8/17/2019 Listadeexercicios2

1/4

MINISTÉRIO DA EDUCAÇ ÃOUNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO

UNIDADE ACADÊMICA DE GARANHUNSAv. Bom Pastor, s/n - Boa Vista - CEP 55292-270 - Garanhuns-PE 

Telefones: (087) 3761-0882 e 3761-0969 

Lista de Exerćıcios 2Bacharelado em Ciência da ComputaçãoCálculo para Ciência da Computação 2 - 2016.1Prof.o Dr. Gersonilo Oliveira da Silvagersonilo@hotmail.comgersonilo@uag.ufrpe.br

Todas as respostas devem ser   devidamente   justificadas.

Integração.

1.   Integrais impróprias.

Problema 1)  Vamos considerar a função

f (x) = tg(x),

sabemos que seu domı́nio consiste dos intervalor (−π2,  π2

) (vendo-os como múltiplos repetidosdesses mantendo-se o módulo.). Assim, temos claramente que uma integral da forma:

   π/20

tg(x)dx,

é naturalmente uma integral da forma:

limb→π/2

   b0

tg(x)dx.

A estes tipos de integrais damos a denominação de integrais impr´ oprias .

Desta determinação obtemos as seguintes definições:

Definição 1: Dizemos que uma integral imprópria converge  se seu limite existir.

Definição 2: Dizemos que uma integral imprópria diverge  se seu limite não existir.

Usando esta definição calcule as seguintes integrais:

(a)

   π/20

1

xdx,

(b)

   π/20

tg(x)dx,

(c)    π/2

0

1

x2dx,

(d)

   π/20

ln(x)dx,

1

8/17/2019 Listadeexercicios2

2/4

Problema 2)  Temos também as integrais imprórpias que tem a forma:

   ∞

0

1

xdx,

é naturalmente uma integral da forma:

limb→∞

   b0

f (x)dx.

Considerando estas observações determine se as seguintes integrais são convergentes.

(a)

   ∞

1

1

xdx,

(b)

   ∞

0

1

x2dx,

(c)    π/2

0

sec(x)dx,

2.   Integração por frações parciais.

Problema 3)  Temos os seguintes resultados algébricos:

Teorema 1: Seja a função racional f (x) = p(x)/q (x), com os polinômios  p(x) e  q (x) tais que:grau( p(x))  ≤  grau(q (x)). Se o polinômio   q (x) for   totalmente fator´ avel  em fatores de grau 1,todos distintos, então temos que:

f (x) = p(x)

q (x)  =

  A1x + a1

+  A2x + a2

+ . . . +  Anx + an

,

onde  grau(q (x)) = n.

Teorema 2: Seja a função racional f (x) = p(x)/q (x), com os polinômios  p(x) e  q (x) tais que:grau( p(x)) ≤ grau(q (x)). Se o polinômio q (x) for totalmente fator´ avel  em fatores de grau 1 commultiplicidade, então temos que:

q (x) = (x + a1)α1 . . . (x + ak)

αk ,

com a condição de  α1 + . . . + αk  = n  =  grau(q (x)). Então temos que:

f (x) = p(x)

q (x)  =

  A1(x + a1)

 +  A2

(x + a1)2 +

  A3(x + a1)3

 + . . .

+   An

(x + an) +   A

n+1

(x + an)2  +   A

n+3

(x + an)3.

Existem outras versões mais gerais desses teoremas. Mas ficaremos restritos ao uso destes resul-tados e fica a cargo do leitor evidenciar tais generalizações. Vamos explicitar o uso desses resultadoscom exemplos:

Exemplo 1: Seja a função

f (x) =  1

(x− 1)(x + 1),

vamos querer usar o   Teorema 1. E, então, precisamos encontrar os valores de  A1   e  A2   tal que aigualdade se dê:

1

(x− 1)(x + 1) =

  A1(x− 1)

 +  A2(x + 1)

  =  A1(x + 1)

(x− 1)(x + 1) +

  A2(x− 1)

(x− 1)(x + 1) ⇒

2

8/17/2019 Listadeexercicios2

3/4

(A1 + A2)x + (A1 −A2)

(x− 1)(x + 1)  =

  1

(x− 1)(x + 1) ⇒

  A1   +   A2   = 0A1   −   A2   = 1

Logo:  A1  =  1

2  e A2  = −

1

2. E, então:

f (x) =  1

(x− 1)(x + 1)  =

  1/2

(x− 1) +  −1/2

(x + 1).

Exemplo 2: Seja a função

f (x) =  x

(x− 1)(x + 1),

vamos querer usar o  Teorema 1. E então precisamos encontrar os valores de  A1,A2, tais que:

x

(x− 1)(x + 1)2  =

  A1(x− 1)

 +  A2(x + 1)

  =  A1(x + 1)

(x− 1)(x + 1) +

  A2(x− 1)

(x− 1)(x + 1) ⇒

(A1 + A2)x + (A1 −A2)

(x− 1)(x + 1)  =

  x

(x− 1)(x + 1) ⇒

  A1   +   A2   = 1A1   −   A2   = 0

Logo:  A1  =  1

2  e A2  =

  1

2. E, então:

f (x) =  x

(x− 1)(x + 1)  =

  1/2

(x− 1) +

  1/2

(x + 1).

Exemplo 3: Seja a função

f (x) =  1

(x− 1)(x + 1)2,

vamos querer usar o  Teorema 2. E então precisamos encontrar os valores de  A1,A2   e  A3   tal que aigualdade se dê:

f (x) =  1

(x− 1)(x + 1)2  =

  A1(x− 1)

 +  A2(x + 1)

 +  A3

(x + 1)2 ⇒

A1(x + 1)2 + A2(x− 1)(x + 1) + A3(x− 1)

(x− 1)(x + 1)2  =

  (A1 + A2)x2 + (2A1 + A3)x + (A1 −A2 −A3)

(x− 1)(x + 1)2  ⇒

A1   +   A2   = 02A1   +   A3   = 0A1   −   A2   −   A3   = 1

Logo:  A1  = 1/4,  A2 = −1/4 e  A3  = −1/2.Usando os resultados expostos no  Teorema 1 e  Teorema 2, resolva as seguintes integrais:

1.

   1

(x + 1)(x− 1)dx

2.

   x

(x + 1)(x− 1)dx

3.

   1

(x + 1)2(x− 1)dx

4.

   1

(x + 1)(x− 1)2dx

5. 

  x(x + 1)2(x− 1)

dx

3

8/17/2019 Listadeexercicios2

4/4