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Este trabalho foi realizado com 0 apoio financeiro do programa PICD/CAPES e da
Universidade do Amazonas.
aos meus pais.
Pda aten<;ao permanente a seus filhos.
O. Frota., Fernando S. Aguiar, Abraham Cohen e Melquisedech Soares.
A minha familia, que me acompanhou nas alegrias e dificuldades par que
SERV1~O DE BIBL10TECA E INFORMA~AO - IFOSCF I 5 I r A
2 Modelos Vigman-Finkelshtein e Kondo 16
2.1 - Defini~ao dos modelos 16
2.2 - Grupo de Renormaliza~a.o Numerico . 20
2.3 - Diagonaliza~ao Iterativa 25
2.4 - Resultados . . ... 29
3 Modelo de Falicov e Kimball restrito 33
3.1 - Defini~a.odo Modelo .. 33
3.2 - Diagonaliza~a.o Iterativa 36
3.3 - Cases Especiais 40
3.3.a - Banda livre 40
3.3.b - G = 0 43
3.3.c - V = O. 47
4 Modelos Falicov- KiInball restrito e Kondo 54
4.1 - Defini~a.odos modelos .. 54
4.2 - Impurezas desacopladas (R = 00) 58
4.3 - Impurezas fortemente acopladas (R = 0) 63
1
5 Conclusoes
5.1 - Conclusoes gerais . . . . . . . . .
5.2 - Sugestoes para trabalhos futuros .
65
65
66
APENDICE A - Banda de condu~iio tridiagonal . . . . .
APENDICE B - Hamiltoniano Kondo - duas impurezas .
APENDICE C - Taxa de Transi~a.o
REFERENCIAS .
Capitulo 1 1
Fig. 1 - Represent~iio esquematica da contribui~ao a resistividade devida
aos fanons e impurezas magneticas. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 2
Fig. 2 - Resistividade para tres concentra~6es de Fe em Cu: 0.05,0.1 e 0.2%. 2
Fig. 3 - Contribui~ao do Fe em compostos CuFe para as curvas de calor es-
pecifico e suscetibilidade magnetica em tres concentra~6es (0.05,0.1
e 0.2%) ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3
Fig. 4 - Curvas de resistividade do CezLal-zPb3 para varias concentr~6es de
Ceo . . . . . . . . . . . . .. 4
Fig. 5 - Representa~iio esquematica da minima energIa para mover urn
eletron ao estado livre mais proximo em urn material isolante e urn
metal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6
Fig. 6 - Condutividade para varios ox.idos em fun~ao do inverso da tempera-
t ura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6
Fig. 7 - Gratico do inverso da suscetibilidade com a temperatura para T ,.,.0
no modelo Kondo - uma impureza. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8
Fig. 8 - Curvas de calor especffico e suscetibilidade obtidas por meio do grupo
de renormaliza~ao numerico para 0 modelo Kondo - uma impureza. 10
Fig. 9 - Correl~iio spin-spin entre impurezas e urn esquema do regime pre-
dominante para temperaturas proximas de 0 K no Modelo Kondo -
duas impurezas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13
Fig. 10 - Curvas de suscetibilidade uniforme, suscetibilidade staggered e mo-
mentos desacoplados obtidas com 0 metodo de Monte Carlo quantico
para 0 Modelo Kondo - duas impurezas. . . . . . . . .. 14
Capitulo 2 16
Fig. 1 - Esquema pictorico com configura~6es da banda de condu~ao e im-
pureza nos modelos Kondo e Vigman-Finkelshtein. 17
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Dge- 3 , Cqosck] bc qsacqqgt]q rp]lqdmpk]-qmcqbc cqa]j] - - - - - - 11
Dge- 4 , ?]lb] bc amlbsa:]-mbgqapcrgx]b]nmpspl n]p]kcrpm > < 0- 13
Dge- 5 , Ep]dgambmq]srmt]jmpcq m_rgbmql] bg]eml]jgx]a:]-mgrcp]rgt] bm km,
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A]ngrsjm 2 22
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Dge-1 , Pcnpcqclr]{]m cqosck]rga] bc cqr]bmqbc ksgrmq ampnmqn]p] =aB
amk E ; M- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 34
Dge- 2 , Nmlrmqdgvmqbc =jI n]p] t]pgmq>) c >\+ amk E ; M- - - - - - -- 36
Dge- 3 , Pcnpcqclr{]m cqosck]rga] bmqlgtcgq bcdglgbmqncjmrcpkm ]qqmag]bm
] E ck FjI- -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- 40
A]ngrsjm 2 43
Dge- 0 , Elkam bmq]srmt]-jmpcqm_rgbmql] bg]eml]jgx]a:]mgrcp]rgt] bm km,
bcjmbc D]jgamtc Igk_]jj lm a]qmF < .. , , , , , , , , , , , , , , , 48
Dge-1 , Cqr]bmq bc ksgrmq ampnmqbm kmbcjm bc D]-jgamtc Igk_]jj lm a]qm
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A]ngrsjm 1 05
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jgx{]-mgrcp]rgt] bmF]kgjrmlg]lm bc Tgek]l,Dglicjqfrcgl- %-%- 17
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A]ngrsjm2
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R]_- GGG,Nmlrmqdgvmql] bg]eml]jgx{]-m bc =aB amk E ; M-- 34
R]_- GT,Cqr]bmq bc ksgrmq ampnmqn]p] FjI ck osc E < M- 35
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b]bcq ]ncl]q ]jesk]q mpbclq bc ep]lbcx] gldcpgmpcq] bmqkcr]gq: gqqmc bctgbm ] clcpeg]
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mlbc aHG+i+++bcqrpmgspl cqr]bm bc U]llgcp (d, i+ &H']qqmag]bmamk mqcjcrpmlq b] _]lb] bc
amlbs{]m c _g+++bcqrpmgsk _sp]am bc qngl (A ck sk ljtcj jma]jgx]bmX.L] bcqapg{]mn]p
Gdosgbmbc Dcpkg+/ qgqrck] b pcnpcqclr]bm n]p os]qc,n]prdasj]q,]l]jme]q ]q n]prdasj]q bci
sk e]q bc Dcpkg l]m glrcp]eclrc,osc glampnmp]k mqcqr]bmq k]gq ]q glrcp]{mcq bcqrcq
amk msrpmq- Cqqc amknmpr]kclrm c amksk ] rckncp]rsp]q npmvgk]q bc / I+ l]q os]gq
mqn]pcq cjcrpml,_sp]am bm qgqrck] qc jma]jgx]k npmvgkm]m ljtcj bc Dcpkg-
Amk ]jesk]q ]npmvgk]{mcq lcqqc kmbcjm+D]jgamt c Igk_]jj bcrcpkgl]p]k ] clcpeg]
bc e]n &\' c ] E apdrgamn]p] t]pgmqamknmqrmq- Lm a]qm bm 4k?4) qsnmlbm osc+ ]lrcq
]lesj]p rmr]j A < / &qck kmkclr] jma]jgx]bm' c ]n5q cqr]pg] amk sk GmlQk))) amk
A < 6.1 &amk kmkclr] jma]jgx]bm'+clamlrp]p]k
npgkcgp] bclmkgl]{]m Y3[+qclbm t]jgb] pcqq]jr]p osc ]k_]q q]m srgjgx]b]q Y5+6[ n]p]
gbclrgdga]p] F]kgjrmlg]lm bcdglgbmncj] Co- &0-0'-
mlnimo de resistividade indicava uma divergencia em T = o. Esse problema permaneceu
sem solu~ao ate 0 trabalho de Wilson [8] que, usando grupo de renormaliza~ao numerico,
H = LO"tkat,.a)[, - Js· S,k,
onde s e 0 spin da fun~ao de Wannier associada aos estados da banda de condu~ao e S 0
spin do momento localizadoi: Nesse modelo considera-se somente 0 espafhamento, devido
ao spin da impureza, dos orbitais 6 da banda de condu~ao. Wilson mostrou ainda que TK
TK ==1 Jp 11/2 exp( -1/1 Jpl).
IkT X
K
TTK
FIG. 7. Gnmco do inverso da suscetibiJidade [X-1(T)] com a temperatura (T ITK)
pedfico) e de propriedades dinamicas (fotoemissao, absor<;:aode raicrX) desse e de mo-
delos semelhantes, como 0 modelo de Anderson. Maiores detalhes sobre 0 metodo estao
nificativo avan~o no tratamento do modelo Kondo surgiu no trabalho de Vigman e
Finkelshtein [9], paralelamente com 0 de Schlottmann [10], que de unia maneira obje-
1H = L (iclci + (G/4) ~)bbt - btb)(clci - -) + V L( btci + clb), (1.4)
i i 2 k
onde Ci e urn operador que destr6i urn eletron no nlvel k da banda de condu~ao; b des-
tr6i urn eletron em urn nlvel localizado; V representa urn termo de hibridiza~ao entre
banda de conduc;ao e n,vel'localizado enquanto G determina urn potencial espalhador
kBTXimp
0.1 (9 p,-a12
1 T/TK
2 0.0
pelo Ha.miltoniano de modelo ressonante (situ~iio em que, na Eq. (1.4), temos G = 0). No
quadro menor a temperatura relativa T ITK nao esta. em escala logaritmicS: (Ref. [12]).
~ando os valores obtidos nos trabalhos anteriores. Veremos a seguir um modelo mals
realista, intermediario entre 0 que foi mostrado nesta se~ao e a rede Kondo.
TQ =c( #,(-$& Sa]b\U]U_fQTQ bad gd_ fUd]a TUY_fUdQmQaU_fdUae UefQTaeTQ RQ_TQTU
Sa_TgS65QaSa] agfdQ Y]bgdUjQ( :\Wg_e fdQRQ\XaeN,1',3P QSdUeSU_fQdQ]gd_ fUd]a TU
Y_fUdQS65QaUib\\SYfa,+ U_fdUY]bgdUjQe&U_cgQ_fa U] agfdae N--&-.P fQ\ Y_fUdQS65QaQbQdUSU
QbU_QehYQRQ_TQTUSa_TgS65Qa(<UeeQVad]Q&+ ]aTU\a baTU eUdTUVY_YTaSa]a
a_TU ;CM(SdYQgd_ UefQTa7 Sa] ebY_J _Q RQ_TQTU Sa_TgS65Qa&U_cgQ_fa "(J=' &J=$
]QYe RQYiQeTU fU]bUdQfgdQ_ae VUd]Ya_ebUeQTaeU _Qe \YWQe]UfQ\YSQeTY\gVTQe5#Q$Qe
Y_fUdQS65GUeRQ_TQTUSa_TgS65Qa'ebY_TUY]bgdUjQ&cgU TUfUd]Y_Q]+ UVUYfaDa_Ta U#R$Qe
Y_fUdQmGUeebY_'ebY_TU Y]bgdUjQ #fUd]a ,+$& cgU TUfUd]Y_Q] Y_fUdQmaUeTU_a]Y_QTQe
TUU_UdWYQe,+ U76' QSa]bQ_XQ'eU+ Sa]badfQ]U_fa Ta eYefU]QTUVY_YTabU\Q=c( #,(0$
Q ]UTYTQcgU Q fU]bUdQfgdQeUQbdaiY]Q TU+ D&bQdQTYefY_WgYdQ Vad]QS65QaTU gd_ bQd
Fa fdQRQ\XaTULQd]Q N,4P&geQ_TafUadYQTUbUdfgdRQS65Qa&hUdYfYSQ'eUeUdYeeaY_SaddUfa&TU'
vido ao surgimento de divergencias logarltmicas no calculo da intera~ao entre momentos,
indicando que as intera~Oes la, por menor que sejam, nao podem ser ignoradas.
