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Funes Lineares

e Afins

Sumrio

9.1 A Funo Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

9.2 Caracterizao da Funo Am . . . . . . . . . . . 7

9.3 Exerccios Recomendados . . . . . . . . . . . . . . . 10

9.4 Exerccios Suplementares . . . . . . . . . . . . . . . 11

9.5 Textos Complementares . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Unidade 9

Dando continuidade unidade anterior, agora passaremos a aprofundar

nosso estudo sobre funes lineares e funes ans. Na Seo 1, as funes

lineares so apresentadas como modelos matemticos para proporcionalidade.

Por incrvel que possa parecer, esta ligao bsica entre dois conceitos mate-

mticos to importantes , na maior parte das vezes, negligenciada nos livros

didticos. Os assuntos proporcionalidade e funes lineares so, em geral, tra-

tados em captulos separados, at mesmo em anos distintos, sem que nenhuma

relao seja explicitamente apontada. Como ocorre em muitas outras situa-

es, a abordagem da noo de proporcionalidade representa uma importante

oportunidade para estabelecer relaes entre diferentes campos da matemtica,

como aritmtica, geometria e funes. A compreenso inadequada da noo de

proporcionalidade pode levar sua generalizao indevida pelos alunos, conside-

rando uma proporcionalidade qualquer situao em que o crescimento de uma

grandeza implica no crescimento de uma outra. Por exemplo, no incomum

a armao de que a rea de um quadrado proporcional ao seu lado.

verdade que, quanto maior for o lado de um quadrado, maior ser a sua rea;

porm, isto no signica que estas grandezas sejam proporcionais. De fato, se

x R+ representa o lado de um quadrado, a rea no pode ser expressa poruma funo f : R+ R+ na forma f(x) = a x, com a R.Procure reetir sobre esta questo ao estudar a primeira seo da unidade.

Observe como a denio de proporo enunciada estabelece uma relao de

dependncia funcional entre as grandezas. Certique-se de entender bem as

provas de que toda funo com a propriedade de proporcionalidade direta da

forma f(x) = a x, e de que toda funo com a propriedade de proporcionalidade

inversa da forma f(x) =a

x(em que a = f(1), em ambos os casos). Na

demonstrao do Teorema Fundamental da Proporcionalidade, atente para a

importncia da hiptese de monotonicidade para a generalizao do argumento

no caso em que x um nmero irracional.

Na Seo 2, tambm so discutidos alguns aspectos importantes e pouco

explorados na escola. Em geral, funes ans so abordadas simplesmente com

base na sua expresso algbrica y = ax+b, mas pouca nfase dada caracte-

rizao fundamental de funes ans como aquelas em que acrscimos iguais na

varivel independente implicam em acrscimos iguais na varivel dependente.

Esta caracterizao permite que os alunos compreendam mais claramente o

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Unidade 9

Funes Lineares e Afins

comportamento qualitativo desta classe de funes. Alm disso, muito im-

portante a relao entre funes ans e progresses aritmticas, aqui discutida.

Este mais um exemplo de conceitos que apresentam relaes fundamentais

entre si, mas que so apresentados de forma estanque nos livros didticos.

9.1 A Funo Linear

A funo linear, dada pela frmula f(x) = ax, o modelo matemtico

para os problemas de proporcionalidade. A proporcionalidade , provavelmente,

a noo matemtica mais difundida na cultura de todos os povos e seu uso

universal data de milnios.

Diremos que uma funo f : R R tal que, para quaisquer nmeros reais ce x tem-se f(cx) = cf(x), uma proporcionalidade direta. Se f(cx) = f(x)/c,para quaisquer c 6= 0 e x R, diremos que f uma proporcionalidade inversa. claro que se f(cx) = c f(x), para todo c e todo x ento, escrevendo

a = f(1), tem-se f(c) = f(c 1) = c f(1) = ca, ou seja, f(c) = ac para todoc R. Numa notao mais adequada, temos f(x) = ax para todo x R,mostrando que f uma funo linear.

Quanto proporcionalidade inversa, ela s tem sentido quando se trata de

grandezas no-nulas. Seu modelo matemtico uma funo f : R R(onde R = R\{0}) tal que f(cx) = f(x)/c para c, x R quaisquer. Usandoo mesmo raciocnio anterior, isto quer dizer que, para todo x R, tem-sef(x) = a/x, onde a constante a f(1).

