livro de exercÍcios volume 1 - new-social.com · primeiro aparecem o que chamamos “exercícios...

Obra em 2 volumes (Não é permitida a venda em separado)

ISBN 978-989-97839-1-1

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ISBN 978-989-97839-1-1

Jaime Carvalho e SilvaProfessor Associado do Departamento de Matemática da Faculdade de Ci-ências e Tecnologia da Universidade de Coimbra. Licenciado e Doutorado em Matemática pela Universidade de Coimbra, estudou na Universidade de Paris 6. Foi professor visitante na Arizona State University (EUA) e é Secretário-Geral da Comissão Internacional de Instrução Matemática (2009-2012).

Professor há 36 anos na Universidade de Coimbra, leccionou disciplinas de Matemática para Matemáticos e Engenheiros, assim como da formação de professores de Matemática e orientou Estágios Pedagógicos de Matemática em sete escolas diferentes. Coordenador das Equipas Técnicas que elabo-raram os programa de Matemática A, Matemática B, MACS, Matemática dos Cursos Profissionais e Matemática das Escolas Artísticas. Consultor do GAVE desde a sua criação.

Autor de Manuais Escolares do Ensino Básico e do Ensino Secundário tendo ganho o Prémio Sebastião e Silva da SPM para Manuais Escolares em 2005 e obtido uma Menção Honrosa em 2000.

Joaquim PintoProfessor de Matemática do Ensino Básico e Secundário há 20 anos, licen-ciado em Matemática, ramo de formação Educacional, pelo Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra e Mestre em Ensino da Matemática pelo Departamento de Mate-mática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

Desempenhou funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de Matemática do Ensino Secundário e de Supervisor dos Exame de Mate-mática A, continuando a ser classificador de Exames de Matemática A.

Orientou Estágio Pedagógico pelas Universidades de Aveiro e de Coimbra.

Formador acreditado pelo Conselho Científico Pedagógico da Formação Contínua, nas áreas: A43 – Matemática / Métodos Quantitativos; C05 – Didáticas específicas (matemática); e C15 – Tecnologias Educativas (In-formática / Aplicações da Informática). Dinamizou várias ações dentro dos referidos domínios.

Vladimiro MachadoProfessor de Matemática do Ensino Básico e Secundário há 30 anos, licen-ciado em Matemática, ramo de formação Educacional, pelo Departamen-to de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto e Mestre em Ensino da Matemática pelo Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

Desempenhou funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de Matemática do Ensino Secundário e de Supervisor dos Exame de Mate-mática B. Desempenha as funções de Professor Acompanhante do Novo Programa de Matemática do Ensino Básico.

Orientador de Estágio Pedagógico do Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.

Formador acreditado pelo Conselho Científico Pedagógico da Formação Contínua, nas áreas: A43 – Matemática / Métodos Quantitativos; C05 – Didáticas específicas (Matemática); e C15 – Tecnologias Educativas (In-formática / Aplicações da Informática).

NIU

aleph 12 – Livro de Exercícios – Volume 1

Manual de Matemática para o 12º anoMatemática A

NIUaleph 12

Jaime Carvalho e SilvaJoaquim PintoVladimiro Machado

2012

LIVRO DE EXERCÍCIOS

VOLUME 1Edição dE autor

TítuloNiuAleph 12 - Livro de Exercícios para o 12.º ano de Matemática A

AutoresJaime Carvalho e Silva (Editor)Joaquim PintoVladimiro Machado

Capa e DesignElisa Silva

Conceção TécnicaVítor TeodoroJoão Fernandes

ColaboraçãoAntónio Marques do Amaral, Raul Gonçalves e Sofia Marques

Imagens e fontes

As imagens utilizadas neste manual pertencem ao domínio público ou, nas situações indicadas, aos respetivos autores, sob as Licenças Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 http://creativecom-mons.org/licenses/by-sa/3.0/) ou Creative Commons Attribution 3.0 http://creativecommons.org/li-censes/by/3.0/

As fontes utilizadas neste manual pertencem às famílias Latin Modern e Latin Modern Math, desenvol-vidas pela GUST http://www.gust.org.pl/projects/e-foundry/lm-math/index_html

ISBN978-989-97839-1-1

Edição1.ª edição/versão 1

Data2012

© Este ficheiro é de distribuição livre mas os direitos permanecem com os respetivos autores. Não é permitida a impressão deste ficheiro.

Índice geral

Volume 1

(Capítulos 1 a 8)

Exercícios globais de 2.ª oportunidade

Recomendações do GAVE

Testes de tempo limitado

Soluções

Síntese

Volume 2

(Capítulos 9 a 17)

Exercícios globais de 2.ª oportunidade

Recomendações do GAVE

Testes de tempo limitado

Soluções

Síntese

Índice

Introdução 6

Exercícios globais de 2.ª oportunidade 9

Capítulo 1 - É possível? É provável? 9

Capítulo 2 - Probabilidades 13

Capítulo 3 - Probabilidade condicionada 17

Capítulo 4 - Distribuição de probabilidades 21

Capítulo 5 – Análise Combinatória 24

Capítulo 6 - Triângulo de Pascal e Binómio de Newton 27

Capítulo 7 – Função exponencial 29

Capítulo 8 – Função logarítmica 33

Recomendações do GAVE 37

Capítulo 1 - Resolução de problemas da vida real 39

Tarefas resolvidas 39

Tarefas propostas 47

Questões de escolha múltipla 53

Capítulo 2 - Problemas que envolvem cálculos mais elaborados no conjunto dos números reais 56



Questões de escolha múltipla 61

Capítulo 4 - Exercícios que pressupõem raciocínios demonstrativos 63



Capítulo 5 - Utilizar a calculadora gráfica para resolver problemas 66



Testes de tempo limitado 73

Teste 1 – Probabilidades – Escolha múltipla 73

Teste 2 – Probabilidades – Escolha múltipla 77

Teste 3 – Probabilidades – Itens de resposta aberta 80

Teste 4 – Probabilidades – Itens de resposta aberta 81

Teste 5 – Probabilidades 85

Soluções 89

Síntese 108

6 Introdução

0. IntroduçãoPara quê fazer exercícios?

Como bem chamou a atenção o matemático Ian Stewart, grande investigador matemático da Uni-versidade de Warwick (Inglaterra) e divulgador da matemática, com mais de 80 livros publicados,

“Os problemas são a força motriz da Matemática”

Então espera-se que os alunos resolvam problemas. Estudar matemática implica resolver problemas. Uns mais simples poderão ser chamados exercícios, outros mais extensos ou complexos poderão ser chamados tarefas. Não se preocupem com estas designações que existem mais para organizar as coisas do que verdadeiramente para classificar os problemas.

Quantos exercícios devo fazer?

Saber quantos exercícios resolver ou que tipo de exercícios resolver é um dos dilemas mais comuns dos estudantes. São frequentes perguntas como:

“Como faço isso professor? Qual é a fórmula que se usa? Que conta temos que fazer? O senhor não ensinou isso!“

Não há milagres e na página interior da contracapa deste livro aparecem os conselhos de um gran-de matemático húngaro George Polya (1888–1985), que se dedicou à reflexão sobre os métodos de resolução de problemas em todos os níveis de ensino.

Um outro matemático, o australiano Terence Tao, que em 2006 ganhou a medalha Fields (também chamado o Prémio Nobel da Matemática) descreve assim o seu método de resolver problemas:

“Hoje, comigo, é sempre assim: ‘Vamos tentar esta ideia. Isso leva-me a algum progresso, ou então não funciona. Agora tentemos aquilo. Oh, há aqui um peque-no atalho.’ Trabalhamos durante tempo suficiente e, a certa altura, conseguimos progredir num problema difícil entrando pela porta das traseiras. No final, o que normalmente acontece é: ‘Olha, resolvi o problema.’ ”

O matemático espanhol Miguel de Guzmán (1936–2004), autor de livros de divulgação como “Aven-turas Matemáticas” e “Contos com contas”, dava como primeiro conselho o seguinte:

“Antes de fazer tenta entender”

É efetivamente fundamental que se leia com atenção o enunciado do problema e se tente entender bem o que é dado e o que é pedido. Um minuto perdido na leitura do enunciado pode salvar 30 minutos de resolução inútil porque não se responde realmente ao que é pedido.

O grande matemático português Sebastião e Silva (1914–1972) preocupava-se com a resolução de problemas sem cuidados na sua escolha. Escreveu:

“É preciso combater o excesso de exercícios que, como um cancro, acaba por des-

7Introdução

truir o que pode haver de nobre e vital no ensino. É preciso evitar certos exercí-cios artificiosos ou complicados, especialmente em assuntos simples.(...) É mais importante refletir sobre o mesmo exercício que tenha interesse, do que resolver vários exercícios diferentes, que não tenham interesse nenhum.(...) Entre os exer-cícios que podem ter mais interesse figuram aqueles que se aplicam a situações reais, concretas.”

Neste livro de exercícios os autores tiveram a preocupação de selecionar cuidadosamente os exercí-cios pelo seu interesse e não apenas para fazerem número de páginas.

Primeiro aparecem o que chamamos “exercícios de 2ª oportunidade”, ou seja, exercícios que devem ser feitos apenas depois de resolvidos os exercícios do manual escolar e apenas em caso de necessidade. Se não conseguiste dominar alguma parte da matéria, se queres refrescar a tua mente com uma matéria que tens medo de já ter esquecido, se queres testar o teu próprio conhecimento, pega nestes exercícios, respeitando o grau de dificuldade (se dominas bem os exercícios simples de determinado capítulo não precisas de fazer mais exercícios fáceis).

Depois aparecem os exercícios de matérias que o GAVE descobriu que são aquelas onde os alunos têm mais dificuldades e a que chamamos “Recomendações do GAVE”. Esta parte contém algu-mas tarefas resolvidas que deves tentar resolver por ti; só depois de tentares resolver cada tarefa é que deves olhar para a respetiva resolução e tentar compreendê-la. Não te esqueças que cada pro-blema pode ter vários processos igualmente válidos de resolução, como se pode ver bem no caso da Tarefa 5.

Na terceira parte preparámos “testes de tempo limitado”, de 45m e 90m, com uso de calculadora e sem uso de calculadora, para conseguires testar a tua capacidade de resolver um certo número de exercícios dentro de um intervalo temporal fixado previamente. Este é um aspeto que também os relatórios do GAVE identificam como os alunos tendo dificuldade.

