1

Autor: Luiz Carlos CardosoNRE: Pato Branco Escola: Núcleo Regional de EducaçãoDisciplina: Matemática: ( ) ensino fundamental ( x ) Ensino Médio

A LÓGICA MATEMÁTICA NO COTIDIANO

Muitas situações no nosso dia a dia requerem um pensamento lógico, será que

esta lógica é a mesma que segue os rigores da matemática?

Veja as seguintes frases:

Premissa 1 : "Todo homem é mortal."

Premissa 2 : "João é homem."

Conclusão : "João é mortal."

Estas frases têm alguma relação com a matemática?

Para entendermos melhor a idéia de lógica matemática vamos “retornar no

tempo” e ver como se originaram as primeiras idéias sobre o assunto.

Podemos dizer que o criador da lógica matemática foi Aristóteles de Estagira na

macedônia (384 – 322 a C). Aristóteles criou a ciência da lógica cuja a essência era a

teoria do silogismo ( determinada forma de argumento válido), seus escritos foram

reunidos em uma obra chamada Organon ou Instrumento da Ciência (Abar,2004).

Você já ouviu falar a respeito de Aristóteles? Realize uma pesquisa sobre a vida

e as principais descobertas deste pensador.

Na Grécia se desenvolveram duas grandes escolas de Lógica, que tinham uma

certa rivalidade: a PERIPATÉTICA (que derivava de Aristóteles) e a ESTÓICA fundada

por Zenão (326-264 a.C.)

Muitos anos depois, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 –1716 ) realizou importantes

trabalhos a respeito do assunto, os quais só tiveram crédito no século XIX.

E Posteriormente George Boole (1815 –1864) e Augustus de Morgan (1806 –

1871), conseguiram relacionar a lógica com a álgebra. Estes publicaram os

fundamentos da chamada Álgebra da Lógica.

1

2

Atualmente surgem as lógicas não clássicas, que estão contribuindo para a

informática, com sistemas especialistas, e muitas áreas do conhecimento.

É necessário que entendamos alguns conceitos importantes para que tenhamos

uma idéia mais precisa sobre a lógica, vamos iniciar pelo termo proposição:

PROPOSIÇÃO: É uma declaração afirmativa, ou seja uma frase na qual se tenha

sentido afirmar que a mesma seja verdadeira ou que seja falsa.Como por exemplo:

A lua é quadrada.

A neve é branca.

Matemática é uma ciência.

Estas proposições podem ser “traduzidas para a linguagem matemática, através

de variáveis, chamadas de variáveis proposicionais”.

VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: representadas por letras latinas minúsculas

p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas atômicas) .

Exemplos:    A lua é quadrada : p                     A neve é branca : q

CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si e,

para representar tais combinações são usados os conectivos lógicos :

: e , : ou , : se...então , : se e somente se , : não

Exemplos:

A lua é quadrada e a neve é branca. : p q (p e q são chamados

conjuntos)

A lua é quadrada ou a neve é branca. : p q ( p e q são chamados

disjuntos)

2

3

Se a lua é quadrada então a neve é branca. : p q ( p é o antecedente

e q o conseqüente)

A lua é quadrada se e somente se a neve é branca. : p q

A lua não é quadrada. : p

(Abar,2004)

Com o objetivo de facilitar, o desenvolvimento desses cálculos, se constroem as

chamadas tabelas verdade, a construção destas seguem três princípios fundamentais

da lógica matemática:

1) Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo.

2) Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação

da outra), uma delas é falsa.

3)Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas proposições contraditórias, uma delas

é verdadeira.

Desta maneira as proposições simples só podem ser verdadeiras ou falsas, não

podendo coexistir uma proposição verdadeira e falsa ao mesmo tempo.Vejamos

algumas tabelas verdade:

1.Tabela verdade da "negação" : ~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa

(verdadeira)

2. Tabela verdade da "conjunção" : a conjunção é verdadeira se e somente os conjuntos são

verdadeiros.

