lt z l lt l e ˙ca junto da aceleração da gravidade como ... · dimensões, e portanto há 2...

TEA010 Matemática Aplicada ICurso de Engenharia AmbientalDepartamento de Engenharia Ambiental, UFPRP01, 31 Mar 2017Prof. Nelson Luís Dias

0

NOME: GABARITO Assinatura:

1 [25] Em um trecho de canal ou rio, veri�ca-se que a velocidade média na seção, V (LT−1), depende das seguintesvariáveis: um comprimento de rugosidade z0 (L) das paredes e do fundo; a componente da aceleração da gravidade nadireção do escoamento, ≈ дS0 (LT−2); e o raio hidráulico R (L). S0 é a declividade do canal, e �ca junto da aceleraçãoda gravidade д. Conforme indicado, elas devem ser consideradas como uma única variável дS0. Há 4 variáveis e 2dimensões, e portanto há 2 parâmetros adimensionais. Escolha дS0 e R para comparecerem (possivelmente) em ambos,e obtenha Π1 (envolvendo V ) e Π2 (envolvendo z0).

SOLUÇÃO DA QUESTÃO:As duas dimensões fundamentais deste problema são L e T. Teremos 2 parâmetros adimensionais:

Π1 = Ra (дS0)bV ,

Π2 = Ra (дS0)bz0.

A primeira equação gera o sistema:

L0T0 = La (LT−2)bLT−1 ⇒

a + b + 1 = 0,−2b − 1 = 0

Então,b = −1/2, a = −1/2.

dondeΠ1 =

V√RдS0

.

A segunda equação gera o sistema:

L0T0 = La (LT−2)bL⇒

a + b + 1 = 0,−2b = 0

Então,b = 0; a = −1.

dondeΠ2 =

z0R.

Temos agora a previsão de análise dimensional para a velocidade na seção

V√RдS0

= f(z0R

),

onde f é uma função empírica a determinar.

Continue a solução no verso =⇒

2 [25] O programa a seguir,

#!/usr/bin/python3# -*- coding: iso-8859-1 -*-a = 1for k in range(2,100):

a *= kprint(a)

imprime o seguinte resultado na tela:933262154439441526816992388562667004907159682643816214685929638952175999932299156089414639761565182862536979208272237582511852109168640000000000000000000000Entenda o que o programa faz: que operação matemática o programa está calculando? Reescreva a resposta do programautilizando apenas 3 caracteres.

SOLUÇÃO DA QUESTÃO:O programa calcula o fatorial de 99, 99!


3 [25] Mostre que os vetores(1, 0, 0), (1, 2, 0), (1, 2, 3)

formam uma base do R3.

SOLUÇÃO DA QUESTÃO:Precisamos mostrar que qualquer vetor do R3 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores acima, e queesses vetores são LI.Primeiramente, se (x ,y, z) é um vetor qualquer do R3, tente

α (1, 0, 0) + β (1, 2, 0) + γ (1, 2, 3) = (x ,y, z) ⇒

α + β + γ = x ,

2β + 2γ = y,3γ = z.

O sistema é possível para quaisquer x ,y, z: todo vetor do R3 pode ser decomposto nos vetores da base. Além disso,considere o caso particular x = y = z = 0: então, a única solução possível (e vice-versa) é α = β = γ = 0, e portanto os3 vetores são LI


4 [25] Seja E = (e1,e2,e3) a base canônica do R3. Considere os objetos

a = aiei ,

M = Mjke jek ,

b = blel .

Calculea ×

[M · b

].

SOLUÇÃO DA QUESTÃO:

M · b = Mjke jek · blel

= Mjkble j (ek · el )

= Mjkble jδkl

= Mjkbke j ;a ×

[M · b

]= ϵi jkaiMjlblek

Note a necessidade de mudar o índice k para l entre a penúltima e a última linhas.


TEA010 Matemática Aplicada ICurso de Engenharia AmbientalDepartamento de Engenharia Ambiental, UFPRP02, 3 Mai 2017Prof. Nelson Luís Dias

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1 [25] Dada a matriz:

1 1 11 2 32 2 1

,

obtenha:

a) [10] todos os seus autovalores;

b) [15] todos os seus autovetores.


