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MA311 - Cálculo III
Primeiro semestre de 2020
Turma B – Curso 51
Ricardo M. Martins
http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda
Aula 29: Sistemas lineares
http://www.ime.unicamp.br/~rmiranda
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Sistemas de equações diferenciais lineares
Até agora, aprendemos a resolver equações diferenciais em R: dadauma equação do tipo
F (x ′′, x ′, x , t) = 0,
onde F : U ⊂ R4 → R é uma função “boa”, aprendemos aencontrar uma função x(t) que satisfaz a esta equação, ou seja,
que
F (x ′′(t), x ′(t), x(t), t) = 0.
Um exemplo t́ıpico é F (x ′′, x ′, x ′t) = x ′′ − 5x ′ + 6x − et , que temcomo solução x(t) = c1e
2t + c2e3t + et/2, c1, c2 constantes (que
serão definidas com as condições iniciais).
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Sistemas de equações diferenciais lineares
Agora vamos resolver sistemas de equações diferenciais lineares, ou
seja, teremos várias funções para encontrar, e as relações entre elas
serão dadas por várias equações.
Uma forma de obter um sistema de equações diferenciais é a partir
de uma equação de ordem superior: por exemplo, a equação
x ′′ − 5x ′ + 6x = et
pode ser transformada num sistema introduzindo a variável auxiliar
y = x ′, donde ficamos com
x ′ = y ,
y ′ = x ′′ = 5x ′ − 6x + et = 5y − 6x + et ,
e dáı iremos procurar x(t), y(t) satisfazendo a este sistema.
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Sistemas de equações diferenciais lineares
Estes sistemas admitem soluções? Sim!
Teorema
Sejam aij(t), 1 ≤ i , j ≤ n e b1(t), . . . , bn(t) funções cont́ınuasdefinidas no intervalo (α, β). Seja t0 ∈ (α, β). Então o PVI
x ′1 = a11(t)x1(t) + a12(t)x2(t) + . . .+ a1n(t)xn(t) + b1(t),
x ′2 = a21(t)x1(t) + a22(t)x2(t) + . . .+ a2n(t)xn(t) + b2(t),...
x ′n = an1(t)x1(t) + an2(t)x2(t) + . . .+ ann(t)xn(t) + bn(t)
tem única solução x(t) = (x1(t), . . . , xn(t)) definida para t ∈(α, β).
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Sistemas de equações diferenciais lineares
Exemplo
O sistema {x ′ = x + y + et ,
y ′ = −x + y ,
com condições iniciais x(0) = 0, y(0) = 0 tem solução dada por
x(t) = et sen(t), y(t) = −et(1− cos(t)),
ou em notação vetorial por
x(t) =(et sen(t),−et(1− cos(t))
).
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Sistemas de equações diferenciais lineares
Usaremos a notação matricial para o sistema do teorema anterior:
se A(t) = (aij(t))i ,j e b(t) = (b1(t), . . . , bn(t))t , o sistema será
denotado por
x′ = A(t)x + b(t).
Atenção à diferença entre x e x : negrito significa que é uma
variável vetorial.
Além disto, denotaremos a derivada de x por ẋ ao invés de x′
Iremos começar a estudar como encontrar as soluções no caso em
que as funções aij(t) são constantes e o vetor b(t) é nulo. Assim,
o sistema que estaremos interessados é da forma
x′ = Ax.
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Sistemas de equações diferenciais lineares
Na última aula vimos que se A é uma matriz n × n, então asolução do sistema
ẋ = Ax
com condição inicial x(0) = x0 é
x(t) = eAtx0.
O que vamos fazer hoje?
# Ver muitos exemplos disto.
# Entender a relação equação diferencial x campo vetorial.
# Entender retratos de fase.
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Equações diferenciais X campos vetoriais
Vamos fazer quase tudo em R2. Um campo vetorial de classe C r éuma função X : Ω ⊂ R2 → R2 de classe C r .
O campo vetorial X associa a cada ponto (x , y) ∈ Ω ⊂ R2 o pontoX (x , y) ∈ R2.
Geometricamente, iremos representar X (x , y) como sendo um
vetor (“setinha”) com ponto inicial em (x , y).
Isto nos permite dar uma representação gráfica para o campo
vetorial X , já que seu gráfico não pode ser visto (o gráfico de X
está em R4).
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Equações diferenciais X campos vetoriais
Exemplo
O campo vetorial X (x , y) = (−2x , y) está representado abaixo.
6 4 2 0 2 4 6x
6
4
2
0
2
4
6y
Com o único objetivo de deixar a figura mais bonitinha, representaremos todas
as setinhas com mesma norma.
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Equações diferenciais X campos vetoriais
Exemplo
O campo vetorial X (x , y) = (−2x , y) está representado abaixo.
6 4 2 0 2 4 6x
6
4
2
0
2
4
6y
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Equações diferenciais X campos vetoriais
Acabamos de ver o campo vetorial X (x , y) = (−2x , y). Vamosagora pensar no sistema de equações diferenciais{
x ′ = −2x ,y ′ = y .