Fixaremos nossa ateno na proporcionalidade direta, que chamaremos ape-

nas de proporcionalidade.

Na prtica, h situaes em que a frmula y = ax, que caracteriza a pro-

porcionalidade, dada explicitamente (ou quase). Por exemplo, se um quilo de

acar custa a reais ento x quilos custam y = ax reais.

Em muitos casos, porm, a constante a de proporcionalidade no est clara

e, s vezes, nem mesmo tem relevncia alguma para o problema. Um exemplo

disso se tem nas aplicaes do teorema de Tales.

Naquele teorema, tem-se um tringulo ABC e uma correspondncia que a

cada ponto X do lado AB associa o ponto Y do lado AC tal que XY paralelo

a BC. O teorema de Tales assegura que o comprimento y do segmento AY

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Unidade 9

A Funo Linear

proporcional ao comprimento x de AX. Mas que importncia tem a constante

de proporcionalidade a = y/x ? Por acaso, tem-se a = senB/ senC mas este

valor no signica muito no caso.

B C

A

X Y

Figura 9.1: O Teorema de Tales.

Este exemplo chama a ateno para o fato de que nos problemas relativos

proporcionalidade o que importa muitas vezes saber apenas que se y = f(x)

e y = f(x) ento y/x = y/x constante.

Quando a correspondncia x 7 y, x 7 y uma proporcionalidade, aigualdade y/x = y/x permite que se determine um desses quatro nmeros

quando se conhecem os outros trs. Nisto consiste a tradicional regra de trs.

Mas h uma questo preliminar que a seguinte: como vamos ter certeza

de que a correspondncia x 7 y uma proporcionalidade? Precisamos que setenha f(cx) = cf(x) para todos os valores reais de c e x. Em particular, para

todo c. Isto fcil de vericar quando c inteiro. E nos outros casos? E se

c for irracional? Felizmente basta que se saiba que f(nx) = nf(x) para todo

x R e todo n inteiro, desde que se suponha que f montona (o que fcilde constatar na prtica).

O teorema abaixo a chave para determinar, em todas as situaes, se uma

dada funo ou no linear.

Teorema 1

Teorema Fundamental

da Proporcionalidade

Seja f : R R uma funo crescente. As seguintes armaes soequivalentes:

(1) f(nx) = nf(x) para todo n Z e todo x R;(2) Pondo a = f(1), tem-se f(x) = ax para todo x R;(3) f(x+ y) = f(x) + f(y) para quaisquer x, y R.

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Unidade 9

Funes Lineares e Afins

Demonstrao

Provaremos as implicaes (1) (2), (2) (3) e (3) (1). A mdemostrar que (1) (2), provemos inicialmente que, para todo nmero racionalr = m/n, a hiptese (1) acarreta que f(rx) = rf(x), seja qual for x R.Com efeito, tem-se

n f(rx) = f(nrx) = f(mx) = m f(x),

logo

f(rx) =m

nf(x) = r f(x).Seja a = f(1). Como f(0) = f(0 0) = 0 f(0) = 0, a monotonicidadede f nos d a = f(1) > f(0) = 0. Assim, a positivo. Alm disso, temos

f(r) = f(r 1) = r f(1) = r a = ar, para todo r Q.Mostremos agora que se tem f(x) = ax para todo x R. Vamos usar aquia densidade de Q em R.Suponha, por absurdo, que exista algum nmero irracional x tal que f(x) 6=

ax. Para xar ideias, admitamos f(x) < ax. (O caso f(x) > ax seria tratado

de modo anlogo.) Temos

f(x)

a< x.

Tomemos um nmero racional r (aqui usamos a densidade de Q en R) tal que

f(x)

a< r < x.

Ento f(x) < ar < ax, ou seja, f(x) < f(r) < ax. Mas isto absurdo, pois

f crescente logo, como r < x, deveramos ter f(r) < f(x). Esta contradio

completa a prova de que (1) (2). As implicaes (2) (3) e (3) (1) sobvias.

Em algumas situaes, o Teorema Fundamental da Proporcionalidade pre-

cisa ser aplicado a grandezas (como rea ou massa, por exemplo) cujas medidas

so expressas apenas por nmeros reais positivos. Ento temos uma funo

crescente f : R+ R+. Neste caso, as armaes do Teorema leem-se assim:(1+) f(nx) = n f(x), para todo n N e todo x R+;(2+) Pondo a = f(1), tem-se f(x) = ax, para todo x R+;(3+) f(x+ y) = f(x) + f(y), para quaisquer x, y R+.

