marcus bessa – [email protected] curso de pÓs graduaÇÃo finanÇas - estatÍstica

Marcus Bessa – [email protected]

CURSO DE PÓS GRADUAÇÃOFINANÇAS - ESTATÍSTICA

A estatística é uma parte da matemática aplicada que fornece métodos para a coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados para a utilização dos mesmos na tomada de decisões.

Segundo o estatístico Jean-Claude Garnier a estatística passa do certo desconhecido para o conhecido incerto.

Por meio de sondagem, de coleta de dados e de recenseamento de opiniões, podemos conhecer a realidade geográfica e social, os recursos naturais, humanos e financeiros disponíveis, as expectativas da comunidade sobre a empresa, e estabelecer suas metas, seus objetivos com maior possibilidade de serem alcançados a curto, médio ou longo prazos.

Variável – É, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. São tipos de variáveis:

Qualitativa – quando seus valores são expressos por atributos: sexo (masculino – feminino), cor da pele (branca, preta, amarela, vermelha, parda) etc.

Quantitativa – quando seus valores são expressos em números (salário dos funcionários, idade dos alunos etc). Uma variável quantitativa que pode assumir, qualquer valor entre dois limites recebe o nome de variável contínua: uma variável que só pode assumir valores pertencentes a um conjunto enumerável recebe o nome de variável discreta.

Classifique as variáveis abaixo em qualitativas ou quantitativas (discretas ou contínuas):

a) População: Estação meteorológica de uma cidade.Variável: precipitação pluviométrica, durante o ano.Resp.:

b) P: Alunos de uma cidade.V: Cor dos olhos.Resp.:

c) P: Bolsa de valores de São Paulo.V: Número de ações negociadas.Resp.:

d) P: Funcionários de uma empresa.V: Salários.Resp.:

Quantitativa contínua

Qualitativa

Quantitativa discreta

Quantitativa contínua

População – Ao conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma característica comum denominamos População estatística ou Universo estatístico.

Amostra – É um subconjunto finito de uma população.

Amostragem – É uma técnica especial para recolher amostras, que garante, tanto quanto possível, o acaso na escolha. Tipos de amostragem:

Amostragem casual ou aleatória simples – pode ser realizada numerando-se a população de 1 a n e sorteando-se, a seguir, por meio de um dispositivo aleatório qualquer. Podemos exemplificar através do sorteio lotérico.

Amostragem proporcional estratificada – Como é provável que a variável em estudo apresente, de estrato em estrato, um comportamento heterogêneo e, dentro de cada estrato, um comportamento homogêneo, convém que o sorteio dos elementos da amostra leve em consideração tais estratos. Ou seja, consideramos a existência dos estratos, obtendo os elementos da amostra proporcional ao número de elementos dos mesmos.

Amostragem sistemática – Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há necessidade de construir o sistema de referência. São exemplos os prontuários médicos de um hospital, os prédios de uma rua, linhas de produção etc. Nesses casos, a seleção dos elementos que constituirão a amostra pode ser feita por sistema de imposto pelo pesquisador.

Séries estatísticas - É toda tabela que apresenta a distribuição de um conjunto de dados estatísticos em função da época, do local ou da espécie. Podemos exemplificar através da distribuição de freqüência.

Dados absolutos - São dados estatísticos resultantes da coleta direta da fonte, sem outra manipulação senão a contagem ou medida.

Dados relativos – São o resultado de comparações por quociente (razões) que se estabelecem entre os dados absolutos e têm por finalidade realçar ou facilitar as comparações entre quantidades. Traduzem-se os dados relativos, em geral, por meio de percentagens, índices, coeficientes e taxas.

Índices – São razões entre duas grandezas tais que uma não inclua a outra. Exemplo:Índice demográfico (ou densidade demográfica) = população

superfície

Coeficientes – São as razões entre o número de ocorrências e o número total (número de ocorrências e o número de não ocorrências). Exemplo:

Coeficiente de natalidade = número de nascimento população

Taxas – São os coeficientes multiplicados por uma potência de 10 (10, 100, 1000 etc.).Exemplos:

Taxa de natalidade = coeficiente de natalidade x 1000.Taxa de evasão escolar = coeficiente de evasão escolar x 1000

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA

166 160 161 150 162 160 165 167 164 160

162 161 168 163 156 173 160 155 164 168

155 152 163 160 155 155 169 151 170 164

154 161 156 172 153 157 156 158 158 161

Tabela 1Estatura de 40 alunos do colégio A

Rol – É um tipo de tabela, cujos elementos não foram numericamente organizados. Também é denominado tabela primitiva.

No exemplo que trabalhamos, a variável em questão, estatura, será observada e estudada muito mais facilmente quando dispusermos valores ordenados em uma coluna e colocarmos, ao lado de cada valor, o número de vezes que aparece repetido.Denominamos freqüência o número e alunos que fica relacionado a um determinado valor da variável. Obtemos, assim, uma tabela que recebe o nome de distribuição de freqüência.

ESTAT.

(CM)

FREQ.

150

151

152

153

154

155

156

157

1

1

1

1

1

4

3

1

ESTAT.

(CM)

FREQ.

158

160

161

162

163

164

165

166

2

5

4

2

2

3

1

1

ESTAT.

(CM)

FREQ.

167

168

169

170

172

173

1

2

1

1

1

1

Total 40

O processo anterior ainda é inconveniente, já que exige um espaço muito grande, mesmo quando o número de valores da variável (n) é de tamanho razoável. Sendo possível, a solução mais aceitável, pela própria natureza da variável contínua, é o agrupamento dos valores em vários intervalos, sendo que, em estatística, preferimos chamar os intervalos de Classes.