P ~p

F V

V F

3

4

p Q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

3. Tabela verdade da "disjunção" : a disjunção é falsa se, e somente, os disjuntos são

falsos.

p Q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

4. Tabela verdade da "implicação": a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente

é verdadeiro e o conseqüente é falso.

p Q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

5. Tabela verdade da "bi-implicação": a bi-implicação é verdadeira se, e somente se seus

componente

p Q p q

V V V

V F F

F V F

F F V

4

5

(ABAR,2004)

Agora é a sua vez, construa a tabela verdade abaixo, aplicando os princípios de

lógica matemática

P q ~(p q)

V V

V F

F V

F F

Verificando todas estas teorias colocadas, nos parece que a Lógica Matemática

está tão longe da nossa realidade. Porém todos nós usamos a lógica no dia a dia,

muitas vezes sem nos darmos conta disso. Veja o que diz Yeda S. Santos em seu

artigo:

A matemática é uma forma lógica para solução de problemas, até mesmo nas tarefas domésticas mais simples. E é usada mais vezes do que se apercebe a maioria das pessoas. Uma dona de casa calcula a quantidade de alimento, água para o cozimento e tempo de preparo, valendo-se de operações matemáticas. Contas parecidas usamos para atravessar a rua. Ao ver um veículo, calculamos o tempo, a distância e nosso limite de velocidade para passar sem risco ( Santos,1998)

Por Exemplo, uma situação corriqueira:

Seu pai lhe diz: se você tirar 10 em Português e Matemática, lhe darei um

presente. Desta forma, Para ganhar o presente, é necessário tirar 10 nas duas

disciplinas Se de outra maneira ele dissesse: se você tirar 10 em Português ou

Matemática, lhe darei um presente; aí bastaria tirar 10 em uma das matérias.

5

6

Esse foi um exemplo simples de um uso da lógica. Muitos outros poderiam ser

mostrados. Dê um exemplo de situação em que a lógica matemática é utilizada em seu

cotidiano.

A lógica pode ser engraçada também, então ria se puder:

Deus é amor.O amor é cego.Steve Wonder é cego.Logo, Steve Wonder é Deus.

Nada é melhor que a felicidade eterna.Um tomate já é melhor do que nada.Logo, um tomate é melhor que a felicidade eterna.

Imagine um pedaço de queijo suíço, daqueles bem cheios de buracos.Quanto mais queijo, mais buracos.Cada buraco ocupa o lugar em que haveria queijo.Assim, quanto mais buracos, menos queijo.Quanto mais queijos mais buracos, e quanto mais buracos, menos queijo.Logo, quanto mais queijo, menos queijo!

Toda regra tem exceção.Isto é uma regra.Logo, deveria ter exceção.Portanto, nem toda regra tem exceção.

Disseram-me que eu sou ninguém.Ninguém é perfeito.Logo, eu sou perfeito.Mas só Deus é perfeito.Portanto, eu sou Deus.Se Steve Wonder é Deus, então eu sou Steve Wonder... (LIMA,2005,p.1)

Quem não conhece o clássico da literatura, Alice No País Das Maravilhas,o que

muita gente não sabe que neste trabalho, a lógica matemática está presente em muitos

momentos, se confundindo com excelência literária e imaginação onírica. Isto se explica

pelo fato de que o autor desta magnífica obra foi Lewis Carroll, pseudônimo do

matemático inglês Charles Dodgson (1832-1898)

Alice encontra-se numa encruzilhada sem saber que direção tomar. Enquanto

pensa, o gato sorridente aparece num passe de mágica sobre um galho de árvore e

6

7

pergunta qual é o problema. "Não sei que caminho tomar", ela explica. "Bem", reflete o

gato, "aonde você quer ir?" "Não sei", responde a menina. "Nesse caso, qualquer um

dos caminhos levará você até lá", conclui o gato.

Em outra situação, a Duquesa, uma das personagens mais intrigantes do

enredo, diz a Alice: "Seja aquilo que você pareceria ser... Nunca imagine que não ser

diferente daquilo que pode parecer aos outros que você fosse ou pudesse ter sido não

seja diferente daquilo que tendo sido poderia ter parecido a eles ser diferente". Parece

ilógico? Que tal então a demonstração absolutamente lógica do célebre Gato: "Para

começar", disse o Gato, "um cachorro não é louco. Concorda?" "Acho que sim",

respondeu Alice. "Bem", prosseguiu o Gato, "você vê um cão rosnar quando está bravo

e abanar o rabo quando está feliz. Agora, eu rosno quando estou feliz e balanço o rabo

quando estou bravo. Logo, sou louco"! (TV Cultura, 2006).