Tentando esclarecer a controversia, visto que os calculos perturbativos nao sac
confiaveis a baixas temperaturas (devido a divergencias), Jones et al. [17] verificaram,
por meio do grupo de renormaliza~ao numerico, que mesmo na situa~ao 10 « TK existe
uma correlac;ao entre os spins dos momentos localizados [Fig. 9 (a )], sendo incorreto des-
crever 0 problema como 0 de dois modelos Kondo separados, a nao ser no caso limite
10= o.Em trabalhos complementares, Jones et aI. [18] identificaram urn ponto crltico, indi-
cado por uma mudanc;a de regime (comportamento Kondo para nao Kondo), de natureza
instavel e posicion ado em Io/TK ~ -2.2. De acordo com esses trabalhos, podemos
definir 0 comportamento dos momentos localizados em varias situa~oes [Fig. 9 (b)]:
(a) No regime ferromagnetico (Io > 0) vemos que estes tern tendencia a formar urn
estado tripleto (S = 1) mas, mesmo nestas circunstancias, ocorre uma liga~ao singleto
entre momento localizado e banda de conduc;ao; assim, ocorre 0 efeito Kondo, que pode
.. acontecer muito rapidamente na medida em que 10 torna-se maior em relacao a TKo
(b) No regime antiferromagnetico fraco (IO/TK > -2.2) 0 estado singleto entre me-
mentos, formados pela intera~ao antiferromagnetica, ainda permitem 0 espalhamento dos
nfveis da banda de condu~ao em cada impureza, 0 que conduz ao efeito Kondo. (c) No
regime antiferromagnetico forte (10 < < TK) verifica-se a existencia do estado singleto
entre momentos localizados, predominando a intera~ao RKKY sobre 0 efeito Kondo. 0
estado singleto entre momentos (S = 0) somente e encontrado no limite extremo desse
regime [Fig. 9 (a)].
Assim, ao que tudo indica, 0 parametro relevante no problema Kondo-duas impurezas,
e a razao Io/TK. nao mais havendo universalidade em rela~ao a TK (como no modelo
o•~ -0.2...Vl~ -0.3
Vl-
0.20.1
0.0
-0.1
-8.0 -4.0 0.0 4.0Io/TK
8.0 LOCAL MOMENTSINGLETFIXED PT.
AFM- -FM--2.2 O_
f tolTK
CRITICAL PT.
CORRELATEDKONDO
FIXED PT.
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
10 , O~ 10 ~~R'10 kFR -1.5
A.'. A '" A.
""-- · '_. . · · 'b ~ "'b"'-1:5' ·~"': • · • '-b~ . · I I •-0' .'. • -0'V • V .. •• • ""~V . V• -•...•. •-- • O ••.••.•• ac __ 'Cloo. •
05 0 O~ • . 0
• c• I • c i • •c • • . •>< 0.5 0 • ~ 05 c I • ....c
I I
c •• I
• I. .0_2 16' tOO 10' o rZ t6' uf to'10 10T T
(a) (b)
Verificamos entao que cada metodo apresenta suas limitac;:oes, mas em geral, urn
complementa 0 que e obtido por outro; 0 conjunto das varias abordagens define entao urn
Este capitulo fez urn historico geral do estudo dos momentos localizados em metais,
assim como de alguns modelos de muitos corp os idealizados para interpretar os resulta-
capttulos seguintes, em que discutiremos os resultados do presente trabalho.
o Capitulo 2 traz a aproximas;ao detalhada do modelo Kondo de uma impureza com 0
casos especiflcos: (a) duas impurezas localizadas num mesmo ponto (R = 0) e (b) duas
impurezas infinitamente separadas (R = 00).
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Capitulo 2
spin pode simplificar a obtenc;:ao das propriedades f1sicas destes. Neste capitulo discute-se
a correspondencia entre os para metros do modelo de Vigman-Finkelshtein [Eq. (1.4)] e
os do modelo Kondo [Eq. (1.2)]. Inicialmente a discussao e qualitativa, de modo que 0
leitor tenha urn conhecimento geral; em seguida definem-se com mais detalhes as relac;:Oes
entre os modelos. Os conceitos basicos da teoria do grupo de renormalizac;:ao numerico,
e)(emplificado no modelo ~em spins, sao apresentados no final deste capitulo.
HK = I: fkcL,/kp- (JII/2) I:(clicl'i - CLC1'!)S~k,p 1,1'
-(Jd4) I:(clict,!s- + cl!C1'iS+)l,t'
HYF = I: ftclct + (Gj4)(bbt - btb)(JJfo - fofJ) + v2V(bt fo + fJb), (2.2)1
onde fo = l/-./2'£.t Cl, sendo fo estado de Wannier centrado na origem. Analisando as
tern simetria partlcula-buraco, verificada trocand~se Cl por cl e b por -bt. Este termo
corresponde ao termo com JII no modelo HK, responsavel pelo espalhamento dos e1etrons
de conduc;:ao. Ja 0 termo proporcional a V no modelo HYF, associado a hibridizac;:aodos
+(b) ffi +
. (c) I=-_!-= +
+
de ambos os modelos seriam iguais quando os para metros G do modelo HVF e JII do
modelo HK fossem relacionados por
7rpGba = arctan(----)
411"plj I
b./jl= arctan( -4-)
V 2 J.l 2-1'2 COS (6a) = -COS (6h)T I 2
em que T identifica urn parametro de corte indefinido. Esta apraxima~ao, no entanto,
pode resultar em resultados incorretos (como ja fora indicado no trabalho de Emery e
luther [11] onde urn modelo com b6sons, cuja fun~ao parti~ao foi associada a do modelo
deste ultimo modelo); assim Oliveira e Wilkins [12] verificaram que uma associa~ao mais
precisa entre V e J.l pode ser obtida mapeando-se a suscetibilidade no modelo HVF com
TK = O.85DJ pi J I exp( -..!-)[1 + O(pJ)]pJ
I-'B magneton de Bohr, D define a largura da banda de condu~ao (preenchida pela metade
com extremos em -D e D) e p a densidade de estados (sendo p = 1/ D); 0 termo adireita na Eq. (2.6) e obtido da curva de suscetibilidade no modelo Kondo calculada par
varios valores de V no modelo HVF e identificando, graficamente (Fig. 2), aquela que se
apraxima do valor conhecido pela Eq. (2.6); dessa forma, pode-se obter urn ajuste numerico
de V com J.l com a precisao que se desejava. Alguns resultados estao exemplificados na
Tabela I e servirao como referencia nos calculos do modelo Kondo com duas impurezas
o trabalho de Oliveira e Wilkins teve como objetivo obter a curva do calor especffico
com a temperatura no modelo Kondo de uma impureza (resultado visto na Fig. 8 -
CapItulo 1). No presente trabalho, na se~ao seguinte, faz-se uso do modelo HVF para
compreender 0 usa de alguns princfpios do grupo de renormaliza~ao numerico.
TABELA I. Alguns valores p&ra os p&r8.mentros dos Hamiltonianos H K e HVF, em
que existe equivalencia dos resultados obtidos. As temperaturas TK e TVF mostram uma
ignaldade dentro da m&rgem de eITOem que foram medidas ( ~ 10%). (Ref. [13])
Ail pJ Gb V TVF TK
3.0 -0.08 0.80164 0.066 3.4 .10-7 2.5.10-7
3.0 -0.12 0.72521 0.090 2.7.10-5 3.0.10-5
3.0 -0.16 0.65295 0.120 4.2 .10-4 3.4 .10-4
3.0 -0.20 0.58440 0.140 1.6 .10-3 1.5 .10-3
3.0 -0.24 0.51916 0.160 4.4 .10-3 4.1 .10-3
il 0 parametro A corresponde a urn fator de escala de energia caractenstico no grupo de
renormaliza~a.o numerico [8J.
b 0 para.metro G foi ajustado de acordo com a Eq. (2.3).
!PG,.S2!pJ :-.24
0.15kBT'X.ilTlP
(g~8)2
0.10
FIG. 2. Determina~a.o numerica de V para 0 caso em que pJ = -0.24 (J = JII = J1-).
Da Ref. [8] tem08 que quando T = TK, TXimp = 0.07(gJ.'P e no gra.fico esta. assinalado a
simetria partfcula-buraco), expansOes 1/ N (sem bons resultados para duas impurezas)
e Bethe-ansatz (que ate 0 momento limita-se ao problema de uma impureza). Uma
explica~ao detalhada do metodo com exemplos aplicados a Hamiltonianos quadraticos
encontra-se no trabalho de Yoshida et al. [24], servindo como urn texto complementar ao
aqui apresentado.
Como vimos no Capitulo 1, urn metal possui bandas parcialmente preenchidas, em que
a energia do sistema depende da disposi~ao dos eletrons nos diversos nlveis; em especial,
denomina-se estado fundamental aquele em que todos os nlveis de energia mais baixa
estao preenchidos e chama-se navel de Fermi ao nlvel de mais alta energia ocupado no
estado fundamental. Pode-se estudar urn metal identiiicando seu comportamento em
varias escalas de energia associadas com a temperatura (mais precisamente kBT), pois atemperatura 0 K 0 sistema estaria no estado fundamental e em escalas gradativamente
maiores de energia (relacionadas com temperaturas mais altas) surgiriam estados ocupados
acima do nlvel de Fermi e buracos abaixo deste, num limite de energia de 2kBT (Fig. 3);
dessa forma, para temperaturas pr6ximas de 0 K os estados mais pr6ximos do nlvel de
Fermi seriam importantes e para temperaturas mais altas os estados mais afastados deste
se tornariam relevantes. A rela~ao entre escalas de energia e temperaturas e apenas urn
exemplo, pois 0 metodo tambem e valido no estudo de absor~ao de raio-X e fotoemissao,
em que as escalas se relacionam com frequencia de excita~ao [13,27].
FIG. 3. Represent~a.o esquematica na banda de condu<;a.ode escalas sucessivas de
temperatura com alguns estados acessiveis no limite 2JcBT em torno do nivel de Fermi.
Em cad a escala de energia, os nlveis acesslveis sac numerosos, nao sendo possivel,
numericamente, trabalhar com todos eles; assim, a sele~ao de alguns nlveis e necessaria
para qualquer procedimento computacional, onde a escolha adequada do processo de
sele~ao minimiza os erros dos resultados. A discretiza~ao, ou escolha de estados, em
prlncipio, poderia ser linear, mas vimos ha pouco que nurn metal, para cada escala de
temperatura, surgem estados mais relevantes que outros na banda de condu~ao. Wilson [8]
definiu na aplica~ao do grupo de renormaliza~ao para 0 problema Kondo uma discretiza~ao
logarftmica da banda de condus;ao, concentrando os estados selecionados na proximidade
do nlvel de Fermi e fazendo 0 procedimento gerar uma descris;ao mais detalhada dessa
vizinhan~a a medida que trabalha com escalas mais proximas aquele nlvel (na associas;ao
com temperatura, isso significa uma descris;ao rnais detalhada a medida que T ~ 0 K).