ESTATURAS

(cm)

FREQÜÊNCIA

150 ⌐ 154

154 ⌐ 158

158 ⌐ 162

162 ⌐ 166

166 ⌐ 170

170 ⌐ 174

4

9

11

8

5

3

Total 40

ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA

Classes de freqüência – São intervalos de variação da variável.

Limites de classe – São os extremos de cada classe. A saber:O limite inferior (li) é o menor número da classe;O limite superior (Li) é o maior número da classe.

Amplitude de um interalo de classe (h) – É a medida do intervalo que define a classe. Será obtido pela diferença entre o limite superior e o limite inferior de cada classe. Ou seja:

h = Li - li

Amplitude total da distribuição (AT) – É a diferença entre o limite superior da última classe (limite superior máximo) e o limite inferior da primeira classe (limite inferior mínimo). Ou seja:

AT = L(máx.) – l(mín.)

Amplitude amostral (AA) – É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra. Ou seja:

AA = x(máx.) – x(mín.)

Ponto médio de uma classe (xi) – É, como o próprio nome indica, o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. Ou seja:

xi = Li + li

2

Freqüência simples ou absolutas (fi) – São os valores que realmente representam o número de dados de cada classe. A soma das freqüências simples é igual ao número de total dos dados.

Σfi = n

Freqüência relativas (fri) – São os valores das razões entre as freqüências simples e a freqüência total. Ou seja:

fri = fi

Σfi

Freqüência acumulada (Fi) – è o total das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe.

Fk = f1 + f2 + f3 + ... + fk

Freqüência acumulada relativa (Fri) – É a freqüência acumulada da classe, dividida pela freqüência total da distribuição. Ou seja:

Fri = Fi

Σfi

De acordo com os dados da Tabela 1, podemos montar a seguinte tabela com as freqüências estudadas:

iESTATURAS

(cm)fi xi fri Fi Fri

1

2

3

4

5

6

150 ⌐ 154

154 ⌐ 158

158 ⌐ 162

162 ⌐ 166

166 ⌐ 170

170 ⌐ 174

4

9

11

8

5

3

152

156

160

164

168

172

0,100

0,225

0,275

0,200

0,125

0,075

4

13

24

32

37

40

0,100

0,325

0,600

0,800

0,925

1,000

Σ = 40 Σ = 1,000

Exercícios:Faça a distribuição dos dados abaixo:

a) Sendo limite inferior 30 e 10 para intervalo de classe:

84 68 33 52 47 73 68 61 73 77

74 71 81 91 65 55 57 35 85 88

59 80 41 50 53 65 76 85 73 60

67 41 78 56 94 35 45 55 64 74

65 94 66 48 39 69 89 98 42 54

b) Os resultados obtidos pelo lançamento de um dado 50 vezes foram os seguintes:

6 5 2 6 4 3 6 2 6 5

1 6 3 3 5 1 3 6 3 4

5 4 3 1 3 5 4 4 2 6

2 2 5 2 5 1 3 6 5 1

5 6 2 4 6 1 5 2 4 3

Respostas:a)

i NOTAS fi xi fri Fi Fri

1

2

3

4

5

6

7

30 ⌐ 40

40 ⌐ 50

50 ⌐ 60

60 ⌐ 70

70 ⌐ 80

80 ⌐ 90

90 ⌐ 100

4

6

9

11

9

7

4

35

45

55

65

75

85

95

0,080

0,120

0,180

0,220

0,180

0,140

0,080

4

10

19

30

39

46

50

0,080

0,200

0,380

0,600

0,780

0,920

1,000

Σ = 50 Σ = 1,000

Respostas:b)

xi fi fri Fi Fri

1

2

3

4

5

6

6

8

9

7

10

10

0,120

0,160

0,180

0,140

0,200

0,200

6

14

23

30

40

50

0,120

0,280

0,460

0,600

0,800

1,000

Σ = 50 Σ = 1,000

As outras medidas de posição dão as separatrizes, que englobam:a. a própria mediana;b. os quartis;c. os percentis.

Medidas de Posição - São estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal (eixo das abscissas).

As medidas de posição mais importantes são as medidas de tendência central, que recebem tal denominação pelo fato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centrais. Dentre as medidas de tendência central, destacamos:

a. a média aritmética;b. a mediana;c. a moda.

Exemplo: Sabendo-se que a produção leiteira da vaca A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 litros, temos, para produção média da semana:

X = 10 + 14 + 13 + 15 + 16 + 18 + 12 = 98 = 14

7 7

Média Aritmética ( X ) - É o quociente da divisão da soma dos valores da variável pelo número deles: ( dados não agrupados)

X = Σ xi n

Sendo:

X – a média aritmética;

xi – os valores da variável;

n – o número de valores

Desvio em relação à média - Denominamos desvio em relação à média a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética.O somatório dos desvios em relação à média será igual a zero.

Observação:

Quando o número que representativo da média não está representado nos dados originais, costumamos dizer que a média não tem existência concreta.

