livro sólidos geométricos

Sólidos geométricos, ângulos, polígonos e congruências

Sobre os Autores

Nome da Autora

Váldina Gonçalves da Costa

Minicurrículo

Licenciada em Matemática pela Universidade de Uberaba. Doutora em Educação

Matemática, pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo - PUC-SP.

Professora dos cursos de Licenciatura em Matemática, Pedagogia e Engenharias,

na Universidade de Uberaba.

Apresentação

Caro Aluno.

Este livro Geometria - sólidos geométricos, ângulos, polígonos e congruência aborda

um tema que continua sendo pouco ensinado na Educação Básica, razão pela qual

é relevante em nosso curso de formação de professores. Este primeiro livro de

Geometria é um dos três volumes que serão lançados e tem por objetivo oferecer-

lhe, alunos da graduação em Matemática ou áreas afins- um texto que proporcione

uma visão da Geometria Euclidiana com construções geométricas, com atividades

pedagógicas, de maneira que estas possam ser utilizadas como ferramentas para

prática pedagógica e também complementar e auxiliar o aprendizado da Geometria.

O convite feito inicialmente - Vamos enveredar pelos caminhos da Geometria

Euclidiana? - é um desafio lançado como o intuito de desenvolver o seu pensamento

geométrico e o raciocínio visual. Para auxiliá-lo a abordagem adotada ora é intuitiva,

ora é metodológica e ora axiomática. Assim, você utilizará os materiais pedagógicos,

a informática como ferramentas para compreensão dos objetos matemáticos e para

o desenvolvimento de conceitos matemáticos fundamentais, enfatizando a unidade

temática: Conceitos Matemáticos Fundamentais e o eixo temático: A Dialética

Ferramenta-objeto da Matemática, nos quais a Geometria Euclidiana está inserida.

Esse livro está organizado em quatro capítulos. No primeiro há, inicialmente, uma

abordagem mais intuitiva no sentido de despertar-lhe o gosto pela Geometria, por

isso é feita uma abordagem histórica e posteriormente, a construção e o estudo

inicial dos sólidos geométricos. Algumas noções primitivas são introduzidas,

trazendo atividades com a resolução completa no referencial de respostas. No

segundo capítulo, há uma ênfase maior nas construções geométricas. O capítulo

três enfatiza a abordagem metodológica e o capítulo quatro a abordagem

axiomática.

No final do estudo desse livro, espera-se que o seu olhar de futuro educador tenha

ampliado e que você continue estudando, pesquisando e buscando formas

diferenciadas de ensinar e aprender Geometria.

Bom estudo!

Capítulo 1 – Sólidos geométricos, noções primitivas e segmento de reta

1.1. Apresentação

Nesse capítulo, convido você para fazer parte de um grupo que estuda o ensino de

Geometria. É um desafio para você nesse início de curso, pois a Geometria ainda

continua sendo pouco ensinada na sala de aula. Portanto, vamos dar juntos os

primeiros passos nesse universo geométrico.

Inicialmente, faço a você um convite:

Vamos enveredar pelos caminhos da Geometria?

Procure responder estas questões, em seguida, registre suas

respostas em seu Trabalho de Construção de Aprendizagem –

TCA.

Dialogando sobre o ensino de Geometria

Em 1995, Lorenzato publicou um artigo intitulado “Por que não ensinar Geometria?”,

apontando para a ausência de seu ensino na sala de aula, e, ainda hoje,

percebemos esta ausência. Uma das razões explicitadas pelo autor é que os

professores não ensinam geometria porque não detêm o conhecimento necessário

para essa prática. Como poderão ensinar aquilo que não conhecem?

Para Dreyfus e Hadas (2000, p. 59), “A geometria euclidiana tem sido menos

ensinada nos últimos anos do que há vinte anos”. Eles apontam que a razão desse

declínio está nas dificuldades conceituais causadas pelas argumentações lógicas

que constituem a essência da geometria euclidiana, e que muitas dificuldades dos

alunos estão relacionadas com a maneira de organizarem o raciocínio e construírem

essas argumentações lógicas.

Nesse sentido, um dos desafios a ser enfrentado neste capítulo e nos demais, é

aprender geometria e é esse o convite que faço a você: vamos enveredar pelos

caminhos da Geometria? É um caminho cheio de belezas observáveis na natureza

e ora no raciocínio e argumentações lógicas para construir conceitos, demonstrar

algum teorema, fazer atividades, dentre outras.

Para você refletir!

Nos cursos presenciais, quando inicio a aula, questiono aos alunos:

Vocês viram Geometria na Educação Básica? Se viram, que

recordações vocês têm? Ou do que vocês se lembram?

Estas perguntas têm a intenção de verificar o que os alunos já

aprenderam, o que sabem, ou seja, fazer um diagnóstico. E você? Já

estudou Geometria? Do que você lembra?

Esse convite vem no sentido de que sem desenvolver o pensamento geométrico (a

percepção geométrica, raciocínio geométrico e a linguagem geométrica) e o

raciocínio visual dificilmente se conseguirá resolver situações cotidianas que forem

geometrizadas, e, também fazer uso da geometria como facilitadora da

compreensão e da resolução de problemas de outras áreas do conhecimento.

Partindo do princípio de que a geometria existe em praticamente toda parte, um

requisito essencial ao ser humano é conseguir enxergá-la, ou seja, fazer uma leitura

interpretativa do nosso dia a dia.

De acordo com Lorenzato (1995), pesquisas psicológicas apontam que a

aprendizagem geométrica auxilia no desenvolvimento da criança, sendo

indispensável para ela. O autor também assegura que a Geometria valoriza o

descobrir, o conjecturar e o experimentar; é um excelente apoio às outras disciplinas

e pode esclarecer situações abstratas.

Assim, para desenvolver esse pensamento geométrico ao longo do curso, você terá

o auxílio da Informática e de materiais pedagógicos, dentre outros; como

ferramentas para a compreensão dos objetos matemáticos e para o

desenvolvimento dos conceitos matemáticos fundamentais, reforçando o sentido de

nossa Unidade Temática: Conceitos Matemáticos Fundamentais e de nosso Eixo

Temático: A dialética ferramenta-objeto da Matemática, nos quais a Geometria

Euclidiana está inserida.

O que espero de VOCÊ!

Espero que no final deste capítulo, você seja capaz de:

identificar, classificar e nomear os sólidos geométricos;

reconhecer a hipótese e a tese de um teorema;

classificar os segmentos em colineares, consecutivos e adjacentes;

distinguir uma figura plana de uma figura espacial;

proceder à contagem dos elementos de um poliedro convexo;

traçar o ponto médio de um segmento;

utilizar corretamente a linguagem matemática.

Como foi organizado o capítulo

Inicialmente, faço uma abordagem histórica com o intuito de despertar em você o

gosto pela história e pelo ensino da Geometria. História, porque todos nós que

estamos nesse planeta temos uma história para contar e a Geometria não é

diferente. As pessoas não aparecem do “acaso”, há um processo de construção dos

fatos, e é assim que estou apresentando para você a evolução da Geometria, de

acordo com as ideias de Eves (1992). E sobre o ensino de Geometria, este deixou

de ser realizado por um bom tempo e até hoje alguns alunos passaram pela

Educação Básica e não lhes foi dada a oportunidade de aprender Geometria.

Em seguida, você encontrará os itens: Sólidos Geométricos, Noções de Proposições

Primitivas e Segmento de Reta. No primeiro tópico, apresento uma introdução mais

intuitiva dos Sólidos Geométricos e que terá continuidade nos próximos capítulos. A

ideia é partir de objetos que você consegue manipular (figuras espaciais), ou que

você tem contato no dia a dia, e deles chegar à geometria plana (figuras planas), ou

seja, fazer o caminho da geometria espacial à geometria plana.

1.2. Um pouco de história

Uma das primeiras noções matemáticas desenvolvidas pelo homem desde a Pré-

História foi a ideia de dimensão, advinda de formas, tamanhos, distâncias,

necessidade de delimitação de terras, construções de moradias, formas e objetos da

natureza. Ainda noções com configurações físicas ordenadas e outras

desordenadas. É o que Eves (1992) chama de Geometria Subconsciente, ou seja,

uma geometria em que os problemas geométricos são concretos e, aparentemente,

sem nenhuma ligação entre si; está relacionada com a “(...) capacidade humana de

reconhecer configurações físicas, comparar formas e tamanhos.” (EVES, 1992, p.1).

Parada para reflexão

Veja o filme: Guerra do Fogo de Jean Jacques Annaud. Abril vídeo da Amazônia

S/A. Depois correlacione com o aprendido e coloque as reflexões em seu Trabalho

de Construção de Aprendizagem – TCA.

Euclides (Séc. III a.C)

Posteriormente à Geometria Subconsciente, houve o desenvolvimento da

capacidade de abstrair certas características de casos particulares. Agora, os

problemas já são ordenados em grupos de acordo com as formas de sua solução.

Aparece então, a noção de lei ou regra geométrica, tais como: indução, ensaio e

erro, observação e experimentação que conduzem à era da Geometria Científica.

Para Eves (1992), a transformação da geometria do subconsciente em geometria

científica ocorreu no Egito Antigo – no Vale do Nilo, e, em outras civilizações antigas

com a prática da agrimensura. Por volta do ano 3000 a.C., a geometria babilônica já

conhecia cálculos de áreas e volumes de figuras simples. Nos papiros Hind (cerca

de 1650 a.C.) e de Moscou (cerca de 1850 a.C.), ficou registrada a geometria

egípcia que possuía fórmulas para cálculos de áreas e volumes.

As primeiras sistematizações da teoria da geometria devem-se, segundo fontes

secundárias, aos gregos, assim como a ênfase no raciocínio dedutivo, o que

transformou a geometria em geometria demonstrativa. Tales de Mileto (Séc. VI a.C.)

foi quem iniciou esse trabalho e trouxe os resultados egípcios para a Grécia; tendo

continuidade com Pitágoras (Séc. V a.C.) que estendeu o raciocínio dedutivo à

álgebra. Com os Pitagóricos, têm-se a compilação das proposições geométricas em

teorias a partir de afirmações iniciais denominadas de axiomas. Também se atribui a

eles o estudo das grandezas comensuráveis e incomensuráveis.

Mas foi Euclides (Séc. III a.C.), na cidade de Alexandria, quem obteve o sucesso de

sistematizar a geometria, em sua obra: “Os Elementos”, que é o melhor exemplo de

geometria axiomática da época. Euclides foi um dos sábios que participaram do polo

cultural, que se constituiu em torno da Biblioteca de Alexandria, reunindo vários

sábios da época. Outros matemáticos também contribuíram para o desenvolvimento

teórico da geometria, tais como: Ptolomeu de Alexandria (Séc. II aC.); Apolônio de

Perga (Séc. II aC.); Arquimedes de Siracusa (Séc. III aC.) e Papus de Alexandria

(Séc. III aC.).

Para saber mais....

Acredita-se que a Biblioteca de Alexandria foi incendiada acidentalmente. Para

saber mais, acesse alguns sites:

http://www.historiadomundo.com.br/curiosidades/a-biblioteca.htm;

http://www.historiadomundo.com.br/curiosidades/a-biblioteca.htm

http://educaterra.terra.com.br/voltaire/antiga/2002/10/31/002.htm; dentre outros.

No site: www.dominiopublico.gov.br/download/texto/be00001a.pdf, você encontra o

primeiro livro de Euclides: “Primeiro Livro de Elementos de Geometria de Euclides”.

Consulte-o.

Esse movimento do desenvolvimento teórico da geometria teve uma queda na Idade

Média, pois os matemáticos europeus não deram tanta ênfase ao desenvolvimento

da geometria. Os hindus tinham como aspectos fortes, a álgebra e a aritmética; já os

árabes adquiriram o saber hindu e o grego, e traduziram várias obras para o latim,

disseminando esse saber. Eles desenvolveram uma teoria que tem um valor prático

para a navegação: a trigonometria esférica.

No século XV, início do Renascimento, houve o ressurgimento, na Europa, dos

antigos clássicos: os gregos e os romanos. Foi a partir do Renascimento e por toda

a Idade Moderna que a geometria ressurge com lugar de destaque nos estudos dos

matemáticos. E foram os matemáticos europeus que buscaram aplicar os

conhecimentos dos legados gregos e árabes, transformando em muitos casos a

natureza da geometria. Assim, surgem novas geometrias: Geometria Analítica;

Geometria Projetiva; Geometria Descritiva; Topologia; Geometrias não euclidianas,

como a geometria diferencial; hiperbólica e elíptica. Dentre os matemáticos que

contribuíram para o desenvolvimento dessas teorias destacam-se: Descartes (1596-

1650); Pascal (1623-1662); Fermat (1601-1665); Desargues (1593-1661); Monge

(1746-1818); Poncelet (1788-1867); Euler (1707-1783); Gauss (1777-1855);

Lobachevsky (1793-1856) e Riemann (1826-1866), dentre outros.

Parada Obrigatória

Pesquise na internet ou em livros sobre: a Matemática na época do Renascimento.

Em seguida, verifique: 1) No campo da Arte, alguns artistas que se destacaram, tais

como: Leonardo da Vinci, Sandro Botticelli, Michelângelo e Filippo Brunelleschi; 2)

No campo da Medicina, Andreas Vesalius que foi considerado “o pai da anatomia

moderna”. Vesalius, enriqueceu seus desenhos com detalhes, mantendo as

proporções entre o desenho e a realidade, mostrando grande habilidade

matemática.

http://educaterra.terra.com.br/voltaire/antiga/2002/10/31/002.htm

http://www.dominiopublico.gov.br/download/texto/be00001a.pdf

Visite alguns sites:

http://www.historiadaarte.com.br/renascimento.html;

http://www.scribd.com/doc/2972265/Historia-da-Matematica-Renascimento, dentre

outros. Depois teça um comentário sobre sua pesquisa no seu Trabalho de

Construção de Aprendizagem - TCA.

A teoria de Euclides, que por dois milênios foi aceita como a única capaz de

descrever em termos geométricos o espaço físico, teve grandes problemas com o

desenvolvimento do postulado das paralelas, o V Postulado: “Se uma reta intercepta

duas outras retas de modo que os ângulos internos formados num mesmo lado

sejam menores que dois retos, as duas retas prolongadas ao infinito se encontrarão

na parte em que os ângulos são menores que dois retos.” (EVES, 1992, p.20).

Vários matemáticos tentaram provar esse postulado das paralelas; e nesta busca

foram descobertas as geometrias não-euclidianas, século XVIII.

Diante de tantas geometrias, ficou difícil definir o que viria a ser

geometria.

Antes do surgimento da Geometria Analítica (1637),

poderíamos dizer que seria o estudo de formas do espaço e de

suas medidas, mas agora temos que mudar essa concepção.

Foi em 1872, com Félix Klein e o “Erlanger Programm” que a

definição de geometria foi alterada: “...a geometria passou a

ser considerada como o estudo das propriedades das

configurações de pontos que permanecem inalteradas quando

o espaço circundante é sujeito a estas transformações.”

(EVES, 1992, p. 27).

Assim, em vez de ter o conceito principal de geometria como forma e medida tem-se

como grupos de transformação num espaço.

Para saber mais....

Pesquise sobre o Erlanger Programm na internet ou em livros. Nesse programa,

Felix Klein examina a evolução do conceito de Geometria e propõe unificar as

diferentes teorias geométricas recorrendo ao conceito de grupo de simetrias.

http://www.historiadaarte.com.br/renascimento.html

http://www.scribd.com/doc/2972265/Historia-da-Matematica-Renascimento

Consulte, por exemplo os sites:

http://pt.wikipedia.og/wiki/Programa_de_Erlangen

http://wapedia.mobi/pt/Felix_Klein; dentre outros.

No final do século XIX e início do século XX, com o desenvolvimento de novas

teorias, como a Teoria dos Conjuntos e suas aplicações em outras teorias da

matemática, houve grandes mudanças nas áreas da Matemática, e apareceram

problemas nos axiomas, teoremas e demonstrações, deduções lógicas,

sistematizações e organizações das teorias. Para resolver esse problema, os

matemáticos mais influentes da época optaram pela Formalização. Assim, surge a

axiomática formal nas teorias matemáticas e em especial na geometria. Em 1906,

com Maurice Fréchet, o estudo da geometria passou a ser feito com a teoria de

conjuntos; houve uma generalização e uma abstração maior, questionando-se o

conceito de espaço: “Um espaço tornou-se meramente um conjunto de objetos, por

conveniência chamado de pontos, ...” (EVES, 1992, p. 25).

Foi com Hilbert, em 1899, na obra “Fundamentos de Geometria”

(DAVID, H. Fundamentos da Geometria. 7. ed. Trad.: Leo Unger.

Lisboa: Gradiva, 2003), que se encontra a primeira axiomatização

formal da geometria, que é a sistematização mais recente para a

geometria euclidiana. Não se pode esquecer que a sistematização

oferecida por Euclides em “Os Elementos” foi a primeira

sistematização bem sucedida, por isso denomina-se “Geometria

Euclidiana”.

Com os avanços da tecnologia, houve o desenvolvimento da Geometria Fractal, que

necessita do computador para subsistir, e que nasceu na informática e dos

problemas tecnológicos onde se aplica o computador.

Essa geometria foi criada na década de 70 e quebra os conceitos antigos da

geometria euclidiana e das não euclidianas, o que nos mostra que muitas pesquisas

ainda serão feitas.

Atualmente a Geometria não é vista como um corpo separado da Matemática, mas

como um dos “tópicos”, um “ramo” da matemática, pois podemos utilizar a linguagem

geométrica, o raciocínio geométrico, a percepção geométrica para resolver um

problema de álgebra, análise, cálculo, dentre outros. Ou seja, a Geometria nos

http://pt.wikipedia.og/wiki/Programa_de_Erlangen

http://wapedia.mobi/pt/Felix_Klein

oferece amplos “caminhos” para aplicações dentro de outros campos da matemática

em si.

Concluindo.....

Percebe-se pelo texto que as teorias não nascem prontas e nem sempre seguem a

mesma direção. Elas são frutos do estudo de várias pessoas ao longo dos tempos.

Depois saber um pouco da História da Geometria você irá estudar os sólidos

geométricos. Fique atento e faça cada atividade proposta antes de prosseguir.

1.3. Sólidos geométricos

Inicialmente farei uma abordagem mais intuitiva sem a preocupação com as

definições mais rigorosas. Lembre-se a intenção é a de ir construindo os conceitos

juntamente com você.

1.3.1. Diferenciando figura plana de figura espacial

Nesse momento você irá identificar os sólidos geométricos por meio de sua

planificação e distinguir uma figura plana de uma figura espacial.

Os sólidos geométricos são figuras tridimensionais, ou seja, que possuem três

dimensões: comprimento, largura e altura, como por exemplo:

Para diferenciar as figuras espaciais (sólidos) das figuras planas (retângulo,

triângulo, dentre outras), utiliza-se a ideia de dimensão. Os objetos que você

consegue “manipular”, “pegar” (figuras espaciais), possuem as três dimensões

citadas anteriormente, ou seja, são tridimensionais. Já as figuras planas possuem,

Observação: quando

vamos desenhar um

sólido “montado”,

indicamos a parte que

não estamos vendo por

linhas pontilhadas. A B

C D E

F

G

Figura 5 – Pirâmide ABCDEFG.

Figura 6 –

Paralelepípedo

ABCDEFGH.

comprimento

largura

altura

no máximo, duas dimensões e, portanto, você não consegue manipulá-las, apenas

imagina. Por exemplo:

Uma folha de caderno é uma figura plana ou espacial?

Procure responder antes de continuar e, em seguida, acompanhe a explicação.

Considerando que a folha de caderno tem comprimento, largura e altura (é uma

espessura bem pequena, mas não pode ser desprezada), ela é uma figura espacial;

além disso, você também consegue manipulá-la. Dizemos que a folha tem a forma

retangular, mas não é um retângulo.

Por exemplo: um prédio é uma figura plana ou espacial?

Você não consegue manipular um prédio, mas ele tem as três dimensões

(comprimento, largura e altura), portanto é uma figura espacial, assim como o sol, a

lua, dentre outros.

Mas, como construir essas figuras espaciais?

É possível fazer o molde de muitos sólidos geométricos, ou seja, planificá-los e

depois fazer a sua montagem. Nesses moldes, você vê figuras que tem a forma de

triângulos, quadrados, retângulos, círculos, dentre outras, ou seja, tem a forma das

figuras planas.

Observe os sólidos, a seguir, e tente associar o molde à figura, enumerando a

segunda coluna de acordo com a primeira.

Observação: as dimensões no molde não são as mesmas no sólido montado, por

motivos de espaço.

Confira se você acertou no referencial de respostas.

Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dúvida vá ao item

construindo os sólidos, logo a seguir e realize o proposto.

O auxílio da Informática: montando e desmontando sólidos geométricos

Veja o link de acesso ao software Poly, que possibilita a exploração e construção de

sólidos geométricos. Há, neste software, uma grande coleção de sólidos que

permitirá ampliar a sua visão geométrica. O software permite a investigação de

sólidos com possibilidade de movimento, tanto da planificação quanto da figura

montada.

Em seguida, coloque um relato da experiência dessa atividade em seu Trabalho de

Construção de Aprendizagem – TCA.

Acesse o software pelo site:

www.edumatec.mat.ufrgs.br/softwares/soft_geometria.php

Parada Obrigatória

Observe, no seu cotidiano, figuras que se pareçam com os sólidos que você viu

tanto nesse material quanto no software Poly e coloque um relato no seu Trabalho

de Construção de Aprendizagem – TCA.

O auxílio de materiais pedagógicos: construindo os sólidos geométricos

Observe as seguintes instruções:

- no Anexo 1, você encontrará o desenho das quatorze figuras montadas e a

planificação de treze figuras. Recorte cada uma das figuras fechadas, que estão

na primeira página, e cole em seu caderno na ordem da enumeração e uma

abaixo da outra (deixando espaço na frente da figura para escrever). Em

seguida, você encontra os moldes das figuras que você enumerou. Para montá-

las, cole o molde em papel cartão, dobre nos pontilhados e cole nas abas,

fechando a figura. Depois de montar cada uma das figuras, junte às mesmas

uma bolinha de isopor ou de gude e faça a identificação das figuras de acordo

com o item a seguir.

1.3.2. Identificando poliedros e corpos redondos

Separe os sólidos geométricos que você montou em dois grupos, de tal modo que os

elementos de cada conjunto tenham uma característica comum e que os elementos do outro

grupo não possuam esta característica. Anote a característica que você utilizou para separá-

los em dois grupos e, em seguida, escreva o(s) número(s) da(s) figura(s) de cada grupo, o

1º grupo e o 2º grupo.

Junte todas as figuras novamente, observe outra característica comum a elas e separe em

dois grupos. Anote a característica que você utilizou para separá-los em dois grupos e, em

seguida, anote o(s) número(s) da(s) figura(s) de cada grupo, o 1º grupo e o 2º grupo.

Parada obrigatória

Escreva as características que você enumerou e leia as respostas de seus colegas e

escreva-as em seu Trabalho de Construção de Aprendizagem – TCA.

Ainda com as figuras, se você utilizar a característica “figuras que rolam – que tem

superfície arredondada” como você separaria as figuras em dois grupos?

Anote o(s) número(s) da(s) figura(s) de cada grupo; no 1º grupo, as figuras que rolam, e no

2º grupo, as figuras que não rolam.


Acertou?

Concluindo...

As figuras cujas superfícies são redondas recebem o nome de corpos redondos. No seu

caderno, anote em cada uma das figuras que rolam a classificação que acabou de verificar:

corpo redondo.

Pesquisando...

Pesquise em livros de ensino fundamental e médio os nomes de cada um dos corpos

redondos apresentados no material, e faça essa anotação no seu caderno, na frente das

figuras que você colou.


Espero que você tenha acertado!

E os outros sólidos, como são denominados?

As figuras que possuem várias “faces” (com a forma de polígonos, tais como quadrado,

retângulo, hexágono, dentre outros) são chamadas de poliedros. Poli- é um prefixo grego

que significa várias, muitas e –edro é um sufixo que significa face.

No seu caderno, anote em cada uma das figuras a classificação que você acabou de

verificar: poliedro.

Sintetizando...

Você verificou que os sólidos geométricos se classificam em poliedros e corpos redondos.

Guarde os corpos redondos e acompanhe a classificação dos poliedros no item a seguir.

1.3.3. Classificando poliedros

Pegue uma folha e coloque sobre cada uma das faces dos poliedros e observe em quais

deles parte da figura ficou acima, e parte abaixo da folha, ou seja, a figura ficou em

semiespaços diferentes. Anote o número da(s) figura(s) que possui/possuem essa

característica.

As figuras que possuem essa característica recebem o nome de poliedros não convexos

ou poliedros côncavos.

Depois, anote o número dos poliedros nos quais a figura fica totalmente acima ou abaixo da

folha, ou seja, ficou no mesmo semiespaço. Anote o número da(s) figura(s) que

possui/possuem essa característica.

As figuras que possuem essa característica recebem o nome de poliedros convexos.


Acertou?

No seu caderno, anote em cada um dos poliedros a classificação que acabou de verificar:

poliedro convexo ou poliedro côncavo.

Mas, o que são poliedros convexos?

Pesquisando...

Pesquise em livros, ou na internet, e responda:

O que são poliedros convexos?


Fez a pesquisa? Acertou?

Sintetizando...

Assim, os poliedros se classificam em côncavos e convexos. Guarde o(s) poliedro(s)

côncavo(s) e acompanhe como se nomeia um poliedro convexo e como se procede

a contagem dos seus elementos no item a seguir.

1.3.4. Nomeando poliedros e contando os seus elementos

Você aprendeu que as figuras que possuem várias faces são denominadas de poliedros.

Você também deve ter percebido que essas faces que têm a forma de polígonos são as

figuras que limitam o poliedro.

No encontro das faces, temos as “quinas” (lado comum a duas faces) que são as arestas.

No encontro das arestas, temos os vértices.

E os “bicos” dos poliedros são os ângulos poliédricos.

Concluindo...

Faces, vértices, arestas e ângulos poliédricos são os elementos de um poliedro.

Mas, como dar nome aos poliedros?

Os poliedros convexos recebem nomes de acordo com seu número de faces. Usa-se um

prefixo acrescido, que indica a quantidade de faces mais o sufixo –edro.

Exemplo: Prefixo para 4 faces é tetra- mais o sufixo –edro, tem-se o tetraedro: poliedro que

possui 4 faces.

Nomes dos poliedros

4 faces = tetraedro 5 faces = pentaedro

6 faces = hexaedro 7 faces = heptaedro

8 faces = octaedro 9 faces = eneaedro

10 faces = decaedro 11 faces = undecaedro

12 faces = dodecaedro 15 faces = pentadecaedro

20 faces = icosaedro

Agora, você irá contar os elementos dos poliedros convexos, nomeá-los e preencher a

tabela a seguir. O Nº deve ser o correspondente ao número que está na folha que possui as

figuras pequenas, no seu caderno.

Nº Vértices

(V)

Faces

(F)

Arestas

(A) Nome do Poliedro

Você fez? Procure fazer antes de prosseguir.


Acertou?

Em seu caderno, coloque, na frente de cada poliedro convexo, a contagem de seus

elementos e o seu nome, de acordo com o número de faces, como foi feito na

tabela.

Será que, toda vez, você terá que contar todos os elementos?

Se for dado dois desses elementos, é possível determinar o outro, utilizando a relação de

Euler. Acompanhe o item, a seguir.

1.3.5. A relação de Euler

Há uma relação entre o número de vértices, faces e arestas de um poliedro convexo,

denominada relação de Euler. Atenção: nesse momento, não há a preocupação com

a demonstração dessa relação. Ela será feita em outro capítulo.

Considerando as letras: V – para indicar o nº de vértices, F – para indicar o nº de faces, e, A

– para indicar o nº de arestas; veja se é possível obter um desses elementos sem ter que

proceder à contagem de todos.

Como sugestão, utilize operações fundamentais entre os elementos, por exemplo: soma e

subtração.


Quem foi Euler?

Leonhard Euler, nascido na Basiléia, Suiça, era matemático e

físico de língua alemã. Viveu a maior parte de sua vida na Rússia

e na Alemanha. Como um dos mais famosos matemáticos da

história, teve algumas homenagens, sua imagem foi incluída à

nota de dez francos suíços (a atual tem a efígie de Le Corbusier)

e selos postais. Outra homenagem feita, foi em relação ao

asteróide 2002 Euler, que recebeu seu nome. Ele também é

homenageado pela Igreja Luterana em seu calendário de santos

em 24 de maio - ele era um devoto cristão.

Para saber mais...

http://pt.wikipedia.org/wiki/Franco_su%C3%AD%C3%A7o

Para saber mais sobre Leonhard Euler, pesquise em livros de história da

matemática, na internet, dentre outros.

Concluindo....

Para todo poliedro convexo, ou para sua superfície, vale a relação

V – A + F = 2

em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces

do poliedro.

Parada Obrigatória

Responda as atividades 1 e 2 que estão no final deste capítulo. Nessas atividades,

você irá trabalhar com os sólidos geométricos.


Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto, ou pesquise na

bibliografia básica, ou na complementar, ou na internet, dentre outros.

Exercitando

Caso você queira resolver mais atividades, consulte o livro da bibliografia básica 2,

capítulo VII. Há muitas atividades com as respostas no final do livro.

Até agora, a abordagem foi mais intuitiva, conforme proposto inicialmente. A

intenção era a de partir do concreto, dos objetos manipuláveis para produzir

questionamentos e construir alguns conceitos. Agora, você irá estudar as noções e

as proposições primitivas, que Euclides enunciou primeiramente sobre geometria.

Procurarei retornar aos sólidos geométricos sempre que possível, portanto esteja

com eles por perto.

1.4. Noções e proposições primitivas

Lembrando dos poliedros, você verificou que no encontro das arestas tem-se o

vértice, que nos dá a ideia de um ponto.

Mas, por que ideia de ponto e não ponto?

Observe o exemplo: Definição de triângulo: “Dados três pontos A, B e C não

colineares, à reunião dos segmentos AB , AC e BC chama-se triângulo.” (DOLCE;

POMPEO, 2005, p. 36). Para definir triângulo, recorremos à noção de noção de

pontos não colineares, que por sua vez recorre à noção de ponto. Verifica-se, nesse

exemplo, que há uma busca de conceitos anteriores para definir o que se pretende.

Pare e pense...

Se para estabelecer cada noção precisamos de uma noção anterior, como foram

estabelecidas as primeiras de todas as noções?

Após responder à questão, coteje sua resposta com o expresso, a seguir.

Assim, as primeiras de todas as noções não podem ser baseadas em definição anterior,

porque ainda não existia qualquer noção geométrica definida. Como não é possível definir

tudo, temos que começar por algumas noções que serão aceitas sem definição.

Em geometria, iniciaremos adotando sem definir as primeiras noções: as noções

primitivas, que você precisa saber:

Ponto

A ponto A

Notação: letras

maiúsculas latinas.

Reta

r reta r ou

reta AB

Notação: letras minúsculas latinas ou

Plano

A B

Lembrou de ter estudado essas noções em sua trajetória escolar?

Assim, fala-se em ideia de ponto, de reta, de plano, porque essas noções não são

tridimensionais, ou seja, não conseguimos “pegá-los”, apenas imaginamos esses entes;

respondendo, assim, à pergunta inicial: Por que ideia de ponto e não ponto?

Em relação aos pontos, eles se classificam em:

a) pontos coplanares (prefixo co = mesmo; sufixo –planar = plano), são pontos que

estão no mesmo plano;

b) pontos colineares (prefixo co- = mesmo; sufixo –linear = reta) são pontos que

pertencem a uma mesma reta.

E o que são proposições primitivas?

As proposições primitivas (afirmações, propriedades) ou postulados ou axiomas são

aceitos sem demonstração. A palavra axioma é de origem grega, cujo significado é

C

D

R

F

t

Os pontos C e D são colineares, pois

Os pontos C, D, R e F são coplanares, pois

Figura 9 – Plano 1.

Figura 12 – Plano 2.

R

S

T

C

D

R

F

t

Os pontos C e D estão na

reta t, ou

Os pontos R e F não estão

na reta t, ou

Figura 10 – Reta t 1.

Figura 11 – Reta t 2

C

D

t

“fidedigno”, “digno de confiança”. Atualmente, em matemática, o termo axioma é utilizado

como sinônimo de postulado.

Exemplos de alguns postulados:

1. Postulado da existência:

- Numa reta, bem como fora dela, há

infinitos pontos;

- Num plano, há infinitos pontos.

2. Postulado da determinação:

a) da reta

Dois pontos distintos determinam uma única (uma,

e uma só) reta que passa por eles.

b) do plano

Três pontos não colineares determinam um

único plano que passa por eles.

3. Postulado da inclusão

Se uma reta tem dois pontos distintos num plano,

então a reta está contida nesse mesmo plano.

Agora, é com você!

Por falar em postulado, gostaria que escrevesse, em seu caderno, um postulado que você

conhece.

Para saber mais...

C

D

t

Figura 13 – Reta t 3.

Pesquise, na bibliografia básica 1, capítulo 1, ou na bibliografia 2, capítulo 1, sobre ponto,

reta e plano e escreva quatro postulados sobre esse assunto em seu caderno.

Parada Obrigatória

Responda à atividade 3, que está no final deste capítulo. Nessa atividade, você irá

trabalhar as noções e proposições primitivas.


Caso ainda tenha alguma dúvida, retome à leitura do texto ou pesquise na

bibliografia básica, ou na complementar ou na internet, dentre outros.

Exercitando


capítulo I. Há muitas atividades com as respostas no final do livro. Dê uma olhada e

bom estudo!

Após os Postulados, você verá os teoremas; isso parece complicado, mas não o é desde

que você acompanhe, atentamente, as explicações que farei. Leia as leituras

recomendadas.

Veja!!! O que você entende por teorema? Prossiga na leitura.

Teoremas são proposições que podem ser demonstradas como verdadeiras, por meio de

deduções lógicas, baseadas em noções, proposições e relações primitivas, em noções

definidas e em proposições já aceitas como verdadeiras. Neles, podem ser identificadas

duas partes: a Hipótese e a Tese. Considerando, para fins didáticos, que p é a hipótese e q

é a tese, os teoremas, sempre que possível devem ser enunciados da seguinte forma:

“Se......p......então......q”

Tem-se

que:

- p é o que é dado; o que se tem; a

hipótese.

- q é o que é pedido; o que se quer; a tese.

Em

símbolos:

p q

ou

p q

Se....................... então............................

(HIPÓTESE) (TESE)

Lê-se:

se p então q

Exemplo:

a) Se duas retas são paralelas entre si e distintas, então elas determinam um único

plano que as contém.

Hipótese: duas retas são paralelas entre si e distintas.

Tese: elas determinam um único plano que as contém.

b) Dois planos distintos que têm um ponto em comum, têm também uma reta comum

que passa pelo ponto.

O teorema poderia ser escrito da seguinte forma:

Se dois planos distintos que têm um ponto em comum, então eles têm também uma

reta comum que passa pelo ponto.

Hipótese: dois planos distintos que têm um ponto em comum.

Tese: eles têm também uma reta comum que passa pelo ponto.

Sintetizando...

Pode-se afirmar que a hipótese “é o que é dado” e que a tese “é o que se deseja provar”.

Assim, um teorema precisa ser provado e esse tipo de prova chama-se demonstração.

Uma demonstração pode ser feita utilizando alguns métodos e você irá conhecer método

direto e o indireto. Acompanhe o próximo item.

Parada Obrigatória

Responda à atividade 4, que está no final deste capítulo. Nessa atividade você irá

trabalhar a hipótese e a tese de um teorema.


Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto ou pesquise na

bibliografia básica ou na complementar ou na internet, dentre outros.

Após o estudo das noções e proposições primitivas, dos postulados e dos teoremas, você

irá estudar como se faz uma demonstração. É um tema complexo, por isso acompanhe

atentamente as explicações que farei, a seguir.

Antes de continuar responda em seu caderno:

O que você entende por demonstração?

E depois prossiga na leitura.

1.5. Noções de demonstração

Uma demonstração é um caminho utilizado para se provar o que foi enunciado,

conforme apresentado para os teoremas. Na demonstração, são utilizados

definições, conceitos, axiomas, proposições (teoremas) já demonstrados. Assim,

uma demonstração é uma sequência de raciocínios fundamentada da qual se parte

da hipótese para se chegar à tese e pode ser feita utilizando alguns métodos.

