UEM – CCE – DMA

Disciplina: Cálculo Numérico

Cursos: Engenharia Mecânica (Turma 01), Engenharia de Produção (turmas 33 e 34)

1º Lista de exercícios – Solução de equação não lineares

1) Considere as equações abaixo:

(i) ( ) (ii)

( ) (iii) ( ) (iv)

(v) (vi) ( ) (vii) (viii) ( )

Para elas resolva os itens abaixo:

a) determine o intervalo, usando o método gráfico, a(s) raiz (raízes).

b) confirme o resultado obtido em (a), usando uma tabela de valores.

c) prove que existe raiz única no intervalo considerado em (a) ou (b).

d) use o método da bissecção e determine a(s) raiz (raízes) tal que | | .

e) use o método da posição falsa e determine a(s) raiz (raízes) tal que | | .

f) use o método do ponto fixo, quando possível, e determine a(s) raiz (raízes) tal que | | .

g) use o método de Newton-Raphson e determine a(s) raiz (raízes) tal que | | .

h) use o método da secante e determine a(s) raiz (raízes) tal que | | .

2) A equação tem como raiz √ . Considere o método do ponto fixo com ( )

:

a) comprove que ( ) ;

b) o que acontece com a sequencia { } tal que ( )

c) sua conclusão do item (b) pode ser generalizada para qualquer equação f(x) = 0 que tenha | ( )| ?

3) Seja ( )

[ ( ) ]. Determine seus pontos críticos com auxílio de um método numérico.

4) O problema: resolva ( ) ( ) pode ser transformado num problema equivalente da forma

( ) Para o processo iterativo definido por ( ); analisar a convergência, no intervalo [0,5 0,6],

quando:

a) ( ) ( )

b) ( )

5) Na engenharia química, reatores do tipo PFR são frequentemente usados para converter reagentes em produtos.

Sabe-se que a eficiência de conversão às vezes pode ser melhorada reciclando uma fração do produto como

mostrado na Figura 1:

Figura 1

A taxa de reciclo, R, é definida por:

Supondo que um reagente A gere um produto B de acordo com a expressao autocatalitica: A+BB+B, mostra-

se que R ótima satisfaz a equação:

[ ( )

( )]

[ ( )]

onde xA é a fração de reagente A convertido no produto B. A taxa ótima de reciclo corresponde ao reator de

menor tamanho possível para se atingir o nível de conversão desejado. Determinar as razões de reciclo

necessárias para minimizar o tamanho do reator, resolvendo a equação para os seguintes valores de xA: 0.99,

0.995 e 0.999.

6) Um tanque de vaporização flash é alimentado com F moles/h por uma corrente de gás natural de n

componentes, como mostrado na Figura 2.

Figura 2

As correntes de líquido e vapor são designadas por L e V moles/h, respectivamente. As frações molares dos

componentes na alimentação, nas correntes de vapor e de líquido são designadas por zi,yi e xi, respectivamente.

Assumindo equilíbrio líquido-vapor em estado estacionário, segue que:

F = L +V (1)

ziF = xiL + yiV (2)

, i = 1, 2, 3, … (3)

onde: (1) é o balanço global, (2) é o balanço individual , (3) é a relação de equilíbrio, e, Ki é constante de

equilíbrio para o i-ésima componente na pressão e temperatura do tanque. Das equações acima e do fato de

∑ ∑

, mostra-se que:

∑ ( )

( )

(4)

Supondo que F = 1000 moles/h, calcule o valor de V, com duas casas decimais corretas, resolvendo a equação

(4), para a corrente de gás natural, à temperatura de 120ºF e pressão de 1600 psia, para cada um dos

componentes da tabela a seguir:

7) O calor específico a pressão constante do oxigênio em função da temperatura pode ser expresso

pela seguinte equação:

(cal/mol.K)

em que T é a temperatura absoluta. Determinar a temperatura para a qual Cp = 5,82 cal/mol.K.

8) Lee and Duffy (A. I. Ch. E Journal, 1976) relacionaram o fator de atrito para escoamentos de partículas

fibrosas em suspensão com o número de Reynolds, pela seguinte equação empírica:

.

Nesta relação f é o fator de atrito, RE é o número de Reynolds e k é uma constante determinada pela

concentração de partículas em suspensão. Para uma suspensão de 0.08% de concentração temos que k = 0.28.

Determine o valor de f quando RE = 5000. Use um método numérico a sua escolha.

9) Muitas equações de estado foram desenvolvidas para descrever as relações entre pressão, P, volume molar,

V, e temperatura, T, de gases. Uma das equações mais utilizadas é equação de Beattie-Bridgeman:

onde R é a constante universal dos gases são parâmetros característicos do gás em estudo. O segundo,

terceiro e quarto termos da equação de Beattie-Bridgeman podem ser vistos como correções da lei dos gases

ideais, PV = RT, para o comportamento não ideal de um gás. Os parâmetros definidos por:

onde: A0,B0, a, b e c são constantes determinadas experimentalmente e são diferentes para cada gás. Dados os

valores de pressão, P, temperatura, T, e das constantes R, A0, B0, a, b, c é possível determinar o volume molar

de qualquer gás resolvendo equação de Beattie-Bridgeman, usando como estimativa inicial para o volume

molar a lei dos gases ideais: V0 = RT/P. Para o gás metano, tem-se que: A0 = 2.2769, B0 =0,05587, a =0,01855,

b = - 0,01587 e c = 12,83×104. Considere temperaturas de 0º e 200º e as seguintes pressões em atm: 1, 2, 5, 20,

40, 60, 80, 120, 140, 160, 180 e 200. Com esses dados, determine:

a) o volume molar do gás metano, com precisão de 10−6

.

b) o fator de compressibildade z, onde z = PV/RT.

c) compare os seus resultados com valores experimentais do fator de compressibilidade para o metano de 0º e

200º, apresentados na Figura 3.

Figura 3

10) Uma gamela de comprimento L tem seção transversal semicircular com raio r (veja a figura 4). Quando a

gamela está cheia com água até uma distância h do topo, o volume V de água é:

[ (

) ( ) ]

Figura 4

Suponha L = 10 m, r = 1 m e V = 12,4m3. Determine a profundidade da água na gamela com precisão de 0,01.

11) A soma de dois números é 20. Se cada número for adicionado à respectiva raiz quadrada, o produto das

somas será 155,55. Determine os dois números com precisão de 10-4

.