projeta-se o controlador da excitacao de campo independentemente do

regulador de velocidade. Assumindo torque mecanico de entrada constante, projeta-se o

controlador da excitacao de campo para regular a tensao terminal e aumentar o domnio

de estabilidade do gerador. Assumindo fluxo de campo constante, projeta-se o controladorpara o regulador de velocidade, regulando a potencia e a frequencia simultaneamente.

Na maioria das usinas geradoras de energia, para o controle de tens ao e frequencia dos

geradores sncronos sao usados controladores Proporcional Integrativo Derivativo (PID).

Mais precisamente, para a malha da excitatriz e utilizado um PI e para a malha do regula-

dor de velocidade, um PID com uma parte derivativa bem pequena. Estes controladores

sao ajustados atraves de modelos linearizados e parametros fornecidos pelo fabricante.

Devido aos motivos expostos acima, pode ser notado que este tipo de controle pode n ao

ser a melhor alternativa.

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Uma estrategia alternativa de controle e apresentada nesta dissertacao, na qual as

mesmas variaveis de entrada usadas nas estrategias de controle padrao (tensoes aplicadas

na excitatriz e no regulador de velocidade) sao usadas para controlar diretamente dife-

rentes variaveis de sada do gerador sncrono (angulo de carga e fluxo de campo) com um

controlador adaptativo robusto ([4], [5] e [6]). Assim, como resultado dessa estrategia, e

esperado um aumento do domnio de estabilidade, devido ao controle do angulo de carga

diretamente, mantendo o sincronismo do sistema de potencia, assim como, indiretamente,

a tensao e a frequencia em seus valores nominais. Sera ainda aplicada uma teoria de

desacoplamento e sistema inverso para sistemas nao lineares ([7], [8], [9] e [10]).

Em [11] e [12], diferentes estrategias de controle sao testadas em geradores sncronos

e comparadas ao controlador PID, todos na estrategia padrao de controle (excitatriz e

regulador de velocidade controlam tensao terminal e fluxo de potencia [1]).

Os artigos a seguir aplicaram uma teoria de desacoplamento em um gerador sncrono.

Em [13], o uso de controladores adaptativos e ressaltado como essencial para o controle

de grandes sistemas de potencia apresentando um rapido transitorio e melhorando o de-

sempenho. Uma tecnica de desacoplamento atraves do Metodo da Perturbacao Singular e

usada em [14] e [15], particionando o sistema em dois subsistemas com diferentes escalas

de tempo para o controle do gerador sncrono.

Em [10] e [16], uma funcao de reprodutibilidade assintotica e aplicada ao modelo de um

gerador sncrono, atraves de uma tecnica de desacoplamento ([7], [8] e [9]). Em [17] e [18],

e apresentado um esquema de controle de um robo movel com desacoplamento, similar

ao usado nesta dissertacao. Em [19] e [20], o gerador sncrono e desacoplado atraves do

acionamento vetorial orientado pelo fluxo estatorico.

1.3 Controladores Adaptativos Robustos

O Controlador Adaptativo por Modelo de Referencia (MRAC - Model Reference Adap-

tive Controller) foi sugerido em [21] e [22] para solucionar o problema de controle no piloto

automatico de aeronaves. Posteriormente, Controladores MRAC baseados na teoria de

Lyapunov (Apendice B) foram projetados e analisados em [23], [24] e [25]. Alguns des-

tes controladores possuam garantia de estabilidade e foram acompanhados por diversas

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aplicacoes bem sucedidas ([26], [27] e [28]). Nos trabalhos [23] e [29] demonstrou-se que

os controladores MRAC poderiam ser instaveis na presenca de pequenos disturbios, fato

esse somente corrigido com a proposta dos controladores adaptativos robustos ([23], [30]

e [31]).

Nos dias de hoje, ainda se busca um controlador adaptativo robusto, com um bom

comportamento tanto no transitorio como em regime permanente. Tem-se obtido bons

resultados integrando-se duas ou mais tecnicas distintas, explorando o que cada uma tem

de melhor. Em [32] e [33], controladores adaptativos sao testados e afirmados como uma

alternativa confiavel a solucao usual de controle PID.

Um exemplo bem sucedido de associacao de tecnicas distintas e o Controlador Adapta-

tivo por Modelo de Referencia e Estrutura Variavel ([34], [35], [36], [37] e [38]) (VS-MRAC

- Variable Structure Model Reference Adaptive Controller), o qual associa a estrutura

variavel [39] do Controlador por Estrutura Variavel [40] (VSC - Variable Structure Con-

troller) com modos deslizantes a uma estrutura do MRAC.

O controlador MRAC convencional usa leis integrais de adaptacao e faz com que a

sada da planta siga a sada de um modelo de referencia especificado ([4], [5], [6] e [41]).

Em geral o MRAC possui um transitorio lento e oscilatorio. Entao, em [34] foi proposto

o controlador VS-MRAC que utiliza a estrutura do MRAC, substituindo as leis integrais

de adaptacao por leis chaveadas, assim resultando em um sinal de controle chaveado,

como nos sistemas a estrutura variavel ([38], [42] e [43]). Apesar do bom desempenho

transitorio, em geral tem-se a presenca do fenomeno de chaveamento em alta frequencia,

tambem conhecido como chattering.

Diversos outros controladores adicionam a estrutura variavel [39] para melhorar o

transitorio e a robustez de seus controladores originais. Alem do VS-MRAC direto, ha

o Controlador Adaptativo Indireto por Modelo de Referencia e Estrutura Variavel (IVS-

MRAC - Indirect Variable Structure Model Reference Adaptive Controller) ([44] e [45]).

E ainda no modo indireto, o Controlador Adaptativo por Posicionamento de Polos e Es-

trutura Variavel (VS-APPC - Variable Structure Adaptive Pole Placement Controller)

([46] e [47]) e o Controlador Adaptativo Backstepping a Estrutura Variavel ([48] e [49])

(VS-ABC - Variable Structure Adaptive Backstepping Controller), que utilizam a estru-

tura do Controlador Adaptativo por Posicionamento de Polos [4] (APPC -Adaptive Pole

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Placement Controller) e Controlador Adaptativo Backstteping [50], respectivamente. Em

[51] e [52] o Controlador Seguidor de Modelo e Estrutura Variavel (VSMFC - Variable

Structure Model-Following Controller) e apresentado e aplicado.

Para utilizar o que havia de melhor entre as tecnicas adaptativas da literatura, foram

propostos controladores que utilizavam a uniao de duas tecnicas adaptativas. Em [53] foi

proposta uma estrutura de Controle em Modo Dual Adaptativo (DMAC - Dual Model

Adaptive Controller) para uma classe de sistemas nao lineares, a qual utiliza uma rede

neural para adaptativamente compensar a nao linearidade da planta. A estrategia de

aprendizado da rede neural e baseada na combinacao entre os parametros de adaptacao

do aprendizado e um controle por estrutura variavel.

O Controlador em Modo Dual Adaptativo Robusto ([54], [55] e [56]) (DMARC -

Dual Mode Adaptive Robust Controller) que foi proposto em [54] faz um ligacao entre

o MRAC convencional e o VS-MRAC. O objetivo e conseguir um sistema robusto, com

desempenho transitorio rapido e pouco oscilatorio (caractersticas do VS-MRAC), e sinal

de controle suave em regime permanente (caracterstica do MRAC). A transicao entre as

duas estrategias de controle e feita, em tempo real, atraves de um parametro que varia

em funcao do erro entre a sada da planta e a sada do modelo de referencia (ou de um

erro auxiliar para o caso de plantas com grau relativo maior que 1).

