lógicas e inferência para ia. lógica métodos para determinação de validade de fórmulas
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Lógicas e Inferência para IA
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Lógica
Métodos para determinação de
validade de fórmulas
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Métodos para determinação de validade de fórmulas
Tabela verdade Métodos de dedução Método da negação ou absurdo
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Método da negação ou absurdo (cont.)
Para provar que H é uma tautologia Supõe-se inicialmente, por absurdo
que H NÃO é uma tautologia
As deduções desta fórmula levam a um fato contraditório (ou absurdo)
Portanto, a suposição inicial é falsa e: H é uma tautologia (A não-validade de H é um absurdo)
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Lógica de Predicados
Dedução Natural
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Conseqüência lógica Definição informal:
Uma fórmula é uma conseqüência lógica de um conjunto de fórmulas se sempre que estas forem verdadeiras aquela também seja verdadeira.
Definição formal: Dada uma fórmula H e um conjunto
de hipóteses , H é conseqüência lógica de num sistema de dedução, se existir uma prova de H a partir de
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Notação de Conseqüência Lógica e Teorema Dada uma fórmula H, se H é
conseqüência lógica de um conjunto de hipóteses ={H1,H2,...Hn}, diz-se que: ├ H ou {H1,H2,...Hn}├ H
Uma fórmula H é um teorema se existe uma prova de H que não usa hipóteses ├ H
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Cálculo
Proposicional ou de Predicados Cálculo = Lógica + Sistema de
Prova (ou dedução) Um sistema de prova serve para
analisar e raciocinar sobre argumentos de uma lógica, de maneira a prová-los válidos ou inválidos.
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Sistema de dedução natural
Alfabeto da Lógica de Predicados Conjunto de fórmulas da Lógica de
Predicados Conjunto de regras de dedução (ou
regras de inferência)
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Regras de inferência de dedução natural Servem para inserção e retirada de
conectivos lógicos e quantificadores, criando derivações Regras de Introdução Regras de Eliminação
Chama-se dedução natural por estar próxima da maneira como nós raciocinamos quando queremos (informalmente) provar um argumento.
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Regras de inferência - conjunção
Introdução da conjunção (^I): H G -> derivação
H^G Eliminação da conjunção (^E):
H^G H^G H G
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Prova
Dados H uma fórmula e um conjunto de fórmulas (hipóteses)
Uma prova de H a partir de é uma derivação onde As regras de inferência são aplicadas
tendo como premissas fórmulas de A última fórmula da derivação é H
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Exemplo de prova P ^ Q, R |- Q ^ R
P ^ Q (Premissa) Q (^E) R (Premissa)
Q^R (^I)
Exercícios: (P^Q) ^ R, S^T |- Q^S P^Q |- Q^P (P^Q) ^ R |- P ^ (Q^R)
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Regras da Dedução Natural - implicação Eliminação da implicação - modus
ponens (E) H H G G
Introdução da implicação (I) [H] (hipótese eliminada)
| G .
H G
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Exemplo de eliminação da implicação
P^Q, (P (Q R)) ├ (Q R) P^Q
P (^E) P (Q R) (premissa) (Q R) (E)
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Exemplo de introdução da implicação ├ (P ((PQ)Q) Supor os antecedentes Eles não poderão ser usados
depois
[P] [(PQ)] (hipóteses) Q (E)
(PQ)Q) (I)(P ((PQ)Q) (I)
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Exercício
├ (P(Q P)) ├ (P(Q R)) ((P^Q)R))
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Exercícios
1. {P^Q, (P^Q)(R^P)} |- R^P
2. {P (Q R), PQ, P} |- R 3. {P (P Q), P} |- Q
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Regras da Dedução Natural- disjunção Introdução da disjunção (vI)
H G . HvG HvG
Eliminação da disjunção (vE) [H] [G] (hipóteses)
D1 D2 HvG E E
E
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Exemplo de Eliminação da disjunção
{PvQ,Q,P} |- false
PvQ .[P] P (prem.) [Q] Q (prem.)
false falsefalse
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Regras da Dedução Natural- negação
De uma derivação de uma contradição (false) a partir de uma hipótese H, pode-se descartar a hipótese e inferir H e vice-versa
[H] (I) [H] (E ou RAA) | |
false false reductio ad H H absurdum
Exercícios: HH e H H
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Exercício
Mostre que o seguintes argumento é válido:
Se este argumento for incorreto e válido, então nem todas as suas premissas são verdadeiras. Todas as suas premissas são verdadeiras. Ele é válido. Portanto ele é correto.
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Solução
Identificando as Sentenças: P: as premissas deste argumento são
verdadeiras. S: este argumento é correto. V: este argumento é válido.
Formalizando:{(S ^ V) P, P, V} ├ S
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Exercício
Deus não existe. Pois, se Deus existisse a vida teria significado. Mas a vida não tem significado. Prove isso!