Acompanhe a seguir a leitura do método direto e indireto.

1.5.1. Método direto

O que é fazer uma demonstração pelo método direto?

Nesse método, parte-se da hipótese p e chega-se a tese q por meio do raciocínio lógico

dedutivo, utilizando teoremas anteriores, postulados e definições. Portanto trata-se de uma

implicação p q.

Assim,

Veja um exemplo dessa viagem!

Exemplo:

Teorema 01: Dois ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.) são congruentes.

Passando para a forma: Se................então................, temos:

Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então eles são congruentes.

RÔS e TÔV são o.p.v. RÔS TÔV

Hipótese Tese

Demonstração:

Considerando TÔV de medida b e RÔS de medida a, opostos pelo vértice, e o ângulo SÔV

de medida c, tem-se:

a + c = 180º 1ª equação

b + c = 180º 2ª equação

Na primeira equação, tem-se que c = 180º - a. Substituindo-se o valor de c na segunda

equação:

b + 180º - a = 180º b – a = 180º - 180º a = b RÔS TÔV

“Demonstrar um TEOREMA é efetuar uma viagem desde a HIPÓTESE

até a TESE. A estrada em que se faz a viagem é a LÓGICA e o veículo

usado é movido por TEOREMAS anteriores e POSTULADOS.” (IEZZI, et

al, s/d, p. 16).

significa

congruente

c

b a O

S V

T R

Desenho

Figura 14 – Ângulos

opostos pelo vértice.

(q é F absurdo) q é V

Absurdo é a

negação de uma

verdade já aceita,

isto é:

- a negação da

hipótese,

- a negação de um

postulado,

- a negação de um

teorema anterior.

Para saber mais...

Pesquise, na bibliografia básica 1, capítulo IV, indicada no final do capítulo, outras

demonstrações realizadas pelos autores.

Concluindo…

Para fazer uma demonstração utilizando o método direto, supõe-se verdadeira a hipótese e,

a partir desta, prova-se ser verdadeira a tese.

E, como se faz uma demonstração pelo método indireto?

1.5.2. Método indireto

Este método é também conhecido como método da redução a um absurdo.

Segundo IEZZI (et al, s/d) ele “baseia-se no fato de que: de duas uma, ou a tese é

verdadeira (V), ou a tese é falsa (F); e consiste em provar que a segunda

possibilidade não acontece.

Seja o teorema p q. Supomos que a tese é falsa (negando a tese). Acredita-se

que é falsa mesmo, desenvolvemos um raciocínio lógico até chegarmos a um

absurdo.

É necessário citar ‘contra quem é praticado o absurdo’ e perceber que ele

provém da ‘negação da tese’.

Veja um exemplo:

Teorema 02: Se duas retas distintas interceptam uma terceira (transversal)

formando ângulos alternos congruentes, então essas retas são paralelas.” IEZZI (et

al, s/d, p. 17)

Desenho

Hipótese Tese

r e s - retas distintas s // r

t – reta transversal

Demonstração:

Se r não é paralela a s, r intercepta s, podendo ocorrer uma das situações:

Sabendo que um ângulo externo de um triângulo, no caso na

figura 16 e na figura 17, é maior que qualquer um dos ângulos

internos não adjacentes (Teorema do ângulo externo), tem-se:

I. Na figura 16, se o ângulo é externo do triângulo ABP e o ângulo é não

adjacente ao ângulo , podemos concluir que >

II. Na figura 17 ,se o ângulo é externo do triângulo ABP e o ângulo é não

adjacente ao ângulo , podemos concluir que <

Como na hipótese , essa demonstração é um absurdo, pois contraria a

hipótese. Logo, r // s.” (Adaptado de IEZZI, et al, s/d, p. 17-18).

Teorema do

ângulo Externo:

Um ângulo externo

de um triângulo é

maior que qualquer

um dos ângulos

internos não

adjacentes.

Figura 15 – Retas paralelas

cortadas por uma transversal.

A

B

t

s

r

P

B

A

r

s

t

P

B

A

r

s

t

Figura 17 – Retas

concorrentes duas a duas, r, s

e t 2.

Figura 16 – Retas concorrentes

duas a duas, r, s e t 1.

Pensando...

Até o momento você estudou algumas noções primitivas de ponto, reta e plano, que

são adotadas sem definição, e algumas proposições primitivas ou postulados ou

axiomas que são aceitos sem demonstração. Também estudou as proposições que

necessitam de demonstração – os teoremas – assim como os métodos, direto e

indireto, utilizados nas demonstrações.

Nos exemplos apresentados um dos entes geométricos primitivos mais presentes é

a reta. Certo? Pensando na reta, se você quiser trabalhar apenas com uma parte

dela, limitada entre dois pontos, você irá lidar com uma nova figura que deixou de

ser uma reta, concorda?

Então qual o nome da nova figura?

Antes de responder, pense na situação a seguir.

Pensando nos poliedros...

Considerando que as arestas do poliedro são limitadas por dois pontos, não se pode

chamá-las de reta. Que nome pode ser dado às arestas do poliedro?

Procure responder antes de dar continuidade ao estudo. Caso não consiga,

acompanhe, atentamente a leitura a seguir.

1.6. Segmento de reta e semi–reta

Nesse item, você irá estudar a definição e a classificação de um segmento de reta,

congruência de segmentos, como se transporta um segmento e também com

determinar o ponto médio de um segmento utilizando compasso e régua. Em

seguida, será apresentado a definição de semirreta. Então pegue o seu compasso e

a sua régua e acompanhe a leitura a seguir.

A) Segmento de reta

Segmentar é fracionar, então a idéia é a de fracionar a reta?

Acompanhe a definição:

“O conjunto constituído por dois pontos A e B e por todos os pontos que se

encontram entre A e B é chamado de segmento AB. Os pontos A e B são

denominados de extremos ou extremidades do segmento.” (BARBOSA, 1985, p.

3).

Observe a figura.

Indica-se: AB

Extremidades do segmento: os pontos A e B

Pontos internos do segmento: os pontos que estão entre

A e B.

Observe que para definir segmento de reta usou-se a noção de estar entre que é

uma noção primitiva e obedece aos seguintes

postulados:

Quaisquer que sejam os pontos R, S e T:

a) se S está entre R e T, então R, S e T são colineares;

b) se S está entre R e T, então R, S e T são distintos dois a dois;

c) se S está entre R e T, então R não está entre S e T nem T está entre R e S;

d) quaisquer que sejam os pontos R e T, se R é distinto de T, então existe um ponto

S que está entre R e T.

A B

Figura 18 –

Segmento de reta

AB.

Figura 19 – Reta v.

S R T v

Importante...

Os segmentos de reta se classificam de acordo com a sua disposição em uma ou

mais retas.

Para saber essa classificação, você irá utilizar as duas figuras a seguir e responder

três questões. Veja!

Observe as figuras 20 e 21.

Questão 01 - Na figura 20, quais os pares de segmentos que estão numa mesma

reta? E na figura 21?

Procure responder antes de dar continuidade ao estudo. Caso não

consiga, acompanhe, atentamente, as explicações.

Pense na condição dada: estar numa mesma reta.

Se o prefixo co- pode indicar mesma e o sufixo –linear, reta, então estes segmentos

que estão numa mesma reta são denominados de colineares.

Dois segmentos de reta são colineares se, e somente se, estão numa mesma

reta.

Assim, na figura 20, são segmentos colineares: ;;; CBeACDBeACCDeAC

Figura 20 – Reta r.

D

r

C A B

v

t

A

B

D

E

F

Figura 21 – Retas concorrentes t e

v.

;;; CBeABDBeADDBeCD dentre outros.

Na figura 21, são segmentos colineares: ;;; EBeABFDeBFEBeAE dentre

outros.

Questão 02 - Ainda nas figuras 20 e 21, quais são os pares de segmentos que

possuem a seguinte característica: a extremidade de um deles é também

extremidade do outro?

Procure responder antes de dar continuidade ao estudo. Caso não consiga,

acompanhe, atentamente, as explicações.

Na figura 20, os segmentos que satisfazem essa condição são:

;;; DBeADCBeACCDeAC ;; CBeABDBeCD dentre outros.


BFeABBDeABFDeBFEBeAE ;;; dentre outros.

Estes segmentos são chamados de segmentos consecutivos.

Observação: na figura 20, os segmentos ACeAB são consecutivos, pois a

extremidade de um deles é também extremidade do outro. Observe que eles não

têm apenas um ponto comum, mas vários pontos comuns, ou seja, pontos internos

comuns. Já os segmentos CDeAC também da figura 20 possuem apenas um

ponto em comum.

Assim,

dois segmentos de reta são consecutivos se, e somente se, uma extremidade de um

deles é também extremidade do outro (uma extremidade de um coincide com uma

extremidade do outro).

Questão 03 - Utilizando como referência as figuras 20 e 21, quais os pares de

segmentos que possuem a seguinte característica: possuem em comum apenas

uma extremidade, ou seja, não possuem pontos internos comuns, e, estão numa

mesma reta?

Procure responder antes de dar continuidade ao estudo. Caso não

consiga, acompanhe, atentamente, as explicações.


;;; DBeADCBeACCDeAC .DBeCD


.; FDeBFEBeAE

Estes segmentos são chamados de segmentos consecutivos.

Observação: os segmentos adjacentes são colineares e consecutivos (com apenas

um ponto interno comum) ao mesmo tempo.

Assim,

dois segmentos consecutivos e colineares são adjacentes se, e somente se,

possuem em comum apenas uma extremidade (não têm pontos internos

comuns).

Sintetizando...

Os segmentos de reta classificam-se em:

Colineares Aqueles que estão contidos numa mesma reta.

Consecutivos Aqueles que possuem um ponto em comum.

Adjacentes Aqueles que são colineares e consecutivos (com

apenas um ponto interno comum) ao mesmo tempo.

Para saber mais...

Pesquise, na bibliografia básica 1, capítulo 1, ou na bibliografia 2 capítulo 1, sobre ponto,

reta e plano e escreva quatro postulados sobre esse assunto em seu caderno.

Parada Obrigatória

Responda a atividade 5 que está no final deste capítulo. Nessa atividade, você irá

trabalhar com a classificação de segmentos.


Caso ainda tenha alguma dúvida retome a leitura do texto ou pesquise na


Exercitando

Caso você queira resolver mais atividades consulte o livro da bibliografia básica 1,

capítulo II. Há muitas atividades com as respostas no final do livro.

Há de se considerar ainda que os segmentos que possuem a mesma medida também

recebem uma denominação específica: segmentos congruentes. Acompanhe a definição a

seguir.

Congruência de segmentos

Definição: Dois segmentos AB e CD são congruentes, se eles têm a mesma

medida.

Utiliza-se o símbolo para indicar ‘congruente’.

Dessa forma, CDAB deve ser lido: o segmento AB é congruente ao segmento CD.

Desenho

Atenção!

Marcas iguais ( / ) indicam que os segmentos têm a mesma medida, ou seja, são

congruentes.

Exemplo: Sabendo-se que o segmento AB = 2x – 3, AC = 4x – 9 e que CDAB ,

determine o valor de x e de cada segmento.

Resolução:

Como CDAB , substituindo a medida de cada segmento tem-se:

2x – 3 = 4x – 9 2x – 4x = -9 + 3 - 2x = - 6 x = - 6/ -2 x = 3

Como AB = 2x – 3 AB = 2.3 – 3 AB = 6 – 3 AB = 3

Como CD = 4x – 9 CD = 4.3 – 9 CD = 12 – 9 CD = 3

O valor de x é 3; o valor de AB = 3 e o valor de CD é 3.

Agora é com você...

Parada Obrigatória

Responda a atividade 6 que está no final deste capítulo. Nessa atividade você irá

trabalhar com segmentos congruentes.

C D A B

Figura 22 – Segmento de reta AD .




Exercitando


capítulo 2. Há muitas atividades com as respostas no final do livro.

Você verificou que a partir dos conceitos estudados é possível resolver problemas

envolvendo a Álgebra no ensino de Geometria. Veja! Esses assuntos não estão

separados. A Álgebra é de fundamental importância para a Geometria assim como

para outros “ramos” da Matemática. Outro conceito que pode ser inserido nas

resoluções de problemas é o de ponto médio de um segmento de reta. Também é

possível utilizar o compasso e a régua para construí-lo. Acompanhe!

O auxílio de materiais pedagógicos: usando o compasso e a régua para

determinar o ponto médio de um segmento

Peque o seu compasso e sua régua para determinar o ponto médio de um

segmento.

Acompanhe, inicialmente, a definição de ponto médio de um segmento e em

seguida, a sua construção.

Definição: “Chamamos de ponto médio do segmento

AB a um ponto C deste segmento tal que CBAC .”

(BARBOSA, 1985, p. 16). Figura 23 – Segmento

AB .

C A B

Construção do ponto médio de um segmento

Primeiramente você irá conhecer as partes que compõem um compasso e depois

como utilizá-lo.

Para utilizar o compasso, observe as seguintes instruções:

a ponta da grafite deve ser chanfrada voltada para fora e pode ser apontada com

lixa. Ver Figura 25;

o nível da ponta da grafite deve ser igual ao nível da ponta-seca (de metal). Ver

Figura 25;

as hastes devem estar firmes e para isso ajuste os parafusos;

para medir uma abertura qualquer do compasso na régua, apoie a régua na

mesa, coloque a ponta-seca do compasso no zero da graduação e afaste a outra

haste. Ver Figura 26;

para traçar segure o pino superior apenas com o polegar e o indicador. Ver Figura

27;

mantenha o compasso na posição vertical e gire sempre no mesmo sentido

(preferencialmente o sentido horário). Ver Figura 27;

faça um traçado suave para um resultado mais uniforme. Ver Figura 27;

Figura 24 – Compasso 1.

Fonte: Acervo EAD - UNIUBE

Traçado do ponto médio:

com a ponta seca do compasso em A, abertura maior que a metade do segmento

AB, podendo ser do comprimento de AB, trace uma circunferência;

em seguida, com a mesma abertura, e ponta seca do compasso em B, trace outra

circunferência;

estas circunferências devem se cortar em dois pontos C e D (Figura 28); não há a

necessidade de fazer as duas circunferências, basta traçar dois arcos; (Figura

29);

posicione a régua como se fosse traçar o segmento CD. A interseção do

segmento CD com o segmento AB nos dá o ponto médio M.


Figura 28 – Ponto

médio M do segmento

AB 1.

A B M

D

C

A B M

D

C

Figura 29 – Ponto

médio M do segmento

AB 2.

Figura 25 – Compasso

2.

Fonte: Acervo EAD -

UNIUBE


3.

Fonte: Acervo EAD -

UNIUBE


4.

Fonte: Acervo EAD -

UNIUBE

Construa um segmento AB = 7,5 cm e trace com o compasso o ponto médio desse

segmento.

Conseguiu construir o ponto médio? Se não, retome o processo e faça novamente.

Parada Obrigatória


trabalhar com o ponto médio de um segmento de reta.




Exercitando


capítulo 2. Há muitas atividades com as respostas no final do livro. Dê uma olhada e

bom estudo!

Ainda com o compasso e a régua, você irá transportar segmentos de reta utilizando-

os.

Mas não é só medir com a régua e marcar a medida onde se deseja?

Não é bem assim! E aqueles segmentos que não são possíveis de serem medidos

com a régua? Por exemplo, um segmento AB = 6,27 cm.

Para isso utilizamos o compasso. Acompanhe!

O auxílio de materiais pedagógicos: usando o compasso e a régua para

determinar transportar um segmento

Inicialmente, você irá estudar o Postulado do transporte de segmentos e em

seguida, como se transporta um segmento de reta. Para isso, você precisa saber o

que é uma semirreta. Acompanhe.

Analisando o significado do prefixo latino semi-, percebe-se que ele indica metade.

Assim, semirreta é a metade da reta?

A ideia é essa! Acompanhe a definição:

Semirreta: Se C e D são pontos distintos, o conjunto constituído pelos pontos do

segmento CD e por todos os pontos X tais que D encontra-se entre A e X, é

chamado de semirreta de origem C contendo o ponto D e é representado por . O

ponto C é denominado de origem da semirreta . (Adaptado de BARBOSA, 1985,

p. 4).

Representação:

Qual a relação com o transporte de segmentos?

Acompanhe, atentamente, o Postulado do transporte de segmentos para verificar a

resposta.

Postulado do transporte de segmentos: Dados um segmento RS e uma

semirreta de origem R’, existe sobre esta semirreta um único ponto S’ tal que

' 'R S seja congruente a RS .

O ponto C é a origem da semirreta

.

Figura 30 – Semirreta CD.

C D X

Figura 31 – Segmento de

reta RS 1.

R’ S’

R S

Figura 32 – Semirreta RS 2.

Exemplo: Com o compasso e a régua você irá transportar o segmento AB para a

semirreta XY . Para isso, siga as seguintes instruções:

- marque um ponto na semirreta XY e denomine-o de A’;

- ponta seca do compasso no ponto A e abertura até o ponto B;

- ponta seca do compasso em A’, marque o ponto B’ de acordo com a abertura

determinada.

Compreendeu?

Viu a necessidade de se entender inicialmente o que vem a ser semirreta?

Parada Obrigatória


trabalhar com o ponto médio de um segmento de reta.


Figura 33 – Segmento

de

reta AB .

X Y A B

Figura 34 – Semi-reta XY 1.


de

reta AB .

A B

A’ B’ X Y

Figura 36 – Semirreta XY 2.



1.7. Resumindo

Espero que a leitura inicial desse capítulo tenha despertado em você o gosto pela

Geometria, que você tenha compreendido um pouco da história da Geometria e que

busque outras fontes de pesquisa para aprofundar seus conhecimentos. Importante

ressaltar que a Geometria enquanto “ramo” da Matemática não está “pronta” e que

existem muitas pesquisas a serem desenvolvidas.

Tomando como referência o convite que fiz a você: Vamos enveredar pelos

caminhos da Geometria?, tenho a convicção de que o seu olhar modificou, que ao

observar a natureza, o seu cotidiano, você já consegue ver a beleza da Geometria,

habilidade essencial ao futuro educador. Um olhar mais refinado, preciso, sobre o

mundo que o cerca. Com certeza esses Conceitos matemáticos fundamentais que

lhes foram apresentados contribuíram para enriquecer o seu conhecimento.

Ao construir os sólidos geométricos, montando, desmontando, olhando para a figura

aberta e imaginando-a fechada e vice-versa, você deve ter melhorado o raciocínio

visual, a percepção geométrica, dentre outros. A atividade dos sólidos também

contribuiu para que você diferenciasse uma figura espacial, com três dimensões –

tridimensional, de uma figura plana, bidimensional.

Com os sólidos montados, foi possível classificá-los em corpos redondos (“figuras

que rolam”) e poliedros (figuras que possuem várias faces). Por sua vez, os

poliedros foram classificados em côncavos e convexos e também foi feita a

enumeração de seus elementos: faces, vértices, arestas e ângulos poliédricos.

Também foi possível nomear os poliedros de acordo com o número de faces: usa-se

um prefixo acrescido do sufixo –edro. Importante destacar que dados dois elementos

do poliedro é possível determinar o outro utilizando a relação de Euler (V + F – A =

2).

Você reviu os entes geométricos primitivos: o ponto, a reta e o plano, que são

aceitos sem definição. Os postulados ou axiomas que são aceitos sem

demonstração e os teoremas que são proposições que precisam ser demonstradas.

Para demonstrar um teorema, inicialmente determina-se a hipótese (o que é dado) e

a tese (o que se quer demonstrar). Existem vários métodos para se fazer uma

demonstração e você viu o método direto, que utiliza o raciocínio lógico dedutivo, a

partir de teoremas, postulados e axiomas anteriores; e, o método indireto ou método

da redução ao absurdo, que consiste em supor que a tese é falsa e a partir disso

desenvolve-se um raciocínio lógico até chegar ao absurdo.

Ampliando os seus estudos você verificou que segmentos de reta se classificam em

colineares (que estão em uma mesma reta), consecutivos (são aqueles cuja

extremidade de um deles é também extremidade do outro) e, adjacentes (são

segmentos consecutivos e colineares com apenas uma extremidade comum). A

partir da congruência de segmentos, também foi possível resolver problemas que

envolvem diversos conceitos estudados assim como o conceito de ponto médio de

um segmento (ponto que divide o segmento em duas partes congruentes). Com o

auxílio do compasso e da régua você construiu o ponto médio de um segmento,

seguindo as instruções do processo de construção, assim como o conceito e a

representação de semirreta usando a ideia de metade, indicada no prefixo semi-.

Espero que o seu olhar de futuro educador tenha ampliado e que você continue

pesquisando, estudando e buscando formas diferenciadas de ensinar e aprender

Geometria.

Bom estudo!

1.8 REFERÊNCIAS

BARBOSA, J. L. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira

de Matemática, 1995.

DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar: geometria

plana. São Paulo: Atual, 2005. v. 9.

DOLCE, Osvaldo ; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática

Elementar: geometria plana. 7 ed. São Paulo: Atual, 1993. v. 10.

DREYFUS, T.; HADAS, N. Euclides deve permanecer – e até ser ensinado. In:

LINDQUIST, M. M.; SHULTE, A. P. (Orgs.) Aprendendo e ensinando geometria.

Trad. Hygino H. Domingues. São Paulo: Atual, 1984.

EVES, H. História da Geometria. Tradução: Hygino A. Domingues. São Paulo:

Atual, 1992.

IEZZI, G. et al. Geometria de posição. São Paulo: Moderna, s/d.

LORENZATO, S. Por que não ensinar Geometria? In: Educação Matemática em

Revista. São Paulo: SBEM, n. 4, 1995.

REZENDE, Eliane Quelho Frota; QUEIROZ, Maria Lúcia Bontorim de. Geometria

Euclidiana Plana e Construções Geométricas. Campinas-SP: Editora da

Unicamp, 2000.

1.9 Referencial de resposta das atividades ao longo do texto

1.3.1. Diferenciando figura plana de figura espacial

A associação correta do molde à figura corresponde à seguinte sequência:

4, 1, 14, 13, 8, 10, 2, 5, 6, 7, 3, 9, 11, 12.

1.3.2. Identificando poliedros e corpos redondos

1º grupo: figuras que rolam: 4, 10 e 12.

2º grupo: figuras que não rolam: as demais figuras 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14.

Concluindo...

As figuras 4, 10 e 12 são corpos redondos

Pesquisando

4 – Cone

10 – Cilindro.

12 – Esfera.

As figuras 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 14 são poliedros.

1.3.3. Classificando poliedros

Poliedro côncavo: 14.

Poliedros convexos: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13.

Na frente da palavra poliedro, nas figuras 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 13, acrescente a

palavra convexo; e, na figura 14 acrescente a palavra não-convexo ou côncavo.

Pesquisando...

Poliedros Convexos: “Consideremos um número finito n (n 4) de polígonos

planos convexos (ou regiões poligonais convexas) tais que:

a) dois polígonos não estão num mesmo plano;

b) cada lado de um polígono é comum a dois e somente dois polígonos;

c) o plano de cada polígono deixa os demais polígonos num mesmo semi-espaço.”

(DOLCE & POMPEO, 1993, p. 124, v. 10).

1.3.4. Nomeando poliedros e contando os seus elementos

Nº Vértices (V) Faces (F) Arestas (A) Nome do Poliedro

1 6 5 9 pentaedro

2 8 6 12 hexaedro

3 4 4 6 tetraedro

5 8 6 12 hexaedro

6 8 6 12 hexaedro

7 12 20 30 icosaedro

8 20 12 30 dodecaedro

9 6 8 12 octaedro

11 12 8 18 octaedro

13 5 5 8 pentaedro

1.3.5. A relação de Euler

O número de vértices mais o número de faces menos dois é igual ao número de

arestas.

V + F – 2 = A ou A = V + F – 2 ou V + F = A + 2, dentre outras.

1.10. Atividades

Atividade 1

Observe as figuras e responda os itens abaixo:

a) Quais figuras são planas?

VI

IV

III

I

V

II

b) Quais as figuras espaciais?

c) Classifique as figuras espaciais em poliedros e corpos redondos.

d) Dê nome aos corpos redondos.

e) Nomeie cada poliedro de acordo com o número de faces e faça a contagem de

cada um de seus elementos.

Atividade 2

Resolva os problemas a seguir.

a) Sabendo que um poliedro convexo possui seis faces triangulares e cinco faces

quadrangulares, determine o número de faces, arestas e vértices desse poliedro.

b) Um poliedro convexo com dez vértices possui cinco ângulos tetraédricos e quatro

ângulos pentaédricos. Quantas arestas e quantas faces tem o poliedro?

Atividade 3

Coloque V para verdadeiro e F para falso.

a) (___) Por um ponto, passam infinitas retas.

b) (___) Dois pontos distintos determinam duas retas.

c) (___) Por três pontos, pode passar uma reta.

d) (___) Três pontos distintos são sempre colineares.

e) (___) Por quatro pontos distintos, pode passar duas retas.

f) (___) Se os pontos P e Q são distintos, então existe uma reta s tal que

P s e Q s .

g) (___) Se P = Q, então existe uma reta s tal que ,P Q s

Atividade 4

Identifique a hipótese e a tese dos teoremas a seguir:

a) Se um triângulo é isósceles, então os ângulos da base são congruentes.

b) Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo

compreendido entres esses lados, então eles são congruentes.

Atividade 5

Numa reta t, marque os pontos A, B, C e D, nessa ordem. E sob uma reta u, marque os

pontos C, R e S, nessa ordem, de maneira que t u = {C}. Nessas condições, coloque,

nas sentenças a seguir, V para verdadeiro e F para falso.

a) (___) Os segmentos AB e CD são consecutivos.

b) (___) Os segmentos CD e CR são colineares.

c) (___) Os segmentos AB e BD são adjacentes.

d) (___) Os segmentos AC e CS são consecutivos.

e) (___) Os segmentos BC e CD são adjacentes.

Atividade 6

Resolva os problemas abaixo:

a) Seja RS e ST segmentos colineares consecutivos, RS o sêxtuplo de ST e RT =

35 cm. Nessas condições, ache o valor de RS e ST

b) Os pontos A, B, C e D são colineares, estão dispostos nessa ordem e possuem

as seguintes medidas: AD = 30 cm; AB = a – 2; CD = a + 2 e AC = 3a. Nessas

condições, ache o valor de ,BC AB e CD .

Atividade 7

Resolva os problemas abaixo:

a) Se os pontos R, S e T são colineares e RS = 8 cm e ST = 5 cm, determine RT e trace o

ponto médio de ST com sua respectiva medida.

b) Os segmentos ,AB e BC BC e CD são adjacentes, de tal maneira que AB é o

quádruplo de BC , BC é o triplo de CD , AD = 96 cm e M é ponto médio de BD .

Determine as medidas dos segmentos , ,AB BC CD e BM .

c) Os segmentos ,RS ST e TV são adjacentes e RT e SV são congruentes.

Demonstre que os segmentos RS e TV são congruentes e que ST e RV têm o

mesmo ponto médio.

Sugestão: Denomine as medidas dos segmentos por letras e ache a hipótese e a

tese.

d) Sabendo que os segmentos STeRS são congruentes e adjacentes com TR e que M

e N os pontos médios, respectivamente, desses segmentos. Demonstre que RS é

congruente a MN .

Atividade 8

Sabendo que M é ponto médio do segmento RS e que RS = 6,5 cm, transporte o

segmento RM para a semirreta ' 'R S .

1.13. Referencial de resposta das atividades propostas

Atividade 1

a) I, IV e VI

b) II, III e V

c) corpo redondo II e poliedros III e V

d) Figura II cilindro

e) Figura III (V = 7; F = 7; A = 12 e AP = 7) heptaedro;

Figura V (V = 8; F = 6; A = 12 e AP = 8) hexaedro.

Atividade 2

a) Se o poliedro possui seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares, o total

de faces é: F = 6 + 5 F = 11, ou seja, o poliedro possui 11 faces.

Quanto às arestas, se as faces são triangulares tem-se 3 arestas e como são 6

faces, então 6x3 = 18 arestas. O mesmo ocorre com as 5 faces quandrangulares,

5x4 = 20. Totalizando 38 arestas. Como cada aresta é comum a duas faces, dessa

forma elas foram contadas duas vezes, então 2A = 38 A = 19, ou seja, o poliedro

possui 19 arestas.

Em relação aos vértices, utilizando a relação de Euler, tem-se: V + F – A = 2

V + 11 – 19 = 2 V = 10, ou seja, o poliedro possui 10 vértices.

b) Como o número de arestas dos 5 ângulos tetraédricos é 5 x 4 e o número de

arestas dos 4 pentaédricos é 4 x 5; totalizam 40 arestas. Como cada aresta é

comum a dois ângulos poliédricos, tem-se: 2A = 40 A = 20, ou seja, o poliedro

possui 20 arestas.

Para calcular o número de faces utiliza-se a relação de Euler. V + F – A = 2

10 + F – 20 = 2 V = 12, ou seja, o poliedro possui 12 faces.

Atividade 3

São verdadeiras as letras: a, c, e, f, g

São falsas as letras: b, d.

Atividade 4

a) Hipótese: um triângulo é isósceles.

Tese: os ângulos da base são congruentes.

b) Hipótese: dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo

compreendido entres esses lados.

Tese: eles são congruentes.

Atividade 5

São verdadeiras as alternativas c, d, e.

São falsas as alternativas a, b.

Atividade 6

a) Desenho

Dados do problema

RT = 35 cm

ST = x

RS = 6x

RS + ST = RT -> 6x + x = 35 7x = 35 x = 5 cm

Como RS = 6x RS = 6 . 5 RS= 30 cm

Como ST = x ST = 5 cm

O valor de RS é 30 cm e de ST é 5 cm.

b) Desenho

BC = AD – AB – CD BC = 30 – (a – 2) – (a + 2) BC = 30 – a + 2 – a – 2

BC = 30 – 2a

Dessa forma, é preciso achar o valor de a.

AD = AC + CD 30 = 3a + a + 2 30 = 4a + 2 4a = 28 a = 7

Determinando BC. Substituindo o valor de a.

BC = 30 – 2a BC = 30 – 2.7 BC = 30 – 14 BC = 16 cm

Determinando AB, substituindo o valor de a:

AB = a – 2 AB = 7 – 2 AB = 5 cm

Determinando CD, substituindo o valor de a:

CD = a + 2 CD = 7 + 2 CD = 9 cm

Assim, os valores de ,BC AB e CD são, respectivamente, 16 cm, 5 cm e 9 cm.

Atividade 7

A B C D

30 cm

a + 2 a - 2

3a

a) Há duas possibilidades para a posição dos pontos R, S e T.

1º caso:

Neste caso, RT = 13 cm

2º caso:

Neste caso, RT = 3 cm

Ponto médio de ST

Ao corrigir, verifique se realmente o aluno desenhou um segmento de 5 cm e traçou

corretamente o ponto médio.

OU

R S T 8 cm 5 cm

S T R

8 cm

5 cm

S T M

S T M

b) Dados do problema

AB = 4.BC

BC = 3.CD

AD = 96 cm

M é ponto médio de BD BM MD

Determinar , ,AB BC CD e BM .

Considerando CD = x, tem-se:

BC = 3.CD BC = 3x

AB = 4.BC AB = 4.3x AB = 12x

Desenho

Como AD = AB + BC + CD 96 = 12x + 3x + x 96 = 16x x = 6 cm

Se AB = 12x AB = 12.6 AB = 72 cm

Se BC = 3x BC = 3.6 BC = 18 cm

Como M é ponto médio de BD BM MD BM = BD/2.

Se BD = BC + CD BD = 18 + 6 BD = 24 cm

Substituindo em BM = BD/2 BM = 24/2 BM = 12 cm

Assim, as medidas dos segmentos , ,AB BC CD e BM são, respectivamente, 72

cm, 18 cm, 6 cm e 12 cm.

c) Hipótese Tese

,RS ST e TV sao adjacentes

RT SV

M ponto medio de ST

RS TV

M ponto medio de RV

Desenho

A B C D

96 cm

x 12x 3x

M

a x

R M S T V

x a

Como ,RS RT ST TV SV ST ; RT SV , por hipótese; e, ST é segmento

comum às duas igualdades, comparando as equações conclui-se que RS TV .

Se SM MT RS SM RM e MT TV MV , e como RS TV , então RM MV ,

ou seja, M também é ponto médio de RV .

d) Hipótese Tese

RS ST

R T

M ponto medio de RS

N ponto medio de ST

RS MN

Desenho

Se M é ponto médio de RS RM MS RS

Se N é ponto médio de ST SN NT ST

Como RS ST RM MS SN NT

Como MN MS SN , substituindo SN por RM , tem-se MN MS RM . Assim,

conclui-se que RS MN

Atividade 8

Sabendo que M é ponto médio do segmento RS e que RS = 6,5 cm, transporte o

segmento RM para a semirreta ' 'R S .

R S M N T

Usando o compasso para transportar o segmento RM para a semirreta ' 'R S , tem-se:

1.14. Anexos

1.14.1. Anexo 1

R S M

M R’ S’

1.14.2. Anexo 2

Sumário

Capítulo 2 – Ângulos e polígonos

Lista de figuras – Capítulo 2

Ângulo é um

município brasileiro

do estado do

Paraná. Sua

população estimada

em 2005 era de

3.116 habitantes.

Capítulo 2 – Ângulos e polígonos

2.1. Apresentação

Prezado aluno.

Dando continuidade ao estudo de Geometria, nesse capítulo, você irá estudar

ângulos e polígonos e para isso precisará de compasso, régua e transferidor.

Pegue-os! Você também irá retomar os sólidos geométricos, verificando onde estes

assuntos se encontram. Portanto, deixe-os por perto.

P

r

o

c

u

re responder estas questões, em seguida, resgistre suas respostas no

Trabalho de Construção de Aprendizagem – TCA.

Ao refletir sobre o proposto, você deve ter se

lembrado dos estacionamentos a 45º, 90º; dos

ponteiros do relógio; do controle remoto dos

brinquedos (carrinhos, aviões); do município

brasileiro Ângulo, no estado do Paraná; dentre

outros.

Em relação aos polígonos deve ter se lembrado das figuras mais comuns em seu

cotidiano, tais como quadrado, retângulo, triângulo, pentágono, hexágono, dentre

outros.


Inicialmente convido você a pensar sobre a palavra ângulo e

polígono. Pense e registre em seu caderno em que situações do

cotidiano você utiliza a palavra ângulo. Você pode registrar por meio

de desenho, colagens, escrita, dentre outros.

Depois pense nos polígonos e responda: Você estudou esse

tema na Educação Básica? Se estudou, que recordações você tem?

Ou do que você se lembra?

Etimologicamente a palavra ângulo é de origem latina – angulus, e o sufixo -ulus

implica diminutivo. Dessa forma, angulus é entendido como canto ou pequena

dobra. Entretanto, a palavra polígono é de origem grega, o prefixo poli- significa

vários, muitos e o sufixo –gonos, indica ângulo. Nesse sentido, pode-se dizer que

polígonos são figuras que possuem vários ângulos. Você deve ter percebido que há

uma estreita relação entre ângulos e polígonos e por isso, esses dois temas serão

estudados juntos.

Assim, você deve ter notado que esta palavra é muito comum em sua vida e

também se lembrado de que já estudou esse tema no Ensino Fundamental e Médio.

Partindo do princípio de que você está estudando os Conceitos Matemáticos

Fundamentais agora, irá fazer um retorno aos conceitos que você já viu, no sentido

de ampliá-los e de analisá-los com a visão de educador.

Para estudar esses dois temas você precisará de compasso, régua, transferidor e os

sólidos geométricos.


Espero que no final deste capítulo, você seja capaz de:

classificar ângulos, retas e triângulos;

conceituar ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma

transversal e aplicá-los a situações diversas;

construir ângulos, polígonos convexos e pontos notáveis de um

triângulo;

dividir um segmento em partes iguais;

efetuar operações com ângulos, fazendo as suas respectivas

transformações;

identificar as características dos pontos notáveis de um triângulo em

diversas situações;

nomear os polígonos convexos.


Nesse capítulo, inicialmente faço uma abordagem histórica dos ângulos para

posteriormente estudar a definição, medidas, operações, classificação e

construções. Dando continuidade ao estudo, abordarei os polígonos. Você irá

perpassar pela definição, construções, classificação, pontos notáveis de um

triângulo e por fim, um retorno aos sólidos geométricos.