(%i1) a : matrix([1,1,1],[1,2,3],[2,2,1]) ;[ 1 1 1 ][ ]

(%o1) [ 1 2 3 ][ ][ 2 2 1 ]

(%i2) [vals, vecs] : eigenvectors(a);sqrt(21) - 5 5 + sqrt(21)

(%o2) [[[- ------------, ------------, - 1], [1, 1, 1]],2 2

5 sqrt(21) - 7 sqrt(3) sqrt(7) - 7[[[1, - --------------, - -------------------]],

14 77 + 5 sqrt(21) 7 + sqrt(3) sqrt(7)

[[1, --------------, -------------------]], [[0, 1, - 1]]]]14 7

(%i3)


2 [25] As coordenadas elípticas (µ,ν ) no R2 são de�nidas por meio de

x = a cosh(µ ) cos(ν ),y = a senh(µ ) sen(ν ).

Calcule o jacobiano∂(x ,y)

∂(µ,ν ).


(%i1) x : a*cosh(mu)*cos(nu) ;(%o1) a cosh(mu) cos(nu)(%i2) y : a * sinh(mu)*sin(nu);(%o2) a sinh(mu) sin(nu)(%i3) jacob : matrix([diff(x,mu),diff(x,nu)],[diff(y,mu),diff(y,nu)]);

[ a sinh(mu) cos(nu) - a cosh(mu) sin(nu) ](%o3) [ ]

[ a cosh(mu) sin(nu) a sinh(mu) cos(nu) ](%i4) determinant(jacob);

2 2 2 2 2 2(%o4) a cosh (mu) sin (nu) + a sinh (mu) cos (nu)


3 [25] Calcule o perímetro da elipse

x = a cos(θ ),y = b sen(θ ), 0 ≤ θ ≤ 2π ,

cuja excentricidade é e = 0,3, na formap = γa,

onde γ é um número puro. Suponha 0 < b < a (a é o semi-eixo maior, e b é o semi-eixo menor). A excentricidade daelipse é dada por

e =

[a2 − b2

a2

]1/2

.

Este problema leva a uma integral que não pode ser obtida analiticamente por meio de técnicas de integração aprendidasem Cálculo. A �gura a seguir foi feita para que você seja capaz de obter o valor de γ gra�camente.Atenção: você precisa apresentar o desenvolvimento completo do cálculo do perímetro em termos de umaintegral de linha. Apenas “adivinhar” o valor de γ , etc., NÃO É SUFICIENTE.

0.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

7.0

8.0

9.0

10.0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

∫ 2π 0√ 1−e2

cos2(θ)dθ

e


p (e ) =

∫ 2π

0

[drdθ·

drdθ

]1/2dθ ;

drdθ= (−a sen(θ ),b cos(θ ));

��drdθ

��=(a2 sen2 (θ ) + b2 cos2 (θ )

)1/2;

p (e ) =

∫ 2π

0

[a2 sen2 (θ ) + b2 cos2 (θ )

]1/2dθ .

Dado que

e2 =a2 − b2

b2 ,

e2a2 = a2 − b2,

b2 = a2 (1 − e2),

temos que

p (e ) =

∫ 2π

0

[a2 sen2 (θ ) + a2 (1 − e2) cos2 (θ )

]1/2dθ

=

∫ 2π

0

[a2 sen2 (θ ) + a2 cos2 (θ ) − a2e2 cos2 (θ )

]1/2dθ

= a

∫ 2π

0

[1 − e2 cos2 (θ )

]1/2dθ ⇒ γ ≈ 6


4 [25] Usando notação indicial e a de�nição de ∇ em coordenadas cartesianas, prove que

∇ · [u ×v] = v · ∇ ×u −u · ∇ ×v .


∇ · [u ×v] =∂

∂xk

[ϵi jkuivj

]

= ϵi jk∂ui∂xk

vj + ϵi jkui∂vj

∂xk

= ϵki j∂ui∂xk

vj + ϵi jkui∂vj

∂xk

= ϵki j∂ui∂xk

vj + ϵjki∂vj

∂xkui

= ϵki j∂ui∂xk

vj − ϵk ji∂vj

∂xkui

= v · ∇ ×u −u · ∇ ×v


TEA010 Matemática Aplicada ICurso de Engenharia AmbientalDepartamento de Engenharia Ambiental, UFPRP03, 2 Jun 2017Prof. Nelson Luís Dias

