7/23/2019 Lista de discreta

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ListaMatematica Discreta

Prof.: Breno Sampaio

Nomes:

1. Considere as relacoes abaixo, definidas no conjunto dos inteiros. de-termine se sao reflexivas, simetricas ou transitivas. Alguma dasrelacoes e de equivalencia?

(1) a  ∼  b quando mdc(a, b)  = 1

(2) Fixe n >  0 inteiro. Entao a  ∼  b quando mdc(a, n)   = mdc(b,n).

2. quais os elementos de  Z4  que tem inversos? E de  Z11? e de  Z15?

Calcule os inversos desses elementos em cada caso.

3. Ache um elemento a  ∈  Z34 de modo que todo elemento invertıvel deZ34  e uma potencia de a.

4. O grupo D4 das simetrias do quadrado tem ordem 8.

(1) Escreva cada um dos elementos de  D4 como permutacao dosvertices do quadrado.

(2) Determine o inverso de cada um dos elementos de  D4.

(3) Seja  ρ  a rotacao de 90o e  σ  uma das reflexoes do quadrado.

Verifique que σρ =

 ρ3

σ.(4) Escreva a tabela do grupo D4.

5. Seja G  um grupo. Mostre que se o quadrado de qualquer elementodo grupo e a identidade, entao o grupo e abeliano.

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6. Calcule φ(125), φ(1600) e φ(10!).

7. Seja n um inteiro positivo e p um fator primo de n.

(1) Mostre que p − 1 divide φ(n).

(2) Mostre que pode acontecer que  p nao divida φ(n).

(3) Mostre que n  > φ(n).

8. Mostre que, se n e um inteiro positivoque satizfaz φ(n)  = n − 1, entaon e primo.

9. Mostre que se m|n, entao φ(mn)  = mφ(n).

10. Determine todos os subgrupos do grupo D4  das simetrias do qua-drado.

11. Verifique que U (2) e  U (4) sao grupos cıclicos, mas que  U (8) nao  ecıclico.

12. Suponhamos que G e um grupo cıclico finito de ordem n. Mostre quese m|n entao G tem um elemento de ordem m.

13. Considere o grupo U (20).

(1) Determine a ordem de U (20).

(2) Determine a ordem de cada elemento de  U (20).

(3) Verifique que o grupo U (20) nao e cıclico.

(4) Determine os subgrupos de ordem 4 de U (20).

(5) Determine um subgrupo de U (20) que nao seja cıclico.

14. Seja G um grupo e S1 e  S2 dois subgrupos de G. Mostre que:

(1) S1 ∩ S2  e um subgrupo de G.

(2) Se as ordens de S1 e S2 sao primas entre si, entao S1 ∩ S2   =  {e};

(3) S1 ∪ S2 pode nao ser um subgrupo de G.

15. Mostre que se φ(n) e um numero primo, entao n   = 3, 4 ou 6.

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