Fórmula:

di = xi - X

MÉDIA ARITMÉTICA

Dados Agrupados: Sem intervalo de classes

Fórmula:

X = Σ fixi

Σ fi

Idade (xi) fi fi.xi

0

1

2

3

4

2

6

10

12

4

0

6

20

36

16

Σ = 34 Σ fi.xi = 78 X = 2,29

Fórmula:

X = Σ xifi

Σ fi

MÉDIA ARITMÉTICA

Dados Agrupados: Com intervalo de classes

i Estaturas

(cm)

fi xi fi.xi

1

2

3

4

5

6

150 ⌐ 154

154 ⌐ 158

158 ⌐ 162

162 ⌐ 166

166 ⌐ 170

170 ⌐ 174

4

9

11

8

5

3

152

156

160

164

168

172

608

1404

1760

1312

840

516

Σ = 40 Σ fi.xi = 6440X = 161

Exercícios: Média Aritmética

1- Um produto é vendido em três supermercados por R$ 13,00/kg, R$ 13,20/kg e R$ 13,50/kg. Determine quantos R$/kg se paga em média pelo produto.

2- Uma loja vende cinco produtos básicos A, B, C, D, E. O lucro por unidade comercializada destes produtos vale respectivamente R$ 200,00, R$ 300,00, R$ 500,00, R$ 1.000,00, R$ 5.000,00. A loja vendeu em determinado mês 20, 30, 20, 10, 5 unidades respectivamente. Qual foi lucro médio por unidade comercializada por esta loja?

3- Um caminhão cujo peso vazio é 3.000,00 kg será carregado com 480 caixas de 10 kg cada, 350 caixas de 8 kg cada, 500 caixas de 4 kg cada, 800 caixas de 5 kg cada. O motorista do caminhão pesa 80 kg e a lona de cobertura pesa 50 kg. (a) Se este caminhão tem que passar por uma balança que só permite passagens a caminhões com peso de 15 toneladas, este caminhão passará pela balança? (b) Qual o peso médio das caixas carregadas no caminhão?


4- Calcule a média das idades dos alunos de uma classe:

Idades fi

1718192021

3181784

Σ = 50

5- Calcule o número médio de acidentes por dia em uma determinada esquina:

Acidentes fi

01234

305311

Σ = 40


6- O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro ao lado. Calcule o salário médio destes funcionários.

7- Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, seguindo o quadro ao lado. Calcule o aluguel médio para estas residências

i Salários

(R$)

fi

1

2

3

4

5

6

400 ⌐ 500

500 ⌐ 600

600 ⌐ 700

700 ⌐ 800

800 ⌐ 900

900 ⌐ 1000

12

15

8

3

1

1

Σ = 40i Aluguel

(R$)

fi

1

2

3

4

5

0 ⌐ 200

200 ⌐ 400

400 ⌐ 600

600 ⌐ 800

800 ⌐ 1000

30

52

28

7

3

Σ = 120

Dados não-agrupados

Quando lidamos com valores não-agrupados, a moda é facilmente reconhecida:

Exemplos:7, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 15 – A moda é 10

3, 5, 8, 10, 12, 13 – não apresenta moda (amodal)

2, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 9 – temos duas modas: 4 e 7 (bimodal)

Moda (Mo) - Denominamos Moda o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.

Dados agrupados: Sem intervalo de classes

Uma vez agrupados os dados, é possível determinar imediatamente a moda basta fixar o valor da variável de maior freqüência.

MODA - Dados agrupados: Com intervalos de classe

A classe com maior freqüência é denominada classe modal. Pela definição, podemos afirmar que a moda, neste caso, é o valor dominante que está compreendido entre os limites da classe modal.

O método mais simples para o cálculo da moda consiste em tomar o ponto médio da classe modal.

Damos a esse valor a denominação de moda bruta.

Mo = l* + L* 2

Onde: l* - Limite inferior da classe modal

L*- Limite superior da classe modal

i Estaturas

(cm)

fi

1

2

3

4

5

6

150 ⌐ 154

154 ⌐ 158

158 ⌐ 162

162 ⌐ 166

166 ⌐ 170

170 ⌐ 174

4

9

11

8

5

3

Σ = 40

Classe modal


Mo = l + L2

Mo = 158 + 162 2

Mo = 160

Existe, para o cálculo da moda, outros métodos mais elaborados, como, por exemplo, o que faz uso da fórmula de Czuber:

Mo = l* + D1 x h*

D1 + D2

onde:

l* - Limite inferior da classe modal

h*- É a amplitude da classe modal

D1 = f* - f (ant)

D2 = f* - f (post)

f* - freqüência da classe modal

f (ant) – freqüência simples da classe anterior à classe modal

f (post) - freqüência simples da classe posterior à classe modal



i Estaturas

(cm)

fi

1

2

3

4

5

6

150 ⌐ 154

154 ⌐ 158

158 ⌐ 162

162 ⌐ 166

166 ⌐ 170

170 ⌐ 174

4

9

11

8

5

3

Σ = 40

Classe modal

Mo = l* + D1 x h*

D1 + D2

D1 = 11 – 9 = 2

D2 = 11 – 8 = 3

h* = 162 – 158 = 4

Mo = 158 + 2 x 4 3 + 2

Mo = 159,6

Exercícios: Moda

1- Calcule a moda das séries abaixo:

a) 2, 3, 5, 4, 5, 2, 5, 7b) 4, 12, 5, 9, 12, 4, 3c) 7, 7, 7, 7, 7d) 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11e) 2, 5, 9, 6, 10, 12

2- Calcule a moda das idades dos alunos de uma classe:

Idades fi

1718192021

3181784

Σ = 50

Exercícios: Moda

3- Calcule a moda de acidentes por dia em uma determinada esquina:

Acidentes fi

01234

305311

Σ = 40

4- O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro ao lado. Calcule a moda do salário destes funcionários.