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1 [25] Um pouco de background: é fácil mostrar que

x = u, y = v, z =√u2 +v2, u2 +v2 ≤ h2,

são equações paramétricas de um cone invertido cuja ponta se encontra na origem de um sistema de eixos cartesianosOxyz . Se você adicionar a restriçãov ≤ 0, isso representa a metade do cone, que �ca sobre a região onde y ≤ 0. Suponhaque esse meio-cone seja uma barragem, sobre a qual age, em cada ponto, um vetor-tensão t = −pn, onde n é um vetornormal unitário apontando para fora do cone, e p = p0+ρд(h−z) é a pressão hidrostática. Calcule a componente verticalda força resultante Fz =

∫S (t · k ) dA da água sobre a barragem (k é o vetor unitário ao longo do eixo z; p0 é a pressão

atmosférica, ρ é a massa especí�ca da água, д é a aceleração da gravidade, e S é a superfície da barragem).Para facilitar sua vida, você pode usar o fato de que

n(u,v ) =1√

2

(u

[u2 +v2

]−1/2,v

[u2 +v2

]−1/2,−1

),

e que a integral de superfície de uma função escalar f (r (u,v )) sobre S é

IS =

∫∫Ruv

f (r (u,v ))��∂r

∂u×∂r

∂v

��dudv .

SOLUÇÃO DA QUESTÃO:Primeiro o vetor normal. Dada a superfície F (x ,y, z) = 0, o normal é

n =1|∇F |

∇F

Portanto,

F (x ,y, z) =[x2 + y2

]1/2− z = 0;

∂F

∂x= x

[x2 + y2

]−1/2;

∂F

∂y= y

[x2 + y2

]−1/2;

∂F

∂z= −1;

|∇F | =

[x2

x2 + y2 +y2

x2 + y2 + 1]1/2

=√

2;

n(u,v ) =1√

2

(u

[u2 +v2

]−1/2,v

[u2 +v2

]−1/2,−1

).

Agora, a integral de superfície Fz é dada por

Fz =

∫∫Ruv−p (n · k )

��∂r

∂u×∂r

∂v

��dudv .

O produto vetorial é formado da seguinte forma:

r = (u,v,√u2 +v2),

∂r

∂u=

(1, 0,

u√u2 +v2

),

∂r

∂v=

(0, 1,

v√u2 +v2

);


em seguida,

∂r

∂u×∂r

∂v=

��

i j k1 0 u√

u2+v2

0 1 v√u2+v2

��=

(−

u√u2 +v2

,−v

√u2 +v2

, 1)

;

��∂r

∂u×∂r

∂v

��=√

2.

A integral simpli�ca-se para

n · k = −1/√

2;

Fz =

∫∫Ruv−[p0 + ρд(h − z)] × (−1/

√2) ×

√2 dudv

=

∫∫Ruv

[p0 + ρд(h −√u2 +v2)]dudv

=

∫ 2π

θ=π

∫ h

r=0[p0 + ρд(h − r )]r drdθ

=πh2

6(3p0 + ρдh)


2 [25] Encontre a solução geral dedydx− xy = x .


y = uv ⇒

udvdx+v

dudx− xuv = x ;

u

[dvdx− xv

]+v

dudx= x ;

dvdx= xv;

dvv= xdx ;∫ v (x )

v0

dvv=

∫ x

0y dy;

ln(v (x )

v0

)=

12x2;

v (x ) = v0 exp(12x2

);

v0 exp(12x2

)dudx= x ,

du =1v0

x exp(−

12x2

);

u (x ) − u0 =1v0

∫ x

0y exp

(−

12y2

)dy

=1v0

[1 − exp

(−x2

2

)]⇒

u (x ) = u0 +1v0

[1 − exp

(−x2

2

)];

y (x ) = u (x )v (x ) = (u0v0) exp(12x2

)+

[1 − exp

(−x2

2

)]exp

(12x2

)= (u0v0) exp

(12x2

)+ exp

(12x2

)− 1

= C exp(12x2

)− 1


3 [25] Obtenha a solução geral dey ′′ + 3y ′ + 2y = x2

Sugestão: procure uma solução particular yp (x ) = ax2 + bx + c .

SOLUÇÃO DA QUESTÃO:A solução homogênea é fácil:

yh (x ) = C1e−x +C2e−2x .

A busca da solução particular é bem simples:

yp = ax2 + bx + c;y ′p = 2ax + b;y ′′p = 2a.