Lembre-se do convite feito anteriormente: vamos enveredar pelos caminhos da

Geometria euclidiana?

2.2. Ângulos

2.2.1. Um pouco da história dos ângulos

A palavra ângulo foi encontrada, pela primeira vez, nos materiais dos gregos,

envolvendo elementos de um círculo juntamente com o estudo de arcos e cordas.

Desde o tempo de Hipócrates de Quios (c. 440 a. C.) já se conhecia propriedades

das cordas e talvez Eudoxo de Cnidos (408-355 a. C.) ao determinar as dimensões

do planeta Terra e as distâncias relativas entre o Sol e a Terra tenha usado razões e

medidas de ângulo.

Outro matemático que tratava de problemas, usando ângulos e cordas, era

Eratóstenes de Cirene (276 a.C.-197 a.C). A Astronomia talvez tenha sido a primeira

das ciências a utilizar o estudo de ângulos como uma aplicação da Matemática, pois

desde os tempos mais antigos os povos buscam entender os corpos celestes,

respostas para a vida na Terra, a vida em outros planetas.

Alguns exemplos da utilização de ângulos:

- o relógio de sol – para determinar a hora do dia. O sol era uma referência

e a determinação da hora dependia de sua inclinação e da sombra

projetada sobre o relógio;

- também tentou-se medir a distância que a Lua se encontrava acima do

horizonte, distância que nunca poderia ser medida por um homem

comum. Para conseguir medi-la, esticava-se o braço e calculava-se

quantos dedos comportava o espaço entre a Lua e o horizonte ou

segurava-se um fio entre as mãos afastadas do corpo e media-se a

distância. Para que a resposta fosse a mais fiel possível, os braços

deveriam permanecer bem esticados. Este modo foi um dos primeiros

passos utilizados para medir ângulos.

Figura 2 – Relógio

de Sol.

Fonte: Acervo EAD -

UNIUBE

Não podemos estimar quando o homem começou a medir ângulos, porém sabe-se

que eles eram medidos na Mesopotâmia e muito bem conhecidos quando

Stonehenge – um monumento pré-histórico, situado na planície de Salisbury, sul da

Inglaterra – foi construída. 2000 a.C.

Para saber mais...

Stonehenge é um monumento pré-histórico, o mais importante da Inglaterra e não

há nada semelhante a ele em todo o mundo. Este altar de pedras tem sido usado há

5000 anos e até hoje não se tem certeza absoluta qual era sua finalidade. Rituais

druidas, cerimônias em homenagem ao sol, ou portal para seres de outros planetas

são algumas das possibilidades sempre lembradas. É um enigma tão grande quanto

ao das pirâmides. Visite o site:

http://www.revistaturismo.com.br/passeios/stonehenge.htm ou pesquise em outros, veja o

monumento histórico e leia um pouco sobre a sua história.

Mas o que é ângulo?

Acompanhe a definição.

2.2.2. Definição

“Chamamos de ângulo à figura formada por duas semirretas com a mesma origem.”

(BARBOSA, 1985, p. 23).

Figura 4 - Ângulo AÔB 1.

A

O

B

- Ponto O: vértice do ângulo;

- Semirretas OA e OB : lados do ângulo.

- Indica-se: AÔB

- AÔB = OA OB

http://www.revistaturismo.com.br/passeios/stonehenge.htm

O ângulo possui uma região interna e uma região externa.

Prossiga na leitura e veja.

2.2.3. Interior de um ângulo

1 é um semiplano com origem na

reta OA e contém o ponto B.



reta OB e contém o ponto A.


11 = interior de AÔB


Interior do ângulo AÔB é a interseção

de dois semiplanos abertos, 1 e

1 .

O interior de um ângulo é convexo.

2.2.4. Exterior de um ângulo

A

O

B

1 A

O

B

1

A

O

B


reta OA e não contém o ponto B.



reta OB e não contém o ponto A.


22 = exterior de AÔB


2.2.5. Lembrando dos poliedros

Observe as faces dos poliedros que você construiu no capítulo. Elas têm a forma de

figuras planas que possuem vários ângulos.

Observou?

A

B

O

A

B

O

2 A

B

O

2

Exterior do ângulo AÔB é a união de dois

semiplanos abertos, 2 e

2 . É o conjunto

dos pontos que não pertencem nem ao

ângulo AÔB nem ao seu interior.

O exterior de um ângulo é côncavo.

Assim, a noção de abertura representa a ideia de ângulo.

Mas como medir essa abertura?

Utilizando um instrumento de medida denominado transferidor com suas unidades

de medidas de ângulo.

Prossiga na leitura.

2.2.6. Unidades de medida do ângulo

O instrumento que você utilizará para medir ângulos é o transferidor. Pegue o seu

transferidor e identifique as partes indicadas na figura abaixo.

Figura 11 – Transferidor 1.


Indica-se a medida de um ângulo por m(AÔB) e essa medida é um número real

positivo.

As unidades de medida do ângulo são:

Grau (º): é determinado pela divisão de uma placa circular em 360 partes iguais.

Minuto (‘ ): é o ângulo submúltiplo segundo 60 (sessenta) do ângulo de um grau. 1’ =60

º1.

Segundo (’’): é o ângulo submúltiplo segundo 60 (sessenta) do ângulo de um minuto. 1’’ =60

'1.

Exemplo de medidas: 30°; 40°15’; 37°12’42’’.

Observe que se utiliza a base 60, como os povos da Babilônia utilizavam.

Mas como construir ângulos?

Pegue a régua, o lápis e o transferidor e acompanhe o passo a passo.

1 – Desenhe uma semirreta com origem

no ponto A. O ponto A será o vértice do

ângulo e a semirreta, um de seus lados.

Figura 12 – Semirreta de origem A.

2 – Coloque o transferidor conforme a

figura ao lado, fazendo coincidir o seu

centro com o vértice A e a sua linha de fé

com o primeiro lado do ângulo. Marque,

a seguir, com o lápis, um ponto junto ao

limbo do transferidor na abertura

desejada, por exemplo, 100°.

Figura 13 – Semirreta de origem A e

transferidor.


3 – Retire o transferidor, unindo o ponto

assinalado no papel ao vértice A; você

determinou, dessa forma, o segundo

lado do ângulo procurado. O ângulo Â

desenhado mede 100°.

Figura 14 – Ângulo de vértice A.

Como medir um ângulo com o transferidor?

Coloque o transferidor sobre o

ângulo, conforme a figura ao lado,

fazendo com que o seu centro

coincida com o vértice e a sua linha

de fé, com um dos lados do ângulo.

No exemplo ao lado, o ângulo Â

mede 45°.

Parada Obrigatória

Responda as atividades 1 e 2 que estão no final deste capítulo. Na atividade 1, você

utilizará o transferidor para medir os ângulos e na atividade 2, utilizando régua e

transferidor, você construirá e nomeará ângulos.

Confira se você acertou no referencial de respostas!

Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dúvida retome a leitura do

texto ou pesquise na bibliografia básica ou na complementar ou na internet,

dentre outros.

Se 1º = 60’; 1’ = 60’’, então é possível transformar essas unidades de medida.

Certo?

Acompanhe!

Para transformar ou simplificar as medidas, você irá utilizar as relações:

1° = 60’; 1’ = 60’’ e 1° = 3 600’’.

Observe os exemplos a seguir:

Figura 15 – Ângulo de vértice A e

transferidor.

A) 100’ = 60’ + 40’ = 1º + 40’ = 1°40’

B) 150’ = 60’ + 60’ + 30’ = 1º + 1º + 30’ = 2º30’

C) 65º90’ = 65º + 60’ + 30’ = 65º + 1º + 30’ = 66º30’

D) 62º72’80’’ = 62º + 60’ +12’ + 60’’ + 20’’ = 62º + 1º + 12’ + 1’ + 20’’ = 63º13’20’’

Você percebeu que essas simplificações se parecem com as que você realiza no

seu cotidiano com as unidades de medida de tempo (hora, minutos e segundos)?

Assim, ao estudar as unidades de medidas de ângulo você pode estabelecer

relações com as unidades de medida de tempo, pois

1 h = 60 min, 1 min = 60 s e 1 h = 3 600 s.

Veja que não é tão complexo.

Parada Obrigatória


simplificar as medidas de ângulos.




Exercitando



bom estudo!

Pensando...

Nas medidas de tempo (hora, minutos e segundos) é possível fazer operações

(adição, subtração, multiplicação e divisão).

Então nas medidas de ângulo isso também é possível?!

Realmente! Veja a seguir...

2.2.7. Operações com ângulos

A- Adição

Para fazer a adição de ângulos, você precisará somar as unidades iguais e, quando

for preciso, faça as transformações necessárias. Acompanhe os exemplos a seguir:

1) 45º37’42’’ + 32º22’15’’ = 77º59’57’’ 2) 43º55’37’’ + 25º40’55’’ = 69º36’32’’

Dispositivo prático Dispositivo prático

45º 37’ 42’’ 43º 55’ 37’’

+ 32º 22’ 15’’ + 25º 40’ 55’’

77º 59’ 57’’ 68º 95’ 92’’ 60’’ = 1’

+ 1’ 60’’ -

96’ 32’’

68º 96’ 32’’ 60’ = 1º

+ 1º 60’ -

69º 36’ 32’’

B- Subtração

Não se esqueça de que você só poderá subtrair as unidades iguais e, quando for

preciso, faça as transformações necessárias. Leia atentamente os exemplos a

seguir:

1) 35º55’30’’ – 15º32’10’’ = 20º23’20’’ 2) 80º - 22º42’37’’ = 57º17’23’’


35º 55’ 30’’ 80º 80º = 79º60’ = 79º59’60’’

- 15º 32’ 10’’ - 22º42’37’’ transformou-se transformou-se

1º em 60’ 1’ em 60’’

20º 23’ 20’’

Então, reescrevendo, tem-se:

79º 59’ 60’’

- 22º 42’ 37’’

57º 17’ 23’’

C- Multiplicação por um número natural

Multiplique cada uma das unidades de medida do ângulo pelo número natural e,

quando for preciso, faça as transformações necessárias. Acompanhe.

1) 32º20’23’’ x 2 = 64º40’46’’ 2) 13º20’30’’ x 5 = 66º42’30’’


32º 20’ 23’’ 13º 20’ 30’’

x 2 x 5

64º 40’ 46’’ 65º 100’ 150’’ 120’’ = 2’

+ 2’ 120’’ -

102’ 30’’

65º 102’ 30’’ 60’ = 1º

+ 1º -60’

66º 42’

66º 42’ 30’’

D- Divisão por um número natural

Dividimos cada uma das unidades de medida do ângulo pelo número natural e,

quando o resto da divisão for diferente de zero, fazemos as transformações

necessárias.

a) 84º40’20’’ : 4 = 21º20’5’’ b) 37º29’30’’ : 3 = 12º29’50’’


84º 40’ 20’’ 4 37º 29’ 30’’ 3

-84º 21º20’5’’ -3º 12º29’50’’

00 40’ 07º

-40’ -6º

00 20’’ 1º 29’

-20’’ +60’

00 89’

- 6

29’

- 27

02’ 30’’

+120’’

150’’

- 15

000’’

- 0’’

0

Em síntese...

Ao trabalhar as operações com ângulo, é de fundamental importância que você

utilize somar, subtrair, multiplicar e dividir sempre com as mesmas unidades de

medida, ou seja, grau com grau, minuto com minuto, segundo com segundo. Caso

sejam diferentes, é preciso transformá-las na mesma unidade de medida.

Parada Obrigatória

Responda a atividade 4 que está no final deste capítulo. Nessa atividade, você

trabalhará as operações com medidas de ângulos.




Exercitando



bom estudo!

Lembrando das palavras

Você já ouviu as seguintes frases:

“Ele tem uma visão obtusa” ou

“Ele tem uma visão muito aguda” ou

“Ele tem uma visão cartesiana”.

Mas como isso se relaciona com ângulos?

Acompanhe.....

2.2.8. Classificação de ângulos

Conceito Representação/Exemplo

Ângulo reto

“Um ângulo cuja medida é

90° é chamado de ângulo

reto.” (BARBOSA, 1985, p.

28).

m(TÔV) = 90º

Figura 16 – Ângulo reto - TÔV.

Ângulo agudo

Um ângulo com medida

menor que 90º é chamado

de ângulo agudo.

m(TÔV) < 90º

Figura 17 – Ângulo agudo - TÔV.

Ângulo obtuso

Um ângulo com medida

maior que 90° e menor que

180° é chamado de ângulo

obtuso.

Figura 18 – Ângulo obtuso - TÔV.

T

O V

T

O V

Ângulo raso ou de meia

volta

Ângulo cuja medida é igual

a 180°.

Figura 19 – Ângulo raso DÊF.

Ângulo de uma volta

Ângulo cuja medida é igual

a 360° é chamado de

ângulo de uma volta.

m(CÂD) = 360°

Figura 20 – Ângulo de uma volta CÂD.

Ângulos consecutivos

“Dois ângulos são

consecutivos se, e somente

se, um lado de um deles é

também lado do outro (um

lado de um deles coincide

com um lado do outro).”

(DOLCE & POMPEO,

1993, p. 21).

A D C

Figura 21 – Ângulos consecutivos EÔD e DÔC.

Figura 22 – Ângulos consecutivos EÔD e EÔC.

Observe os exemplos dos itens b e c; além do

lado comum, os ângulos possuem, também,

pontos internos comuns.

Ângulos adjacentes

“Dois ângulos consecutivos

são adjacentes se, e

somente se, não têm

pontos internos comuns.”

(DOLCE & POMPEO,

1993, p. 22).

Obs.: eles possuem apenas um lado comum, ou

seja, não podem ter pontos internos comuns.

Ângulos opostos pelo

vértice

“Dois ângulos são opostos

pelo vértice se, e somente

se, os lados de um deles

são as respectivas

semirretas opostas aos

lados do outro.” (DOLCE &

Figura 24 – Ângulos adjacentes CÔD e DÔE.

Figura 25 – Ângulos opostos pelo vértice CÔE e DÔF

1.

Figura 23 – Ângulos consecutivos EÔC e DÔC.

POMPEO, 1993, p. 22).

Ângulos complementares

Dois ângulos são ditos

complementares se a

soma de suas medidas é

90°. Cada um deles é o

complemento do outro.

Exemplo: 60º e 30º são complementares, pois

60° + 30° = 90°.

Assim, o complemento de um ângulo de 30° é um

ângulo de 60°.

Ângulos suplementares

“Dois ângulos são ditos

suplementares se a soma

de suas medidas é 180°.”

(BARBOSA, 1985, p. 27).

Cada um deles é o

suplemento do outro.

Exemplo: 100° e 80° são suplementares, pois

100° + 80° = 180°.

Assim, o suplemento de um ângulo de 100° é um

ângulo de 80°.

Ângulos replementares

Dois ângulos são ditos

replementares se a soma

de suas medidas é 360º.

Cada um deles é o

replemento do outro.

Exemplo: 300º e 60º são replementares, pois

300º + 60º = 360º.

Assim, o replemento de um ângulo de 300° é um

ângulo de 60°.

Conseguiu descobrir a relação das frases com a classificação de ângulos?

Com certeza você relacionou as frases com a classificação e as medidas de cada

ângulo. Prossiga na leitura.

Na frase, “Ele tem uma visão obtusa.” está relacionada com o ângulo obtuso. Assim,

a pessoa tem uma visão mais ampla de alguma coisa, mais alargada. Na frase, “Ele

tem uma visão muito aguda.” está relacionada com o ângulo agudo. Assim, a pessoa

tem uma visão pequena, menor de alguma coisa, mais restrita. Na frase, “Ele tem

uma visão cartesiana.” está relacionada com uma visão mais rígida, fechada de

alguma coisa.

Interpretando...

Antes de prosseguir, estude a demonstração feita pelos autores da bibliografia

básica 1, capítulo III do livro texto na atividade 36. Essa atividade traz um teorema

importante sobre os ângulos opostos pelo vértice: “Se dois ângulos são opostos pelo

vértice, então eles são congruentes.” (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 29).

Inicialmente foi feito um desenho, nomearam os ângulos e depois eles identificaram

a hipótese e a tese, conforme você já fez no capítulo anterior. Depois eles

consideraram as medidas dos ângulos de x, y e z e utilizaram o conceito de ângulos

suplementares, ou seja, dois ângulos são suplementares quando a soma deles é

igual a 180°. Resolvendo o sistema, chegaram à tese.

Estude a demonstração!

Resolvendo atividades....

Resolverei algumas atividades com você:

1) Determine o valor de x

a)

2x –

10°

20°

O exercício solicita o cálculo do valor de x. Os

ângulos (2x-10°) e 40° são opostos pelo vértice

(o.p.v.), portanto são congruentes. Assim,

2x – 10° = 20° 2x = 20° + 10° 2x = 30°

x = 30°/2 x = 15°

O valor de x é 15°.

Figura 26 – Ângulos

opostos pelo vértice CÔE e

DÔF 2.

b)

2) Dê a medida do ângulo que vale o triplo do seu complemento.

Analisando os dados:

- o exercício solicita a medida do ângulo;

- a medida do ângulo: como não se conhece, vou chamar de x;

- a expressão “vale” significa =;

- o triplo do seu complemento: nesse caso é o triplo do complemento do ângulo. O

complemento do ângulo (que nesse caso chamei o ângulo de x) é: 90° - x. Como é o

triplo do complemento então é: 3.(90°-x).

Compondo a equação:

x = 3.(90°-x) aplicando a propriedade distributiva;

x = 270°- 3x x + 3x = 270° 4x = 270° x = 270°/4 x = 67°30’.

A medida do ângulo é 67°30’.

3) O suplemento do dobro do complemento da metade de um ângulo é igual ao

dobro do complemento desse ângulo. Determine o ângulo.

Analisando os dados:

- o exercício solicita a medida do ângulo;

- a medida do ângulo: como não se conhece, vou chamar de x;

x + 40°

2x - 60°

O exercício solicita o cálculo do ângulo x. Os

ângulos (x + 40°) e (2x - 60°) são complementares,

pois a soma dos dois é igual a 90°. Assim,

2x - 60° + x + 40° = 90° 3x - 20° = 90°

3x = 90° + 30° 3x = 120° x = 120°/3 x = 40°

O valor de x é 40°. Figura 27 – Ângulos

complementares

TÔS.

- suplemento do dobro do complemento da metade de um ângulo:

180° - [ 2 . ( 90° - x / 2 ) ]. Explicando.....

A metade do ângulo x/2. O complemento da metade do ângulo 90° - x/2.

O dobro do complemento da metade de um ângulo 2.(90°- x/2). O suplemento do

triplo do complemento da metade de um ângulo 180° - 2.(90°- x/2).

- é igual: =

- triplo do complemento desse ângulo: 2.( 90°- x).

Compondo a equação:

180° - 2.(90°- x/2) = 2.( 90°-x) aplicando a propriedade distributiva

180° - 180°+ 2x/2 = 180° - 2x

x = 180° - 2x

x + 2x = 180°

3x = 180°

x = 180°/3

x = 60°

A medida do ângulo é 60°.


Parada Obrigatória

Responda a atividade 5 que está no final deste capítulo. Nessa atividade, você

precisará da classificação de ângulos apresentada.




Exercitando



bom estudo!

Procurando a metade

No capítulo anterior, você achou a metade de um segmento utilizando compasso e

régua. É possível utilizar o compasso para determinar a metade de um ângulo?

Verificando.....

2.2.9. Bissetriz de um ângulo

Pesquisando...

Antes de prosseguir, procure no dicionário, em livros de matemática ou na internet o

significado a palavra bissetriz.

Achou? Não deixe de pesquisar antes de prosseguir.

Você com certeza verificou que a palavra bissetriz está relacionada com ângulo,

com a metade de um ângulo. Assim, acompanhe a definição de bissetriz de um

ângulo:

A- Definição: “Uma semirreta Oc interna a um ângulo aÔb é bissetriz do ângulo aÔb

se, e somente se, aÔc bÔc.” (DOLCE & POMPEO, 1993, p. 25).

A bissetriz é a semirreta interna ao ângulo, com origem no

vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes.

Então, como construir a bissetriz de um ângulo?

B- Construção da bissetriz

Com a ponta seca do compasso no vértice A

e abertura qualquer, trace um arco de

circunferência, determinando os pontos P e

Q nos lados do ângulo.

Figura 29 – Ângulo QÂP 1.

Com a ponta seca do compasso em P e

abertura maior que metade de PQ, trace um

arco. Com a mesma abertura e a ponta seca

em Q, trace um outro arco determinando o

ponto R.

Figura 30 – Ângulo QÂP 2.

Figura 28 – Bissetriz Oc.

Localize a bissetriz do ângulo, unindo o

ponto R ao vértice A.

Figura 31 – Bissetriz AR do

ângulo QÂP.

Agora é com você!

Desenhe um ângulo de 75° e trace a sua bissetriz.

Assim, a bissetriz divide o ângulo em dois ângulos congruentes e o compasso auxilia

na precisão dessa construção. Você também pode utilizar o compasso para

transportar ângulos.

Mas o que significa transportar ângulos?

Como fazer isso utilizando o compasso?

Verificando.....

2.2.10. Transporte de ângulos

Transportar um ângulo significa construir, numa semirreta, um ângulo de mesma

abertura com o auxílio da régua e do compasso.

Para transportar o ângulo PÂQ para a semirreta A’r’, proceda da seguinte

maneira:

Com uma abertura qualquer e ponta

seca do compasso em A, trace um arco

determinando os pontos P e Q nos

lados do ângulo a ser transportado.

Com a mesma abertura e a ponta seca

do compasso em A’, trace um arco

determinando o ponto P’ em r’.

Tome, com o compasso, a medida PQ

e, com a ponta seca em P’, determine

o ponto Q’ no arco anteriormente

traçado. Unindo o ponto Q’ à origem A’,

obterá um ângulo de mesma abertura

do ângulo PÂQ.

Parada Obrigatória

Responda as atividades 6, 7, 8 e 9 que estão no final deste capítulo. Na atividade 6,

você irá traçar a bissetriz dos ângulos e na 7, irá descrever o processo de

construção da bissetriz de um ângulo. Na atividade 8, você irá fazer o transporte dos

ângulos dados, de maneira que mostre a pessoa correndo. E, na atividade 9, você

irá interpretar o desenho e achar o valor de x.

Figura 32 –

Ângulo QÂP 3. Figura 33 –

semirreta A’r’

1.

Figura 34 –

Ângulo PÂQ 4. Figura 35 –

Semirreta A’r’

2.

Figura 36 –

Ângulo QÂP 5. Figura 37 –

Semirreta A’r’

3

Confira se você acertou no referencial de respostas!!!

Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto ou bibliografia

básica ou na complementar ou na internet, dentre outros.

Exercitando



bom estudo!

Aprofundando...

Para saber mais sobre ângulos, estude o capítulo 3I do livro da bibliografia básica 1.

Agora, pegue o compasso e a régua para aprender a dividir um segmento em partes

iguais utilizando transporte de ângulos.

2.2.11. Divisão de um segmento em partes iguais

1- Desenhe um segmento AB .

Figura 38 – Segmento AB .

2- Numa das extremidades do

segmento, trace uma semirreta

auxiliar AC , formando um ângulo

qualquer ( 45º).

Figura 39 – Ângulo BÂC.

3- Trace o mesmo ângulo na outra

extremidade, no lado oposto do

segmento, obtendo assim a semirreta

auxiliar BD . (Observe que as duas

semirretas auxiliares são paralelas

entre si.). Veja no item transporte de

ângulos.

Figura 40 – Ângulo BÂC e BÂD 1.

4- Escolha uma unidade arbitrária, a

partir do ponto A. Marque, na primeira

semirreta auxiliar AC , esta unidade

arbitrária em um número de vezes

igual àquele em que queremos dividir

o segmento (nesse caso dividimos em

6 partes). Para obter maior precisão,

usamos o compasso. Na segunda

semirreta auxiliar BD , utilizando a

mesma unidade arbitrária, repete-se a

marcação partindo de B.


5- Unir a última unidade marcada em

cada semirreta com as extremidades

de .AB

C

C

D

C

D

C

D


6- Unir as unidades opostas

marcadas em cada semirreta obtendo

um feixe de paralelas. Nesse feixe, as

retas têm sempre a mesma distância

umas das outras. As retas paralelas

obtidas interceptam o segmento,

dividindo-o no número desejado de

partes.

Figura 43 – Divisão dos segmentos AC e

BD.

Agora é com você!

Divida o segmento AB de 8 cm em onze partes iguais.

Pensando juntos...

Você viu que um ângulo é formado pelo encontro de duas semirretas com a mesma

origem. Mas se você imaginar que as semirretas tem continuidade, terá a ideia de

D

C

uma reta, ou seja, na interseção dessas retas tem-se ângulos, como no caso dos

ângulos opostos pelo vértice. Lembra!?

Pensando nos ângulos formados pelo encontro de retas, há uma classificação

especial para os ângulos formados por uma reta concorrente a duas retas distintas,

você se lembra de ter estudado esse assunto?

Caso não se lembre ou já tenha visto, você irá rever esse assunto buscando

aprofundar os conceitos com a visão de um educador matemático.

Inicialmente farei uma introdução ao estudo das retas para, posteriormente, abordar

os ângulos. Acompanhe, prosseguindo na leitura.

2.2.12. Classificação de retas

Se perguntassem a você o que são retas paralelas, o que você responderia?

Procure responder antes de continuar o seu estudo!

Certamente você deve ter pensado: são retas que não se encontram!

Pensando mais sobre o assunto....

Veja os desenhos a seguir:

Figura 44 – Plano e retas t e u Figura 45 – Cubo ABCDEFGH e retas r e s 1

Tanto as retas t e u não se encontram como as retas r e s. E agora!?

Então, o que são retas paralelas?

Pense e registre antes de prosseguir.

Observe que as retas t e u estão contidas em um mesmo plano. Entretanto, isso não

acontece com as retas r e s, ou seja, não há um plano que contem essas duas retas.

Dessa forma, uma condição para que as retas sejam paralelas é que elas estejam

contidas num mesmo plano. Em outras palavras que elas sejam retas coplanares.

Assim,

Retas coplanares (prefixo co-: mesmo; sufixo –planar: plano) são aquelas que

estão contidas num mesmo plano.

Agora é possível definir retas paralelas. Acompanhe....

Definição de retas paralelas: “Duas retas são paralelas (símbolo: //) se, e somente

se, são coincidentes (iguais) ou são coplanares e não têm nenhum ponto comum.”

(DOLCE & POMPEO, 1993, p. 61).

(r , s , r s = ) r // s

Figura 46 – Retas paralelas coincidentes r e s. Figura 47 – Retas paralelas distintas t e

u.

t

u

r = s r // s s

r

Assim, as retas da figura 46 são paralelas coincidentes e as da figura 47 são

paralelas distintas.

E as retas da figura 45, como são denominadas?

As retas da figura 45 são ditas retas reversas, pois não existe um plano que as

contém, ou seja, elas não são coplanares.

Assim, retas que não possuem um ponto comum podem ser paralelas ou reversas.

Ao desenhar retas, como ter certeza de que, no seu desenho, essas retas são

paralelas?

Para tirar a dúvida, é possível utilizar o compasso e a régua para construir retas

paralelas. Veja....

Construção de retas paralelas

Traçar duas retas paralelas distantes entre si 2 cm.

a) Desenhe uma reta r qualquer e marque

sobre ela dois pontos distintos, A e B. Com a

ponta seca do compasso em A com uma

abertura qualquer, trace um arco de maneira

Obs.: os planos que contém a reta r são EFGH e

DEFC e os planos que contém a reta s são BCFG

e ABGH. Não há um plano que contém as duas

retas, r e s, portanto elas são ditas retas reversas.

Figura 48 – Cubo ABCDEFGH

e retas r e s.

que ele encontre a reta r em dois pontos (R e

S). Repita o procedimento para o ponto B,

achando os pontos T e V.

Figura 49 – Reta r, pontos A e B e

arcos RS e TV .

b) Com a ponta seca do compasso em R e

com uma abertura maior que a distância RA

trace um arco. Com a mesma abertura e

ponta seca do compasso em S, trace outro

arco, de maneira que esse encontre o

primeiro. Ligue o ponto de encontro dos arcos

ao ponto A.

Repita o procedimento para os pontos T e V.

Em seguida, com o auxílio do compasso,

meça 2 cm na régua. Com essa abertura e

ponta seca do compasso em A, marque o

ponto C. Repita o procedimento para o ponto

B e marque o ponto D.

Figura 50 – Reta r, pontos A, B, C e D

e, arcos RS e TV .

c) Ligue os pontos C e D e você obterá uma

reta s paralela a r e distante 2 cm.

Figura 51 – Retas paralelas r e s.

Para saber mais

Pesquise em livros ou na internet outras maneiras de se construir retas paralelas e

registre no Trabalho de Construção de Aprendizagem.

r

Lembre-se: todos os passos da construção precisam estar descritos.

Mas é possível obter ângulos em retas que se encontram!? Como no caso dos

ângulos opv.

Pense!!!!

Sim! Nesse caso, têm-se retas concorrentes, veja a definição...

Definição de retas concorrentes:

“Duas retas são concorrentes se, e somente se, elas têm um único ponto comum.”

(DOLCE & POMPEO, 2005, p. 4).

As retas concorrentes são retas coplanares.

a b = {P}

Figura 52 – Retas concorrentes r e s.

Ainda nas retas concorrentes, há um caso em que elas formam entre si ângulos

retos e são denominadas de retas perpendiculares. Veja a definição.

“Duas retas são perpendiculares (símbolo: ) se, e somente se, são congruentes e

formam ângulos adjacentes suplementares congruentes.” (DOLCE & POMPEO,

2005, p. 80).

r s (r s = {O} e r1Ôs1 = r1Ôs2)

r

s P

O símbolo - significa

se e somente se

r1 é uma das semirretas de r de origem O e s1 e s2 são semirretas opostas de s com

origem em O.

Figura 53 – Retas perpendiculares r e s.

Para saber mais

Pesquise, em livros ou na internet, como se constrói, utilizando compasso e régua,

retas perpendiculares e anote pelo menos um dos processos no Trabalho de

Construção de Aprendizagem.

Sintetizando...

Fazendo um esquema para sintetizar a classificação de retas, tem-se:

Parada Obrigatória

Responda a atividade 10 que está no final deste capítulo. A atividade refere-se à

classificação de retas.

r

O s

r2

r1

s1 s2




Voltando aos ângulos...

Enfim, vejamos os ângulos formados por uma reta concorrente a duas retas

distintas.

2.2.13. Uma reta concorrente a duas retas distintas

Sejam r e s duas retas distintas, paralelas ou não, e t uma reta concorrente com r e

s:

A reta t é uma transversal às retas r e s. Essa reta transversal separa o plano em

dois semiplanos denominados de semiplano A e semiplano B.

Figura 54 – Retas r, s e

t concorrentes duas a

duas.

Figura 55 – Retas paralelas r e

s e transversal t.

Semiplano A Semiplano B

Semiplano A Semiplano B

A reta transversal t determinou, nas retas r e s, oito ângulos que recebem nomes

especiais de acordo com a posição que eles ocupam. Os ângulos formados entre as

retas r e s, na região interna, são chamados de ângulos internos, e os que não estão

nessa região são denominados de ângulos externos.

Para denominar esses ângulos farei algumas perguntas para você responder.

Assim que terminar cada uma delas, confira se você acertou no referencial de

respostas.

Questão 01 - Quais os ângulos que estão no mesmo semiplano, em retas diferentes

(r e s), e ocupam a mesma posição nessas retas?

Respondeu?

Confira se você acertou comparando com o expresso a seguir.

Ângulos: ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

1 5, 2 6, 4 8, 3 7e e e e

Estes ângulos se correspondem, por isso recebem o nome de ângulos

correspondentes.

Questão 02 - Quais os ângulos que estão no mesmo semiplano e são internos às

retas r e s?

Não deixe de responder antes de prosseguir!


Ângulos: ^ ^ ^ ^

4 5, 3 6e e

Estes ângulos que estão no mesmo semiplano (no mesmo lado) e são internos,

recebem o nome de ângulos colaterais internos (co-: mesmo; -lateral: lado).

Questão 03 – Quais os ângulos que estão no mesmo semiplano e são externos às

retas r e s?

Respondeu?


Ângulos: ^ ^ ^ ^

1 8, 2 7e e

Estes ângulos que estão no mesmo semiplano (no mesmo lado) e são externos,

recebem o nome de ângulos colaterais externos.

Questão 04 – Quais os ângulos que estão em semiplanos diferentes, em retas

diferentes (r e s) e são internos a essas retas?

Não deixe de responder antes de prosseguir!


Ângulos: ^ ^ ^ ^

4 6, 3 5e e

Estes ângulos que estão em semiplanos diferentes, retas diferentes e são internos

recebem o nome de ângulos alternos internos.

Questão 05 – Quais os ângulos que estão em semiplanos diferentes (r e s), em

retas diferentes e são internos a essas retas?


Ângulos: ^ ^ ^ ^

1 7, 2 8e e

Estes ângulos que estão em semiplanos diferentes, retas diferentes e são externos

recebem o nome de ângulos alternos externos.

Concluindo

Duas retas distintas, paralelas ou não, cortadas por uma transversal formam oito

ângulos que, de acordo com a posição, podem ser chamados de ângulos:

correspondentes; colaterais internos ou externos e alternos internos ou externos.

Então, por que há dois desenhos no início do assunto?

Um com as retas r e s concorrentes e outro com as retas r e s paralelas?

Você sabe?

Para verificar a explicação, prossiga na leitura.

No caso das retas r e s paralelas cortadas pela transversal t, esses ângulos

possuem algumas características a mais. Continue na leitura atentamente para

compreender a explicação! Para isso, pegue o transferidor.

Com o auxílio do transferidor, meça cada um dos oito ângulos formados na figura

55. O que você pode observar quanto à medida dos:

a) ângulos correspondentes?

b) ângulos alternos internos? E os externos?

c) colaterais internos? E os externos?

Coteje suas respostas com o apresentado a seguir.

Concluindo, tem-se:

- os ângulos correspondentes são congruentes (possuem a mesma medida);

- os ângulos alternos são congruentes (possuem a mesma medida);

- os ângulos colaterais são suplementares (a soma deles é igual a 180°).

Sintetizando...

Você estudou que os ângulos formados por uma reta concorrente a duas retas

distintas podem ser correspondentes, alternos e colaterais.

Se as duas retas forem paralelas, esses ângulos possuem algumas propriedades.

Veja o esquema a seguir.

Parada Obrigatória

Responda a atividade 11 que está no final deste capítulo. A atividade refere-se a

ângulos formados por uma reta concorrente a duas retas paralelas distintas.




Exercitando


capítulo V. Há muitas atividades com as respostas no final do livro. Dê uma olhada e

bom estudo!

Aprofundando...

Para saber mais sobre ângulos, estude o capítulo V do livro da bibliografia básica 1.

Pensando ainda nas retas paralelas, você estudou no capítulo 1 a demonstração

pelo método indireto e como exemplo foi proposto o seguinte teorema: “Se duas

retas distintas interceptam uma terceira (transversal) formando ângulos alternos

congruentes, então essas retas são paralelas.” IEZZI (et al, s/d, p. 17). A

demonstração feita do teorema provou a existência de retas paralelas, se não se

lembra, reveja.

Agora vamos provar a unicidade da reta paralela.

Pensando....

Por um ponto não pertencente a uma reta dada passam quantas retas paralelas

a essa reta dada?

2.2.14. Unicidade da reta paralela

Para provar a existência da reta paralela, será preciso do seguinte axioma:

Axioma das paralelas

“Por um ponto passa uma única reta paralela a uma reta dada.” (DOLCE &

POMPEO, 2005, p. 64).

Utilizando o axioma das paralelas, agora você estudará a recíproca do teorema da

existência da reta paralela. Acompanhe....

Teorema: Se duas retas paralelas distintas interceptam uma transversal, então os

ângulos alternos (ou os ângulos correspondentes) são congruentes.

Demonstração

Hipótese Tese

t u a e

t // u

r reta transversal

Vamos demonstrar pelo método da redução

ao absurdo.

Se â e ê não fossem congruentes, existiria uma reta

y, distinta de t, passando pelo ponto

S, onde {S} = t r, tal que:

â’ ê

Pelo teorema da existência da reta paralela, demonstrado no capítulo 1, se

â’ ê y // u.


t e u e transversal r.


t e u, reta transversal r e reta

y concorrente às retas t e r.