Seja x(t) = (x(t), y(t)) uma solução deste sistema. Então
x′(t) = (x ′(t), y ′(t)) = (−2x(t), y(t).
Isto significa que, em cada ponto x(t0) = (x(t0), y(t0)) da curva, o
vetor tangente será dado por (−2x(t0), y(t0)).
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Equações diferenciais X campos vetoriais
Procurar solução do sistema (ẋ , ẏ) = (−2x , y) é equivalente aprocurar uma curva x(t) cujo vetor tangente x′(t) é dado por
(−2x , y) em cada ponto (x , y).
Isto é verdade sempre que tivermos um sistema autônomo de
primeira ordem, ou seja, um sistema de equações diferenciais da
forma ẋ1 = f1(x1, . . . , xn),
ẋ2 = f2(x1, . . . , xn),...
ẋn = f2(x1, . . . , xn),
sem dependência de t nas funções do lado direito, e com fj de
classe C r , r ≥ 1. Vamos começar trabalhando com este tipo desistema, e suporemos também que as fj ’s são lineares.
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Nosso primeiro exemplo
Exemplo
Resolva o sistema {x ′ = −2x ,y ′ = y ,
com condições iniciais x(0) = α e y(0) = β.
Este é um caso onde é mais fácil achar a solução diretamente do
que usando exponenciais: pelos coeficientes indeterminados,
suponha que
x(t) = p cos(ωt) + q sen(ωt),
substitua na equação, ache p, q, ω e pronto. Depois ache y
fazendo y ′ = x .
Mesmo assim, vamos usar exponencial matricial.
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Nosso primeiro exemplo
Exemplo
Resolva o sistema {x ′ = −2x ,y ′ = y ,
com condições iniciais x(0) = α e y(0) = β.
Seja
A =
(−2 00 1
).
Vamos calcular exp(At). Note que
Ak =
((−2)k 0
0 1
)
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Nosso primeiro exemplo
Exemplo
Resolva o sistema {x ′ = −2x ,y ′ = y ,
com condições iniciais x(0) = α e y(0) = β.
Dáı
(At)k =
((−2t)k 0
0 tk
)
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Nosso primeiro exemplo
Assim
exp(At) =∞∑n=0
1
n!(At)n =
(−2t)n
n!0
0tn
n!
=
∞∑n=0
(−2t)n
n!0
0∞∑n=0
tn
n!
=
(e−2t 0
0 et
)
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Nosso primeiro exemplo
Portanto, a solução com condição inicial x(0) = α e y(0) = β é
dada por
x(t) =
(e−2t 0
0 et
)(α
β
)=
(e−2tα
etβ
),
onde x(t) = e−2tα e y(t) = etβ.
No próximo slides, vamos plotar as curvas x(t) para algumas
condições iniciais (α, β).
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Nosso primeiro exemplo
6 4 2 0 2 4 6x
6
4
2
0
2
4
6
y
Cada curva representa uma condição inicial diferente. Vamos
plotar, na mesma figura, o campo vetorial (normalizado) associado.
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Nosso primeiro exemplo
6 4 2 0 2 4 6x
6
4
2
0
2
4
6
y
Como eu fiz esta figura? Fiz usando Python, com o matplotlib,
veja detalhes aqui:
https://rmiranda99.github.io/etc/python.html.
https://rmiranda99.github.io/etc/python.html
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Retrato de fase
6 4 2 0 2 4 6x
6
4
2
0
2
4
6
y
# As condições iniciais são da forma x(t0) = α e y(t0) = β, eno caso de sistemas autônomos o valor de t0 não importa;
iremos sempre considerar t0 = 0.
# Uma consequência do T.E.U. no caso de sistemas autônomosé que as soluções decompõe o espaço.
# Veja o exemplo anterior: dados dois pontos P,Q ∈ R2, oueles pertencem à mesma curva-solução ou eles pertencem a
soluções diferentes.
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Retrato de fase
6 4 2 0 2 4 6x
6
4
2
0
2
4
6
y
# Chamaremos de trajetória a cada uma das curvas-solução dosistema.
# Chamaremos de retrato de fase à união de todas as trajetórias(ou à sua representação geométrica, como na figura acima).
Muitas vezes incluiremos o campo vetorial no retrato de fase.
# Quando a figura só incluir o campo vetorial, chamaremos decampo de direções.
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Mais um exemplo
Exemplo
Construa o retrato de fase do sistema{x ′ = −3y ,y ′ = 2x .
Seja
A =
(0 −32 0
).
Precisamos calcular exp(At), só que agora Ak não é tão fácil de
obter como no caso da matriz anterior (que era diagonal).
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Mais um exemplo
Exemplo
Construa o retrato de fase do sistema{x ′ = −3y ,y ′ = 2x .
A =
(0 3
2 0
),A2 =
(−6 00 −6
),A3 =
(0 18
−12 0
),A4 =
(36 0
0 36
)
A5 =
(0 −108
72 0
),A6 =
(−216 0
0 −216
),A7 =
(0 648
−432 0
), . . .
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Mais um exemplo
Exemplo
Construa o retrato de fase do sistema{x ′ = −3y ,y ′ = 2x .