Substitua:

2a + 3(2ax + b) + 2(ax2 + bx + c ) = x2;

2ax2 + (6a + 2b)x + 2a + 3b + 2c = x2;2a = 1 ⇒ a = 1/2;

(6a + 2b) = 0 ⇒ (3 + 2b) = 0; b = −3/2;(2a + 3b + 2c ) = 0 ⇒ (1 − 9/2 + 2c ) = 0; c = 7/4 ⇒

y (x ) = C1e−x +C2e−2x + x2/2 − 3x/2 + 7/4


4 [25] Se |x | < 1, x ∈ R, calcule em forma fechada

S (x ) = 1 + x3 + x6 + x9 + x12 + . . .


y = x3 ⇒ |y | < 1;

S (x ) = 1 + y + y2 + y3 + y4 + . . .

=1

1 − y=

11 − x3


TEA010 Matemática Aplicada ICurso de Engenharia AmbientalDepartamento de Engenharia Ambiental, UFPRP04, 23 Jun 2017Prof. Nelson Luís Dias

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1 [25] Encontre a solução geral dex2y ′′ + (x + x2)y ′ − y = 0

pelo método de Frobenius.

SOLUÇÃO DA QUESTÃO:Veja o Exemplo 10.4 do livro-texto.


Continuação da questão


2 [25] Calcule a transformada de Laplace da equação diferencial

dydx− y = x2.


sy − y (0) − y = L {x2},sy − y (0) − y =

2s3


3 [25] Obtenha a transformada inversa de Laplace de[

1s − a

]×

[ ω

s2 + ω2

].


L −1[f (s )д(s )

]= f (t ) ∗ д(t )

=

∫ t

0f (t − τ )д(τ ) dτ

=

∫ t

0ea (t−τ ) sen(ωτ ) dτ

= eat∫ t

0e−aτ sen(ωτ ) dτ

=1

ω2 + a2

[ωeat − (ω cos(ωt ) + a sen(ωt ))

]


4 [25] Calcule ∫ x

−∞

H (ξ ) cos(ξ ) dξ ,

onde H (x ) é a função de Heaviside. Dê o resultado em uma única linha (é proibido dar o resultado �nal com casosseparados envolvendo o sinal de x ).


x < 0⇒∫ x

−∞

H (ξ ) cos(ξ ) dξ = 0;

x > 0⇒∫ x

−∞

H (ξ ) cos(ξ ) dξ =∫ x

0H (ξ ) cos(ξ ) dξ

=

∫ x

0cos(ξ ) dξ

= sen(x ) − sen(0);⇒∫ x

−∞

H (ξ ) cos(ξ ) dξ = H (x ) sen(x )


TEA010 Matemática Aplicada ICurso de Engenharia AmbientalDepartamento de Engenharia Ambiental, UFPRF, 03 Jul 2017, sala PA-02Prof. Nelson Luís Dias

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ATENÇÃO: EMTODASASQUESTÕES, EXCETOQUANDOOENUNCIADODETERMINARQUEVOCÊDEIXEALGUNS RESULTADOS INDICADOS, JUSTIFIQUE OS SEUS RESULTADOS. RESULTADOS SEM DESENVOL-VIMENTO E DEDUÇÃO RAZOÁVEIS NÃO SERÃO CONSIDERADOS.

1 [20] Uma função real f (x ) é discretizada em 2n+1 pontos igualmenteespaçados de uma distância h = (b − a)/(2n) no intervalo [a,b] de talforma que x0 ≡ a, xk = a + kh, e x2n ≡ b. Seja fk = f (xk ). O código emPython ao lado calcula uma integral numérica do tipo

I = α[f (a) + f (b)

]+ β

n∑k=1

f2k−1 + γn−1∑k=1

f2k .

Inspecionando o código,

a) [5,0] determine α ;

b) [7,5] determine β ;

c) [7,5] determine γ .

def simp(n,a,b,f):h = (b-a)/(2*n)Se = f(a) + f(b)Si = 0.0Sp = 0.0for k in range(1,n+1):

xi = a + (2*k - 1)*hSi += f(xi)

passfor k in range(1,n):

xp = a + 2*k*hSp += f(xp)

passSi *= 4Sp *= 2return h*(Se + Si + Sp)/3


α = h/3,β = 4h/3,γ = 2h/3


2 [20] Considere a transformação linear C de�nida pelas relações

C · e1 = e1,

C · e2 = e2,

C · e3 = −e3,

onde (e1,e2,e3) é a base canônica do R3.

a) [5,0] Qual é a matriz [C] dessa transformação na base canônica?

b) [7,5] Qual é o signi�cado geométrico de C? O que é que C faz com cada vetor do R3?

c) [7,5] Portanto, qual é a matriz inversa [C]−1?