Tecnicas de Estrutura Variavel com Modo Observador sao usadas para o controle

de um gerador sncrono com o metodo da Perturbacao Singular ([14], [15], [57], [58],

[59] e [60]) e com o Princpio do Bloco de Controle ([57], [58], [59] e [60]). Em [52], o

controle da excitatriz de um gerador sncrono e investigado por diversos controladores:

MRAC, VSMFC e PI. Em [17] e [18], e apresentado um esquema de controle de um robo

movel com desacoplamento utilizando dois DMARCs independentes para cada subsistema

desacoplado, de uma forma similar a estrategia apresentada nesta dissertacao.

1.4 Estrutura da Dissertacao

Esta dissertacao de mestrado esta organizada da seguinte forma: no captulo 2 sao

apresentados o modelo matematico do gerador sncrono utilizado, a teoria de desaco-

plamento para sistemas nao lineares e a aplicacao deste metodo ao gerador sncrono,

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formando o modelo desacoplado do gerador sncrono.

No captulo 3 sao apresentados os controladores adaptativos e classicos utilizados na

dissertacao, entre eles: PID, MRAC e VS-MRAC.

No captulo 4 sao apresentadas as simulacoes dos controladores aplicados ao modelo

do gerador sncrono desacoplado e sao realizadas comparacoes com a estrutura classica

do controlador PID aplicada ao modelo do gerador sncrono desacoplado..

Finalmente no captulo 5 sao apresentadas as conclusoes e perspectivas de trabalhos

futuros desta dissertacao.

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Captulo 2

Modelo Desacoplado do Gerador

Sncrono

2.1 Introducao

Na maquina sncrona operando como gerador, a energia mecanica e suprida pela

aplicacao de um torque ao seu eixo. Esta fonte de energia mec anica pode ser, por exem-plo, uma turbina hidraulica, a gas ou a vapor. Para que a maquina sncrona seja capaz

de efetivamente converter a energia mecanica aplicada ao seu eixo, e necessario que o

enrolamento de campo localizado no rotor da maquina seja alimentado por uma fonte de

tensao contnua de forma que, ao girar o campo magnetico gerado pelos polos do rotor,

exista um movimento relativo aos condutores dos enrolamentos do estator.

Devido a esse movimento relativo entre o campo magnetico dos polos do rotor e o

estator, a intensidade do campo magnetico que atravessa os enrolamentos do estator iravariar no tempo, e assim teremos pela lei de Faraday uma inducao de tensoes nos terminais

dos enrolamentos do estator. Devido a distribuicao e disposicao espacial do conjunto de

enrolamentos do estator, as tensoes induzidas em seus terminais serao alternadas senoidais

trifasicas [61].

A corrente eletrica utilizada para alimentar o campo e denominada corrente de ex-

citacao. Quando o gerador esta funcionando isoladamente em um sistema eletrico (ou

seja, esta em uma ilha de potencia), a excitacao do campo ira controlar a tensao eletrica

gerada. Quando o gerador esta conectado a um sistema eletrico que possui diversos ge-

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Captulo 2. Modelo Desacoplado do Gerador Sncrono 10

radores interligados, a excitacao do campo ira controlar a potencia reativa gerada. Uma

vez estando o gerador ligado a rede eletrica, sua rotacao e ditada pela frequencia da rede,

pois a frequencia da tensao trifasica depende diretamente da velocidade da maquina [1].

O modelo utilizado para cada maquina sncrona e normalmente, um modelo lineari-

zado em torno do ponto de operacao em regime permanente e, consequentemente, nao e

adequado para grandes perturbacoes no sistema. Perturbacoes, tais como, desligamento

de linhas, sada de geradores e mudancas de carga, podem afetar seriamente o comporta-

mento do sistema, e para isso, um modelo nao linear se faz necessario.

Nesta dissertacao, considera-se o controle de sistemas de potencia submetidos a faltas

severas que e considerado um problema de grande importancia [1]. Para isso, utiliza-se

um modelo nao linear que inclui o efeito de polos salientes no desempenho da maquina

sncrona, e que considera a variacao do fluxo de campo no perodo transitorio. Ademais,

uma teoria de desacoplamento e sistema inverso a direita para sistemas nao lineares ([7] e

[8]) e usada no modelo do gerador sncrono [9], para que dois subsistemas independentes

sejam obtidos [10].

2.2 Modelo do Gerador Sncrono

O modelo matematico de um sistema de potencia ligado a um barramento infinito e

similar ao usado em [9] e pode ser representado atraves da Figura 2.1. Os parametros e

variaveis sao definidos em [62].

Figura 2.1: Esquema do modelo matematico do gerador sncrono.

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A maquina sncrona (2.1) e representada por

= p1sin 2p2p3fsin + p4Pm

f=p5cos p6f+p7Ef d(2.1)

onde e o angulo rotorico, f e o fluxo de campo, Pm e a potencia mecanica no eixo e

Ef d e a voltagem de campo.

O sistema de excitacao (2.2) e dado por

Te Ef d= Ef d+ keue (2.2)

onde Te e a constante de tempo da excitacao de campo, ke e o ganho da excitacao de

campo e ue e o sinal atuando na excitacao de campo.

A turbina (2.3) e o regulador de velocidade (2.4) s ao representados por

Tt Pm= Pm+ Pg (2.3)

onde Tt e a constante de tempo da turbina e Pg e a potencia mecanica de sada da

governadora.

Tg Pg = Pg+ ug (2.4)

onde Tg e a constante de tempo da governadora e ug e o sinal atuando na valvula do

regulador de velocidade.

Os parametros do gerador sncrono [62] sao

p1= 0V

2 (xq x

d)

4H(xt+ xd) (xt+ xq) p2=

0d

2H p3 =

0V xaf

2Hxf(xt+ xd)

p4= 0

2H

p5= 0rfV xaf

xf(xt+ x

d)

p6 =0rf(xt+ xd)

xf(xt+ x

d)p7=

0rf

xfxd=xd

x2af

xf0= 2f

As sadas escolhidas para serem controladas sao o fluxo de campo f e o angulo de

carga , pois alem de facilitarem a modelagem do sistema para o desacoplamento, tem

um importante papel na analise de estabilidade de um sistema de potencia. Escrevendo

as equacoes do gerador sncrono na forma vetorial segue

x (t) =A (x) + Bu, x R6

y (t) =C(x) =

f

, y (t) R2 (2.5)

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onde

x=

f

Ef d

Pm

Pg

(2.6)

u= ue

ug

, u R

2

(2.7)

A (x) =

a1

a2

a3

a4

a5

a6

=

p1sin 2p2 p3fsin + p4Pm

p5cos p6f+p7Ef d

Ef dT1

e

(Pm+ Pg) T1

t

PgT1g

(2.8)

B =

0 0 0 keT1e 0 0

0 0 0 0 0 T1g

T

(2.9)

e = e a perturbacao na frequencia.