Como detetar alguns erros mais comuns

Na pressa da resolução de um problema é comum cometerem-se erros que podem estragar comple-tamente um problema.

Por exemplo: é preciso usar muitas fórmulas e por vezes trocam-se uns sinais na fórmula ou usa-se a fórmula ao contrário. Como ter a certeza que a fórmula está correta? Quais os principais cuidados a ter?

Havendo dúvidas quanto à validade de determinada fórmula, o melhor é testar a fórmula com ca-sos particulares. Por exemplo, a expressão não pode ser igual à expressão porque se fizermos , a primeira expressão vale e a segunda vale zero e não podem assim ser iguais para todos os valores de x e y se nem sequer o são para valores particulares de x e de y.

Outra estratégia útil é usar a calculadora gráfica ou o computador para traçar um gráfico, mesmo quando não conseguimos obter valores exatos. Por exemplo, se tivermos dúvidas se o ponto (1,–1) satisfaz simultaneamente as desigualdades

8 Introdução

poderemos recorrer à calculadora gráfica para obter o gráfico seguinte

e concluir que tal ponto, não estando na região sombreada, não satisfaz simultaneamente as duas desigualdades dadas. Podemos ter de provar isso analiticamente mas já ficamos a “saber” a resposta o que ajuda na resolução e permite controlar eventuais erros de cálculo.

Um modo de controlar se duas funções são realmente inversas é usar uma calculadora ou computador e procurar o gráfico da respetiva composta. Por exemplo, para as funções

e

se tentarmos traçar o gráfico de

obteremos a função identidade. Não “prova” nada, mas permite verificar a nossa ideia (ou detetar um erro se não obtivermos a função identidade).

Outros conselhos poderiam ser avançados, mas ficarão para o segundo volume.

Ao longo do ano escolar os autores irão disponibilizando na internet, na página

http://niualeph.eu

mais tarefas e desafios e provas globais para tu poderes ir encontrando desafios sempre novos.

Bom trabalho!

9Exercícios globais de 2.ª oportunidade

1. Exercícios globais de 2.ª oportunidadeC1

Capítulo 1 – É possível? É provável?

Pratica ↑

1. Quando se fazem previsões sobre um acontecimento, utilizam-se com frequência frases como: “é quase certo”, “é bastante provável”, “é pouco provável”, “é quase impossível”. Associa uma destas frases às seguintes previsões sobre o clima na cidade de Faro no dia 15 de Agosto:

1.1 Nevará.

1.2 Choverá.

1.3 A temperatura máxima será superior a 20.

1.4 O céu estará limpo.

1.5 O Sol brilhará mais de 3 horas.

2.

12

3

4

567

8

9

10

1112

Observa a roda da sorte da figura. Considera a experiência: “rodar o ponteiro e anotar o número que sai”.

2.1 Indica o espaço de resultados.

2.2 Indica o subconjunto do espaço de resulta-dos associado a cada um dos seguintes acon-tecimentos.

2.2.1 Sair número ímpar.

2.2.2 Sair número fatorizável.

2.2.3 Sair múltiplo de 3.

2.2.4 Sair 2 ou 3.

2.2.5 Sair 9.

2.2.6 Não sair 9.

2.2.7 Sair 11, 13 ou 15.

2.2.8 Não sair 11, nem 13, nem 15.

10 Exercícios globais de 2.ª oportunidade

2.3 Considera os acontecimentos:

A: Sair número par.

B: Sair número maior ou igual a 3.

Utilizando apenas estes dois acontecimentos e as operações de interseção, reunião e comple-mentação, caracteriza os seguintes acontecimentos:

2.3.1 Sair número ímpar.

2.3.2 Sair número 1.

2.3.3 Sair 2 ou sair um número ímpar.

2.3.4 Sair número par menor do que 3.

3. Considera a experiência que consiste na extração de uma carta de um baralho de 52 cartas e os acontecimentos:

A: Sair copas

B: Sair valete

C: Sair 10 de capas ou de ouros

3.1 Indica qual o espaço de resultados associado a esta experiência.

3.2 Traduz por palavras o significado dos seguintes acontecimentos: , , , , , .

4. Considera a experiência aleatória que consiste em verificar o sexo dos filhos das famílias de três filhos.

4.1 Indica qual o espaço de resultados associado a esta experiência.

4.2 Considera o acontecimento “pelo menos um dos filhos é do sexo masculino”. Quantas ocorrências pode ter este acontecimento (número de elementos do acontecimento)?

4.3 Representa por um diagrama de Venn o acontecimento da alínea anterior.

5. Lançamos dois dados não cúbicos de cores diferentes numerados de 1 a 9 e tomamos nota dos resultados das faces superiores. Determina:

5.1 O espaço de resultados.

5.2 O acontecimento “obter pelo menos um 5”.

5.3 O acontecimento “obter pelo menos um resultado superior a 7”.

6. Uma equipa de basquetebol de Lamego e outra de Viseu estão na final de uma competição nacional em que o vencedor é a primeira equipa que ganhar 3 jogos. A equipa de Lamego ganhou o primeiro jogo. Qual o espaço de resultados?


7. Lançamos dois dados não cúbicos de cores diferentes numerados de 1 a 9 e tomamos nota dos resultados das faces superiores. Determina o acontecimento contrário do acontecimento “Sair face par”.

Pensa e resolve ↑ ↑

8. Lançamos dois dados não cúbicos de cores diferentes numerados de 1 a 9 e tomamos nota dos resultados das faces superiores. Dá um exemplo de:

8.1 Um acontecimento elementar.

8.2 Um acontecimento certo.

8.3 Um acontecimento impossível.

9. No lançamento de um dado cúbico comum, consideremos os acontecimentos:

A: “sair face par”

B: “sair face menor que 3”

9.1 Define em extensão o acontecimento contrário de:

9.1.1 B

9.1.2 A

9.1.3

9.1.4

10. De uma urna que contém duas bolas amarelas e duas bolas roxas, retira-se uma bola ao acaso e regista-se a cor.

10.1 Qual o espaço de resultados?

10.2 Quais os acontecimentos elementares?

10.3 Considera os seguintes acontecimentos:

A: Sair bola amarela

B: Sair bola vermelha

C: Não sair bola roxa

D: Não sair bola amarela nem roxa

10.3.1 Representa os acontecimentos por conjuntos.

10.3.2 Indica um acontecimento certo e um acontecimento impossível.


11. No lançamento de um dado, consideremos os acontecimentos: A: «sair face par» e B: «sair face menor que 3». Define em extensão o acontecimento contrário de B \ A .

Reflete ↑ ↑ ↑

12. Para cada uma das seguintes afirmações, indica quais são verdadeiras e quais são falsas:

12.1 Numa experiência aleatória pode não haver acontecimento certo.

12.2 Numa experiência aleatória pode não haver acontecimento impossível.

12.3 O acontecimento contrário de um acontecimento certo é sempre impossível.

12.4 O acontecimento contrário de um acontecimento elementar é sempre impossível.

12.5 O acontecimento contrário do acontecimento contrário de um acontecimento elementar é sempre impossível.

12.6 O acontecimento contrário do acontecimento contrário de um acontecimento impossí-vel é sempre impossível.

13. Num espaço S, considera dois acontecimentos A e B diferentes, e supõe que nenhum deles é impossível ou certo. Explica quando se poderá ter que é impossível.


C2Capítulo 2 – probabilidades

Pratica ↑

1. Lançou-se uma moeda de euro ao ar duas vezes seguidas. Uma moeda de euro tem uma face europeia e uma face nacional. Calcula a probabilidade de obter duas faces europeias no lançamento.

2. Lançou-se uma moeda de euro ao ar três vezes seguidas. Calcu-la a probabilidade de obter três faces europeias no lançamento.

3. Lançou-se uma moeda de euro ao ar quatro vezes seguidas.

3.1 Calcula a probabilidade de obter: três faces europeias e uma nacional no lançamento.

3.2 Pelo menos duas faces europeias.

4. Num saco há 5 bolas vermelhas, 3 azuis e 2 verdes. Retiram-se sucessivamente do saco três bolas, sem repor nenhuma. Determina:

4.1 A probabilidade de saírem as 3 azuis.

4.2 A probabilidade de saírem 3 bolas da mesma cor.

4.3 A probabilidade de saírem 3 bolas de 3 cores diferentes.

5. Seja S o conjunto de resultados associados a uma certa experiência aleatória. Se A e B são os acontecimentos apresentados a seguir, determina em cada caso e :

5.1 , ,

5.2 , ,

5.3 , ,

6. Lançou-se ao ar um dado tetraédrico não equilibrado com as faces numeradas de 1 a 4. De-pois de 1000 lançamentos, obtiveram-se os seguintes valores para as probabilidades de 3 das faces: P({1}) = 0,6, P({2}) = 0,18 e P({3}) = 0,21. Qual a probabilidade de sair a face com o número 4?

7. Enuncia uma axiomática para as probabilidades. Prova que quaisquer que sejam os acontec-imentos A e B, .

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8. Seja S o conjunto de resultados (com um número finito de elementos) associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos, contidos em S, nenhum deles im-possível, nem certo. Para cada alínea procura exemplos concretos para S, A e B de tal modo que se verifique que

8.1

8.2

8.3

8.4

9. Lança-se um dado equilibrado de 8 faces com as faces numeradas de 1 a 8. Considera os acontecimentos:

A: “sair face ímpar”

B: “sair face de número maior ou igual a 4”

Determina o acontecimento contrário de . Qual a probabilidade da união de com o seu acontecimento contrário?

10. Lançam-se dois dados não viciados, um octaédrico com as faces numeradas de 1 a 8 e outro dodecaédrico com as faces numeradas de 1 a 12. Determina a probabilidade de:

10.1 Sair um número diferente em ambos os dados.

10.2 Sair um número igual em ambos os dados.

Pensa e resolve ↑ ↑

11. Por vezes, é mais fácil determinar a probabilidade do acontecimento contrário ao que é pedido por envolver uma contagem mais fácil. Aplica este princípio à seguinte situação: “Lançam-se dois dados cúbicos equilibrados, tendo ambos as faces numeradas de 1 a 6. Qual a probabilidade de a soma das pintas obtidas ser inferior ou igual a 10”.