i Salários

(R$)

fi

1

2

3

4

5

6

400 ⌐ 500

500 ⌐ 600

600 ⌐ 700

700 ⌐ 800

800 ⌐ 900

900 ⌐ 1000

12

15

8

3

1

1

Σ = 40

Exercícios: Moda

5- Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, seguindo o quadro ao lado. Calcule a moda do aluguel para estas residências

i Aluguel

(R$)

fi

1

2

3

4

5

0 ⌐ 200

200 ⌐ 400

400 ⌐ 600

600 ⌐ 800

800 ⌐ 1000

30

52

28

7

3

Σ = 120i Consumo por

nota (R$)fi

1

2

3

4

5

6

0 ⌐ 50

50 ⌐ 100

100 ⌐ 150

150 ⌐ 200

200 ⌐ 250

250 ⌐ 300

10

28

12

2

1

1

Σ = 54

6- Calcule a moda para a distribuição de valores de 54 notas fiscais emitidas na mesma data, selecionadas em uma loja de departamentos:


Dada a série de valores, como, por exemplo:5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9.

De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores:

2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18

Em seguida, tomamos aquele valor central que apresenta o mesmo número de elementos à direita e à esquerda. Em nosso exemplo, esse valor é o 10, já que, nessa série, há quatro elementos acima dele e quatro abaixo.

Mediana (Md) - A mediana é outra medida de posição definida como o número que se encontra no centro de uma série de números, estando estes dispostos segundo uma ordem.

Mediana (Md) - Dados não-agrupados

Se, porém, a série dada tiver um número par de termos, a mediana será, por definição, qualquer dos números compreendidos entre os dois valores centrais da série. Convencionou-se utilizar o ponto médio.

Assim, a série de valores:

2, 6, 7, 10, 12, 13, 18, 21

tem para mediana a média aritmética entre 10 e 12.

Logo:

Md = 10 + 12 = 11 2

Mediana (Md) - Dados agrupados sem intervalo de classes

Nesse caso, é o bastante identificar a freqüência acumulada imediatamente superior à metade da soma das freqüências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal freqüência acumulada.

Alunos fi Fi

0

1

2

3

4

2

6

10

12

4

2

8

18

30

34

Σ = 34

Sendo: Σfi = 34 = 17 2 2

A menor freqüência acumulada que supera esse valor é 18. Logo:

Md = 2

Mediana (Md) - Dados agrupados com intervalo de classes

Executaremos os seguintes passos:

a) Determinamos as freqüências acumuladas;b) Calculamos Σfi

2c) Marcamos a classe correspondente à freqüência acumulada imediatamente

superior (classe mediana) e em seguida utilizaremos a fórmula:

Σfi - F(ant) x h*

Md = l* + 2

f*

Sendo:

l* - limite inferior da classe mediana;F(ant) – freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana;f* - freqüência simples da classe medianah* - amplitude do intervalo da classe mediana

Mediana (Md) - Dados agrupados com intervalo de classes

Sendo: Σfi = 40 = 20 2 2

A menor freqüência acumulada que supera esse valor é 24. Logo a 3ª Classe será a Classe Mediana

i Estaturas

(cm)

fi xi Fii

1

2

3

4

5

6

150 ⌐ 154

154 ⌐ 158

158 ⌐ 162

162 ⌐ 166

166 ⌐ 170

170 ⌐ 174

4

9

11

8

5

3

152

156

160

164

168

172

4

13

24

32

37

40

Σ = 40

40 - 13 x 4Md = 158 + 2

11

Md = 160,55

Exercícios: Mediana

1- Calcule a mediana das séries abaixo:

a) 2, 3, 5, 4, 5, 2, 5, 7b) 4, 12, 5, 9, 12, 4, 3c) 7, 7, 7, 7, 7d) 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11e) 2, 5, 9, 6, 10, 12

2- Calcule a mediana das idades dos alunos de uma classe:

Idades fi

1718192021

3181784

Σ = 50


3- Dado o número de acidentes por dia em uma determinada esquina: Calcule a mediana.

Acidentes fi

01234

305311

Σ = 40

4- O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro ao lado. Calcule a mediana.

i Salários

(R$)

fi

1

2

3

4

5

6

400 ⌐ 500

500 ⌐ 600

600 ⌐ 700

700 ⌐ 800

800 ⌐ 900

900 ⌐ 1000

12

15

8

3

1

1

Σ = 40


5- Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, seguindo o quadro ao lado. Calcule a mediana do aluguel para estas residências

i Aluguel

(R$)

fi

1

2

3

4

5

0 ⌐ 200

200 ⌐ 400

400 ⌐ 600

600 ⌐ 800

800 ⌐ 1000

30

52

28

7

3


nota (R$)fi

1

2

3

4

5

6

0 ⌐ 50

50 ⌐ 100

100 ⌐ 150

150 ⌐ 200

200 ⌐ 250

250 ⌐ 300

10

28

12

2

1

1

Σ = 54

6- Calcule a mediana para a distribuição de valores de 54 notas fiscais emitidas na mesma data, selecionadas em uma loja de departamentos:

Medidas Separatrizes - São números que dividem a seqüência ordenada de dados em partes que contêm a mesma quantidade de elementos da série.

Desta forma, a mediana que divide a seqüência ordenada em dois grupos, cada um deles contendo 50% dos valores da seqüência, é também uma medida separatriz.

Além da mediana, as outras medidas separatrizes que destacaremos são: quartis, quintis, decis e percentis.

Quartis – Se dividirmos a série ordenada em quatro partes, cada uma ficará com seus 25% de seus elementos.

Os elementos que separam estes grupos são chamados de quartis.

Assim, o primeiro quartil, que indicaremos por Q1, separa a seqüência ordenada deixando 25% de seus valores à esquerda e 75% de seus valores à direita.

