Especializacin docente de nivel superior en educacin y TIC. Ministerio de Educacin de la Nacin

Trabajo Final Matemtica y TIC II:Funciones polinmicas

Mdulo: Matemtica y TIC II

Autor: Macias, Daniel FabianTutor: Vizcano, Adriana.Aula 013

Especializacin docente de nivel superior en educacin y TICMinisterio de educacin de la Nacin Fecha de presentacin: 30 de abril de 2014Secuencia didctica.Curso: 5to. Ao ciclo orientadoAsignatura: Matemtica

Propsitos: Iniciar a los alumnos en la modelizacin de situaciones extra-matemticas e intra-matemticas que requieran funciones polinmicas. Promover el uso de las TIC para el trabajo diario y como un complemento de los nuevos aprendizajes, como as tambin el control de los resultados. Incentivar el trabajo colaborativo y el respeto por el pensamiento ajeno. Promover la disposicin para defender los puntos de vista propios, considerar ideas y opiniones de otros.

Objetivos:Que los alumnos: Modelicen situaciones extra-matemticas e intra-matemticas mediante funciones polinmicas. Interpreten, reconozcan y grafiquen funciones polinmicas. Obtener conclusiones acerca de las distintas variables que tiene la grfica de la funcin segn la multiplicidad de sus races. Exploren el comportamiento de las funciones polinmicas mediante el Geogebra. Analizar y resolver situaciones problemticas en las que se aplican las funciones polinmicas.

Contenidos: Funcin polinmica. Dominio. Representacin grfica, formula y tablas, lectura e interpretacin de ellos. Lograr, a travs de su grfica, obtener conclusiones acerca de sus races. Factorizacin de la funcin polinmica (funciones polinmicas de un cierto grado como producto de otras funciones de grado menor) Anlisis completo de la funcin (calculando aproximadamente los puntos mximos y mnimos).

Saberes previos necesarios:En relacin con la disciplina: Lectura e interpretacin de grficos y formulas que modelicen la funcin lineal y funcin cuadrtica. Anlisis y representacin grfica de funciones lineal y cuadrtica. Operaciones con polinomios. Factorizacin. Identificacin de la ordenada al origen, races, puntos mximos y mnimos, intervalos de crecimiento y decrecimiento, conjunto de positividad y negatividad de una funcin.En relacin con las TIC: Uso del programa Geogebra: grficos de funciones, introduccin de formulas, deslizadores, vistas.Observacin: (Para esta secuencia didctica se tomaron tres tipos de decisiones segn hace hincapi el marco TPACK.En las decisiones curriculares se defini el tema segn los NAP del ciclo orientado para 5to ao que tienen relacin cercana con contenidos anteriores (conocimientos previos), se especificaron los propsitos y objetivos. Se tuvo en cuenta que para un mismo propsito se puede tener objetivos diferentes que marcan el nivel de complejidad, las habilidades y procedimientos que pondrn en juego los alumnos.)

Actividades del 1er. Encuentro. Modelizar la situacin problemticaTiempo estimado: 80 minutosActividad de apertura:Tiempo parcial: 15 minutosEl docente comenzar explicando que van a trabajar con funciones que vinculan funciones ya conocidas, y que analizarn las particularidades de este tipo de funciones con problemas que permitan modelizarlas. Se tratar esencialmente, del estudio de la funcin que resulta, del producto de dos funciones lineales.En esta clase las funciones lineales estarn definidas por sus grficos y se trabajar con papel y lpiz. El docente llevar volantes para agilizar la clase.Se les aclarar que a partir del prximo encuentro utilizarn el software Geogebra por lo tanto debern tener la precaucin de repasar su uso.

(Tambin se tuvo en cuenta que para conocer un concepto matemtico las prcticas de los alumnos deben estar configuradas no solo por el tipo de problemas sino que deben integrar las intervenciones del docente, las interacciones con los problemas y los alumnos y los alumnos entre s. Debe incluir instancias de reflexin, propiciar el debate, estableciendo conjeturas y validacin de las mismas. Se le dio lugar a la retroalimentacin.)

