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Funes Trigonomtricas
Continuao
Sumrio
20.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
20.2 As Frmulas de Adio . . . . . . . . . . . . . . . . 2
20.3 A Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos . . . . . . . . 8
20.4 Exerccios Recomendados . . . . . . . . . . . . . . . 13
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Unidade 20
Introduo
20.1 Introduo
Nesta Unidade, nalizamos o nosso estudo das funes trigonomtricas. Na
Seo 2, estabelecemos as conhecidas frmulas para seno e cosseno da soma
de dois arcos. Uma aplicao importante dessas frmulas a frmula para a
transformao de rotao no plano.
Outra aplicao apresentada a parametrizao racional do crculo unitrio,
para a qual fornecida uma interpretao geomtrica.
Na Seo 3, estabelecemos a Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos, as quais
correspondem a relaes envolvendo lados e ngulos de um tringulo qualquer.
A Lei dos Cossenos pode ser considerada como uma generalizao do Teorema
de Pitgoras para tringulos no necessariamente retngulos. A Lei dos Senos
estabelece uma proporcionalidade entre os lados de um tringulo e os senos de
seus ngulos opostos. Essas leis nos permitem determinar todos os elementos
(lados e ngulos de um tringulo) em situaes em que so conhecidos alguns
destes.
20.2 As Frmulas de Adio
As frmulas clssicas que exprimem cos(+) e sen (+) em termos de
cos, cos , sen e sen podem ser demonstradas de vrios modos. Daremos
aqui a prova que nos parece a mais direta. Outras duas provas sero propostas
nos Exerccios 3 e 4.
Figura 20.1: Adio de arcos
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Unidade 20
Funes Trigonomtricas Continuao
Na gura, onde CB OB, temos OA = cos( + ), OB = cos ,BC = sen , AB = AB = sen sen e OB = cos cos .Logo
OA = OB AB = cos cos sen sen .Noutras palavras,
cos( + ) = cos cos sen sen .
Tomando em vez de na frmula acima, como cos() = cos esen () = sen , obtemos
cos( ) = cos cos + sen sen .
Alm disso, como
sen (pi
2+ t) = cos t e cos(
pi
2+ t) = sen t,
a frmula de cos( + ) nos d tambm
sen ( + ) = cos(pi2+ +
)= cos
(pi2+
)cos + sen
(pi2+
)sen ,
ou seja,
sen ( + ) = sen cos + sen cos.Da resulta imediatamente que
sen ( ) = sen cos sen cos.
As frmulas para o seno e o cosseno do arco duplo so consequncias diretas:
cos 2 = cos2 sen 2 e sen 2 = 2 sen cos.
Como aplicao das frmulas de adio, mostraremos como determinar as
coordenadas do ponto A = (x, y), obtido do ponto A = (x, y) por meio da
rotao de ngulo em torno da origem de R2.Chamemos de o ngulo do eixo OX com o segmento OA e escrevamos
r = OA. Ento r = OA e se tem
x = r cos, y = r sen, x = r cos( + ), y = r sen ( + ).
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Unidade 20
As Frmulas de Adio
Figura 20.2: Rotao de um ngulo
As frmulas de adio fornecem
x = r cos cos r sen sen = x cos y sen ,y = r cos sen + r sen cos = x sen + y cos .
Portanto a rotao de ngulo em torno da origem a funo T : R2 R2denida por
T (x, y) = (x cos y sen , x sen + y cos ).
Outra aplicao interessante das frmulas de adio consiste em mostrar
que cos e sen se exprimem como funes racionais de tg 2, fato que est
intimamente ligado com a parametrizao racional da circunferncia unitria C,
conforme veremos agora.
um fato bastante conhecido, e muito fcil de constatar, que para todo
nmero real x vale a igualdade(1 x21 + x2
)2+( 2x1 + x2
)2= 1.
Isto signica que, para todo x R, os nmeros dentro dos parnteses acimaso respectivamente a abscissa e a ordenada de um ponto da circunferncia
unitria C, isto , so o cosseno e o seno de um ngulo . Alm disso, todo
nmero real x a tangente de um (nico) ngulo (pi2, pi2). Logo a igualdade
acima signica que, para cada um desses valores de , existe um tal que
1 tg21 + tg2
= cos e2 tg
1 + tg2= sen .
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Unidade 20
Funes Trigonomtricas Continuao
fcil mostrar que = 2 usando as frmulas de cos 2 e sen 2. Basta
substituir tg por sen/ cos no primeiro membro destas igualdades e fazer
as simplicaes bvias para ver que
1 tg21 + tg2
= cos 2 e2tg
1 + tg2= sen 2.
Equivalentemente,
cos =1 tg2
2
1 + tg2 2
e sen =2tg
2
1 + tg2 2
.
Figura 20.3: Parametrizao racional do crculo
Dado o ponto arbitrrio B = (cos, sen) da circunferncia unitria, como
o ngulo inscrito APB a metade do ngulo central = AOB que subtende o
mesmo arco
_
AB, vemos que tg 2 a inclinao da reta PB, onde P = (1, 0).Mantendo o ponto P xo e fazendo
2variar em (pi/2,+pi/2), cada semirretade inclinao igual a tg
pi2corta a circunferncia unitria num nico ponto
B = (cos, sen). Todos os pontos da circunferncia podem ser obtidos
assim, menos o prprio ponto P .