Assim, por S teríamos duas retas distintas y e t, ambas paralelas à reta u, o que é

absurdo, pois contraria o axioma das paralelas. (Por um ponto passa uma única reta

paralela a uma reta dada.).

Logo, â ê.

Dessa forma, uma condição necessária e suficiente para que duas retas distintas

serem paralelas é formarem, com uma transversal, ângulos alternos (ou ângulos

correspondentes) congruentes.

Além das retas paralelas, você também estudará ângulos de lados paralelos.

Prossiga na leitura.

2.2.15. Ângulos de lados paralelos

Com o auxílio de um transferidor, meça os ângulos indicados na figura 58 e na figura

59.

O que você pode perceber na figura 58?

Figura 58 - Ângulos de lados

paralelos e de mesmo sentido.


paralelos e de sentidos opostos.

E na figura 59?

Procure responder antes de prosseguir.

Você deve ter encontrado na figura 58 que os ângulos â e û têm a mesma medida,

ou seja, são congruentes. Na figura 59, se você somou os ângulos â e û deve ter

encontrado um valor igual ou próximo a 180°.

O que você acabou de verificar vale para todos os ângulos de lados respectivamente

paralelos. Acompanhe atentamente a demonstração do teorema.

Teorema: Dois ângulos de lados respectivamente paralelos são congruentes ou

suplementares.

Demonstração

Considere os ângulos â e â’ adjacentes e

suplementares; û e û’ também adjacentes e

suplementares e o ângulo ê formado pelo

prolongamento de OE . Dessa forma, o

desenho seria:

Hipótese Tese

/ /OC OE â û ou

/ /OD OF â + û’ = 180º ou â’ + û = 180º

â e û ângulos

û ê porque são ângulos correspondentes â û

â ê porque são ângulos correspondentes

Como â û e


paralelos: â e û, â’ e û.

â + â’ = 180º â’ + û = 180º

û + û’ = 180º â + û’ = 180º

Assim, você poderá utilizar o teorema dos ângulos de lados paralelos para resolver

as suas atividades. Não deixe de fazer.

Parada Obrigatória

Responda a atividade 12 que está no final deste capítulo. A atividade refere-se a

ângulos de lados paralelos.




Exercitando


capítulo V. Há muitas atividades com as respostas no final do livro. Dê uma olhada e

bom estudo!

Aprofundando...

Para saber mais sobre ângulos, estude o capítulo V do livro da bibliografia básica 1.

Você fez um estudo de ângulos desde a definição, classificação, algumas

construções, dentre outros. Agora você iniciará um estudo dos polígonos. Para isso,

esteja com o compasso, régua e transferidor.

2.3. Polígonos

Já foi estudado que a palavra polígono é de origem grega e que o prefixo poli-

significa vários, muitos e o sufixo –gonos, indica ângulo.

Mas qual a definição para polígonos?

Para verificar a definição, prossiga na leitura.

2.3.1. Definição

”Dada uma sequência de pontos de um plano (A1, A2,..., An) com n3, todos

distintos, onde três pontos consecutivos não são colineares, considerando-se

consecutivos An-1, An e A1, assim como An, A1 e A2, chama-se polígono à reunião dos

segmentos 113221 ,,...,, AAAAAAAA nnn .” (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 132).

Elementos

Vértices: A, B, C.

Lados: BCACAB ,,

Ângulos: ^^^

,, CBA

Elementos

Vértices: A, B, C, D, E, F.

Lados: ,,, CDBCAB

.,, FAEFDE

Ângulos:

.,,,,,^^^^^^

FEDCBA

A

B C

D

E F

A

B C Figura 61 – Triângulo ABC 1. Figura 62 – Hexágono

ABCDEF 1.

ABC e ABCDEF são polígonos. Observe que o número de vértices de um

polígono é igual ao seu número de lados.

Antes de verificar como se constrói um polígono, você irá estudar algumas

definições a seguir.

2.3.2 Superfície poligonal

A reunião de um polígono com seu interior é chamada de superfície poligonal.

2.3.3. Polígono convexo e côncavo

“Um polígono é convexo se está sempre contido em um dos semiplanos

determinados pelas retas que contêm os seus lados.” (BARBOSA, 1985. p. 32). Se

isso não acontece o polígono é côncavo.

Figura 63 – Pentágono convexo Figura 64 – Pentágono côncavo

2.3.4. Nomeando polígonos

O nome dos polígonos é dado de acordo com o número de lados. Utilizam-se os

mesmos prefixos dos poliedros, vistos no capítulo 1. Acompanhe:

3 lados = triângulo ou trilátero 9 lados = eneágono

4 lados = quadrângulo ou quadrilátero 10 lados = decágono

5 lados = pentágono 11 lados = undecágono

6 lados = hexágono 12 lados = dodecágono

7 lados = heptágono 15 lados = pentadecágono

8 lados = octógono 20 lados = icoságono

2.3.5. Polígono regular

“Um polígono convexo é regular se, e somente se, tem todos os lados congruentes

(é equilátero) e todos os ângulos congruentes (é equiângulo).” (DOLCE & POMPEO,

2005, p. 136).

Exemplos:

O triângulo equilátero é um triângulo regular.

Agora pegue o compasso e a régua para construir um polígono regular.

A- Construção do polígono regular pelo método de Rinaldini

Como construir um undecágono regular (11 lados)?

1º) Marque um ponto O e, com a ponta seca do compasso em O, trace uma

circunferência.

2º) Trace uma reta AB pelo ponto O.

Figura 66 -

Hexágono regular

ABCDEF 2.

A

B C

D

E F Figura 65 - Triângulo

equilátero ABC 1.

A

B C

3º) Divida o segmento AB em 11 partes iguais. (ver no item divisão de um

segmento em partes iguais).

4º) Destaque os pontos pares ou ímpares. Nesse caso, destacamos os pontos

pares, reforçando-os.

5º) Determine C e D, pela interseção dos arcos de centros A e B e raio AB , ou

seja, com a ponta seca do compasso em A, abertura com tamanho AB , trace

um arco; com a mesma abertura e ponta seca do compasso em B, trace outro

arco, de maneira que eles se interceptem.

Figura 67 – Circunferência de centro O e segmento AB .

6º) Determine E, F, G, H, I, J, L, M, N e P, traçando as semirretas de origens C

e D que passam pelos pontos pares (ou ímpares).

7º) Destaque o undecágono regular inscrito na circunferência.

Figura 68 – Undecágono regular.

Agora é com você!

Construa um eneágono regular, utilizando o processo de Rinaldini.

2.3.6. Cruzando assuntos

Retomando os sólidos geométricos, mais especificamente os poliedros convexos,

agora você irá verificar onde esses assuntos se cruzam, portanto, pegue os seus

poliedros convexos.

1. Dos poliedros convexos, separe aqueles nos quais todas as faces têm a forma de

polígonos regulares. Quais são eles? Coloque o número de cada um deles de

acordo com as figuras que você colou no caderno – capítulo 1.

Estes poliedros de número 2, 3, 7, 8 e 9 recebem o nome de Poliedros de Platão,

mais especificamente, Poliedros Regulares de Platão. Em seu caderno, coloque

esse nome em cada uma dessas figuras.

Pesquisando...

Responda as questões a seguir, pesquisando, em livros ou na internet.

a) O que são Poliedros de Platão?

b) Quais as condições para que um poliedro de Platão seja regular?

c) Quantos poliedros regulares de Platão existem?

d) Dê um exemplo de um poliedro de Platão que não seja regular. (Você pode

desenhar, recortar, pesquisar na internet, dentre outros).

Anote suas respostas no caderno, depois faça um comentário no Trabalho de

Construção de Aprendizagem - TCA.

Outra definição a ser estudada é a de diagonal de um polígono. Acompanhe!

2.3.7. Diagonal de um polígono

“Diagonal de um polígono é um segmento cujas extremidades são vértices não

consecutivos do polígono.” (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 136).

Exemplo:

BCeAD são as diagonais desse quadrilátero.

Obs.: Diagonal não é lado do polígono.

Figura 69 – Quadrilátero ABCD.

Mas, como achar o número de diagonais (d) de um polígono de n lados?

B

C D

A

Para determinar o número de diagonais de um polígono, preencha o quadro a seguir

respondendo as questões propostas.

quadrilátero pentágono

hexágono octógono

.... polígono de

n lados

.....

Questão 1 ....

Questão 2 ....

Questão 3 ....

Questão 4 ....

Questão 1- Com o lápis na extremidade de um dos vértices de cada polígono,

quantas diagonais é possível traçar? Escreva o número para cada polígono no

quadro.

Questão 2- Que relação é possível estabelecer entre esse número de diagonais e o

número de lados de um polígono? Ou seja, utilizando o número de lados do

polígono, que operação pode-se fazer para obter o número de diagonais que saem

de um vértice? Escreva a relação para cada polígono do quadro. Para achar a

relação, utilize operações de adição ou subtração.

Questão 3- Se você achou o número de diagonais que saem de um vértice, então

para achar quantas diagonais saem de todos os vértices, qual o procedimento?

A1

A3

A2

A4

A5

An-1 An

A

C D

B A

E

D C

B

A F

E

D C

B

A

G

F

E D

C

B

H

Escreva o resultado para cada um dos polígonos do quadro, utilizando a relação

encontrada no item anterior.

Questão 4- Trace todas diagonais (caso seja possível) dos polígonos do quadro. O

valor encontrado é igual ao que você encontrou na questão anterior? Se não for, o

que devemos fazer para obter esse valor? Escreva o resultado para cada um dos

polígonos do quadro.

Então, para calcular o número de diagonais (d), podemos usar uma fórmula. Qual?

Deduzindo a fórmula para encontrar o número de diagonais de um polígono de n

lados, utilizando a linguagem matemática:

Dedução

Seja A1A2A3...An um polígono de n lados.

Com extremidade num dos vértices do polígono (vértice A1,

por exemplo), tem-se:

(n – 3) diagonais.

Se, com extremidade em cada vértice, encontrou-se

(n – 3) diagonais, então com extremidades nos n vértices,

tem-se: n.(n – 3) diagonais.

Porém, ao utilizar n.(n – 3) cada diagonal é contada duas vezes, pois tem

extremidades em 2 vértices. (Por exemplo, no desenho acima, 51 AA e 15 AA são

contadas como duas diagonais, quando, na realidade, é uma só 51 AA =

15 AA ).

O número de diagonais d de um polígono de n lados (n3) é dado por:

.2

3.

nnd

A1

A3

A2

A4

A5

An-1

An

Figura 70 –

Polígono de n lados

1.

Logo, o número d de diagonais é:

.2

3.

nnd

Parada Obrigatória

Responda a atividade 13 que está no final deste capítulo. A atividade refere-se ao

número de diagonais de um polígono.




Exercitando


capítulo IX. Há muitas atividades com as respostas no final do livro. Dê uma olhada

e bom estudo!

Aprofundando...

Para saber mais sobre ângulos, estude o capítulo IX do livro da bibliografia básica 1.

Você verificou que é possível determinar o número de diagonais de um polígono.

Também é possível determinar a soma dos ângulos internos de um polígono

convexo, a soma dos ângulos externos de um polígono convexo, assim como o valor

dos ângulos internos de um polígono regular e dos ângulos externos de um polígono

regular. Acompanhe...

2.3.8. Soma dos ângulos internos e externos de um polígono

A- Soma dos ângulos internos de um polígono convexo - Si

Pensando no menor polígono, o triângulo, inicialmente, você irá acompanhar a

demonstração do teorema da soma dos ângulos internos de um triângulo.

Teorema: A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos

retos.

Demonstração

Seja ABC um triângulo. Pelo vértice C, trace uma reta s paralela ao lado AB .

Numere os ângulos formados com o vértice C, como abaixo:

Trace a reta suporte aos lados BC e AC .

Hipótese Tese

ABC é um triângulo ^

A + ^

B + ^

C = 180°

a) A soma dos ângulos ^

1 + ^

2 + ^

3 = 180°, pois formam um ângulo raso.

Reta suporte aos lados BC e

AC , é a reta que contém os

segmentos BC e AC .

Figura 71 – Triângulo ABC 1. Figura 72 – Triângulo ABC 2.

b) AC é transversal às duas paralelas s e a AB , assim, ^

1 ^

A , pois são ângulos

alternos internos.

c) Como a reta BC também é uma transversal, podemos afirmar que ^

3 ^

B , pois

são ângulos alternos internos.

d) Ao enumerar os ângulos, chamamos o ângulo ^

C de ^

2 ^

C ^

2 .

e) Substituindo os itens b, c e d no item a, temos que ^

A + ^

B + ^

C = 180°.

E para os demais polígonos convexos, como achar a soma das medidas de

seus ângulos internos?

Para descobrir, responda as questões a seguir, preenchendo o quadro.

quadrilátero pentágono hexágono octógono ....

polígono de

n lados

....

.

Questão 1 ....

Questão 2 ....

Questão 3 ....

Questão 1- Escolha um vértice de cada polígono e trace todas as diagonais que

saem desse vértice. Quantos triângulos foram formados? Complete o quadro para

cada polígono.

Questão 2- Qual a relação entre o número de triângulos formados e o número de

lados do polígono? Ou seja, utilizando o número de lados do polígono, que operação

A1

A3

A2

A4

A5

An-1 An

A

C D

B A

E

D C

B

A F

E

D C

B

A

G

F

E D

C

B

H

você fará para obter o número de triângulos formados no item anterior? Complete o

quadro para cada polígono.

Questão 3- Se somarmos todos os ângulos dos triângulos, teremos a soma dos

ângulos internos do polígono. Certo?

Se a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, então é só multiplicar esse

valor pelo número de triângulos formados. Concorda?

Complete o quadro para cada polígono, utilizando a expressão do item anterior.

Então, qual a fórmula para calcular a soma dos ângulos internos (Si) de um

polígono convexo?

Deduzindo a fórmula para encontrar a soma dos ângulos internos de um polígono de

n lados, utilizando a linguagem matemática:

ou

Dedução

Seja A1A2A3...An um polígono convexo de n lados.

De um vértice qualquer conduzir todas as diagonais

que têm esse vértice como extremo.

A soma Si dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados (n3) é

dada por: Si = (n – 2).2 retos

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é Si = 180° .(n – 2).

O polígono fica então dividido em (n – 2) triângulos e

a soma Si dos ângulos internos do polígono

Si = î1 + î2 + î3 + ... + în é igual à soma dos ângulos internos dos (n – 2) triângulos.

Logo, Si = (n – 2).2 retos ou Si = 180º.(n – 2)

B- soma dos ângulos externos de um polígono convexo - Se

Mas o que é ângulo externo de um polígono convexo?

“Ângulo externo de um polígono convexo é o ângulo suplementar adjacente a um

ângulo (interno) do polígono.” (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 138).

Indicarei ângulo externo por ae.

Exemplo:

Assim,

A soma Se dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados

(n3) é dada por: Se = 4 retos

Figura 74 – Polígono

de n lados 3.

Figura 73 – Polígono

de n lados 2.

ou

Para deduzir a fórmula, considere o desenho a seguir e complete os espaços a

seguir.

Seja o polígono A1A2A3...An um polígono convexo

de n lados.

Considere os ângulos externos ê1, ê2, ..., ên suplementares adjacentes aos

respectivos ângulos internos î1, î2, ..., în. Assim, complete os espaços.

ê1 + î1 = _____

ê2 + î2 = _____

ê3 + î3 = _____

.... ... = ……

ên + în = _____

__ + __ = ____

Substituindo Si por (n - 2).180° e resolvendo a equação, você encontrará a fórmula

da soma dos ângulos externos de um polígono convexo.

Conseguiu? Se não, acompanhe...

somando membro a membro as n igualdades,

temos que e1 + e2 + ... + en representa a soma dos

ângulos externos do polígono (Se) e i1 + i2 +...+ in

representa a soma dos ângulos internos do

polígono (Si).

A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é Se = 360°

Se = 360°

Figura 75 –

Polígono de n lados

4.

Somando membro a membro, encontra-se: Se + Si = n.180°

Substituindo Si por Si = 180°.(n – 2), tem-se:

Se + 180°.(n – 2) = n.180°

Aplicando a propriedade distributiva:

Se + n.180° – 360° = n.180°

Achando o valor de Se:

Se = n.180° - n.180° + 360°

Se = 360°

Parada Obrigatória


soma dos ângulos internos de um polígono convexo.




Exercitando



e bom estudo!

Aprofundando...


2.3.9.- Ângulo interno e externo de um polígono regular

A- Ângulo interno de um polígono regular (ai)

Com a fórmula da soma dos ângulos internos de um polígono é possível achar o

valor do ângulo interno de um polígono regular, pois todos os seus ângulos internos

são congruentes! Concorda?

Para isso, é só dividir a soma dos ângulos internos (Si)pelo número de lados do

polígono (n)! Certo?

Então, expresse essa fórmula.

ai =

Como Si = 180º.(n – 2), você pode substituir Si e encontrar a fórmula que determina

ai em função do número de lados do polígono regular.

Expresse essa fórmula.

ai =

Conseguiu? Se não, acompanhe.

Concluindo,

ai = n

S i ou ai =

n

n º180.2

Sintetizando...

Você verificou que é possível utilizar algumas fórmulas para determinar a soma dos

ângulos internos e externos de um polígono:

Si = 180º.(n – 2) e Se = 360°

B- Ângulo externo de um polígono regular (ae)

O procedimento para determinar o ângulo externo é o mesmo, pois todos os seus

ângulos externos são congruentes! Ok?

É só dividir a soma dos ângulos externos (Se) pelo número de lados do polígono

regular (n)!

Então, expresse essa fórmula.

ae =

Como Se = 360º, você pode substituir na fórmula.

Concluindo: ae = n

S e ou ae = n

º360

Sintetizando...

Você verificou que é possível utilizar algumas fórmulas para determinar as medidas

dos ângulos internos e externos de um polígono regular, assim como determinar a

soma dos ângulos internos e externos de um polígono:

ai = n

S i ou ai =

n

n º180.2 e ae =

n

S e ou ae = n

º360

Parada Obrigatória


soma dos ângulos externos de um polígono convexo.



básica ou a complementar ou a internet, dentre outros.

Exercitando



e bom estudo!

Aprofundando...


Pensando...

Você deve ter notado que, para calcular a soma dos ângulos internos de um

polígono convexo, ele foi dividido em triângulos e que, ao traçar as diagonais que

saem de um vértice de um polígono, também se determinou vários triângulos.

Certo?

Se você observar, no seu cotidiano, estão presentes vários triângulos. Cite

alguns locais, objetos, dentre outros, nos quais você conseguiu visualizar a

presença de triângulos e poste suas respostas no Trabalho de Construção de

Aprendizagem – TCA.

Entre todos os polígonos, o triângulo é que apresenta uma rigidez geométrica que os

outros não possuem. Depois de construído, não é possível modificar a abertura de

seus ângulos. Essa propriedade é bastante utilizada na engenharia, na arquitetura,

na carpintaria, dentre outros. Por exemplo, na construção de telhados, a tesoura ou

treliça são compostas por vários triângulos, que impedem que um vento qualquer

abale a sua estrutura, levando o telhado ao chão. Essa rigidez também justifica o

fato de os carpinteiros colocarem uma espécie de trava quando fazem portões,

porteiras, armários, dentre outros.

Você não deve ter encontrado triângulos apenas nesses locais citados. Em muitas

obras de arte, eles são utilizados e nem sempre pela propriedade da rigidez, mas

também pela facilidade que se tem de compor, por justaposição, quadriláteros ou

outros polígonos de várias formas e tamanhos.

Se você não se convenceu, faça a experiência a seguir:

pegue três palitos de picolé ou canudinhos com tamanhos iguais ou

variados; depois prenda-os com tachinhas e tente mover os lados do

triângulo. Conseguiu? Com certeza não!

Além dessa propriedade, os triângulos têm também outras propriedades

interessantes, por isso será estudado em um tópico nesse capítulo e terá

continuidade posteriormente.

2.3.10. Triângulos

A- Definição: “Dados três pontos A, B e C não colineares, à reunião dos segmentos

AB , AC e BC chama-se triângulo ABC.” (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 36).

Indica-se: triângulo ABC ou ABC

Alguns elementos:

Vértices: A, B e C

Lados: BCACAB ,,

Ângulos internos: ^

A , ^^

,CB

Mas como construir um triângulo?

Usa-se o compasso?

Acompanhe a construção, a seguir.

Construa um triângulo com todos os lados medindo 5 cm.

a) Marque, numa reta r horizontal, um

segmento BC de 5 cm.

Figura 77 – Reta r e segmento BC 1.

b) Com a ponta seca do compasso em

B e abertura igual a 5 cm, trace um

arco de circunferência.

Figura 78 – Reta r e segmento BC 2.

c - Com a ponta seca do compasso em

C e abertura de 5 cm (a mesma), trace

A

C

B Figura 76 – Triângulo ABC 4.

outro arco determinando o ponto A no

arco anteriormente traçado.

Figura 79 – Triângulo equilátero ABC 2.

Agora é com você!

Construa um triângulo ABC com os lados medindo 6 cm.

Você já ouviu falar em triângulo retângulo?

Sabe por que ele recebe esse nome?

Prossiga na leitura e veja a classificação dos triângulos quanto à medida dos lados e

quanto à medida dos ângulos.

B- Classificação de triângulos

Classificando os triângulos quanto à medida dos lados e dos ângulos.

I) Construa triângulos com as seguintes medidas:

a) ABC com AB = 3 cm; BC = 4 cm; AC = 5 cm

b) DEF com DE = 7 cm; EF = 4 cm; DF = 10 cm

c) GHI com GH = 5 cm; HI = 4 cm; GI = 4 cm

d) KLM com KL = 4 cm; LM = 4 cm; KM = 4 cm

II) Separe os triângulos que possuem a seguinte característica solicitada a seguir.

a) Quais os triângulos que possuem todos os lados com medidas diferentes?

Eles recebem o nome de triângulos escalenos.

b) Quais os triângulos que possuem dois lados com medidas iguais?

Eles recebem o nome de triângulos isósceles.

c) Qual o triângulo que possui todos os lados com a mesma medida?

Ele recebe o nome de triângulo equilátero.

Você deve ter verificado que os triângulos ABC e DEF são escalenos; os triângulos

GHI e KLM são isósceles e o triângulo KLM é equilátero.

Assim, quanto à medida dos lados, os triângulos podem ser equiláteros, isósceles

e escalenos.

III) Agora, separe os triângulos que possuem a característica solicitada a seguir.

a) Qual o triângulo que possui um ângulo reto?

Ele recebe o nome de triângulo retângulo.

b) Qual o triângulo que possui um ângulo obtuso?

Ele recebe o nome de triângulo obtusângulo.

c) Quais os triângulos que possuem todos os ângulos agudos?

Eles recebem o nome de triângulos acutângulos.

d) Qual o triângulo que possui todos os ângulos com a mesma medida?

Ele recebe o nome de triângulo equiângulo.

Você deve ter verificado que o triângulo ABC é retângulo; o triângulo DEF é

obtusângulo; os triângulos GHI e KLM são acutângulos e o triângulo KLM é

equiângulo.

Assim, quanto à medida dos ângulos, os triângulos podem ser retângulos,

obtusângulos, acutângulos e equiângulos.

C- Triângulo retângulo

O triângulo retângulo recebe nomes especiais para a medida de seus lados:

Esquematizando...

Classificação de triângulos

Assim, todo triângulo equilátero é isósceles, pois ele tem dois lados com a mesma

medida. Todo triângulo equiângulo é acutângulo, pois possui todos os ângulos com

medida menor que 90°.

O lado oposto ao ângulo reto num triângulo

retângulo chama-se hipotenusa. É o maior lado

do triângulo retângulo.

Os outros dois lados recebem o nome de

catetos.

B

A

C

Figura 80 – Triângulo ABC 4.

Classificou-se os triângulos quanto à medida dos ângulos e você também já estudou

como se determina os ângulos externos de um polígono. Entretanto, para os

triângulos existe um teorema que traz uma relação interessante e bastante utilizada

nas atividades. Veja....

D- Teorema do ângulo externo de um triângulo

Teorema: “Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual à soma dos dois

ângulos internos não adjacentes a ele.” (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 65).

Demonstração

Hipótese Tese

ABC ê = B^

A C + A^

B C

ê - ângulo externo adjacente a ^

C

1) B^

A C + A^

B C + A^

C B = 180º - soma dos ângulos internos de um triângulo

2) ê + A^

C B = 180º - são ângulos suplementares

Comparando 1 e 2, temos que ê = B^

A C + A^

B C

Veja outra maneira de demonstrar na bibliografia básica 1, capítulo V.

Parada Obrigatória

Responda as atividades 16, 17 e 18 que estão no final deste capítulo. As atividades

referem-se à classificação de triângulos e o teorema do ângulo externo de um

triângulo.


Figura 81 – Triângulo ABC 5.

Caso ainda tenha alguma dúvida retome a leitura do texto ou bibliografia

básica ou a complementar ou a internet, dentre outros.

Exercitando


capítulo IV e V. Há muitas atividades com as respostas no final do livro. Dê uma

olhada e bom estudo!

Agora você irá estudar outros elementos do triângulo e, para isso, precisará do

compasso e da régua, portanto pegue-os.

2.3.11. Pontos Notáveis do Triângulo

A abordagem, nesse momento, é a de definição e construção destes pontos

notáveis. Nos próximos capítulos, serão demonstrados os teoremas.

A- Ortocentro

Ortocentro de um triângulo é o ponto de encontro das alturas do triângulo.

Mas, o que é a altura de um triângulo?

Antes de construir o ortocentro, você irá estudar o conceito de altura de um triângulo

e o como construir esta altura.

“Altura de um triângulo é o segmento de reta perpendicular à reta suporte de um

lado do triângulo com extremidades nesta reta e no vértice oposto ao lado

considerado.” (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 84).

Assim, a altura é um segmento perpendicular compreendido entre o vértice e o lado

oposto do triângulo ou ao seu prolongamento. Num triângulo, têm-se três alturas.

Veja a altura nos seguintes triângulos:

1) triângulo acutângulo

2) Triângulo retângulo

Figura 82 – Triângulo ABC e

altura Ha.

aAH é a altura relativa ao lado BC , ou

aAH é a altura relativa ao vértice A.

Ha é dito pé da altura.

Nessa figura, estão representadas as três alturas do

triângulo ABC.

aAH é a altura relativa ao lado BC .

bBH é a altura relativa ao lado AC .

cCH é a altura relativa ao lado AB .


alturas Ha, Hb e Hc.

Observe que na figura 84 a altura relativa ao lado BC coincide com o lado AB ,

pois esse lado é perpendicular a BC . E na figura 85 a altura relativa ao lado AB

também irá coincidir com o lado, nesse caso, o lado BC , pois esse lado é

perpendicular a AB .

3) Triângulo obtusângulo

Quando o triângulo é retângulo,

duas de suas alturas irão coincidir

com o vértice do ângulo reto do

triângulo. Então, para achar as

três alturas é só determinar a

altura relativa à hipotenusa que

em nossa figura é bBH .

Figura 85 –

Triângulo

retângulo ABC e

altura H2.

A figura mostra as três alturas de um triângulo

obtusângulo. Observe que as alturas ba BHeAH

foram determinadas nos prolongamentos dos lados

ACeBC , respectivamente. O lado em que não é

necessário prolongamento é o lado oposto ao ângulo

obtuso.

H é o ponto de encontro das alturas – o ortocentro.

Figura 84 –

Triângulo

retângulo ABC

e altura H1.

Para determinar as alturas de um triângulo

obtusângulo, é necessário prolongar dois de

seus lados. Com os prolongamentos, a altura

se encontra na reta suporte do lado do

triângulo. Veja a altura aAH relativa ao lado

BC está fora do triângulo ABC.

Figura 86 – Triângulo

obtusângulo ABC e altura

Ha.

Como construir a altura de um triângulo?

Com a régua e o compasso, acompanhe o passo a passo.

Se a altura é um segmento perpendicular compreendido entre o vértice e o lado

oposto do triângulo ou ao seu prolongamento, a ideia da construção é a de traçar

uma reta perpendicular por um ponto fora desta reta.

Então, para construir o ortocentro é só repetir esse procedimento para cada

lado do triângulo?


obtusângulo ABC e

alturas Ha, Hb e Hc.

Figura 88 – Reta r e

ponto P.

Figura 89 – Reta r e

pontos P e C.

Figura 90 – Retas r e s

perpendiculares.

1- Desenhe uma reta r

qualquer e um ponto P que

não pertence a r, ou seja,

fora da reta r. Com uma

abertura maior que a

distância de P até r,

coloque a ponta seca do

compasso em P e marque

dois pontos auxiliares em r

(pontos A e B),

equidistantes de P.

2- Com uma abertura no

compasso maior que a

metade distância AB (pode

ser a mesma abertura),

coloque a ponta seca do

compasso em A e trace um

arco; com a mesma abertura

e ponta seca em B trace

outro arco que irá interceptar

o anterior no ponto C.

3- A reta s é a reta que

passa pelos pontos P e C e

é perpendicular à reta r, ou

seja, traçamos uma reta

perpendicular à reta r que

passa pelo ponto P.

Observe que há um vértice e seu lado oposto. Para traçar a altura, é preciso

construir uma reta perpendicular que passe pelo vértice e encontre o lado oposto do

triângulo.


Desenhe um triângulo retângulo, um obtusângulo e um equiângulo e construa, com

compasso e régua, o ortocentro de cada um deles.

B- Baricentro

Baricentro ou centroide de um triângulo é o ponto de encontro das medianas do

triângulo.

Mas, o que é mediana de um triângulo?

1- Desenhe um triângulo

ABC, acutângulo e não

equiângulo. Trace a altura

relativa ao lado AB, ou seja,

construa uma reta

perpendicular ao lado AB e

que passe pelo ponto C.

ABCH 1

2- Pelo mesmo processo,

construa BCAH 2 ,

determinando o ortocentro.

3- O ponto H é o ortocentro

do triângulo ABC, ou seja, é

o ponto de encontro das

alturas do triângulo ABC.

Figura 91 – Triângulo ABC

e altura 1CH .


e alturas 1 2CH e AH .

Figura 93 – Ortocentro H

do triângulo ABC 1.

Medianas de um triângulo são os segmentos que têm uma extremidade no vértice

do triângulo e a outra no ponto médio do lado oposto a esse vértice. Um triângulo

tem três medianas. Veja a figura a seguir.

Observe que, quando se conceitua mediana de um triângulo, na realidade está se

falando de mediana de um segmento.

O que é mediana de um segmento? Como construí-la?

Mediana de um segmento é a reta que divide o segmento em segmentos

congruentes, ou seja, a reta que passa pelo ponto médio do segmento.

Construção da mediana de um segmento

A construção segue os mesmos procedimentos do

ponto médio visto no volume 1. Veja:

a) desenhe um segmento e com a ponta seca do

compasso em A, abertura maior que a metade do

segmento , podendo ser do comprimento de ,

1CM , 2AM e 3BM são as medianas do triângulo ABC.


medianas 1CM , 2AM e

3BM .

A B M

D

C

r

A reta r é uma das

medianas do segmento .

Figura 95 – Segmento e

mediana r.

trace uma circunferência ou uma semicircunferência;

b) em seguida, com a mesma abertura, e ponta seca do

compasso em B, trace outra circunferência ou

semicircunferência;

c) essas circunferências/semicircunferências cortam-se

em dois pontos C e D;

d) posicione a régua como se fosse traçar o segmento

. Na interseção do segmento CD com o segmento

marque o ponto médio, M.

e) Qualquer reta que interceptar o ponto médio do

segmento AB recebe o nome de mediana do segmento

.

Então, para construir o baricentro é só repetir esse procedimento para cada

lado do triângulo!

Vale lembrar que a mediana do triângulo liga o ponto médio de um lado ao vértice

oposto a esse lado.

Peque o compasso e a régua e acompanhe os procedimentos a seguir.


ABC e, com o auxílio do

compasso, determine os

pontos médios de AB e

BC .

2- Trace 1CM e 2AM ,

determinando o baricentro M.

3- O ponto M é o ponto de

encontro das medianas,

ou seja, ele é o baricentro

do triângulo ABC.


e pontos médios M1 e M2.


e medianas 1 2CM e AM .

Figura 98 – Ortocentro H

do triângulo ABC 2.

Com o auxílio do compasso e ponta seca em M, abertura até o ponto M1, gire o

compasso e marque esta distância sobre CM . Agora com a ponta seca em C e

mesma abertura, marque esta distância, novamente, sobre CM .

O que você pode observar? Quantas vezes o segmento MM1 coube em CM ?

Procure responder antes de prosseguir. Depois coteje sua resposta com o

expresso a seguir.

Então, podemos concluir que o baricentro divide a mediana em três partes iguais, de

maneira que a parte que contém o vértice é o dobro da outra, ou seja, ela é 2/3 da

outra parte, respectivamente. Como a figura a seguir, observe:

Para saber mais...

Figura 99 – Baricentro M do

triângulo ABC.

O baricentro funciona como ponto de equilíbrio do triângulo. Para saber mais, visite

o site:

http://matemateca.incubadora.fapesp.br/portal/textos/matemateca/experiencias-com-

o-baricentro/baricentro.pdf



compasso e régua, o baricentro de cada um deles.

C- Incentro

Incentro de um triângulo é o ponto de encontro das bissetrizes internas do triângulo.

Mas, o que é bissetriz do triângulo?

Bissetriz do triângulo é o segmento da bissetriz de um ângulo do triângulo,

compreendido entre o vértice e o lado oposto.

Um triângulo tem três bissetrizes. Veja a figura a seguir.

Figura 100 – Triângulo LMN e

bissetrizes 1 2 3,NB LB e MB .

1 2 3,NB LB e MB são as bissetrizes do

triângulo LMN.

Voltando.....

Veja, neste capítulo, como se constrói a bissetriz de um ângulo.

Construção do incentro

Construa um triângulo ABC acutângulo e não equiângulo e trace o seu incentro (I).

Em seguida, trace uma reta perpendicular a um dos lados do triângulo e que passe

pelo ponto I (para recordar como se constrói a reta perpendicular que passa por um

ponto, volte ao ortocentro). Veja o desenho a seguir.

Nomeie o ponto de interseção da perpendicular com o lado de Ta. Com a ponta seca

do compasso em B, abertura até o ponto Ta, trace uma circunferência.


NLM e bissetriz altura

1NB .


NLM e bissetrizes

1 2NB e LB .

Figura 103 – Incentro do

triângulo NLM.


NLM acutângulo e não

equiângulo. Construa a

bissetriz 1NB .

2- Construa a bissetriz

2LB , determinando o

incentro.

3- O ponto B é o ponto de

encontro das bissetrizes, ou

seja, ele é o incentro do

triângulo MNL.

O que você pode observar?

Procure responder, antes de prosseguir. Depois, coteje sua resposta com o

expresso a seguir.

O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. A circunferência

tangencia os lados do triângulo, ou seja, intercepta os lados do triângulo em um

ponto.



compasso e régua, o incentro de cada um deles.

D- Circuncentro

Circuncentro de um triângulo é o ponto de encontro das mediatrizes de um triângulo.

Figura 104 – Incentro I do triângulo

ABC e perpendicular Ta ao lado BC .

Figura 105 – Circuncentro O

do triângulo ABC.

O ponto O é o circuncentro do triângulo ABC.

Mas o que é mediatriz?

“Mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao segmento pelo seu ponto

médio.” (DOLCE & POMPEO, 2005, p. 84)

Observe que a mediatriz é uma mediana que é perpendicular no ponto médio.

Mediatriz de um triângulo é a mediatriz de um lado do triângulo. A mediatriz não é

um segmento que tem que ter uma extremidade no vértice. Assim, num triângulo

determina-se a mediatriz de um segmento (lado do triângulo).

Construção da mediatriz de um segmento

Primeiramente veja a construção da mediatriz de um segmento para depois construir

as mediatrizes de um triângulo.

Retome o processo de construção do ponto médio, no capítulo 1, ou da mediana,

nesse capítulo. A diferença é que a mediatriz é a reta perpendicular ao segmento no

seu ponto médio. Veja:


AB .


AB e pontos P1 e P2.

Figura 108 – Mediatriz

1 2PP do segmento AB .

Repetindo esse procedimento encontra-se o circuncentro do triângulo. Certo?

Veja a construção do circuncentro.

Construa um triângulo ABC acutângulo e não equiângulo, trace o seu circuncentro

(O) e com a ponta seca do compasso no circuncentro O, abertura até o vértice A,

trace uma circunferência. Veja a figura a seguir.