Assista o filme, tente localizar estas passagens e identifique outras, onde a lógica

matemática está presente.

Não existe uma receita para resolver os problemas de lógica, basta seguir os

princípios fundamentais da lógica matemática citados inicialmente, e usar o raciocínio.

Vamos ver alguns problemas:

O chapéu ou a vida

Num reino em crise, o rei Maximus pretende eliminar os seus três sábios conselheiros.

Como sente algum carinho pelos sábios resolve dar-lhes uma última oportunidade de

salvarem a vida. Se os sábios forem capazes de resolverem o seguinte problema o rei

não os mandará matar.

O rei colocou os três sábios em fila indiana e disse-lhes: “ Disponho de cinco chapéus,

três brancos e dois pretos. Vou colocar na cabeça de cada um de vocês um destes

chapéus, de forma que cada um de vós é capaz de ver o chapéu daqueles que estão à

sua frente, mas não é capaz de ver o seu próprio chapéu, nem o chapéu daqueles que

7

8

estão atrás ( o último sábio da fila vê os chapéus dos outros dois, o do meio só vê o

chapéu do primeiro sábio e o primeiro sábio da fila não vê nenhum dos chapéus).

Para salvarem a vida, pelo menos um dos três sábios terá que dizer de que cor é o

chapéu que tem na sua cabeça. Mas, se um de vocês se enganar na cor morrem os

três.

O rei colocou três dos chapéus na cabeça dos sábios e escondeu os outros dois. De

seguida, perguntou ao último da fila de que cor era o seu chapéu e ele nada respondeu;

perguntou ao do meio a cor do seu chapéu e este nada respondeu; quando perguntou

ao primeiro a cor do seu chapéu este respondeu acertadamente e sem qualquer

sombra de dúvida, ficando os três sábios livres.

De que cor era o chapéu do primeiro sábio? Porquê?

Solução

O sábio que deu a resposta ( o primeiro da fila ) raciocinou da seguinte forma:Há 3

chapéus brancos e 2 pretos. Se o 3º sábio tivesse visto em cada um de nós  chapéus

pretos teria dito prontamente "majestade, o meu chapéu é branco".  Como não

respondeu significa que tem dúvidas. Portanto, há duas possibilidades:

1. Viu 2 chapéus brancos;

2. Viu um chapéu branco e outro preto.

Seguindo a primeira hipótese, o meu chapéu é branco.

Seguindo a segunda hipótese, quem terá o chapéu preto?

Se eu tivesse o chapéu preto, o segundo sábio teria respondido " vejo que

o primeiro sábio tem um chapéu preto. Se o meu fosse também fosse

preto o terceiro sábio teria respondido que o dele era branco. Como ele

não respondeu o meu é branco ". Isto é, se o meu chapéu fosse preto, o

8

9

segundo sábio teria respondido, como não respondeu significa que o meu

chapéu é branco.

Em conclusão: Majestade, o meu chapéu é branco.      

Verdadeiro ou falso

Quantas frases verdadeiras há no quadro seguinte ?

Neste quadro há exatamente uma frase verdadeira.

Neste quadro há exatamente uma frase falsa.

Neste quadro há exatamente duas frases verdadeiras.

Neste quadro há exatamente duas frases falsas.

Solução:

Pode não haver nenhuma;

Pode haver apenas uma correta ( a primeira );

Pode haver exatamente duas corretas ( as duas últimas );

O problema não tem uma resposta única! Esquisito, não? Para ficar claro, ler os

princípios fundamentais da lógica (já comentados anteriormente)

Agora, um desafio de lógica matemática para você resolver:

Oito carros, de marcas e cores diferentes, que nada tem a ver com suas cores da

Formula 1, estão alinhados, lado a lado, para uma corrida. Estabeleça a ordem em que

os carros estão dispostos, baseando-se nas seguintes informações:

9

10

1. O FERRARI está entre os carros 'vermelho' e 'cinza'.

2. O carro 'cinza' está à esquerda do LOTUS.

3. O MACLAREN é o segundo carro à esquerda do FERRARI e o primeiro à direita do

carro 'azul'.