A correspondncia
x 7(1 x21 + x2
,2x
1 + x2
) uma parametrizao racional de C. Para todo x Q, o ponto que lhecorresponde tem ambas as coordenadas racionais.
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Unidade 20
As Frmulas de Adio
Exerccios Recomendados
1. Use as frmulas de seno e cosseno da soma para determinar os senos e
cossenos dos seguintes ngulos (medidos em radianos):
pi
8,
pi
12,
3 pi
8e
5pi
12.
2. Obtenha frmulas para tg( + ) e para sec( + ), em funo de tg
e tg .
3. Nesta Unidade, foi apresentada uma demonstrao para as frmulas de
cosseno e seno da soma de dois arcos. Nessa demonstrao, so dados
os ngulos e os pontos A so B determinados por construo:
primeiro, determinamos B como o (nico) ponto tal que CB OB;em seguida, determinamos A como o ponto tal que ABC um tringulo
retngulo em A. Diretamente das denies de cosseno e seno, segue
que: OA = cos( + ); OB = cos ; BC = sen . Neste exerccio,
propomos que voc complete os detalhes dos demais passos que levam
prova das duas frmulas.
(a) Justique por que podemos armar que C = .
(b) Qual a razo entre as medidas de AB e BC? Justique sua
resposta.
(c) Conclua que AB = sen sen .(d) Qual a razo entre as medidas de AC e BC? Justique sua
resposta.
(e) Use o item anterior e a semelhana dos tringulos ABC e OBB
para concluir que OB = cos cos .
4. Considere dois ngulos e , 0 < , b, e o ngulo A.
Este o pouco conhecido quarto caso de congruncia de tringulos, segundo
o qual dois tringulos so congruentes quando tm dois lados iguais e um ngulo
igual oposto ao maior desses dois lados. Note-se que A > B, logo o ngulo B
agudo.
Aqui se usa novamente a lei dos senos. A partir da proporo
a
sen A=
b
sen Bobtm-se sen B =
b
asen A.
Como b < a, vemos que basen A um nmero positivo menor do que 1, logo
existe um nico ngulo B, menor do que dois retos, cujo seno igual a basen A.
Em seguida, determina-se o ngulo C pela igualdade A + B + C = 2 retos.
Agora, conhecendo a, b e C, recai-se no caso 2.
Observao 3Do ponto de vista em que nos colocamos, o tringulo ABC dado,
tratando-se apenas de calcular 3 dos seus elementos quando so dados ou-
tros 3. Por isso no cabia acima indagar se A+ B < 2 retos, antes de calcular
C. Entretanto, verdade que, dados a > b e A < 2 retos, existe um tringulo
ABC tal que BC = a, AC = b e A o ngulo dado. Para ver isto, tome um
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Unidade 20 A Lei dos Cossenos e a Lei dos Senos
segmento AC de comprimento b e uma semirreta AX tal que o ngulo CAX
seja igual ao ngulo A dado. Com centro no ponto C, trace uma circunferncia
de raio a. Como b < a, o ponto A pertence ao interior dessa circunferncia,
logo a semirreta AX corta a circunferncia num nico ponto B, que o terceiro
vrtice do tringulo procurado.
A gura abaixo ilustra esta ltima situao.
Figura 20.6: Quarto caso de congruncia de tringulos
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Unidade 20
Funes Trigonomtricas Continuao
20.4 Exerccios Recomendados
1. No problema proposto no texto, so apresentadas algumas situaes em
que o fato de serem conhecidos alguns elementos de um tringulo dado
permite-nos determinar todos os demais por meio da aplicao da Lei
dos Cossenos ou da Lei dos Senos. Voc observa alguma analogia entre
essas situaes e os assim chamados casos de congruncia de tringu-
los? Essa analogia no casual. Cada um dos casos de congruncia de
tringulos estabelece um conjunto de condies mnimas sucientes para
um tringulo que determinado, isto , condies que garantam que no
possa existir outro tringulo satisfazendo essas mesmas condies que
no seja congruente ao tringulo dado. De forma anloga, em cada uma
das situaes do problema do texto so dadas condies sucientes para
o que o tringulo dado que (unicamente) determinado.
Na mesma linha desse problema, considere um tringulo ABC, com lados
a, b e c e vrtices respectivamente opostos A, B e C.
(a) Se so dados o lado a e o ngulo A, voc espera ser capaz de
determinar os demais elementos do tringulo por meio da Lei dos
Cossenos e/ou da Lei dos Senos? Justique sua resposta.
(b) Se so dados os lados a, b e c (satisfazendo as condies de existn-
cia de tringulos) e o ngulo A (com uma medida qualquer), voc
espera ser capaz de determinar os demais elementos do tringulo
por meio da Lei dos Cossenos e/ou da Lei dos Senos? Justique sua
resposta.
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Funes Trigonomtricas ContinuaoIntroduoAs Frmulas de AdioA Lei dos Cossenos e a Lei dos SenosExerccios Recomendados