O segundo quartil, que indicaremos por Q2, separa a seqüência ordenada deixando 50% de seus valores à esquerda e 50% de seus valores à direita.

Note que o Q2 é a Mediana da série.O terceiro quartil Q3 obedece a mesma regra dos anteriores.

Quintis – Se dividirmos a série ordenada em cinco partes, cada uma ficará com seus 20% de seus elementos.

Os elementos que separam estes grupos são chamados de quintis.

Assim, o primeiro quintil, que indicaremos por K1, separa a seqüência ordenada deixando 20% de seus valores à esquerda e 80% de seus valores à direita.

De modo análogo são definidos os outros quintis.

Decis – Se dividirmos a série ordenada em dez partes, cada uma ficará com seus 10% de seus elementos.

Os elementos que separam estes grupos são chamados de decis.Assim, o primeiro decil, que indicaremos por D1, separa a

seqüência ordenada deixando 10% de seus valores à esquerda e 90% de seus valores à direita.

De modo análogo são definidos os outros decis.

Percentis – Se dividirmos a série ordenada em cem partes, cada uma ficará com 1% de seus elementos.

Os elementos que separam estes grupos são chamados de centis ou percentis.

Assim, o primeiro percentil, que indicaremos por P1, separa a seqüência ordenada deixando 1% de seus valores à esquerda e 99% de seus valores à direita.

De modo análogo são definidos os outros percentis.Se observarmos que os quartis, quintis e decis são múltiplos dos

percentis, então basta estabelecer a fórmula de cálculo de percentis. Todas as outras medidas podem ser identificadas como percentis. Ou seja:

Q1 = P25

Q2 = P50

Q3 = P75

K1 = P20

K2 = P40

K3 = P60

K4 = P80

D1 = P10

D2 = P20

D3 = P30

D4 = P40

D5 = P50

D6 = P60

D7 = P70

D8 = P80

D9 = P90


Identificamos à medida que queremos obter com o percentil correspondente, Pi.

Calculamos i% de n para localizar a posição do percentil i no Rol, ou seja:

i x n 100

Em seguida, identificamos o elemento que ocupa esta posição.Note que se o elemento for um número inteiro, então Pi que

estamos procurando identificar é um dos elementos da seqüência ordenada.

Se não for um número inteiro, isto significa que Pi é um elemento intermediário entre os elementos que ocupam as posições aproximadas por falta ou por excesso do valor calculado. Neste caso, Pi é definido como sendo a média dos valores que ocupam estas posições aproximadas.

Dados não-agrupados - Exemplos

Dada a série de valores, Calcule Q1

1, 2, 5, 5, 5, 8, 10, 11, 12, 12, 13, 15.

Solução: Q1 = P25.

Calculamos 25% de 12 que é o número de elementos da série obtendo:

25 x 12 = 3 100

Este valor indica a posição do P25 no Rol, isto é, o P25 é o terceiro elemento do Rol. Observando o terceiro elemento do Rol obtém-se 5.

Portanto Q1 = P25 = 5.Interpretação: 25% dos valores desta seqüência são valores

menores que 5 e 75% dos valores desta seqüência são valores maiores que 5.

Dados agrupados sem intervalos de classe

Identificamos à medida que queremos obter com o percentil correspondente, Pi.

Calculamos i% de n(Σfi) para localizar a posição do percentil i no Rol, ou seja:

i x Σfi

100

xi fi Fi

2

4

5

7

10

3

5

8

6

2

3

8

16

22

24

Σfi = 24

Exemplo: Calcule o D4 para a série

xi fi Fi

2

4

5

7

10

3

5

8

6

2

3

8

16

22

24

Σfi = 24

Solução: D4 = P40.

Calculamos 40% de 24 que é o número de elementos da série obtendo:

40 x 24 = 9,6 100

Este valor indica a posição do P40 é um valor compreendido entre o nono e o décimo elemento da série.

Observamos que o nono e o décimo elementos é o número 5. Assim:

D4 = 5 + 5 = 5 2

Interpretação: 40% dos valores desta seqüência são valores menores ou iguais que 5 e 60% dos valores desta seqüência são valores maiores ou iguais que 5.

Dados agrupados sem intervalos de classe

Dados agrupados com intervalos de classe

Para obtermos a fórmula geral para o cálculo dos percentis, vamos generalizar a fórmula de mediana:

i x n - F(ant) x hPi = li + 100

fi

Sendo:

Pi – Percentil i (1, 2, 3, ..., 99);li - limite inferior da classe que contém o percentil;n – número de elementos da série (Σfi);F(ant) – freqüência acumulada da classe anterior à classe que contém o percentil;fi - freqüência simples da classe que contém o percentil;h - amplitude do intervalo da classe mediana

Exemplo: Calcule o Q3 para a série


i Intervalo de Classe fi Fi

1

2

3

4

5

0 ⌐ 10

10 ⌐ 20

20 ⌐ 30

30 ⌐ 40

40 ⌐ 50

16

18

24

35

12

16

34

58

93

105

Solução: Q3 = P75.

75 x 105 = 78,75 100

A classe que contém o elemento que ocupa a posição 78,75 na série é a quarta classe. Esta é a classe que contém o P75.

Substituindo os valores na fórmula obtém-se:


75 x 105 - 58 x 10P75 = 30 + 100 = 35,93

35

Portanto Q3 = P75 = 35,93.

Interpretação: 75% dos valores desta seqüência são valores menores ou iguais a 35,93 e 25% dos valores desta seqüência são valores maiores ou iguais que 35.93.

