7/23/2019 Magic Os

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NMEROS MGICOS E CONTAS DE DIVIDIRCarlos Gustavo Tamm de Arajo Moreira

Nvel Iniciante.

Temas muito inocentes de aritmtica bsica, como contas de multiplicar, podem gerar

resultados bastante interessantes e surprendentes, como ao multiplicar o nmero 142857 por2, 3, 4, 5, 6 e 7:

142857 2 ! 285714

142857 3 ! 428571

142857 4 ! 571428

142857 5 ! 714285

142857 6 ! 857142

"or #ue ra$%o acontece essa repeti&%o dos d'gitos de 142857 ao multiplic(lo por 2, 3, 4, 5 e 6,

sempre com a mesma ordem circular) *er mera coincid+ncia) *er poss'el obter outros

e-emplos desse tipo)

. resposta tem a er com o resultado de 142857 7, #ue //////0 sso #uer di$er #ue oper'odo da representa&%o decimal de 17 e-atamente 1428570 amos e-aminar com cuidado

a conta de diis%o de 1 por 7:

1 7

3 ,142857

2

6

4

5

1

repetindo o resto 1, o #ue #uer di$er #ue todo o processo se repete e o resultado da diis%o

17 ! ,142857142857142857

"odemos reescreer o processo assim:

1 ! 7 1

1 ! 1 7 3

3 ! 4 7 2

2 ! 2 7 6

6 ! 8 7 4

4 ! 5 7 5

5 ! 7 7 10 a' temos:

1 7 1 ! 3, e portanto 1(7 1 ! 3, e como 3 7 4 ! 2 temos:1 7 91 4 ! 2, e analogamente obtemos:

1 7 91 4 2 ! 6

1 7 91 4 2 8 ! 4

1 7 91 4 2 8 5 ! 5

1 7 91 4 2 8 5 7 ! 1

9 . ltima igualdade di$ #ue 142857 7 ! //////

esta ;orma, os restos sucessios #ue aparecem na diis%o de 1 por 7, #ue s%o 3, 2, 6, 4, 5, 1

s%o, respectiamente, os restos na diis%o por 7 de 1, 1, 1, 1, 1 e 10

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2 ,142857142857142857 ! 27 ! 1714 ! 1 , 14285714 2857142857 14 !

,285714285714285714, e, portanto, temos 2 142857 ! 285714

a mesma maneira temos #ue 37 ! 17 1 implica 3 142857 ! 428571, e as outras

igualdades seguem de modo anlogo0

=otemos agora #ue sempre #ue o per'odo da representa&%o decimal de 1n tier n 1 casas

decimais 9#ue o m-imo poss'el, o per'odo 9#ue ser igual a 91 n(1 1 n ) ter as

mesmas propiedades de 1428570 > primeiro alor de nmaior #ue 7 para o #ual isso acontece

17, e o per'odo de 117 5882352/41176470 ?ultipli#ue esse nmero por 2, 3, 4, 5, 6, 7,

8, /, 1, 11, 12, 13, 14, 15, 16 e 17 para con;erir0

>bsere #ue, para #ue isso aconte&a, ndee ser um nmero primo, pois se n = p b, com b

maior #ue 1 e p um nmero primo di;erente de 2 e 5, ent%o pnunca aparecer como resto na

diis%o de 1 por n, pois em geral um ;ator primo comum de ne de um resto #ue aparece na

diis%o de 1 por n s@ pode ser 2 ou 5 9 de ;ato, um resto #ue aparece na diis%o de 1 por n

resto da diis%o de alguma pot+ncia de 1 por n0 "or outro lado, se os nicos ;atores primos

de ns%o 2 e 5, ent%o 1ntem representa&%o decimal ;inita0

Concluso: *e o per'odo de 1n tier n1 casas decimais, ele ter propiedades

anlogas As de 142857: os d'gitos de seus produtos por 1, 2, 3, 4, , n1 ser%o sempre os

mesmos, na mesma ordem circular0 "ara #ue isso aconte&a, ndee ser primo e a menor

pot+ncia de 1 #ue dei-a resto 1 #uando diidida por ndee ser 1n10 i$emos #ue, nesse

caso, 1 rai$ primitia m@dulo n0 =%o se sabe se e-istem in;initos primos n com essa

propriedade0 sso seguiria de uma ;amosa conBectura de teoria dos nmeros, a conBectura de

.rtin 9ide CD0

>s nmeros primos n menores #ue 1 tais #ue o per'odo de 1nna base 1 tem n1

casas s%o 7, 17, 1/, 23, 2/, 47, 5/, 61 e /70

"or outro lado, para todo nmero primo ne-istem nmeros naturaisB entre 2 e n 1

tais #ue o per'odo de 1nna base B tem e-atamente n 1 casas 9nesses casos B rai$

primitia m@dulo n0 *e um nmero B tem essa propriedade, todas as bases da ;orma kn + B

com knatural tambm t+m0 =esses casos, o per'odo de 1nna base B 9 ou seBa, o nmero9Bn(

11n ), #uando multiplicado por 1, 2, 3, , n 1 ter representa&Ees na baseB#ue ser%o

permuta&Ees uma da outra com a mesma ordem circular0

"or e-emplo, com n ! 5 e B = 8, temos #ue a representa&%o de 15 na base 8

,146314631463 =a base 8 temos:

2 914638 !931468, 3 914638! 946318,

4 914638! 963148, 5 914638! 977778

Referncias:CFD Fima,