ProblemaZucamor es una fbrica que se dedica a la construccin de cajas de cartn de distintos tamaos y espesores. El lunes llego un pedido a la fbrica donde se dan las siguientes condiciones:La base de las cajas debe ser rectangular y con las medidas expresadas en metros, donde (x-1) es el ancho, (5-x) es el largo y el alto. Parte AQu valores puede tomar el ancho?Qu valores puede tomar el largo?Cul es la mxima superficie de la base?Parte BQu valores puede tomar el alto?Cul es el mximo volumen de caja que se puede fabricar?

Para iniciar la resolucin del problema, el docente leer con todo el grupo el enunciado, para asegurarse la comprensin por parte de los alumnos. Se aclararn cuestiones relacionadas con la consigna de trabajo. Si hay dudas, se aclarar como calcular la superficie y el volumen. Se aclarar que el ancho, el largo y el alto varan segn las condiciones dadas, por lo que se trata de funciones lineales.Para realizar la actividad que sigue, los alumnos, sern organizados en parejas o tros.

Actividad de desarrollo:

Tiempo parcial: 50 minutos

Se solicitar a los alumnos que resuelvan la parte A de problema debiendo anotar las ideas que se les presentan para luego ser evaluadas entre todos.Pasado un lapso corto de tiempo se evaluarn las anotaciones debiendo concluir que se debe multiplicar el ancho y el largo expresado del siguiente modo (x-1)(5-x). En ese momento el docente reparte un volante para agilizar la clase, con las grficas de las funciones lineales en un mismo eje cartesiano.

Los alumnos debern asignar valor a x para luego calcular el ancho, el largo y por ltimo la superficie.El docente propondr que encuentren por lo menos tres puntos que pertenezcan al grfico de la funcin superficie y den argumentos para fundamentarlo. Recorrer el aula observando el trabajo sin interrumpir y participando cada vez que sea necesario con preguntas que orienten, por ejemplo, para x=2 Cul es el ancho? Dnde lo observa en la grfica?,Cul es el largo? Dnde lo observa en la grfica? Cul es la superficie? Dnde la representa?

Trascurrido 20 minutos el docente solicitar que anoten todos los valores encontrados en una tabla en el pizarrn, y luego entre todos se realizar la grfica de la funcin superficie de la base a la que se la llamar h(x), se acordar que h(x)=(x-1)(5-x)Luego de aunar criterios, aplicar propiedad distributiva en el pizarrn (x-1)(5-x) llegando a la expresin: -x+6x-5 donde observarn, que se trata, de una funcin cuadrtica. Ya que, resulta conocida la funcin, se esperar que den respuesta al problema planteado, observando as, que la funcin tiene un mximo, y que ese valor representa la mxima superficie. Luego, debido a que no existe una superficie negativa, el docente propondr que respondan a las siguientes preguntas para evidenciar la cuestin.

Evaluar la funcin en -1, 0, 6 y en 7. Es posible que en esos valores representen las superficies de una caja que cumpla con las condiciones pedidas? Entre que valores puede variar el ancho? Y el largo? Entre que valores de x pueden realizarse las cajas? Indiquen el conjunto de valores de x para los cuales la funcin es positiva, negativa o cero.Actividades de cierre:Tiempo parcial: 15 minutosEl docente propondr una puesta en comn para completar la grfica y analizar los intervalos de positividad, negatividad, y ceros de la funcin.Una vez que se los alumnos hayan copiado las conclusiones en sus carpetas, se les propondr las siguientes actividades para resolver en clase:Se plantear el siguiente trabajo prctico para que afiancen lo aprendido.

1) A partir del grfico:

Tracen un grfico aproximado para la funcin j(x)=f(x)g(x)Indiquen el conjunto de valores de x para los cuales la funcin j(x) es positiva, negativa o cero.

2) A partir del grfico:

Tracen un grfico aproximado para la funcin k(x)=f(x)g(x) Indiquen el conjunto de valores de x para los cuales la funcin k(x) es positiva, negativa o cero.

(En las decisiones pedaggicas se plantearon las actividades a proponer y el producto final que se espera alcanzar, se establecieron los roles del docente y de los alumnos y se contemplaron las estrategias de evaluacin.)

