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Lista FUVEST 2ª fase - Parte I – Provas de 2008/2009Lista de exercícios II – FUVEST 1ª fase – Prova de 2009

Provas Fuvest 2008/2009 – 2ª Fase

01 (2008) Na figura ao lado, a reta r tem equação y=2√2 x+1 no plano cartesiano Oxy. Além disso, os pontos B0, B1, B2, B3 estão na reta r, sendo B0(0,1) . Os pontos A0, A1, A2, A3 estão no eixo Ox, comA0 =O(0,0). O ponto Di pertence ao segmento AiBi , para 1≤i≤3. Os segmentos A1B1 , A2B2 , A3B3 são paralelos ao eixo Oy, os segmentos B0D1 , B1D2 , B2D3 são paralelos ao eixo Ox, e a distância entre Bi e Bi+1 é igual a 9, para 0≤i≤2 .Nessas condições:a) Determine as abscissas de A1, A2, A3 .b) Sendo Ri o retângulo de base Ai Ai+1 e altura Ai+1 Di+1, para 0≤i≤2 , calcule a soma das áreas dos retângulos R0 , R1 e R2 .

02 (2008) Na figura, estão representadas a circunferência C, de centro O e raio 2, e os pontos A, B, P e Q, de tal modo que:1. O ponto O pertence ao segmento PQ .2. OP=1, OQ=√2.3. A e B são pontos da circunferência, AP é perpendicular a PQ e BQ é perpendicular a PQ.Assim sendo, determine:a) A área do triângulo APO .b) Os comprimentos dos arcos determinados por A e B em C.c) A área da região hachurada.

03 (2008) Considere o sistema de equações nas variáveis x e y dado por:

{ 4x+2m²y=02mx+(2m−1) y=0

Desse modo:a) Resolva o sistema para m=1.b) Determine todos os valores de m para os quais o sistema possui infinitas soluções.c) Determine todos os valores de m para os quais o sistema admite uma solução da forma (x,y)=(α,1), sendo α um número irracional.خĜĜĜ

04 (2008) O triângulo ABC da figura ao lado é eqüilátero de lado 1. Os pontos E, F e G pertencem, respectivamente, aos lados AB , AC e BC do triângulo. Além disso, os ângulos AFE e CĜF são retos e a medida do segmento AF é x. Assim, determine:a) A área do triângulo AFE em função de x .b) O valor de x para o qual o ângulo FÊG também é reto

05 (2008) A soma dos cinco primeiros termos de uma PG , de razão negativa, é 1/2 . Além disso, a diferença entre o sétimo termo e o segundo termo da PG é igual a 3. Nessas condições, determine:a) A razão da PG.b) A soma dos três primeiros termos da PG.

06 (2008) Um apreciador deseja adquirir, para sua adega, 10 garrafas de vinho de um lote constituído por 4 garrafas da Espanha, 5 garrafas da Itália e 6 garrafas da França, todas de diferentes marcas.a) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas desse lote?b) De quantas maneiras é possível escolher 10 garrafas do lote, sendo 2 garrafas da Espanha, 4 da Itália e 4 da França?c) Qual é a probabilidade de que, escolhidas ao acaso, 10 garrafas do lote, haja exatamente 4 garrafas da Itália e, pelo menos, uma garrafa de cada um dos outros dois países?

1

07 (2008) No plano cartesiano Oxy, a circunferência C tem centro no ponto A(-5,1) e é tangente à reta t de equação4x-3y-2=0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de intersecção da reta t com o eixo Ox.Assim:a) Determine as coordenadas do ponto P.b) Escreva uma equação para a circunferência C .c) Calcule a área do triângulo APQ.

08 (2008) Para cada número real m, considere a função quadrática f(x)=x²+mx+2.Nessas condições:a) Determine, em função de m, as coordenadas do vértice da parábola de equação y=f (x) .b) Determine os valores de m ϵ IR para os quais a imagem de f contém o conjunto {y ϵ IR : y ≥1} .c) Determine o valor de m para o qual a imagem de f é igual ao conjunto {y ϵ IR : y ≥1} e, além disso, f écrescente no conjunto {x ϵ IR : x ≥ 0} .d) Encontre, para a função determinada pelo valor de m do item c) e para cada y≥2 , o único valor de x≥0 talque f(x)=y.

09 (2008) Seja x no intervalo ]0,π/2[ satisfazendo a equação tg x+ 2√5sec x=3

2 .

Assim, calcule o valor de:a) sec x.b) sen(x + π/4).

10 (2008) A figura representa uma pirâmide ABCDE, cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se que

AB=CD=√32

AD=BC=AE=BE=CE=DE=1

AP=DQ=12

Nessas condições, determine:a) A medida de BP .b) A área do trapézio BCQP .c) O volume da pirâmide BPQCE .

11 (2009) João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastandoR$ 57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totalizaR$ 10,00, calcule o preço de cada um desses itens.

12 (2009) No triângulo ABC , tem-se que AB > AC, AC = 4 e cosĈ = 3/8. Sabendo-se que o ponto R pertence ao segmento BC e é tal que AR=AC e BR/BC = 4/7, calcule:a) a altura do triângulo ABC relativa ao lado BC .b) a área do triângulo ABR .

13 (2009) Um polinômio de grau 3 possui três raízes reais que, colocadas em ordem crescente, formam uma progressão aritmética em que a soma dos termos é igual a 9/5. A diferença entre o quadrado da maior raiz e o quadrado da menor raiz é 24/5. Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do polinômio é 5, determine:a) a progressão aritmética.b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio.