Figura 112 - Circuncentro O do

triângulo ABC e circunferência

circunscrita.

1- Construir um

triângulo ABC

acutângulo e não

equiângulo e traçar a

mediatriz m1 do

segmento AB .

2- Traçar a mediatriz m2

do segmento BC ,

determinando o

circuncentro O.

3- O ponto O é o ponto

de encontro das

mediatrizes, ou seja, ele

é o circuncentro do

triângulo ABC.


ABC e mediatriz m1.


ABC e mediatrizes m1 e

m2.

Figura 111 –

Circuncentro O do

triângulo ABC.

O que você pode observar?

Procure responder antes de prosseguir. Depois coteje sua resposta com o

expresso a seguir.

O circuncentro é o centro de uma circunferência circunscrita ao triângulo.

Ele equidista dos vértices do triângulo.



compasso e régua, o circuncentro de cada um deles.

Sintetizando...

Como você fez a construção de cada um dos pontos notáveis do triângulo para os

triângulos acutângulo, equilátero ou equiângulo, retângulo e obtusângulo, preencha

a quadro a seguir indicando se esses pontos encontram-se: dentro do triângulo, fora

do triângulo, no vértice do triângulo ou sobre um de seus lados.

Quadro 3 – Síntese dos pontos notáveis de um triângulo.

Triângulo Pontos notáveis do

triângulo Onde se encontra o ponto notável

Acutângulo

Incentro

Baricentro

Circuncentro

Ortocentro

Equilátero Incentro

Equidista (o

prefixo equi

significa igual e o

sufixo –dista

significa

distância; tem a

mesma distância.

Baricentro

Circuncentro

Ortocentro

Retângulo

Incentro

Baricentro

Circuncentro

Ortocentro

Obtusângulo

Incentro

Baricentro

Circuncentro

Ortocentro

Conseguiu fazer?

Espero que sim! Confira as suas respostas com o expresso a seguir.

Nos triângulos acutângulo e equilátero, os pontos notáveis encontram-se dentro do

triângulo. No triângulo obtusângulo, o incentro e o baricentro encontram-se dentro do

triângulo e o circuncentro e o ortocentro encontram-se fora do triângulo. No triângulo

retângulo o incentro e o baricentro encontram-se dentro do triângulo, o circuncentro

encontra-se sobre a hipotenusa e o ortocentro encontra-se fora do triângulo.

Vale lembrar ainda que o baricentro divide a mediana na razão de dois para um a

partir do vértice do triângulo; que o incentro é o centro de uma circunferência inscrita

no triângulo; e, que o circuncentro é o centro de uma circunferência circunscrita no

triângulo.

Parada Obrigatória

Responda a atividade 19 que está no final deste capítulo. A atividade refere-se aos

pontos notáveis do triângulo.


Caso ainda tenha alguma dúvida, retome as atividades do capítulo.

2.3.12. Cruzando assuntos

Retomando os sólidos geométricos, você irá verificar como esses assuntos se

cruzam. Portanto, pegue-os, mais especificamente os poliedros convexos.

1. Quais os poliedros convexos que têm, pelo menos, uma face com a forma

triangular? Coloque o número de cada um, de acordo com as figuras coladas em

seu caderno - capítulo 1.

2. Dos poliedros convexos do item anterior, separe aqueles com os quais é possível

apoiar uma face sobre a mesa, de modo que todos os vértices, exceto um, fiquem

sobre a mesa. Coloque o número da figura de acordo com as figuras coladas em

seu caderno – volume 1.

3 Estas figuras recebem o nome de pirâmides. Em seu caderno, coloque esse

nome em cada uma dessas figuras.

4. Como são formadas as faces laterais das pirâmides?

5. Como pode ser formada a base da pirâmide?

6. Dar nomes às pirâmides de acordo com as bases. Em seu caderno, coloque o

nome em cada uma das pirâmides.

Coteje suas respostas com o expresso a seguir.

Ao responder as perguntas você deve ter verificado que as figuras de número 1, 2,

7, 9 e 13 possuem triângulos em suas faces.

Também deve ter verificado que são pirâmides apenas as figuras 3 e 13, pois uma

face fica sobre a mesa e todos os vértices, exceto um, também ficam sobre a mesa.

Deve ter notado que todas as faces laterais são triangulares e que a base pode ter a

forma de qualquer polígono. Assim, as pirâmides recebem nome de acordo com a

forma do polígono da base; figura 3, pirâmide triangular e figura 13 pirâmide

quadrangular.

2.4. Resumindo

Você estudou, nesse capítulo, ângulos e polígonos. Em relação aos ângulos,

verificou como se constrói um ângulo utilizando régua e transferidor, assim como a

sua bissetriz, que é a semirreta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.

Fez operações com ângulos e classificou os ângulos em consecutivos (dois ângulos

nos quais os lados de um deles é também lado do outro); adjacentes (dois ângulos

que são consecutivos e possuem apenas um lado comum); retos (medida igual a

90°); agudos (medida menor que 90°); obtusos (medida maior que 90°); rasos ou de

meia volta (medida igual a 180°); opostos pelo vértice (os lados de um deles são as

semirretas opostas aos lados do outro); complementares (dois ângulos cuja soma é

igual a 90°) e suplementares (dois ângulos cuja soma é igual a 180°). Com o auxílio

do compasso, também fez o transporte de ângulos, fundamental para dividir um

segmento em partes iguais e para a construção de um polígono.

Ao classificar as retas em coplanares (que estão em um mesmo plano) e não

coplanares, verificou que as retas paralelas e as concorrentes são coplanares e que

as retas reversas, apesar de não se encontrarem não são coplanares, pois não

existe um plano que as contenha. Assim, as retas reversas são não coplanares.

Dando continuidade, classificou os ângulos formados pelo encontro de duas retas

com uma transversal em: colaterais e alternos, internos e externos e

correspondentes. Verificou que, quando as duas retas forem paralelas cortadas por

uma transversal, esses ângulos possuem algumas características. Os

correspondentes e os alternos são congruentes e os colaterais são suplementares.

Também verificou que os ângulos de lados respectivamente paralelos são

congruentes ou suplementares.

Em relação aos polígonos, verificou que o número de vértices de um polígono é

igual ao seu número de lados; que um polígono regular tem todos os lados

congruentes e todos os ângulos congruentes. Com o auxílio do compasso e da

régua, construiu um polígono utilizando o processo de Rinaldini. Determinou: a) o

número de diagonais de um polígono de n lados . 3

2

n nd

; b) a soma dos

ângulos internos de um polígono de n lados [Si = 180°(n - 2)]; c) a soma dos ângulos

externos de um polígono de n lados (Se = 360°); d) o ângulo interno de um polígono

de n lados 2 .180º

ii i

nSa a ou

n n

; e) o ângulo externo de um polígono de n

lados360ºe

e e

Sa ou a

n n

.

Com o auxílio do compasso e da régua, você construiu triângulos e em seguida

classificou-os quanto à medida dos lados em: escalenos (possuem os três lados

com medidas diferentes), isósceles (possuem dois lados com a mesma medida) e

equiláteros (que possuem os três lados com medidas diferentes) e; quanto à medida

dos ângulos em: acutângulos (possuem três ângulos agudos), obtusângulos

(possuem um ângulo obtuso), retângulos (possuem um ângulo reto), equiângulos

(possuem os três ângulos com a mesma medida). Em relação ao triângulo retângulo,

você também viu que os seus lados recebem nomes especiais: o maior lado

denomina-se hipotenusa e os outros dois lados catetos. Um teorema importante

para o assunto de triângulos também foi demonstrado, é o teorema do ângulo

externo de um triângulo. Este teorema diz que o ângulo externo de um triângulo é

igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele.

Ainda em relação aos triângulos, com o auxílio da régua e do compasso você

construiu os pontos notáveis de um triângulo: ortocentro, incentro, baricentro e

circuncentro. Em relação a essa construção você verificou que o ortocentro é o

ponto de encontro das alturas de um triângulo; o incentro é o ponto de encontro das

bissetrizes de um triângulo e é o centro de uma circunferência inscrita no triângulo;

baricentro é o ponto de encontro das medianas de um triângulo e divide a mediana

na razão de dois para um a partir do vértice; circuncentro é o ponto de encontro das

mediatrizes de um triângulo e é o centro de uma circunferência circunscrita no

triângulo.

Por fim, você verificou onde este assunto, triângulos, se encontra com os sólidos

geométricos. Descobriu que as faces laterais de um pirâmide são triangulares, que a

base pode ser qualquer polígono e que se nomeia as pirâmides de acordo com o

polígono da base.

Ufa! É muito assunto, mas com certeza você, com a sua dedicação e empenho,

deve ter assimilado. Não deixe de consultar a bibliografia básica para aprofundar e

fazer mais atividades.

Bom estudo!

2.5. Referências

DOLCE, Osvaldo & POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática

Elementar: geometria plana. 7. ed. São Paulo: Atual, 2005. v. 9.

BARBOSA, João Lucas. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro: Sociedade

Brasileira de Matemática, 1995.

DOLCE, Osvaldo & POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática

Elementar: geometria espacial, posição e métrica. 5. ed. São Paulo: Atual, 1993. v.

10.

REZENDE, Eliane Quelho Frota; QUEIROZ, Maria Lúcia Bontorim de. Geometria

Euclidiana Plana e Construções Geométricas. Campinas-SP: Editora da

Unicamp, 2000.

2.6. Atividades propostas

Atividade 1

Com o auxílio do transferidor, meça os ângulos abaixo. Faça uma estimativa antes

de utilizar o transferidor e anote ao lado.

a) b)

Atividade 2

Com o auxílio da régua e do transferidor, desenhe e nomeie um ângulo de 60° e

150°.

Atividade 3

Simplifique as seguintes medidas:

a) 80°169’ b) 110° 58’240’’

Atividade 4

Resolva as operações a seguir:

E F

B

A C

D

a) 3º58’45’’ + 5º42’55’’ b) 7°32’ – 2°54’23’’

c) 10º12’17’’ x 6 d) 43°13’23’’ : 7

Atividade 5

Determine o valor de a e dos ângulos.

5.1)

5.2)

5.3) Coloque V para verdadeiro e F para falso.

a) (___) Se dois ângulos são consecutivos, então eles são adjacentes.

b) (___) Se dois ângulos são opostos pelo vértice, então eles são adjacentes.

c) (___) Se dois ângulos são adjacentes, então eles são consecutivos.

d) (___) Ângulos de medida 20°, 30° e 40° são complementares.

e) (___) Se dois ângulos são consecutivos, então eles são opostos pelo vértice.

f) (___) Se dois ângulos são complementares, então eles são adjacentes.

5.4) Calcule o complemento, o suplemento e o replemento dos ângulos:

a) 40° b) 80° c) um ângulo de medida x

5.5) Sabendo que um ângulo mede x, indique:

a) o triplo do seu complemento;

b) a terça parte do seu suplemento;

c) o complemento da sua quinta parte;

d) o dobro do suplemento da sua quarta parte.

5.6) Sabendo que um ângulo vale o triplo do seu suplemento, determine o seu valor.

5.7) Sabendo que o suplemento do triplo do complemento da metade de um ângulo

é igual ao triplo do complemento desse ângulo, o valor do ângulo é:

a) 90° b) 120° c) 80° d) 60° e) 100°

Atividade 6

Construa os ângulos a seguir e trace a sua bissetriz:

a) 75º b) 120º

Atividade 7

Como construir um ângulo AÔC de 22º30’ utilizando apenas régua e compasso?

Descreva o processo e faça a construção, passo a passo.

Atividade 8

Transporte os ângulos ^

R , ^

S , ^

T e ^

V para as posições ^

'R , ^

'S , ^

'T e ^

'V . A figura

representa uma pessoa correndo.

Atividade 9

Sabendo que AC é bissetriz do ângulo BÂD, determine o valor de x, BÂC, CÂD e

BÂD.

A 4x – 15°

2x – 25°

Atividade 10

De acordo com a figura, responda os itens abaixo, relativos à classificação de retas:

Atividade 11

Se as retas a e b são paralelas, determine o valor de x e y em cada caso:

a) b)

c)

a) as retas r e s são ____________________

b) as retas r e t são ____________________

c) as retas r e u são ____________________

d) as retas t e u são ____________________

e) as retas t e s são ____________________

f) as retas s e u são ____________________

t

r

s u

Atividade 12

Determine o valor de x, sabendo que / / / /OD OF e OC OF .

Atividade 13


a) Calcule o número de diagonais de um icoságono.

b) Determine o polígono cujo número de diagonais é o dobro do número de lados.

Atividade 14


a) Calcule a soma dos ângulos internos de um dodecágono regular.

b) Qual é o polígono cuja soma dos ângulos internos é igual a 1.260°?

c) A soma dos ângulos internos com a soma dos ângulos externos de um polígono

regular é igual a 2.700°. Determine o número de diagonais do polígono.

Atividade 15

Resolva as atividades a seguir.

a) O ângulo interno de um polígono é o triplo de seu ângulo interno. Determine o

número de diagonais do polígono.

b) Nas figuras abaixo ache o valor da incógnita, justificando sua resolução.

b.1) r // s b.2) OF e OC são bissetrizes

Atividade 16

Coloque V para verdadeiro e F para falso.

a) (___) Os triângulos isósceles são equiláteros.

b) (___) Todo triângulo retângulo é isósceles.

c) (___) Os triângulos isósceles são congruentes.

d) (___) Existem triângulos obtusângulos escaleno.

e) (___) Existem triângulos retângulo escaleno.

São verdadeiros os itens: d, e.

São falsos os itens: a, b, c.

Atividade 17

Determine o valor de x e y nos triângulos a seguir.

a) O é isósceles de base b) O é equilátero

Atividade 18

Determine os ângulos â e ê na figura a seguir.

Atividade 19

19.1. Coloque V para verdadeiro e F para falso.

a) (___) O incentro é o centro de uma circunferência que circunscreve o triângulo.

b) (___) O ortocentro encontra-se no vértice do triângulo retângulo.

A

B C

2x - 14 22 –

4x

10

A

B C

3x - 10 y – 25

x + 30

110

° 140

°

a 50° e

130

°

c) (___) O incentro é sempre interno ao triângulo.

d) (___) O baricentro divide a mediana na razão de 2 para 1 a partir do vértice do

triângulo.

e) (___) O circuncentro encontra-se no vértice do triângulo.

19.2. Sabendo que M é o baricentro do triângulo ABC, determine o valor de a, b e c.

2.8. Referencial de Resposta das Atividades

Atividade 1

a) 30º b) 130º

Atividade 2

CÂB = 60° DÊF = 150°

8

5

14

a b

c

D

E F

Atividade 3

a) 80°169’ = 80° + 60’ + 60’ + 49’ = 80° + 1° + 1° + 49’ = 82°49’

b) 110° 58’240’’ = 110°+58’+60’’+60’’+60’’ = 110°+58’+1’+1’+1’ = 110°61’

110°61’ = 110° + 60’ + 1’ = 110° + 1° + 1’ = 111°1’

Atividade 4

a) 3º58’45’’ + 5º42’55’’ = 9º41’40’’ b) 7°32’ – 2°54’23’’ = 4° 37’ 37’’


3° 58’ 45’’ 7°32’ 32’=31’60’’

+ 5° 42’ 55’’ - 2°54’23’’

8° 100’ 100’’ 60’’ = 1’

+ 1’ 60’’ - Reescrevendo, tem-se:

101’ 40’’ 7° 31’ 60’’ 7° = 6°60’ mais 31’, totalizará

6°91’

8° 101’ 40’’ 60’ = 1º - 2° 54’ 23’’

+ 1° 60’ -

9° 41’ 40’’ Reescrevendo novamente, tem-se:

6° 91’ 60’’

- 2° 54’ 23’’

4° 37’ 37’’

c) 10º12’17’’ x 6 = 61º13’42’’ d) 43°13’23’’ : 7 =


10º 12’ 17’’ 43º 13’ 23’’ 7

x 6 - 42º 6º10’29’’

60º 72’ 102’’ 102’’ = 1’42’’ 01º 13’

+ 1’ 60’’ - +60’

73’ 42’’ 1º 73’

60º 73’ 42’’ 73’ = 1º13’ - 7’

+ 1º -60’ 03’

61º 13’ - 0

61º 13’ 42’’ 03’ 23’’

+180’’

203’’

- 14’’

063’’

- 63

00

Atividade 5

5.1)

^ ^

COE DOF , pois são o.p.v.

Assim, 3a – 10° = a + 50° 3a – a = 50° + 10° 2a = 60° a = 30°

CÔE = 3a – 10° CÔE = 3.30°a – 10° CÔE = 90° – 10° CÔE = 80°

DÔF = a + 50° DÔF = 30° + 50° DÔF = 80°

O valor de a é 30°, CÔE = 80° e DÔF = 80°.

5.2)

Os ângulos TÔS e SÔV são complementares.

Assim, TÔS + SÔV = 90° 2a + 15° + a + 45° = 90° 3a + 60° = 90°

3a = 90° - 60° 3a = 30° a = 10°

TÔS = 2a + 15° TÔS = 2.10° + 15° TÔS = 20° + 15° TÔS = 35°

SÔV = a + 45° SÔV = 10° + 45° SÔV = 55°

O valor de a é 10°, TÔS = 35° e SÔV = 55°

5.3)

São verdadeiros os itens: c

São falsos os itens: a, b, c, d, f

5.4)

O complemento de 40° é 50°, o suplemento é 140° e o replemento é 320°.

O complemento de 80° é 10°, o suplemento é 100° e o replemento é 280°.

O complemento de um ângulo de medida x é 90° - x, o suplemento é 180° - x e o

replemento é 360° - x.

5.5)

a) 3.(90° - x) b) 180

3

x

c) 90° - 5

x d) 2. 180

4

x

5.6)

x = 3.(180° - x) x = 540° - 3x x + 3x = 540 4x = 540 x = 135°

O valor do ângulo é 135°.

5.7)

180 3. 90 3. 902

xx

3180 270 270 3

2

xx

3180 270 270 3

2

xx

390 270 3

2

xx

33 270 90

2

xx

33 360

2

xx

3 6 720

2 2

x x

9x = 720° x = 80°

Alternativa correta: letra c.

Atividade 6

a) b)

Atividade 7

1- Construa um ângulo de 90º e trace a sua bissetriz.

2- Trace a bissetriz do ângulo determinado pela primeira bissetriz.

Atividade 8

Atividade 9

Se AC é bissetriz do ângulo BÂD, então

^ ^

B AC C AD

Assim, 4x – 15° = 2x + 25 4x – 2x = 25° + 15° 2x = 40° x = 20°

BÂC = 4x – 15° BÂC = 4.20° – 15° BÂC = 80° – 15° BÂC = 65°

CÂD = 2x + 25° CÂD = 2.20° + 25° CÂD = 40° + 25° CÂD = 65°

BÂD = BÂC + CÂD BÂD = 65° + 65° BÂD = 130°

Assim, o valor de x, BÂC, CÂD e BÂD são respectivamente, 20°, 65°, 65°, 130°.

Atividade 10

a) paralelas distintas

b) concorrentes

c) paralelas distintas

d) reversas

e) reversas

f) paralelas distintas

Atividade 11

a) 3x – 20° e 130° são ângulos alternos internos.

Como os ângulos alternos internos, então:

3x – 20° = 130° 3x = 130° + 20° 3x = 150° x = 50°

Assim, o valor de x é 50°.

b)

V’

1) 2x + 70° e 5x + 10° são ângulos o.p.v., então 2x + 70° = 5x + 10°

2) 2y e 2x + 70° são ângulos correspondentes, então 2y = 2x + 70°

3) 2y e 5x + 10° são ângulos alternos externos, então 2y = 5x + 10°

Utilizando o item 1, tem-se:

5x + 10° = 2x + 70° 5x – 2x = 70° - 10° 3x = 60° x = 20°

Utilizando o item 2 e substituindo o valor de x, tem-se:

2y = 2x + 70° 2y = 2.20° + 70° 2y = 40° + 70° 2y = 110° y = 55°

Se você utilizar o item 3 e substituir o valor de x, também encontrará o mesmo valor

para y. Acompanhe!

2y = 5x + 10° 2y = 5.20° + 10° 2y = 100° + 10° 2y = 100° y = 55°

Assim, o valor de x e y são respectivamente, 20° e 55°

c) 4x + 50° e 3x – 10° são ângulos colaterais internos, então

4x + 50° + 3x – 10° = 180° 7x + 40° = 180° 7x = 180° - 40°

7x = 140° x = 20°

Assim, o valor de x é 20°

Atividade 12

2x+80 e 3x+20° são ângulos de lados paralelos e nesse caso eles são

suplementares. Então:

2x+80° + 3x+20° = 180° 5x+100° = 180° 5x = 80° x = 16°


Atividade 13

a) Icoságono n = 20

d= ?

. 3 20

2

n nd d

. 20 3

2

10. 20 3 10.17 170d d d

O número de diagonais de um icoságono é 170.

b) n=?

d = 2n

2 2 2. 3 . 3

2 4 3 3 4 0 7 02 2

( 7) 0 0 7

n n n nd n n n n n n n n n

n n n ou n

O polígono é o heptágono.

Atividade 14

a) Si = 180°.(n – 2) Si = 180°.(12 – 2) Si = 180°.10 Si = 1800°

A soma dos ângulos internos do dodecágono regular 1 800°.

b) 1260° = 180°.(n – 2) 1260°/180 = n – 2 7 = n – 2 n = 7 + 2 n = 9

O polígono é o eneágono.

c) Si + Se = 2700°

d=?

Se Si = 180°.(n – 2) e Se = 360° substituindo em Si = 180°.(n – 2) tem-se:

180°.(n – 2) + 360° = 2700° 180n – 360° + 360° = 2700° 180n = 2700 n = 15

Para achar o número de diagonais, é só substituir na fórmula: . 3

2

n nd

. 3 15. 15 3 15.12

2 2

n nd d d

215.6 90d d

O número de diagonais do polígono é 90.

Atividade 15

a)

180 . 2 3603. 3. 180i e

na a

n n

. 2 3.360n 2 3.2

2 6 8

n

n n

. 3 8

2

n nd d

. 8 3

2

4.5 20d d

O número de diagonais do polígono é 20.

b.1)

Prolongando os lados e nomeando os ângulos tem-se:

1 100º e ^

b são suplementares, então 100° + b = 180° b = 180° – 100° b =

80°

2 ^

d e 40º são suplementares, então d + 40° = 180° d = 140°

3 como r // s, ^

c e 60º são colaterais internos, que são suplementares, então c +

60° = 180° c = 120º.

4 Assim, x + d + c + b = 360° pela soma dos ângulos internos de um

quadrilátero.

5 Substituindo os itens 1, 2 e 3 no item 4, temos:

x + 140° + 120° + 80° = 360e x + 340° = 360° x = 360° – 340° x = 20°


b.2) Se OC é bissetriz, o ângulo C foi dividido em dois ângulos congruentes. Cada

um desses ângulos será nomeado de x. O mesmo ocorre com OF , no qual os

ângulos serão nomeados de s. O ângulo FÔC será denominado de a.

1) 30° e â são suplementares, então 30° + a = 180° a=180° – 30°a =150°

2) EDC^

é um ângulo reto, então EDC^

= 90°

3) Observando o pentágono FEDCO, tem-se que a soma de seus ângulos internos é

540º.

Si = 180°(n - 2) Si = 180°(5 - 2) Si = 180°.3 Si = 540°

4) Assim, s + a + x + 90° + 120° = 540° s + 150° + x + 210° = 540°

s + x + 360° = 540° s + x = 180°

5) Observando o hexágono ABCDEF, tem-se que a soma de seus ângulos internos

é 720º.

Si = 180°(n - 2) Si = 180°(6 - 2) Si = 180°.4 Si = 720°

6) Assim, y + 50° + y + x +x + 90° + 120° + s + s = 720°

2y + 2x + 2s + 260° = 720° 2y + 2x +2s = 720° - 260° 2y + 2x +2s = 460°

2(y + x + s) = 460° y + x + s = 460°/2 y + x + s = 230°

Substituindo o valor de s + x do item 4 no item 6 temos:

y + x + s = 230° y + 180° = 230° y = 230° – 180° y = 50°

O valor de y é 50°.

a

Atividade 16

São verdadeiros os itens: d, e.

São falsos os itens: a, b, c.

Atividade 17

a) Se o é isósceles de base , então . Assim, 22 – 4x = 2x – 14

2x + 4x = 22 + 14 6x = 36 x = 6

O valor de x é 6.

b) Se o é equilátero, então . Assim, y – 25= 3x -10= x + 30 3x

– 10 = x + 30 3x – x = 30 + 10 2x = 40 x = 20

Achando o valor de y, tem-se:

y – 25 = 3x – 10 y – 25 = 3.20 – 10 y – 25 = 60 – 10 y = 50 + 25 y =

75

O valor de y é 75.

Atividade 18

1) Pelo teorema do ângulo externo: 140° = 110° + â â = 30°

110

° 140

°

a 50° e

130

° x y

2) 140° e x são suplementares, portanto: 140° + x = 180° x = 40°

3) 130° e y são suplementares, portanto: 130° + y = 180° y = 50°

4) Pela soma dos ângulos internos de um triângulo:

x + â + 50° + ê + y = 180° 40° + 30° + 50° + ê + 50° = 180°

170° + ê = 180° ê = 10°

Assim, a medida dos ângulos â e ê são, respectivamente, 30° e 10°.

Atividade 19

19.1. São verdadeiros os seguintes itens: b, c, d

São falsos os seguintes itens: a,

19.2. Sabendo que o baricentro divide a mediana na razão de 2 para 1 a partir do

vértice tem-se:

14 22 14 7

1b b

b

8 22 8 4

1c c

c

210

5 1

aa

Capítulo 3 – Congruência

Capítulo 3 – Congruência

3.1. Apresentação

Seja bem-vindo ao estudo de congruência!

No capítulo 2, você estudou - Ângulos e polígonos. Certo?

Neste capítulo, você utilizará os conceitos estudados para justificar os novos conceitos, por

isso se tiver alguma dúvida retome o assunto já estudado.

Mas, o que é congruência!?

Você já estudou que ser congruente significa ter a mesma medida. Será que é isso?


Espero que, no final deste capítulo, você seja capaz de:

- identificar os casos de congruência nas situações propostas;

- resolver problemas que envolvem congruência;

- utilizar, corretamente, a linguagem matemática referente ao conteúdo estudado.


Os assuntos abordados nesse capítulo são: congruência de figuras, de polígonos e em

especial a congruência de triângulos. Para o estudo, você precisa de tesoura, das figuras dos

anexos, do compasso, da régua, do transferidor e de folhas sulfite.

Como esse curso é de Formação de Professores, adotou-se a abordagem intuitiva e

metodológica em todo capítulo, sempre dando ênfase ao processo de construção dos

conceitos, razão pela qual a Geometria está inserida na unidade temática: Conceitos

Matemáticos Fundamentais.

Você também encontrará uma abordagem axiomática, pois o assunto envolve

demonstrações. Para facilitar, serão feitas as afirmações, para que você faça as justificativas.


Antes de prosseguir na leitura do texto, procure responder à pergunta:

O que vem a ser Congruência, ou melhor, uma situação de congruência?

Coloque a resposta no Trabalho de Construção de Aprendizagem –

TCA.

Ao final do estudo deste capítulo, volte ao que escreveu anteriormente e, se

for o caso, reescreva, novamente, em seu TCA.

Essa forma de trabalho tem como intuito desenvolver a capacidade de argumentar,

justificar, deduzir, essenciais a um professor de matemática.

Bom estudo!

3.2. Congruência de figuras

Este é o primeiro assunto que abre seu estudo!

Ok! Agora proponho que vivencie o processo de realização de uma atividade. Confirme o

que respondeu anteriormente ou descubra o conceito que envolve essa questão.

Vamos vivenciar o processo! Veja o que proponho.

Primeiramente, recorte as figuras do Anexo 1.

Sim, faça isso! Só depois, continue.

Ok? Recortou as figuras?

Pois bem! Agora, observe as figuras dispostas a seguir. Superponha as figuras

recortadas sobre as que estão representadas.

Você saberia responder:

Quando duas ou mais figuras são congruentes?

Superpor figuras

significa colocar

uma sobre a

outra.

Superpôs?

Ok!

Examine, agora, quais figuras coincidem e quais não coincidem.

Figura 1 - Figuras planas quaisquer.

Muito bem! Enumere, em seu caderno, os pares de figuras congruentes que você encontrou.

Você deve ter encontrado que, com exceção da figura K, as demais duplas coincidem.

O que você pode concluir a respeito?

Será que o que você escreveu anteriormente corresponde à sua resposta, quando perguntei

no início do estudo desse assunto: Quando duas ou mais figuras são congruentes?

Veja se sua conclusão confere com esta:

Fechando um pouco mais o grupo de figuras, agora você irá estudar a congruência de

polígonos.

Pensando...

Será que, para verificar a congruência, toda vez será preciso recortar todas as figuras e

sobrepor?

Não há outra forma de verificar a congruência?

Duas ou mais figuras são congruentes quando, por

superposição, elas coincidem.

O símbolo de congruência é

Verificando...

3.3. Congruência de polígonos

Faça o que proponho a seguir!

Vá ao anexo 2! Ok?

Pois bem! Recorte as figuras desse anexo 4.

Sim, pode recortar com calma, procurando acertar o recorte.

Agora, examine as figuras a seguir, e superponha as figuras que você recortou sobre as que

estão representadas, observando quais as que coincidem.

Figura 2 - Polígonos quaisquer.

Muito bem! Agora, enumere os pares de polígonos congruentes que você encontrou.

Você deve ter encontrado que os seguintes polígonos coincidiram: A e A, B e B, C e C, D e D,

E e E, F e F, G e G, H e H, I e I, J e J, L e L, M e M.

Qual a sua conclusão?

Você já sabe!? Veja se confere, lendo a conclusão, a seguir.

Observe o exemplo:

Dois ou mais polígonos são congruentes quando é possível

estabelecer uma correspondência biunívoca (um a um) entre

seus vértices, de modo que lados e ângulos correspondentes ou

homólogos sejam congruentes.

Homólogos (homo significa

mesmo, logos significa lugar),

então, dois lados de um polígono

são homólogos quando cada um

deles está em um dos polígonos e

ambos são opostos a ângulos

congruentes. São lados que estão

opostos a ângulos de mesma

medida. Também chamamos os

lados homólogos de lados

correspondentes. Assim como

ângulos homólogos ou

correspondentes são aqueles

opostos a lados congruentes.

Figura 4 – Hexágono

A’B’C’D’E’F’.

B’

D’

F’

E’

C’

A’

'

'

'

'

'

'

FeF

EeE

DeD

CeC

BeB

AeA

''

''

''

''

''

''

FAAF

FEEF

EDDE

DCCD

CBBC

BAAB

^^

^^

^^

^^

^^

'

'

'

'

'

EE

DD

CC

BB

AA

'''''' FEDCBAABCDEF

B

D

F

E

C

A

Figura 3 – Hexágono

ABCDEF.

Você estudou, no capítulo 2, que os triângulos são polígonos que possuem algumas

características especiais.

Será que, para verificar a congruência de triângulos, também é necessário identificar se

todos os ângulos e todos os lados homólogos são congruentes?

Para responder, prossiga na leitura.

3.4. Congruência de triângulos

A partir das vivências realizadas nas atividades anteriores ou de sua experiência enquanto

aluno na Educação Básica, você saberia responder:

Muito bem! No anexo 3, recorte as figuras e, da mesma forma que você fez nos itens

anteriormente, superponha as figuras que você recortou sobre as que estão representadas,

verificando se são congruentes.

Quando dois ou mais triângulos são congruentes?

Muito bem! Enumere os pares de triângulos congruentes que você encontrou.

Em seguida, escreva os vértices, os ângulos e os lados que se corresponderam na

superposição feita.

Procure responder antes de verificar se acertou.

Respondeu? Espero que sim!

Você deve ter encontrado que não há nenhuma figura congruente à figura 7, as demais

apresentam congruência.

Acertou? Se não, sobreponha os triângulos novamente.

Os pares de triângulos congruentes são: 1 e 6, 2 e 4, 3 e 5.

Os vértices, ângulos e lados que se correspondem em cada dupla são:

De 1 e 6:

- Vértices - GCHBFA ,,

- Ângulos –^^^^^^

,, GCHBFA

- Lados - HGBCFGACFHAB ,,

Figura 5 - Triângulos quaisquer.

De 2 e 4, tem-se:

- Vértices - OLQNPM ,,


,, OLQNPM

- Lados - KJSRIJTRIKTS ,,

De 3 e 5, tem-se:

- Vértices RJSKTI ,,


,, RJSKTI

- Lados - POLMQPNMQONL ,,

A sua resposta confere com essa? Se não, sobreponha os triângulos novamente.

Escrevendo a congruência na ordem da correspondência dos vértices:

De 1 e 6, tem-se: FHGABC

De 2 e 4, tem-se: OPQLMN

De 3 e 5, tem-se: TRSIJK

A qual conclusão você chegou?

Agora, veja se o que você escreveu, anteriormente, confere com a conclusão, a seguir.

Atenção!

É importante observar a ordem dos elementos nos casos de congruência de triângulos, ou

seja, ao escrever que os triângulos são congruentes, obedecer a correspondência de cada

elemento.

Por exemplo: se ÂÊ, ÎÔ, Û^

C , você deve escrever que AIU EOC, na ordem da

correspondência de cada elemento.

Assim, você pode observar que, de acordo com a conclusão anterior, as condições que

devem ser satisfeitas para que dois triângulos sejam congruentes são seis: três entre lados e

três entre ângulos.

Pensando...

Se o triângulo é uma figura especial, é preciso verificar todas essas condições para que eles

sejam ou não congruentes?

Ou, será que existem outras condições para que dois triângulos sejam congruentes?

Há condições mínimas para que dois triângulos sejam congruentes e estas recebem o nome

de casos ou critérios de congruência de triângulos. Prossiga na leitura!

3.5. Determinação dos casos de congruência de triângulos

Para compreender melhor este assunto, faça o proposto, a seguir. Você precisará do

compasso, da régua, do transferidor, de folha e da tesoura. Portanto, pegue esse material!

Dois ou mais triângulos são congruentes, se for possível

estabelecer uma correspondência biunívoca (um a um) entre

seus vértices, de modo que lados e ângulos correspondentes

sejam congruentes.

ITENS CONCLUSÃO

1- Dado um ângulo.

2- Dado um lado.

3- Dados dois lados.

4- Dados dois ângulos

A tarefa é individual ou com seus colegas!

Construa os triângulos que estão sendo pedidos, em cada um dos

10 itens que se seguem e preencha a conclusão indicada ao lado

de cada um deles.

a- Construa um triângulo com um ângulo Â = 50°.

b- Construa um triângulo com um ângulo Ê = 50°.

c- Verifique, por superposição, se os triângulos são

congruentes.

Se dois ou mais triângulos possuem

um ângulo congruente, eles

_______ necessariamente

são ou não

congruentes.

a- Construa um triângulo com um lado AB= 5 cm.

b- Construa um triângulo com um lado DE= 5 cm.

c- Verifique, por superposição, se os triângulos são

congruentes.


um lado congruente, eles _______

necessariamente

são ou não

congruentes.

a- Construa um triângulo ABC com um lado AB= 5 cm e AC=6 cm

b- Construa um triângulo DEF com um lado DE= 5 cm e DF=6 cm

c- Verifique, por superposição, se os triângulos são congruentes.


dois lados respectivamente

congruentes, eles _______

necessariamente

são ou não

congruentes.

a- Construa um triângulo ABC dados os ângulos

º50^

A e º60^

B .

b- Construa um triângulo DEF dados os ângulos

º50^

D e º60^

E .



dois ângulos respectivamente


necessariamente

são ou não

congruentes.

5- Dados um lado e um ângulo adjacente a esse lado

6- Dados três ângulos.

7- Dados três lados.