A partir das variaveis escolhidas para serem controladas (fluxo de campo e angulo de

carga) e possvel calcular a potencia eletrica gerada Pe e a tensao terminal Vt [62]

Pe= p1sin 2+p3fsin

p4(2.10)

Vt=

V xqsin

xq+ xt

2+

V xdcos

xd+ xt+

xafxtf(xd+ xt) xf

2(2.11)

Portanto, usando o angulo de carga e o fluxo de campo como variaveis controladas, a

amplitude da tensao terminal e sua frequencia podem ser controladas.

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2.3 Acoplamento

Frequentemente dois ou mais sistemas fsicos interagem entre si, tornando impossvela solucao independente de qualquer um destes sistemas sem que as solucoes dos demais

sejam simultaneamente consideradas. Tais sistemas sao denominados acoplados, sendo a

intensidade do acoplamento funcao do grau de interacao entre os sistemas componentes.

Formulacoes de sistemas acoplados sao aquelas aplicaveis a variaveis dependentes e

domnios multiplos, os quais usualmente (mas nao necessariamente) descrevem diferentes

fenomenos fsicos e nos quais nenhum dos domnios pode ser resolvido de forma separada

dos demais; ou nenhum conjunto de variaveis pode ser explicitamente eliminado ao nvelde equacoes diferenciais, caso do gerador sncrono. Na analise de sistemas acoplados e

usual que um ou mais dos domnios considerados possuam comportamento nao linear,

comportamento esse que deve ser considerado de forma apropriada.

As variaveis do modelo das maquinas sncronas possuem um alto grau de acoplamento

(Figura 2.2). O problema do acoplamento acontece quando a alteracao de qualquer uma

das entradas interfere nas suas sadas simultaneamente. Por exemplo, alterando-se o sinal

na excitatriz ue, interfere-se no fluxo de campo fe no angulo de carga e alterando-se

o sinal no regulador de velocidade ug, interfere-se no fluxo de campo f e no angulo de

carga. Como solucao para este problema sera aplicada uma teoria de desacoplamento e

sistema inverso para sistemas nao lineares ([7] e [8]).

Figura 2.2: Sistema multivariavel (MIMO) com duas variaveis de entrada e sada.

2.4 Desacoplamento de um Sistema

O desacoplamento do sistema e feito por uma tecnica de inversao de sistemas nao

lineares [7]. O sistema inverso pode ser a direita ou a esquerda. O sistema inverso

a esquerda (Figura 2.3), fornece a entrada a partir do conhecimento de sua sada. O

sistema inverso a direita (Figura 2.4) fornece a entrada requerida a fim de que se tenha

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uma certa sada desejada e por isso serve como um controlador, forcando a sada y(t) do

sistema original a seguir o sinal desejado [8].

Figura 2.3: Sistema inverso a esquerda.

Figura 2.4: Sistema inverso a direita.

O metodo de inversao de sistemas nao lineares transforma um sistema originalmente

multivariavel (MIMO - Multiple Input, Multiple Output) em um grupo de sistemas mo-

novariaveis (SISO - Single Input, Single Output). O desacoplamento do sistema e feito

por uma tecnica de inversao de sistemas nao lineares. Para garantir que se tenha um

sistema inverso estavel, o sistema em discussao deve ser de fase mnima (Apendice A)

com a dinamica de estado nulo, se existente, assintoticamente estavel.

Devido ao alto grau de acoplamento entre as variaveis do modelo das maquinas

sncronas, uma teoria de desacoplamento ([7] e [8]) para sistemas nao lineares e usada

[9]. Para o uso deste algoritmo de desacoplamento no gerador sncrono, um sistema in-

verso e obtido de forma que apenas uma das entradas atue no angulo de carga e a outra,

apenas no fluxo de campo. E necessario tambem que os parametros do gerador sncrono

sejam conhecidos com exatidao, mas, comumente estes parametros sao conhecidos com

incertezas [10].

O desacoplador para o gerador sncrono e um sistema de duas entradas (nin = 2) e

duas sadas (nout = 2) com as sadas ligadas como entradas do gerador. Ao se alterar uma

das entradas do desacoplador, alteram-se as duas sadas do mesmo e, consequentemente,

as duas entradas do gerador que, por fim, altera apenas uma de suas sadas. Ou seja,

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alterando-se u1, sao gerados ue e ug de forma que apenas f seja alterada. Da mesma

forma, alterando-seu2, sao gerados ue e ug de forma que apenas seja alterada (Figura

2.5). Para o gerador, um sistema inverso sera obtido de forma que apenas uma das

entradas atue no angulo de carga e a outra entrada atue no fluxo de campo do rotor,

obtendo-se, entao, dois sistemas monovariaveis (SISO) independentes (Figura 2.6).

Figura 2.5: Sistema multivariavel (MIMO) com desacoplador.

Figura 2.6: Dois Subsistemas Monovariaveis (SISO).

Nesta dissertacao e usada a tecnica do sistema inverso a direita para o modelo do

gerador sncrono desacoplado ligado ao barramento infinito. Isso e alcancado de forma

que cada sada do gerador sncrono seja modificada apenas por uma entrada do sistema

inverso a direita. Na Figura 2.7, o diagrama de blocos completo do sistema de controle e

apresentado.

A caixa tracejada (Figura 2.7) indica os modelos usados para a planta desacoplada

nas simulacoes. O algoritmo de desacoplamento ([7] e [8]) consiste na derivacao do vetor

de sada consecutivamente ate que se encontre uma matriz D (onde e a ordem de

rastreamento) que admita pseudo-inversa. Logo, as entradas do sistema inverso a direita

sao essas derivadas das sadas do gerador sncrono e, quando e considerado como um

Figura 2.7: Diagrama de Blocos do Sistema.

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sistema, o sistema inverso a direita conectado ao gerador sncrono (caixa tracejada) e

formado por dois sistemas desacoplados compostos por integradores puros.

Devido aos parametros do gerador sncrono serem, em geral, conhecidos com incerte-

zas [13], o desacoplamento nao gera integradores puros. Esta e uma razao a mais para

determinar o uso de um controlador adaptativo. Se as equacoes usadas como funcao de

transferencia dos subsistemas para calculo dos parametros dos controladores forem inte-

gradores puros (o que significa que o desacoplamento e completo), as demais dinamicas

geradas no sistema inverso a direita acoplado ao gerador sncrono sao tratadas como

dinamicas nao modeladas (Apendice C).

2.4.1 Algoritmo de Inversao

Considerando uma classe de sistemas nao lineares da forma x(t) =A (x(t)) + B (x(t)) u(t); x My (t) =C(x(t)) (2.12)

onde M n (espaco euclidiano de dimensao n) e o espaco de estado, A, B1, . . . , Bm sao

funcoes vetoriais analticas reais em M e u = [u1, . . . , ui], onde ui e i = 1, . . . , m e uma

funcao analtica real de [0, ) em .

Para o sistema 2.12 pode-se associar inversibilidade a esquerda e/ou a direita. A seguir,

o algoritmo original para inversao de sistemas nao lineares multivariaveis desenvolvido em

[7] e [8] sera apresentado de uma forma mais simples, utilizando os conhecimentos usuais

da algebra matricial e da resolucao de equacoes diferenciais.

Definicao 2.4.1 O sistema nao linear e inversvel a direita se, para qualquer sada de-

sejavel y() = f() definida em [0, ), existe um controle u() e uma escolha de x0, tal

quey(t) =y(t) =f(t) para todo t [0, ).

