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Geometria projetiva e suas aplicaes em visoMarcelo GattassDepartamento de Informtica PUC-RioSumrioParte I:Linhas e pontosTransformaesCnicas

Retas0xy

reta =Representao homognea de retasxy

representam a mesma reta0Pontoxy

xy

0Representao homognea de pontosxy

xy

0Graus de liberdade (dof) das retasxy

nm1

2 d.o.f.

0Pontos a partir de linhas

interseo Exemplo

Linhas a partir de pontos

Exemplo

Pontos e linhas no infinito12

Interseo de linhas paralelas:

ponto ideal (no )

Linha do horizonte

Representao do P2x2x1x3x3=1xy

ponto idealPrincpio da dualidade no P215

Para qualquer teorema de geometria projetiva no P2 existe um teorema dual que pode ser derivado dele trocando os pontos por linhas e vice-versa.Transformao projetivaUma projetiva (projectivity) um mapeamento inversvel h(x) de P2 em si mesmo, tal que trs pontos x1,x2,x3 esto numa mesma linha se e somente se h(x1),h(x2),h(x3) tambm esto.Definio:Um mapeamento h:P2P2 projetivo se e somente se existe uma matriz no singular 3x3 H para todo ponto x do P2 verdade que h(x)=HxTeorema:Definio: Transformao projetiva

ou8DOFprojetiva, colinerizao, transformao projetiva, homografiaMapeamento entre planosxxxxyyx3x1x2

Projeo centralRemoo de distoro

Selecione quatro pontos conhecidos(linear em hij)(2 equaes/ponto, 8DOF 4 so nescessrios)Obs.: no uma calibrao, existem maneiras melhores (a seguir)Mais exemplos

Tranformaes de linhas e pontos

Transformao de linhasTransformao de pontosResumo:As linhas se transformam em:

As cnicas em (a ser visto):

As cnicas duais (a ser visto):

Dada uma transformao projetiva de pontosUma hierarquia de transformaesGrupo projetiva linear Grupo afim (ltima linha(0,0,1)) Grupo Euclideano (sup esq 2x2 ortogonal) Grupo Euclideano orientdo (sup esq 2x2 det 1)

Alternativa, caracterizar transformaes em termos dos elementos ou quantidades preservadas ou invariantes

e.x. Transformaes Euclideanas preservam distancias

Classe I: Isometrias(iso=mesma, metric=medida)

mesma orientao:invertem a orientao:

casos especiais: rotao pura, translao pura3DOF (1 rotao, 2 translaes) Invariantes: comprimento, ngulo, reaClasse II: Similaridades(isometria + escala)

tambm conhecidas como equi-form (preservam forma)estrutura mtrica = estrutura a menos de escala (literatura)4DOFs (1 escala, 1 rotao, 2 translaes) Invariantes: razo de comprimentos, ngulos, razo de reas, linhas paralelasClasse III: Transformaes Afim

escala anisotrpic! (2DOF: razo de escala e orientao)6DOF (2 escala, 2 rotaes, 2 translaes) Invariantes: linhas paralelas, razo de segmentos paralelos, razo de reas

ondeTransformada afim e projetiva da linha no infinito

Linha no infinito se torna finita e podemos observar pontos de fuga, horizontes.Linha no infinito permance l mas pontos se movem.Classe VI: Transformao projetiva

8DOF (2 escalas, 2 rotao, 2 translao, 2 linhas no infinito) Invariantes: razo-cruzadas de quatro pointos numa linha (razo de razo)

Decomposio da transformao projectiva

triangular superior,decomposio nica (se s>0)

Exemplo:Resumo das transformaes projetivas no P2

Projetiva8dofConcorrencia, colinearidade, contato (interseo, tangencia, infleco, etc.), razo cruzada (cross ratio)

Afim6dofParalelismo, razo de areas, razo de comprimentos em linhas paralelas, combinao linear de vetores, A linha no infinito l

Similaridade4dofRazo de comprimentos, angulos.Os pontos circulares I,J

Euclideana3dofcomprimentos, areas.

l sob transformada afim

A linha l invariante sob uma transformao H se e somente se H uma transformao afim. Preserva: paralelismo, razo de areas, ...Nota: no ponto a ponto!

Retificao com 2 ptos de fuga

l4l3

Retificao 2l4l3

Para xl

A retificao e o modelo original

projeoretificao

Cnicas34Curve descrita por uma equao do 2o- grau no plano

crculo ou elpseparbolahiperboleCnicas35

ou em coordenas homogneas

em forma matricial

e

5DOF: 5 ou mais pontos definem uma cnica36Ponto i pertence a cnica:

ou

ou

Linhas tangentes a uma cnica37lxC

Cnica de pontos e cnica dual38

Cnica dual = cnica de linhas = envelope de cnicascnica de pontoscnica de linhasExemplo: cnica no meio de campo

Exemplo: tangentes no meio de campo

Cnica degeneradas

posto 2:

Geometria projetiva em 1D

3DOF (2x2-1)

ponto idealcoordenada

Razo cruzada (cross ratio)Invariante sob transformaes projetivas

Razo cruzada O valor da razo cruzada no varia com a escolha das coordenada homognea. Ela afeta ao mesmo tempo o numerador e o denominador.Se as coordenadas homogneas forem iguais a um, os determinantes so as distncias.A definio da razo cruzada vlida mesmo que um dos pontos seja ideal (no ).Ponto de fuga a partir de 3 ptos

a'b'c'd'