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Unidade 9

A Funo Linear

Neste novo contexto, o Teorema Fundamental da Proporcionalidade conti-

nua vlido, isto , as armaes (1+), (2+) e (3+) so ainda equivalentes. Isto

se mostra introduzindo a funo F : R R, onde F (0) = 0, F (x) = f(x)e F (x) = f(x) para todo x > 0. Cada uma das armaes (1+), (2+) e(3+) para f equivale a uma das armaes (1), (2) e (3) para F .

Deve-se observar que a funo f do teorema acima sendo crescente, tem-se

a = f(1) > 0. No caso de se supor f decrescente vale um resultado anlogo,

com a < 0.

A importncia deste teorema est no seguinte fato: se queremos saber se

f : R R uma funo linear basta vericar duas coisas.Primeira: f deve ser crescente ou decrescente. (Estamos deixando de lado

o caso trivial de f ser identicamente nula.)

Segunda: f(nx) = nf(x) para todo x R e todo n Z. No caso def : R+ R+, basta vericar esta ltima condio para n N.

Exemplo 1

Se investirmos a quantia x, digamos numa caderneta de poupana, depois

de um ano teremos um capital f(x). Evidentemente, f uma funo cres-

cente de x: quanto mais se aplica mais se recebe no nal. Alm disso, tem-se

f(nx) = nf(x) para todo n N e todo x. De fato, esta igualdade signica quetanto faz abrir uma caderneta de poupana com o capital inicial x = nx como

abrir (no mesmo dia) n cadernetas, cada uma com o valor inicial x. O Teorema

Fundamental nos permite concluir que f(x) proporcional a x. Mais precisa-

mente, se a aplicao de 1 real der, no nal de um ano, um valor de resgate

igual a a, ento o capital inicial de x reais se transformar em f(x) = ax no

nal de um ano. (No confundir este exemplo com o crescimento do capital em

funo do tempo. Este no proporcional e ser tratado quando estudarmos a

funo exponencial.)

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Unidade 9

Funes Lineares e Afins

9.2 Caracterizao da Funo Am

Como saber se, numa determinada situao, o modelo matemtico a ser

adotado uma funo am?

No caso da tarifa do txi no h problema. Tem-se f(x) = ax + b onde x

a distncia percorrida, f(x) o preo a pagar, b a bandeirada e a a taxa

por quilmetro rodado. Mas nem todo problema assim to explcito.

Vejamos um caso diferente.

E.W. observou, numa sapataria, que o vendedor determinava o nmero do

sapato do cliente medindo seu p com uma escala na qual, em vez de centme-

tros, estavam marcados os nmeros . . . 36, 37, 38, . . .. O fato mais importante

que ele percebeu foi que esses nmeros estavam igualmente espaados, isto , a

distncia de cada um deles para o seguinte era constante. Isto queria dizer que

a acrscimos iguais no tamanho do p corresponderiam acrscimos iguais no

nmero do sapato. Dito de outro modo: se um certo p precisar de crescer h

centmetros para passar de tamanho 33 para 34, precisar de crescer os mesmos

h centmetros para passar de 38 para 39. Isto lhe deu a certeza de que a funo

que faz corresponder a cada comprimento x de um p o nmero f(x) do sapato

adequado uma funo am: f(x) = ax+ b. (Vide teorema a seguir.)

E.W. sabia que, para determinar os coecientes a, b da funo am, bastava

conhecer y1 = f(x1) e y2 = f(x2) para dois valores diferentes quaisquer x1 e x2.

Ele atravessou a rua. Do outro lado havia uma papelaria, onde comprou

uma rgua. Voltou sapataria e pediu emprestada a escala do vendedor. Como

sua rgua media at milmetros enquanto a escala s marcava pontos e meios

pontos, escolheu dois valores x1 6= x2 tais que os nmeros de sapato corres-pondentes, y1 = f(x1) e y2 = f(x2), assinalados na escala, fossem inteiros.

Tomou x1 = 20, x2 = 28 e viu que f(x1) = 32, f(x2) = 42. A partir da,

calculou os coecientes a = (y1 y2)/(x1 x2) e b = y1 ax1 chegando frmula

f(x) =5x+ 28

4,

que d o nmero do sapato de uma pessoa em funo do comprimento do seu

p em centmetros. Para chegar sua frmula, E.W. fez uso do seguinte

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Unidade 9

Caracterizao da Funo Afim

Teorema 2

Seja f : R R uma funo montona injetiva. Se o valor do acrscimof(x+ h) f(x) = (h) depender apenas de h, mas no de x, ento f umafuno am.

