Lista de Exercícios Para o Problema de Transporte

1. Estudar as notas de aula (slides); 2. Ler o Capítulo 8 do livro do livro [1] e fazendo os problemas resolvidos de 8.1

a 8.5 e o problema proposto 8.6.; Obs: O Capítulo 8 encontra-se na seqüência deste arquivo;

3. Fazer os exercícios propostas abaixo.

Resolva os seguintes problemas de transporte (retirados e adaptados de [2]):

a) Destinos

Origens 1 2 3 4 oferta1 10 5 6 7 25

2 8 2 7 6 25

l 9 3 4 8 50

demanda 15 20 30 35

b)Destinos

Origens 1 2 3 4 oferta1 5 3 1 10 8

2 5 7 3 2 4

l 3 2 1 8 9

demanda 4 8 3 6

c)Destinos

Origens 1 2 3 oferta1 2 6 1 100

2 3 5 2 300 demanda 100 150 50

d)Destinos

Origens 1 2 3 4 oferta1 5 3 1 10 200

2 5 7 3 2 300

l 3 2 1 8 150

demanda 150 200 100 300

Referências

[1] R. Bronson, Pesquisa Operacional, Coleção Shaum, Ed. MacGraw-Hill, 1985.[2] E. L. de Andrade, Introdução à Pesquisa Operacional, Métodos e Modelos Para Analise de Decisão, LTC, 1980.

Programa~iiolnteira: Algoritmo de Tran!ffJOrtes 71

o ALGORITMO DE TRANSPORTES

(A primeira aproxirna~aopara 0 sistema (8.2) e sempre inteira e, em consequencia, e sempre a

solu~o 6tima. Em vez de se detenninar esta primeira aproxirna~aopela aplica~aodireta do meto-do simplex, acha-se mais eficiente trabalhar com 0 Quadro 8.1. Todos os elementos a( assinaladossao auto-explicativos, com exce~![odos termos ui e Vj' que serao explicados brevemente. 0 algo-ritmo de transportes e 0 metoda simplex particularizado para 0 fonnato do Quadro 8.1. Ele en-volve, como de costume:

(i) detennina~o de uma solu~o inicial basica viavel,(ii) teste da solu~o quanto a condi~![ode 6timo,(ill) mellioria da solu~o quando nlIoe 6tima;(iv) repeti~![odas etapas (ii) a (ill) ate se obter a solu~o 6tima.

UMA SOLUC;AO INICIAL BA-SICA

Regra do canto noroeste. Come~ando-secom a celula (1,1) no Quadro 8.1 (canto noroeste),aloca-se a x n tantas unidades quantas sejam poss(veis sem violar as restri~Oes.Isto corresponderaao menor dos dois valores a1 e b l' Depois disso continua-se 0 algoritmo deslocando-separa a celu-la imediatamente a direita se ainda restar alguma oferta ou, caso contrario, para a celula imediata-mente abaixo. A cada etapa aloca-se a celula em considera~ao tantas unidades quantas sejampossiveis sem violar as restri~Oes:a soma das aloca~oesna i..esimalinha nao pode exceder ai, a somadas aloca~Oesna j-6sima coluna nao pade exceder bj e nenhuma aloca~aopode ser negativa. A alo-ca~aopode ser zero. Ver Problema 8.3.

Destinos

2 I 3 ... n Oferta U;

CI.Xu XI2 XI3 .. . XI. QI I UI

Cm

X23 '" Xm U2

..c::G>.!'0

COIl C..2 C..3 COl.m

X",I X..2 X..3 .. . X... u..

Demanda bl bz b3 .. . b.

Vj VI V2 V3 .. . V.

Quadro 8.1

__ A..

72 PesquisaOperacio11ill

Metodo de Vogel. Para cada linha e cada coluna ~tOnOO 3..g"...lJ11asobra de oferta ou algu-ma sobra de demanda, calcula-se0 respectivo residuo. d.a:e~~:; ~o negativaentre os dois meno-res custos c.. associados as celulas (as variaveis)ainda se:::~ ~essalinha ou coluna. Conside-ra-se a linh;] ou coluna possuidora do maior residuo. Em ~ ~ e~~ escolhe-seuma, arbitraria-mente. Nesta linha ou coluna identifica-se a celula la ~,e-. .:0::: 0 menor custo unitario detransporte ainda sem aloca~ao e aloca-se a esta tantas "I:!.,-!,,~ q..:mas sejam possiveis sem violaras restri~oes. Recalculam-seos novos residuos e repete-se 0 F~nto citado ate que todas asdemandas sejam satisfeitas.