Exercícios: Separatrizes

1- Se uma série ordenada possui 180 elementos, dê o número aproximado de elementos que situam:

a) Acima do P20;b) Abaixo do K3;c) Acima do Q3;d) Abaixo do P90;e) Entre o P10 e o P90;f) Entre o Q1 e o Q3;g) Entre o Q3 e o P80.

2- Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, seguindo o quadro ao lado. Calcule:

a) Q1;b) K2;c) D3;d) P98.

i Aluguel

(R$)

fi

1

2

3

4

5

0 ⌐ 200

200 ⌐ 400

400 ⌐ 600

600 ⌐ 800

800 ⌐ 1000

30

52

28

7

3

Σ = 120


i Consumo por nota (R$)

fi

1

2

3

4

5

6

0 ⌐ 50

50 ⌐ 100

100 ⌐ 150

150 ⌐ 200

200 ⌐ 250

250 ⌐ 300

10

28

12

2

1

1

Σ = 54

3- A distribuição de valores de 54 notas fiscais emitidas na mesma data, selecionadas em uma loja de departamentos. Calcule:

a) Q3;b) K4;c) D7;d) P75.

4- Tomando como base op exercício anterior, o gerente desta loja decidiu premiar a nível promocional com um brinde diário, 10% dos fregueses que mais consumirem, nos próximos 30 dias. A partir de qual valor de consumo da nota fiscal os clientes seriam premiados?


i Preço unitário (R$)

fi

1

2

3

4

5

6

0 ⌐ 10

10 ⌐ 20

20 ⌐ 30

30 ⌐ 40

40 ⌐ 50

50 ⌐ 60

4.000

13.500

25.600

43.240

26.800

1.750

Σ = 54

5- A tabela ao lado representa a venda de livros didáticos em uma editora na primeira semana de março. Calcule:

a) Q1;b) Q3;c) P90;d) P10.

Medidas de Dispersão – Caso venhamos fazer uma reflexão sobre as medidas de tendência central, observaremos que elas não são suficientes para caracterizar totalmente uma seqüência numérica.

Desta forma, foi introduzido as medidas de dispersão, com intuito de verificar como se comportam essas medidas de tendência central em relação a dispersão.

As principais medidas de dispersão absolutas são: A Variância e o Desvio Padrão.

Variância – É uma média aritmética calculada a partir dos quadrados dos desvios obtidos entre os elementos da série e sua média.

Notação: Quando a seqüência de dados representa uma População a variância será denotada por σ2(x), e quando se tratar de uma amostra será denotada por s2(x).

Variância - Dados não-agrupados

Se a seqüência representa uma população, a variância será calculada através da seguinte fórmula:

σ2 = Σ ( xi – x )2

n

Variância - Dados agrupados sem intervalo de classes


σ2 = Σ ( xi – x )2 fi

Σ fi

Variância - Dados agrupados com intervalo de classes


σ2 = Σ ( xi – x )2 fi

Σ fi

Observação: Neste caso o xi é o ponto médio da classe i.

Desvio Padrão – É a raiz quadrada positiva da variância.Notação: Quando a seqüência de dados representa uma

População o desvio padrão será denotada por σ(x), e quando se tratar de uma amostra será denotado por s(x).

Assim, independente de como se apresentarem os dados (agrupados ou não) a fórmula do desvio padrão será:

σ = σ2

Interpretação do desvio padrão – O desvio padrão é sem dúvida a mais

importante das medidas de dispersão.

É fundamental que o interessado consiga relacionar o valor

obtido do desvio padrão com os dados da série.

Quando uma curva de freqüência representativa da série é

perfeitamente simétrica como a curva a seguir, podemos afirmar que o

intervalo [ x - σ. x + σ] contém aproximadamente 68% dos valores da

série.

Assim como, quando tivermos o intervalo [ x - 2σ. x + 2σ] irá

conter aproximadamente 95% dos valores da série.

E o intervalo [ x - 3σ. x + 3σ] irá conter aproximadamente 99% dos

valores da série.

Como podemos ver no gráfico a seguir

Ag ência N acionalde V igilância Sanitária w w w .anvisa.gov.br

V Encontro do Instituto Adolfo LutzSão Paulo, 13 a 16 de outubro de 2003

Medidas de Dispersão Relativa – Se uma série X apresenta x = 10 e σ(x) = 2 e uma série Y apresenta y = 100 e σ(y) = 5 do ponto de vista da dispersão absoluta, a série Y apresenta maior dispersão que a série X.

No entanto, se levarmos em consideração as medidas das séries, o desvio padrão de Y que é 5 em relação a 100 é um valor menos significativo que o desvio padrão de X que é 2 em relação a 10.

Isto nos leva a definir as medidas de dispersão relativas: coeficiente de variação, o qual será apresentado através da fórmula:

CV = σ(x)

xNote que o coeficiente de variação, como é uma divisão de

elementos de mesma unidade, é um número puro. Portanto, pode ser expresso em percentual.

Exercícios: Medidas de dispersão

1- Calcule a variância, desvio padrão e o coeficiente de variação das séries abaixo:

a) 2, 3, 5, 4, 5, 2, 5, 7b) 4, 12, 5, 9, 12, 4, 3c) 7, 7, 7, 7, 7d) 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11e) 2, 5, 9, 6, 10, 12

2- Calcule a variância, desvio padrão e o coeficiente de variação das idades dos alunos de uma classe:

Idades fi

1718192021

3181784

Σ = 50


3- Calcule a variância, desvio padrão e o coeficiente de variação da tabela ao lado.