A demonstrao deste teorema, que faremos agora, uma aplicao do

Teorema Fundamental da Proporcionalidade. Para xar ideias, suporemos que

a funo f seja crescente. Ento : R R tambm crescente, com(0) = 0. Alm disso, para quaisquer h, k R temos

(h+ k) = f(x+ h+ k) f(x)= f((x+ k) + h) f(x+ k) + f(x+ k) f(x)= (h) + (k).

Logo, pelo Teorema Fundamental da Proporcionalidade, pondo-se a = (1),

tem-se (h) = a h para todo h R. Isto quer dizer que f(x+h)f(x) = ah.Chamando f(0) de b, resulta f(h) = ah+ b, ou seja, f(x) = ax+ b, para

todo x R.Observao. A recproca do teorema acima bvia. Se f(x) = ax+ b ento

f(x+ h) f(x) = ah no depende de x. A hiptese de que f(x+ h) f(x)no depende de x s vezes se exprime dizendo que a acrscimos iguais de

x correspondem acrscimos iguais para f(x). Outra maneira de exprimir esta

hiptese consiste em dizer que os acrscimos sofridos por f(x) so proporcionais

aos acrscimos dados a x.

Existe uma conexo interessante entre funes ans e progresses aritmti-

cas, anloga que veremos mais tarde entre funes exponenciais e progresses

geomtricas.

Uma progresso aritmtica pode ser vista geometricamente como uma se-

quncia (nita ou innita) de pontos x1, x2, . . . , xi, . . . igualmente espaados

na reta. Isto quer dizer que a razo h = xi+1 xi no depende de i:

h = x2 x1 = x3 x2 = = xi+1 xi = .

Se f : R R uma funo am, digamos f(x) = ax + b, e x1, x2, . . . ,xi, . . . uma progresso aritmtica, ento os pontos yi = f(xi), i = 1, 2, . . .

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Unidade 9

Funes Lineares e Afins

tambm esto igualmente espaados, isto , formam uma progresso aritmtica

cuja razo

yi+1 yi = (axi+1 + b) (axi + b) = a(xi+1 xi) = ah.

Assim, se tivermos uma reta no-vertical (grco de uma funo am) em

R e tomarmos sobre ela os pontos

(1, y1), (2, y2), . . . , (i, yi), . . .

cujas abscissas so os nmeros naturais 1, 2, . . . , i, . . ., as ordenadas y1, y2, . . . ,

yi, . . . desses pontos formam uma progresso aritmtica.

Reciprocamente, se uma funo montona f : R R transforma qual-quer progresso aritmtica x1, x2, . . . , xi, . . . numa progresso aritmtica y1 =

f(x1), y2 = f(x2), . . . , yi = f(xi), . . . ento f uma funo am.

Com efeito, neste caso a nova funo g : R R, denida por g(x) = f(x)f(0), transforma qualquer progresso aritmtica noutra progresso aritmtica,

e tem a propriedade g(0) = 0. Mostremos que g linear.

Para todo x R, os nmeros x, 0, x formam uma progresso aritm-tica, logo o mesmo ocorre com os nmeros g(x), 0, g(x). Por conseguinte,g(x) = g(x).Em seguida, consideremos x R e n N. Ento os nmeros 0, x, 2x, . . . ,

nx formam uma progresso aritmtica, o mesmo se dando com suas imagens

por g : 0, g(x), g(2x), . . . , g(nx). A razo desta progresso pode ser obtida

tomando a diferena entre o segundo e o primeiro termo, logo esta razo g(x).

Segue-se ento que g(nx) = n g(x). Finalmente, se n um inteiro negativo,temos n N, logo g(nx) = g(nx) = (ng(x)) = ng(x). Assim, valeg(nx) = ng(x), para todo n Z e todo x R. Pelo Teorema Fundamentalda Proporcionalidade, segue-se que g linear: g(x) = ax, portanto, pondo

f(0) = b, temos f(x) = g(x) + f(0) = ax + b, para todo x R, comoqueramos demonstrar.