8- Dados dois lados e um ângulo entre eles.

a- Construa um triângulo ABC, cujos ângulos medem

º40^

A , º60^

B e º80^

C .

b- Construa um triângulo DEF, cujos ângulos medem

º40^

D , º60^

E e º80^

F .



três ângulos respectivamente


necessariamente

são ou não

congruentes.

a- Construa um triângulo ABC cujos lados medem AB=5 cm, AC=6 cm e BC=4 cm.

b- Construa um triângulo DEF cujos lados medem DE=5 cm, DF=6 cm e EF=4 cm.



três lados respectivamente


necessariamente

são ou não

congruentes.

a- Construa um triângulo ABC com as seguintes

medidas AB=5 cm, AC=6 cm e º60^

A .

b- Construa um triângulo DEF com as seguintes

medidas DE=5 cm, DF=6 cm e º60^

D .



dois lados e um ângulo entre eles

respectivamente congruentes, eles

_______

são ou não

necessariamente congruentes.

a- Construa um triângulo ABC com um lado AB=5 cm

e um ângulo º60^

B .

b- Construa um triângulo DEF com um lado DE=5 cm e

um ângulo º60^

E .



um lado em ângulo adjacente a

esse lado, respectivamente


necessariamente

são ou não

congruentes.

9- Dados um lado e dois ângulos adjacentes a ele

10- Dados um lado, um ângulo adjacente a ele e um ângulo oposto a ele

Muito bem! Agora, que você concluiu os itens anteriores, pare e pense:

O que você teve a oportunidade de verificar?

Veja se o que você pensou, confere com a resposta, a seguir:

Foi isso mesmo que você teve oportunidade de verificar!? Se não foi, volte e refaça os itens

solicitados.

Sintetizando


medidas AB=5 cm, º60^

A e º40^

B .


medidas DE=5 cm, º60^

D e º40^

E .



um lado e dois ângulos adjacentes a

ele respectivamente congruentes,

eles _______ necessariamente

são ou não

congruentes.


medidas AB=5 cm, º60^

A e º70^

C .


medidas DE=5 cm, º60^

D e º70^

F .



um lado, um ângulo adjacente e um

ângulo oposto a esse lado,

respectivamente congruentes, eles

_______

são ou não

necessariamente congruentes.

Os triângulos construídos nos itens 7, 8, 9 e 10 são

sempre congruentes.

Você acabou de verificar os 4 casos de congruência de triângulos:

1º caso: na atividade 7, caso LLL, três lados respectivamente congruentes;

2º caso: na atividade 8, caso LAL, dois lados e um ângulo compreendido entre eles

respectivamente congruentes;

3º caso: na atividade 9, caso ALA, um lado e dois ângulos adjacentes a eles respectivamente

congruentes;

4º caso: na atividade 10, caso LAAO, um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a

esse lado, respectivamente congruentes;

Importante...

A congruência de triângulos satisfaz as seguintes propriedades:

1. Reflexiva

ABCABC

Todo triângulo é congruente a

ele mesmo.

2. Simétrica

ABCDEFDEFABC

Se um triângulo é congruente a

um outro triângulo, então este

é congruente ao primeiro.

A

B C


ABC 1

D

E F


DEF 1

A

B C


ABC 2

3. Transitiva

GHIABC

GHIDEFeDEFABC

Se um triângulo é congruente a

um segundo triângulo e este é

congruente a um terceiro

triângulo, então o primeiro é

congruente ao terceiro.

Parada Obrigatória

Responda às atividades 1, 2 e 3, que estão no final deste capítulo. As atividades são sobre os

casos de congruência de triângulos.


Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dúvida, retome a leitura do texto ou

pesquise na bibliografia básica 1, capítulo IV, ou na bibliografia básica 2, capítulo 4, dentre

outros.

Até o momento, a abordagem utilizada foi a da construção dos conceitos a partir de

materiais pedagógicos. Nas próximas leituras, será enunciado um dos casos de congruência

como postulado e depois você irá acompanhar a demonstração dos demais casos, portanto a

abordagem será axiomática. Acompanhe atentamente!

3.5.1. 1º caso de congruência - LAL– postulado

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido,

então eles são congruentes.

G

H I

Figura 11 –

Triângulo

GHI

D

E F

Figura 10 –

Triângulo

DEF 2

Figura 9 –

Triângulo

ABC 3

A

B C

Observe, a seguir.

Assim,

Sintetizando...

Esquema:

^ ^

' '

'

' '

AB A B

A A

AC A C

''' CBAABCLAL

^ ^

^ ^

'

' '

'

B B

BC B C

C C

3.5.2. 2º caso de congruência - ALA

Este postulado indica que se dois triângulos têm ordenadamente

congruentes, dois lados e um ângulo compreendido entre eles, então o

outro lado e os outros dois ângulos também são ordenadamente

congruentes.

LLADOCAAC

LALCASOAÂNGULOAA

LLADOBAAB

''

'

''

^^

C B

A

B’

BCDC

BD

ABADa

^^

)

B’

C’

C’

A’

Figura 12 – Triângulo ABC 4 Figura 13 – Triângulo A’B’C’ 1

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele

adjacentes, então esses triângulos são congruentes.

Observe, com atenção, a demonstração, a seguir.

No triângulo ABC, os ângulos adjacentes ao lado BC são ^

B e ^

C e, no triângulo A’B’C’, os

ângulos adjacentes ao lado ''CB são '^

B e '^

C .

Hipótese Tese

Pelo Postulado do transporte de segmentos (vide capítulo 2), obtem-se na semi-reta '' AB

um ponto X tal que BAXB ' .

^ ^^ ^

' '

' ' ' ' '

'

LAL

BC B C por hipótese

B B por hipótese ABC XB C B C X BCA

BA B X pelo postulado do transporte

de segmentos

C B

A

C’ B’

A’

X

Figura 14 - Triângulo ABC 5.

''' CBAABC

^ ^

^ ^

'

' '

'

B B

BC B C

C C

Figura 15 - Triângulo A’B’C’ 2.

Por hipótese ^^

''' ACBACB ACBXCB^^

'' (propriedade transitiva da congruência).

Usando o postulado do transporte de segmentos, tem-se que ' ', ' , ' 'B A B X e C A

interceptam-se num único ponto X, que é coincidente com o ponto A’.

Como XBAB ''' e BAXB ' ’, decorre que BAAB ''

Então: ''')'',',''(^^

CBAABCCBBCBBABBALAL

Sintetizando...

Esquema:

Para provar o 3º caso de congruência, será preciso provar o teorema do triângulo isósceles.

Para isso, serão feitas as afirmações e você irá fazer as justificativas. Isso mesmo! Você vai

justificar cada afirmação feita a partir dos teoremas, postulados, definições já vistos.

A- Teorema: Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

Passando para a forma “Se...p...então...q...”, temos:

Este teorema indica que se dois triângulos têm ordenadamente

congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então o outro

ângulo e os outros dois lados também são ordenadamente congruentes.

^ ^

^ ^

'

' '

'

B B

BC B C

C C

''' CBAABCALA

^ ^

' '

'

' '

AB A B

A A

AC A C

Se um triângulo é isósceles, então os ângulos da base são congruentes.

Hipótese: um triângulo é isósceles Desenho

Tese: os ângulos da base são congruentes

De acordo com o desenho, tem-se:

Hipótese Tese

.baseaéBC

ACABisóscelesABC

^^

CB

Tome M, ponto médio como de BC e trace a mediana AM . Considere

os triângulos ABM e ACM e justifique as afirmações a seguir:

Afirmação Justificativa

1. ACAB 1.

2. MCBM 2.

3. AMAM 3.

4. ACMABM 4.

5. ^^

CB 5.

C B

A


isósceles ABC 1.

C B

A

M

Figura 17– Triângulo

isósceles ABC 2.

Desenho

Conseguiu justificar? Se não, acompanhe atentamente as justificativas a seguir.

No item 1, ACAB , pela hipótese. Veja!

No item 2, MCBM , pois M é ponto médio de BC .

No item 3, AMAM , pois é lado comum aos dois triângulos.

No item 4, ACMABM , pelo caso de congruência LLL (um lado em cada um dos itens 1,

2 e 3).

No item 5, ^^

CB , pois são ângulos opostos a lados de mesma medida em triângulos

congruentes, ou seja, são ângulos que se correspondem.

Viu? Não é difícil, é preciso observar o que está sendo dado (hipótese) e utilizar os

conhecimentos anteriores para construir o raciocínio lógico dedutivo.

Agora, você irá provar a recíproca do teorema do triângulo isósceles.

B- Teorema: Se um triângulo tem dois ângulos congruentes, então ele é isósceles.

Hipótese: um triângulo tem dois ângulos congruentes Desenho

Tese: ele é isósceles.


Hipótese Tese

^ ^

ABC

B C

ACABisóscelesABC


isósceles ABC 3.

C B

A

Figura 19 –

Triângulo

Traçar AM , que é a bissetriz do ângulo A.


1. ^

2

^

1 AA 1.

2. ^ ^

B C 2.

3. AMAM 3.

4. AMCAMB 4.

5. ACAB 5.

Você conseguiu fazer as justificativas? Espero que sim! Caso tenha alguma dúvida,

acompanhe as justificativas, a seguir.

No item 1, ^

2

^

1 AA , pois AM é bissetriz do ângulo A.

No item 2, ^ ^

B C , por hipótese. Veja!

No item 3, AMAM , pois é lado comum aos dois triângulos

No item 4, AMCAMB , pelo caso de congruência LAAO.

No item 5, ACAB , pois são lados opostos a ângulos de mesma medida em triângulos

congruentes, ou seja, são lados que se correspondem.

Já que você fez a demonstração do teorema do triângulo isósceles, a seguir há mais um

teorema sobre esse triângulo, relativo à mediana, altura e bissetriz do mesmo. Faça

atentamente!

C- Teorema: Em todo triângulo isósceles, a mediana relativa à base é altura e bissetriz

relativa à base.

Passando para a forma “Se...p...então...q...”, temos:

Se um triângulo é isósceles, então a mediana relativa à base é altura e bissetriz relativa à

base.

Hipótese: um triângulo é isósceles Desenho

Tese: a mediana relativa à base é altura e bissetriz relativa à base


Hipótese Tese

.

ABC isósceles AB AC

BC é a base

AM é mediana

bissetrizealturaéAM


1. ACAB 1.

2. MCBM 2.

3. AMAM 3.

4. ACMABM 4.

5. AM é bissetriz 5.

6. AM é altura 6.

C B

A

M


isósceles ABC 5.

Conseguiu? Agora foi mais fácil, com certeza, pois a habilidade já está sendo aprimorada.

Caso ainda tenha alguma dúvida, acompanhe as justificativas, a seguir.

No item 1, ACAB , por hipótese. Veja!

No item 2, MCBM , pois AM é mediana.


No item 4, ACMABM , pelo caso de congruência LLL.

No item 5, AM é bissetriz, pois ^

2

^

1 AA .

No item 6, AM é altura, pois ^

2

^

1 MM e eles são suplementares, então cada ângulo mede

90°.

Assim, pelo item 7, AM é bissetriz e altura .

Acertou? As suas justificativas foram iguais ou parecidas com essas? Se não, tente fazer

novamente. É um processo e você está iniciando, ora com acertos, ora com erros.

Agora, vamos provar a recíproca desse teorema. Prepare e concentre, pois essa

demonstração será dividida em duas partes!

7. alturaebissetrizéAM

C B

A

^

1

M

^

2

^

2 ^

1


isósceles ABC 6

D- Teorema: Se num triângulo, a bissetriz de um ângulo interno coincide com a mediana

ou a altura relativa à base, então o triângulo é isósceles.

De acordo com o desenho, tem-se: Desenhos

Hipótese Tese

1ª PARTE


1. ^

2

^

1 AA 1.

2. ^

2

^

1 MM 2.

3. AMAM 3.

4. ACMABM 4.

5. ACAB 5.

2ª PARTE


^

^

1ª parte

2ª parte

AM é bissetriz de A

AM é altura relativa a BC

AM é bissetriz de A

AM é mediana relativa a BC

ACABisóscelesABC


isósceles ABC 7.

M C B

A

2 1

Conseguiu? Esse foi mais trabalhoso! Espero que você tenha conseguido fazer. Para conferir,

acompanhe as justificativas, a seguir.

Na primeira parte, item 1, ^

2

^

1 AA , pois, por hipótese, AM é bissetriz.

No item 2, ^

2

^

1 MM , pois, por hipótese, AM é altura.


No item 4, ACMABM , pelo caso de congruência ALA.



Na segunda parte, item 1, ^

2

^

1 AA , pois, por hipótese, AM é bissetriz.

No item 2, MCBM , pois, por hipótese, AM é mediana.

No item 3, ^

2

^

1 MM , pois, por hipótese, AM é altura.

No item 4, ACMABM , pelo caso de congruência LAAO.



1. ^

2

^

1 AA 1.

2. MCBM 2.

3. ^

2

^

1 MM 3.

4. ACMABM 4.

5. ACAB 5.

C B 1

2 1

2

M

A


isósceles ABC 8

Resumindo, sobre o triângulo isósceles você demonstrou os seguintes teoremas:

1- os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes;

2- se um triângulo tem dois ângulos congruentes, então ele é isósceles;

3- em todo triângulo isósceles, a mediana relativa à base é altura e bissetriz relativa à

base;

4- se num triângulo, a bissetriz de um ângulo interno coincide com a mediana ou a

altura relativa à base, então o triângulo é isósceles.

Parada Obrigatória

Responda a atividade 4, que está no final deste capítulo. A atividade é sobre os teoremas do

triângulo isósceles.


Acertou? Espero que sim! Caso ainda tenha alguma dúvida retome a leitura do texto ou

pesquise na bibliografia básica 1, capítulo IV, dentre outros.

Agora, é possível terminar as demonstrações dos casos de congruência. Acompanhe.

3.5.3. 3º caso de congruência - LLL

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses triângulos são

congruentes.

Veja a demonstração, a seguir:

Hipótese Tese

Usando o postulado do transporte de ângulos e do transporte de segmentos, será

construído um triângulo A’B’X (Figura 26). Em seguida, será provado que o XBA '' é

congruente ao ABC e depois que o XBA '' é congruente ao ''' CBA .

1) Provando que ' 'ABC A B X

Pelo postulado do transporte de ângulos (capítulo 2) e do transporte de segmentos (capítulo

1), obtemos um ponto X, tal que:

''' CBAABC

' '

' '

' '

AB A B

AC A C

BC B C

C

B A

C’

B’ A’

Figura 24 – Triângulo ABC 6. Figura 25 – Triângulo A’B’C’ 3.

)(''

'

''^^

hipóteseCAAC

ACXA

BACBAX

Figura 26 – Triângulos A’B’C’ e A’B’X.

C’

B’ A’

X x

D

Logo, pode-se concluir que ''' CAXA , pela propriedade transitiva.

Seja DBAXC ''' , assim:

2) Provando que o XBACBA '''''

''''''''''^^

CXAXCAXCbasedeisósceleséXCACAXASe , pelo

teorema do triângulo isósceles.

''''''''''^^

CXBXCBXCbasedeisósceleséXCBBCXBSe , pelo

teorema do triângulo isósceles.

Somando ''''^^

CXAXCA com ''''^^

CXBXCB tem-se que '''''^^

BXABCA , pois a

adição é bem definida em . (Capítulo 2, do volume 1 de Números).

Sintetizando...

Esquema:


congruentes, três lados, então os três ângulos também são

ordenadamente congruentes.

^ ^

' '

' '

'

AB A B

X A B C AB

A X AC

'''''' BCXBCBXBXBAABCLAL

LAL

' ' ' ' ' ' ' '

' ' '

A B C A B X como A B X ABC tem se

que A B C ABC

^ ^

' ' '

' ' ' '

' ' '

Se A X A C

B C X B X C

XB C B

(pela propriedade transitiva)

' '

' '

' '

AB A B

AC A C

BC B C

' ' 'LLL

ABC A B C

^ ^

^ ^

^ ^

'

'

'

A A

B B

C C

Para provar o 4º caso de congruência, será preciso provar um teorema que envolve o ângulo

externo de um triângulo. Para isso, vou fazer as afirmações e você irá fazer as justificativas.

Você irá justificar cada afirmação feita a partir dos teoremas, postulados, definições já

vistos.

A- Teorema: Um ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos

internos não adjacentes.

Hipótese Tese

^

Caadjcenteexternoê

ABC

^^

BêeAê

Seja M o ponto médio de AC e P pertence à semirreta BM , tal que: MPBM .

Considere os triângulos AMB e CMP


1. MCAM 1.

2. MPBM 2.

3. ^

2

^

1 MM 3.

Figura 27 - Triângulo

ABC 7.


Conseguiu fazer? Esse também é um pouco trabalhoso, pois é preciso fazer algumas

construções. Espero que você tenha conseguido. Para conferir, acompanhe as justificativas,

a seguir.

No item 1, MCAM , pois M é ponto médio de AC . Veja como foi feita essa construção.

No item 2, MPBM , por construção.

No item 3, ^

2

^

1 MM , pois são o.p.v.

4. CMPAMB 4.

5. MCPMAB^^

5.

6. MCPê^

6.

7. ^

Aê 7.

Agora tomando D como ponto médio de BC e R pertencente à

semi-reta AD tal que: DRAD . Considere os triângulos ABD e

RCD

8. DCBD 8.

9. DRAD 9.

10. ^

2

^

1 DD 10.

11. RCDABD 11.

12. RCDDBA^^

12.

13. RCDê^

13.

14. ^

Bê 14.

C

A

ê

D

R

ê ^

2

^

1 B


ABC 9.

No item 4, CMPAMB , pelo caso de congruência LAL.

No item 5, MCPMAB^^

, pois são ângulos opostos a lados de mesma medida em

triângulos congruentes, ou seja, são ângulos que se correspondem.

No item 6, MCPê^

, pois ^

PCM é interno a ê, ou seja, ^ ^

ê PCM X CP

No item 7, ^

Aê , pela propriedade transitiva (itens 5 e 6).

No item 8, DCBD , pois D é ponto médio de BC . Veja a construção.

No item 9, DRAD , por construção.

No item 10, ^

2

^

1 DD , pois são o.p.v.

No item 11, RCDABD , pelo caso de congruência LAL.

No item 12, RCDDBA^^

, pois são ângulos opostos a lados de mesma medida em

triângulos congruentes, ou seja, são ângulos que se correspondem.

No item 13, RCDê^

, pois ^

DC R é interno a ê, ou seja, ^ ^

ê T CR DCR .

No item 14 ^

Bê , pela propriedade transitiva (itens 12 e 13).

Acertou? As suas justificativas foram iguais ou parecidas com essas? Se não, tente fazer

novamente. É um processo e você está iniciando, ora com acertos, ora com erros. Observe

que do item 8 ao 14 a justificativa é praticamente a mesma dos itens 1 ao 7.

Assim, demonstrou-se que o ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um dos

ângulos internos não adjacentes.

Parada Obrigatória

Responda à atividade 5, que está no final deste capítulo. A atividade é sobre o teorema do

ângulo externo do triângulo.




Agora, é possível fazer a demonstração do 4º caso de congruência. Acompanhe.

3.5.4. 4º caso de congruência - LAAO

Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adjacente e um

ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes.


Hipótese Tese

Tem-se para ''BAeAB três possibilidades: (de acordo com a Lei da Tricotomia – (Capítulo

2, do volume 1, do livro de Números).

'')1 BAABa '')2 BAABa '')3 BAABa

''' CBAABC ^ ^

^ ^

' '

'

'

BC B C

B B

A A


ABC 10.

C B

A

D

C’ B’

A’


A’B’C’ 4.

Analisando a 1ª possibilidade:

^ ^

' '

'

' '

AB A B

B B

BC B C

''' CBAABCLAL


Tomando um ponto D na semi-reta BA tal que ''BABD , o que se justifica pelo postulado

do transporte de segmentos (capítulo 2):

^ ^

' '

'

' '

DB A B

B B

BC B C

^ ^ ^ ^

' ' ' ' 'LAL

por hipotese

DBC A B C D A A A

O que é absurdo, pois de acordo com o teorema do ângulo externo (capítulo 2), o ângulo ^

A

é externo ao ADC e, portanto, maior que o ângulo ^

D .


Tomando um ponto D, na semirreta BA , entre A e B, tal que ''BABD , o que se justifica

pelo postulado do transporte de segmentos (capítulo 2):

^ ^

' '

'

' '

DB A B

B B

BC B C

^ ^ ^ ^

' ' '

' '

LAL

DBC A B C

D A A A

O que é absurdo, pois de acordo com o teorema do ângulo externo (capítulo 2), o ângulo ^

D

é externo ao ADC e, portanto, maior que o ângulo ^

A .

C B

A

D

C’ B’

A’


ABC 11.


A’B’C’ 5.

por hipótese

Assim, só pode ocorrer a 1ª possibilidade, portanto ''' CBAABC .

Sintetizando...

Esquema:

^ ^

^ ^

' '

'

'

BC B C

B B

A A

' ' 'OLAA

ABC A B C ^ ^

' '

' '

'

AB A B

AC A C

C C

Parada Obrigatória

Responda a atividade 6 que está no final deste capítulo. A atividade é sobre os casos de

congruência.




Pensando...


congruentes, um lado, um ângulo adjacente e um ângulo oposto a esse

lado, então o outro ângulo e os outros dois lados também são

ordenadamente congruentes.

Para saber se um triângulo é congruente a outro, pode-se utilizar os 4 casos de congruência.

E para os triângulos retângulos não existe nenhuma exceção? Todos eles já têm congruente

o ângulo reto!

Sim, para o triângulo retângulo há exceção. Veja, a seguir...

3.5.5. Caso especial de congruência de triângulos retângulos

Se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa,

então esses triângulos são congruentes.


Hipótese Tese

^ ^

' ( )

' '

' '

A A retos

AB A B

BC B C

''' CBAABC

Tomando um ponto D na semirreta ' 'C A tal que

ACDA ' (postulado do transporte de segmentos).

Assim:

^ ^

' '

'

'

AB A B

A A

AC A D

^ ^

' '

'

LAL

ABC A B D

BC B D e C D


ABC 12.

C A

B

Figura 35 – Triângulo B’C’D.

C’ D

B’

A’

Se BCDB ' e ''CBBC ' ' ' ' 'B D B C B C D é isósceles

^ ^

' 'de base C D C D

Se ^^^^^^

'' CCCDeDC (pela propriedade transitiva)

Considerando os triângulos ABC e A’B’C’:

^ ^

^ ^

' '

'

'

BC B C

C C

A A

''' CBAABCOLAA

Sintetizando...

Esquema:

^ ^

' ( )

' '

' '

A A retos

AB A B cateto

BC B C hipotenusa

' ' '

caso especialcateto e hipotenusa

ABC A B C ^ ^

^ ^

' '

'

'

AC A C

C C

B B

Saiba mais

Para aprofundar seus conhecimentos, leia o item do capítulo IV, do livro 1, da bibliografia

básica ou o capítulo 4, do livro 2.

Este postulado indica que se dois triângulos retângulos têm

ordenadamente congruentes, um cateto e a hipotenusa (lembrando que o

ângulo reto já é congruente), então o outro cateto e os outros dois

ângulos também são ordenadamente congruentes.

Parada Obrigatória

Responda à atividade 7, que está no final deste capítulo. A atividade é sobre o caso especial

de congruência para triângulos retângulos.




3.6. Resumindo

O trabalho realizado com uma abordagem intuitiva e metodológica teve como intuito ajudá-

lo a compreender melhor o que é congruência, fazendo, construindo e manipulando figuras.

A abordagem axiomática deve ter ampliado os seus conhecimentos em relação ao ensino de

Geometria, embora de maneira bem tímida, mas é para você ir se acostumando. Com

certeza, esses Conceitos matemáticos fundamentais que lhes foram apresentados

contribuíram para enriquecer o seu conhecimento.

Ao verificar que duas ou mais figuras são congruentes quando, por superposição, elas

coincidem e depois estender esse conceito para os polígonos, lhe permitiu concluir que há

uma correspondência biunívoca entre os vértices desses polígonos, de modo que lados e

ângulos correspondentes ou homólogos sejam congruentes.

Com a congruência entre polígonos estabelecida foi possível verificar que existem casos

especiais de congruência de triângulos, ou seja, analisando apenas alguns elementos dos

triângulos é possível dizer se eles são ou não congruentes. Dessa forma, alguns casos de

congruência de triângulos foram construídos e demonstrados:

- se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo

compreendido entre eles, então eles são congruentes. (Caso LAL);

- se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos

a ele adjacentes, então esses triângulos são congruentes. (Caso ALA);

- se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então esses

triângulos são congruentes. (Caso LLL);

- se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo

adjacente e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são

congruentes. (Caso LAAO).

Para demonstrar o 3º caso, foi necessário recorrer a alguns teoremas relacionados ao

triângulo isósceles. Assim, você aprendeu que:

- os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes;

- se um triângulo tem dois ângulos congruentes, então ele é isósceles;

- em todo triângulo isósceles, a mediana relativa à base é altura e bissetriz

relativa à base;

- se num triângulo, a bissetriz de um ângulo interno coincide com a mediana ou

a altura relativa à base, então o triângulo é isósceles.

Em relação ao 4º caso de congruência, também foi necessário recorrer a um teorema

relacionado ao ângulo externo de um triângulo. Dessa forma, você verificou que o ângulo

externo de um triângulo é maior que qualquer um dos ângulos internos não adjacentes a

ele.

Pensando que os triângulos retângulos já possuem em comum o ângulo reto, você verificou

que existe um caso especial de congruência para esses triângulos, caso - cateto e

hipotenusa:

- se dois triângulos retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a

hipotenusa, então esses triângulos são congruentes.

Espero que o seu olhar de futuro educador tenha ampliado e que você continue

pesquisando, estudando e buscando formas diferenciadas de ensinar e aprender Geometria.

Bom estudo!

3.7. Bibliografia Básica

DOLCE, Osvaldo & POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar:

geometria plana. 7. ed. São Paulo: Atual, 2005. v. 9.

BARBOSA, João Lucas. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de

Matemática, 1995.


geometria espacial, posição e métrica. 5. ed. São Paulo: Atual, 1993. v. 10.

REZENDE, Eliane Quelho Frota; QUEIROZ, Maria Lúcia Bontorim de. Geometria Euclidiana

Plana e Construções Geométricas. Campinas-SP: Editora da Unicamp, 2000.

3.8. Atividades

Atividade 1

Sabendo que os pares de triângulos são congruentes, indique o caso de congruência, escreva

os vértices, os ângulos e os lados que se corresponderam de acordo com o caso, assim como

a congruência dos triângulos.

a) b)

c) d) e)

Atividade 2

A

B

F C

E

D

D

A B

E C

F C B

E

A

D

F

A

D B C

E

F D B

A

F C

E

Indique nas atividades, a seguir, os triângulos congruentes, citando o caso de congruência.

a) b) c)

Atividade 3

3.1.) Na figura, os triângulos são congruentes.

Indique o caso de congruência, escreva os vértices,

os ângulos e os lados que se correspondem de

acordo com caso, assim como a congruência dos

triângulos. Em seguida, calcule o valor de x e y e

medida dos lados AD e BC .

3.2.) Na figura, os triângulos ABE e ACF são

congruentes. Indique o caso de congruência,

escreva os vértices, os ângulos e os lados que se

correspondem de acordo com o caso, assim como a

congruência dos triângulos. Em seguida, determine

o valor de x e a, e a medida dos lados

,AB AC e FC .

Atividade 4

D

B

A

C

E

2y + 6

40 3x - 40

20

A

B C E F

2a + 32 6a - 8

3x - 4 11

D

B

A

C

E

D A

B

C A

B C E F

Utilizando os teoremas relativos ao triângulo isósceles, determine o valor das incógnitas nas

atividades propostas, justificando as suas afirmações.

a) AB AC b)

Atividade 5

Determine o valor de y em cada caso.

a) RST é isósceles de base RS

b) //VW RS

Atividade 6

6.1. Sabendo que M é ponto médio de AB , prove que ADM BCM .

6.2. Na figura BD CD e AD é bissetriz do ângulo BDC

. Demonstre que o

ABD ACD .

Atividade 7

Sabendo que AB CD e CE BF , prove que AE DF .

3.10. Referencial de respostas das atividades

Atividade 1

a) Caso LAL b) Caso LAAO

^ ^

FD AB

A F ABC FDE

FE AC

^ ^

^ ^

ED AB

E B EFD BCA

F C

c) Caso LLL d) Caso ALA

AC DE

DF AB ABC DFE

EF BC

^ ^

^ ^

F B

FE AB FED BAC

E A

e) Caso LAL Caso ALA

^ ^

AC EF

C E BCA DEF

BC ED

^ ^

^ ^

C E

BC ED CBA EDF

B D

Caso LAAO

^ ^

^ ^

AC EF

C E CBA EDF

B D

Atividade 2

a) Caso LAAO, AEB DEC

b) Caso ALA, ACB DCB

C) Caso LLL, ECA FBA ou caso LLL, FCA EBA

Atividade 3

3.1. Caso ALA.

^ ^

^ ^

,C E B AE D opv

CE ED EBC EAD

C D

Se os triângulos são congruentes, então os lados opostos a ângulos de mesma medida são

congruentes. Assim,

a) BE EA 3x – 40 = 20 3x = 20 + 40 3x = 60 x = 20

Como EA = 20, confirma-se o valor de BE = 3x - 40, substituindo o valor de x:

BE = 3.20 – 40 BE = 60 – 40 BE = 20

b) AD BC 2y + 6 = 40 2y = 40 – 6 2y = 34 y = 17

Como BC = 40, confirma-se o valor de AD = 2y + 6, substituindo o valor de y:

AD = 2.17 + 6 AD = 34 + 6 AD = 40

Os valores de x e y são, respectivamente, 20 e 17 e os valores da medida dos lados

BE e AD são, respectivamente, 20 e 40.

3.2. Caso LAAO.

^ ^

^ ^

BE FC

E F ABE ACF

B AE F AC

Se os triângulos são congruentes, então os lados opostos a ângulos de mesma medida são

congruentes. Assim,

a) AB AC 6a - 8 = 2a + 32 6a – 2a = 32 + 8 4a = 40 a = 10

Se AB = 6a – 8, substituindo o valor de a, tem-se: AB = 6.10 – 8 AB = 60 – 8 AB = 52

Como AB AC , então AC = 52

b) BE FC 3x – 4 = 11 3x = 11 + 4 3x = 15 x = 5

Como BE = 11, confirma-se o valor de FC = 3x - 4, substituindo o valor de x:

FC = 3.5 – 4 FC = 15 – 4 FC = 11

Os valores de a e x são, respectivamente, 10 e 5 e os valores da medida dos lados

,AB AC e FC são, respectivamente, 52, 52 e 11.

Atividade 4

a)

Se o triângulo BCD é isósceles de base BC , então

CBD a

.

Se o triângulo ABC é isósceles de base AB , então

A B x

.

Se o triângulo ABD é isósceles de base AD , então

A BD A x

.

Se o ângulo BD A

é externo ao triângulo BCD, então

BD A C CBD

, pelo teorema do ângulo externo do triângulo. Assim, x – a + a x = 2a

(I)

Pela soma dos ângulos internos do triângulo, no triângulo ABC, tem-se:

180 180 2 180A B C x x a x a

(II)

Substituindo I em II:

2.2 180 4 180 5 180 36a a a a a a

O valor do ângulo a é 36°.

b) Como o triângulo CDE é isósceles de base DE , então os ângulos da base são congruentes

- D E

. Assim, 2 25 2 25a b b a b b

25a b (I).

Como o triângulo ABC é isósceles de base AC , então os ângulos da base são congruentes -

A C

. Assim, o ângulo C mede 2a + b.

Os ângulos BC A e DCE

são o.p.v., então BC A DCE

.

Se a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, então, no triângulo CDE, pode-se

escrever que: a + b = 2b – 25° + 2a + b = 180°

3a + 4b = 205° (II)

Com as equações I e II tem-se um sistema de equações 25

3 4 205

a b

a b

Para resolver, será utilizado o método da adição, multiplicando a equação I por 4 e somando

com a equação II.

4 4a b 100

3 4a b

205

7 105

15

a

a

Como a – b = - 25°, substituindo o valor de a na equação tem-se:

15 – b = -25° - b = -25° - 15° -b = - 40° b = 40°

Os valores de a e b são, respectivamente, 15° e 40°.

Atividade 5

a) Se o triângulo RST é isósceles de base RS , então R T SR y

.

Considerando a medida do ângulo T

igual a x e aplicando o teorema da soma dos ângulos

internos de um triângulo, pode-se afirmar que: y + y + a = 180°

2y + a = 180° (I)

Pelo teorema do ângulo externo de um triângulo, pode-se afirmar que:

5y = a + y 5y – y = a a = 4y (II)

Substituindo II em I:

2y + 4y = 180° 6y = 180° y = 30°


b) Prolongando VW até TR encontra-se o ponto Z formando um ângulo x.

Como //VW RS , então 30R Z x

, pois são ângulos correspondentes.

Se y é ângulo externo ao triângulo ZTV, pelo teorema do ângulo externo do triângulo, pode-

se afirmar que: y = 75° + x y = 75° + 30° y = 105°


Atividade 6

6.1. Dados Provar

,ADM BCM ADM BCM

M é ponto médio de AB

1. ^ ^

A B , pois são ângulos retos

2. AM MB , pois pelo enunciado M é ponto médio de AB

3. ^ ^

AM D BMC , pois são ângulos o.p.v.

4. ADM BCM , pelo caso ALA.

6.2.

Dados Provar

,ADB ACD ABD ACD

BD CD

AD é bissetriz do ângulo BDC

1. BD CD , foi dado no enunciado

2. ^ ^

BD A ADC , pois foi dado no enunciado que AD é bissetriz do ângulo BDC

3. AD AD , lado comum aos triângulos.

4. ABD ACD , pelo caso LAL.

Atividade 7

Sabendo que AB CD e CE BF , prove que AE DF .

Dados Provar

ACE e DBF retângulos AE DF

AB CD

CE BF

1. CE BF , foi dado no enunciado

2. AC BD , pois AC AB BC e BD CD BC e pelo enunciado AB CD e BC é

lado comum aos segmentos AC BD .

3. ACE DBF , pelo caso especial para triângulos retângulos – cateto hipotenusa

4. AE DF , lados opostos a ângulos de mesma medida em triângulos congruentes.

3.11. Anexos

3.11.1 Anexo 1

3.11.2. Anexo 2

3.11.3. Anexo 3

Capítulo 4 – Aplicações de Congruência

Capítulo 4 – Aplicações de Congruência

4.1. Apresentação

Ampliando o estudo de congruência, você verá nesse capítulo algumas aplicações de

congruência. A intenção é a de trazer as principais aplicações, para que você, futuro

educador, possa aprimorar os seus conhecimentos e até levar algumas aplicações para seus

alunos.

Para esse estudo, é de fundamental importância que você tenha domínio dos casos de

congruência. Conseguiu aprender? Ainda tem dúvidas? Se tiver, retome o capítulo anterior.

Os casos de congruência estudados foram: LAL, ALA, LLL, LAAO, e também o caso especial

para os triângulos retângulos – caso cateto e hipotenusa.


Espero que, no final deste capítulo, você seja capaz de:

- aplicar os casos de congruência, as propriedades e os teoremas em diversas situações;

- classificar quadriláteros e prismas;

- fazer demonstrações matemáticas de teoremas;

- utilizar, corretamente, a linguagem matemática referente ao conteúdo estudado.


Nesse capítulo, a abordagem é axiomática. A aplicação de congruência será para fazer

algumas demonstrações, pois não se tem a intenção de esgotar o assunto, mas que você

tenha um contato maior com as demonstrações. Uma forma encontrada para facilitar o

aprendizado é a de construir, junto com você, as afirmações para que você faça as

justificativas.

Inicialmente, será feito o passo a passo de uma demonstração, para que você possa fazer as

posteriores. Observe que, primeiramente, acha-se a hipótese e a tese do teorema, fazendo

também um desenho; em seguida, termina-se a demonstração com as afirmações e

justificativas.

Assim, você estudará as propriedades da mediatriz e da bissetriz de um triângulo; as

desigualdades triangulares; os quadriláteros notáveis e suas propriedades; em cruzando

assuntos, estudará os prismas; também verá os teoremas da base média do triângulo e do

trapézio; e, por último, retoma-se os pontos notáveis de um triângulo, provando alguns

teoremas.

Para o estudo, você precisará dos conhecimentos anteriores, do compasso, dos sólidos

geométricos e de muita atenção e concentração, portanto, prepare-se!

Bom estudo!

4.2. Propriedade da mediatriz e da bissetriz

Nesse item, você irá estudar a demonstração da propriedade da mediatriz de um segmento

e da bissetriz de um ângulo. Prepare-se! Leia, atentamente, as demonstrações.