Num processo de transformas;ao de escala (Fig. 4) feito em torno do nlvel de Fermi,
como 0 descrito acima, temos urna amplias;ao gradativa por um fator (por exemplo A)
onde, para cada transformas;ao, os nlveis mais proximos do nlvel de Fermi se tornam
relevantes (da mesma maneira que urn m'icroscopio, de acordo com 0 fator de amplias;ao
utilizado, deixa visualizar objetos cada vez menores), permitindo pensar que, em cada
transformas;ao, reduz-se a temperatura do sistema.
FIG. 4. Esquema indicando sequencias de transforma~oes de escala (fator A) para urn
conjunto de niveis de uma banda. Mesmo mostrando somente alguns niveis em carla escala,
verifica-se que surgem energias que, relativamente ao nivel de Fermi, sac equivalentes a
energias de escalas anteriores, bem como outras que naa apresentam correspondencia..
Durante transformac;:oes de escala, podem surgir nlveis de escalas anteriores que se
repetem apos esta; nesse caso temos urn Hamiltoniano invariante por transformac;:ao de
escala. Nlveis invariantes por transformac;:ao de escala definern 0 que se conhece como
ponto fixo na teoria do grupo de renorrnalizac;:ao, que sac importantes porque possuem
interpretac;:ao simples e permitem encontrar expressOes anallticas para as grandezas f1sicas,
mesmo nas regiOes inacesslveis as tecnicas perturbativas, como vimos nos resultados
m_rgbmqnmpUgjqml Y7[lm a]jasjm b] qsqacrg_gjgb]bc n]p] G g / I- \ Nmbc ]amlrcacp /
a]qm mnmqrm+os]lbm qspeck ljtcgq ]lrcpgmpkclrc glcvgqrclrcq+ glbga]lbm osc / qgqrck]
clamlrp],qc lsk pcegkc bc ]limminfal &rp]lqg{]m'- Bgqasrgpckmqkcjfmp cqq]q nmqqg_gjg,
b]bcq l] Qc{]m 1-3-
Bcdjlc,qc ] _]lb] bc amlbs{]m &ms] nmp{]mbcqr] ] qcpcqrsb]b]' amk spl glrcpt]jm
bc clcpeg] J-:,:L pcj]rgtm ]m lg%tcjbc Dcpkg: amk ] _]lb] npcclafgb] ncj] kcr]bc+
rcpckmq ca ; \ c+ lm glrcpcqqc bc bcrcpkgl]p npmnpgcb]bcqnp5vgk]q ]m ljtcj bc Dcpkg+
> +i+0'- L] pcnpcqclr]{]m b] _]lb] bc amlbsa:]m ck dsla:]m bc Z &bcdglgb]amk jgkgrcq
X+/)/Z' rmk]kmq mqnpgkcgpmqglrcpt]jmq amkm qclbm Y,j+,>-.>L,X=-.0,0L, X+=,-G)+= ,-G,G[
] _]lb] bcdglc sk] bgqapcrgx]a:]mjme]pdrgkga]osc qcp] bgqasrgb] ]_]gvm- . n]p]kcrpm t
npmnmpagml]k]gmp d0cvg_gjgb]bc]m npmacbgkclrm9 t]pg]lbm,m clrpc / c 0 nmbckmq d]xcp
+/G
N8-.A \>,-H,G
G G G[=+,H+H .
G G G G 000000 0000 G G G G> +,/+/ 8-.A
G G
Bcdglc,qc n]p] a]b] gl-rcpt]jmclrpc ldtcgq dsl{mcq mprmlmpk]gq+osc dmpk]k sk aml,
hslrm amknjcrc bcqapgrcncp
&1-8'
&1-0/'
Zn ; d8QZ(gg+)(Z «'(AG
Zdg < eii_e&k:vv&e'n]d
[n < eii_e&vv,'&eyx]G
[ng ; /0
_e&k:v::!&ey(AG#+/
l]q os]gq a]b] mncp]bmpapg] spl cjcrpml amk clcpeg] kcbg] pcj]rgt] ]m glrcpt]jm ]qqmag]bm
&cvcknjm9 / mncp]bmpZng apg] sk cjcrpml amk clcpeg] kcbg] jrp/ B= ,g,t lm glrcpt]jm
> ,&G#0G)t)0' ; Z ; > ,&g)ty- Pccqapctclbm . F]kgjrmlg]lm bcqapgrmncj] Co- &1-1'+ srg,
jgx]lbm / mncp]bmpdcpkgmlgamdm; 0.--.1"}0 AGc amk ] jglc]pgx]{]m bcdglgb] l] Co- &1-7'
n]p] d&Z), rckmq
FTD <B JiajaH9 ) &E.3'&[[n , [n['&HHbi , bibH' )/
)--.1T& [nbi ( bH['
que A ~ 1(limite do continuo), enquanto Jo, descrito pela Eq. (2.13), somente se acopla
com termos envolvendo l = 0; com isto, podemos simplificar a Eq. (2.14) considerando-a
usando uma constru~ao de Lanczos [25] (ver Apendice A) na qual associamos operadores
J,.'s, contendo Jo descrito exatamente em termos de Cot e pela Eq. (2.13). Dessa forma,
z _ (1-;\-1) (I-A-("+1)A-"/2[1 _ A -(2Ja+1)]1/2E,. - 2 [1_A-(2,,+J)]1/2
II ~ A1-z-tE,. _
(z = 1)
(n » 1)
de ponto fixo estavel. Nesta se~ao descrevem-se os procedimentos necessarios, utilizando
o modelo de Vigman-Finkelshtein. Como foi visto na se<;ao anterior, temos 0 seguinte
1+A-1 N-l
H~ = 2 D L f~(f!ln+l + l!+t!n) + (G/4)(bbt - btb)(lJlo - 101J) +n=O
+../2V( bt10 + lJb) (2.17)
no qual, utilizando a base de In's, as aproxima~Oes sac controladas e ocorrem na banda
de condu~ao; a impureza ~ tratada exatamente com a permanencia do operador 10. 0
determinadas numericamente (ver Apendice A). A escolha do limite N para 0 truncamento
da serie depende de uma determinada energia c (que pode relacionar-se, por exemplo,
com a temperatura:' kBT = C/ D): sendo f~ ~ A1-~-f [Eq. (2.16)], para N grandes
(
. merior termo na banda de con¥u~ao tenha valor unitario; dessa forma, pode-se definir urn" \"
"novo HN em qu~
.2 . 1 I
HN = ----·----HN(1 +A-1)D A1-~_N21
N-l
H N = A N21 {A ~-1 L ~(l!ln+l + l!+t!n) + (G/4)(bbt - btb)(fJlo - 101J) +n=O "
- 2G 1G=------(1+ A-l)D A1-~
- 2V 1V=------
(1 + A -1)D A 1-:&
10>
fJ 10>
co
Q = L(J!f.) + (btb)a=O
lizadas; assim, utilizando a base definida por (2.23), pode-se diagonalizar Ho, que e uma
matriz de ordem 4, por matrizes de ordem menor (ver Tabela II).
vacuo.
Cargaa Antovalores Autovetores
-1 (G/2 + V2V)/A1/2 10 >
0 (2V2V)/A 1/2 (1/V2XfJ + bt) 10>
0 0 (1/V2XfJ - bt) 10>
1 (G/2 + V2V)/A1/2 fJbf 10>
Na diagonaliza~ao do Hamiltoniano HN+1 escolhe-se uma base formada pelos autoes-
tados da diagonaliza~ao de HN combinadas com 0 operador IN+l que surge do segundo
termo da Eq. (2.21). Por praticidade, a nova base e identificada pelo tipo-indicado
por conter 0 operador INH (tipo = 1) ou nao (tipo = O}-pela carga e pela iterac;:ao
envolvida. Denominando I Q, N >1 0 l-esimo autoestado de carga Q em HN, cada
I tipo =1,Q,N + 1>1=/1+11 Q,N >1
~Para diagonalizar HI do Hamiltoniano descrito pela Eq. (2.19) a base contera 8
elementos formados da expressao (2.25) (ver Tabela III); dessa forma, os elementos de
matriz sac obtidos por < t, Q,N +1I HNHit', Q,N + 1> utilizando a Eq. (2.21), sendo
Indices Base
10,0,1>1 1° >
10,1,1 >1 (l/-v2)(JJ + ot) 10 >
10,1,1>2 (l/.../2)(JJ - ot) I° >
11,1,1 >1 i11 ° >
10,2,1>1 iJbt 1°>
11,2,1 >1 (1/-v2)i1(JJ + bt) 10>
11,2,1>2 (l/.../2)iluJ - bt) 10>
11,3,1 >1 iliJbt 1°>
E importante considerar que em cada itera~ao 0 numero de estados e duplicado, de
modo que na N-esima itera~ao teremos 2N +2 elementos; em termos pr.hicos, na itera~ao
7 tem-se uma matriz 512 x 512 para diagonalizar. E certo que a simetria determinada
por (2.24) diminui consideravelmente a ordem das matrizes, mas, sendo 0 numero de
itera~Oes N normalmente superior a 20, as diagonaliza~oes para alguns subespa~os se tor-
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HQdQfU]bUdQfgdQeRQYiQe&UebUSYV\SQ]U_fU2 75 2/( + hQ\adTQ egeSUfYRY\YTQTUV\UQ
Sa_efQ_fU&Y_TYSQ_TacgU + ]a]U_fa ]QW_UfYSaUefQeaR VadfUY_fUdQmQa&Sa] gd_Sa]bad'
fQ]U_fa Sa_efQ_fU6YefaaSaddUTUhYTaQa QSab\Q]U_fa eY_W\UfaU_fdURQ_TQTUSa_TgmQa
U ]a]U_fQ \aSQ\YjQTa&_Qa bUd]YfY_TaY_fUdQmQaTUefUSa] SQ]bae ]QW_UfYSaeUifUd'
_ae( Ge dUeg\fQTae_g]UdYSae ]aefdQ] gd_ _aha ba_fa VYia&TYVUdU_fUTae aRfYTae_Qe
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TUQSab\Q]U_fa&U\UfdQ_eVad]QVaU5 U] gd_ _\hU\\YWQ_fUUagfda Q_fY'\YWQ_fU6Sa] Yefa(
_a ]a]U_fQ U] cgU + _\hU\ Q_fY'\YWQ_fUeQYdTQ QRdQ_WU_SYQTQ UeSQ\Q#YefaU&bQdQ7
fQYecgU egQ U_UdWYQeUZQ]gYfa egbUdYadQ 7*2&( fU]'eU + Sa]badfQ]U_fa aRfYTabQdQ
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Ge dUeg\fQTae_g]UdYSaeeQS]U\Xad QSa]bQ_XQTae _a ]aTU\a Da_Ta bQdQhQ\adUeTU
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bQeeQWU]U_fdUae QSab\Q]U_fae VadfUUVdQSa&TYV\Sg\fQ_TaQ Y_fUdbdUfQmQa#gd_ VQfad:
]QYadY_TYSQg] Qg]U_fa _Q UeSQ\QU] cgU Q fU]bUdQfgdQTY]Y_gYQ SQTQYfUdQS65Qa$(
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]aefdQ_Ta gd_ Sa]badfQ]U_fa eU]U\XQ_fUQa TUe"SdYfaQSY]Q&bUd]YfUdUTgjYd+ fU]ba TU
1 70
1 55
.4000' 1.25~Q)Cw 1 .10
0.95
080
0.651 9 11 13 t 5 17 19 21
ilero<joo
carga zero (Ref. [13]).