Acidentes fi

01234

305311

Σ = 40

4- O salário de 40 funcionários de um escritório está distribuído segundo o quadro ao lado. Calcule a variância, desvio padrão e o coeficiente de variação .

i Salários

(R$)

fi

1

2

3

4

5

6

400 ⌐ 500

500 ⌐ 600

600 ⌐ 700

700 ⌐ 800

800 ⌐ 900

900 ⌐ 1000

12

15

8

3

1

1

Σ = 40


5- Uma imobiliária gerencia o aluguel de residências particulares, seguindo o quadro ao lado. Calcule a variância, desvio padrão e o coeficiente de variação para estas residências

i Aluguel

(R$)

fi

1

2

3

4

5

0 ⌐ 200

200 ⌐ 400

400 ⌐ 600

600 ⌐ 800

800 ⌐ 1000

30

52

28

7

3


nota (R$)fi

1

2

3

4

5

6

0 ⌐ 50

50 ⌐ 100

100 ⌐ 150

150 ⌐ 200

200 ⌐ 250

250 ⌐ 300

10

28

12

2

1

1

Σ = 54

6- Calcule a variância, desvio padrão e o coeficiente de variação para a distribuição de valores de 54 notas fiscais emitidas na mesma data, selecionadas em uma loja de departamentos:

Experimento ou Fenômeno Aleatório - São aqueles que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis.

Espaço Amostral – É o conjunto de possíveis resultados de um experimento ou fenômeno aleatório, representado por S.

PROBABILIDADE

Evento – É qualquer subconjunto do espaço amostral S de um evento aleatório.

Probabilidade – Dado um experimento aleatório, sendo S o seu espaço amostral, vamos admitir que todos os elementos de S tenham a mesma chance de acontecer, ou seja, que S é um conjunto equiprovável.

Probabilidade de um evento A (A S):

P(A) = n(A)n(S)

Sendo:n(A) – número de elementos de A;n(S) – número de elementos de S.

Eventos Complementares – Sabendo que um evento pode ocorrer ou não. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra (sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe sempre a relação:

p + q = 1 q = 1 – p

Eventos Independentes – Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou não realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.

Assim, sendo p1 a probabilidade de realização do primeiro evento e p2 a probabilidade do segundo evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente é dada por:

p = p1 x p2

Eventos Mutuamente Exclusivos – Dizemos que dois ou mais eventos são mutuamente exclusivos quando a realização de um exclui a realização do(s) outro(s).

Assim, no lançamento de uma moeda, o evento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” são mutuamente exclusivos, já que, ao se realizar um deles, o outro não se realiza.

Se dois eventos são mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro se realize é igual à soma das probabilidades de cada um deles se realize:

p = p1 + p2

1- Qual a probabilidade de sair o ás de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?

2- Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?

Exercícios de Probabilidade

3- Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule:

a) A probabilidade de essa peça ser defeituosab) A probabilidade de essa peça não ser defeituosa

4- De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de sair um rei no primeiro e no segundo ser o 5 de ouros?

1/52

1/13

1/32/3

1/676

5- No lançamento de dois dados, calcule a probabilidade de se obter a soma igual a 5?

6- Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; Uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verdes; Uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?


7- De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual a probabilidade de a primeira carta ser o ás de espada e a segunda ser a damas de ouros?

8- Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?

9- No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número não inferior a cinco?

1/9

1/27

1/2652

1/2

1/3

10- São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de tirarmos uma dama e um rei, não necessariamente nessa ordem?

11- Dois dados são lançados conjuntamente. Determine a probabilidade de:

a) A soma ser igual ou maior que 10;b) A soma seja inferior a 5;c) Sejam iguais;d) Sejam ímpares.


12- Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retiradas aleatoriamente 2 peças, calcule:

a) A probabilidade de ambas serem defeituosas;b) A probabilidade de ao menos uma ser defeituosa.

2/169

1/1119/33

x σ 2σ 3σ- σ- 2σ- 3σ

68,26 %

95,44 %

99,74 %

Distribuição Normal – É uma distribuição contínua: X pode assumir quaisquer valores do campo real desde - até + .

Uma forma abreviada de indicar que a variável X se distribui normalmente (ou tem distribuição normal) é escrever X N ( x; σ² ).

Normal Reduzida – Vamos imaginar que uma variável X tenha média x e o desvio padrão σ. Se “empurrarmos” o eixo vertical (freqüências) para a direita até o centro da curva, teremos feito uma operação chamada mudança de origem, em que o zero “mudou de lugar”.

0 0

Tomando uma nova variável Z e definindo-a como:

Zc = xi – x σTeremos construído uma distribuição normal reduzida.

Exemplo: Seja X com os seguintes parâmetros: N (25; 36). Qual o valor de Zc para xi = 18?

2519

N (25; 36)

σ = 36 σ = 6

2518

Sendo:

Zc = xi – x Zc = 18 – 25 Zc = - 1,17 σ 6

Conclusão: 18 está a 1,17 desvio padrão à esquerda da média.

Com intuito de podermos representar de uma maneira mais simples os dados obtidos, iremos recorrer à tábua de probabilidades.

Para consultar a tábua, é preciso decompor o Zc em duas parcelas:

1ª Parcela: Parte inteira mais a 1ª casa decimal2ª Parcela: 0,0 mais a 2ª casa decimal

Assim teremos:

Se Zc = 1,17 1ª parcela 1,1 2ª parcela 0,07

O Z decomposto em duas parcelas compõe a “moldura” da tábua. No cruzamento das duas parcelas encontra-se a Probabilidade correspondente à área da curva entre 0 e o Zc calculado (também chamado de crítico).