4.2.1. Propriedade da mediatriz de um segmento

Todo ponto da mediatriz de um segmento é equidistante das extremidades do segmento.

Desenho

Hipótese Tese

r é mediatriz

M é ponto médio do BPAP

segmento AB

rP

Considere os triângulos APM e BPM.

Observação: Se P = M a propriedade também vale, pois M é ponto médio.

Pode-se utilizar a mesma demonstração para quaisquer outros pontos sobre a reta r.

Compreendeu a demonstração? Se não retorne e leia novamente. Caso ainda tenha dúvida

pesquise na bibliografia básica ou na internet, dentre outros.


1. MBAM 1. pois M é ponto de AB .

2. BMPPMA^^

2. pois r é mediatriz de AB .

3. PMPM 3. lado comum aos dois triângulos.

4. BPMAPM 4. pelo caso LAL.

5. BPAP 5. lados opostos a ângulos de mesma medida em triângulos

congruentes.

Figura 1 - Triângulo ABP.

Assim, todo ponto da mediatriz de um segmento é equidistante das extremidades do

segmento.

4.2.2. Propriedade da bissetriz de um ângulo

Todo ponto da bissetriz de um ângulo é equidistante das extremidades do ângulo.

Desenho

Hipótese Tese

bPaP dd ,,

Considere os triângulos POA e POB.

Assim, a distância de P à reta a é a mesma da distância de P à reta b, ou seja, bPaP dd ,, .


1. BOPPOA^^

1. pois OP é bissetriz de O.

2. OBPPAO^^

2. pois bPBeaPA .

3. OP OP 3. lado comum aos dois triângulos.

4. POBPOA 4. pelo caso LAAO.

5. BPAP 5. lados opostos a ângulos de mesma medida em triângulos

congruentes.

é

^ ^

Angulo AOB

OP bissetriz

,P ad -

indica

distância do

ponto P à

reta a.

Figura 2 – Ângulo AÔB.

P Q

Se P = O, a propriedade também se verifica.

Pode-se utilizar a mesma demonstração para quaisquer outros pontos sobre a bissetriz do

ângulo.

Compreendeu a demonstração? Se não, retorne e leia novamente. Caso ainda tenha dúvida

pesquise na bibliografia básica ou na internet, dentre outros.

Assim, todo ponto da bissetriz de um ângulo é equidistante das extremidades do ângulo.

Parada Obrigatória

Responda à atividade 1 que está no final deste capítulo. A atividade é sobre a mediatriz de

um segmento.



pesquise na bibliografia básica 1, capítulo VI, dentre outros.

Agora, você irá estudar as desigualdades nos triângulos, fará uma demonstração, e as

demais irá estudar para aplicar nas atividades propostas. Fique atento!

4.3. Desigualdades nos triângulos

4.3.1. Ao maior lado opõe-se o maior ângulo

Isso parece tão óbvio, não é mesmo!?

Muitas vezes, uma proposição parece tão óbvia que acha-se que não precisa ser

demonstrada, mas em Matemática não funciona dessa forma. Acompanhe a demonstração,

tentando responder às justificativas.

Teorema: Se dois lados de um triângulo não são congruentes, então os ângulos opostos a

eles não são congruentes e o maior deles está oposto ao maior lado.

Desenho

Hipótese Tese

ABC

BC AC

ou

a b

^^

^^

BA

ou

CBACAB

Considerando D em BC tal que

CACD e que ACBC


1. DACBAC^^

1.

2. ADCDAC^^

2.

3. ADCBAC^^

3.

A B

C

a

b

c


A B

C

D a

b

c


Conseguiu justificar? Se não, acompanhe as respostas, a seguir.

No item 1, DACBAC^^

, pois D é interno a BAC^

, ou seja, ^ ^ ^

C AB C AD D AB , o todo

é maior que cada uma das partes.

No item 2, ADCDAC^^

, pois o triângulo ACD é isósceles.

No item 3, ADCBAC^^

, pela substituição do item 2 no item 1.

No item 4, CBADBAADC^^^

, pois ADC^

é ângulo externo do ABD (teorema do

ângulo externo de um triângulo).

No item 5, ^^^^

BAouCBABAC , pela propriedade transitiva (itens 3 e 4).

Dessa forma, o maior lado opõe-se ao maior ângulo, ou seja, se dois lados de um triângulo

não são congruentes, então os ângulos opostos a eles não são congruentes e o maior deles

está oposto ao maior lado.

Agora, acompanhe, atentamente, a demonstração da recíproca desse teorema.

4.3.2. Ao maior ângulo opõe-se o maior lado

Teorema: Se dois ângulos de um triângulo não são congruentes, então os lados opostos a

eles não são congruentes e o maior deles está oposto ao maior lado.

4. CBADBAADC^^^

4.

5.^^^^

BAouCBABAC 5.

Desenho

Hipótese Tese

^ ^

^ ^

ABC

B AC ABC

ou

A B

BC AC

ou

a b

Tem-se três possibilidades para BC e AC (pela Lei da Tricotomia)

1ª) ACBC ou 2ª) ACBC ou 3ª) ACBC

1ª) Se ^ ^

BC AC A B , pelo teorema anterior. Verifica-se que isso não pode ocorrer,

pois contraria a hipótese.

2ª) Se ^ ^

BC AC A B , pelo teorema do triângulo isósceles. Verifica-se que isso não

pode ocorrer, pois contraria a hipótese.

Logo, por exclusão, tem-se ACBC .

Assim, ao maior ângulo opõe-se o maior lado, ou seja, se dois ângulos de um triângulo não

são congruentes, então os lados opostos a eles não são congruentes e o maior deles está

oposto ao maior lado.


a b

c

C

B A

As desigualdades apresentadas nos triângulos relacionam os lados e os ângulos dos

triângulos ao mesmo tempo. Agora, você irá estudar a desigualdade triangular que relaciona

apenas os lados. Preste bastante atenção!

4.3.3. Desigualdade triangular

Teorema: Em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois.

Desenho

Hipótese Tese

,

ABC ou

a b e c lados de

um triângulo

cba

ouABACBC

Considere um ponto D na semirreta

oposta à semirreta AC tal que ABAD


1. ABACDC 1. pela soma de segmentos (o ponto A está entre os

pontos D e C) e substituindo ABAD .

2. DBABDA^^

2. ABD é isósceles de base BD .

3. DBADBC^^

3. pois Â é interno ao ângulo DBC

^

, ou seja,

^ ^ ^

CDB C AB B AD

4. BDCBDADBC^^^

4. pela propriedade transitiva (itens 2 e 3).

Figura 6 - Triângulo ABC

4.

Assim, em todo triângulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois.

Observações:

1) Outra forma de enunciar a desigualdade triangular é:

Em todo triângulo, cada lado é maior que a diferença dos outros dois.

2) Se a, b e c são as medidas dos lados de um triângulo, devemos ter as três condições, a

seguir:

a b c b a c e c a b

Resumindo as relações:

a b c

b c a b cb a c b c ab c a

c a b c b a

Parada Obrigatória

Responda à atividade 2, que está no final deste capítulo. A atividade é sobre as

desigualdades triangulares.

5. DCBC 5. pelo item 4 e o teorema anterior.

6. cbaouABACBC 6. pelo item 1.




Pare e pense...

Você viu que o triângulo é um polígono especial, pois possui muitas propriedades e vários

teoremas estão relacionados a eles. Será que há outros polígonos com propriedades

interessantes?

Procure responder antes de continuar.

Sim! Há outros polígonos com propriedades interessantes. Você irá estudar os quadriláteros

notáveis. Inicialmente, a abordagem será intuitiva e metodológica e, posteriormente, a

abordagem será axiomática, provando as propriedades desses quadriláteros.

4.4. Quadriláteros notáveis

Responda os itens, a seguir, de acordo com os quadriláteros que você observou

anteriormente!

1- Trace uma reta em qualquer um dos lados dos quadriláteros e verifique em quais

deles a figura toda fica contida no mesmo semiplano. Escreva o número

correspondente aos quadriláteros que satisfazem esta condição.

_______________________________________________________________

Quadriláteros com essa característica recebem o nome de quadriláteros convexos.

Um quadrilátero convexo é uma região convexa do plano, delimitada por uma

poligonal de quatro lados.

Figura 7 – Quadriláteros.

2- Os demais quadriláteros são chamados de quadriláteros côncavos. Na atividade é o

quadrilátero de número.

_______________________________________________________________

3- Dos quadriláteros convexos, indique aqueles que possuem dois pares de lados

opostos paralelos. ___________________________________________

Quadriláteros convexos com essa característica recebem o nome de paralelogramos.

Paralelogramo é um quadrilátero convexo que tem dois pares de lados opostos

paralelos.

4- Dos paralelogramos, separe aqueles que possuem todos os ângulos retos.

_______________________________________________________________

Paralelogramos com essa característica recebem o nome de retângulos.

Retângulo é um quadrilátero convexo que possui quatro ângulos internos retos.

5- Dos paralelogramos, separe aqueles que possuem todos os lados

congruentes.________________________________________________.

Paralelogramos com essa característica recebem o nome de LOSANGOS.

Losango é um quadrilátero convexo que possui os quatro lados congruentes.

6- Dos paralelogramos, separe aquele que possui todos os ângulos retos e todos os

lados congruentes. _______________________________.

Paralelogramos com essa característica recebem o nome de quadrados.

Quadrado é um quadrilátero convexo que possui todos os ângulos retos e

7- Dos quadriláteros convexos, separe aqueles que possuem apenas um par de lados

paralelos. ___________________________________________.

Quadriláteros convexos com essa característica recebem o nome de trapézios.

Trapézio é um quadrilátero convexo que possui apenas um par de lados paralelos.

8- Dos trapézios, separem aqueles que possuem os lados não paralelos com medidas

diferentes. ____________________________________________.

Trapézios com essa característica recebem o nome de trapézios escalenos.

Trapézio escaleno é um quadrilátero convexo que possui os lados não paralelos com

medidas diferentes.

9- Dos trapézios escalenos, separe aquele que possui dois ângulos retos.

______________________________________________________________.

Trapézios escalenos com essa característica recebem o nome de trapézios retângulos

ou bi-retângulos.

Trapézio retângulo é um quadrilátero convexo que possui dois ângulos retos. 10- Dos trapézios, separe aquele que possui os lados não paralelos congruentes.

_________________________________________________.

Trapézios com essa característica recebem o nome de trapézios isósceles.

Trapézio isósceles é um quadrilátero convexo que possui os lados não paralelos

congruentes.

No esquema, a seguir, você encontra a resposta para cada um dos itens anteriores. Verifique

se você acertou.

QUADRILÁTEROS

Quadriláteros côncavos

(4)

Quadriláteros convexos

(1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9)

Paralelogramos

(1, 2, 7, 9)

Retângulos

(2, 9) Quadrados (9)

Losangos (7, 9)

Trapézios

(3, 5, 6)

Trapézios

escalenos (3, 6)

Trapézios

retângulos (6)

Trapézios isósceles

(5)

Quadrilátero

11- Dos quadriláteros convexos, separe aquele que não possui nenhum lado paralelo.

_____________________________________________________.

Quadrilátero convexo com essa característica recebe o nome de quadrilátero

qualquer.

Quadrilátero qualquer é um quadrilátero convexo que não possui nenhum lado

paralelo.

qualquer (8)

Acertou? Espero que sim! Se tiver alguma dúvida, retome a atividade e leia atentamente.

Para fazer a próxima atividade, pegue os sólidos geométricos que você construiu e o seu

caderno com as figuras coladas.

4.4.1. Cruzando assuntos – voltando aos sólidos geométricos

Pegue apenas os poliedros convexos e verifique onde esses assuntos se cruzam!

Responda antes de prosseguir.

Confira se você encontrou as figuras de número 1, 2, 5, 6, 9, 11.


1- Separe os poliedros convexos de tal maneira que se possa apoiar uma face sobre a

mesa, de modo que a metade do número de vértices fique sobre a mesa e a outra

metade num plano paralelo ao da mesa. São:

_______________________________________________

2- Do grupo anterior, separar os que têm bases do mesmo tamanho e faces laterais

formadas por paralelogramos. São: ___________________________.

Estes poliedros convexos recebem o nome de prismas.

Confira se você encontrou as figuras de número 1, 2, 5, 6, 11.


Você deve ter verificado que a base dos prismas varia. Elas podem ser triangulares,

quadrangulares, pentagonais, hexagonais, dentre outras. Assim, a base de um prisma

convexo pode ter a forma de qualquer polígono convexo.

Respondeu?

Você deve ter observado que as faces laterais dos prismas tem a forma de paralelogramos.

Acertou?

Confira se você acertou!

Figura 1- prisma triangular Figura 2- prisma quadrangular

Figura 5- prisma retangular oblíquo Figura 6- prisma retangular reto

Figura 11- prisma hexagonal

3- Observe as bases dos prismas que você tem e responda: como podem ser as bases

dos prismas? ____________________________________________

_______________________________________________________________

4- Observe as faces laterais dos prismas que você tem e responda: como podem ser as

faces laterais dos prismas? _____________________________

_______________________________________________________________

5- Dê nome aos prismas de acordo com as bases.

Em seu caderno, coloque nome em cada um dos prismas.


Confira se você encontrou as figuras de números 2, 5, 6.

Respondeu?

Confira se você encontrou as figuras de números 2, 6.

6- Dos prismas, separe os formados apenas por paralelogramos. São:

________________________________________

Prismas com essa característica recebem o nome de paralelepípedos.

Em seu caderno, coloque esse nome nas figuras que você selecionou.

7- Dos paralelepípedos, separe os formados apenas por retângulos. São:

________________________________________

Paralelepípedos com essa característica recebem o nome de paralelepípedos

retângulos ou blocos retangulares.


8- Dos paralelepípedos retângulos, separe aquele formado apenas por quadrados.

____________________________________

Paralelepípedos retângulos com essa característica recebem o nome de cubo.


Respondeu?

Confira se você encontrou a figura de número 2.

No esquema, a seguir, você encontra a resposta para cada um dos itens anteriores e um

esquema mostrando a relação de inclusão entre os prismas.

Prismas

(1, 2, 5, 6, 11)

Paralelepípedos

(2, 5, 6)

Paralelepípedos

retângulos (2, 6)

Cubo (2)

Outros paralelepípedos retângulos

Outros paralelepípedos

Outros prismas

Em relação aos sólidos geométricos, essa foi a última classificação a ser feita. Futuramente,

você irá calcular a área da superfície dos sólidos e volume deles.

Quanto aos quadriláteros notáveis, a seguir você encontrará várias propriedades

demonstradas. Com muita atenção, estude cada uma.

4.4.2. Propriedade dos trapézios

Os lados paralelos de um trapézio são chamados de base. O lado maior é a base maior (B) e

o lado menor, a base menor (b).

A- Trapézio qualquer

Em qualquer trapézio ABCD (notação cíclica) de bases AB e CD , tem-se:

º180^^^^

CBDA Desenho

Verificando essa propriedade, tem-se:

1. º180,//^^

DAltransversaADCDAB

2.

^ ^

^ ^ ^ ^

// , 180º

180º

AB CD BC transversal B C

A D B C

(São ângulos colaterais internos.)

B- Trapézio isósceles

Teorema: Os ângulos da base de um trapézio isósceles são congruentes.

Desenho

Hipótese Tese

AB e CD são bases do

trapézio isósceles

^^^^

BAeDC

Inicialmente serão traçadas as perpendiculares às bases pelos vértices A e

B da base menor, obtendo os pontos A’ e B’ na base maior CD .

Considere os triângulos retângulos AA’D e BB’C.

Figura 8 - Trapézio ABCD 1.

Figura 9 - Trapézio

isósceles ABCD 1.

Figura 10 - Trapézio

isósceles ABCD 2.


1. '' BBAA 1. pois são distâncias iguais entre as retas paralelas (cateto).

2. BCAD 2. pelo conceito de trapézio isósceles.

3. CBBDAA '' 3. pelo caso especial de congruência de triângulos retângulos.

4. ^^

DC 4. pois são ângulos opostos a lados de mesma medida em

triângulos congruentes.

5. ^ ^

A B 5. pela propriedade anterior

^

A e ^

B são suplementares a ^

D

e^

C .

Assim, os ângulos da base de um trapézio isósceles são congruentes.

Importante

Decorre, também, da congruência dos triângulos AA’D e BB’C que CBDA '' , o que

permite enunciar:


Faça a demonstração do teorema das diagonais de um trapézio isósceles.

Teorema: As diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Desenho

As projeções ortogonais dos lados, não bases, de um trapézio isósceles,

sobre a base maior, são congruentes.

Hipótese Tese

ABCD é um trapézio

de bases CDeAB BDAC

BCAD

Considere os triângulos ACD e BDC.

Conseguiu fazer? Espero que sim! Confira as suas respostas com o expresso a seguir.

No item 1, BCAD , por hipótese.

No item 2, DCDC , lado comum aos dois triângulos.

No item 3, ^^

DC , pois os ângulos da base de um trapézio isósceles são congruentes

(teorema anterior).

No item 4, BDCACD , pelo caso de congruência LAL.

No item 5, BDAC , pois são lados opostos a ângulos de mesma medida em triângulos



1. BCAD 1.

2. DCDC 2.

3. ^^

DC 3.

4. BDCACD 4.

5. BDAC 5.


Assim, as diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Importante

Da congruência dos triângulos ACD e BDC decorre que os triângulos PCD e PAB são isósceles

com bases ABeCD , sendo P o ponto onde as diagonais se cortam.

Sintetizando

Dos trapézios, você aprendeu que:

- é um quadrilátero convexo com um par de lados paralelos, denominados de base

maior (B) e base menor (b);

- em qualquer trapézio ABCD (notação cíclica) de bases AB e CD , tem-se:

º180^^^^

CBDA ;

- os ângulos da base de um trapézio isósceles são congruentes;

- as diagonais de um trapézio isósceles são congruentes.

Parada Obrigatória

Responda à atividade 3, que está no final deste capítulo. A atividade é sobre os trapézios.



pesquise na bibliografia básica 1, capítulo VI, dentre outros.

Depois dos trapézios, você irá estudar os paralelogramos.

Conforme já estudado, são os que têm dois pares de lados e são quadriláteros convexos!

Acompanhe atentamente!

4.4.3. Propriedade dos paralelogramos

A- Ângulos opostos congruentes

Propriedade 1: Em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer são congruentes.

Desenho

Hipótese Tese

ABCD é paralelogramo ^^^^

DBeCA

Para os ângulos ^^

DB , o processo é o mesmo.


1. //AB CD 1.

^ ^

180ºBC transversal B C , pois os ângulos

^ ^

B e C são colaterais internos.

2. //AD BC 2.

^ ^

180ºAB transversal A B , pois os ângulos

^ ^

A e B são colaterais internos.

3. ^^

CA 3. pela comparação dos itens 1 e 2.

Figura 12 - Paralelogramo

ABCD 1.

Assim, em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer são congruentes.

Acompanhe a próxima propriedade.

Propriedade 2: Todo quadrilátero convexo que tem ângulos opostos congruentes é um

paralelogramo.

Considere ABCD um quadrilátero convexo.

Hipótese Tese

ABCD é um quadrilátero convexo ABCD é um paralelogramo

^^^^

DBeCA


1. ^^^^

CDBA 1. pois por hipótese ^^^^

DBeCA .

2. º360^^^^

DCBA 2. pela soma dos ângulos internos de um quadrilátero.

3. º180^^^^

DCBA 3. pela comparação dos itens 1 e 2.

4. CDABeBCAD ////

4. pois ^^^^

DeBcomoassimCeA , são ângulos

colaterais internos e se a soma deles é 180° é porque as

retas são paralelas.

5. ABCD é um 5. pelo item 4.

Importante

Uma consequência dessa propriedade é: Todo retângulo é um paralelogramo.

Realmente! Caso tenha alguma dúvida, retome a atividade da classificação de quadriláteros.

B- Lados opostos congruentes

Propriedade 3: Em todo paralelogramo, dois lados opostos quaisquer são congruentes.

Desenho

Hipótese Tese

ABCD é paralelogramo ADBCeCDAB

Considere os triângulos ABC e CDA.

paralelogramo


1. ,^^

DB 1. pois são ângulos opostos de um paralelogramo.

2. //AB CD 2.

^ ^

AC transversal B AC DC A , pois são ângulos

alternos internos.

3. ACAC 3. lado comum aos dois triângulos.

4. CDAABC 4. pelo caso de congruência LAAO.


ABCD 2.

Assim, em todo paralelogramo, dois lados opostos quaisquer são congruentes.

Acompanhe a recíproca da propriedade.

Propriedade 4: Todo quadrilátero convexo que tem lados opostos congruentes é

paralelogramo.


Desenho

Hipótese Tese

AB CD e BC AD ABCD é paralelogramo

Considere os triângulos ABC e CDA.

5. ADBCeCDAB 5. são lados opostos a ângulos de mesma medida em



1. CDAB 1. por hipótese.

2. ADBC 2. por hipótese.

3. ACAC 3. lado comum aos dois triângulos.

Figura 14 - Paralelogramo ABCD

3.

Importante

Uma consequência dessa propriedade é: Todo losango é um paralelogramo.

Realmente! Caso tenha alguma dúvida, retome a atividade da classificação de quadriláteros.

C- As diagonais dividem-se ao meio

Propriedade 5: Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos

médios.

Desenho

Hipótese Tese

ABCD é um paralelogramo AM CM

BM DM

MBDAC

Considere os triângulos ABM e CDM.

4. CDAABC 4. pelo caso de congruência LLL.

5. ABCD é um paralelogramo

5. pois ACDCAB^^

(são ângulos alternos opostos a

lados de mesma medida em triângulos congruentes) o

que implica em CDAB // (se duas retas distintas e uma

transversal determinam ângulos alternos congruentes,

então essas duas retas são paralelas). O mesmo ocorre

para os ângulos BCADCADACB //^^

.

Figura 15 - Paralelogramo ABCD

4.

M

Assim, em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios.

A recíproca é com você!

Na propriedade 6, serão dadas as afirmações para que você faça as justificativas.

Propriedade 6: Todo quadrilátero convexo em que as diagonais interceptam-se nos

respectivos pontos médios é um paralelogramo.

Desenho

Hipótese Tese

AC BD M

AM CM

BM DM

ABCD é um paralelogramo


1. CDAB 1. pois, por hipótese, ABCD é um paralelogramo.

2. CDAB // 2. pois, por hipótese, ABCD é um paralelogramo.

3. ACDCAB^^

3. são ângulos alternos internos e estes são congruentes.

4. BDCBDA^^

4. são ângulos alternos internos e estes são congruentes.

5. CDMABM 5. pelo caso de congruência ALA.

6. DMBMeCMAM

M é ponto médio

6. pois são lados opostos a ângulos de mesma medida em



ABCD 5.

M

Considere os triângulos ABM e CDM

Conseguiu fazer? Agora, você já deve estar familiarizado com as demonstrações. Confira as

suas respostas com o expresso, a seguir.

No item 1, CMAM , por hipótese.

No item 2, DMCBMA^^

, pois são ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.).


1. CMAM 1.

2. DMCBMA^^

2.

3. DMBM 3.

4. CDMABM 4.

5. CDABMCDMAB //^^

5.

Considere os triângulos ADM e BCM

6. CMAM 6.

7. BMCDMA^^

7.

8. DMBM 8.

9. BCMADM 9.

10. BCADMBCMDA //^^

10.

11. ABCD é paralelogramo 11.

No item 3, DMBM , por hipótese.

No item 4, CDMABM , pelo caso de congruência LAL.

No item 5, CDABMCDMAB //^^

, os ângulos são congruentes, pois eles são opostos a

lados de mesma medida em triângulos congruentes. Como os ângulos são alternos internos,

então as retas são paralelas.

No item 6, CMAM , por hipótese.

No item 7, BMCDMA^^

, são ângulos opostos pelo vértice (o.p.v.).

No item 8, DMBM por hipótese.

No item 9, BCMADM pelo caso de congruência LAL.

No item 10, BCADMBCMDA //^^

, os ângulos são congruentes, pois eles são opostos

a lados de mesma medida em triângulos congruentes. Como os ângulos são alternos

internos, então as retas são paralelas.

No item 11, ABCD é paralelogramo, pois pelos itens 5 e 10 CDAB // e BCAD //

Assim, você acabou de verificar que todo quadrilátero convexo em que as diagonais

interceptam-se nos respectivos pontos médios é um paralelogramo.

Importante

Uma consequência dessa propriedade é: Se dois segmentos de reta interceptam-se nos

respectivos pontos médios, então suas extremidades são vértices de um paralelogramo.

A seguir, você encontrará mais uma propriedade dos paralelogramos para VOCÊ provar.

Acredito que essa habilidade já está numa fase avançada e você já é capaz de justificar as

afirmações feitas. Vamos!?

D- Dois lados paralelos e congruentes

Propriedade 7: Todo quadrilátero convexo que tem dois lados paralelos e congruentes é um

paralelogramo.

Desenho


Hipótese Tese

//AB CD e AB CD ABCD é paralelogramo

Considere os triângulos ADC e CBA.


1. CDAB 1.

2. ACDCABCDAB^^

// 2.

3. ACAC 3.

4. CBADC A 4.

5. ADBC 5.

6. ABCD é paralelogramo 6.

Figura 17 - Paralelogramo ABCD 6.

Foi fácil fazer as justificativas? Espero que sim! Confira suas respostas com o expresso, a

seguir.

No item 1, CDAB , por hipótese.

No item 2, ACDCABCDAB^^

// , pois estes ângulos são alternos internos e como as

retas são paralelas, então eles são congruentes.

No item 3, ACAC , pois é lado comum aos dois triângulos.

No item 4, CBADC A , pelo caso de congruência LAL.

No item 5, ADBC , pois são lados que são opostos a ângulos com a mesma medida em


No item 6, ABCD é paralelogramo, pois pela propriedade 4, todo quadrilátero convexo que

tem lados opostos congruentes é paralelogramo.

Assim, todo quadrilátero convexo que tem dois lados paralelos e congruentes é um

paralelogramo.

Importante

Uma consequência dessa propriedade é: Se dois segmentos de reta são paralelos e

congruentes, então suas extremidades são vértices de um paralelogramo.

Sintetizando

Em relação aos paralelogramos você aprendeu que:

- em todo paralelogramo dois ângulos opostos quaisquer são congruentes;

- todo quadrilátero convexo que tem ângulos opostos congruentes é um paralelogramo;

- todo retângulo é um paralelogramo;

- em todo paralelogramo, dois lados opostos quaisquer são congruentes;

- todo quadrilátero convexo que tem lados opostos congruentes é paralelogramo;

- todo losango é um paralelogramo;

- em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios;

- todo quadrilátero convexo em que as diagonais interceptam-se nos respectivos pontos

médios é um paralelogramo;

- se dois segmentos de reta interceptam-se nos respectivos pontos médios, então suas

extremidades são vértices de um paralelogramo;

- todo quadrilátero convexo que tem dois lados paralelos e congruentes é um

paralelogramo;

- se dois segmentos de reta são paralelos e congruentes, então suas extremidades são

vértices de um paralelogramo.

Parada Obrigatória

Responda à atividade 4, que está no final deste capítulo. A atividade é sobre os

paralelogramos.



pesquise na bibliografia básica 1, capítulo VII, dentre outros.

Depois dos paralelogramos, você irá estudar os retângulos. Ok!

Nesse item, você fará todas as justificativas das propriedades do retângulo. Acompanhe

atentamente para responder.

4.4.4. Propriedades do retângulo

Vale lembrar que se o retângulo é um paralelogramo, as propriedades do paralelogramo

também valem para o retângulo.

A- Diagonais congruentes

Propriedade 1 - Em todo retângulo, as diagonais são congruentes.

Desenho

Hipótese Tese

Considere os triângulos ABC e BAD.


1. ADBC 1.

2. ^^

AB 2.

3. ABAB 3.

Figura 18 – Retângulo

ABCD 1.

Conseguiu achar a hipótese e a tese? Fez as justificativas?

Nessa propriedade, deixamos você colocar a hipótese e a tese para posteriormente

justificar. Espero que tenha conseguido. Coteje suas respostas com o expresso, a seguir.

Na hipótese, você deve ter colocado: ABCD é retângulo; e, na tese, que BDAC . Acertou?

Se não, leia novamente a propriedade e compare com as respostas dadas.

Acompanhe as justificativas.

No item 1, ADBC , pois ABCD também é um paralelogramo e os lados opostos de um

paralelogramo são congruentes.

No item 2, ^^

AB , pois os ângulos de um retângulo são congruentes.

No item 3, ABAB , pois é lado comum aos dois triângulos.

No item 4, BADABC , pelo caso de congruência LAL.

No item 5, BDAC , pois são lados opostos a ângulos de mesma medida em triângulos

congruentes.

Acertou? Fique atento, pois, às vezes, a sua justificativa tem um vocabulário diferente, mas

diz o mesmo.

Assim, em todo retângulo as diagonais são congruentes.

4. BADABC 4.

5. BDAC 5.

Acompanhe a recíproca da propriedade.

Propriedade 2: Todo paralelogramo que tem diagonais congruentes é um retângulo.

Considere ABCD um paralelogramo de diagonais BDeAC

Hipótese Tese

ABCD é paralelogramo

BDeAC são diagonais ABCD é retângulo

BDAC

Considere os triângulos ABC e BAD.


1. ADBC 1.

Figura 19 - Retângulo ABCD 2.

Figura 20 - Triângulo ABC

5.

Figura 21 - Triângulo ABD.

Conseguiu fazer? Espero que sim! Agora, acompanhe as justificativas e compare com as suas

respostas.

No item 1, ADBC , pois os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.

No item 2, BDAC , por hipótese.

No item 3, ABAB , pois é lado comum aos dois triângulos.

No item 4, BADABC , pelo caso de congruência LLL.

No item 5, ^^

BA , pois são os ângulos opostos a lados com a mesma medida em triângulos

congruentes.

No item 6, º90^^

BA , ^^

BeA são ângulos colaterais internos e suplementares, pois AD

e BC são retas paralelas. Como eles são congruentes, cada um mede 90º.

No item 7, º90^^

CD , pois ^^

CeD são ângulos colaterais internos e suplementares, pois

AB e CD são retas paralelas. Como eles são congruentes, cada um mede 90º.

No item 8, ABCD é retângulo, pois ^^^^

CDBA .

2. BDAC 2.

3. ABAB 3.

4. BADABC 4.

5. ^^

BA 5.

6. º90^^

BA 6.

7. º90^^

CD 7.

8. ABCD é retângulo 8.

Acertou? Se não, releia atentamente a propriedade e as justificativas.

Assim, todo paralelogramo que tem diagonais congruentes é um retângulo.

Sintetizando

Você aprendeu, em relação ao retângulo, que:

- em todo retângulo, as diagonais são congruentes;

- todo paralelogramo que tem diagonais congruentes é um retângulo;

Reforçando: as propriedades do paralelogramo também valem para o retângulo, uma vez

que todo retângulo é um paralelogramo.

Parada Obrigatória

Responda à atividade 5, que está no final deste capítulo. A atividade é sobre os retângulos.




Agora, é a vez dos losangos!

Os losangos têm quatro lados congruentes e são paralelogramos. Lembra? Se não, retome a

classificação dos quadriláteros.

Certo!

As justificativas da primeira propriedade já estão prontas, e você fará as justificativas da

segunda propriedade. Acompanhe atentamente a primeira propriedade para responder a

segunda.

4.4.5. Propriedades do losango

É bom ressaltar que se o losango é um paralelogramo, as propriedades do paralelogramo

também valem para o losango.

A- Diagonais perpendiculares

Propriedade 1: Todo losango tem diagonais perpendiculares.

Desenho

Hipótese Tese

ABCD é losango AC BD

BDeAC são diagonais

Considere os triângulos AMB, AMD, CMB e CMD.


1. CMAM e DMBM 1. As diagonais de um paralelogramo interceptam-

se nos respectivos pontos médios.

2. ABBCDCAD 2. Os lados de um losango são congruentes.

Figura 22 - Losango ABCD 1.

Assim, todo losango tem diagonais perpendiculares.

Importante

Uma consequência dessa propriedade é: Se um paralelogramo é um losango, então suas

diagonais estão contidas nas bissetrizes de seus ângulos internos.

Entendeu? Se ainda tiver dúvidas, retome a atividade.

A recíproca da propriedade é com VOCÊ! Na recíproca, você irá achar a hipótese e a tese e

fazer as justificativas.

Propriedade 2: Todo paralelogramo que tem diagonais perpendiculares é um losango.

Considere ABCD um paralelogramo.

Desenho

Hipótese Tese

3. CMDCMBAMDAMB 3. Pelo caso de congruência LLL.

4. BDAC 4. Os ângulos do vértice M são congruentes e

suplementares.

__________ são diagonais

______________________

__________

Figura 23 – Paralelogramo

ABCD 7.

Conseguiu achar a hipótese e a tese? Com certeza!

Antes de prosseguir, confira sua resposta com o expresso, a seguir.

Na hipótese, você deve ter escrito que as diagonais são BDeAC e elas são

perpendiculares, ou seja, BDAC . Na tese: ABCD é losango.

Acertou? Se não, leia novamente a propriedade.

Continuando....

Considere os triângulos AMB, AMD, CMB e CMD.

Procure fazer antes de continuar!

Conseguiu? Agora coteje suas respostas com o expresso, a seguir.


1. CMAM e DMBM 1.

2.^^^^

º90 MBCDMCBMADMA 2.

3. CMDCMBAMDAMB 3.

4. AM CM BM DM 4.

5. ABCD é losango 5.

No item 1, CMAM e DMBM , porque se ABCD é um paralelogramo, então as suas

diagonais interceptam-se nos respectivos pontos médios. ( MBDAC ).

No item 2, ^^^^

º90 MBCDMCBMADMA , pois por hipótese BDAC .

No item 3, CMDCMBAMDAMB , pelo caso de congruência LAL.

No item 4, AM CM BM DM , pois são lados opostos a ângulos de mesma medida em


No item 5, ABCD é losango, pois AM CM BM DM .

Acertou? Veja que suas respostas não têm que ser iguais a essas, mas devem indicar o

mesmo.

Assim, todo paralelogramo que tem diagonais perpendiculares é um losango.

Importante

Uma consequência dessa propriedade é: Se num paralelogramo as diagonais estão contidas

nas bissetrizes de seus ângulos internos, então ele é um losango.

Sintetizando

Sobre o losango, você aprendeu que:

- todo losango tem diagonais perpendiculares;

- se um paralelogramo é um losango, então suas diagonais estão contidas nas

bissetrizes de seus ângulos internos;

- todo paralelogramo que tem diagonais perpendiculares é um losango;

- se num paralelogramo as diagonais estão contidas nas bissetrizes de seus ângulos

internos, então ele é um losango.

Parada Obrigatória

Responda à atividade 6, que está no final deste capítulo. A atividade é sobre os losangos.




Por último, você irá estudar uma propriedade do quadrado.

Os quadrados têm quatro lados congruentes e quatro ângulos congruentes, e todo quadrado

é um paralelogramo, é um retângulo e é um losango! Lembra?

Se não, retome a classificação dos quadriláteros.

Acompanhe, atentamente, a conclusão que é possível chegar sobre os quadrados.

4.4.6. Propriedades do quadrado

É bom ressaltar que se o quadrado possui dois pares de lados paralelos, ele é um

paralelogramo, então as propriedades do paralelogramo valem para o quadrado.

A- Diagonais congruentes e perpendiculares

Como além das propriedades do paralelogramo, o quadrado

possui características do retângulo e do losango. Assim, pode-se

concluir que:

Todo quadrado é retângulo e também losango.

ABCD é quadrado ABCD é paralelogramo,

BDACBDAC , .

Parada Obrigatória

Responda à atividade 7, que está no final deste capítulo. A atividade é sobre os quadrados.




Assim, você provou as propriedades dos quadriláteros. Agora, utilizará essas propriedades

para provar o teorema da base média do triângulo e do trapézio.

4.5. Teoremas da base média do triângulo e do trapézio

Você estudará os teoremas da base média do triângulo e da base média do trapézio.

Algumas justificativas estão prontas e as demais você fará.

Acompanhe, atentamente!

Figura 24 - Quadrado

ABCD.


4.5.1. Base média do triângulo

A- Teorema: Se um segmento tem extremidades nos pontos médios de dois lados de um

triângulo, então:

1º) ele é paralelo ao terceiro lado;

2º) ele é metade do terceiro lado.