Carga Au tovalores
-1 1.69382 5.17974 6.87357 8.56739 12.05331 15.44270
0 0.00000 1.69382 3.38765 5.17974 6.87357 6.87357
1 0.00000 1.69382 3.38765 5.17974 6.87357 6.87357
2 1.69382 5.17974 6.87357 8.56739 12.05331 15.4:4270
Hamiltoniano de Falicov e Kimball para obter resultados em alguns casos especiais, como
veremos no Capitulo 4), mostrou os procedimentos necessarios para a diagonaliza~ao por
Capitulo 3
3.1 - MODELO DE FALICOV E KIMBALL RESTRITO
Atualmente somente alguns modelos de muitos corpos sac resolvidos exatamente e
assim e comum utilizarem-se process os numericos na obten~ao de propriedades f1sicas dos
modelos existentes. Este CapItulo descreve 0 processo para a diagonaliza~ao, por meio
do grupo de renormaliza~ao numerico, do modelo de Falicov e Kimball restrito a duas
impurezas; resultados para alguns casos especias sac discutidos.
Um dos interesses atuais no modelo e 0 estudo da valencia f1utuante [7] em compostos
de Terras Raras como SmS, onde ocorre a hibridiza~ao de orbitais $ com orbitais f. 0
modelo considera tambem a intera~ao coulombiana entre eletrons de condu~ao e buracos
localizados, 0 que Hamiltonianos como 0 de Anderson desprezam. Em especial, neste
trabalho, vamos associa-Io ao modelo Kondo de duas impurezas, 0 que sera visto no
CapItulo 4.
Vimos no CapItulo 1que 0 Hamiltoniano de Falicov e Kimball foi dennido com uma
banda de condu~ao e varios nlveis localizados, que interagiam com os eletrons de conduc;:ao
sem possibilitar transferencia. Complementando 0 modelo original foi acrescentado um
termo de hibridizac;:aoentre nlvel localizado e banda de conduc;:ao--como 0 termo associ-
ado ao parametro V no modelo HVF do capItulo anterior-o que possibilita 0 estudo da
valencia flutuante (nao tratado especincamente neste trabalho). Tambem restringem-se
os nlveis localizados a dois, 0 que juntamente com a hibridiza~ao de nlveis localizados
e eletrons de conduc;:ao, viabiliza a associac;:ao com 0 modelo Kondo de duas impurezas.
Com esta defini~ao, a menos do termo de itera~ao coulombiana entre impureza e banda
de condu,cao, 0 Hamiltoniano assume uma identidade com 0 modelo de Anderson quando
lcqrc . nmrclag]j bc grcp]{]m clrpc cjcrpmlq lm ljtcj jma]jgx]bmb gldglgrm-
>m amlqgbcp]p lm kmbcjm ] _]lb] bc amlbs{]m amplnmqr] bc mp_gr]gqqc]q gknspcx]q
nmpmp_gr]gqQ ms b+ cqr]_cjcac,qc sk] qgkcrpg] cqdcpga]ck tmjr] bc a]b] ljtcj jma]jgx]bm:
F ; C C&e '_JAh ( T C(_J cvngiP.1 b0 ( _J cvn ,giP.1 { ( F-a-' (i i
)Cd_f_0 ) 2x' ))E J&]JAef cvng&i,i%'P.1 b0bj ) aJAij cvn,g&i,i%'P.1 Q1Qg) (2.0)
j+j"
mlbc mqmncp]bmpcqb0 c _1 bcqrp5ck cjcrpmlq lmq ldtcgq jma]jgx]bmqck , { c { pcqncarg,
t]kclrc c _J apg] spl cjcrpml lm cqr]bm h l] _]lb] bc amlbs{]m- Amk mqlg%tcgqb] _]lb]
{&P.1' < CcvngiP.1 Ai cGr
gga]lbm clr]m ] Co- &2-0' amkm qclbm
x&+P-0' < Ccvn,giP.1 Ai+Gr
F ; CC&i'aJAi( TWvn&,P.1'b0 ( {r&P.1'b1 ( F-a-[ (Gr
)Cb&a/ a0 ) p,2x' (
)EY{r&,P.1'{& ,P.1'b0a3 ) {r&P.1'{&P.1'{b{[
sk] _]qc aclrp]b] ggv] ck sk] b]q gknspcx]q+ amkm ] srgjgx]b] lm kmbcjm bc Tgek]l
c Dglicjqfrcgl- C lcacqq]pgm clamlrp]p msrp] qgkcrpg] osc pcnpcqclrc ]bcos]b]kclrc ]
{C(±) C(±)f} = _1_[1 ± 6en(kR)]6(k - k')1 ,1' 2A±2 kR
A 2 l[ 6en(kFR)]± =-l±---,. 2 kFR
precedentes empregados em outros trabalhos [17,27], substitui-se k pelo momenta de
Fermi (ou kF) no lado direito da igualdade; dessa forma
f -~~C<+) _ 1 ~JdOC06(k.R)JO+ - V2 ~ Ie - V2A+ ~ 41r 2 Ck 1=1,.
fo_ = ~ L c1-)= i L J dO 6en(k' R)CkIV2 1 V2A- 1 41r 2 1=1,.
Invertendo a Eq. (3.5) obtemos
'li(R/2) = V2(A+fo+ + A-fo_)
'li(-R/2) = V2(A+fo+ - A-fo_)
H =L t:(k)C~Ck +k
+V2V[A+fJ+(dl + d2) + A-ft (dl - d2) + H.c.] +
+t:i4dl + «4~) +
+2G[(A+ 2fJ+fo+ + A_2ft fo-)( d14 + d2«4) +
+A+A_(ftfo_ + ftfo+)(d1dt - d2d~)]
Ao inverter a Eq. (3.6), representa-se a banda de condu~ao em termo dos operadores
c1±), e obtem-se
1 J dO k· R ()Ck = - -C06( --)C1+ +
A+ 41r 2
i J dO (k. R)C<_)- -6en--A_ 41r 2 1
Dessa forma, temos 0 termo cinetico da Eq. (3.11) como
L f(k)ciCk =L f(k)! <in (AI 2COI2(k. R)Ci+)tci+) + (3.13)k i 41(" + 2
+~,en2(k. R)Ci-)tci-) + ...) (3.14)A_ 2
=L f(k)(C~+)fCi+) + ci-)fcl-» (3.15)i
Como vimos no Capitulo 2, sera conveniente trabalhar com a banda de condu~ao de
acordo com 0 metodo definido por Wilson [8}, em que esta e discretizada logaritmicamente
utilizando urn parametro A e associada a uma constru~ao de Lanczos que, de acordo
Apendice A). Para expressar as impurezas, podemos associa-Ias a operadores fermionicos
d± = (d1 ± d2)/.;2, e assim 0 Hamiltoniano passa a ser descrito como
I+A-1 00
H = 2 D L ~(fl+f(A+I)+ + ftf(A+l)_ + H.c.) +n=O
+2V(A+fJ+d+ + A-ftd- + H.c.) + fd(d~d+ + d!d_) +
+2G[(A+ 2fJ-t-fo+ + A_2ftfo_)(d+d~ + d_d~) +
+A+A_Utfo_ + ftfo+)(d+d~ + d_d~)}
Analisando a Eq. (3.16), vemos que, sendo a base centrada entre as impurezas, 0
Hamiltoniano tern simetria de paridade, demonstrada trocando -R/2 por R/2 e vice-versa.
Foi visto no Capitulo 1 0 proce5SO de diagonaljza~ao iterativa pdo grupo de renor-
maliza~ao numerico com 0 Hamiltoniano de Vigman-Finkelshtein. Nesta se~ao, 0 mesmo
+2V(A+fJ+d+ + A-ftd- + H.c.) + Eid~d+ + d~d_) +
+2G[(A+2fJ+fo+ +A_2ftfo_)(d+d~ +d_d~)+
+A+A_UJ+fo_ + ftfo+)( d+d~ + d_d~)]} (3.17)
- 2V 1V=------(1+ A-l)D Al-l:- 2G 1G=--------(1+ A-l)D Al-l:
_ 2td 1t -d- (1+ A-l)D Al-l:
o Hamiltoniano recursivo HN+1, definido a partir de HN, contem urn termo com pie-
mentar aos dois conjuntos de operadores fn+'s e fn_'s da banda de condu~ao, definidos
A Eq. (3.17) com uta com operadores Q e P que determinam carga total e paridade
relativa definidos por
00
Q = "LUtfn+ + f!_fn--) + (d~d+ + d~d_)n=O
analiticamente poderia ser definido como a somat6ria da combina~ao dos operadores
numero { d~c4, fJ±fo±, ftft±, ... } em grupos de urn, dois, ... , N termos, com
N ~ 00 ; 0 vacuo, por defini~ao, tern sinal positivo. A comuta~ao da Eq. (3.18) com Q
e P diminui a ordem das matrizes na diagonaliza~ao, como podemos ver no exemplo a
seguir: 0 processo de diagonaliza~ao inicia com a defini~ao de Ho e a escolha da base para
diagonaliza-Io; sendo Ho 0 Hamiltoniano sem 0 termo cinetico da banda de condu~ao,
Ho = A-t {2V(A+/td+ + A-It d_ + H.c.) + fd(d~d+ + d~d_) +
+2G[(A+2/t/o+ + A_2 Itfo- )(d+d~ + d_d~) +
+A+A_Ut/o_ + Itfo+)(d+d~ + d_d~)]}
Projeta-se 0 Hamiltoniano numa base de 16 elementos construfda com os operadores 10+'
10-, d+ e d_ e, auxiliado das simetrias determinadas pelos operadores Q e P, diagonaliza-
se em cad a subespa<;o. A Tabela I mostra os autovalores obtidos.