Se for desejado que a saiday(, u , x0) siga uma determinada funcao analticaf(t), deve-

se construir um sistema inverso ao sistema original, dirigido por derivadas apropriadas

de f(t), que seja capaz de gerar a entrada u(t) necessaria para o rastreamento de f(t)

pela sada do sistema original. O sistema inverso utilizado desta forma e denominado desistema inverso a direita.

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O algoritmo de inversao sera aplicado ao caso em estudo nesta dissertacao, no qual

o numero de sadas do sistema nout e igual ao numero de entradas nin. Para aplicar o

algoritmo sera necessario derivar o sinal de sada y(t) do sistema 2.12, consecutivamente,

obtendo uma sequencia de sistemas. O primeiro passo e

dy

dt =y (1) =

dC(x)

dt =C1(x) + D1(x)u (2.13)

e este procedimento continuara ate que se obtenha uma matriz D(x) que seja inversvel.

Derivando-se o sinal de sada do sistema 2.12, obtem-se

Sistema 1: x(t) =A(x) + B(x)u; x M1 Mz1 = C1(x) + D1(x)u (2.14)

onde

z1=R0dy

dt

C1(x) =R0C1(x)

D1(x) =R0D1(x)

eR0 e uma matriz elementar nout ninque reordena as linhas D1(x), tal que as primeiras

r1 linhas sejam linearmente independentes para algumx M1. Denomina-ser1 de ndice

de inversibilidade do sistema 1.

Constroi-se, entao, indutivamente uma sequencia de sistemas nao lineares, tal que o

k-esimo sistema seja

Sistema k:

x(t) =A(x) + B(x)u; x Mk M

zk =Ck(x) + Dk(x)u(2.15)

onde Mk e um subconjunto de M, Ck(x) e Dk(x) sao matrizes nout 1 e nout nin,

respectivamente, cujos elementos sao funcoes analticas reais em Mk, e

Dk(x) =

Dk1(x)

0

com Dk1 sendo a matrix rk nin de posto rk para todo x Mk.

Na construcao acima, e produzida uma sequencia de inteiros nao negativosr1, r2, . . . , rk

onde rk e denominado ndice de inversibilidade do k-esimo sistema. Por construcao 0

r1 r2 . . . nout.

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Definicao 2.4.2 A ordem de rastreamento do sistema 2.12 e definida como o mnimo

inteiro k tal querk =nout ou= serk < nout para todo k >0 [8].

Para continuar o desenvolvimento da teoria de inversao de sistemas, deve-se garan-

tir que a sada zk do k-esimo sistema, para todo k > 0, e dependente da entrada u()

implicitamente e nao explicitamente.

Teorema 2.4.1 Seja o sistema nao linear 2.12 com ordem de rastreamento < , ou

seja, finita.

Se 2 e

BiAjRk() 0emM (2.16)

para0 k 2, 0 j 2 k, ei = 1, . . . , nin, entao, a sada do k-esimo sistema

2.12 pode ser decomposta como

zk =

zk

zk

=

Hk(x)

Jk(x)

yk =Kk(x)yk (2.17)

ondeyTk = (y(1))T . . . (y(k))T ey(i) =dyi

dti.

Isto significa dizer que a sada zk do k-esimo sistema, k = 1, . . . , , e dependente

implicitamente da entrada u(). Tem-se, entao,

zk(x) =

Hk(x)

Jk(x)

yk =

Ck(x)

Ck(x)

+

Dk1(x)

0

u(t) (2.18)

Observa-se, que para < , o -esimo sistema e dado por

Sistema : x= A(x) + B(x)u; x Mz=C(x) + D(x)u (2.19)

onde a matriz D(x)noutnin de posto nout tem a inversa D1 (x) em M

z=K(x)y=H(x)y

onde H(x) e uma matriz nout nout.

Definicao 2.4.3 Diz-se que uma funcao f(t) definida em [0, ) pode ser reproduzida

funcionalmente pela saday(t) do sistema 2.12, para uma dada condicao inicialx(0), se

existe algum controleu(), tal quey(t) =f(t) para todo t [0, )

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Em [8] e desenvolvida uma condicao suficiente para a reprodutibilidade funcional.

Teorema 2.4.2 Seja o sistema nao linear 2.12 com ordem de rastreamento < e,para 2, supoe-se que a condicao 2.16 seja satisfeita.

Seja f(t) uma funcao analtica real e o estado inicial x(0) = x0 M. Entao, f() =

y(, u , x0) para algum controle admissvel u, se e somente se,

f(0) =C(x0) e

Jk(x0) Fk(0) = Ck(x0) , parak = 1, . . . , 1

onde

Fk(t) =

f(1)(t)...

f(k)(t)

Corolario 2.4.1 Seja o sistema nao linear 2.12 com ordem de rastreamento < e,

para 2, supoe-se que a condicao 2.16 seja satisfeita. Entao, o sistema

x=

A (x) +

B (x) u; x M, x(0) =x0

y= C(x) + D (x) u(2.20)

com

A (x) =A (x) B (x) D(x) C(x)

B (x) =B (x) D(x) H(x)

C(x) = D(x) C(x)

D (x) =D(x) H(x)

D

(x) =DT

DDT

1

(2.21)

atua como um sistema inverso a direita para o sistema 2.12 [8], ondeu ey sao a entrada

e a sada do sistema inverso a direita, respectivamente.

Em particular, se f() pode ser reproduzida por y(, u , x0) para algum u e x0 M,

entao, f() = y(, uf, x0) onde uf = y(, F, x0). Em [10], o algoritmo de inversao ([7]

e [8]) e apresentado de forma detalhada e com o enfoque na area de controle. Tambem

sao apresentadas as provas e teoremas. Para maiores detalhes faz-se necessaria a leitura

dessas referencias.

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2.5 Modelo Desacoplado do Gerador Sncrono

Ao sistema 2.5, aplica-se a tecnica de inversao a direita desenvolvida em [7] e [8],resultando em dois sistemas desacoplados e, assim, e possvel pro jetar um controlador

para cada um dos subsistemas resultantes.

O numero de entradas e sadas (nin = nout) e igual a 2, e foi aplicado o algoritmo de

inversao ([7] e [8]), previamente detalhado. O resultado apos a aplicacao do algoritmo,

para este caso, sera uma sequencia de quatro sistemas (ordem de rastreamento = 4)

compostos pelas derivadas dos sinais de sada de uma maneira similar a forma mostrada

nas equacoes 2.20 e 2.21. A construcao do primeiro sistema e obtida derivando-se o sinalde sada y em relacao ao tempo.

Sistema 1

z1= z1= y=

(1)f

(1)

= C1(x(t)) + D1u(t) =

a3

onde

C1= C1=

a3

D1=

0 0

0 0

e

R0(x) =R0= I(22) (matriz identidade de ordem 2)

r1= 0

K1(x) =K1 = J1 =

1 0

0 1

Para o segundo sistema, deriva-se o sinal z1 em relacao ao tempo.