12. Seja S o conjunto de resultados (com um número finito de elementos) associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos, contidos em S, nenhum deles impos-sível, nem certo. Para cada alínea procura exemplos concretos para S, A e B, se existirem, de tal modo que não se verifique que:

12.1

12.2

12.3

12.4


13. Seja S o conjunto de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos tais que , e . Calcula , e .

14. Um jogador utiliza um dado cúbico não equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. A probabilidade de sair cada uma das 5 primeiras faces é dada pela tabela seguinte:

Número 1 2 3 4 5 6

Probabilidade 0,1 0,2 0,1 0,15 0,15 ?

14.1 Determina o valor em falta.

14.2 Determina a probabilidade de:

14.2.1 Sair número par.

14.2.2 Sair um número inferior ou igual a 3.

14.2.3 Sair o número 6.

15. Dois acontecimentos dizem-se incompatíveis se a realização de um deles implica a não reali-zação do outro. Exprime este conceito usando conjuntos.

16. Mostra que se A e B são dois acontecimentos se tem .

Reflete ↑ ↑ ↑

17. O João e a Maria vão jogar aos dados com as seguintes regras:

Um dado cúbico equilibrado com as faces numeradas de 1 a 6 é lançado ao ar duas vezes.

O João ganha se sair pelo menos um 1 ou um 6.

A Maria ganha se saírem dois números pares.

A questão que se coloca é: este jogo é equitativo, isto é, tanto o João como a Maria têm igual probabilidade de ganhar?

18. Num jogo de dados são lançados dois dados comuns e se a soma das pintas dos dados for es-tritamente superior a 7 então tu ganhas o jogo. Caso contrário é o teu adversário que ganha. Quem é favorecido neste jogo?


19. Diz se as afirmações seguintes são verdadeiras ou falsas:

19.1 Se A e B são acontecimentos em S, o conjunto de resultados associado a uma certa experiência aleatória, então é sempre superior a .

19.2 é sempre superior a .

19.3 É possível ter , , e .

19.4 É possível ter , , e .

19.5 Dois acontecimentos incompatíveis são contrários.

20. Em 2011, em Portugal, estavam matriculados no Ensino Superior 396 268 indivíduos e desses 28 657 estudavam Ciências, Matemática e Informática-CMA (fonte: Pordata). Destes estu-dantes, 46,6% eram do sexo feminino.

20.1 Reproduz no teu caderno e completa a tabela seguinte:

Não CMA CMA total

Feminino

Masculino

28 657 396 268

20.2 Escolhemos, ao acaso, um estudante matriculado no Ensino Superior em 2011. Consi-dera os seguintes acontecimentos:

A: “É um estudante de Ciências, Matemática e Informática-CMA”

B: “É do sexo feminino”

C: “Estuda Ciências, Matemática e Informática-CMA e é do sexo feminino”

D: “É do sexo masculino e não estuda Ciências, Matemática e Informática-CMA”

Calcula a probabilidade de cada um destes acontecimentos. Arredonda o resultado às centésimas.

20.3 Os acontecimentos A e D são incompatíveis?

20.4 Considera o acontecimento . Define por meio de uma só frase este aconteci-mento e calcula a sua probabilidade. Arredonda o resultado às centésimas.

(adaptado do exame do 12.º ano, França, 1997)


C3Capítulo 3 – probabilidade CondiCionada

Pratica ↑

1. Uma urna contém cinco bolas brancas e doze pretas, equiprováveis. Ao extrair duas bolas qual é a probabilidade de que eles sejam da mesma cor?

2. Calcula a probabilidade de a soma das faces de dois dados ser maior que 10 sabendo que no primeiro dado saiu um seis.

3. Seja S o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois acontecimentos tais que P(A) = 43% , P(B) = 77% e P(A∪B) = 82% . Usando um diagra-ma de Venn determina o valor das probabilidades condicionadas:

3.1 P(A | B)

3.2 P(B | A)

4. Seja S o espaço de resultados associado a uma certa experiência aleatória. Sejam A e B dois

acontecimentos tais que P(A) = 14

, P(B) = 13

e P(A | B) = 19

. Usando um diagrama de

Venn determina o valor das probabilidades:

4.1 P(A∪B)

4.2 P(B | A)

5. Numa turma de 12.º ano sabe-se que a probabilidade de um aluno ter dúvidas a matemática é de 55%, de ter dúvidas a português é de 30% e de ter simultaneamente dúvidas a ambas a disciplinas é de 20%.

Calcula, apresentando o resultado na forma de fração irredutível, a probabilidade de um aluno:

5.1 Ter dúvidas a matemática sabendo que tem dúvidas a português.

5.2 Ter dúvidas a português sabendo que tem dúvidas a matemática.

5.3 Ter dúvidas a matemática sabendo eu não tem dúvidas a português.

5.4 Ter duvidas a português sabendo que não tem dúvidas a matemática.

5.5 Não ter dúvidas a matemática sabendo que tem dúvidas a português.

5.6 Não ter dúvidas a português sabendo que não tem dúvidas a matemática.


6. Na Escola Secundária Anastácio da Cunha, foi feito um inquérito sobre a leitura de 3 re-vistas de desportos motorizados: AutoRápido, BoaCorrida e CorreRápido. Dos 100 alunos interrogados, 57 lêem AutoRápido, 42 lêem BoaCorrida, 38 lêem CorreRápido, 22 lêem AutoRápido e BoaCorrida, 14 lêem BoaCorrida e CorreRápido, 16 lêem AutoRápido e Cor-reRápido, 8 lêem AutoRápido, BoaCorrida e CorreRápido. Usando um diagrama de Venn, calcula o número de alunos que:

6.1 Lêm apenas AutoRápido e BoaCorrida.

6.2 Lêm apenas BoaCorrida e CorreRápido.

6.3 Lêm apenas BoaCorrida.

6.4 Lêm apenas CorreRápido.

6.5 Não lêm nenhuma das três revistas.

7. Suponhamos que na Escola Secundária Luís de Albuquerque foram inquiridos 300 alunos dos dois sexos sobre as suas preferências de leitura de jornais diários entre o “NoticiasFrescas” e o “TodaAVerdade”. Obtiveram-se os seguintes resultados:

Lê “NoticiasFrescas” Lê “TodaAVerdade”Rapazes 120 80Raparigas 20 80

7.1 Suponhamos que se selecionou um aluno ao acaso. Qual a probabilidade de ler “Noti-ciasFrescas” sabendo que é Rapariga?

7.2 Suponhamos que se selecionou um aluno ao acaso. Qual a probabilidade de ser Rapa-riga sabendo que lê “TodaAVerdade”?

8. Suponhamos que num saco há 3 bolas vermelhas e 2 bolas azuis. Das bolas vermelhas 2 são redondas e uma triangular. Das bolas azuis 1 é redonda e 1 é triangular. Retira-se ao acaso uma peça do saco. Qual a probabilidade de ser redonda sabendo que é azul?

9. Lança-se um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, duas vezes consecutivas. Determina a probabilidade de no primeiro lançamento ter saído a face com o número 1, sa-bendo que a soma dos números saídos é 4.

10. Lançam-se dois dados.

10.1 Qual a probabilidade de obter uma soma igual a 7?

10.2 Sabendo que a soma é 7, qual é a probabilidade de que em algum dos dados tenha saído um 3?

11. Numa experiência aleatória os acontecimentos A e B são tais que P(A) = 0,12 e P(B) = 0,90. Os acontecimentos são independentes?

12. Numa experiência aleatória os acontecimentos A, B e C são tais que P(A) = 1/2 , P(B) = 1/3 e P(C) = 1/4. Os acontecimentos são independentes?


Pensa e Resolve ↑ ↑

13. O daltonismo está associado a uma alteração genética que é mais frequente nos homens que nas mulheres. Um estudo feito em larga escala revela que:

Daltónico Não daltónico totalHomens 8,1% 45% 53,1%Mulheres 0,5% 46,4% 46,9%total 8,6% 91,4% 100%

Determina a probabilidade de:

13.1 Sabendo que é homem ser daltónico.

13.2 Sabendo que é mulher ser daltónica.

13.3 Sabendo que é daltónico sabendo que é homem.

13.4 Sabendo que é daltónico sabendo que é mulher.

14. Numa companhia área a probabilidade de um voo partir dentro do horário previsto é de 83%, a probabilidade de chegar no horário previsto é de 82% e a probabilidade de que o voo parta e chegue no horário previsto é de 78%. Calcula:

14.1 A probabilidade do voo chegar no horário previsto tendo saído no horário previsto.

14.2 A probabilidade do voo ter saído no horário sabendo que chegou no horário previsto.

14.3 A probabilidade de não chegar no horário previsto sabendo que não saiu no horário previsto.

15. Se a probabilidade de nascer um rapaz é de 0,51 e de nascer uma rapariga é de 0,49, deter-mina a probabilidade de que dois gémeos sejam do mesmo sexo.

16. Na sequência da descoberta na Artilândia de um primeiro caso de uma doença contagiosa não mortal, o Governo desse país promoveu uma importante campanha de vacinação. Em consequência 70% dos habitantes foram vacinados. Um estudo feito mais tarde revelou que 5% dos vacinados foram atingidos em diversos graus pela doença, percentagem que se elevou a 60% nos não vacinados.

16.1 Determina a probabilidade de um indivíduo escolhido ao acaso na população da Arti-lândia ter sido atingido pela doença.

16.2 Calcula a probabilidade de um indivíduo ter sido vacinado, sabendo que foi atingido pela doença.

17. Mostra que se dois acontecimentos são independentes então os seus contrários também são independentes.


18. Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam X e Y dois

acontecimentos possíveis e incompatíveis. Prova que

Reflete ↑ ↑ ↑

19. O facto de ser surdo é independente de ser do sexo masculino ou feminino, tendo em consi-deração isso calcula as quatro probabilidades que faltam na tabela seguinte:

Surdo Não surdo totalMasculino 0,531Feminino 0,469total 0,004 0,996 1,000

20. Se dois acontecimentos A e B são independentes pode acontecer que e

?

21. De dois acontecimentos A e B sabemos que e . Determina e

para que os acontecimento A e B sejam independentes.