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Unidade 9

Exerccios Recomendados

9.3 Exerccios Recomendados

1. Pessoas apressadas podem diminuir o tempo gasto em uma escada rolante

subindo alguns degraus da escada no percurso. Para uma certa escada,

observa-se que uma pessoa gasta 30 segundos na escada quando sobe 5

degraus e 20 segundos quando sobe 10 degraus. Quantos so os degraus

da escada e qual o tempo normalmente gasto no percurso?

2. Augusto, certo dia, fez compras em 5 lojas. Em cada loja, gastou metade

do que possuia e pagou, na sada, R$ 2,00 de estacionamento. Se aps

toda essa atividade ainda cou com R$ 20,00, que quantia ele tinha

inicialmente?

3. Seguindo as ideias de E.W., construa uma rgua para medir nmeros de

sapatos.

4. Estuda-se a implantao da chamada frmula 95. Por essa frmula os

trabalhadores teriam direito aposentadoria quando a soma da idade com

o nmero de anos de servio atingisse 95. Adotada essa frmula, quem

comeasse a trabalhar com 25 anos, com que idade se aposentaria?

5. Em uma escola h duas provas mensais, a primeira com peso 2 e a segunda

com peso 3. Se o aluno no alcanar mdia 7 nessas provas, far prova

nal. Sua mdia nal ser ento a mdia entre a nota da prova nal, com

peso 2 e a mdia das provas mensais, com peso 3. Joo obteve 4 e 6 nas

provas mensais. Se a mdia nal para aprovao 5, quanto ele precisa

obter na prova nal para ser aprovado?

6. Arnaldo d a Beatriz tantos reais quanto Beatriz possui e d a Carlos

tantos reais quanto Carlos possui. Em seguida, Beatriz d a Arnaldo e

a Carlos tantos reais quanto cada um possui. Finalmente, Carlos faz o

mesmo. Terminam todos com R$ 16,00 cada. Quanto cada um possua

no incio?

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Unidade 9

Funes Lineares e Afins

9.4 Exerccios Suplementares

1. Dado o grco da funo f , abaixo, obtenha, em cada caso, o grco da

funo g tal que

(a) g(x) = f(x) 1;

(b) g(x) = f(x 1);

(c) g(x) = f(x);

(d) g(x) = 2f(x);

(e) g(x) = f(2x);

(f) g(x) = |f(x)|;

(g) g(x) = f(|x|);

(h) g(x) = max{f(x); 0}.

x

y

f

0

2. Determine os valores reais de x que satisfazem a

(a) 2x+ 3 (x 1) < x+ 1;(b) 2x+ 3 (x 1) < x+ 5;(c) min{x+ 1; 5 x} > 2x 3;(d) min{x+ 1; 5 x} < 2x;(e) min{2x 1; 6 x} = x;(f) 2|x+ 1| |1 x| 6 x+ 2;(g) (2x+ 3)(1 x) = (2x+ 3)(x 2);(h) |x+ 1 |x 1|| 6 2x 1.

3. Um supermercado est fazendo uma promoo na venda de salsichas: um

desconto de 10% dado nas compras de 3 quilos ou mais. Sabendo que

o preo do quilo de salsicha de R$ 4,00, pede-se:

(a) o grco do total pago em funo da quantidade comprada;

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Unidade 9

Exerccios Suplementares

(b) o grco do preo mdio por quilo em funo da quantidade com-

prada;

(c) a determinao de quais consumidores poderiam ter comprado mais

salsicha pagando o mesmo preo;

(d) a determinao de quantos quilos foram comprados por um consu-

midor que pagou R$ 15,00.

4. Dadas as progresses aritmticas

(a1, a2, . . . , an, . . .) e (b1, b2, . . . , bn, . . .),

mostre que existe uma, e somente uma, funo am f : R R tal quef(a1) = b1, f(a2) = b2, . . . , f(an) = bn, . . .

5. Dena uma funo f : R R pondo f(x) = 2x se x racional ef(x) = 3x se x irracional. Mostre que se tem f(nx) = nf(x) para

todo n Z e todo x R mas f no linear.6. Prove que a funo f : R R, denida por f(x) = 3x + sen(2pix), crescente e, para todo x R xado, transforma a progresso aritmticax, x+1, x+2, . . . numa progresso aritmtica. Entretanto, f no am.

Por que isto no contradiz o fato provado no nal da Seo 2?