Sistema 2

z2 =

z2

z2

=

(2)f

(2)

= C2(x(t)) + D2u(t) =

= a3

= p5 sin p6a3+ p7a4+ (p7ke) T1e

a2

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onde

C2 = C2

C2=

p5 sin p6a3+ p7a4

a2 (2.22)

D2 =

(p7ke) T1e 0

0 0

e

R1(x) =R1=I(22)

r2= 1

K2(x) =K2= H2

J2=

0 0 1 0

0 0 0 1

Nota-se que para o fluxo de campo f, o objetivo do algoritmo de inversao foi al-

cancado, logo, nao e mais necessaria a derivacao dos termos correspondentes ao fluxo de

campo. Para o terceiro sistema, deriva-se o sinal z2 em relacao ao tempo.

Sistema 3

z3 =

z3

z3

=

(2)f

(3)

= C3(x(t)) + D3u(t) =

=

a3

a2

=

p5 sin p6a3+ p7a4+ (p7ke) T1e

2p1 cos2p2a2 p3(a3sin + fcos ) +p4a5

onde

C3 = C3

C3

= C2

2p1 cos2p2a2 p3(a3sin + fcos ) +p4a5

(2.23)

D3 = D2

e

R2(x) =R2 = I(22)

r3 = 1

K3(x) =K3 =

H3

J3

=

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1

Para o quarto sistema, deriva-se o sinal z3 em relacao ao tempo.

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Sistema 4

z4= z4=

(2)f(4)

= C4(x(t)) + D4u(t) = a3

C3

onde

C4 = C4 =

C2

C4

(2.24)

C4(x) = 2p1(a2cos 2 22 sin2) p2C3 p3

C2 f

2

sin +

+ (2a3+ fa2)cos ] +p4(a5+ a6) T1

t

(2.25)

D4=

p7keT1e 0

p3p7kesin T1

e p4(TtTg)1

(2.26)

e

R3(x) =R3 = I(22)

r4 = 2

K4(x) =K4=H4=

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1

(2.27)

Nota-se que D4 =D14 , e

D14 =

Te(p7ke)1 0

p3p14 TtTgsin p

14 TtTg

(2.28)

Como o sistema 4 possui ordem de rastreamento = 4 e sua sada e dependente

implicitamente da entrada uT =

ue ug

, entao o sistema

A (x) =A (x) B (x) D4(x) C4(x)

B (x) =B (x) D4(x) H4(x)

C(x) = D4(x) C4(x)

D (x) =D4(x) H4(x)

D4(x) =DT4

D4D

T4

1

(2.29)

atua como sistema inverso a direita do sistema 2.5. E importante destacar que o vetor de

tensao u e obtido a partir do vetor de sada y do sistema inverso.

Em [16] esses resultados sao usados para gerar uma funcao de reprodutibilidade as-

sintotica. Nesta dissertacao este rastreamento assintotico e obtido por um controlador

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adaptativo robusto que, mesmo na presenca de incertezas parametricas e dinamicas nao

modeladas (Apendice C), deve levar as sadas do gerador sncrono ao seu estado de

equilbrio x = (f, )T.

As sadas do sistema inverso a direita (e, consequentemente, as entradas do gerador

sncrono) seguem

u=

ue

ug

=

Te

C2(x) + u1(t)

(p7ke)1

p3TtTgsin

C2(x) + u1(t)

p14 +

+ TtTg

C4(x) + u2(t)

p14

(2.30)

onde u1(t) e u2(t) sao os sinais de entrada do sistema inverso a direita geradas pelo

controlador.

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Captulo 3

Controlador Adaptativo Robusto

3.1 Introducao

3.1.1 Sistemas de Controle

Um sistema a ser controlado pode ser representado, de forma simplificada, conforme

a Figura 3.1

Figura 3.1: Sistema de Controle.

O sistema a ser controlado e chamado de processo ou planta (Apendice A). O sinal

aplicado na(s) entrada(s) de controleue chamado sinal de controle, e tambem e conhecido

como variavel manipulada. O sinal de sada do processo y e chamado de variavel contro-

lada ou variavel de processo, e e a variavel cujo comportamento se deseja controlar. Alem

disso, o sistema esta, em geral, sujeito a acao de sinais exogenos chamados de perturbacoes

(Apendice C), que sao sinais de entrada cujos valores nao podem ser manipulados [63].

A classificacao de um sistema de controle divide-se em malha aberta e malha fechada.Em um sistema de controle em malha aberta, o sinal de sada nao e medido nem reali-

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Captulo 3. Controlador Adaptativo Robusto 25

mentado para comparacao com o sinal de entrada. No controle em malha fechada, o sinal

de erro atuante, que e a diferenca entre o sinal de entrada e o sinal realimentado (que

pode ser o proprio sinal de sada ou uma funcao do sinal de sada e suas derivadas), e

introduzido no controlador de modo a reduzir o erro e trazer a sada do sistema a um

valor desejado. As desvantagens dos sistemas a malha aberta, especificamente a sensibi-

lidade a perturbacoes e a incapacidade de corrigir os efeitos destas perturbacoes, podem

ser superadas no sistema a malha fechada.

O controlador e um dispositivo que realiza determinadas operacoes matematicas sobre

o sinal de erro a fim de produzir uma acao de controle que, ao ser aplicado ao processo, faz

com que sejam satisfeitos determinados objetivos de desempenho do sistema de controle.

A estas acoes matematicas da-se o nome de acoes de controle [63].

O calculo do sinal de controle pode ser realizado baseado somente na sada, ou nas

variaveis de estado do sistema. Nesta dissertacao e suposto que e mensurado apenas a

sada do sistema y. A forma de calcular as acoes de controle depende da teoria de controle

utilizada.

3.1.2 Controle Classico

Dentro da teoria de controle classico, a acao de controle pode ser calculada de diversas

formas. As principais formas sao: atraves da combinacao da acao proporcional, integral

e derivativa (PID) [70], do posicionamento de polos, de um compensador em atraso, em

avanco e da realimentacao de estados.

Estes controladores possuem uma estrutura fixa, ou seja, seus parametros sao estaticos

no tempo, sao sintonizados para um ponto ou uma regiao de operacao de um processo eessa sintonia nao e modificada automaticamente caso seja necessario. Assim, a modelagem

do processo e uma etapa importante para uma boa sintonia do controlador.

Atualmente, controladores de estrutura simples e padronizada, como os controladores

PID, representam a imensa maioria das malhas de controle industriais em todo o mundo

[63]. Nos controladores PID comercializados, apenas os ganhos dessas acoes sao ajustados.

Este possui uma estrutura fixa e permite realizar seu projeto de forma simples e eficiente.

A depender da necessidade do projeto, uma ou mais acoes do controlador PID podem

nao ser utilizadas. A acao proporcional usualmente e empregada e, assim, as quatro

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configuracoes utilizadas sao: P, PD, PI e PID, sendo admissvel utilizar as acoes separadas

em uma malha ou em diferentes malhas do sistema.

O sinal de controle, em um controlador PID, e calculado em funcao do sinal de erro,

e a estrutura, em diagrama de blocos, mais utilizada, pode ser vista na Figura 3.2.

Figura 3.2: Controlador PID.

Nas usinas geradoras de energia, para o controle de tensao e frequencia dos geradores

sncronos sao usados controladores PID. Mais precisamente, para a malha da excitatriz

e utilizado um PI e para a malha do regulador de velocidade, um PID com uma partederivativa bem pequena. Estes controladores sao ajustados atraves de modelos lineariza-

dos e parametros fornecidos pelo fabricante. Devido aos motivos expostos acima, pode

ser notado que este tipo de controle pode nao ser a melhor alternativa. Nesta dissertacao,

um controlador adaptativo robusto e proposto em substituicao ao PID classico.