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Quando tudo o mais falhar EFQ: ex falso quodlibet ou regra da
contradição Podemos estar loucos, então
qualquer literal é aceitável! Note que esta regra NÃO SUPÕE E
NEM ELIMINA nada!! false
H
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Prova de EFQ
{P, P} ├ Q Q . P P (prem.) false
Q (E)
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Exemplo
Prove o Silogismo Disjuntivo, usando EFQ: {P v Q, P} ├ Q
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Exercícios {P (QR), P, Q} |= R {P Q, P} |= Q {P (Q ^ R), P} |= P ^ Q {(P ^ Q) (R ^ S), P, Q} |= S
{AB, C(DvE), DC, AE} |= (C B)
{Cv(B A), A R, (B R) S} |= (C S)
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Lógicas clássicas
Lógica minimal: {^v} x {IE} Lógica intuicionista =
Lógica minimal U EFQ
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Regras de inferência - equivalência
Introdução da equivalência ( I): H G GH
HG Eliminação da equivalência (
E): HG HG
HG GH
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Dedução Natural A diferença básica da Lógica de
Predicados para a Proposicional é que as contradições têm de ser em cima de instâncias
As instâncias normalmente têm de ser geradas a partir de fórmulas quantificadas
Quando fazer isso?
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Ocorrência livre e ligada
Se x é uma variável e E uma fórmula, uma ocorrência de x em E é Ligada, se x está no escopo de um
quantificador (x) ou (x) em E Livre, se não for ligada
G=(x)(y)((z)p(x,y,w,z) (y)q(z,y,x,z1))
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Variável livre e ligada
Se x é uma variável e E uma fórmula que contém x. x é Ligada em E, se existir uma ou mais
ocorrências ligadas de x em E Livre em E, se existir uma ou mais
ocorrências livres de x em E
No exemplo anterior, z é livre e ligada!
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Regras da dedução natural – quantificador universal
Eliminação do quantificador universal (E) x H(x), se a é livre para x em H H(a)
Introdução do quantificador universal (I) H(a) . x H(x) se x não ocorre livre em nenhuma das
premissas das quais H(x) depende
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Explicando I Papel reservado aos nomes arbitrários, algo que no
cotidiano usamos Uma forma abreviada de dizer :
“Todos os portugueses gostam de boa conversa” é dizer «O Zé-povinho gosta de boa conversa» «Zé-povinho» refere-se a qualquer português,
arbitrariamente Contudo, é necessário garantir que o nome seja
arbitrário, pois se for um nome próprio a inferência é inválida!
Não se pode concluir que todos os portugueses gostam de boa conversa só porque o Joaquim gosta de boa conversa.
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Exemplo 1 x ((x) (x)) x (x) x (x)
[x ((x) (x))] (sup.) (x) (x) ( E) x(x) x (x) (I) x(x) x (x)
(I) x ((x) (x)) x (x) x (x) (I)
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Exemplo 2 x( (x)) ( x(x)) se x não
ocorre livre em .
[x ( (x))](sup.) [](sup.) ( (x)) (E) (x) (E) x (x) (I) ( x (x)) (I ) x( (x)) ( x (x)) (I )
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Regras da dedução natural – quantificador existencial
Eliminação do quantificador existencial (E) x H(x), se a é livre para x em H
H(a) Introdução do quantificador existencial (I)
[H(a)] (hipótese) |
x H(x) E E
x não ocorre livre em nenhuma das premissas usadas na derivação acima do travessão e nem E
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Exemplo (x ((x) )) (x ) se x não ocorre
livre em .
[x ((x) )] [x ] [(x)] ((x) ) E E E x I (x((x) ) ) (x )) I
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Regras da dedução natural – identidade
Eliminação da identidade (=E) t=u H(t)
H(u) Introdução da identidade (=I)
n=n x=y
P(x)P(y)
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Exemplo x=y(z P(x,z) z P(y,z) )
[x=y] [z P(x,z)] P(x,z) E P(x,z) P(y,z) I= P(x,z)P(y,z) E P(y,z) E z P(y,z) I (z P(x,z) z P(y,z) ) I x=y(z P(x,z) z P(y,z) ) I
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Lógica
Sistema Axiomático
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Sistema axiomático Alfabeto da Lógica de Predicados Conjunto de fórmulas da Lógica de
Predicados Conjunto de regras de dedução (ou
regras de inferência) Normalmente só Modus Ponens
Um conjunto de axiomas Subconjunto de fórmulas Existem vários!!
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Exemplo
Ax1= A(BA) Ax2= (A(BC) ((AB)(AC)) Ax3= (A B)((AB)A) Ax4= x H(x) H(a) Ax5= (x A B(x))(A x B(x)), se
x não é livre em H
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Exemplo de prova
PP
(P((PP)P)) ((P(PP))(PP)) Ax2 com A=P, B=PP, C=P
P((PP)P), Ax1 (P(PP))(PP), Modus Ponens (P(PP)), Ax1 com A=P, B=P PP, Modus Ponens
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Um sistema axiomático estranhíssimo... Regra de inferência: A A ^ (B
^C) C Ax1: (A^(B^C))^((A^(C^ A))
^((C^B)^((A^C)^(A^C))))
Conclusão: Sistemas axiomáticos são complicados de usar e de entender as provas!!