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Unidade 9

Funes Lineares e Afins

9.5 Textos Complementares

Para Saber MaisTeorema Fundamental da Proporcionalidade X Continuidade

No enunciado que demos para o Teorema Fundamental da Proporcionali-

dade, zemos a hiptese de que a funo f fosse crescente (ou decrescente,

seria o mesmo). Outra hiptese possvel para o teorema - e equivalente, neste

caso, monotonicidade - seria de que a funo f fosse contnua. Note-se

que, na demonstrao, a monotonicidade foi usada apenas para provar que se

f(r) = ar para todo r racional ento f(x) = ax para todo x real. Esta

concluso imediata quando f contnua, pois todo nmero real x limite

de uma sequncia de nmeros racionais rn, logo a continuidade de f nos d

f(x) = lim f(rn) = lim arn = ax. A razo pela qual optamos em usar mo-

notonicidade, em vez da continuidade para f que este ltimo conceito no

usualmente tratado no segundo grau, enquanto crescente e decrescente so

noes bem mais elementares, que no dependem da ideia de limite.

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Unidade 9 Textos Complementares

Para Saber Mais Funes Poligonais

As funes poligonais surgem naturalmente, tanto na vida cotidiana (im-

posto de renda como funo da renda lquida, preo de uma mercadoria que

oferece descontos crescentes quando aumenta a quantidade comprada) como

em diversas reas da Matemtica (Anlise, Clculo Numrico, Equaes Dife-

renciais, Topologia).

Diz-se que f : R R uma funo poligonal quando existem t0 < t1 < < tn tais que, para x 6 t0, para x > tn e em cada um dos intervalos[ti1, ti], f coincide com uma funo am fi. (Para evitar descontinuidades,

exige-se que fi(ti) = fi1(ti1).) Equivalentemente, podemos dizer que uma

funo f : R R poligonal quando seu grco uma linha poligonal.O prottipo de funo poligonal uma funo f : R R, denida por

f(x) = |x|. Ou ento f(x) = |x c|, para algum c R.

x

y

t1 t2 t30

Figura 9.2: Funes poligonais.

Outros exemplos so dados por expresses do tipo

f(x) = |x+ | ou g(x) = |x |+ |x |.

Estes exemplos nos levam a conjeturar que toda funo poligonal pode

ser denida combinando valores absolutos de funes ans. Esta conjetura

verdadeira. (Ver exerccios deste captulo.)

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Unidade 9

Funes Lineares e Afins

x

y

y= |x|

0 x

y

c

y= |x c|

0

Figura 9.3: As funes y = |x| e y = |x c|.

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Unidade 9 Textos Complementares

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Referncias Bibliogrcas

[1] Carmo, Manfredo P.; Morgado, Augusto C., Wagner, Eduardo & Pitom-

beira, Joo Bosco. Trigonometria e Nmeros Complexos. Rio de Janeiro:

SBM, Coleo Professor de Matemtica.

[2] Eves, Howard. An Introduction to the History of Mathematics. New York:

Holt, Rinehart and Winston, 1964. 14, 3

[3] Ferreira, J. A Construo dos Nmeros. Rio de Janeiro: SBM, Coleo

Textos Universitrios, 2010. 2

[4] Figueiredo, Djairo G. Anlise I Rio de Janeiro: LTC, 1996. 3

[5] Figueiredo, Djairo G. Nmeros Irracionais e Transcedentes Rio de Janeiro:

SBM, Coleo Iniciao Cientca.

[6] Halmos, Paul. Naive Set Theory. New York: Springer, 1974.

[7] Hefez, A. Curso de lgebra Volume 1. 4a Edio. Rio de Janeiro: IMPA,

Coleo Matemtica Universitria, 2010. 2

[8] Hefez, Abramo e Fernandez, Ceclia de Souza. Introduo lgebra Linear.

Rio de Janeiro: SBM, Coleo PROFMAT, 2012.

[9] Lima, Elon Lages. Coordenadas no Espao. Rio de Janeiro: SBM, Coleo

Professor de Matemtica.

[10] Lima, Elon Lages. Curso de Anlise, Vol. 1. Rio de Janeiro: SBM, Projeto

Euclides, 1976.

[11] Lima, Elon Lages. Logaritmos. Rio de Janeiro: SBM, Coleo Professor de

Matemtica.

[12] Lima, Elon Lages. Meu Professor de Matemtica e Outras Histrias. Rio

de Janeiro: SBM, Coleo Professor de Matemtica. 12

[13] Lima, Elon Lages. Anlise Real, Vol. 1. Rio de Janeiro: IMPA, Coleo

Matemtica Universitria.

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Referncias Bibliogrficas