3.1.3 Controle Adaptativo

O projeto de um controlador, na maioria dos casos, depende do modelo da planta em

uma determinada condicao de operacao. Porem, a modelagem pode apresentar grande

dificuldade, alem de, em diversos processos, alguns parametros da planta serem desco-

nhecidos ou parcialmente conhecidos (conhecidos com incertezas). Assim, surgiu a neces-

sidade de tecnicas de estimacao desses parametros com o intuito de melhor entender o

comportamento da planta.

A motivacao da adaptacao em sistemas de controle surgiu do desenvolvimento de um

piloto automatico de alto desempenho no incio da decada de 50 ([21] e [22]), devido a

aeronave operar em uma grande faixa de velocidades e alturas, e sua dinamica ser nao

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linear e conceitualmente variante no tempo [4].

O final dos anos 70 marcou significativamente o progresso da teoria do controle adap-

tativo, em termos de obtencao de provas de estabilidade assintotica global (Apendice B)

e unificacao dos diversos algoritmos adaptativos ([23], [24] e [25]). Todas as provas de

estabilidade elaboradas, nesta epoca, tem em comum uma hipotese bastante restritiva.

A hipotese assume que o grau relativo n do sistema, que e a diferenca entre o grau do

denominador e do numerador, e conhecido, alem da necessidade de excitacao rica em

frequencias. Apesar da existencia de provas de estabilidade para os sistemas de controle

adaptativo, em [23] e [29] foi mostrado que varios algoritmos podem tornar-se instaveis

quando algumas suposicoes requeridas pela prova de estabilidade nao sao satisfeitas [6].

Uma estrutura de controle adaptativo, em geral, contem uma malha de realimentacao,

um estimador de parametros e um controlador com ganhos ajustaveis, como mostra a

Figura 3.3.

Figura 3.3: Estrutura de um Controlador Adaptativo.

A estimacao de parametros pode ser feita off-line, ou seja, apos um certo tempo os

parametros sao estimados atraves do processamento dos dados armazenados, ou a es-

timacao pode ser feita on-line, onde periodicamente os parametros sao atualizados com

base em estimativas anteriores e novos dados e, assim, esta estimacao e executada con-

correntemente com o sistema de controle.

Controle adaptativo consiste, portanto, em aplicar alguma tecnica de estimacao paraobter os parametros do modelo do processo e de seu meio a partir de medicoes de sinais

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da entrada e da sada da planta, e usar este modelo para projetar um controlador [5].

A estrutura de controle adaptativo e classificada em indireta e direta. No controle

adaptativo indireto (tambem chamado de controle adaptativo explcito) os parametros da

planta sao estimadoson-linee usados para calcular os parametros do controlador. No con-

trole adaptativo direto, o modelo da planta e parametrizado em termos dos parametros

do controlador, os quais sao estimados diretamente sem calculos intermediarios envol-

vendo estimativas dos parametros da planta. E tambem chamado de controle adaptativo

implcito por ser baseado na estimacao de um modelo implcito da planta [4]. Em ambas

as estruturas, os calculos dos parametros do controlador sao feitos por leis de adaptacao.

As principais tecnicas de controle adaptativo sao: PID adaptativo, Controlador Adap-

tativo por Modelo de Referencia (MRAC - Model Reference Adaptive Controller), Con-

trolador Adaptativo por Posicionamento de Polos (APPC - Adaptive Pole Position Con-

troller), Controlador Adaptativo Auto Oscilatorio e Controlador com Ganhos Ajustaveis

(Gain Scheduling) ([4], [5] e [41]).

Devido a exigencia de parametros exatos para a aplicacao da teoria de desacoplamento

para sistemas nao lineares, faz-se necessaria a aplicacao de controladores adaptativos

robustos ao modelo desacoplado do gerador sncrono. O primeiro subsistema e referente

ao fluxo de campo e seu modelo e de grau relativo 2. O segundo subsistema e referente

ao angulo de carga e seu modelo e de grau relativo 4. Entao, podem ser usados modelos

e controladores diferentes, para cada subsistema do gerador sncrono.

3.2 Controle Adaptativo por Modelo de Referencia

O MRAC convencional usa leis integrais de adaptacao e a sada da planta segue um

modelo de referencia especificado [4]. O erro e0 entre a sada da planta e a sada do mo-

delo de referencia e utilizado por um algoritmo de adaptacao para ajustar os parametros

do controlador. Assim, a dinamica da planta e forcada a seguir a dinamica do modelo.

O algoritmo convencional apresenta problemas de estabilidade sob condicoes nao ideais e

mesmo com as modificacoes para aumentar a robustez (Apendice C) do algoritmo con-

vencional [4], em geral o transitorio e lento e oscilatorio.

O MRAC e derivado do Controle por Modelo de Referencia (MRC - Model Reference

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Control). No MRC, um bom conhecimento da planta e dos parametros de desempenho

fornecem ao projetista as ferramentas necessarias para se obter o modelo, chamado de

modelo de referencia, que descreve as propriedades de entrada/sada requeridas da planta

em malha fechada. O objetivo do MRC e obter a lei de controle que modifica a estrutura

e a dinamica da planta para que suas propriedades de entrada/sada sejam exatamente

como as do modelo de referencia. A funcao de transferenciaM(s) do modelo de referencia

e escolhida para que um dado sinal de entrada r(t) leve sua sada ym(t) a apresentar a

resposta desejada da sada da plantay(t).

O controlador e escolhido tal que seus sinais sejam uniformemente limitados e a sada

da funcao de transferencia (Apendice A) da planta em malha fechada siga a sada do

modelo de referencia. Essa condicao de igualdade garante que para uma dada referencia,

o erro de sada, que representa a diferenca entre o sinal de sada da planta e a sada do

modelo, convirja a zero. A condicao de igualdade entre as funcoes de transferencia do

modelo de referencia e do sistema em malha fechada e conseguida atraves do cancelamento

de zeros da funcao transferencia da planta e substituicao dos mesmos por aqueles presentes

no modelo. O cancelamento dos zeros da planta, entao, faz com que a planta seja de fase

nao mnima (Apendice A). Se algum zero da planta estiver no semiplano direito, seu

cancelamento pode levar a sinais nao limitados.

O projeto do controlador requer o conhecimento dos coeficientes da funcao de trans-

ferencia da planta. Quando esses coeficientes sao desconhecidos, ou conhecidos com in-

certezas, o MRC nao pode ser implementado. Uma maneira de tratar com o caso dos

parametros desconhecidos e usar metodos de estimacao de parametros que substituam

os parametros desconhecidos na lei de controle, obtidos pelo metodo direto ou indireto.

Tem-se, entao, o MRAC (Figura 3.4).

O MRAC e usado em plantas com parametros incertos, sendo projetado para atender

especificacoes de desempenho definidas pelo modelo de referencia. Tradicionalmente, o

MRAC vem sendo desenvolvido em uma abordagem direta, e este e constitudo de uma

estrutura de controle parametrizada e um mecanismo de aprendizagem ou adaptacao

utilizando somente medicoes da entrada e sada da planta. Como caractersticas deste

controlador com leis integrais de adaptacao tem-se um desempenho transitorio lento,

porem em regime permanente, um sinal de controle suave. Os parametros do controlador

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Figura 3.4: MRAC direto.

sao ajustados atraves do erro entre a sada da planta e a sada do modelo de referencia.