Portanto
exp(At) =∞∑n=0
1
n!Antn
= Id +
(0 −3t2t 0
)+
1
2
(6t2 0
0 6t2
)+ . . .
=
−3t6
10+
3t4
2− 3t2 + 1 + . . . 9t
7
70− 9t
5
10+ 3t3 − 3t + . . .
−3t7
35+
3t5
5− 2t3 + 2t + . . . −3t
6
10+
3t4
2− 3t2 + 1 + . . .
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Mais um exemplo
Exemplo
Construa o retrato de fase do sistema{x ′ = −3y ,y ′ = 2x .
Portanto
exp(At) =∞∑n=0
1
n!Antn
= Id +
(0 −3t2t 0
)+
1
2
(6t2 0
0 6t2
)+ . . .
=
cos(√
6t)
−√
3
2sen(√
6t)
√2
3sen(√
6t)
cos(√
6t)
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Mais um exemplo
Exemplo
Construa o retrato de fase do sistema{x ′ = −3y ,y ′ = 2x .
Logo, a trajetória com condição inicial x(0) = (α, β) é dada por
x(t) =
(α cos
(√6t)−√
3
2β sen
(√6t),
√2
3α sen
(√6t)
+ β cos(√
6t))
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Mais um exemplo
Plotando algumas trajetórias e também o campo vetorial, obtemos:
6 4 2 0 2 4 6x
6
4
2
0
2
4
6
y
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Probleminha
A igualdade
− 3t6
10+ 3t
4
2− 3t2 + 1 + . . . 9t
7
70− 9t
5
10+ 3t3 − 3t + . . .
− 3t7
35+ 3t
5
5− 2t3 + 2t + . . . − 3t
6
10+ 3t
4
2− 3t2 + 1 + . . .
= cos
(√6t)
−√
32sen(√
6t)
√23sen(√
6t)
cos(√
6t)
é verdadeira, mas estamos longe de descobŕı-la só olhando para as
equações.
O problema é que calcular exp(A) pode ser complicado.
Apesar de termos uma fórmula fechada para isto, às vezes iremos
precisar de “reconhecer” o somatório como uma função elementar
(e/ou combinações).
É aqui que precisará entrar um pouco de álgebra linear na história.
Por hoje, vamos só fazer mais um exemplo importante.
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Exemplos importantes
Exemplo
Seja A uma matriz diagonal, A = diag(λ, µ), com λ, µ ∈ R. Exibao retrato de fase do sistema
ẋ = Ax⇔
{x ′ = λx ,
y ′ = µy .
Neste caso é fácil calcular a exponencial de A:
exp(At) =
(eλt 0
0 eµt
).
Assim, se x(0) = (α, β) é a condição inicial, a solução é dada por
x(t) = eAtx(0) =(αeλt , βeµt
)
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Exemplos importantes
Caso 1: λ > 0 e µ > 0 (repulsor)
x(t) = eAtx(0) =(αeλt , βeµt
)
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Exemplos importantes
Caso 2: λ < 0 e µ < 0 (atrator)
x(t) = eAtx(0) =(αeλt , βeµt
)
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Exemplos importantes
Caso 3: λ < 0 e µ > 0 (µ = −ρ, ρ > 0) (ou vice-versa) (sela)
x(t) = eAtx(0) =(αeλt , βe−ρt
)
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Um pouco de álgebra linear
TeoremaSejam A,B matrizes n × n e suponha que exista uma matriz in-vert́ıvel M tal que A = MBM−1. Então
exp(At) = exp((MBM−1)t) = M exp(Bt)M−1.
A prova fica como exerćıcio, mas não é dif́ıcil.
Substitua A por MBM−1 no somatório que define exp(A) e veja a
mágica acontecer, lembrando que (MBM−1)k = MBkM−1
(consegue justificar?).
Como vamos usar este teorema neste curso?
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Um pouco de álgebra linear
Vamos recapitular um de nossos exemplos,{x ′ = −3y ,y ′ = 2x .
e definir, como antes,
A =
(0 −32 0
).
É posśıvel encontrar uma matriz M tal que
A = M
(0 −
√6√
6 0
)M−1.
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Um pouco de álgebra linear
De fato, para que
A =
(0 −32 0
)= M
(0 −
√6√
6 0
)M−1 = MBM−1
basta escolhermos
M =
√
3
5−√
3
5√2
5
√2
5
.Dáı, para calcular exp(A) poderemos simplesmente calcular exp(B)
e multiplicar por M e M−1, ou seja,
exp(At) = M exp(Bt)M−1.
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Um pouco de álgebra linear
Como
B =
(0 −
√6√
6 0
),
após alguns cálculos (mostre!) obtemos que
exp(Bt) =
(cos(√
6t)− sen
(√6t)
sen(√
6t)
cos(√
6t) ) ,
e dáı multiplicando por M e M−1, obtemos o resultado anteriorcos(√
6t)
−√
3
2sen(√
6t)
√2
3sen(√
6t)
cos(√
6t)
.Na próxima aula vamos entender como calcular esta matriz M.