SOLUÇÃO DA QUESTÃO:a)

[C] =

1 0 00 1 00 0 −1

.

b) C é uma re�exão em torno do plano x1x2.c) Para sair de um vetorv e voltar para ele mesmo, basta re�eti-lo novamente em torno do plano x1x2; portanto,

[C]−1 = [C] =

1 0 00 1 00 0 −1


3 [20] Utilizando obrigatoriamente a regra de Leibnitz, calcule

ddt

∫ t

0et−τ sen(τ ) dτ .

ATENÇÃO: NÃO CALCULE NENHUMA INTEGRAL! DEIXE TODAS AS INTEGRAIS QUE APARECEREMINDICADAS.


ddt

∫ b (t )

a (t )f (τ ,t ) dτ = f (b,t )

dbdt− f (a,t )

dadt+

∫ b (t )

a (t )

[∂ f

∂t

]dτ ; 10 pontos se souber a fórmula

ddt

∫ t

0et−τ sen(τ ) dτ = sen(t ) +

∫ t

0et−τ sen(τ ) dτ mais 10 pontos se acertar a questão.


4 [20] Obtenha a solução geral dex2y ′′ + xy ′ + 3y = 0

em termos de funções reais da variável real x .

SOLUÇÃO DA QUESTÃO:a) [5,0] Esta é uma equação de Euler (se o aluno não identi�cou a equação, ele já perdeu a questão)b) [5,0] Portanto

y (x ) = xr ,

y ′(x ) = rxr−1,

y ′′(x ) = (r − 1)rxr−2.

Substituindo na equação,

(r − 1)rxr + rxr + 3xr = 0,[r 2 − r + r + 3

]xr = 0,

r 2 + 3 = 0,

r = ±√

3i.

A solução geral éy (x ) = K1x

r1 + K2xr2 = K1x

√3i + K2x

−√

3i.

No entanto, o enunciado orienta que o aluno procure uma solução puramente real; essa solução ainda está em termosde funções complexas. O aluno tem que prosseguir!c) [5,0]

xr = exp(ln(xr )) = exp(r ln(x ));

x iβ = exp(iβ ln(x )) = cos(β ln(x )) + i sen(β ln(x ))

Até aqui, o aluno já ganhou 15 pontos. Mas ele precisa completar a questão:d) [5,0] Sejam

C ≡ cos(√

3 ln(x )),

S ≡ sen(√

3 ln(x )).

Então,y (x ) = K1[C + iS] + K2[C − iS].

Para A ∈ R e B ∈ R, faça

K1 = (A − iB)/2,K2 = (A + iB)/2 ⇒

y (x ) = [A − iB][C + iS]/2 + [A + iB][C − iS]/2= (AC − i2BS )/2 + i(AS − BC )/2 + (AC − i2BS )/2 − i(AS − BC )/2= AC + BS

= A cos(√

3 ln(x )) + B sen(√

3 ln(x ))


5 [20] Seja a função complexa f (z) = e−z2 e2iaz com a > 0. Calcule

I = limR→∞

∫ z=R+ia

z=iaf (z) dz,

sabendo que ∫ ∞

0e−x

2dx =

√π

2.

O caminho de integração é indicado pela seta grossa na �gura aolado.

b

b

R

ia

x

y

SOLUÇÃO DA QUESTÃO:Este problema na verdade é uma parte do problema 9.6 do livro-texto.a) [5,0] Claramente, a integral pode ser escrita como

I = limR→∞

∫ z=R+ia

z=iaf (z) dz

= limR→∞

∫ R

x=0f (x + ia) dx .

b)[10,0] Mas

f (z) = f (x + ia)

= e−(x+ia)2 e2ia (x+ia)

= e−(x2+2iax+i2a2 )e2iax+2i2a2

= e−x2−2iax+a2+2iax−2a2

= e−a2e−x

2.

c) [5,0] Portanto,

I = limR→∞

∫ R

0e−a

2e−x

2dx

= e−a2∫ ∞

0e−x

2dx

= e−a2√π

2


lt z l lt l e ˙ca junto da aceleração da gravidade como ... · dimensões, e portanto há 2...

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