Ponto de fuga a partir de 3 ptos

a'b'c'd'

46Construo grfica do ponto de fugaa'b'c'acbd'

Ponto de fuga a partir de 3 ptos (caso geral)

Pontos circulares do plano

l

Codificam algebriamente 2 direes:

Classificao afim das cnicas

elipseparbola

hiperboleElipses e crculos no se distinguem na geometria afim!Interseo de duas elipses4 pontos

2 pontos?Invarincia de pontos circulares do plano

Os pontos circulares planos I, J so invariantes sob um transformao H H uma similaridade

Tambm chamados de Pontos Absolutos.Cnica dual aos pontos circulares do plano

Note: tem 4DOF (simtrica e det |C* |=0)l o vetor do ncleo de C*

A cnica dual invariantes sob uma transformao H H uma similaridade

ngulos

Euclideana:Projectiva:

(ortogonais)Razo cruzada de ngulos

Medies na imagem

Transformada de retificao a partir da SVD

Medies em transformadas afim

Medies em projees

Relao polo polar

A linha polar l=Cx do ponto x em relao a cnica C intersepta a cnica em dois pontos. As duas linhas tangentes a C nestes pontos se interseptam em x.Correlaes e pontos conjugadosUma correlao um mapeamento inversvel de pontos do P2 para linhas do P2. representado por uma matriz A 3x3 no singular tal que l=Ax

Pontos conjugados em relao a C(um o polar do outro)

Pontos conjugados em relao C*(atravs do polo do outro)

Classificao da cnica prjetiva

DiagonalEquaoTipo de cnica(1,1,1)Imprpria(1,1,-1)Crculo(1,1,0)Um ponto(1,-1,0)Duas linhas(1,0,0)Linha simples

Geometria projetiva em 3D, P3Pontos, linhas planos e qudricas

Transformaes

, e 62

Pontos 3D63

in R3

in P3

(4x4 -1=15 d.o.f.)transformao projetiva

Planos64

Dualidade: pontos planos, linhas linhas

Representao euclidiana

TransformaoPlano a partir de 3 pontos65

Encontre n0 no ncleo de

Ou pela coplanariedade:

Linhas66

Example: X-axis(4dof: 2 for each point on the planes)Span of WT is pencil of points:Span of W* is pencil of planes:Quadrticas e quadrticas duais67(Q : 4x4 matriz simtrica)

9 d.o.f.em geral 9 pontos definem uma quadratica det Q=0 quadrica degenerada(plano quadratica)=cnicatransformaes

relao a quadrica (no-degenerada)transformao

673. and thus defined by less points4. 5. Derive XQX=xMQMx=0

Quadric classification68Rank Sign.DiagonalEquationRealization44(1,1,1,1)X2+ Y2+ Z2+1=0No real points2(1,1,1,-1)X2+ Y2+ Z2=1Sphere0(1,1,-1,-1)X2+ Y2= Z2+1Hyperboloid (1S)33(1,1,1,0)X2+ Y2+ Z2=0Single point1(1,1,-1,0)X2+ Y2= Z2Cone 22(1,1,0,0)X2+ Y2= 0Single line0(1,-1,0,0)X2= Y2Two planes11(1,0,0,0)X2=0Single plane68Signature sigma= sum of diagonal,e.g. +1+1+1-1=2,always more + than -, so always positive

Classificao das qutricas:69

Quando projetadas no R3 equivalem a:

Quadraticas regradas:hyperboloidede uma folhahiperboloidede duas folhasparaboloideesferaelipsoide

Quadraticas degeneradas (regradas):conedois planos69Ruled quadric: two family of lines, called generators.Hyperboloid of 1 sheet topologically equivalent to torus!Hierarquia das transformaes:70

Projetiva15dofAfim12dofSimilaridade7dofEuclideana6dofInterseo e tangnciaParalelismo de planos,Razo de volumes, centroides,O plane no infinito A cnica absoluta

Volume

Plano no infinito71

O plano no infinito invariante a uma transformao H H uma transformao afim

posio cannicacontain as direes dois planos so paralelos linha de interseo o linha // linha (ou plano) ponto de interseo em

71Represents 3DOF between projective and affineA cnica absoluta

A cnica absoluta uma cnica (de pontos) em que satisfaz:

ou em direes (no tem pontos prprios):72Represent 5 DOF between affine and similarityA cnica absoluta (propriedades)73A cnica absoluta invariante sob uma transformao projetiva H H uma similaridade

is only fixed as a setCircles intersect in two pointsSpheres intersect in 73Represent 5 DOF between affine and similarityConjugado em relao a 74

Euclidiana:Projetiva:(conjugado~ortogonal)

planonormalDado um plano no infinito e a cnica absoluta74Orthogonality is conjugacy with respect to Absolute ConicA quadratica absoluta dual75

The absolute conic * is a fixed conic under the projective transformation H iff H is a similarity

8 dofplane at infinity is the nullvector of Angles:

751, not equation like abs conicCmera

xcyczcywxwzwPwPcT

76Pontos do campo

XYZ

CrculoXYZ

imagem do crculo