4. O TYRREL não tem carro a sua direita e esta logo depois do carro 'preto'.

5. O carro preto está entre o TYRREL e o carro 'amarelo'.

6. O JORDAN não tem carro algum à esquerda: está a esquerda do carro 'verde'.

7. A direita do carro 'verde' está o MARCH.

8. O LOTUS é o segundo à direita do carro 'creme' e o segundo a esquerda do carro

'marrom'.

9. O WILLIAN é o segundo à esquerda do BENETTON.

Atualmente estamos convivendo com a tecnologia do computador, este aparelho

que se popularizou entre nós, segue conceitos de lógica matemática, e para chegar ao

que temos hoje evidenciamos a contribuição de grandes lógicos como Alan Turing:

Alan Mathison Turing, nascido em 23 de Junho de 1912 em Paddington,

Inglaterra.

Foi com a publicação do artigo "Máquinas Computáveis", em 1937, que Turing

passou a contribuir efetivamente para o mundo da matemática. Nele provava que

existem cálculos impossíveis de serem feitos, contradizendo as perguntas de Hilbert em

relação à matemática, feitas em 1928.

Hilbert, Levantou um número de questões sobre a idéia central da matemática, e

cujas inesperadas respostas abalariam esta área de estudo e a levaria a novas

descobertas. As questões eram: a matemática era completa? A matemática era

consistente? A matemática era resolúvel?

Kurt Godel provou que a matemática deveria ser incompleta porque, como ele

demonstrou, existem proposições que podem ser feitas, mas que não podem ser

provadas ou negadas. Ele também provou que a matemática não podia ser definida

como consistente e completa.

10

11

Então Turing elaborou a idéia sobre uma máquina com uma arquitetura simples,

entretanto improvável, que pudesse executar todo o tipo de problemas que fossem

colocados. Essa poderosa máquina somente entenderia os números 0 e 1 (o primeiro

computador binário). Ele estabeleceu, numa linguagem específica, o que era um

algoritmo genérico. Essa idéia foi chamada de Máquina de Turing, mas apesar da

natureza simples e geral do seu algoritmo, ainda assim existiam problemas que não se

conseguia resolver. E assim a terceira pergunta de Hilbert foi provada incorreta, pois a

matemática não é resolúvel.

Porém, o artigo de Turing não ficava somente na teoria, também trazia uma

aplicação prática que na época, ninguém percebeu. Turing imaginara uma máquina que

pudesse fazer todos os cálculos possíveis, desde que lhe fornecessem as instruções

necessárias. O artigo possuía as fórmulas matemáticas e a descrição daquilo que, no

futuro, mudaria o mundo com o nome de computador (FINGER,2002,p.2) .

Referências

ABAR, Celina. Lógica Matemática, São Paulo: 2004.

Disponível em: logica@pucsp.br

Acesso em: 23/08/2006

SANTOS, Yeda. Matemática em Tempo Integral, São Paulo : 1998

Disponível em: <http://www.usp.br/jorusp/arquivo/1998/jusp445/manchet/rep_res/rep_int/

univers1.html>

Acesso em: 23/08/2006

11

12

FINGER, Alessander et.al. A IMPORTÂNCIA DE BERTRAND RUSSELL E ALAN TURING PARA A LÓGICA. Porto Alegre:

Disponível em: http://www.inf.ufrgs.br

Acesso em: 20/08/2006

ALICE NO PAÍS DAS MARAVILHAS, TV Cultura, 2006

Disponível em: http://www.tvcultura.com.br/artematematica/ed_p01.html

Acesso em: 20/08/2006

LIMA, Rocha Alessandra, MATEMÁTICA HUMOR , 2005

Disponível em: <http://www.reniza.com/matematica/humor/logmatem.htm>

Acesso em: 12/08/2006

12