As variaveis, para as quais se atribuiu valores por ~ je :;~qaer dos procedimentos departida, acima, tomam-se as variaveisbasicas da solu~o m:..-~ _~, 3l13veissem aloca~aosao naobasicas e, por conseguinte, valem zero. Adota-se a conve '"3c .:r ~~ Jlduir as variaveisnao basi.cas no Quadro 8.1 - subentende-se que estas valem zero - e j,e ..:doc3ros valores alocados as va-riaveisbasicasem negrito.

A regra do canto noroeste e 0 mais simples dos ~loC.= ! ~ar. Contudo, 0 metoda deVogel, que leva em considera~ao os custos unitarios de U'3D..Spi)f"'~re-sultanuma solu~ao inicialmais pr6xima da solu~ao6tima (ver Problema 8.5).

TESTE DA CONDI<;AODE QTIMO

Atribui-se 0 valor zero a urn dos elmentos Uj ou ~ q'<4.q~...:;n dos dois) do Quadrado 8.1e calcula-se 0 valor restante para Uj ou vi de sorte que, p3r. ,...~ -..aritiPe1basica, Uj + vi = Cjj-

Em seguida,calcula-separa cada variavelnao basica,a qusc -..~...::: - Uj - 11.Se todas estasquantidades forem nao negativas, a solu~ao presente e 6tim:. c:.sc cootnirio, a solu~ao correntenao e 6tima.

APERFEI<;OAMENTODA SOLU<;AO

Defmi~o:Um percurso de avalia~aoe uma sequencia de c&~ jc ~..adro 8.1, tal que: (i) todopar de celulas consecutivas esta ou sobre a me:sma ~..~ a" sobre a mesma coluna, (ii)inexistem tres celulas consecutivas sobre a mesm: ~ (N ~ana, (tii) a primeira e aultima dascelulasda sequencia estao sobre a mesm! ~ Owmesma coluna, (iv) nenhu-ma celula figura de uma vez, na sequencia.

Exemplo 8.1 As sequencias {(1,2), (1,4), (2,4),(2,6),(4,61,~': : ~.3 _11,6),(3,6),(3,1),(2,1),(2,2), (4,2), (4,4), (2,4), (2,3) } ilustradas nas Figuras 8.: e 3': :espectivamente, sao percur-sos de avalia~ao. Note-se que uma linha (ou coluna) pode ~ ~ de d:1ascelulas no percursode avalia~ao (como a segunda linha da Fig. 8.2), pOI'em~ ~ podem ser consecutivas.

Considera-se a variavel nao basica correspondente ao .,~ ~ negativo da grandezac.. - u. - v., calculada no teste da condi~ao de 6timo; esta e ~ "~'e'. a ser introduzida. Cons-ti6i-se ~m ~ercurso de avalia~ao constituido unicamente ~ es:. "an.."""e~(celula) que foi intro.duzida e pelas variaveis (celulas) basicas correntes. Em seguida. ~ :i celula introduzida tan-tas unidades quantas sejam possiveis de modo que, depois de s:r :r: ;e.i~ os acertos apropriadosnas outras celulas do percurso de avalia~ao,as restri~Oesde ~~r~ e je deDWldaniio sejam viola-das, todas as aloca~oes permane~amnao negativase uma da.s~ .o::-~~cas anteriores tenha sidoreduzida a zero (ap6s 0 que ela deixa de ser basica).

Fig.8.1

DEGENERESC£NCIA

Programa~jjoInteira: Algoritmo de Transportes 73

Fig. 8.2

Em vista da condiyao(8.1) somenten + m - I dasequayOesde restriyoesdo sistema(2)sao independentes. Entao, uma soluyao basica viavel niio degeneradaesta caracterizada pelos va-lores positivos de, exatamente, n + m - I variaveis basicas. Se 0 processo de aperfeiyoamentoda soluyao basica corrente resultar em se reduzir a zero, simultaneamente duas ou mais varia-veis basicas, somente uma delas pode tornar-se nao basica (a escolha do calculista, embora sejapreferivel a variavel com 0 maior custo unitario de transporte). A(s) outra(s) variavel(eis)perma-nece(m) basica(s), mas com alocayao nula, tornando, com isso, degenerada a nova soluyao basica.