Considere uma planta linear, monovariavel, com incertezas parametricas e invariante

no tempo com funcao de transferencia

G(s) =kp np(s)

dp(s) (3.1)

sendo u o sinal de entrada e y o sinal de sada. Considere, tambem, um modelo de

referencia, que possui r como sinal de entrada e ym como sinal de sada

M(s) =kmnm(s)

dm(s) (3.2)

O objetivo e encontrar uma lei de controle u(t) para que o erro de sada e0

e0 = y ym

tenda para zero assintoticamente, para condicoes iniciais quaisquer e sinais de referencia

r(t) contnuos por partes e uniformemente limitados.

As seguintes hipoteses sao assumidas:

a. np(s) edp(s) sao polinomios monicos (Apendice A) de grau [dp(s)] =n e grau [np(s)] =

m;

b. nm(s) edm(s) sao polinomios monicos de mesmo grau relativo que a planta (em geral,

de mesmo grau que np(s) e dp(s), respectivamente);

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c. A planta deve ser controlavel e observavel, ou seja,np(s) e dp(s) sao coprimos (Apendice

A);

d. kp e km (ganhos de alta frequencia) com o mesmo sinal. Em geral, kp >0 e km >0;

e. A planta e de fase mnima;

f. Somente a entrada e a sada da planta sao mensuraveis.

Como o numero de parametros da planta e igual a 2n, e os sinais disponveis sao r

e y, sao necessarios 2n 2 sinais adicionais para gerar o sinal de controle u. Utiliza-se,

entao, sinais filtrados da entrada e sada, como segue v1 = v1+ gu, v1

n1

v2 = v2+ gy, v2 n1

(3.3)

onde e escolhido tal quenm(s) seja um fator de det (sI ). O vetor regresor e definido

como

=

v1

y

v2

r

e o sinal de controle u

u= T

onde

(t) =

v1

n

v2

2n

e o vetor de parametros adaptativos [41].

Baseado nas hipoteses anteriores, segundo [4], existe um unico vetor constante tal

que a funcao de transferencia da planta em malha fechada (com u = T)) se comporte

exatamente como o modelo de referencia M(s) (condicao de matching). Obviamente

somente pode ser conhecido se a planta for conhecida, o que e bastante difcil na

pratica. Quando isto nao e o caso, (t) e adaptado ate que e0(t) 0 quando t e,

eventualmente sob alguma condicao de riqueza de sinal, (t) .

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Seja

A b hT

uma realizacao mnima da planta, e x n o respectivo vetor de

estado. Entao, a planta com os filtros podem ser representados como xc= A0xc+ b0uy = hTcxc (3.4)

onde

xc=

x

v1

v2

, xc 3n2, A0 =

A 0 0

0 0

ghT 0

, b0 =

b

g

0

, hTc =

hT 0 0

Nota-se que = xc+ brr com

=

c

0

c=

0 I 0

hT 0 0

0 0 I

br =

0

0

0

1

Tem-se, entao,

xc= Acxc+ bc

2n

u T

+ bcr

y = hTcxc

(3.5)

onde Ac = A0+ b0Tr c,

Tr =

1 . . .

2n1

, xc

3n2, bc =

2nb0 e

2n =

km

kp>0.

Ac bc hTc

e uma realizacao nao mnima e estavel de M(s) [6], ou seja, o modelo

de referencia pode ser representado como xcm=Acxcm+ bcr, xcm

3n2

ym=hTcxcm

(3.6)

Definindo o vetor de erro por e= xm xcm, tem-se a seguinte equacao do erro

ecm=Ace + bc

2n

u T

e0 = h

Tce

(3.7)

e, na forma entrada/saida

e0 = 1

2nM

u T

(3.8)

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Considere um polinomio L(s) de grau N = n 1, de forma que M(s)L(s) seja

Estritamente Real Positivo (ERP). Seja um sinal auxiliar, interpretado como predicao do

erroe0 [64],

ya = M L2n+1

L1u TL1

(3.9)

onde 2n+1 e sao estimativas para

2n1 e (parametros de matching), respectiva-

mente. O erro aumentado e definido como

ea= (y ym) ya= e0 ya (3.10)

Em [65] foi proposta uma modificacao em ya

, com a intencao de tornar o sistema

adaptativo globalmente estavel. Tem-se, entao,

ya=M L

2n+1

L1T TL1

+ ea

L1T

L1

, >0 (3.11)

As seguintes leis integrais de adaptacao sao utilizadas para atualizar (t) e 2n+1(t)

= ea

L1

(3.12)

2n+1=ea

L

1T TL

1

(3.13)

A Tabela 3.1 resume o algoritmo de um controlador MRAC convencional.

O algoritmo MRAC para ser globalmente estavel (Apendice B) na presenca de per-

turbacoes necessita da introducao de normalizacao, o que pode levar os transitorios de

adaptacao a serem demasiadamente lentos. Mesmo com a excitacao rica em frequencias,

a qualidade do transitorio de adaptacao (quando esta distante de ) nao e uniforme

e a convergencia dos paramentros adaptativos e muito lenta. Apesar do comportamento

transitorio nao ser totalmente aceitavel, em algumas situacoes, o sinal de controle e suave,

tornando-o adequado para a condicao de regime permanente.

3.3 Sistemas com Estrutura Variavel

A teoria de modos deslizantes em sistemas com estrutura variavel [39] tem sido uti-

lizada em sistemas de controle. Neste metodo, as funcoes de chaveamento das variaveis

de controle devem ser projetadas de modo a restringir a dinamica do sistema a uma su-

perfcie deslizante no espaco de estado. Assim, as trajetorias do sistema tendem a alcancar

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Tabela 3.1: Algoritmo do controlador MRAC convencional.

Inicializacao de variaveis:Constantes: g, ,

Variaveis: (0), 2n+1(0), (0), ym(0), ea(0), ya(0)

Composicao do vetor regressor :

v1 = v1+ gu

y = Gu

v2 = v2+ gy

r

Calculo do erro de sada e0:

ym = Mr

e0 = y ym

Calculo do erro de predicao ya:

2n+1 = eaL1T TL1

ya = ML

2n+1L1T TL1

+ ea

L1

TL1

Calculo do erro aumentado ea:

ea = e0 ya

Calculo do vetor de parametros adaptativos:

= eaL1

Calculo do sinal de controle u:

u = T

e manter-se na superfcie de deslizamento, tornando-se, entao, insensveis as incertezas da

planta.

As principais caractersticas de um controle adaptativo com estrutura variavel sao a

rapidez no transitorio e a robustez a variacoes parametricas e perturbacoes, dentro de uma

certa faixa de tolerancia. Contudo, tem tambem como caracterstica, um chaveamento

em alta frequencia no sinal de controle e, ou em variaveis onde este metodo e aplicado,

fenomeno conhecido como chattering.

Em seguida e apresentada, resumidamente, a teoria para sistemas com estrutura

variavel.