Recursos:Herramientas disponibles: Netbook, televisor, lpiz y papel.Bibliografa: Gua de Referencia de GeoGebra 4.2.Traduccin de Liliana SaidonEvaluacin: Se realizar una observacin directa para asegurarse la participacin activa de los alumnos en la bsqueda de valores que cumplan con las condiciones establecidas. El docente intervendr con preguntas que provoquen argumentaciones por parte de los alumnos.Actividades del 2do. Encuentro Generalizando la multiplicacinTiempo estimado: 120 minutosActividad de apertura:

Tiempo parcial: 10 minutosEl docente retomar lo realizado la clase anterior, apuntando a la autocorreccin del trabajo prctico provisto al finalizar la misma. El objetivo ser entonces que los alumnos comuniquen de forma oral los resultados obtenidos y conjuntamente con el resto de la clase analizar cada respuesta y construccin grfica obtenida. Para la actividad que sigue los alumnos debern tener sus computadoras encendidas e iniciar el Geogebra, pueden estar trabajando en grupos segn la cantidad de netbook que haya disponible.Actividad de desarrollo:Tiempo parcial: 70 minutosSe les presentar las siguientes actividades:1. Sea f(x) = x-1 una funcin lineal y g(x)= 5-x otra funcin lineal. Usen el software para graficarlas.Cada grupo comenzar con la grfica de las funciones lineales, el docente pasa por los bancos supervisando que las grficas se ajusten a lo pedido, sin interrumpir. Ante algn inconveniente, relacionado con el Geogebra, recordar que para ingresar una funcin, solo hace falta escribirla en el campo de entrada, que se encuentra en la parte inferior de la pantalla y para visualizar mejor la grfica debern introducir la cuadricula. Es de esperar que los alumnos recuerden, que se trata, de las funciones lineales del encuentro anterior.2. Obtengan mediante el Geogebra la funcin h(x)= f(x)g(x) De qu tipo de funcin se trata?Luego de unos minutos el docente propondr la grfica h(x) como el producto de f(x)g(x) aqu orienta a todos los alumnos en cmo se puede realizar esta operacin en Geogebra colocando en el campo de entrada f(x) y a continuacin g(x). Tambin les pedir que la rotulen (con nmero y valor) y le cambien el color, estas acciones se realizan haciendo clic sobre el objeto e ingresando, en propiedades, en la ventana emergente. El docente pasa por los bancos observando el trabajo de los grupos para asegurarse que todos lleguen al grfico esperado. Luego de un tiempo pedir que la comparen con los dems grupos, pasado un tiempo prudencial para la retroalimentacin, propondr una puesta en comn donde graficar lo mismo desde su netbook que se encuentra conectada a un televisor de 32 pulgadas. De manera que todos puedan concluir en que la grfica obtenida es una parbola. Luego les pedir que verifiquen lo hecho la clase anterior para saber si coincide. Se continuar con el anlisis de dicha funcin y de dnde provino, para ello se pedir:3. Establecer la interseccin con el eje x de h(x). Con que valores coincide?Con esto se har hincapi en el hecho que las funciones lineales cortan al eje x en el mismo lugar que la parbola y se recordar como se llaman a esos puntos (races o ceros). 4. Obtener las grficas que resultan de multiplicar las siguientes funciones, indicando en cada una de ellas: dominio, imagen, races, conjunto de positividad, conjunto de negatividad, intervalo de crecimiento, intervalo de decrecimiento y concavidad.a. f(x)=x+1 con g(x)=2x-1b. f(x)=x+1 con g(x)=x-2c. f(x)=x+2 con g(x)=x+2d. f(x)= -1/2x+2 con g(x)=-x+1e. f(x)= -1/2x+1 con g(x)=x-2 f. f(x)=x+1 con g(x)=2 Dicha tarea se deber hacer con el Geogebra. Se les propondr que abran una hoja de Word para ir pegando las grficas. Siempre debern rotular a las funciones que se multiplican, y tambin rotular a la funcin resultante y cambiarle el color. Se aclarar que para copiar la grfica, que luego, se pegar en el archivo Word, tienen que ir a edita, luego, hacer clic en copia la vista grfica al portapapeles y por ltimo pegarla en el documento.5. Dada la funcin cuadrtica f(x)= x+x+1 hallar, si es posible, dos funciones lineales j(x) y k(x) tales que f(x)= j(x)k(x)Se les pedir que grafiquen la funcin f(x) con el Geogebra, y que luego contesten. El docente acompaar observando el trabajo de los alumnos sin interrumpir su tarea. Aqu se esperar que no encuentren dos funciones lineales que multiplicadas den una cuadrtica. Si no llegarn a darse cuenta de esto, el docente les pedir entonces, que observen si la parbola corta al eje x en algn punto y sabiendo que las races de la cuadrtica coinciden con las de las lineales arribaran a que no es posible obtenerla como multiplicacin de funciones lineales.Actividades de cierre:Tiempo parcial: 40 minutosComo cierre de la actividad se propondr una puesta en comn de las conclusiones abordadas, con el fin de que los alumnos comuniquen los conocimientos aprendidos.Para ello el docente mostrar, con la netbook conectada al televisor, cada una de las funciones obtenidas, en los puntos 4 y 5 desde el Geogebra. Tambin mostrar que es posible desplazar un objeto en el Geogebra, en este caso dicho objeto es una de las rectas, para la cual se elige la opcin Elige y Mueve y luego, apoyndose sobre el objeto que se pretende mover, se hace clic sobre l y se desplaza con el mouse. Se podr ver as las distintas posiciones de la parbola. Las siguientes preguntas orientaran la discusin:a) Es cierto que siempre que multiplicamos dos rectas obtenemos una parbola?b) Cmo obtenemos los ceros, el conjunto de positividad y el conjunto de negatividad de la parbola a partir de los grficos de las rectas?c) Es cierto que toda parbola puede ser escrita como el producto de dos rectas?d) Cmo deben ser las rectas para que su producto sea una parbola que tenga mximo? Y mnimo?e) Cmo deben ser las rectas para que su producto sea una parbola con un cero doble? Y con dos ceros simples?

