4ª parte - ESSAS SÃO PARA O TRABALHO DE NOVEMBRO

1) Abaixo temos a direção do gradiente de uma função f(x,y) em uma região do plano. Observe atentamente a escala dessa nova figura.

a) Marque um ponto P nessa figura em que podemos dizer que ∂ f∂ x

(P ) = 0 .

b) Marque um ponto Q nessa figura em que podemos dizer que ∂ f∂ y

(Q ) = 0 .

c) Uma reta pode ser curva de nível dessa função ?

2) Considere a função f(x,y) = x2 – 4y2.

a) Esboce as curvas de nível dessa função. Quero ver, pelo menos, as curvas correspondentes aos níveis -10, -5, -2, -1, 0, 1, 2, 5 e 10.

b) Na mesma figura do item anterior, esboce a elipse de equação x2

4+ y

2

9=1.

c) Determine as coordenadas de um ponto P na elipse tal que f(P) seja máximo.d) Calcule ∇f(P). Represente P e ∇f(P) na mesma figura do item a.

f(x,y) = x2 – 4y2

3ª parte - ESSAS SÃO PARA O TRABALHO

1) Trabalhe sempre usando 8 casas após a vírgula durante seus cálculos nessa questão. Calculadoras em radianos (sempre).

Inicialmente, gostaria que você calculasse alguns produtos notáveis

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = calcule (a + b)5 = calcule (a + b)6 = calcule

Qualquer função f(x,y) pode ser aproximada por polinômios. A fórmula que nos permite fazer isso é

f ( x , y )=f (0,0 )+[ x ∂ f∂ x (0,0 )+ y ∂ f∂ y

(0,0 )]+ 12 ! [x2 ∂2 f∂ x2 (0,0 )+2 xy ∂2 f∂ x ∂ y

(0,0 )+ y2 ∂2 f∂ y2

(0,0 )]+ 13! [x3 ∂3 f∂ x3 (0,0 )+3 x2 y ∂3 f

∂ x2∂ y(0,0 )+3 x y2 ∂3 f

∂ x∂ y2(0,0 )+ y3 ∂

3 f∂ y3

(0,0 )]+…Você percebeu como cada colchete na fórmula corresponde a um produto notável.

a) Qual é o próximo colchete na fórmula ?b) Use a fórmula acima e aproxime, com o uso de 4 colchetes, a função f(x,y) = ex

2+2 y. Chame sua aproximação de função p4(x,y). (Observe: 4 colchetes você chama de p4, captou ?)

c) Qual é o valor de f(0,2 ; 0,3) , p4(0,2 ; 0,3) , f(2,3) e p4(2,3) ?d) Esboce o gráfico de f(x,y) e de p4(x,y). Quero um lindo print da tela do computador.

Construa dois gráficos para cada função, no primeiro, tanto x quanto y devem variar entre -1 e 1 e, no segundo, eles devem variar entre -10 e 10. No total, quero ver 4 gráficos.

e) Podemos dizer que, próximo da origem, p4(x,y) é uma boa aproximação de f(x,y) ?f) Use a fórmula com 5 colchetes, obtendo p5(x,y). Qual é a lei de p5(x,y) ? Quero uma

resposta mais simples possível.

2) Seja f(x,y,z) = x2+ yz

x+ y+2 z e o vetor v = (1,2,-2). Usando a definição, calcule o valor de

∂ f∂ v.

Função f(x,y) = ex2+2 y

P4(x,y)=x*[2x*e^(x^2+2*y)+y*2*e^(x^2+2*y)]+1/(2*1)*[x^2*(2*exp(x^2+2*y)+4*x^2*exp(x^2+2*y))+2*x*4*exp(x^2+2*y)+y^2*4*exp(x^2+2*y)]. Colocando apenas os 2 primeiros

colchetes.

3ª parte – Esses são para entregar em seu trabalho de novembro

1) Considere a sequência an dada pela seguinte lei:

{a1=k , sendo kuma constante

an=an−12sean−1é par

an=3an−1+12

se an−1 é ímpar

a) Determine os 10 primeiros termos dessa sequência para k = 2, k = 32 e para k = 15b) Ainda não foi provado, mas todos acreditam que dado qualquer valor inicial para k,

algum termo dessa sequência será igual a 1. Suponha que você nasceu no dia dd/mm/aaaa. Qual é o primeiro termo dessa sequência que é igual a 1 usando para k o número ddmmaaaa. Por exemplo, Guilherme, meu filho lindo, nasceu em 18/07/1994. Para ele, k = 18071994 e o primeiro termo da sequência que é igual a 1 é o termo a111.

2) O tamanho de uma população de peixes pode ser modelado pela fórmula

pn+1=b . pna+ pn

em que pn é a população de peixes depois de n anos e a e b são constantes positivas que dependem da espécie e de seu habitat. Suponha que a população no ano 0 é p0 > 0.a) Como sempre devemos ter pn > 0, mostre que pn+1 < (b/a) . pn

b) Para uma determinada espécie temos a = 5, b = 40 e p1 = 10000. Calcule os 20 primeiros termos dessa sequência e determine se ela converge.

c) Repita o anterior para vários valores diferentes de a e b, sempre com b > a. Que relação existe entre os valores de a e b e o limite da sequência ?

d) Repita, agora, usando a > b. O que ocorre com o limite da sequência ?

3) Considere a função f(x) = 11−x

. Sendo k uma constante qualquer, considere a

sequência an = {f´(k), f´´(k), f´´´(k), f´´´´(k) , ...}. Determine os 20 primeiros termos dessa sequência e também se essa sequência converge ou diverge para a) k = 0b) k = 0,9999c) k = 1,0001

Respostas

1) a1 = 2 { 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1 } a1 = 32 { 32, 16, 8, 4, 2, 1, 2, 1, 2, 1}

a1 = 15 { 15, 23, 35, 53, 80, 40, 20, 10, 5, 8}

Data de nascimento 25/01/1988 K=25011988

2) a)

b)

c)Para valores de B maior que A

d) Para valores de A maior que B

Questão 3

Lista 4 questão 41