TABELA I. Autovalores de Ho no processo de diagona.liz~ao iterativa do Ha.miltoniano
de Falicov e Kimball. A paridade mostrada na tabela indica 0 sinal obtido a.o utilizar 0
operador P [definido pela Eq. (3.20)] no subesp~o analisado.
o[4GA+ 2 + Ed± 04GA+ 2 _ Ed)2 + 16V2A~]/(2A 1/2)
[4GA_'2 + Ed± 04GA- 2 - Ed? + 16V2A~]/(2Al/2)
[2G + 2Ed± y"()G(A+ 2 - A_ 2? + 16G2A+A_l/(2A 1/2)
[2G + 3£d ± .j(2G - Edf + 16V2A~]/(2A1/2)
[2G + 3Ed) ± .j(2G - 1.d)2+ 16V2A~]J(2A1/2)
2£d/(2A 1/2)
o Hamiltoniano HI e gerado usando a expressao (3.19), e novamente escolhe-se uma
base para diagonaliza-Io. A base contera 64 estados, form ados combinando-se os au-
toestados de Ho, representandos por I Q, P, 0 >,. com os operadores ft+ e fL, sendo
distintos pelos subespa~os associ ados por carga, paridade. Cada elemento de base, indi-
cado por I tipo, carga, paridade, iterat;ao >elememo, e formado do autoestado I Q, P, 0 >,.
onde
I Q,P,O >,= I O,Q,P,l >,
it I Q, P, 0 >, = 11, Q + 1,pi, 1 >,
it I Q, P, 0 >, = 12, Q + 1,pi, 1 >1
itiL I Q,P,O >1= 13,Q+2,PI,1 >,
A diagonalizat;ao do Hamiltoniano Hb projetado na base criada por (3.22), e feita nu-
mericamente; dos autoestados de HI gera-se a base de H2 e assim sucessivamente. 0
numero de elementos na base de cada itera~ao e 4N +2 I indicando que mesmo divididos
em subespa~os de carga e paridade, as matrizes acabam exigindo tempo e memoria de
computador nao disponlveis; novamente, como foi visto na Set;ao 2.3, escolhe-se em cad a
subsespat;o os autovalores e autoestados associados de mais baixa energia (visto 0 inte-
resse nas propriedades em temperaturas baixas, onde as energias mais altas, de acordo
com 0 fator de Boltzmann, nao contribuem). Neste trabalho as matrizes sao no maximo
de ordem 100 para cada subespat;o e 0 numero de itera~oes total N nao excede a 30 ( nor-
malmente os pontos fixos sao obtidos apes 25 itera~oes), suficientes para os resultados
obtidos.
Os pontos fixos encontrados para 0 modelo requerem cuidado na interpretat;ao, pois
no processo de diagonalizat;ao iterativa varias resultados sao posslveis dependendo do
valor dos parametros: alguns pontos fixos sao caracterlsticos de eletrons livres, outros de
urn modelo com potencial espalhador (HFK com V = 0 e Ed = 0), ou mesmo de urn
modelo de nlvel ressonante (HFK com G = 0). A identifica~ao dessas situat;Oes e posslvel
quando estuda-se cada caso em particular, como veremos nas proximas set;oes.
N-1
HN=A¥{A.c-1 L f~(J!+f(1I+l)+ +f!_f(1I+l)_ +H.c.)}n=O
(1t) ( ) z_l+N-l z_,_+1 = 1t 11+1,11 = A 2 En
que 0 numero de itera~oes aumenta.- ,. _/f'~ ~J ~ "'.., ,,~.).., ·r.'.""---' __~ <""'::'/7;'-) + ~-;;'~'>~ -y~..L --
'/\ '-!\ .(!'-J'f2 i'
/-'\ /\ :;,.. ~':; 1'.
,<~,.
TABELA ll. Antovalores na diagonalizw:;io do HarrUltoniano de banda livre no ,qual
A = 3, gerando duas bandas simetricas, respectivamente para H + e H_; somen te uma
das bandas esta. representada. Verifica-se uma convergencia para pontos fixos nas iterac;;oes
impares e pares it. medida que N aumenta.
Iterw:;io
(1 ) (3) (5) (7) (9)
l1t 81.00000
l1t 27.00000 27.00000
TIt 9.00000 9.00000 9.00000
fit 2.99804 2.99755 2.99749 2.99749
TIt 0.83205 0.803..1)9 0.80044 0.80009 0.80005
TJ1 -0.83205 -0.80359 -0.80044 -0.80009 -0.80005
112 -2.99804 -2.99755 -2.99749 -2.99749
113 -9.00000 -9.00000 -9.00000
l1i -27.00000 -27.00000
115 -81.00000
Iterw:;io
(2) (4) (6) (8) (10)
-+ 140.29611115
-+ 46.76537 46.76537114
-+ 15.58846 15.58846 15.58846113
-+ 5.19611 5.19610 5.19610 5.196101J2
-+ 1.70318 1.69662 1.69605 1.69576 1.69575TJl
fJo 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
111 -1.70318 -1.69662 -1.69605 -1.69576 -1.69575
112 -5.19611 -5.19610 -5.19610 -5.19610
113 -15.58846 -15.58846 -15.58846
l1i -46.76537 -46.76537
115 -140.29611
(+)(-) (+) (-) (+)(-),g ---- ---- ----
fit ---- ---- ----
1ft ---- --- ---fF ---- ---- ---- ---- ---- ----TJ1 -- --- ---fb -- -- --7J3 ~~ ~~ ~~
(a) (b) (c)
Kimball restrito a duas impurezas; dessa forma, 0 identificamos com dois modelos de
nlvel ressonante, que consiste da banda de condu~ao mais urn termo, proporcional a V,
N-11!=.!.{ Z -1 "'"" Z (ft f ft 1, )HN = A ~ A ~ (n n+ (n+1)+ + n_ (n+1)_ + H.c. +.=0
+~V(~.~ft<4+ A-ft<L +H.c.) + '.(d~d+ +d~d_)},
~--------
I,J-/
(d 2VA± 0 0 0
2VA± 0 A1-z 0 0! (0
0 A1-Z(0 0 A1-z 0N-l (11l± = A-2- (3.32)
0 0 A1-zC1 0 0
A 1-z(N_1
0 0 0 0 A1-z 0CN-1
Alguns resultados da diagonalizat;:ao numerica estao na Tabela III para iterat;:Oes
Impares em que, com a simetria em torno de (F, somente os nfveis nao negativos sac
mostrados. A Tabela IV mostra estados de muitos corpos obtidos com a diagonaliza~ao
iterativa, onde a paridade indica a atua~ao do operador P, definido na Eq. (3.20), sa-
bre cad a estado; os autovalores identificam uma distribui~ao de carga relativa ao estado
caso das itera~oes i'mpares, os autovalores TIt (em que ± determina H+ ou H _) positivos
(os negativos terao mesmo valor com sinal oposto) sac expressos por TJt = Ai-l+n, em
1 27:( VA± fl'/ AA"Y± = - arctan [------------]
7: 2t:d - (1 + A -1 )DA -(N-1)/2+1-t:TJb.
TABELA III. Alguns a.utova.lores na. dia.gona.liza~a.o do Ha.miltonia.no de Fa.licov e
Kimball, restrito a. duas impurezas, no caso em que G = 0, S = 0.5, Ed = 0 e V = O.lOD
para. A = 3, gerando duas bandas distintas, respectiva.mente para. H+ e H _ . Vemos que os
va.lores das bandas convergem para. os mesmos pontos fixos.
Itera.~a.o
(5) (11) (17) (23) (29) (35)
+ 31.78173 45.09444 46.69992 46.76294 46.76528T/i+
TJt+ 9.20499 12.38113 15.39541 15.58117 15.58819 15.58845
H+ + 3.19690 4.70165 5.17437 5.19529 5.19607 5.19609T/2+
rh+ 1.06842 1.63002 1.69319 1.69566 1.69575 1.69575
+ 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000T/o+
T/+ 28.76012 42.25993 46.56686 46.75797 46.76510L
T/+ 9.06779 10.57409 15.02345 15.56630 15.58763 15.588433_
H_ T/+ 3.06508 4.11766 5.13077 5.19363 5.19600 5.196092_
T/t 0.91049 1.51736 1.68797 1.69546 1.69574 1.69575
TJ+ 0.00000 0.00000 000000 0.00000 0.00000 0.000000_
#%$ #'$ #%$ #'$ #%$ #'$ #%$ #'$ #%$ #'$''( '''' '''' '''' '''' ''''
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', ,(14020 .(.4,/4 0(+32-/ 0(,41+. 1(34,23 #/$
& ,(14020 .(.4,/4 0(+32-/ 0(,41+. 1(34,23 #/$
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- ,(14020 #-$ .(.4,/4 #-$ 0(+32-/ #-$ 0(,41+. #-$ 1(23-44
& +(+++++ ,(14020 #-$ .(.4,/4 #.$ 0(+32-/ #-$ 0(,41+. #-$
Vemos na Eq. (3.33) que, a medida que 0 numero N de itera~Oes cresce, e em especial
quando N » j, temos "Y± ::::: 1/2; com isso, 77t = Aj-l/2, correspondendo aos pontos
fixos da banda livre nas iterac;oes pares; a mesma inversao ocorre com as iterac;oes pares
de HpK com G = 0, em que os pontos fixos sac os da iterac;:ao Impar na banda livre.
Termos como os associados ao para metro V do modelo de HpK e J.l no modelo Kondo
de uma impureza caracterizam este comportamento: rnostrarn uma mudanc;:a de pontos
fixos, indicada pela inversao da fase, de 1("/2, nos modelos a baixas temperaturas, como
foi visto nos resultados da Sec;:ao2.4. 1550 ocorre porque, no processo de diagonalizac;:ao
iterativa, com a mudan~a das escalas, 0 termo proporcional a V surge como urn operador
relevante, e para N --+ 00 , conduz ao limite V --+ 00 ; com urn acoplamento forte entre
os estados d± e fo±, este ultimo se desacopla dos outros estados frt.± da banda, ficando
cad a porc;:aoda banda defasada de 1("/2.
Nesse caso particular em que G = 0 em HpK, temos que 0 unico vinculo entre H-+
e H_ est a nos fatores A±, relacionados com a distancia entre impurezas. Em especial,
quando A+ = A_ (S = 0), a distancia sera infinita e cad a autovalor obtido pela dia-
gonaliza~ao direta da Eq. (3.32) seria degenerado (ver Tabela IV). Sendo r = 1("pV2 a
frequencia de transferencia. de eletrons, (calculada com a regra de oure de Fermi, na qual p
e a densidade de estados ao nlvel de Fermi) entre 0 nlvel localizado e banda de conduc;:ao,
temos que a medida que apraximamos os nlveis localizados (isto e, aumentamos S), A+
e A_ quebram a degenerescencia entre os canais par e Impar da banda, aumentando r+
e diminuindo r._. No caso extremo em que as impurezas estao exatamente no mesmo
ponto (R = 0), temos A+ = 1 e A_ = 0, indicando r_= 0 e urn comportamento de
banda livre para H_; associando T± como 0 tempo de transi~ao entre impureza e banda
(T± = Ii/r±), temos para R = 0 que L = 00 .