Posibles conclusiones: El producto de dos rectas (no horizontales) siempre es una parbola. No todas las parbolas pueden obtenerse como producto de dos rectas. Las nicas parbolas que pueden obtenerse como producto de dos rectas son las que atraviesan el eje x o lo tocan. Si las pendientes de las rectas son del mismo signo la parbola tiene mnimo, si tienen diferente signo tienen mximo. Los ceros de las rectas siempre son los ceros de la parbola.

Tambin se debe aclarar que una recta vertical, no cumple con la condicin de funcin por lo tanto no debe tenerse en cuenta.(En las decisiones tecnolgicas se tuvieron en cuenta las necesidades pedaggicas para elegir los recursos digitales. Lo que cambia con la tecnologa es el conjunto de problemas entre los que se puede escoger y la forma en que se pueden presentar. Algunos son muy difciles de plantear en las aulas que utilizan nicamente lpices, biromes, pizarrn y tizas. Si las clases son planificadas y/o utilizan programas con concepciones de un aprendizaje constructivo, las tecnologas pueden incrementar la cantidad de problemas que pueden pensar y resolver los estudiantes. Permitirn que en las clases se logre experimentar sobre bsqueda de regularidades, estructuras y patrones, y comportamientos de los objetos matemticos, conjeturando sobre ellos e inicindose en un camino de argumentaciones tendientes a la demostracin (Figueras, 2010). Se pretende a travs del Geogebra plantear una secuencia didctica que lleve a los alumnos a construir significados de la funcin polinmica y sus caractersticas. El uso del Geogebra es beneficioso para los alumnos ya que permite visualizar y construir significados de manera tangible. Tambin nos brinda herramientas sencillas en el manejo y ahorro de tiempo ya que se utiliza menos que si lo hicieran en la hoja.)Recursos:Herramientas disponibles: Geogebra, Netbook, televisor, lpiz y papel.Gua de actividades: Problemas del 1 al 5. Bibliografa: Gua de Referencia de GeoGebra 4.2. Traduccin de Liliana SaidonEvaluacin: A travs de la observacin directa evaluar la forma de uso del software Geogebra durante la primer parte de la actividad. Formular preguntas para promover la argumentacin de las respuestas. Favorecer el intercambio de ideas con los pares. Validacin de resultados y expresiones obtenidas a travs de puestas en comn. Actividades del 3er. Encuentro Funcin polinmica con nombre propioTiempo estimado: 120 minutos

Actividad de apertura:Tiempo parcial: 10 minutosEl docente retomar lo realizado la clase anterior, apuntando a dar continuidad a la situacin problemtica que se muestra en el encuentro 1. Para ello los alumnos volvern a leer lo planteado prestando atencin a la parte B de dicho problema. Para la actividad que sigue los alumnos debern tener sus computadoras encendidas e iniciar el Geogebra, pueden estar trabajando en grupos segn la cantidad de netbook que haya disponible.Se concluir en que el volumen se calcula multiplicando la superficie de la base por la altura. Para ello debern recordar que la superficie de la base es una funcin cuadrtica cuya representacin grfica es una parbola y que la altura es una funcin lineal cuya representacin grfica es una recta.