Considere o triângulo ABC. Desenho

Hipótese Tese

Conduzir por C uma reta paralela à reta AB e seja F o ponto de interseção com a reta DE .

1ª PARTE


1. ECAE 1.

2. FCEEAD^^

2.

3. DEACEF^^

3.

4. FCEDAE 4.

5. ADCF 5.

^ 1 //

12,

2

DE BCABC tri angulo

DE BCAE EC AD DB

6. BDCF 6.

7. BDFC é paralelogramo 7.

8. BCDE // 8

2ª PARTE

9. BCDF 9.

10. EFDE 10.

11. BCDEBCDE2

1.2 11.

Fez? Será que você conseguiu acertar? Confira as suas respostas com o expresso, a seguir.

Para a primeira parte, tem-se:

No item 1, ECAE , por hipótese.

No item 2, FCEEAD^^

, pois são ângulos alternos internos.

No item 3, DEACEF^^

, pois são o.p.v.

No item 4, FCEDAE , pelo caso de congruência ALA.

No item 5, ADCF , pois são lados opostos a ângulos de mesma medida em triângulos

congruentes.

No item 6, BDCF , pela propriedade transitiva - item 5 e hipótese.

No item 7, BDFC é paralelogramo, pois ABCF // e pelo item 6 BDCF , ou seja, todo

quadrilátero convexo que tem lados opostos congruentes é paralelogramo.

No item 8, BCDE // , pois BDFC é paralelogramo.

Para a segunda parte, tem-se:

No item 9, BCDF , pois BDFC é paralelogramo.

No item 10, EFDE , pois são lados opostos a ângulos de mesma medida em triângulos

congruentes.

No item 11, BCDEBCDE2

1.2 , comparando os itens 9 e 10.

Acertou? Lembre-se: suas respostas não têm que ser iguais a essas, mas devem indicar o

mesmo.

Assim, você acabou de demonstrar que se um segmento tem extremidades nos pontos

médios de dois lados de um triângulo, então: 1) ele é paralelo ao terceiro lado; e, 2) ele é

metade do terceiro lado.

Acompanhe, atentamente, a demonstração do outro teorema.

B- Teorema: Se um segmento paralelo a um lado de um triângulo tem uma extremidade no

ponto médio de um lado e a outra extremidade no terceiro lado, então esta extremidade é

ponto médio do terceiro lado.

Considere o triângulo ABC.

` Desenho

Hipótese Tese

//MN BC

AM MB

N AC

AN NC

Considere N1 o ponto médio

de AC

Entendeu? Se tem alguma dúvida, leia novamente o teorema e analise cada afirmação e sua

respectiva justificativa.

Dessa forma, você acabou de verificar que se um segmento paralelo a um lado de um

triângulo tem uma extremidade no ponto médio de um lado e a outra extremidade no

terceiro lado, então esta extremidade é ponto médio do terceiro lado.

Parada Obrigatória

Responda à atividade 8, que está no final deste capítulo. A atividade é sobre o teorema da

base média do triângulo.


1. 1 //MN BC 1. pelo teorema anterior.

2. 1MN e MN 2. pois a reta paralela a BC por M é única - postulado das

paralelas.

3. N1 = N 3. pois 1MN e MN interceptam AC em N1 e N,

respectivamente.

4. NCAN 4. pois se N1 = N e N1 é ponto médio de AC , N também será.






No próximo item, você estudará teoremas relativos à base média do trapézio. Você irá

provar o primeiro teorema, e o segundo já está com as justificativas, estude-o. Acompanhe

atentamente!

4.5.2. Base média do trapézio

A- Teorema: Se um segmento tem extremidades nos pontos médios dos lados não paralelos

de um trapézio, então:

1º) ele é paralelo às bases;

2º) ele é igual à semissoma das bases.

Considere ABCD um trapézio não paralelogramo de bases AB e CD .

Desenho

Hipótese Tese

AM DM

BN CN

1º ) // //

2º )2

MN AB CD

AB CDMN

Seja E o ponto de interseção das retas DN e

AB .

Considere os triângulos BEN e CDN.

1ª PARTE


1. CDAB // 1.

2. BCDEBC^^

2.

3. CNBN 3.

4. ENBCND^^

4.

5. CDNBEN 5.

6. CDBEeDNEN 6.

7. AEMN // 7.

8. CDABMN //// 8.

2ª PARTE

9. 2

AEMN 9.

10. 2

BEABMN

10.

11. 2

CDABMN

11.

Conseguiu? Esse é extenso!

Coteje suas respostas com o expresso, a seguir.

Na primeira parte:

no item 1, CDAB // , pela definição de trapézio;

no item 2, BCDEBC^^

, pois são ângulos alternos internos;

no item 3, CNBN , por hipótese;

no item 4, ENBCND^^

, pois são ângulos o.p.v.;

no item 5, CDNBEN , pelo caso de congruência ALA;

no item 6, CDBEeDNEN , pois são lados opostos a ângulos de mesma medida em

triângulos congruentes;

no item 7, AEMN // , pois pelo item 6, N é ponto médio de DE e como M é ponto médio de

AD , tem-se o teorema da base média do triângulo ADE;

no item 8, CDABMN //// , BEABAE , pela propriedade transitiva (itens 1 e 7).

Na segunda parte:

no item 9, 2

AEMN , pelo teorema da base média do triângulo;

no item 10, 2

BEABMN

, substituindo BEABAE no item 9;

no item 11, 2

CDABMN

, pelo item 6 CDBE .

Acertou? Suas respostas condizem com o expresso? Lembre-se: suas respostas não têm que

ser iguais a essas, mas devem indicar o mesmo. Se tiver alguma dúvida, leia novamente o

teorema e analise cada afirmação e sua respectiva justificativa.

Assim, se um segmento tem extremidades nos pontos médios dos lados não paralelos de um

trapézio, então: 1) ele é paralelo às bases; 2) ele é igual à semissoma das bases.

B- Teorema: Se um segmento paralelo às bases de um trapézio tem uma extremidade no

ponto médio de um dos outros lados e a outra extremidade no quarto lado, então esta

extremidade é ponto médio deste lado.

Desenho

Hipótese Tese

// //MN AB CD

AM DM

N BC

Considere N1 o ponto médio de BC


1. 1 // //MN AB CD 1. pelo teorema anterior.

2. MNMN 1 2. pois a reta paralela a AB por M é única -

postulado das paralelas.

3. N1 = N 3. pois 1MN e MN interceptam BC em N1 e N,

respectivamente.

BN CN


Compreendeu? Se tem alguma dúvida, leia novamente o teorema e analise cada afirmação e

sua respectiva justificativa.

Dessa forma, você acabou de verificar que se um segmento paralelo às bases de um trapézio

tem uma extremidade no ponto médio de um dos outros lados e a outra extremidade no

quarto lado, então esta extremidade é ponto médio deste lado.

Parada Obrigatória

Responda à atividade 9, que está no final deste capítulo. A atividade é sobre o teorema da

base média do trapézio.




Sintetizando

Em relação à base média do triângulo, você aprendeu que:

- se um segmento tem extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo,

então: 1) ele é paralelo ao terceiro lado; e, 2) ele é metade do terceiro lado;

- se um segmento paralelo a um lado de um triângulo tem uma extremidade no ponto

médio de um lado e a outra extremidade no terceiro lado, então esta extremidade é

ponto médio do terceiro lado.

4. CNBN 4. pois se N1 = N e N1 é ponto médio de BC , N

também será.

E em relação à base média do trapézio, você aprendeu que:

- se um segmento tem extremidades nos pontos médios dos lados não paralelos de um

trapézio, então: 1) ele é paralelo às bases; 2) ele é igual à semissoma das bases;

- se um segmento paralelo às bases de um trapézio tem uma extremidade no ponto

médio de um dos outros lados e a outra extremidade no quarto lado, então esta

extremidade é ponto médio deste lado.

Lembrando e aprofundando

Lembra que, no capítulo 2, você estudou os pontos notáveis de um triângulo?

O incentro, o circuncentro, o baricentro e o ortocentro.

Lá foi feito uma abordagem metodológica. Agora, você irá provar algumas propriedades

desses pontos, portanto muita atenção.

4.6. Pontos notáveis do triângulo

A- Baricentro

As três medianas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto que divide cada

mediana em duas partes, tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra.

Desenho

Hipótese Tese

1 2 3, ,AM BM CM

são medianas

1 2 3

1 2

3

1)

2) 2. , 2. ,

2.

AM BM CM G

AG GM BG GM

CG GM


Considere X o ponto tal que: XCMBM 32 e os pontos médios D e E de CXeBX .

Para o ABC , tem-se:


1. 33 BMAM 1.

2. 22 CMAM 2.

3. 2

// 3232

BCMMeBCMM 3.

Para o XBC , tem-se:

4. BDXD 4.

5. CEXE 5.

6. 2

//BC

DEeBCDE 6.

7. DEMMeDEMM 3232 // 7.

8. DEMM 32 é paralelogramo 8.

9. 2XMDX e 3XMEX 9.

10. 2.2 XMBX e 3.2 XMCX 10.

Considere Y o ponto tal que: YCMAM 32 , de modo análogo, tem-se:

3.2 YMCY e 1.2 YMAY

11. X = Y 11.

12. Chamando X = Y de G tem-se: 12.

1321 .2 GMAGeGCMBMAM

32 .2,.2 GMCGGMBG

Fez? Essas justificativas são mais trabalhosas, não é mesmo?!

Se não conseguiu tente novamente, utilize o teorema da base média do triângulo, assim

como a definição de paralelogramo para justificar.

Tentou? Não prossiga sem responder.

Agora, coteje suas respostas com o expresso, a seguir. Lembre-se: elas não precisam ser

iguais a essas, mas devem indicar o mesmo.

Em relação ao ABC , verificou-se que:

No item 1, 33 BMAM , pois M3 é ponto médio de AB .

No item 2, 22 CMAM , pois M2 é ponto médio de AC .

No item 3, 2

// 3232

BCMMeBCMM , pelo teorema da base média do triângulo.

Em relação ao XBC , verificou-se que:

No item 4, BDXD , pois D é ponto médio de BX .

No item 5, CEXE , pois E é ponto médio de CX .

No item 6, 2

//BC

DEeBCDE , pelo teorema da base média do triângulo.

No item 7, DEMMeDEMM 3232 // , pela propriedade transitiva (itens 3 e 6).

No item 8, DEMM 32 é paralelogramo, pelo item 7 e a definição de paralelogramo.

No item 9, 2XMDX e 3XMEX , pois as diagonais de um paralelogramo interceptam-

se nos seus respectivos pontos médios.

No item 10, 2.2 XMBX e 3.2 XMCX , comparando os itens 4 e 9 e os itens 5 e 9

respectivamente.

Ao considerar Y o ponto, tal que: YCMAM 32 , de modo análogo, tem-se:

3.2 YMCY e 1.2 YMAY . Assim:

No item 11, X = Y, pois 3.2 XMCX e 3.2 YMCY .

No item 12, ao chamar X = Y de G tem-se 1 2 3AM BM CM G e

1 2 32. , 2. , 2.AG GM BG GM CG GM , pois 2.2 XMBX , 3.2 XMCX e

1.2 YMAY

Suas respostas foram parecidas com essas? Espero que sim! Se tiver alguma dúvida, leia

novamente o teorema e analise cada afirmação e sua respectiva justificativa.

Assim, você acabou de provar que as três medianas de um triângulo interceptam-se num

mesmo ponto que divide cada mediana em duas partes tais que a parte que contém o

vértice é o dobro da outra.

B- Incentro

As três bissetrizes internas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto que está a

igual distância dos lados do triângulo.

Considere o triângulo ABC, de lados cABebACaBC ,

Desenho

Hipótese Tese

1 2 3, ,AS AS AS

são bissetrizes

internas

Seja S o ponto, tal que SCSBS 32


1. cSaS ddBSS ,,2 1.

2. bSaS ddCSS ,,3 2.

3. cSbS dd ,, 3.

4. 1ASS 4.

5.

cSbSaS ddd

eSCSBSAS

,,,

321

5.

Conseguiu justificar? Espero que sim! Não prossiga sem justificar e, assim que terminar,

compare suas respostas com o expresso a seguir.

1 2 3

, , ,

1)

2) S a S b S c

AS BS CS S

d d d


No item 1, 2 , ,S a S cS BS d d , pois todo ponto da bissetriz de um ângulo é

equidistante dos lados do ângulo.

No item 2, bSaS ddCSS ,,3 , pois todo ponto da bissetriz de um ângulo é equidistante

dos lados do ângulo.

No item 3, cSbS dd ,, , pela propriedade transitiva (itens 1 e 2).

No item 4, 1ASS , pelo item 3 o ponto S está na bissetriz do ângulo A, ou seja, em 1AS .

No item 5, 1 2 3 , , ,S a S b S cAS BS CS S e d d d , pelos itens 1, 2, 3 e 4 o ponto S

pertence às bissetrizes internas do triângulo e sua distância aos lados do ângulo é a mesma.

Suas respostas foram semelhantes a estas? Espero que sim! Lembre-se: elas não precisam

ser iguais a essas, mas devem indicar o mesmo. Se tiver alguma dúvida, leia novamente o


Assim, você acabou de verificar que as três bissetrizes internas de um triângulo interceptam-

se num mesmo ponto que está a igual distância dos lados do triângulo.

C- Circuncentro

As mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto que está a igual

distância dos vértices do triângulo.

Considere o triângulo ABC Desenho

Hipótese Tese

1 2 31)

2)

m m m O

OA OB OC


1 2 3, ,

,

m m m são mediatrizes

de BC AC e AB

Seja O o ponto, tal que Omm 32


1. OCOAmO 2 1.

2. OBOAmO 3 2.

3. 1mOOCOB 3.

4.

OCOBOA

Ommm

321 4.

Fez as justificativas? É muito importante que você tente fazer antes de prosseguir.

Você lembrou que todo ponto da mediatriz de um segmento é equidistante das

extremidades do segmento? Se não, tente fazer agora.

Depois que terminar, compare as suas respostas com o expresso, a seguir.

No item 1, OCOAmO 2 , pois todo ponto da mediatriz de um segmento é

equidistante das extremidades do segmento.

No item 2, OBOAmO 3 , pois todo ponto da mediatriz de um segmento é

equidistante das extremidades do segmento.

No item 3, 1mOOCOB , pela propriedade transitiva (itens 1 e 2).

No item 4, 1 2 3m m m O OA OB OC , comparando os itens 1, 2 e 3.

Espero que suas respostas sejam semelhantes a estas? Lembre-se: elas não precisam ser

iguais a essas, mas devem indicar o mesmo. Se tiver alguma dúvida, leia novamente o


Assim, você acabou de provar que as mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se

num mesmo ponto que está a igual distância dos vértices do triângulo.

D- Ortocentro

As três retas suportes de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto.

Considere o triângulo ABC de alturas 321 ,, CHBHAH

Desenho

Hipótese Tese

1 2 3, ,AH BH CH retas

que cont em as alturas

1 2 3AH BH CH H

Pelos vértices A, B e C do triângulo, conduzimos retas paralelas aos lados opostos, obtendo o

triângulo MNP, tal que: BCNPeNPA // ; ACMPeMPB // ; ABMNeMNC //

Figura 33 - Triângulo

ABC 12.


1. APBC é paralelogramo 1.

2. BCAP 2.

3. ABCN é paralelogramo 3.

4. BCAN 4.

5. A é ponto médio de NP 5.

6. 1AH NP 6.

7. 1AH é mediatriz de NP 7.

Analogamente, 2BH é mediatriz de MP e 3CH é mediatriz de MN .

Considerando o MNP , as mediatrizes 1AH , 2BH e 3CH dos lados do triângulo

interceptam-se num ponto, H. Assim, 1 2 3AH BH CH H

Conseguiu justificar? Se não, utilize as propriedades do paralelogramo, mas não prossiga

antes de responder.

Assim que terminar, compare as suas respostas com o expresso, a seguir.

No item 1, APBC é paralelogramo, pois BCAP // e ACPB // (definição de paralelogramo).

No item 2, BCAP , pois os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.

No item 3, ABCN é paralelogramo, pois BCAN // e ABCN // .

No item 4, BCAN , pois os lados opostos de um paralelogramo são congruentes.

No item 5, A é ponto médio de NP , pelos itens 2 e 4.

No item 6, 1AH NP , pois 1 , //AH BC NP BC .

No item 7, 1AH é mediatriz de NP , pelos itens 5 e 6.

Pelo mesmo processo 2BH é mediatriz de MP e 3CH é mediatriz de MN .

Considerando o MNP as mediatrizes 1AH , 2BH e 3CH dos lados do triângulo

interceptam-se num ponto, H. Assim, 1 2 3AH BH CH H .

Compreendeu? Se tem alguma dúvida, leia novamente o teorema e analise cada afirmação e

sua respectiva justificativa.

Dessa forma, você acabou de verificar que as três retas suportes de um triângulo

interceptam-se num mesmo ponto.

Sintetizando

Você provou as propriedades dos pontos notáveis de um triângulo. São elas:

- no baricentro - as três medianas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto

que divide cada mediana em duas partes, tais que a parte que contém o vértice é o

dobro da outra;

- no incentro - as três bissetrizes internas de um triângulo interceptam-se num mesmo

ponto que está a igual distância dos lados do triângulo;

- no circuncentro - as mediatrizes dos lados de um triângulo interceptam-se num

mesmo ponto que está a igual distância dos vértices do triângulo;

- no ortocentro - as três retas suportes de um triângulo interceptam-se num mesmo

ponto.

4.7. Resumindo

A ênfase na abordagem axiomática no capítulo teve como intuito desenvolver a habilidade

de formalizar, argumentar, justificar, demonstrar. Essas habilidades são essenciais ao futuro

educador. Espero que você tenha alcançado os objetivos propostos.

Dessa forma, você verificou que a mediatriz de um segmento é equidistante das

extremidades do segmento e que todo ponto da bissetriz de um ângulo é equidistante das

extremidades do ângulo.

Em relação às desigualdades nos triângulos, você aprendeu que ao maior lado opõe-se o

maior ângulo; ao maior ângulo opõe-se o maior lado e que em todo triângulo cada lado é

menor que a soma dos outros dois.

Ao classificar os quadriláteros, verificou a relação de inclusão dos mesmos e que eles se

dividem em quadriláteros côncavos e convexos. Os quadriláteros convexos, por sua vez,

dividem-se em paralelogramos (que possuem dois pares de lados paralelos); trapézios (que

possuem um par de lados paralelos); e o quadrilátero qualquer (que não possui lados

paralelos). Os paralelogramos também foram classificados em retângulos (aqueles que

possuem todos os ângulos retos) e losangos (aqueles que possuem todos os lados

congruentes), e, por fim, o quadrado que é um retângulo, pois possui todos os ângulos retos,

e também é um losango, pois possui todos os lados congruentes. Os trapézios foram

classificados em trapézio isósceles (aqueles que possuem os lados não paralelos com

medidas iguais) e em trapézios escalenos (aqueles que possuem os lados não paralelos com

medidas diferentes). Em relação aos trapézios escalenos, aqueles que possuem dois ângulos

também recebem o nome de trapézios retângulos.

Cruzando assuntos, voltou-se aos sólidos geométricos para fazer mais uma classificação que

envolvia o conceito do paralelogramo. Sendo assim, verificou-se que os prismas são

poliedros convexos que possuem bases paralelas e de mesmo tamanho e faces laterais

formadas por paralelogramos. Também teve a oportunidade de verificar que os prismas que

possuem: a) todas as faces formadas por paralelogramos recebem o nome de

paralelepípedos; b) todas as faces formadas por retângulos recebem o nome de

paralelepípedo retângulo ou bloco retangular; c) todas as faces formadas por quadrados

recebem o nome de cubo. Assim, todo cubo é um paralelepípedo e também um bloco

retangular.

Em continuidade, demonstrou-se várias propriedades dos quadriláteros. Dentre as que ainda

não foram citadas, destacam-se:

a) os trapézios isósceles possuem os ângulos da base congruentes e as diagonais também

congruentes;

b) os paralelogramos possuem os ângulos opostos congruentes; o quadrilátero convexo

que possui os ângulos opostos congruentes é um paralelogramo; os lados opostos de

paralelogramo são congruentes; o quadrilátero convexo que possui os lados opostos

congruentes é paralelogramo; as diagonais de um paralelogramo interceptam-se nos

respectivos pontos médios; o quadrilátero convexo cujas diagonais interceptam-se nos

respectivos pontos médios é um paralelogramo; dois segmentos de reta interceptam-se

nos respectivos pontos médios suas extremidades são vértices de um paralelogramo; o

quadrilátero convexo que possui dois lados paralelos e congruentes é um paralelogramo;

dois segmentos de reta que são paralelos e congruentes, suas extremidades são vértices

de um paralelogramo;

c) os retângulos possuem as diagonais são congruentes; e todo paralelogramo que tem

diagonais congruentes é um retângulo;

d) os losangos possuem as diagonais perpendiculares e estão contidas nas bissetrizes de

seus ângulos internos; o paralelogramo que tem diagonais perpendiculares é um losango;

e se um paralelogramo possui as diagonais contidas nas bissetrizes de seus ângulos

internos, então ele é um losango.

e) os quadrados possuem as diagonais congruentes e perpendiculares.

Em relação aos teoremas da base média do triângulo e do trapézio, demonstrou-se que: 1)

em relação ao triângulo: a) um segmento que tem extremidades nos pontos médios de dois

lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e mede a metade do terceiro lado; b) um

segmento paralelo a um lado de um triângulo que tem uma extremidade no ponto médio de

um dos lados e a outra extremidade no terceiro lado, é ponto médio do terceiro lado. 2) em

relação ao trapézio: a) um segmento que tem extremidades nos pontos médios dos lados

não paralelos de um trapézio, é paralelo às bases e é igual à semissoma das bases; b) um

segmento paralelo às bases de um trapézio tem uma extremidade no ponto médio de um

dos outros lados e a outra extremidade no quarto lado, é ponto médio deste lado.

Ao retomar o estudo dos pontos notáveis, fazendo as demonstrações dos teoremas,

verificou-se que: a) as três medianas de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto

(baricentro), que divide cada mediana em duas partes, tais que a parte que contém o vértice

é o dobro da outra; b) as três bissetrizes internas de um triângulo interceptam-se num

mesmo ponto (incentro) que está a igual distância dos lados do triângulo; c) as mediatrizes

dos lados de um triângulo interceptam-se num mesmo ponto (circuncentro) que está a igual

distância dos vértices do triângulo; d) as três retas suportes de um triângulo interceptam-se

num mesmo ponto (ortocentro).

Ufa! É muito assunto. Espero que esses Conceitos matemáticos fundamentais sobre as

aplicações de congruência tenham contribuído para aprimorar o seu conhecimento em

relação a esse assunto e também para ampliar o seu olhar de futuro educador. Como a

intenção não foi a de esgotar o assunto, também sugiro que você continue pesquisando,

estudando e buscando formas diferenciadas de ensinar e aprender Geometria.

Bom estudo!

4.8. Referências


geometria plana. 7. ed. São Paulo: Atual, 1993. v. 9.

BARBOSA, João Lucas. Geometria Euclidiana Plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de

Matemática, 1995.

REZENDE, Eliane Quelho Frota; QUEIROZ, Maria Lúcia Bontorim de. Geometria Euclidiana

Plana e Construções Geométricas. Campinas-SP: Editora da Unicamp, 2000.

4.9. Atividades

Atividade 1

Seja r a mediatriz do segmento AB , D um ponto do mesmo lado de r que A, e C o ponto de

interseção de r e BC . Prove que BD CD AC .

Atividade 2

2.1. Com segmentos de medida iguais a 4 cm, 3 cm e 10 cm, pode-se construir um triângulo?

Por quê?

2.2. Qual a medida do lado AC de um triângulo ABC, sabendo que AB e BC medem,

respectivamente, 14 cm e 23 cm e que AC é múltiplo de 8?

2.3. Demonstre o teorema: Se um triângulo é retângulo, então a hipotenusa é maior que

cada um dos catetos.

2.4. Demonstre o teorema: Se um triângulo é obtusângulo, então ele tem dois ângulos

agudos.

Atividade 3

3.1. Sabendo que ABCD é um trapézio de bases AB e CD e que AR e BR são bissetrizes,

determine y e ^

B AD .

3.2. Determine os quatro ângulos de um trapézio isósceles sabendo que um dos ângulos

internos é um terço do ângulo externo adjacente.

Atividade 4

4.1. ABCD é um paralelogramo, CE é bissetriz, BC = 10 cm e EA = 4 cm. Determine a medida

dos outros lados do paralelogramo.

4.2. A soma de dois ângulos opostos de um paralelogramo é igual a 5/4 da soma dos outros

dois ângulos opostos. Determine-os.

Atividade 5

Sabendo que o perímetro de um retângulo vale 80 cm e que a base excede a altura em 10

cm, determine a medida dos lados do retângulo.

Nota:

Perímetro é o comprimento da linha que é o contorno de uma figura geométrica plana.

Nesse exercício, a figura é um polígono (retângulo), então o perímetro é o comprimento da

poligonal que o determina, ou seja, a soma das medidas dos lados do polígono. Símbolo: 2p.

Atividade 6

Determine a medida dos quatro ângulos do losango, sabendo que a diagonal forma com um

dos seus lados um ângulo cuja medida é igual à metade do ângulo interno de um triângulo

equilátero.

Atividade 7

Sabendo que ABCD é um quadrado e que DEC é um triângulo equilátero, determine o valor

de y em cada caso:

a)

b)

Atividade 8

Determine os valores das incógnitas nos casos a seguir, considerando congruentes os

segmentos que possuem marcas iguais.

a)

b)

Atividade 9

Determine os valores das incógnitas nos casos a seguir, considerando congruentes os

segmentos que possuem marcas iguais.

a)

b)

4.11. Referencial de resposta das atividades

Atividade 1

Dados Provar

r é mediatriz de AB BD CD AC

r BD C

1. AC BC , pois pelo enunciado r é mediatriz de AB

2. BD CD AC , pois BD CD BC e pelo item 1 AC BC .

Atividade 2

2.1. Utilizando a desigualdade triangular para verificar a existência do triângulo:

4 3 10 4 3

1 10 7 ( )F

10 3 4 10 3

7 4 13 ( )F

10 4 3 10 4

6 3 14 ( )F

Dessa forma, não se pode construir um triângulo com essas medidas, pois elas não

satisfazem a desigualdade triangular.

2.2. Utilizando a desigualdade triangular para verificar a existência do triângulo:

14 23 14 23

9 37

AC

AC

Como AC é múltiplo de 8 entre 9 e 37, então AC = 16 cm

ou AC=24 cm ou AC=32 cm

2.3.

Hipótese Tese Desenho

ABC retângulo

^

A é ângulo reto

BC hipotenusa

1. 180^^^

CBA , pela soma dos ângulos internos do triângulo.

2. 90^

A , pois, por hipótese, ^

A é reto.

3. 90^^

CB , comparando os itens 1 e 2.

4. BC é o maior lado, pelos itens 1, 2 e 3, e porque ao maior lado opõe-se o maior ângulo.

C

A B

B

ABBC

ACBC

4. ACBC , pelo item 4, pois ao maior lado opõe-se o maior ângulo.

5. ABBC , pelo item 4, pois ao maior lado opõe-se o maior ângulo.

2.4.

Hipótese Tese Desenho

ABC obtusângulo

^

A ângulo obtuso

1. 180^^^

CBA , pela soma dos ângulos internos do triângulo.

2. 90^

A , pois por hipótese, ^

A é obtuso.

3. 90^^

CB , comparando os itens 1 e 2.

4. 9090^^

CeB , pelo item 3 os ângulos ^^

CeB são agudos.

Atividade 3

3.1.

Se AR é bissetriz do ângulo ^

A ,

então ^ ^

B AR R AD a

Se BR é bissetriz do ângulo ^

B ,

então ^ ^

ABR RBC b

B

C A

9090^^

^^

CeBou

agudosângulosCeB

1. ^ ^

180B C , pois se //AB CD (pela definição de trapézio), então ^ ^

B e C são colaterais

internos.

2. ^

80B , pois se ^

100C , substituindo no item 1: ^ ^

100 180 80B B

3. ^

40b , pois BR é bissetriz do ângulo ^

B . Assim,

^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^

2 80 2 40B ABR RBC B b b B b b b

3. a + y = 165°, pela soma dos ângulos internos de um triângulo

^ ^ ^

180 25 180 25 40 180

165 ( )

B AR R ABR a y b a y

a y I

4. 2a + y = 180°, pela soma dos ângulos internos de um quadrilátero

^ ^ ^ ^

360 100 80 2 360 2 180 ( )A B C D y a a y II

5. a = 15° e b = 30°, com I e II forma-se um sistema. 165

2 180

a y

a y

Resolvendo pelo

método da adição (multiplica-se a equação I por (-1) e soma com a equação (II).

a y 165

2a y

180

15a

Como a + y = 165° 15° + y = 165° y = 150°

6. ^

30B AD , pois ^ ^ ^

2 2.15 30B AD a B AD B AD

Os valores de y e ^

B AD são, respectivamente, 150° e 30°.

3.2.

Considere o ângulo externo igual a a.

Como 1

3a e a são suplementares, então

1180 4 3.180 135

3a a a a .

Se ^ ^ ^1 1

.135 453 3

BCD a BCD BCD .

Como ^ ^

BCD ADC , pois o trapézio é isósceles, então ^

45ADC .

Como //AB CD (pela definição de trapézio), então ^ ^

180B BCD , pois são colaterais

internos. Assim,

1 1180 .135 180 45 180 135

3 3b a b b b

Como ^ ^

A B b , pois o trapézio é isósceles, então ^ ^

135A B .

Os ângulos do trapézio são 45°, 135°, 45° e 135°.

Atividade 4

4.1.

x

y

a

b

1. ^ ^

BCE ECD , pois CE é bissetriz.

2. ^ ^

BEC ECD , se //AB CD esses ângulos são alternos internos e, portanto,

congruentes.

3. 10EB cm , pelo item 2 o BCE é isósceles de base AP .

4. 14AB cm , pois EB EA AB .

5. 14DC cm e 10AD cm , pois os lados opostos de um paralelogramo são

congruentes.

Assim, os outros lados do paralelogramo ,AB AD e DC medem, respectivamente, 14 cm,

10 cm e 14 cm.

4.2.

Sejam os ângulos opostos ^ ^ ^ ^

,x e y a e b .

5( )

4x y a b , equação do problema

1. ^ ^ ^ ^

,x y a b , pois os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.

2. ^ ^ ^ ^

180 , 180x b a y , se os lados opostos de um paralelogramo são paralelos, esses

ângulos são colaterais internos e, portanto, suplementares.

3. 5

2 .24

x b , substituindo o item 1 ^ ^ ^ ^

,x y a b

na equação do problema.

5 5( ) 2 .2

4 4x x b b x b

4. 5

2 .2(180 )4

x x , substituindo o valor de b que pode ser encontrado no item 2, 1ª

equação. 180 180x b b x substituindo:

52 .2(180 )

4x x

5. 100x , pela resolução da equação do item 4.

5 52 .2(180 ) .(180 ) 4 5.(180 ) 4 900 5

4 4

9 900 100

x x x x x x x x

x x

6. 100y , pelos itens 1 e 5.

7. 80b , substituindo o valor de x do item 5, na 1ª equação do item 2.

100 180 80b b

8. 80a , pelos itens 1 e 7.

Resposta: os ângulos são 100°, 80°, 100°, 80°.

Atividade 5

Dados do problema

2p= 80 cm

a = b + 10

Como 2p = 80 a + b + a + b = 80

2a + 2b = 80 a + b = 40

Substituindo o valor de a essa equação: b + 10 + b = 40 2b = 30

b = 15 cm

Como a = b + 10 a = 15 + 10 a = 25 cm

As medidas dos lados do retângulo são 25 cm, 15 cm, 25 cm e 15 cm.

Atividade 6

Considere ABCD um losango e BDeAC suas

diagonais.

Achar ^^^^

,, DeCBA .

1. 90^^^^

CPBAPBCPDAPD , pois as

diagonais de um losango são perpendiculares.

2. 30^

DAP , pois de acordo com o problema, a

diagonal forma com um dos lados do losango um

ângulo cuja medida é igual à do ângulo interno de um

triângulo equilátero, e como os ângulos desse

triângulo medem 60°, então, tem-se:

^ ^1.60 30

2P AD P AD .

3. 60^

PDA , no ADP pela soma dos ângulos internos 180^^^

PDADPADAP e

substituindo os valores dos itens 1 e 2, tem-se: 601809030^^

PDAPDA .

4. ^^^^

DBeCA , pois os ângulos opostos de um paralelogramo são congruentes.

5. 30^^^^

DCPPCBBAPPAD , pois as diagonais de um losango são bissetrizes dos

ângulos internos e pelos itens 3 e 4.

6. 60^^^^

ABPPBCCDPPDA , pois as diagonais de um losango são bissetrizes dos

ângulos internos e pelos itens 3 e 4.

7. 120120,60,60^^^^

DeBCA , pelos itens 4, 5 e 6.

Atividade 7

a)

1. AD BC AB CD , pela definição de

quadrado.

2. CD DE CE , pela definição de

triângulo equilátero.

3. AD BC AB DE CE ,

propriedade transitiva nos itens 1 e 2.

(Veja na figura).

4. 90^^^^

DCBA , pela definição de

quadrado.

5. ^ ^ ^

60E DC DCE CE D , pois os ângulos internos de um triângulo equilátero são

congruentes.

6. ^

30ECB , pois ^ ^ ^

C DCE ECB . Substituindo ^

60DCE e 90^

A tem-se que

^ ^

90 60 30ECB ECB

7. ^ ^

CE B E BC y , pois o BCE é isósceles de base EB (os ângulos da base de um

triângulo isósceles são congruentes).

8. Y = 75°, pela soma dos ângulos internos do BCE . Veja:

^ ^ ^

180 30 180 2 150 75CE B E BC BCE y y y y


b)

1. AD BC AB CD , pela

definição de quadrado.

2. CD CE DE , pela

definição de triângulo equilátero.

3. AD BC AB CE DE , propriedade transitiva nos itens 1 e 2.

(Veja na figura).

4. ^ ^ ^ ^

90A ABC BCD D , pela definição de quadrado.

5. ^ ^ ^

60DCE CE D E DC , pois os ângulos internos de um triângulo equilátero são

congruentes.

6. ^

150BCE , pois ^ ^ ^

C BCD ECD . Substituindo ^

60E DC e ^

90BCD tem-se

que ^ ^

60 90 150BCE BCE .

7. ^ ^

CE B E BC y , pois o BCE é isósceles de base BE (os ângulos da base de um

triângulo isósceles são congruentes).

8. y = 15°, pela soma dos ângulos internos do BCE . Veja:

^ ^ ^

180 150 180 2 30 15BCE CE B E BC y y y y


Atividade 8

a) Achar y.

1. 4 8

2

yy

, pelo teorema da base média do triângulo.

2. y = 4, resolvendo a equação do item 1:

4 82 4 8 2 4 8 2 8 4

2

yy y y y y y y

.

b) Achar a e b.

1. 2 9

2

ab


2. 3 4

2

ba


3. Com os itens 1 e 2, tem-se um sistema de equações. No item 2, vamos achar o valor de 2a

e substituir na equação do item 1. (método da substituição). Assim, 2 3 4a b .

4. Substituindo o valor de 2a na equação do item 1:

2 9 3 4 92 3 5 5

2 2

a bb b b b b

.

5. Substituindo o valor de b na equação do item 2:

3 4 3.5 4 199,5

2 2 2

ba a a ou a

Os valores de a e b são, respectivamente, 5 e 9,5.

Atividade 9

a)

1. 4 4 5

2 32

x xx

, pelo teorema da base média do trapézio.

2. x = 7, resolvendo a equação:

4 4 52 3 (2 3).2 5 1 4 6 5 1 7 7

2

x xx x x x x x x

O valor de x é 7.

b)

Observe que a diagonal dividiu o trapézio em dois triângulos.

1. 3

2

ab


2. 2

2

a ba


3. 2a b , reduzindo os termos semelhantes na equação do item 2.

4. Tem-se um sistema de equações. Substituindo o valor de a do item 3 na equação do item

1. (método da substituição).

3 2 3

2 5 52 2

a bb b b b b

5. Substituindo o valor de b na equação do item 3:

2 5 2 7a b a a

Os valores de a e b são, respectivamente, 7 e 5.

livro sólidos geométricos

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