No exemplo anterior, após consultarmos a tabela, iremos encontrar: 0,3790 ou 37,90%.

1- Encontre a probabilidade dos eventos abaixo ocorrerem de acordo com a seguinte distribuição X N(30; 16):

a) Maior ou igual a 40;b) Menor ou igual a 20;c) Entre 35 e 42

Exercícios de Distribuição Normal

2- Uma empresa tem a como média de receita mensal R$ 55 milhões, e variância de R$ 1,44 milhões.

a) Qual a probabilidade dessa empresa obter uma receita entre R$ 54,5 e 55,3 milhões?

b) Qual a probabilidade dessa empresa obter uma receita inferior a R$ 54 milhões?

c) Qual a probabilidade dessa empresa obter uma receita superior a R$ 55,8 milhões?

Teste de Hipóteses – Iremos analisar algumas hipóteses, afirmações ou alegações sobre um determinado problema. E a partir de alguns cálculos poderemos decidir sobre a veracidade ou não dessas hipóteses, com um determinado nível de confiança.

Exemplo: Em uma determinada empresa os funcionários afirmam que permanecem mais de 15 minutos na fila do almoço, o gerente garante que não passa de 10 minutos, como estabelecer mecanismos para tirarmos essa dúvida?

Ao tomarmos qualquer decisão poderemos estar cometendo dois tipos de erros:

Erro tipo 1 – abandonar uma hipótese verdadeira devido as análises através da amostra indicarem a hipótese como falsa.

Erro tipo 2 – aceitar uma hipótese como verdadeira devido as análises da amostra, porém, ela é falsa.

Iremos estabelecer uma comparação com Z da distribuição amostral, e através dessa comparação iremos decidir sobre a veracidade ou não de nossa hipótese. Para isso, iremos calcular o “novo” Z através da seguinte fórmula:

Z = X – x

σ / n

Onde:

X – Média encontrada na amostragem, após a hipótese;

x – Média anterior;

σ – Desvio-padrão;

n – quantidade da amostragem.

Exemplo: Usuários de um setor de digitação reclamam da enorme ineficiência do setor, devido às altas taxas de erro, em média, 10 erros por 200 números digitados em seqüência. Para identificarmos se é procedente a reclamação, encontramos uma média de 8 erros, com desvio padrão de 3 em uma amostra de 100 conjuntos de 200 digitações. Assim, para podermos ter uma confiança de 99%, iremos proceder:

1º Passo: estabelecer as hipóteses:H0 – A média é igual ou superior a 10 erros;H1 – A média é inferior a 10 erros.

2º Passo: Com α = 0,01, isto é, confiança de 99%; e n superior a 30 (n=100), identificaremos na tabela que o valor 2,3263, com isso:

Iremos abandonar a H0 caso o valor encontrado seja maior que 2,3263. Caso contrário, aceitaremos H0.

3º Passo: Análise dos dados:

X = 8

x = 10

σ = 3

n = 100

Z = 8 – 10 Z = - 6,667

3 / 100

Ignorando os sinais teremos que 6,667 > 2,3263, com isso, rejeitamos a hipótese da nulidade H0 de que o número médio de erros por 200 digitações é 10.

CONCLUSÃO: A RECLAMAÇÃO NÃO PROCEDE, EM UMA CONFIANÇA DE 99%.

1- Os funcionários de uma empresa estão voltando mais tarde do almoço porque, conforme dizem, ficam, em média, 15 minutos na fila do restaurante da empresa, para serem servidos. O gerente afirma que os trabalhadores gastam, em média, no máximo 10 minutos na fila, antes de serem servidos. Estabeleça hipóteses e verifique se o gerente está correto, com confiança de 95%, sabendo-se que foi feito uma amostragem do tempo gasto na fila com 100 funcionários, obtendo uma média de 13 minutos com desvio padrão de 1,5 minuto.

Exercícios de Teste de Hipóteses

2- Certa marca de corretor líquido tem, no rótulo, a informação de que cada frasco contem 30 ml do líquido. Formule as hipóteses adequadas para testar esta afirmativa. Foram medidos os conteúdos de uma amostra aleatória de 45 frascos, que forneceu uma média de 29,1 ml e um desvio padrão de 0,5 ml. Teste a afirmativa do fabricante, ao nível de 95 % de significância.

3- Uma fábrica de carros produz um tipo no qual afirma que consome, em média, 15 km por litro. Você testa uma amostra de 200 carros deste tipo e acha uma média de 12 km por litro com desvio padrão de 2 km por litro. Teste esta afirmativa da fábrica com um nível de 99% de significância.

Exercícios de Teste de Hipóteses

4- A gerência afirma que os bônus pagos aos funcionários são, em média, de R$ 1.000,00. Você toma uma amostra aleatória de 100 funcionários que trabalham na empresa e verifica que eles recebem bônus, em média, de R$ 850,00, com um desvio padrão de R$ 100,00. Faça um teste com um nível de 95% de significância, e comente esta afirmativa da empresa .

BOA NOITEOBRIGADO PELA COMPANHIA

"Jamais considere seus estudos como uma obrigação, mas como uma oportunidade invejável para aprender a conhecer a influência libertadora

da beleza do reino do espírito, para seu próprio prazer pessoal e para proveito da

comunidade à qual seu futuro trabalho pertencer."

Albert Einstein

CURSO DE PÓS GRADUAÇÃOESTATÍSTICA

marcus bessa – [email protected] curso de pÓs graduaÇÃo finanÇas - estatÍstica

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