22. Seja S o conjunto de resultados associado a uma experiência aleatória. Sejam A, B dois acontecimentos possíveis. Sabe-se que: P(A B) = P(B) .

Será que se pode afirmar que ?

23. Mostra que o acontecimento impossível é independente de qualquer outro acontecimento.


C4Capítulo 4 – distribuição de probabilidades

Pratica ↑

1. A distribuição de probabilidade de uma dada variável aleatória é

1 2 3 4 5

0,1 0,1 0,6 0,05 0,15

Determina

1.1

1.2

1.3

2. Lança-se duas vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6. Seja X o número de vezes que sai a face 6 nos dois lançamentos. Qual é a distribuição de probabilidades da variável aleatória X?

3. O gráfico representado é de uma distribuição normal.

– 4 – 2 0 2 4

x

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

y

μ = 0

σ = 1

Esboça no teu caderno e usando as mesmas escalas, uma outra distribuição normal com um desvio padrão inferior e com uma média superior.


4. A distribuição de probabilidade de uma dada variável aleatória X é

1 2 3 4 5 6

a 0,2 0,2 b 0,2 c

Sabendo que e que , determina a média e o desvio padrão dessa variável aleatória.

5. Considera que o consumo de água na Escola Secundária Daniel da Silva segue uma distri-buição normal em que o valor médio é 400 litros e o desvio padrão de 30 litros. Usando uma calculadora determina a probabilidade de o consumo de água, em certo dia,

5.1 variar entre 100 e 450 litros;

5.2 não ultrapassar 500 litros;

5.3 ser superior a 400 litros.


6. Na estação da CP do Paraimo 16 passageiros compraram cada um o seu bilhete de comboio. 7 para Aveiro (preço do bilhete 3€); 5 para Coimbra (preço do bilhete 4€); e 4 para o Porto (preço do bilhete 5€). Escolheu-se ao acaso um destes passageiros. Seja Y a variável aleatória que associa a cada passageiro o preço do seu bilhete. A distribuição de probabilidade asso-ciada a esta variável é dada pela tabela:

3 4 5

Determina o valor esperado E(Y) da variável aleatória Y.

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3813

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7. Uma variável aleatória X segue uma distribuição normal, de média 5. Indica o valor de ver-dade da seguinte proposição: P(X > 3) > P(X < 6) . Justifica a tua resposta.

8. Um dardo é lançado para um alvo dividido em três zonas: A, B e C. Se o dardo for cravado na zona A, obtemos 10 pontos. Se for cravado na zona B, 2 pontos. Se for cravado na zona C, 0 pontos. O João lançou 100 dardos, que se repartiram da seguinte forma: 20 dardos em A, 50 em B e 30 em C.

Faz uma distribuição de frequências e calcula a média dos pontos obtidos (analiticamente) e o desvio-padrão (com a calculadora).

9. O João convidou dois amigos para jogar com ele, o Álvaro e a Marisa. Combinaram que cada um lançaria 12 vezes o dardo, somados os pontos obtidos em cada lançamento, definiriam as suas classificações. A Marisa foi a primeira a fazer os lançamentos e obteve 24 pontos. De seguida, o Álvaro fez 18 pontos. Vai agora lançar o João. Será que vai ganhar o concurso ?

10. Num jogo de basquetebol há exatamente dois resultados possíveis: vitória ou derrota (se o jogo terminar empatado no tempo regulamen-tar são jogados prolongamentos até desempa-tar o jogo). Em cada jogo a probabilidade de o Estrelas da Avenida ganhar é de 40%. Se o Estrelas da Avenida disputar 4 jogos num tor-neio de basquetebol, qual é a probabilidade de ganhar exatamente 2 jogos?

Reflete ↑ ↑ ↑

11. A tabela seguinte é a distribuição de probabi-lidade de uma variável aleatória X:

7 9 11 13

p q p q

Calcula o valor esperado de X:

11.1 Em função de p e de q.

11.2 Em função apenas de p.

12. Uma Prova de avaliação é constituída apenas por questões de escolha múltipla. A prova tem 4 questões e cada questão tem 5 hipóteses de resposta das quais só uma é certa. Se cada res-posta errada desconta 3 pontos, quanto deve valer cada resposta certa para que a pontuação esperada para um aluno, que responda ao acaso a todas as questões, seja zero?

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6065

1747

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C5Capítulo 5 – análise Combinatória

Pratica ↑

1. Quantas matrículas de automóveis diferentes podem existir no sistema atual português, con-siderando que o alfabeto tem 26 letras?

2. Se o alfabeto português tivesse 23 letras como sucedia antes do Acordo Ortográfico, quantas matrículas de automóveis possíveis teríamos a menos do que hoje?

3. Quantas matrículas de automóveis são capicuas, ou seja, os dois primeiros algarismos são iguais aos dois últimos mas por ordem inversa e as duas letras são iguais?

4. Pretende-se organizar um campeonato de futebol com 7 equipas. Se cada equipa encontra cada uma das outras equipas uma só vez, quantos jogos será preciso organizar? E se cada equipa tiver de jogar com cada uma das outras equipas tanto em sua casa como fora?

5. De quantas maneiras podes ordenar vertical-mente 5 dos teus livros, de disciplinas diferen-tes, numa tua estante?

6. De quantas maneiras se podem ordenar as le-tras da palavra LIVRO?

7. De quantas maneiras se podem ordenar as letras da palavra LIVRO de modo que as duas vogais se mantenham nas suas posições?

8. Quantas fotografias diferentes pode tirar uma família em que todos os 6 elementos da família ficam uns ao lado dos outros?

9. Num computador digital, um “bit” é um dos algarismos 0 ou 1 e uma palavra é uma sequên-cia de “bits”. Determina o número de palavras distintas de 32 “bits” que é possível formar.

10. Foram oferecidos dez bilhetes para uma peça de teatro a uma turma com doze raparigas e oito rapazes. Ficou decidido que o grupo que vai ao teatro é formado por cinco rapazes e cinco raparigas.

10.1 De quantas maneiras diferentes se pode formar este grupo?

10.2 O João é aluno da turma. Qual a probabilidade de o João pertencer ao grupo que vai ao teatro?


11. Qual seria o modo mais eficaz de aumentar o número de matrículas de automóveis em Por-tugal: acrescentar um número ou uma letra?

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12. Um professor de Matemática deu aos alunos uma lista de exercícios, numerados de 1 a 50, e escolheu, para um teste, dois desses exercícios ao acaso.

12.1 Qual a probabilidade um aluno que fez 3/4 dos exercícios da lista ter feito os dois exercícios escolhidos pelo professor?

12.2 Qual a probabilidade um aluno que fez 1/4 dos exercícios da lista ter feito um dos dois exercícios escolhidos pelo professor?

13. De quantas maneiras se podem ordenar as letras da palavra BIBLIOTECA?

14. De quantas maneiras se podem ordenar as letras da palavra BIBLIOTECA de modo que se mantenham a primeira e a última letra nas suas posições?

15. De quantas maneiras se podem ordenar as letras da palavra PACIFICA?

16. De quantas maneiras se podem ordenar as letras da palavra PACIFICA de modo que as consoantes se mantenham nas suas posições?

17. Quantas fotografias diferentes pode tirar uma família em que um elemento da família vai tirando a foto aos outros 5 elementos da família, ficando sempre uns ao lado dos outros?

18. Num grupo de cinco amigas, só uma está habilitada para conduzir. De quantas formas se podem sentar num automóvel de 5 lugares, para fazer uma viagem?

Reflete ↑ ↑ ↑

19. O jogo das sete famílias é constituído por 42 cartas. Neste jogo há 7 conjuntos de cartas cons-tituídos pelo avô, avó, pai, mãe, filho e filha; cada conjunto constitui uma família. Tiram-se do baralho de cartas, simultaneamente, 4 cartas. Determina o número da casos em que:

19.1 As 4 cartas tiradas são da mesma família.

19.2 Entre as 4 cartas não há nenhuma carta de uma família dada.

19.3 Entre as 4 cartas há uma carta “avó” de uma família dada.

19.4 Entre as 4 cartas há uma e uma só carta de uma família dada.

19.5 Entre as 4 cartas haja apenas uma carta “pai”.

20. Uma determinada marca de CDs garante que a probabilidade de um deles estar estragado é de 0,001%. Um cliente compra 50 CDs. Determina a probabilidade de:

20.1 Um deles estar estragado.

20.2 No máximo um deles estar estragado.

20.3 Pelo menos dois deles estarem estragados.


21.

A

B

D

C

H

G

E

F

J

K

Quantas retas podem ser traçadas usando as letras assinaladas no cubo da figura ao lado?

22. Qual a probabilidade de, escolhidos 3 pon-tos ao acaso no cubo da figura ao lado, eles definirem um plano?

23. Seja dada uma população de n elementos. Indica qual o número de amostras ordena-das distintas, de dimensão r, que se podem selecionar desses n elementos se:

23.1 A seleção for feita com reposição.

23.2 A seleção for feita sem reposição.

24. Qual a probabilidade p de que, num con-junto de r pessoas, não haja duas a fazer anos no mesmo dia?

25.

FD

A

C

E

B

Considera os pontos A, B, C e D represen-tados no cubo da figura ao lado. Determina a probabilidade de, escolhidos 3 pontos ao acaso, eles definirem um plano.

26. Considera os pontos A, B, C, D, E e F representados no cubo da figura ao lado. Determina a probabilidade de, escolhidos 3 pontos ao acaso, eles definirem um plano.

27. Considera os pontos A, B, C, D, E e F representados no cubo da figura ao lado. Determina a probabilidade de, escolhidos 2 pontos ao acaso, eles definirem uma reta.


C6Capítulo 6 – triângulo de pasCal e binómio de newton

Pratica ↑

1. Considera a seguinte parte inicial do triângulo de Pascal:

Acrescenta-lhe as duas linhas seguintes.

2. Determina os números em falta no triângulo de Pascal seguinte:

1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

1 9 36 84 126 126 84 36 9 1

1 8 28 56 70 56 28 8 1

1 7 21 35 35 21 7 1

1 6 15 20 15 6 1

1 5 10 10 5 1

1 4 6 4 1

1 3 3 1

1 2 1

1 1

1

1 10 45 120 210 252 210 ? ? 10 11 9 36 84 126 ? 84 ? 9 1

1 ? 28 56 70 ? 28 8 11 7 21 35 35 21 7 1

1 6 15 ? 15 6 11 5 ? 10 5 1

1 4 6 4 11 3 3 1

1 2 11 1

1

3. Recorrendo à fórmula do binómio de Newton calcula:

3.1

3.2

4. Determina o termo em no desenvolvimento de .


5. a b c d e f g representa uma linha completa do Triângulo de Pascal, onde todos os elementos estão substituídos por letras. Determina essas letras.