A regrado canto noroestesempregerauma soluyaoinicialbasica(Problema8.2), maspodefalhar na produyao de n + m - I valores positivos (Problema 8.3) conduzindo, em consequencia,a uma soluyao degenerada. Se for utilizado 0 medoto de Vogele nao se obtiver esse mesmo nume-ro de valores positivos, deve-se designar, como basicas, variaveis adicionais com alocayao nula.A escolhae arbitrariaate urn certo ponto:asvariaveisbasicasnao podemformarpercursosde ava-liayao e, usualmente, se da preferencia as variaveis com os custos de transporte associados maisbaixos. Substituindo-se uma varhivel basica com valor nulo por outra variavel igualmente nulapode resultar em melhoria da soluyao degenerada. (Isto ocorre por ocasiiio do primeiro aperfei-yoamento de soluyao no Problema 8.4.)

Emboraas duas soluyoesdegeneradastenhamefetivamenteuma mesmaSOlUy30- trocou-se apenas a designayaodas variaveisbasicas e niio os seus valores - a interayao e necessaria parase prosseguir os caIculoscom 0 algoritmo de transportes.

Problemas Resolvidos

8.1 Uma companhia locadora de automoveis se defronta com urn problema de alocayao resul-tante dos contratos de locayiio que permitem sejam os automoveis devolvidos em locali-dades outras que aquelas onde foram originalmente alugados. No presente momenta ha duasagendas de locayao (origens) com, respectivamente, 15 e 13 carros excedentes e quatro ou-tras agencias (destinos) necessitando de 9, 6, 7 e 9 carros, respectivamente. Os custos unita-rios de transporte (em dolares) entre as locadoras sao os seguintes:

1 2 3 '4 5 6

1 . +- -.I II II

2 t . -....- ..I II I-I II l.3 I II II I-I I

4 8- -- --+- -- -.

1 2 3 4 5 6

1 .- .....--- -.t II I-I I

2 ,-.......+-. l.I I

II ... I

I

, I I I-

e _.- -<-I

3 ....-- -....-.I tI II I

4 .--....-.

~4 Pesquisa Operacional

Proponha a formula~ao inicial do quadro de transporte, (Quadro 8.1) visando urn esquema decusto minimo.

Uma vez que a demanda total (9 + 6 + 7 + 9 = 31) excede a oferta total (15 + 13= 28),criou.se uma origem ficticia tendo uma oferta igual ao deficit de 3 unidades. Na realidade, nuncaserao feitos transportes a partir desta origem e, assim, os custos de transporte associados sao to.mados iguais a zero. Aloca~Oespositivas desta origem para algum destino representam carros quena'o podem ser entregues devido ao deficit da oferta. Estes valores sao 0 deficit que 0 destino emquestao experimentani para se ter urn esquema de transportes 6timo. Para este problema 0 Qua.dro 8.1 converte.se no Quadro lA. Os valores dos elementos X.., u. e V.nao estao assinaladosten.

I} I }do em vista que se tratam de grandezas desconhecidas no momento.

Destinos

2 3 4 Oferta Uj

15

\3

3

8.2 Mostrar que, para urn quadro de transportes m x n, a regra do canto noroeste determinan + m - 1 variaveis.

Observe.se que depois de tratar a celula (1,1), a regra e aplicada da mesma maneira a urn"subquadro" em que 0 novo canto noroeste e a celula (1,2) ou a celula (2,1) do quadro ori-ginal. Suponha.se, em seguida (indu~o matematica), que 0 resultado vale para 0 "subqua.dro" que e ou m x (n - 1) ou (m -1) n. Em qualquer dos dois casos podem ser determina.das n + m - 2 variaveisdo "subquadro" de forma que

(n + m - 2) + 1 = n + m - 1

variaveis sao calculadas no quadro. Tendo em vista que 0 resultado e verdadeiro paran =m = 1, a prova por indu~o esta completa.

Desl. Desl. Desl. Des!.1 2 3 4

Origem 1 45 17 21 30Origem 2 14 18 19 31

2'"=G>.