Uma caso interessante e R :::::o. Nessa situa~ao, nas itera~Oes iniciais, T+ « L
e, para valores de V pequenos (por exemplo: V' = 0.05D) sera posslvel distinguir duas
regiOes de crossover para N --+ 00 (ver Fig. 3). Veremos uma indica~ao desse caso na
Sec;:ao4.3, aplicado ao modelo Kondo de duas impurezas. Na proxima sec;:aodiscutem-se
1.70~./' /'
1 60 /"
/J.~O
0 1.40
en 1.30l.-
V 1.20CW , .'0
1.00
0.90
0.80
0.701 5 9 1~ 17 21 25 29 33
iterac;oo
FIG. 3. Autovalores 1Jt+ (cnrva com circnlos) e TIt (cnrva com triangnlos) para as
iiera~oes impares de HFK para S = 0.99 (A+ > A_), V = 0.05D, G= 0, €d = 0 e A = 3.
a Eq. (3.17), mas que, ao contrario desta, possui simetria parti'cula-buraco) e fazendo V
e (d i~ais a zero, temos 0 seguinte Hamiltoniano truncado:
N-l
HN = AN2"l {AZ-1 L (~(J!+/(n+l)+ + It/(n+l)- + H.c.)+
1l:=0
+2G[A+2/t/o+ +A_2/t/o_ - ~][d+d~ +d_d~ -1]
+A+A_UJ+/o_ + It lo+][d+d~ + d_d~]}
No entanto, para melhor compreender 0 comportamento de pontos fixos determinado)
por este termo, observa-se que, devido a conserva~ao separada d~ carga_nas impurezas
,eletrons da banda de condu~ao para a impureza ou vice-versa), os estados de muitos
corpos correspondem a ocupa~ao de nfveis em que (a) as 'duas impurezas estao ocupadas,
HI = H't: - 2G[A+2/t/o+ + A_2It 10- - ~]I.."
HFI = H"t: +2GA:A-ftf'tJ'0+ - J'LJ'o_)]
HF2 = H',c + 2G[A+2!'~+!'o+ + A_2 f'Lf'o_ - ~]
Sendo os Hamiltonianos da Eq. (3.36) quadraticos, permitem diagonalizac;:ao direta.
dem com alguns estados de muitos cOr-posidentificados pela diagonalizac;:ao iterativa (ver
Tabela VI). Vale salientar que, devido a simetria partkula-buraco, os autovalores da HI
TABELA V. Au tovalores na diagonalizlU;8.0 de H F2' indicado para duas impurezas ocu-
padas no casu em que G = 0.30D, A = 3 e S = 0.5. Verifica-se que os niveis para cada banda
est8.0 defasados por lJ± em rela~8.0 aos pontos fiX08 da banda livre, vistos na Se~8.0 3.3.a.
Alguns nlveis correspondem com estados de muitos corpos, obtidos pela diagonaliza~8.0
iterativa (ver Tabela VI).
Ite~8.0
(5) (11) (17) (23) (29)
7Jt 102.34218 100.50924 100.44861 100.44646
l1t 33.67644 33.48909 33.48238 33.48213
TJt 12.12121 11.18181 11.16148 11.16074 11.16071
71t 3.78989 3.72192 3.71967 3.71959 - 3.71959
1t+ l1t 1.13612 1.12776 1.12747 1,12746 1,12746
711 -0.48794 -0.48457 -0.48446 -0.48446 -0.48446
TJ2 -2.43743 -2.41204 -2.41108 -2.41104 -2.41104
113 -7.48779 -7.26640 -7.25793 -7.25761 -7.25760
Tli -21.85161 -21. 77575 -21.77292 -21.77282
Tl5 -66.01776 -65.34490 -65.31942 -65.3184 7
~+ 88.04012 87.83459 87.82730 87.827035
~+ 29.29863 29.27651 29.27570 29.275674
4 9.84271 9.76109 9.75865 9.75856 9.75856
4 3.25927 3.25159 3.25132 3.25131 3.25131
11- ~ 0.92255 0.92117 0.92114 0.92114 0.92114
"1 -0.68164 -0.68059 -0.68056 -0.68056 -0.68056
""'l -2.76833 -2.76301 -2.76282 -2.76281 -2.76281
~ -7.48779 -8.30222 -8.30047 -8.30041 -8.30041
~i -24.91753 -24.90183 -24.90124 -24.90122
~5 -74.84937 -74.70913 -74.70387 -74.70367
possibilidades de distribuir as cargas nos nlveis discretizados, ocupando ou nao os nfveis
de impureza, consequentemente espalhando os eletrons de condu~ao. A medida que 0
por HF2, como vemos na Tabela VI.
Os nlveis identificados pela Tabela V sac pontos fixos expressos por
'Y± = fJ±/1f
1 1fpGAt= - 1f arctan( -D--)
(3.39)
(3.40)
ser negativo ou positivo (ver Tabela V). A expressao para os pontos fixos, indicada na
Eq. (3.38) mostra que G e um operador marginal na teoria do grupo de renormalizas:ao
numerico, um operador que produz uma defasagem bem definida quando N ~ 00. 0
(+) (-)11t ----
c ----- ba ------ -________ oa---- ---- ---- ---- ---- ----
Tb--
(a)
Os estados associam uma distribuiC;a.ode carga relativa ao estado fundamental, com carga
zero. Identificam-se alguns niveis da Tabela V, como 77i- e ~t.Carga Paridade Autovalores
-1 0.48436 2.08606 2.41088 4.01258 4.02281
+ 0.68051 2.29243 2.76271 3.81643 4.21897
0 0.00000 1.60170 1.61192 2.05233 3.21363,/
+ 1.40555 1.80801 3.33207 3.73580 3.89029
1 0.92477 1.12757 2.53669 2.79927 3.25502
+ 0.92119 1.13114 2.53312 2.73284 3.25145
r±(w) = L 1< F I fd±c41 1>12 fJ(w -wT + EI _. EF)<PI
onde I I > elF > sac estados de N partfculas, em que IF> e 0 estado final
(composto de autoestados de HF1) com energia EF, e I I > e estado inicial (ocupando os
(Ii. = 1), relacionada com a frequencia do raio-X e WT e a energia minima para um eletron
de um orbital localizado atingir a banda de condu~ao. 0 expoente a esta relacionado.
com a absorc;:ao de raio-X eemissao de eletrons para 0 continuo, de acordo com 0 termo
. (fJ fJ)2a=- ;+; -1,
para G < 0; os valores de fJ± sac definidos pela Eq. 3.40. Detalhando 0 processo,
vemos que a passagem de um eletron localizado para a banda de conduc;:ao determina
Um caso especial ocorre para S = 1, pois 0 termo proporcional a A+A_ em HF1 torn a-.
para fJ = - arctan( ""f) , para qualquer valor de G, sendo este urn resultado conhecido
do rnodelo de absor<;ao de raio-X.
G
S 0.20D OAOD 0.60D
0.00 am 0.5188 (±1.1O-6) 0.5638 (±5.10-7) 0.6157 (±1.1O-7)~-ac 0.5188 0.5638 0.6157:.x-
0.25 am 0.6113 (±1.1O-4) 0.5620 (±5.1O-6) 0.5190 (±1.1O-6)0(
~ 0.6113 0.5620 0.5190.2
0.50 l:rrJl 0.5192 (±6.1O-4) 0.5570 (±1.1O-4) 0.5987 (±5.1O--5):.z
ac 0.5180 0.5569 0.5987:2
0.75 am. 0.5212 (±5.1O-3) 0.5498 (±3.1O-4) 0.5801 (±1.1O-4):<
ac 0.5171 0.5495 0.5801- 2" ~
Capitulo 4
e a uma distancia infinita entre si (R= 00).
o Hamiltoniano Kondo, estendido a duas impurezas, foi definido como sendo
H = L tialll'ab - J[S1( -~R) .51 + S2(+~R).52]L 2 25,"
onde alII' cria um eletron de estado k e spin u na banda de condi~ao; -tR e +tR sac
as posi~oes das impurezas; 51 e 52 sac operadores de spin dos momentos localizados e
1 181 = at( --R)ua( - -R)
2 21 1
82 = at( -R)ua( -R)2 2
em que a(±tR) sac fun~Oes de Wannier dos eletrons de condu~ao para cada impureza. 0
trabalhos recentes [22,23]. A base centrada na origem permite utilizar uma simetria de
paridade e assim reescreve-Io como (ver Apendice B)
H = L Ekal,ak, - L [(51 + 52) . (Jra~rO"alr + Joa~OO"ako) +1" 1,1'
Jm = JJrJo
A diagonaliza~ao iterativa da Eq. (4.3), dado 0 que foi visto nos capi'tulos anteriores,
pede apenas uma breve descri~ao. Na Se~ao 2.4 vimos 0 comportamento de um modelo
comportamento prevalece para T .....•0 (ver Se~ao 1.4).
A dificuldade em obter resultados do modelo esta na degenerescencia de spins, dado 0
256 (a base de Ho e formada com os operadores fOoT' foo!' fOoT' foo!' d10T' d2.!, d1o1 e
d20!); cada itera~ao tera uma matriz de ordem 4 x 82+N, 0 que, como exemplo, mostra
mesma posi~ao (R = 0); embora esta dissertac;ao nao va ta~ longe, obter propriedades ter-
modinamicas seria uma aplica~ao relativamente simples. Em particular, utilizar 0 modelo
sucesso na correspondencia entre os model os Vigman-Finkelshtein e Kondo de uma im-
pureza no calculo do calor espedfico, analisada no Capitulo 2. Para efeito de compara~ao,
H =L f(k)cLCk+. V[+t( -R/2)dt +. +t(R/2)d2 +.H.c.] +.k
+,fel(dldt +. 4d2) +.
+.G[+t( -R/2)+( -R/2)dtdl +. +t(R/2)+(R/2)~t4]
,na qual dt e d2 destroem eletrons nos nlveis localizados respectivamente em - ~ e ~, e
+( -R/2) e +(R/2) sac fun~oes de Wannier identificadas por, .
+( R/2) = L expikR/2 Ckk
~(-R/2) = L exp-ikR/2 (."kk
impondo essa simetria para a Eq. (4.5) faz-se fel = 0 e, sabendo que {~t,~} = 2 e
{dL di} = 1, complementa-se 0 segundo e 0 quarto termo, ficando a expressao como
H = L f(k)cLCk +. V[+t( -R/2)dt +. ~t(R/2)~ +.H.cJ +.k
+.G[(l)t( -R/2)+( -R/2) - l)(dtdl- ~) +.
+.(+t(R/2)+(R/2) -1)(~4 - ~)] (4.7)2
H = 1 + 2A
-1
D f. (~(/!+/(r&+l)+ + IL/(r&+l)_ + H.c.) +R=O
+2V[A+/td+ + A-/td- + H.c.] +
+2G[A+ 2/t/o+ + A_2It10_ - ~][d+d~ + d_d~ - 1] +
+A+A_[fJ+/o_ + IL/o+][d+d~ + d_d~] (4.8)
1 '"' (±)lo± = r.; Li Civ2 i
cl+) = _1_ f _dn C03( _k _. R_)CkA+ 4,... 2
c(-) = _i_J _dn_3en(_k_. R_)Cki A_ 4,... 2
A 2 1[ 3en( kpR)]± =-1±---
2 kFR
o Hamiltoniano efetivo no modelo Kondo. A obtens;ao do Hamiltoniano efetivo para 0
modelo de Falicov e Kimball, restrito a duas impurezas, auxiliaria estabelecer uma rela~ao
discutir dais casas particulares dos m~smos, como veremos nas se~oes seguintes.
(indicado pela Eq. (4.3) acrescida do termo 1051,52• que para R = 00 e nulo). 0 associam
a dois modelo Kondo separados.