Blaise Pascal (1623-1662)

6. Determina o valor de n que verifica a seguinte condição .

7. Determina os valores dos coeficientes numéricos dos termos do 7.º e 8.º grau no desenvolvi-mento de .

8. Reduz a uma forma mais simples a equação .

9. Determina o termo independente de x no desenvolvimento de .

Reflete ↑ ↑ ↑

10. Determina o desenvolvimento de:

10.1

10.2

11. A partir da fórmula do binómio de Newton determina um valor para a soma:

12. Mostra, por indução matemática, que se n é um número natural, então .

Blais

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C7

Capítulo 7 – Função exponenCial

Pratica ↑

1. Esboça o gráfico da função definida na reta real por . A partir do gráfico desta função esboça os gráficos das seguintes funções, indicando para cada caso o domínio, contra-domínio e zeros:

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

2. Considera as funções definidas na reta real por:

e

2.1 Representa-as graficamente.

2.2 Determina, com aproximação até às centésimas, o conjunto solução de .

3. Considera a função f definida por . Supondo que , determina o valor exato de a.

4. Resolve as equações:

4.1

4.2

4.3

5. Escreve cada uma das expressões sob a forma de um produto:

5.1

5.2

5.3


Pensa e Resolve ↑ ↑6. Quando nos entregam uma bica, o café vem muito quente e quem não põe açúcar precisa de

esperar algum tempo para o beber. A evolução da temperatura T (em °C) em função do tempo t (em minutos) é definida pela expressão .

6.1 Representa graficamente a função T.

6.2 A que temperatura nos é entregue o café?

6.3 Quem gosta de o beber a 60° quanto tempo tem de esperar?

6.4 O arrefecimento do café é mais acentuado nos primeiros dois minutos ou nos dois mi-nutos seguintes?

6.5 Em que instante é que o arrefecimento é mais acentuado?

6.6 Que acontece se deixarmos o café arrefecer muito tempo? Relaciona a conclusão a que chegaste com a expressão de T.

(adaptado da brochura de Funções, 12.º ano, ME, 1999)

7. Recorrendo à calculadora resolve a equação .

8. Calcula os limites seguintes:

8.1

8.2

8.3

9. Resolve as seguintes equações:

9.1

9.2

9.3

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Reflete ↑ ↑ ↑10. Há pessoas que por razões de natureza física ou psíquica têm dificuldade em adormecer.

Os médicos dispõem duma vasta gama de medicamentos que podem receitar nestes casos. Uma propriedade importante que se requer a estes medicamentos é que o seu efeito desa-pareça antes da manhã seguinte de forma que quem o toma possa retomar a sua atividade normal sem estar sonolento. Imagina que o médico receitou a uma tua amiga um destes medicamentos. Depois de tomar algumas pastilhas, o medicamento atingiu um nível de 4 mg/L no sangue. Com que rapidez desaparecerá o efeito do medicamento? Para estuda-res a situação considera os dados da tabela, referentes a 4 medicamentos:

Nome Fórmula

Triazolam

Nitrazepam

Pentobombitone

Methohexitone

A - dose inicial (mg/L); y - quantidade de medicamento no sangue (mg/L) x - tempo em horas desde que o medicamento chegou ao sangue.

10.1 Qual a quantidade de Triazolam no sangue ao fim de 3 horas? E ao fim de 10 horas? Regista numa tabela a quantidade de Triazolam nas primeiras 10 horas.

10.2 Desenha um gráfico que possa descrever o comportamento do Triazolam.

10.3 Só três destes medicamentos poderão ser reais. Qual deles não é? O que aconteceria se por engano tomasses esse produto?

10.4 Faz os gráficos que te permitem analisar como evolui uma dose que provocou a concen-tração de 4 mg/L de cada um dos medicamentos.

10.5 Qual dos medicamentos te parece preferível? Porquê?

10.6 Analisa agora com algum pormenor o efeito do Triazolam.

10.7 Ao fim de quanto tempo se reduz a metade a quantidade de medicamento no sangue? A redução para metade depende do tamanho da dose inicial? Como?

10.8 Qual será o efeito de tomar, hora a hora, uma dose de 4mg de Pentobombitone? Faz uma representação gráfica que descreva as tuas conclusões.



11. O Público noticiou em 1995 a descoberta de uma necrópole*, na Granja dos Serrões - Sintra, e o achado de seis sepulturas cujas datas, ainda desconhecidas, se podem situar desde o séc. I A.C. até ao séc. VII D.C. (* Uma necrópole é um lugar onde existe uma ou mais sepulturas de tempos antigos.)

A datação da necrópole só será esclarecida com análises aos os-sos por carbono 14 - método de datação a partir de um isótopo radioactivo de carbono que torna possível determinar a idade dos

materiais em análise, uma vez que o seu tempo de desintegraçao é conhecido (...)

jornal PÚBLICO, de 8 de Outubro de 1995

Tal como este artigo também refere, uma técnica utilizada para descobrir a antiguidade de um achado histórico consiste na análise de um objecto (osso, madeira, ...), medindo a quan-tidade do elemento radioativo carbono 14 que contém. Quando vivos, os animais e plantas têm uma quantidade constante de carbono 14, que vai diminuindo com o tempo, após a morte, por efeito da desintegração radioativa. Por quantidade de carbono 14 entende-se a velocidade de desintegração de átomos de carbono 14 medida em desintegrações por minuto por grama de carbono (dmg). A quantidade q(t) de carbono 14 encontrada num objecto é

dada pela fórmula , em que t representa o tempo em milhares de anos.

11.1 Admitindo que os corpos encontrados nos túmulos são do séc. I a.C., que quantidade de carbono 14 deveria ser encontrada em 1995?

11.2 Se o Instituto Nacional de Engenharia e Tecnologia Industrial tivesse divulgado que a quantidade de carbono 14 encontrada era de 11,3 dmg, qual seria a idade das sepul-turas?

11.3 Imagina que és um investigador do INETI e te pediram um artigo em que fundamen-tes teoricamente os resultados que divulgaste. Escreve o artigo, com o máximo de 3 páginas A4.


12. Na cidade mongol de Ulam Bator (a capital e a maior cidade da Mongólia) surgiu uma epi-demia de gripe asiática. A evolução da doença foi dada pela fórmula onde P representa a percentagem de pessoas doentes e t o tempo em dias.

12.1 Qual era a percentagem da população doente quando se começou o estudo da epide-mia?

12.2 Quando foi o pior momento da epidemia? Qual era a percentagem de doentes?

12.3 A epidemia considera-se erradicada quando a percentagem de doentes for inferior a 1%. Quando aconteceu isso?

12.4 No 15.º dia, qual é a probabilidade do presidente da câmara estar doente?



C8Capítulo 8 – Função logarítmiCa

Pratica ↑1. Simplifica o mais possível:

1.1 log2223

1.2 log2323

1.3 log230

2. Sabendo que log 7 = 0,85 calcula:

2.1 log 75

2.2 log 7005

3. As calculadoras científicas e gráficas só têm nas suas teclas o logaritmo natural ou o logarit-mo decimal. Para calcular logaritmos noutras bases é preciso usar a fórmula de mudança de base. Usando essa fórmula e uma calculadora calcula:

3.1 log347

3.2 log23

274

4. Resolve as equações logarítmicas seguintes:

4.1 log x + log 40 = 2

4.2 log57 = + log(2x + 1)

5. O custo total do fabrico de x unidades dum produto é, em euros c(x) = 2x lnx + 200 .

5.1 Calcula c(6) e c(60).

5.2 Quantas unidades se produziram com um custo total de 1010 euros?



6. Considera a função g definida por g(x) = 3x . Determina a abcissa do gráfico de g cuja orde-nada é igual a 2.

7. Considera que a função f é a função logaritmo natural. Determina o módulo da diferença entre as abcissas dos pontos do gráfico de f cujas ordenadas são 1 e –1.

8. Considera as funções f e g definidas, respectivamente por f(x) = log2x e g(x) = log

5(x 2 + x)

Determina, recorrendo à calculadora quando necessário:

8.1 o domínio de cada uma das funções.

8.2 os pontos do gráfico de g que estão por baixo dos do gráfico de f.

9. Considera que a quantidade Q(t) de uma substância radioativa se desintegra de acordo com a fórmula Q(t) = Q

0e−kt , onde t está expresso em minutos. Suponhamos que a meia vida, isto

é o tempo que a substância leva a ficar reduzida a metade, é de 11 minutos. Mostra que,

nestas condições, k = ln 211

.

10. Simplifica as seguintes expressões:

10.1 log

2(x102y z 3)

10.2 log2x 3105

y

10.3 ln(x + y)− ln(x −1 + y −1)

11. Supõe que x = log p e que y = logq . Escreve as expressões seguintes em termos de x e y:

11.1 log(p4 q3 )

11.2 log pq 4

11.3 pq


12. Os logaritmos são úteis para medir quantidades que variam entre valores muito pequenos e valores muito grandes. Tal é o caso da acidez (pH) de um líquido, estudada na Química. A acidez depende da concentração dos iões de hidrogénio no líquido (expressa em moles por litro), que se designa por [H+]. O pH é definido pela expressão .

12.1 A concentração de iões de hidrogénio na água do mar é de .

Faz uma estimativa, sem usar calculadora, do pH da água do mar. Usando uma calcu-ladora calcula um valor aproximado do pH da água do mar.

12.2 Uma solução de vinagre tem pH igual a 3. Determina a concentração de iões de hidro-génio nessa solução.

13. Determina os domínios das funções definidas pelas expressões seguintes:

13.1 ln(1 − x + 1)

13.2 ln x

13.3 log2

x + 3x − 4

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4515

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Reflete ↑ ↑ ↑

14. É verdade que , para todo o x real positivo? Sim ou Não? Imagina que

alguém não tem a tua opinião. Elabora um texto com argumentação de modo a convencê-lo.