14 (2009) O círculo C , de raio R , está inscrito no triângulo eqüilátero DEF . Um círculo de raio r está no interior dotriângulo DEF e é tangente externamente a C e a dois lados do triângulo, conforme a figura.Assim, determinea) a razão entre R e r .b) a área do triângulo DEF em função de r .

2

15 (2009) A medida x, em radianos, de um ângulo satisfaz π/2 < x < π e verifica a equação:sen(x)+sen(2x)+sen(3x)=0.

Assim,a) determine x.b) calcule cos(x)+cos(2x)+cos(3x).

16 (2009) São dados, no plano cartesiano de origem O, a circunferência de equação x²+y²=5, o ponto P (1, √3 ) e a reta s que passa por P e é paralela ao eixo y. Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta s intercepta a circunferência. Assim sendo, determine:a) a reta tangente à circunferência no ponto E.b) o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE.

17 (2009) Em um jogo entre Pedro e José, cada um deles lança, em cada rodada, um mesmo dado honesto uma única vez. O dado é cúbico, e cada uma de suas 6 faces estampa um único algarismo de maneira que todos os algarismos de 1 a 6 estejam representados nas faces do dado. Um participante vence, em uma certa rodada, se a diferença entre seus pontos e os pontos de seu adversário for, no mínimo, de duas unidades. Se nenhum dos participantes vencer, passa-se a uma nova rodada. Dessa forma, determine a probabilidade dea) Pedro vencer na primeira rodada.b) nenhum dos dois participantes vencer na primeira rodada.c) um dos participantes vencer até a quarta rodada.

18 (2009) Um poste vertical tem base quadrada de lado 2. Uma corda de comprimento 5 está esticada e presa a um ponto P do poste, situado à altura 3 do solo e distando 1 da aresta lateral. A extremidade livre A da corda está no solo, conforme indicado na figura. A corda é então enrolada ao longo das faces (1) e (2), mantendo-se esticada e com a extremidade A no solo, até que a corda toque duas arestas da face (1) em pontos R e B, conforme a figura.Nessas condições,a) calcule PR.b) calcule AB.

19 (2009) A figura representa o número ω=−1+i√32

no plano complexo, sendo i=√−1 unidade

imaginária. Nessas condições:

a) determine as partes real e imaginária de 1ω e de ω3 .

b) represente a resposta da alternativa a na figura.c) determine as raízes complexas da equação z³–1=0.

3

20 (2009) Pedrinho, brincando com seu cubo mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira que: – apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, conforme ilustra a foto; – os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um triângulo eqüilátero.Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunferência de raio 2√3 cm, determine o volume da parte do cubo que ficou no interior do copo.

Lista de exercícios II – Fuvest 1ª fase – Prova de 2009

01 (2009) Há um ano, Bruno comprou uma casa por R$ 50.000,00. Para isso, tomou emprestados R$ 10.000,00 de Edson e R$ 10.000,00 de Carlos, prometendo devolver-lhes o dinheiro, após um ano, acrescido de 5% e 4% de juros, respectivamente. A casa valorizou 3% durante este período de um ano. Sabendo-se que Bruno vendeu a casa hoje e pagou o combinado a Edson e Carlos, o seu lucro foi de:(a )R$ 400,00(b)R$ 500,00(c )R$600,00(d )R$ 700,00(e )R$800,00

02 (2009) Na figura, B, C e D são pontos distintos da circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a ela. Além disso:(1) A, B,C e A,O, D são colineares;(2) AB=OB ;(3) CÔD mede α radianos.Nessas condições, a medida de ABO , em radianos, é igual a:

03 (2009) O polinômio p(x)=x³+ax²+bx, em que a e b são números reais, tem restos 2 e 4 quando dividido por x–2 e x–1 respectivamente. Assim, o valor de a é:

04 (2009) Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma PA . Sabendo-se também que o perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo  mede 120º, então o produto dos comprimentos dos lados é igual a:(a )25 (b)45 (c)75 (d )105 (e)125

05 (2009) O número real a é o menor dentre os valores de x que satisfazem a equação:2 log 2(1+√2 x)− log2(√2 x)=3 .

Então , log2(2a+43

) é igual a:

(a ) 14

(b) 12

(c)1 (d ) 32

(e )2

06 (2009) A figura representa sete hexágonos regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos vértices coincidem com os centros de seis dos hexágonos menores. Então, a área do pentágono hachurado é igual a:

4

(a )π−α4

(b)π−α2

(c )π−2α3

(d )π−3α4

(e )π−3α2

(a )−6 (b)−7 (c)−8 (d )−9 (e)−10

(a )3√3 (b)2√3 (c) 3√32

(d )√3 (e) √32

07 (2009) Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação (x+2)²+(y+2)²=4 e sejam P e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente. Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ , e com o maior perímetro possível. Então, a área de PQR é igual a:

(a )2√2−2(b)2√2−1(c )2√2(d )2√2+2(e )2√2+4

08 (2009) Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no formato de uma semi-esfera de raio r ; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h. Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias, comportam a mesma quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão x/h é igual a:

(a ) √36

(b) √33

(c) 2√33

(d )√3 (e) 4√33

09 (2009) O ângulo θ formado por dois planos α e β é tal

que tg θ tg θ=√55

. O ponto P pertence a β e a

distância de P a β vale 1. Então, a distância de P à reta intersecção de α e β é igual a:(a )√3 (b)√5 (c)√6 (d )√7 (e)√8

10 (2009) Dois dados cúbicos, não viciados, com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados simultaneamente. A probabilidade de que sejam sorteados dois números consecutivos, cuja soma seja um número primo, é de:

(a ) 29

(b) 13

(c ) 49

(d ) 59

(e ) 23

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