De acordo com 0 modelo de Falicov e Kimball, Eq. (4.8), R = 00 faz com que
A+ = A_ = 1/../2; assim temos HpK, na forma associada para HN pelo grupo de
t;;- t t+v2V[Uo+ d#o_ d_ + H.c.] +
+G[Utfo+ + ftfo- - 1)(d+d~ + d_d~ -1) +
+Utfo- + ftfo+)(d+d~ + d_d~)]}
- 2V 1V=------(1+ A-1)D A1-z
- 2G 1G=-·------(1+ A-1)D A1-z
associado cada um ao modelo de Vigman-Finkelshtein, que mostrou bons resultados para
o calor espedfico (visto no CapItulo 2) do modelo Kondo de uma impureza. Numa cor-
_ ..::.. -IfOSC ;,
U\Ufda_eTU Sa_TgmQa&TUhYTaQ bdUeU_mQag _Qa TU U\Ufda_e_ae _\hUYe\aSQ\YjQTae$TU
Q]Rae ae ]aTU\ae( <Qe =c( #-(.$ U#.(/+$ fU]ae U_fQa
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Y_TYSQ_TacgU ? bQdQ426 TUhQeUdQ ]UfQTU Ta hQ\ad TU Ahb( :eeY]& eU\USYa_Q_Ta
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<)<):,)30
,)00
,)-0
+)40
+)10, . 0 2 4 ,, ,. ,0 ,2 ,4 -, -. -0
EJCIHLHH
t,
degenerescencia para carga, que s&o0 modelo equivale'jl dois modelos Kondo separados.
Carga. Paridade Autovalores
-1 1.69382 3.38765 5.08148 5.17976 6.87359 (4)
+ 1.69382 3.38765 5.08148 5.17976 6.87359 (4)
0 0.00000 1.69382 (2) 3.38765 (3) 5.08148 (2) 5.17976 (2)
+ 1.69382 (2) 3.38765 (2) 5.08148 (2) 5.17976 (2) 6.77,531
1 0.00000 1.69382 (2) 3.38765 (4) 5.08148 (2) 5.17976 (2)
+ 0.00000 1.69382 (2) 3.38765 (4) 5.08148 (2) 5.17976 (2)
2 1.69382 (2) 3.38765 (2) 5.08148 (2) 5.17976 (2) 6.77531
+ 0.00000 1.69382 (2) 3.38765 (4) 5.08148 (2) 5.17976 (2)
Analisando e comparando os resultados com os obtidos no trabalho de Oliveira e
Wilkins [12], encontra-se que os estados de muitos corpos associam duas bandas e nlveis
localizados simetricos do modelo Kondo de uma impureza (Fig. 1); como os resultados
do modelo Kondo de duas impurezas indicaram [17,16]. A Tabela II mostra os estados
de muitos corpos, dos model os de Vigman-Finkelshtein e Falicov-Kimball, para varias
iteras:Oes; na mesma os dois menores autovalores, em cada carga identificada de HVF, sac
encontrados repetidamente nas respectivas iteras:oes com HFK, evidenciando a duplicidade
do modelo Kondo de uma impureza neste ultimo Hamiltoniano. Por outro lado, outros
estados de muitos corp os surgem devido a novas combinas:Oes no preenchimento dos nlveis
para cada carga, com duas bandas simetricas.
Compreendendo os autoestados obtidos com a diagonalizas:ao iterativa, vemos que, de
acordo com a Ses:ao 3.3.c, 0 termo proporcional a G no Hamiltoniano de Falicov e Kimball
espalha os eletrons de condus:ao de acordo com a ocupas:ao dos nlveis impureza; dessa
forma, nas primeiras iterac;Oes, em que 0 termo associado a V, embora relevante, e ainda
muito pequeno, os estados de muitos corpos misturam resultados para duas, uma, ou zero
impurezas ocupadas, dificultando a identificas:ao dos nlveis de energia. Aumentado N, 0
crescimento do termo proporcional a V provoca uma inversao no comportamento dos pon-
tos fixos; na Tabela II, com a diminuis:ao da temperatura (aumento das iteras:Oes), vemos
que os pontos fixos das iteras:Oes pares estao se definindo como os da iteras:oes tmpares da
banda livre, mostrando uma defasagem de 1(" /2 caracterlstica no modelo Kondo. A des-
cris:ao numerica confirma 0 comportamento descrito na Ses:ao 2.4 para 0 modelo Kondo
de uma impureza, indicando que a mesma descri~ao qualitativa se aplica a impurezas
infinitamente distantes; para esse afastamento entre impurezas e com a correspondencia
entre parametros V e G do modelo HVF (quando associ ados ao modelo Kondo de uma
impureza) sao posslveis calculos do calor espedfico e da suscetibilidade para 0 modelo
Kondo de duas impurezas. Tais calculos nao fcram realizados neste trabalho.
Uma discussao do caso R = 0 em HFK sera vista na ses:ao seguinte, comparado com
o acoplamento forte entre momentos localizados no modelo Kondo de duas impurezas.
TABELA ll. Estados de muitos corp os obtidos pela diagonaliza.c:a.o iterativa do modelo
de Vigman-Finkelshtein e .E'alicov-Kimball, com V = 0.16D, R = 00, Ed = 0 e A = 3. Para
HVF tem-se G = 0.51916D e em HFK utiliza-se G = 0.25958D. Os estados associ am uma
distribniC;ao de carga para os nlveis de H+ e H_ relativas ao estado fundamental, em que a
paridade determina 0 sinal obtido com 0 operador P sobre 0 estado. A degenerescencia da
energia para cada subespac;o nao est a assinalada.
Carga Iterac;ao (HvF)
(4) (8) (12) (16) (20)
0 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
0.51793 0.92078 1.42453 1.57789 1.59760
1 0.11142 0.41049 0.71104 0.78894 0.79880
1.63485 1.82952 2.47200 2.91539 2.98801
Carga Paridade Iterac;8.0 (HpK)
(4) (8) (12) (16) (20)
0 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000
0.22285 0.82123 1.42226 1.57789 1.59760
0.51796 0.92085 1.42455 1.57791 3.19519
+ 0.22285 0.82114 1.42225 1.57791 1.59760
0.51796 0.92095 1.42470 3.70440 3.78682
1.74630 2.24020 3.18329 3.70442 .5.39322
1 0.11144 0.41056 0.71109 0.78895 0.79880
0.62937 1.33141 2.13S71 2.36686 2.39640
1.63496 1.82966 2.47221 2.91545 2.98801
+ 0.11144 0.41056 0.71109 0.78895 0.79880
0.62937 1.33141 2.13571 2.36686 2.39640
1.63496 1.82966 2.47221 2.91545 2.98801
H = L (j;al,a" - L [(51 + 52)· (J~aL~oaj;~ + JoaLooai:o)]j;" j;,i:'
N-1
HN = A N;-l {A~-l L (~(J!+f(1J+I)+ + f!_f(1J+I)_ + H.c.) +a=O
- t+2V[(fo+d+ + H.c.] +- t t t+2G[(J0+fo+ + -l)(d+d+ + d_d_ - 1)]}
-
A+ ~ 1 e A_ ~ 0, determinando urn pequeno pararnetro de acoplarnento, associado
o terrno de acoplamento ern H+ logo se acopla com as impurezas. De acordo com 0
comportamento de pontos fixos do termo associado a V e analisado na Sel;ao 3.3.b,
64
, SE~VI<;:O DE 81BLlOTECA E INFORMA<;:AO _ IFOSe IJ r1~lrA
Capitulo 5
5.1 - CONCLUSOES
Neste trabalho mostrou-se que e posslvel diagonalizar numericamente 0 Hamiltoniano
de Falicov e Kimball, restrito a duas impurezas, determinando pontos fixos para um regime
de temperatura proximo a 0 K. Tais pontos podem auxiliar no calculo de propriedades
termodinamicas (como 0 calor espedfico e suscetibilidade magnetica), bem como 0 de
propriedade dinamicas (como fotoemissao e abson;ao de raia-X) nessa escala de tem-
peratura. A defini~ao final do Hamiltoniano aproveitou a simetria de paridade para 0
modelo, diminuindo a ordem das matrizes diagonalizadas numericamente e minimizando
custos computacionais. A inclusao do termo de hibridiza~ao no modelo foi importante na
associac;ao, para casos especiais, com 0 modelo Kondo de duas impurezas e com isto os
resultados para duas impurezas localizadas num mesmo ponto (com R = 0) e impurezas
desacopladas (com R = 00) foram obtidos.
No processo de diagonaliza~ao foi utilizado 0 grupo de renormaliza~ao numerico,
definido inicialmente par Wilson [8) e que desde entao tem sido empregado no estudo
de Hamiltoniano de muitos corpos como 0 de Kondo [16-18) e Anderson [26), tendo
mostrado bons resultados, especialmente no regime de baixas temperaturas, em relac;ao
aos metodos descritos no Capitulo 1.
Como vimos, a utilizac;ao do modelo de Falicov e Kimball, quando em equivalencia
com 0 modelo Kondo para os casos acima, reduziu consideravelmente os gastos computa-
cionais no grupo de renormalizac;ao numerico em comparac;ao com 0 Hamiltoniano Kondo
de duas impurezas originalmente definido, viabilizando a utilizac;ao de computadores com
processadores de poucos Mflops. A difusao dos computadores e 0 crescente avam;o tec-
nol6gico permitirao que este problema, em futuro pr6ximo, possa ser tratado em nlvel
academico, com urn microcomputador pessoal. A generalizac;:ao da associac;:ao entre os
modelos e necessaria; no entanto, isto esta alem dos objetivos do presente trabalho,
ficando para uma etapa subsequente.
Parte da importancia do modelo Kondo de duas impurezas provem da competic;:ao
entre os dois tipos de acoplamentos possiveis em baixas temperaturas: (a) 0 acoplamento
spin de impureza e banda de conduc;:ao, 0 que determina 0 efeito Kondo e (b) 0 acopla-
mento entre spins de impurezas, 0 que provem de uma interac;:ao do tipo RKKY. Recentes
trabalhos [28, 29] tern mostrado a preocupac;:ao em verificar esta competic;:ao nos com-
postos de Ce, como 0 CePt2Sn2, em que 0 alinhamento magnetico de arbitais J ocorre
(interac;:oes RKKY) ou mesmo com a suscetibilidade magnetica tendendo a zero (efeito
Kondo) em temperaturas pr6ximas a 0 K.
Estudos com redes de impurezas estariam mals pr6ximos da realidade das ligas
magneticas diluldas; no entanto, tais estudos ainda nao se mostram posslveis com 0 grupo
de renormalizac;:ao numerico e assim os modelos de duas impurezas, como 0 que discuti-
'-mas neste trabalho, servem como aproximac;:ao mais realista que se pode presentemente
estudar.
5.2 - SUGESTOES PARA TRABALHOS FUTUROS
Os pontos fixos obtidos para 0 Hamiltoniano do modelo de Falicov e Kimball permitem
obter resultados exatos em temperaturas pr6ximas a 0 K. Para temperaturas mais altas, epossivel, como foi relatado 110 inkio deste Capitulo, calcular propriedades termodinamicos,
como calor espedfico e suscetibilidade magnetica, que no futuro poderao ser usados para
comparac;:ao com resultados anali'ticos mais completos que venham a surgir. 0 calculo
de propriedades dinamicas, como fotoemissao espectral e absorc;:ao de raicrX, tambem
podem ser executados.