15. Para cada uma das seguintes igualdades, indica se é verdadeira para todos os valores de a e b reais positivos ou se não é. Justifica devidamente cada afirmação:

15.1

15.2

15.3

15.4

16. Seja x um inteiro natural positivo e seja n o número de algarismos da escrita decimal de x.

16.1 Justifica que .

16.2 Deduz da alínea anterior qual o número de casas decimais de um número como .

17. Resolve as seguintes inequações:

17.1

17.2

17.3

17.4

37Recomendações do GAVE

2. Recomendações do GAVENo Relatório de setembro de 2010 publicado pelo GAVE com o título “Um olhar sobre os re-sultados dos exames nacionais” podem-se encontrar informações muito interessantes sobre os aspetos em que os alunos revelam melhor e pior desempenho nos exames nacionais, assim como re-comendações para a lecionação feitas a partir dessa análise. Documentos como estes são muito úteis para os alunos e os professores, embora em cada ano os alunos e as turmas possam exibir caracterís-ticas muito variadas. Mesmo assim, as dificuldades mais comuns são reveladas por tais documentos.

Entre os aspetos onde os alunos do ensino secundário têm melhor desempenho na disciplina de Ma-temática, segundo este relatório, estão os seguintes:

“No ensino secundário, os itens com melhor desempenho, independentemente da tipologia, convocam quase sempre operações mentais como transferir e, mais esporadicamente, argumentar, relacionar, interpretar. Os alunos também revelam facilidade nos itens de cálculo direto ou que apelem à leitura e seleção de informação.”

Entre os aspetos que os alunos do ensino secundário revelam mais dificuldades encontram-se:

“No ensino secundário, as maiores dificuldades prendem‐se com a resposta aos itens que mobilizam operações mentais como argumentar/justificar, analisar, relacionar, em geral, e, muito pontualmente, transferir e classificar. Também é fraco o desempenho nos itens em que se solicita a concretização de raciocínio dedutivo e a interpretação em contexto.”

O GAVE conclui ainda que, tanto no Ensino Básico como no Ensino Secundário os alunos revelam algumas dificuldades comuns:

“os examinandos revelam fragilidades no domínio da compreensão da língua, na comunicação escrita, no recurso ao cálculo, na interpretação de novas situa-ções e dificuldades em utilizar as capacidades gráficas da calculadora.”

Em função destas conclusões, o relatório do GAVE recomenda

“No ensino secundário, considera‐se muito importante a lecionação dos proble-mas a partir de contextos reais e com a execução de cálculos mais complexos.”

Na conclusão deste relatório é afirmado que

“O documento que agora se conclui pretende, através da identificação de níveis de desempenho dos alunos, em sede de avaliação externa, contribuir para uma melhoria sustentada dos resultados, em consequência de um progressivo upgrade da qualidade dos saberes, das competências e do saber‐fazer dos nossos alunos.”

Nesta ordem de ideias foram selecionados para esta segunda parte algumas tarefas que permitem desenvolver as capacidades identificadas neste relatório do GAVE como sendo as que colocam mais dificuldades aos estudantes. As tarefas são de índole muito variada, podendo ser itens de exames ou tarefas para a sala de aula, para trabalho em pequenos grupos ou para trabalho de auto-estudo.

38 Recomendações do GAVE

Assim, a segunda parte deste Livro de exercícios terá os seguintes capítulos (o capítulo 3 aparece apenas no segundo volume):

Capítulo 1 – Resolução de problemas da vida real

Capítulo 2 – Problemas que envolvem cálculos mais elaborados no conjunto dos números reais

Capítulo 3 – Problemas que envolvem cálculos mais elaborados no conjunto dos números complexos

Capítulo 4 – Exercícios que pressupõem raciocínios demonstrativos

Capítulo 5 – Utilizar a calculadora gráfica para resolver problemas


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2927

8394

@N00

/278

9584

920

C1

Capítulo 1 - resolução de problemas da vida real

trtareFas resolvidas

1. O Problema dos aniversários (1.ª parte)

Suponhamos que estamos numa sala com 20 pessoas. Qual é a probabilidade de não haver duas pessoas a fazer anos no mesmo dia?

resolução

Para resolver este problema temos de partir do princípio que o ano tem 365 dias e que a taxa de nascimentos é constante ao longo do ano, de modo a poder admitir que qualquer dia do ano é igualmente provável para ser o aniversário de uma pessoa. O que pretendemos é então calcular a probabilidade de não haver repetições numa amostra de dimensão n obtida por amostragem com reposição de uma população de dimensão N. Assim no nosso caso n = 20 e N = 365 e o número de casos favoráveis ao acontecimento desejado é dado por e o número de casos possíveis é . A probabilidade pedida é então, utilizando a regra de Laplace, igual a

365A20

365A'20

=365A

20

36520= 0,589

Note-se que este problema tem uma solução bastante simples se se raciocinar em termos de probabilidades condicionadas. Com efeito, a 1.ª pessoa pode fazer anos em qualquer dia e a


probabilidade é 365365

. Dado que a 1.ª pessoa faz anos num determinado dia, a 2.ª pessoa

tem probabilidade 364365

de fazer anos num dia qualquer que não o da 1.ª pessoa. Continuan-

do até terminar a 20.ª pessoa, temos que a probabilidade pretendida é o produto das proba-bilidades calculadas.

A probabilidade de numa sala com 20 pessoas haver pelo menos duas pessoas a fazer anos no mesmo dia é portanto 1 – 0,589 = 0,411.

(adaptado da brochura “Probabilidades 12”, ME, 1999)

2. Cartas e envelopes

Uma secretária muito desarrumada tinha 3 cartas para meter em 3 envelopes, mas caiu tudo ao chão e ela meteu as cartas nos envelopes sem tomar atenção aos nomes. Uma das cartas era para o Senhor Silva.

2.1 Qual a probabilidade de ele receber a carta que lhe era dirigida?

2.2 Qual é a probabilidade de pelo menos uma pessoa receber a carta que lhe era destina-da?

resolução

2.1 Para resolver esta questão é preciso admitir que se as cartas foram colocadas aleatoria-mente nos envelopes, então a carta para o Senhor Silva tem igual probabilidade de aparecer num qualquer dos envelopes. Assim a probabilidade de a secretária meter a carta no envelo-

pe certo é precisamente .

2.2 Para sabermos se pelo menos uma pessoa recebeu a carta que lhe era destinada, temos de considerar os casos em que “uma pessoa recebeu a carta que lhe era destinada” e os casos em que “duas pessoas receberam a carta que lhes era destinada” e os casos em que “as três pessoas receberam a carta que lhes era destinada”. Teremos de ter cuidado em subtrair os

Stac

k of

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om/p

hoto

s/sla

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ama/

3261

8267

5


casos em que se verificam simultaneamente duas dessas situações atendendo à propriedade 5 do Manual (volume 1, capítulo 2)

P(A ∪B) = P(A)+ P(B)− P(A ∩B)

e que é generalizado na tarefa 45 deste volume. Designemos as cartas por C1, C2 e C3 e os destinatários corretos destas cartas por S1, S2 e S3.

i) casos em que “uma pessoa recebeu a carta que lhe era destinada”:

Considerando por exemplo a carta C1, os casos em que vai parar a S1 são 2! (permutações dos destinatários C2 e C3). Os casos possíveis são permutações de 3 destinatários, ou seja 3!. Logo a probabilidade neste caso é

2!3!

Como para a carta C2 e a carta C3 a situação é idêntica, a soma das probabilidades de “uma pessoa receber a carta que lhe era destinada” é dada por

3 × 2!3!

= 1

ii) casos em que que “duas pessoas receberam a carta que lhes era destinada”:

Considerando por exemplo as cartas C1 e C2, os casos em que vão parar a S1 e S2 são as possibilidades que sobram para a terceira carta que é só uma. Os casos possíveis são novamente permutações de 3 destinatários, ou seja 3! Logo a probabilidade neste caso é

13!

Temos

32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

possibilidades para tomarmos duas das cartas de cada vez. Logo a soma das probabilidades de “duas pessoas receberem a carta que lhes era destinada” é dada por

32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13!

iii) casos em que que “as três pessoas receberam a carta que lhes era destinada”:

Há apenas uma possibilidade de as três cartas chegarem ao seu destinatário correto que é a de C1, C2 e C3 chegarem exatamente a S1, S2 e S3 respetivamente. A probabilidade de isso


acontecer é então

13!

iv) conclusão:

A probabilidade pedida será então a soma das probabilidades de “uma pessoa receber a carta que lhe era destinada” a que temos de subtrair a soma das probabilidades de “duas pessoas receberam a carta que lhes era destinada” pois estes casos já foram necessariamente contabilizados antes a que temos de adicionar os casos em que “as três pessoas receberam a carta que lhes era destinada” pois estes foram subtraídos uma vez a mais.

Assim a probabilidade pedida é igual a

1 − 32

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

13!

+ 13!

= 1 − 12+ 1

6= 1

3


3. A raspadinha

Numa raspadinha estão em jogo 100 bilhetes, repartidos da seguinte maneira: uma raspadi-nha tem um prémio de 100 euros, nove raspadinhas têm um prémio de 10 euros e nenhuma outra raspadinha tem prémio. Cada raspadinha custa 3 euros e os prémios estão distribuídos ao acaso nas raspadinhas. Seja X a variável aleatória que mede o ganho de cada jogador (diferença entre o que ganha no prémio e o que gastou a comprar a raspadinha).

3.1 Determina a distribuição de probabilidades da variável aleatória X.

3.2 O jogo é justo para os jogadores ou favorece os organizadores da raspadinha? Justifica a resposta.

resolução

3.1 A variável aleatória X só toma três valores diferentes: 97 se o jogador ganhar o prémio de 100 euros, 7 se o jogador ganhar o prémio de 10 euros e –3 se o jogador não ganhar qualquer prémio. Como os prémios estão distribuídos ao acaso pelas raspadinhas as probabilidades respetivas são as seguintes:

97 7 –3


3.2 Para determinar se o jogo é justo ou não temos de calcular o valor esperado ou valor médio da variável aleatória X só. Temos

Podemos assim concluir que o jogo favorece os organizadores visto que o ganho esperado de um jogador é negativo. Ou seja, se o jogador jogar muitas vezes ganhará em média –1,1 euros, ou seja, perderá dinheiro.

