logica

PROFESSOR FABRÍCIO SANTOS

LÓGICA MATEMÁTICA

O dicionário Aurélio define Lógica sf. 1. Coerência de raciocínio, de ideias. 2. Modo de raciocinar peculiar a alguém, ou a um grupo. 3. Sequência coerente, regular e necessária de acontecimentos, de coisas.



Podemos definir Lógica como:

A CIÊNCIA QUE VISA FORNECER, A PARTIR DO

ESTUDO DAS ESTRUTURAS DO PENSAMENTO, REGRAS

QUE DEVEMOS SEGUIR PARA FORMULAR RACIOCÍNIOS VÁLIDOS E

CORRETOS.


SILOGISMO - “Lógica de Argumentação”Segundo ARISTÓTELES:

“O Silogismo é um razoamento em que, dadas certas premissas, se extrai uma

conclusão consequente e necessária, através das

premissas dadas".Trata-se, pois, de uma “forma perfeita do

raciocínio dedutivo", donde só se é possível concluir em virtude de

um termo comum (ou médio) às premissas.


VERDADE X VALIDADEA relação verdade-validade é tema de infinitos debates e artigos.

No entanto, mesmo que discordemos da distinção clássica proposta por Aristóteles, temos que admitir que esta ainda é a

mais utilizada em nosso cotidiano. Na tradição "adequacionista", a VERDADE é

CORRESPONDÊNCIA. Correspondência (adaequatio, para os medievais) entre o que pensamos e o objeto a que estamos nos

referindo. Quando o que pensamos ou falamos sobre este objeto


ARGUMENTOSUm argumento é “uma série

concatenada de afirmações com o fim de estabelecer uma proposição definida”.

É um conjunto de proposições com uma estrutura lógica de maneira tal que

algumas delas acarretam ou tem como consequência outra proposição


1. Se eu passar no concurso, então irei trabalhar.Passei no concurso________________________rei trabalhar2. Se ele me ama então casa comigo.Ele me ama.__________________________Ele casa comigo.3. Todos os brasileiro são humanos.Todos os paulistas são brasileiros.__________________________Todos os paulistas são humanos.


Todos os cachorros têm asas.Todos os animais de asas são aquáticos.Existem gatos que são cachorros

Todas as mulheres são bonitas.Todas as princesas são mulheres.__________________________ Todas as princesas são bonitas.

Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira.Exemplo:Todos os apartamentos são pequenos. (V)Todos os apartamentos são residências. (V)__________________________________ Algumas residências são pequenas. (V)


Argumentos Dedutivos Válidos

aplica-se apenas aos argumentos dedutivos

Todo ser humano tem mãe.Todos os homens são humanos.__________________________ Todos os homens têm mãe

O Flamengo é um bom time de futebol.O Palmeiras é um bom time de futebol.O Vasco é um bom time de futebol.O Cruzeiro é um bom time de futebol.______________________________ Todos os times brasileiros de futebol são bons.

não podemos ter um argumento válido com premissas verdadeiras e conclusão falsa.


Afirmação do Antecedente:

Se José for aprovado no concurso, então será demitido do serviço.José foi aprovado no concurso.___________________________ José será demitido do serviço.

“negação do consequente” (proposições equivalentes)

Se aumentarmos os meios de pagamentos, então haverá inflação.Não há inflação.______________________________Não aumentamos os meios de pagamentos


Dilena. Geralmente este argumento ocorre quando alguém é forçado a escolher entre duas alternativas indesejáveis.


Todos os cachorros têm asas. Todos os animais de asas são aquáticos. Existem

gatos que são cachorros

Todo homem é mortal.Sócrates é mortal.Sócrates é homem.

Todos os peixes vivem no oceano.Lontras são peixes.

Logo, focas vivem no oceano.

Regras de Implicação

Premissas Conclusão Inferência A B A à B

Falsas Falsa VerdadeiraFalsas Verdadeira Verdadeira

Verdadeiras Falsa Falsa

Verdadeiras Verdadeira Verdadeira

Um argumento válido que foi derivado de premissas verdadeiras é chamado de

argumento consistente. Esses, obrigatoriamente, chegam a conclusões

verdadeiras.


Sentenças ou ProposiçõesUma proposição é uma afirmação que pode ser

verdadeira ou falsa. As sentenças ou proposições são os elementos que, na linguagem escrita ou falada, expressam uma ideia, mesmo que absurda


p: Mônica é inteligente.q: Se já nevou na região Sul, então o Brasil é um país europeu.r:7>3.s: 8+2=10t:x≥12u:varra esse chãov:que horas são?

1. Premissa: Todo evento tem uma causa.2. Premissa: O universo teve um começo.3. Premissa: Começar envolve um evento.4. Inferência: Isso implica que o começo do universo envolveu um evento.5. Inferência: Logo, o começo do universo teve uma causa.6. Conclusão: O universo teve uma causa.

Conforme citamos anteriormente, uma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um argumento diremos que ele é válido ou não válido.

Observe que a validade do argumento depende apenas da estrutura dos enunciados.ExemploTodas as mulheres são bonitas.Todas as princesas são mulheres.__________________________Todas as princesas são bonitas.