Actividad de desarrollo:

Tiempo parcial: 90 minutos

Se les presentar las siguientes actividades:

1. Sea h(x) = -x+6x-5 la funcin que representa la superficie de la base y j(x)= 1/2x la funcin lineal que representa la altura. Usen el software para graficarlas. Cada grupo comenzar con la grfica de las funciones cuadrtica y lineal correspondiente a la base y altura de la caja, el docente pasa por los bancos supervisando que las graficas se ajusten a lo pedido, sin interrumpir. En caso de que no se ajusten hace preguntas para orientar la construccin correcta o ante algn inconveniente relacionado con el Geogebra recuerda cmo hacerlo y para visualizar mejor las graficas les pedir que introduzcan la cuadricula.

Una vez obtenida las graficas, se les pedir que con lpiz y papel sin utilizar la netbook, grafiquen aproximadamente la funcin v(x) que resulta de multiplicar h(x) por j(x). El docente les aclarar que se trata de una funcin nueva y que debern acercarse a su grafica lo mejor posible. Aqu debern utilizar lo aprendido la clase anterior donde se multiplican las imgenes de h(x) y j(x) para ciertos valores de x, obteniendo as puntos de la nueva funcin. Se pedir que lo comparen con los dems grupos (generando posibilidad de retroalimentacin).Pasado de unos 15 minutos el docente propone la grfica de v(x) (como el producto de h(x)j(x)). 2. Obtengan mediante el Geogebra la funcin v(x)= h(x)j(x) Qu tipo de funcin se forma?Se les pedir que la rotulen y le cambien el color, y tambin que la comparen con la realizada en el papel. Pasado un tiempo prudencial graficar lo mismo desde su netbook que se encuentra conectada al televisor.De esta manera presentar a la nueva funcin como funcin cbica, que se corresponde con una funcin polinmica de nombre propio que se lo debe al mayor exponente de su variable.Con la ayuda de los alumnos realizar en el pizarrn la multiplicacin (x-1)(5-x)(1/2x) aplicando la propiedad distributiva de la multiplicacin respecto a la suma, obteniendo as la expresin del volumen en forma polinmica que es -1/2x+3x-5/2x. Generalizar esta funcin escribiendo ax+bx+cx+d. Se aclarar que existen otras funciones polinmicas por ejemplo de 4to grado, 5to grado etc, dependiendo del mayor exponente de x. Entre todos analizarn la respuesta al problema, concluyendo que el mximo volumen es de 6,5 m y que se da para un ancho de 2,5m un largo de 1,5m y una altura de 1,75m. Para dar respuesta al problema es fundamental el uso de la cuadricula en el Geogebra.Luego les pedir que verifiquen si la grfica corta al eje x en los mismos puntos donde lo hacen la parbola y la recta y que recuerden como se llaman a esos puntos. En este caso se caracteriza por tener tres races que coinciden con las races de la recta y la parbola que la generaron.3. Establecer la interseccin con el eje x de h(x). Con qu valores coincide?Luego les pide que abran una nueva ventana en el Geogebra y grafiquen las tres funciones lineales correspondientes al ancho, largo y altura de la caja, y realicen la multiplicacin de las mismas, y adems que la comparen con la realizada (entre la parbola (superficie de la base) y la recta (altura)).

4. Graficar en el Geogebra la funcin que resulta de la siguiente multiplicacin: f(x)g(x)j(x)a) Comparar con la realizada anteriormente.b) Indicar conjunto de positividad, conjuntos de negatividad y races de v(x).c) Indicar intervalo de crecimiento e intervalo de decrecimiento de v(x).

De esta manera se pedir que analicen la funcin en forma completa. El docente pasa por los bancos observando el trabajo de los grupos, aclarando cuestiones, si es necesario.