4. Baile de Finalistas

Numa turma do 12.º ano da Escola Secundária Luís de Albuquerque, a distribuição dos alu-nos por idade e sexo é a seguinte:

12.º X 16 anos 17 anos

rapazes 6 8

raparigas 5 7

Para formar uma comissão que vai preparar um baile de finalistas, vão ser sorteadas três rapazes e duas raparigas desta turma.

4.1 Qual é a probabilidade de a comissão ficar constituída apenas por jovens de 16 anos? Apresenta o resultado na forma de dízima, com quatro casas decimais.

4.2 Admite agora que já estão sorteados quatro dos cinco jovens que vão constituir a co-missão: os três rapazes e uma rapariga, a qual tem 16 anos de idade. Para a comissão ficar completa, falta, portanto, escolher aleatoriamente uma rapariga. Seja X a variável aleatória: número de raparigas de 17 anos que a comissão vai incluir. Constrói a tabela de distribuição de probabilidades da variável X. Apresenta as probabilidades na forma de fração.

rom

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s/67

5558

47@N

06/6

8930

1019

7/


resolução

4.1 A comissão é constituída por 3 rapazes e 2 raparigas. Ora, temos 12 raparigas. À primei-ra vista poderá parecer-nos que existem 12 × 11 = 132 maneiras diferentes de escolher, ao acaso, duas dessas 12 raparigas. Mas, essa suposição está errada.

Admitamos que queremos escolher duas raparigas de entre as seguintes três: {Ana, Beatriz, Celina}. É fácil concluir que existem apenas três possibilidades: {Ana, Beatriz}, {Ana, Ce-lina} e {Beatriz, Celina}. Não seis: (Ana, Beatriz), (Beatriz, Ana), (Ana, Celina), (Celina, Ana), (Beatriz, Celina) e (Celina, Beatriz).

Isto é, como não interessa a ordem dos dois elementos considerados, o valor procurado é

, que traduz o número de subconjuntos de dois elementos que se podem obter de um

conjunto de três elementos.

Admitamos agora que pretendemos escolher três rapazes de entre quatro: {Abel, Belmiro,

Carlos, Daniel}. É imediato concluir que existem apenas maneiras, não

4 × 3 × 2 = 24: {Abel, Belmiro, Carlos}, {Abel, Belmiro, Daniel}, {Abel, Carlos, Daniel} e {Belmiro, Carlos, Daniel}. Porque é que divide por 3 × 2?

Basta reparar que cada um desses subconjuntos de três elementos dá origem a 3 × 2 = 6 ternos ordenados com esses três elementos.

Portanto, regressando ao problema, concluímos existirem maneiras de se-

lecionar duas das doze raparigas e maneiras de selecionar três dos catorze rapazes.

Logo, o número de casos possíveis é 364 × 66 = 24024.

De forma análoga, conclui-se que o número de casos favoráveis é

isto é, o número de maneiras de escolher 3 rapazes de 16 anos, de entre 6, e de escolher 2 raparigas de 16 anos, de entre 5.

Logo, a probabilidade pedida é

4.2 Para terminar a constituição da comissão falta apenas escolher uma rapariga, de entre 11 disponíveis: 4 delas com 16 anos e 7 delas com 17 anos. Portanto, a variável aleatória X pode assumir os valores: 0 e 1.


Assim:

P(X = 0) = P(escolher uma rapariga de 16 anos) =

P(X = 0) = P(escolher uma rapariga de 17 anos) =

Logo, a tabela de distribuição de probabilidades da variável X é:

0 1

411

711

5. Três Bilhetes de Cinema

Resolve por quatro processos o seguinte problema:

A professora de História resolveu levar os seus 15 alunos a ver um filme. Como o cinema tem filas de precisamente 15 cadeiras, comprou uma fila inteira e distribuiu os bilhetes ao acaso pelos alunos. A Ana, a Bela e a Carla são muito amigas e gostavam de ficar as três juntas e numa das pontas da fila. Qual é a probabilidade de isso acontecer?

resolução

1.º Processo

Vamos pensar apenas nos três bilhetes destinados às três amigas, não nos interessando a ordem como elas ocuparão depois esses três lugares.

O espaço de resultados é o conjunto dos ternos não ordenados. Por exemplo, um dos seus elementos é o terno {5,7,15}, que corresponde às três amigas receberem os bilhetes 5, 7 e 15 embora não saibamos o lugar exato em que cada uma delas se vai sentar.

Os casos possíveis são as diferentes maneiras de elas receberem os 3 bilhetes de um conjunto de 15, ou seja, todos os ternos não ordenados formados a partir do conjunto de 15 bilhetes.

Casos possíveis:

Casos favoráveis: apenas 2, ou recebem os bilhetes 1–2–3 ou os bilhetes 13–14–15.

Logo a probabilidade pedida é 2455

.


2.º Processo

Vamos pensar nos três bilhetes destinados às três amigas, mas interessando-nos agora a ordem como elas ocuparão depois esses três lugares. Continuamos a ignorar os outros 12 bilhetes.

O espaço de resultados é o conjunto dos ternos ordenados. Por exemplo, um dos seus elemen-tos é o terno , ou seja, a Ana fica no lugar 5, a Bela no 7 e a Carla no 15.

Os casos possíveis são portanto as diferentes maneiras de elas receberem 3 bilhetes de um conjunto de 15, mas em que a ordem por que recebem os bilhetes é importante.

Casos possíveis: 15A3= 2730

Casos favoráveis: Se os bilhetes que elas receberem forem 1, 2 e 3, como a ordem interessa, há seis maneiras de elas os ocuparem (são as permutações de 3). O mesmo se passa para os bilhetes 13, 14 e 15. Logo, os casos favoráveis são 2 × P

3= 12 .

Logo a probabilidade pedida é 122730

= 2455

.

3.º Processo

Desta vez vamos considerar todas as maneiras como os 15 alunos se podem sentar nos 15 lugares.

O espaço de resultados é constituído por todas as permutações dos 15 alunos pelas cadeiras.

Os casos possíveis são portanto as permutações de 15.

Casos possíveis: P15= 15!

Casos favoráveis: Se as três amigas ficarem nos lugares 1, 2 e 3, podem permutar entre si, e os outros 12 alunos também. O mesmo se passa se ficarem nos três últimos lugares. Então os casos favoráveis são 2 × P

3× P

12.

Logo a probabilidade pedida é 2 × 3!× 12!15!

= 1215 × 14 × 13

= 2455

.

4.º Processo

Vamos calcular a probabilidade pedida admitindo que os bilhetes vão ser entregues um a um às três amigas.

A primeira vai receber o seu bilhete. Dos 15 lugares, há 6 que lhe servem (os três primeiros e os três últimos).

Chegou a vez da segunda. Há 14 bilhetes e a ela só servem os dois lugares que restam na ponta onde a primeira ficou.


Finalmente, a terceira, dos 13 bilhetes restantes, tem de receber o único que sobra na ponta onde estão as amigas.

Logo a probabilidade pedida é 6 × 2 × 115 × 14 × 13

= 615

× 214

× 113

= 2455

.

a não esqueCer

Uma questão que se coloca muitas vezes perante os problemas de Probabilidades é o facto de existirem vários processos de os resolver. Normalmente isso sucede por, perante a situação descrita no problema, se poderem considerar diferentes espaços de resultados conforme a abordagem que se faça. Para calcular a probabi-lidade aplicando a regra de Laplace, devemos dividir o número de casos favoráveis pelo número de casos possíveis. Ora, a cada espaço de resultados irá corresponder um diferente número de casos possíveis e, claro, um diferente número de casos favoráveis.

O principal cuidado a ter é usar exatamente o mesmo método na contagem dos casos favoráveis e na contagem dos casos possíveis, ou seja, não mudar de espaço de resultados a meio da resolução.

(adaptado de José Paulo Viana, Escola Secundária Vergílio Ferreira, Lisboa)

tptareFas propostas

6. O TOTOLOTO 6/49

O Totoloto surgiu em 1985. Criado pelo Decreto-Lei n.º 382/82 de 15 de Setembro só mais tarde, através do Decreto-Lei n.º 84/85, de 28 de Março, o Estado concedeu à SCML o direi-to à sua organização e exploração. O primeiro concurso realizou-se a 30 de Março desse ano.

O jogo consiste na escolha de seis números, entre 49 possibilidades. Assim, os prognósticos são efectuados traçando as cruzes nos quadradinhos e estabelecendo conjuntos de seis núme-ros. Os prémios são atribuídos a partir do acerto em três dos números escolhidos. As apostas simples têm de ser em número par (2, 4, 6, 8 e 10 apostas), começando pelos dois primeiros conjuntos da esquerda e continuando sem intervalo. Em cada conjunto, marcam-se com cru-zes (X), os seis números escolhidos.

As apostas múltiplas fazem-se sempre no conjunto 1 dos bilhetes. Podem ser preenchidos 7 a 12 números, assinalando o quadradinho correspondente. No início de 1988 surgiu uma nova modalidade de aposta múltipla, o 5/44. O apostador escolhe 5 números fixos que combinam uma vez, com cada um dos restantes.

O bilhete de cinco semanas permite participar em cinco concursos seguidos, com os mesmos conjuntos de números.


6.1 A quantas apostas simples corresponde a aposta múltipla de 11 cruzes?

6.2 A quantas apostas simples corresponde a aposta múltipla de 5/44?

6.3 Supõe que fizeste uma aposta múltipla, assinalaste 12 cruzes e acertaste em 3 delas. Quantos quintos prémios (aposta com 3 números certos) ganhaste?

7. Há N pessoas e cada uma põe o respectivo chapéu numa caixa. Qual a probabilidade de uma determinada pessoa retirar o próprio chapéu? Qual a probabilidade de que pelo menos uma pessoa escolha o chapéu correto?


8. Numa raspadinha estão em jogo 200 bilhetes, repartidos da seguinte maneira: duas raspadi-nhas têm um prémio de 200 euros, 18 raspadinhas têm um prémio de 20 euros e nenhuma outra raspadinha tem prémio. Cada raspadinha custa 3 euros e os prémios estão distribuídos ao acaso nas raspadinhas. Seja X a variável aleatória que mede o ganho de cada jogador (diferença entre o que ganha no prémio e o que gastou a comprar a raspadinha).