Para uma associac;:ao mais completa com 0 modelo Kondo de duas impurezas enecessario 0 estudo do Hamiltoniano efetivo He! do modelo de Falicov e Kimball, ou
seja, 0 Hamiltoniano de ponto fixo de acoplamento fraco, com operadores relet/antes,
proporcional ao parametro V; He! pode ser obtido sem dificuldades, como demons tram
os casas particulares estudados no Capitulo 3, e sera pesquisado futuramente. Como
consequencia, a associa~ao de parametros entre os modelos de Falicov e Kimball e de
Kondo, de uma forma mais ampla que a utilizada no Capitulo 4, permitiria que calculos
fossem realizados, com menor custo, para este ultimo modelo.
A determina~ao do expoente da taxa de transis;ao para 0 modelo de duas impurezas
auxiliara interpretar medidas de fotoemissao e absor~ao de raicrX. 0 ccilculo analftico
desse expoente, em processo de estudo, permitira compreender os resultados obtidos
numericamente.
uma construs;ao de Lanczos [25], para melhor proveito dos resultados com 0 grupo de
renormalizac;ao numerico. De acordo com a Eq. (3.16), a banda de condus;ao sera indicada
onde cl+) e cl-) sac definidos pela Eq. (3.6). Pode-se estabelecer uma base de operadores
al± = fll dk«()~+)(k))*cl±)
alm± = [11dk(1)~~(k)tc~±)
bl± = [11dk«()}-)(k))*C~±)
blm± = [11dk(1)~;;!(k)tc~±)
. onde ()~±)(k) e 1)~:;!(k)sac descritos pelas Eq. (2.9) e (2.10). Nessa base, os operadores
(1&= [(1 + A -z, )2(1 + A -z,) + A -3z,( 1 - A-I )]to 1+ A-I 1_ A-3
[H, [H, ft]] =
de onde encontramos ~. Desse modo, calculando sucessivamente 0 comutador de H com
fJ+ N vezes, vemos que
N'1 ,. . 't( [II, [H, ... , [H, [H, fo+]] ... ]] = [H,ft]N
(l-A-1&)t(l +A-Z,)N( t '_ )Nbt )2 1 + A-I tlO+ + (1 0+ +
+ (1 - 2A-1)t f: A -(2N+1)<-tz) (abm+ + (-l)Nbtm+)
m=O
(0(1'" (N-d~+ +
+(termos sem 11+ e (N-1»)
1, processo de calculo numerico para os (~, vemos que e posslvel representar H como
[H, [H,fJ+]N ] = [HN, [HN,fJ+]N] + [CNflNt1hfN+, [H,ftJN ] ++ [RN, [H, fJJN ] (All)
Pode--se definir urn vet or F = (Jo+,!I+, ... ,IN+) e assirn HN = Ft'JtF, onde
0(000 0
(0 0 (1 0 0
o (1 0 (2 01£= (A12)o 0 (2 0 0
(N-l
o 0 0 0 (N-l 0
sendo passlvel acompanhar numericamente 0 valor do comutador de HN com fJ+, resul-
) termo da Eq. (All) temos entao
FN(Z A) = (1- A-Z)( 1+ A-z ')2(NH) + A-(2N+3)Z( 1- A-I ), 1+ A-I 1- A-(2N+3)
onde -~R e +~R sac as pesi~Oes des momentos magneticos localizados 51 e 52; at,.cria um eletron de estado k e spin (7 na banda de condi~ao e 81 e 82 sac definidos por
1 181 = at( --R)(7a( --R)
2 2
nas quais a(±tR) sac estados de Wannier dos eletrons de condu~ao para as impurezas.
H = L fkaL.,ak, - (J/2)[(51 + 52)· (81 + 82) + (51 - 52)· (81 - 82)]. (B3)k,.,
Devido os operadores a(+~R) e a(-tR) nao comutarem , definem-se operadores lJIe e
lJI 0 que aproveitam a base centrada entre os momentos localizades, assim
1 1 1'PI.' = ~a( -R) + a( --R)]
21.£1.' 2 2
= ...!-L[(exp( ik . ~R) + exp( -ik . ~R )]ilke21.£1.' k 2 2
1 1= - L cos(k· R)llke = - L ge(k)ake e
1.£1.' k 1.£1.' k
'Po= _1 [a(~R) - a( -~R)] = ~ L go(k)~o21.£0 2 2 Uo k
1ako = J:t ak - a._k)
ge(k) = i sen(k· R) e
(B5)
(B6)
1£1.' e 1£0 sao constantes de normalizat;:ao. Expressando a(±tR) em termo des operadores
-J[ I)51 + 52) . (g:(k)go(k)ataako + g:(k)ge(k)aLeaake +k,k'
+ 1::<51- 52)· (g:(k)ge(k)aLoaake + g:(k)go(k)aLeaako] (B8)k,k'
-dependencia com k nas constantes de acoplamento ge e go e praticamente constante [17],
H = Lk,.,. fA:(atake + atllko) +
+ LA:,A:I[(51 + 52) . (Jeal'eaaj:e + Joal'oaalo) +
1 _ J( 6in(kpR))e,o - 2 1± kpR
profundo passe a banda de conduc;ao. A transic;ao desse eletron determina que os eletrons
de conduc;ao, numa quantidade N da ordem de 1023, blindem 0 buraco criado na banda
taxa de transic;ao entre os estados inicial (I [ >, urn estado de N partlclJlas localizadas
abaixo do nlvel de Fermi) e final ( < F I, estado de N parti'culas com urn buraco criado
na banda de valencia) e indicado por
r±(w) = L 1< F 1Hz I [>12 b(w - WT + EI - Ep)<PI
onde < F I Hz I I > e 0 determinante da matriz obtida pelo produto dos dois de-
te.rminantes de Slater envolvidos; W e a energia fornecida (h = 1), relacionada com a
frequencia do raicrX e WT e a energia mInima para urn eletron de urn orbital localizado
atingir a banda de condw:;ao; Hz e representado por
Hz(t) =< k I -e p. A(r, t) Id > eld + H.e,me
HI = Hic - 2G[A+ 2 fJ+fo+ + A_ 2 ftfo- - ~]
Hp = H'ic + 2GA+A_[(J'~+J'o+ - f'Lf'o_)]
A, determinando uma base de fR± 's, definida no Apendice A. A base para Hp, em relac;:ao
aos operadores f R± 's e lit, e
Qclbm mqF]kgjrmlg]lmq b] Co- &Aj'os]bp]rgamq+ncpkgrck bg]eml]jgx]{]m lskcpga]-
Amkmtgkmq+] bcdglg{]mbc G>< cltmjtc / npcclafgkclrm bmq]srmcqr]bmq ]_]gvm bm
ljtcj bc Dcpkg bm F]kgjrmlg]lm =>, bcdglglbmsk cqr]bm bc L n]prjasj]q+ bcqapgrmnMG"
spl bcrcpkgl]lrc bc Qj]rcp+]qqgk amkm / cqr]bm GD=- BcdjlgbmqG>= cjD= n]p]
t]jmpcqbc E+ >) c >\G / a]jasjm b] r]v] bc rp]lqg{]m ck sk] bcrcpkgl]b] grcp]{]mL$)
]rp]tcq bm bcrcpkgl]lrc b] k]rpgx QL# <; D GF8l GG = Gc gkcbg]rm- > amltcpeclag]
lmq pcqsjr]bmqmamppc] kcbgb] osc / lskcpm bc grcp]{McqL# ]skclr]-
+--9010904.2-:
Y3HJ- K- D]jgamtc H9_, Igk_]jj+ Nfwqga]j Pctgcu Jcrrcpq 11+ 886 &0858'-
Y6[A- C- R- Emlq9]jtcq b] Qgjt] c J- K- D]jgamt+QmjgbQr]rc Amkksl- 06+ 0410 &0864'-:
K- >tgelml c Q- I- Ef]r]i+ QmjgbQr]rc Amkksl- 05+ 0132 &0864'- : B- G-Ifmkqigg
c >- L- Imaf]pe]l+ QmjgbQr]rc Amkksl- 07+ 874 &0865'-
YGQz>- K- Rqtcjgai c N- ?- Ugcek]ll+ >bt- Nfwq-21+ 342 &0872': L- >lbpcg+ I- Dspsw]
c H-F- Jmuclqrcgl+ Pctgcu mdKmbcpl Nfwqgaq44+ 220 &0872'-
Y05[A- H]w]np]i]qf+ F- P- Ipgqfl],ksprfw c H-U- Ugjiglq+ Nfwqga]j Pctgcu Jcrrcpq 36+
626 &0870'-
Y06[?- >- Hmlcqc A- K- T]pk]+ Nfwqga]jPctgcu Jcrrcpq+ 47+ 732 &0876'-
Y07[?- >- Hmlcq+A- K- T]pk] c H-U- Ugjiglq+ Nfwqwa]j Pctgcu Jcrrcpq 50+014 &0877':
?- >- Hmlcqc A- K- T]pk]+ Nfwqga]j Pctgcu ?+ 3/+213 &0878'-
Y08[A- K- T]pk]+ Rcails ib FaZps Dalgdihm Zh_ TZfah]a Dfo]noZndihm+n]e- 166
&Qnpglecp,Tcpj]e+Lcu Wmpi+0874'-
Y1/[>- U- U- Jsbuge c G]l >ddjcai+Nfwqga]j Pctgcu Jcrrcpq 56+ 205/ &0880'-
Y10[P- K- Dwc+H-C- Fgpqaf c B- H-Qa]j]nglm+ Nfwqga]j Pctgcu ? 24+ 38/0 &0876'-
Y11[N- Qafjmrrk]ll c H-U- P]qsj+ Nfwqga] ? 052+ 433 &088/'-
Y12[?- >- Hmlcq+Nfwqga]? 060+42 &0880'-
Y13[K- Wmqfgb]+K- >- Ufgr]icp c j- L- Mjgtcgp]+Nfwqga]j Pctgcu ? 30+83/2 &088/'-
Y14[K- H-Icjjw+ck Qifd_ QnZnaNcsmd]m+cbgr]bm nMG"F- Cfpclpcgaf+ D-Qcgrxc B- Rspl_sjj
&>a]bckga Npcqq+Lcu Wmpi+087/'+ tmj- 24+ n]e- 185-
Y15[F- P- Ipgqfl]ksprfw+ H- U- Ugjiglq c P- E- Ugjqml+ Nfwqga]j Pctgcu ? 10+ 0//2
&087/'-
Y16[T- j- J0_cpmc j- L- Mjgtcgp]+Nfwqga]jPctgcu Jcrrcpq 54+ 1/31 &088/'-
Y17[U- N- ?cwcpk]ll+ K- D- Fslbjcw+ N- A- A]ldgcjb+ H-B- Rfmknqml+ X- Dgqi c H-j-
Qkgrf+ Nfwqga]jPctgcu Jcrrcpq 55+ 2178 &0880'-
Y18[A- Emb]pr+ j- A- Esnr]+ A- T- Rmkw+ H- B- Rfmknqml c P- Tgh]w]p]ef]t]l+
CspmnfwqgaqJcrrcpq 7+264 &0878'-