Tipos de Proposições

Declarativas ou afirmativas

Interrogativas

Imperativas ou ordenativas


As proposições serão classificadas em: Universais Particulares

“Todos os homens são mentirosos” é universal e simbolizamos por “Todo S é P”

“O cão é mamífero”.

“Alguns homens são mentirosos” é particular e simbolizamos por “algum S é P”.


AFIRMATIVA NEGATIVAUNIVERSAL Todo S é P (A) Nenhum S é

P (E)PARTICULAR Algum S é P (I) Algum S não

é P (O)


Os conectivos serão representados da seguinte forma: ~Corresponde a “não” ∧ corresponde a “e” ∨ corresponde a “ou” ⇒ corresponde a “então” ⇔ corresponde a “se somente se”

Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir uma outra correspondente com a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar:• Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b)• Disjunções: a ∨ b (lê-se: a ou b) • Condicionais: a ⇒ b (lê-se: se a então b) • Bicondicionais: a ⇔ b (lê-se: a se somente se b)


TABELAS VERDADES Determina o “valor lógico” de uma proposição composta, ou proposições de valores lógicos equivalentes mediante ao seus conectivos


Proposições equivalentesEquivalências Básicas

p e p = p Ex: André é inocente e inocente = André é inocente p ou p = p Ex: Ana foi ao cinema ou ao cinema = Ana foi ao cinema p e q = q e p Ex: O cavalo é forte e veloz = O cavalo é veloz e forte p ou q = q ou p Ex: O carro é branco ou azul = O carro é azul ou branco p ↔ q = q ↔ p Ex: Amo se e somente se vivo = Vivo se e somente se amo. p ↔ q = (pq) e (qp) Ex: Amo se e somente se vivo = Se amo então vivo, e se vivo então amo


EQUIVALÊNCIAS LÓGICASP e P P

P ou P PP e Q Q e P

P ou Q Q ou PPQ Q PQ (PQ) e (QP)*PQ ~Q~P (~P ou Q)


Equivalência da condicional 1) Se p então q = Se não q então não p.Ex: Se chove então me molho = Se não me molho então não chove2) Se p então q = Não p ou q.Ex: Se estudo então passo no concurso = Não estudo ou passo no concurso


Equivalências entre “Nenhum” e “Todo”É uma equivalência simples e de fácil compreensão. Vejamos:1) Nenhum A é B = Todo A é não BEx: Nenhum médico é louco = Todo médico é não louco (= Todo médico não é louco)2) Todo A é B = Nenhum A é não BEx: Toda arte é bela = Nenhuma arte é não bela (= Nenhuma arte não é bela)

Negação da conjunção Negação da disjunção Negação da disjunção exclusiva

Negação da condicional Negação da bicondicional Negação de todo A é B

Algum A não é B

Negação de algum A é B

Nenhum A é BPROFESSOR FABRÍCIO SANTOS


CURSO LIDERANÇA FABRÍCIO SANTOS INSS

Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras ou falsas, mas não admitem ambos os julgamentos. A esse respeito, considere que A represente a proposição simples “É dever do servidor apresentar-se ao trabalho com vestimentas adequadas aoexercício da função”, e que B represente a proposição simples “É permitido ao servidor que presta atendimento ao público solicitar dos que o procuram ajuda financeira para realizar o cumprimento de sua missão”.Considerando as proposições A e B acima, julgue os itens subsequentes, com respeito ao Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal e às regras inerentes ao raciocínio lógico.



27 Sabe-se que uma proposição na forma “Ou A ou B” tem valor lógico falso quando A e B são ambos falsos; nos demais casos, a proposição é verdadeira. Portanto, a proposição composta “Ou A ou B”, em que A e B são as proposições referidas acima, é verdadeira.

28 A proposição composta “Se A então B” é necessariamente verdadeira.

29 Represente-se por ¬Aa proposição composta que é a negação da proposição A, isto é, ¬A é falso quando A é verdadeiro e ¬A é verdadeiro quando A é falso. Desse modo, as proposições “Se ¬A então ¬B” e “Se A então B” têm valores lógicos iguais.



Algumas sentenças são chamadas abertas porque são passíveis de interpretação para que possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Se a sentença aberta for uma expressão da forma x P(x), lida como “para todo x, P(x)”, em que x é um elemento qualquer de um conjunto U, e P(x) é uma propriedade a respeito dos elementos de U, então é preciso explicitar U e P para que seja possível fazer o julgamento como V ou como F.A partir das definições acima, julgue os itens a seguir.48 Considere-se que U seja o conjunto dos funcionários do INSS, P(x) seja a propriedade “x é funcionário do INSS” e Q(x) seja a propriedade “x tem mais de 35 anos de idade”. Desse modo, é correto afirmar que duas das formas apresentadas na lista abaixo simbolizam a proposição Todos os funcionários do INSS têm mais de35 anos de idade.(i) x(se Q(x) então P(x))(ii)x(P(x) ou Q(x))(iii)x(se P(x) então Q(x)


Se U for o conjunto de todos os funcionários públicos eP(x) for a propriedade “xé funcionário do INSS”, entãoé falsa a sentença ~xP(x).

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