5. Obtener las grficas que resultan de multiplicar las siguientes funciones, indicando en cada una de ellas: dominio, imagen, races, conjunto de positividad, conjunto de negatividad, intervalo de crecimiento e intervalo de decrecimiento.

a. f(x)=x-2x-3 con g(x)=x-1b. f(x)=x+2x+1 con g(x)=x-2c. f(x)=x-2x+1 con g(x)=x-1d. f(x)= x+x+1 con g(x)=1/2x-1e. f(x)= x+x-2 con g(x)= 1/2x-1/2

Dicha tarea se deber hacer con el Geogebra. Se les propondr que abran una hoja de Word para ir pegando las grficas. Siempre debern rotular a las funciones que se multiplican, y tambin rotular a la funcin resultante y cambiarle el color.Actividades de cierre: Tiempo parcial: 20 minutos Como cierre de la actividad se propondr una puesta en comn de las conclusiones abordadas, con el fin de que los alumnos comuniquen los conocimientos aprendidos.

Para ello el docente mostrar, con la netbook conectada al televisor, cada una de las funciones obtenidas, en el punto 5 desde el Geogebra.

Las siguientes preguntas orientaran la discusin:a) Es cierto que siempre que multiplicamos tres rectas (no horizontales) obtenemos una cbica?

b) Cmo obtenemos los ceros, el conjunto de positividad y el conjunto de negatividad de la cbica a partir de los grficos de las rectas? Cuntas races o ceros tienen?

c) Es cierto que toda cbica puede ser escrita como el producto de una parbola y una recta (no horizontal)?

d) Cmo debe ser la parbola para que su producto con una recta (no horizontal) sea una cbica que tenga dos races (una simple y otra doble)? Y una raz (triple)?

e) Es cierto que toda cbica tiene tres races (simples) como mximo y una raz (triple) como mnimo?

(a)(b)

(c)

(d)

(e)

Posibles conclusiones: El producto de tres rectas (no horizontales) siempre en una cbica con tres races simples. Todas las cbicas pueden obtenerse como producto de una parbola y una recta. La parbola debe cortar al eje x en dos puntos y uno de ellos debe coincidir donde la recta corta al eje x o la parbola tocar al eje x y la recta cortarlo en otro punto distinto, para que la cbica tenga dos races. La parbola debe tocar al eje x y la recta cortar al eje x en el mismo lugar para que la cbica tenga una raz (triple). Toda cbica tiene tres races como mximo y una como mnimo.

Recursos:Herramientas disponibles: Netbook, televisor, lpiz y papel.Bibliografa: Gua de Referencia de GeoGebra 4.2. Traduccin de Liliana SaidonEvaluacin: Es de suma importancia la observacin directa del docente para orientar el uso del software de geometra dinmica con el fin de no perder de vista el objetivo principal de las consignas. As como tambin, la orientacin sobre los temas a los que se quiere arribar, por lo que el docente realizar preguntas guiadoras, mostrando una postura neutral aparente promoviendo la discusin y el intercambio de opiniones entre los alumnos. Asimismo, se buscar promover la argumentacin de las respuestas dadas y en particular las respuestas a los problemas planteados. Se evaluar especficamente: El uso del software durante las construcciones.La justificacin de las respuestas, en base a las propiedades trabajadas. La presentacin de pruebas/argumentos, apoyados en las construcciones dinmicas con Geogebra. La participacin en la construccin colaborativa de las respuestas a los problemas.

Evaluacin finalPara la evaluacin final se propondr una nueva situacin donde los alumnos debern utilizar los conocimientos construidos con la funcin polinmica, y las destrezas en el uso del Geogebra y generales en particular con documentos Word.Se propone el siguiente trabajo:Explore con Geogebra las funciones de 4to grado combinando multiplicaciones de rectas (no horizontales) entre s o parbolas entre s o rectas y parbola.Abran para ello un archivo de Word: escriban en l, cada una de las distintas combinaciones con un ejemplo de cada una de las posibilidades y a continuacin peguen el grfico que previamente copiaron desde el portapapeles del Geogebra.Una vez terminado el anlisis responder Es posible que una funcin de 5to grado no corte al eje x? Y una de 6to grado? Si es posible, muestre un ejemplo con Geogebra. Si no es posible, explique por qu.

Resuelve cada una de las actividades, registrando todas las conclusiones en una hoja para ser entregada al docente al finalizar.Para ello sistematiza las posibilidades completando el cuadro:

Funcin polinmica de 4to grado.

Cuatro races distintasTres races distintasDos races distintasUna sola razNinguna raz

16Macias, Daniel Fabian