8.1 Determina a distribuição de probabilidades da variável aleatória X.

8.2 Sem efetuares qualquer cálculo e olhando para a tarefa 3, parece-te que este jogo é justo para os jogadores ou favorece os organizadores da raspadinha? Efetua os cálculos e conclui.

8.3 Que alterações podes efetuar nas regas da raspadinha de modo que o jogo nem favoreça os jogadores nem os organizadores?

9. Um concurso televisivo utiliza um dispositivo chamado aparelho ou caixa de Galton, para determinar os prémios que os concorrentes ganham.

Um disco é largado do topo do aparelho e vai batendo sucessivamente nos pinos do aparelho até atingir as posições A, B, C, D, E ou F.


A B C D E F

9.1 Quantos caminhos existem para o disco chegar à posição A?

9.2 E à posição B?

9.3 Mostra que o número de caminhos que há até chegar a cada pino é exatamente igual aos números em posição semelhante do triângulo de Pascal:

A B C D E F

11

11 1

1 11 1

1 1

23 3

4 46

5 510 10


10. O Nuno inventou o seguinte jogo de apostas, para se entreter com os seus colegas do 12.º ano: cada aposta consiste em marcar n números de um total formado pela lista: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, e quer saber quanto deve valer n para assegurar que cada um dos 120 alunos possa fazer uma aposta distinta.

11. Um grupo de 10 amigos quer fazer um campeonato de “Poker”, pelo que decidem organizar partidas (de quatro) de todas as formas possíveis.

11.1 Quantas partidas são possíveis?

11.2 Se jogarem 10 partidas por semana:

11.2.1 Quanto tempo demorariam a terminar o campeonato?

11.2.2 Quantas partidas jogará cada um ?

12. Cinco pessoas, A, B, C, D e E, devem pronunciar-se num discurso. De quantas maneiras se podem ordenar as intervenções de cada um, se D não puder falar antes de A?


13. Determina o número de rectas distintas que podem passar por oito pontos do plano,

13.1 se estão dispostos de maneira que três quaisquer deles não estão alinhados;

13.2 se quatro deles estão alinhados e os outros quatro também;

13.3 se os oito pontos são vértices de um quadrado e os pontos médios dos seus lados.

14. Considera os oito pontos que são vértices de um cubo.

14.1 Quantas rectas distintas determinam?

14.2 E quantos triângulos? Destes, quantos são rectângulos e quantos são equiláteros?

14.3 E quantos quadrados?

14.4 E quantos rectângulos?

14.5 E quantos planos?

15. Pintam-se as quatro faces de um tetraedro regular com duas cores distintas. Quantos tetra-edros diferentes podemos obter? E se pintarmos com três cores diferentes? E se pintarmos com quatro?

16. O João tem, no bolso, seis moedas: duas moedas de 1 euro e quatro de 50 cêntimos. O João retira, simultaneamente e ao acaso, duas moedas do bolso.

16.1 Seja X a quantia, em euros, correspondente às moedas retiradas pelo João. Constrói a tabela de distribuição de probabilidades da variável X, apresentando as probabilidades na forma de fração irredutível.

16.2 Depois de ter retirado as duas moedas do bolso, o João informou a sua irmã Inês de que elas eram iguais. Ela apostou, então, que a quantia retirada era de 2 euros. Qual é a probabilidade de a Inês ganhar a aposta? Apresenta o resultado sob a forma de fração irredutível.

17. A função P(x) = 22500 43

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−x

definida para x ≥ 0, é usada para determinar o valor de um

carro (em euros) x anos depois da sua compra.

17.1 Qual é o custo inicial do carro?

17.2 Determina o custo de um carro um ano e meio depois da compra.

17.3 Quanto desvaloriza o carro ao ano?

18. Um arquiteto resolveu usar a função logarítmica para fazer o arco de uma porta, como mos-tra a figura seguinte.


0 5 10

x

1

2

y

A CD

B

O arco AB é parte da função definida por y = ln x .

O arco BC é simétrico do arco AB relativamente à recta BD.

18.1 Define uma função por ramos de modo que represente o arco AB e o arco BC.

18.2 Determina a altura máxima da porta (isto é, a do arco medido sobre a reta BD).

19. Financiamento para a viagem de finalistas

Podes observar na figura da tarefa 9 o aparelho de Galton, que pode ser utilizado em concursos.

Os alunos de uma turma do 12.º ano da Escola Secundária de Cima pensam utilizar um aparelho análogo, mas com 9 linhas, para promover um concurso destinado a angariar finan-ciamento para ajudar a pagar a viagem de finalistas.

Pensam pedir um pagamento de 3,5 euros por cada aposta, ou seja, por cada disco lançado. Os jogadores poderão obter um dos prémios cujo valor consta no fundo do aparelho, como podes observar no esquema imediatamente abaixo:

A B C D E F G H I J100€ 20€ 10€ 3€ 1€ 1€ 3€ 10€ 20€ 100€

Noutra escola, a Secundária de Baixo, os alunos de outra turma do 12.º ano resolveram pro-mover outro tipo de concurso para fim análogo ao que se destina o concurso dos seus colegas de Cima.

Criaram uma espécie de Euromilhões, o Baixocentenas, a ser realizado semanalmente que, ao contrário do euromilhões, não dá lugar à divisão do prémio pelos apostadores premiados. Quem acertar recebe integralmente o valor referente ao prémio.

Podes observar na figura seguinte um boletim desse concurso.


A seguir podes observar uma tabela de distribuição de probabilidades da variável Y: “valor ganho pelo jogador numa aposta”, relativa ao concurso Baixocentenas.

Y = yi

200 50 0

pi = P Y = y

i( ) 11320 1

330263264

Responde às seguintes questões, considerando que os custos para além dos resultantes dos pagamentos dos prémios (aparelho, bilhetes do Baixocentenas, impostos, etc…) são suporta-dos por patrocinadores externos em troco de publicidade.

19.1 Constrói uma tabela de distribuição de probabilidade relativa ao concurso a realizar na E. S. de Cima, considerando a variável aleatória X: “valor ganho pelo apostador numa jogada”.

19.2 Calcula o lucro ou prejuízo esperado pelo apostador em cada aposta no concurso da E. S. de Cima.

19.3 Explica os valores de probabilidade que constam da tabela de distribuição de probabi-lidades relativa ao concurso Baixocentenas.

19.4 Se criassem, no Baixocentenas, um 3.º prémio para os apostadores que acertarem os números mas falharem as letras (3 números + 0 letras), o que seria mais provável a um apostador: acertar no 1.º prémio ou no 3.º prémio?

19.5 Considerando o concurso Baixocentenas tal como está previsto, com os dois prémios, calcula o lucro/prejuízo esperado pelo jogador em cada aposta.

19.6 Tendo em consideração os dois concursos, elabora uma redacção em que refiras os se-guintes aspectos:

- opinião acerca do melhor concurso, tendo em consideração a rentabilidade por apos-ta;

- cumprimento do objectivo a que se destinam os concursos e riscos associados, utili-zando argumentos relativos a lei dos grandes números e à viabilidade prática da imple-mentação de cada concurso;

- sugestões de eventuais alterações a introduzir em cada projeto de modo a aumentar


o lucro esperado pelos alunos e o interesse de potenciais jogadores.

Na redação serão valorizados os argumentos matemáticos utilizados, cujos cálculos não precisas de repetir se já estiverem nas respostas às questões anteriores (basta invocá--los), mas também a apresentação, o encadeamento lógico, a clareza, a correção e a criatividade.

(Nota: Se este trabalho te der alguma ideia para aplicares, deves ter muita atenção ao contexto legal.)

emquestões de esColha múltipla

20. A Patrícia tem uma caixa com cinco bombons de igual aspeto exterior, mas só um é que tem licor. A Patrícia tira, ao acaso, um bombom da caixa, come-o e, se não for o que tem licor, experimenta outro. Vai procedendo desta forma até encontrar e comer o bombom com licor. Seja X a variável aleatória «número de bombons sem licor que a Patrícia come». Qual é a distribuição de probabilidades da variável X?

(A)

0 1 2 3 4

0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

(B)

0 1 2 3 4

0,1 0,1 0,2 0,2 0,4

(C)

1 2 3 4 5

0,2 0,2 0,2 0,2 0,2


(D)

1 2 3 4 5

0,1 0,1 0,2 0,2 0,4

21. Numa caixa estão três cartões, numerados de 1 a 3. Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, dois cartões da caixa. Seja X : “o maior dos números saídos”. Qual é a distribuição de pro-babilidades da variável X?

(A)

2 3

(B)

2 3

(C)

1 2 3

(D)

1 2 3


22. Numa caixa estão bolas brancas e bolas pretas. Extraem-se ao acaso, e em simultâneo, três bolas da caixa. Seja X o número de bolas brancas extraídas. Sabe-se que a distribuição de probabilidades da variável aleatória X é:

1 2 3

a a

Qual é a probabilidade de se extraírem menos de três bolas brancas?

(A)

(B)

(C)

(D)

23. O João vai lançar seis mil vezes um dado equilibrado, com as faces numeradas de 1 a 6, e vai adicionar os números saídos. De qual dos seguintes valores é de esperar que a soma obtida pelo João esteja mais próxima?

(A) 20000

(B) 21000

(C) 22000

(D) 23000


C2

Capítulo 2 - problemas que envolvem CálCulos mais elaborados no Conjunto dos números reais

trtareFas resolvidas

24. Demonstra que o número

é um número inteiro.

resolução

Temos que

Mas as combinações de 100 elementos de 25 a 25 dão o número de arranjos diferentes de 25 elementos sem interessar a ordenação, que se podem obter quando temos à nossa disposição uma centena de elementos. Esse número é necessariamente um número inteiro, logo fica pro-vado o que pretendíamos (sem ter necessidade de efetuar todos os cálculos!).

Trail

por

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25. Consideremos que temos dois baralhos de 32 cartas. Vamos chamar-lhes baralhos 1 e 2.

25.1 Tira-se ao acaso uma carta em cada um dos baralhos 1 e 2. Consideremos os aconte-cimentos

A: “Obter 2 cartas de Ás”

B: “Obter pelo

livro de exercÍcios volume 1 - new-social.com · primeiro aparecem o que chamamos “exercícios...

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