0I

(Artificial) 3

Demanda 9 6 7I

9

VjI

Quadro 1A

ProgramafiioInteira: Algoritmo de Transportes 75

8.3 Utilize a regra do canto noroeste para obter uma aloca~a-oinicial do Quadro IA.

Come~a-se com x 11atribuindo-lhe como valor 0 minima entre a 1= 15 e b 1= 9. Assim,XII = 9, deixando-seseiscarrosexcedentesna primeiraorigem.Emseguida,desloca-seumacelula para a direita e aloca-se Xu = 6. Estas duas aloca~oesjuntas esgotam a oferta da pri-meira origem. Assim desloca-se uma celula para baixo e considera-se X22. Observa-se, contu-do, que a demanda do segundo destino foi satisfeita pel a aloca~ao de X 12.Uma vez que naose lhe pode entregar carros adicionais sem ultrapassar sua demanda, deve-sealocar X22 =0e entio deslocar-se uma celula a direita. Continuando-se desta maneira obtem-se a solu~odegenerada (0 numero de elementos positivos menor que 4 + 3 - 1= 6) retratada no Qua-dro I B.

2 3 4 Oferta U;

15

2 6 13

(Ficticia) 3 3 3

Demanda 9 6 7 9

IIi

Quadro 18

8.4 Resolva0 problema de transportes descrito no Problema 8.1.

Para determinar se a aloca~ao inicial encontrada no Quadro I B e 6tima, calculam~e pd-meiro os termos ui e vj com rela~a-oas celulas das variaveisbasicas do quadro. Escolhendo-se arbitrariamente U2 = 0 (uma vez que a segunda linha contern mais variaveisbasicas quequalquer outra linha ou coluna, esta escolha simplificara os caIculos)encontra-se

Estes valores sao mostrados no Quadro 1C. Calcula-se,em seguida,as quantidades Cij- ui-- V.para cada uma das celulas referentes as variaveisnao basicas do Quadro lB.J

celula (2,2): U2+ V2 = Cn, 0+ V2= 18, ou V2= 18

celula (2,3): U2+ V3 = C23, 0+v3=19, ou V3= 19

celula (2,4): U2+ V4 = C24, 0+ V4= 31, ou V4= 31

celula (1,2): U\ + V2 = C\2, u\+18=17, ou UI=-1

celula (1,1): u\ + VI = CII, -1+v\=45, ou VI= 46

celula (3,4): U3+ V4 = C34, U3+ 31 = 0, ou U3= -31

76 PesquisaOperacional

c61ula O,3}:

c61ula O,4}:

c61ula (2,1):

c61ula (3,1):

c61ula (3,2):

c61ula (3,3):

CIJ- UI- VJ= 21- (-1)-19= 3

C14- UI- V4= 30- (-1)-31 = 0C21- U2- VI= 14- 0 - 46 = -32

CJI- UJ- VI= 0 - (-31)- 46 = -15

CJ2- UJ- V2= 0- (-31)-18= 13

c33-uJ-vJ=0-(-31)-19= 12

Estes resultados sao tambem registrados no Quadro lC, entre parenteses. Tendo em vista

que, pelo menos urn dos valores (c;j - u; - Vj) e negativo, a solu~o corrente nao e 6tima ese pode obter uma solu~ao melhor aumentando-se a aloca~aoda celula possuidora do maiorvalor negativo, aqui a celula (2,1) do Quadro lC. Isto e feito pela coloca~ao de urn sinal maisem negrito (assinalando urn aumento) da celula (2,1) e identificando-se urn percurso de ava-

lia~ao contendo, alem desta celula, unicamente celulas de variaveisbasicas. Tal percurso estamostrado por linhas refor~adas no Quadro 1C.

Aumentando-se agora 0 maximo possivel a aloca~ao da celula (2,1) ajustando-se simul-taneamente as aloca~oes das outras celulas do percurso de sorte a nao violar as restri~Oesde oferta, demanda ou nao negatividade. Qualquer aloca~o positiva a celula (2,1) for~ariax 22 a ser negativo. Para se evitar isto, mas ainda assim tomando x 21basica, aloca-sex 21= 0e remove-seX22 do conjunto de variaveis basicas. A nova solu~o basica, tambem degenera-da, e dada no Quadro 1D.

2 I 3 I 4 I &15 -I

(0)

2 13 I 06

(Artificial) 3 I 3 I -313

Demanda 9 6 7 9

VI 46 18 19 31

Quadro 1C