lógica para computação

Lógica para Computação (IF61B)

Lógica para Computação

Prof. Celso Antônio Alves Kaestner, Dr. [email protected]


24/04/23 Prof. Celso A A Kaestner 2

Lógica Proposicional• Linguagem informal x linguagem formal (1.1);• Linguagem proposicional: envolve proposições

e conectivos, formando fórmulas complexas;• Proposição: enunciado ao qual se pode atribuir

um valor verdade (verdadeiro ou falso);• Conectivos: conjunção (E), disjunção(OU),

negação (NÃO), implicação (SE … ENTÃO…);• Não trata de relações sobre elementos de um

conjunto, como “todos”, “algum”, o que será visto mais adiante, no estudo da lógica predicativa.



Lógica ProposicionalA linguagem proposicional (1.2):• Alfabeto:

1. Símbolos proposicionais, variáveis proposicinais ou átomos: P = {p0, p1, p2, …};

2. Conectivos: 1. unário: negação: (NÃO); 2. binários: conjunção: (E), disjunção: (OU), implicação:

(SE…ENTÃO…);

3. Símbolos de pontuação: parênteses “(“e “)”.



Lógica ProposicionalA linguagem proposicional (1.2.1):• Fórmulas (fórmulas bem formadas, fbf):

definidas indutivamente como o menor conjunto LLP com as seguintes regras de formação:

1. Caso básico: todos os símbolos proposicionais são fbf, isto é: P LLP ;

2. Caso indutivo 1: Se A LLP então A LLP ;

3. Caso indutivo 2: Se A, B LLP então (A B) LLP, (A B) LLP, e (A B) LLP.



Lógica Proposicional• Fbf…

• Exemplos …• Regras para a omissão de parênteses;• Precedência entre os conectivos.

• Subfórmulas (1.2.2);• Tamanho das fórmulas (1.2.3);• Expressando idéias (1.2.4);• Exercícios.



Lógica ProposicionalSemântica (= significado, 1.3):• Em lógica proposicional consiste na

atribuição de valores-verdade às fórmulas da linguagem;

• Em lógica clássica: verdadeiro (1) e falso (0);

• Os valores-verdade são associados aos símbolos proposicionais por meio de uma função de valoração V: P {0,1}.



Lógica Proposicional• Para as fórmulas complexas:

1. V ( A ) = 1 sse V ( A ) = 0 ;2. V (A B) = 1 sse V ( A ) = 1 e V ( B ) = 1;3. V (A B) = 1 sse V ( A ) = 1 ou V ( B ) = 1;4. V ((A B) = 1 sse V ( A ) = 0 ou V ( B ) = 1.

• Matrizes dos conectivos …• Exercícios (pg.16).



Lógica Proposicional• Satisfazibilidade, Validade, Tabelas-

verdade (1.4):1. Uma fbf A é satisfazível sse existe uma valoração

V de seus átomos tal que V (A ) = 1;2. Uma fbf A é insatisfazível sse para toda valoração

V de seus átomos tem-se que V (A ) = 0;3. Uma fbf A é válida (ou tautologia) sse toda

valoração V de seus átomos é tal que V (A ) = 1;4. Uma fbf A é falsificável sse existe uma valoração V

de seus átomos é tal que V (A ) = 0.



Lógica Proposicional• Resultados (1.4):

1. Toda fbf válida é também satisfazível;2. Toda fbf insatisfazível é falsificável;3. Uma fbf pode ser satisfazível e falsificável: neste

caso é dita contingente;4. Uma fbf não pode ser válida e falsificável; também

não pode ser insatisfazível e satisfazível;5. Se A é válida, A é insatisfazível e reciprocamente;6. Se A é satisfazível, A é falsificável e

reciprocamente.



Lógica Proposicional• Tabelas-verdade…

1. http://www.math.csusb.edu/notes/quizzes/tablequiz/tablepractice.html ;

2. http://en.wikipedia.org/wiki/Truth_table ;3. http://www.brian-borowski.com/Truth/.

• Exercícios (pg. 20).



Lógica ProposicionalConseqüência lógica (1.5):

• Uma fbf B é conseqüência lógica de uma fbf A, denotando-se A |= B sse para toda valoração V que satisfaz A também satisfaz B, i.e. tal que V ( A ) = 1 implica V ( B ) = 1;

• De modo similar B é conseqüência lógica de um conjunto de fbf ={ A1, A2 … An }, denotando-se por |= B sse para toda valoração V que satisfaz todas as fbf de também satisfaz B.



Lógica ProposicionalConseqüência lógica:

• Exemplo: Modus ponens: p , (p q) |= q .

• Teorema da dedução: , A |= B sse |= A B .

• Mais exemplos…



Lógica ProposicionalEquivalência lógica:

• Duas fbf A e B são logicamente equivalentes, representando-se por A B sse A |= B e B |= A;

• Na prática para verificar se duas fbf são logicamente equivalentes basta construir as tabelas-verdade para A e B e verificar se as colunas para A e para B são idênticas;

• Definição: A B (A B ) (B A ) • Teorema: A B sse A B é tautologia.



Lógica ProposicionalEquivalência lógica (1.5.1):

• Algumas equivalências notáveis: 1. p p (dupla negação);2. p q p q (definição de em função de

e );3. (p q ) ( p q ) e (p q ) ( p q

); (Leis de De Morgan)4. p ( q r ) ( p q ) (p r )

(distributividade de sobre );5. p ( q r ) ( p q ) (p r ) (distributividade

de sobre ).



Lógica Proposicional

Equivalência lógica (1.5.2):• (Re)definições de conectivos em função de

e : 1. p q p q ( p q);2. p q ( p q ).

• É possível se definir todos os conectivos em função de um só ?



Lógica ProposicionalVer http://www.cfh.ufsc.br/~dkrause/pg/cursos/Novo4.pdf “Barras de Sheffer” ou “conectivos de Sheffer” são

simbolizados por:1. # (negação conjunta) e2. | (disjunção alternativa), definidos pela seguinte tabela:

p q p # q p | q1 1 0 01 0 1 00 1 1 00 0 1 1



Lógica ProposicionalFazendo:

1. p = (p # p), e 2. p q =((p # q) # (q # q)), pode-se definir os

conectivos e a partir de #, e obter os demais conectivos a partir desses.

Deve-se comprovar que as tabelas-verdade que são obtidas coincidem com as previamente conhecidas.

Reciprocamente, os conectivos # e | podem ser definidos por: p # q = (p q) e p | q = (p q):



Lógica Proposicional• Exercícios (pg. 27).• Desafios da Lógica Proposicional (1.6)

…

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