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3.3.1 Descricao Geral

Para as demonstracoes sera considerado o seguinte sistema de segunda ordem x1 = x2x2 = a1x1+ a2x2+ u (3.14)

com a1 e a2 conhecidos com incertezas.

Define-se uma superfcie de chaveamento scomo

s=

x R2 | s(x) =cx1+ x2 = 0, c >0

(3.15)

na qual deseja-se que permanecam as variaveis de estado x1 e x2 (dinamica do sistema).

Deve ser satisfeita a condicao ss < 0 para se ter o comportamento ilustrado na Figura

3.5.

Figura 3.5: Superfcie de deslizamento em um sistema com estrutura variavel.

Em um problema de estabilizacao deve-se ter: limt

x1(t) = 0 e limt

x2(t) = 0.

Utiliza-se u(x) = 1x1+ 2x2 de forma que

u(x) =

u

+(x), se s(x)> 0

u(x), se s(x)< 0(3.16)

Obtem-se a convergencia das trajetorias para s(x) = 0 com

1= 1sgn(sx1) , 1 > |a1|

2= 2sgn(sx2) , 2 > |c + a2|(3.17)

Os valores dos parametros determinam a rapidez com que a trajetoria atinge a

superfcie de deslizamento.

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Desta forma, o sistema torna-se

x= f

+(x), se s(x)> 0

f(x), se s(x)< 0 (3.18)

tendo como condicao de deslizamento

s(x) s(x)< 0 (3.19)

Pode-se interpretar a condicao de deslizamento como a derivada (negativa) da funcao1

2s(x)2, que e uma medida da distancia a superfcie de deslizamento s(x) = 0.

Se a condicao de deslizamentos(x) s(x)< 0 e satisfeita em uma vizinhanca des(x) =0, os campos vetoriais representados por f+(x) e f(x) apontam para esta superfcie e,

portanto, se uma trajetoria alcanca s(x), e forcada a permanecer (deslizar) sobre esta.

3.4 Controlador Adaptativo por Modelo de Referencia

e Estrutura Variavel

Uma alternativa para melhorar o desempenho transitorio e a robustez consiste na

utilizacao de estrutura variavel combinada com controle adaptativo. E neste contexto

que se encontra o Controlador Adaptativo por Modelo de Referencia e Estrutura Variavel

(VS-MRAC - Variable Structure Model Reference Adaptive Controller), que utilizou a

estrutura do controle por modelo de referencia do MRAC, com medicoes apenas da entrada

e sada da planta, e leis chaveadas para o sinal de controle. O VS-MRAC e robusto a

variacoes parametricas da planta e perturbacoes, apresentando um transitorio rapido e

poucas oscilacoes como pode ser visto em [34], [35], [36] e [38].

Considerando a existencia de incertezas parametricas, perturbacoes, alto grau de aco-

plamento, nao linearidades e variacoes parametricas no sistema a ser controlado (Apendice

C) nesta dissertacao, um controlador adaptativo robusto pode ser usado para levar o sis-

tema de potencia a um bom desempenho transitorio e em regime permanente.

O VS-MRAC foi desenvolvido em [34] com o intuito de se ter um controlador que

tornasse o sistema em malha fechada robusto em relacao as incertezas parametricas,

disturbios externos e dinamica nao modelada, e com um desempenho transitorio me-

lhor que os algoritmos baseados em identificacao de parametros. Esta solucao usou a

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estrutura do MRAC [4] com a substituicao das leis integrais de adaptacao por leis cha-

veadas a estrutura variavel [39]. Isto leva o erro de sada e0(t) = 0 para uma superfcie

deslizante no espaco de estado do erro do sistema.

O algoritmo para plantas de ordem superior a 1, assim como a prova de estabilidade,

podem ser encontradas nos trabalhos [35], [37] e [38]. No caso de plantas com grau relativo

n maior que um, e necessaria a introducao de uma cadeia de erros auxiliares ei e duas

cadeias de parametros auxiliares i ei para que seja possvel o rastreamento do modelo

de referencia [35].

No algoritmo original, os erros auxiliares ei sao definidos em funcao de controles equi-

valentes em modos deslizantes. Entretanto, em uma implementacao pratica, eles sao

substitudos pelos sinais de controle medios obtidos atraves de filtros com uma constante

de tempo suficientemente pequena.

O algoritmo apresentado em [35] foi modificado em [36], o que reduziu o numero de

reles e possibilitou a obtencao de um algoritmo mais simples. Esse algoritmo foi chamado

de VS-MRAC compacto, sendo este, o algoritmo usado nesta dissertacao. Na Figura 3.6,

e mostrado o diagrama de blocos do VS-MRAC compacto.

Figura 3.6: Diagrama de Blocos do VS-MRAC para plantas com grau relativo maior que 1.

Como no MRAC, para grau relativo maior que um, nao e possvel escolher M(s) ERP.

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Portanto e necessario usar um polinomio

L(s) =L1(s)L2(s) . . . LN(s)

tal queM(s)L(s) seja ERP, onde Li(s) =s + i, i >0, (i= 0, . . . , N ). A introducao dos

seguintes vetores de sinais filtrados sao necessarios

i= (Li+1 . . . LN)1

, i= 0, 1, . . . , N 1

N=(3.20)

i= (Li+1 . . . LN)1

u, i= 0, 1, . . . , N 1

N=u(3.21)

O sinal adicional ya em 3.9 e redefinido e, utilizando a nomenclatura dada em 3.20 e

3.21, resulta em

ya=M L2n+1

0 T0

(3.22)

Define-se os seguintes sinais

ui= Tii, i= 0, 1, . . . , N

ui =i i

Tnomi

, i= 0, 1, . . . , N 1

ui=u

i u

i, i= 0, 1, . . . , N 1

uN= u

N

u= uN+ unom

e

unom= Tnom (3.23)

onde nom 2n e um vetor de parametros nominais obtidos do modelo nominal da

planta, onde idealmente nom= .

Baseado nas definicoes realizadas e manipulando-se a equacao 3.22, obtem-se um novo

formato para a predicao do erro

ya= nomM L

u0 L1uN

(3.24)

com nom sendo o valor nominal para =

1

2n. A definicao dos parametros do contro-

lador e dada por

> || = nom

nom ij >

j j,nom , i= 1, . . . , N 1, j= 1, . . . , 2nN j >

j j,nom , j = 1, . . . , 2n(3.25)

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onde = + 1 e kappa= 12n . Para finalizar, deve-se definir as funcoes de modulacaofi

e a lei de controle u

fi = i Tnomi + 2n

j=1

Ti,j |i,j| , i= 0, 1, . . . , N 1

fN=TN |N|

(3.26)

ui= fisgn(e

i) , i= 0, 1, . . . , N

u= unom uN(3.27)

As leis de adaptacao a estrutura variavel sao escolhidas de forma que os erros auxili-

ares ei

(i = 0, 1, . . . , N ) tornem-se modos deslizantes em um tempo finito. Os controles

equivalentes (ui)eq sao obtidos assintoticamente de ui por meio de um filtro passa-baixa

F1 com frequencia de corte suficientemente elevada.

A malha de realimentacao do algoritmo do VS-MRAC e interpretada como uma serie

de Nfiltros em avanco a estrutura variavel, cuja funcao consiste em obter a condicao de

matching. Estes filtros sao necessarios devido a introducao do sinal adicional

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