Exemplo 1

Neste exemplo pede-se para determinar a equação da linha elástica de

uma viga suportando um carregamento e a flecha máxima no ponto médio da

viga.

O primeiro passo é descobrir o momento fletor da viga; que sofre a ação

de forças q, e são criadas tensões e deformações em seu interior. Para

determinar essas tensões e deformações, devemos encontrar as forças e os

momentos internos que atuam nas seções transversais da viga. Depois usando

a equação da linha elástica podemos determinar a sua inclinação e a elástica

da viga; quando existe uma viga engastada com um carregamento concentrado

atuando para baixo, sob a ação do mesmo o eixo da viga forma uma curva.

Quando a viga é flexionada, não há somente uma flecha em cada ponto ao

longo do eixo, mas também uma rotação o ângulo de rotação (θ) do eixo da

viga é o ângulo entre o eixo x e a tangente à curva deformada. Usando a

formula determina-se a equação para a inclinação da viga. Depois substituindo

uma a outra determina a equação para a elástica da viga.

A flecha máxima ocorre no ponto médio do comprimento, utilizando o

resultado da equação usada anteriormente e substituindo determina a

magnitude da flexão.

Exemplo 2

Neste exemplo pede-se para determinar a equação da linha elástica, o

ângulo de rotação e a deflexão. Descobrindo primeiramente o momento fletor

da viga, substituindo expressão do momento fletor na equação diferencial

integram os lados da equação para obter a inclinação e deflexão. Calcula-se a

inclinação da viga e depois usa a equação da linha elástica na viga para

descobrir a deflexão e o ângulo de rotação na extremidade livre da viga, porque

quando a viga é flexionada, não há somente uma flecha em cada ponto ao

longo do eixo, mas também uma rotação. Obtendo-se o ângulo de rotação

máximo para a viga; determina-se a flecha na extremidade livre da viga com o

valor da deflexão calculado anteriormente.

Exemplo 3: (figura 5.3)

Neste exemplo pede-se para determinar o maior deslocamento vertical

de uma viga considerando EI constante, a viga simplesmente apoiada suporta

um carregamento triangular distribuído. Na linha elástica, devido a simetria

apenas uma coordenada X é necessária para a solução. O deslocamento

vertical máximo ocorre no centro uma vez que a inclinação nesse ponto é nula.

No momento fletor da viga o carregamento distribuído atua para baixo e,

portanto de acordo com a nossa convenção de sinais é positivo. Inclinação e

linha elástica usando a equação e integrando duas vezes obtemos as

constantes de integração aplicando a condição de contorno v=0 em x=0, e a

condição de simetria dv /dx = 0 em x= L/2. Determinando o deslocamento

máximo em x= L/2.

Exemplo 4: (Figura 5.4)

Neste exemplo pede-se para determinar o deslocamento máximo vertical

de uma viga, considerando EI constante, a viga simplesmente apoiada está

submetida à força concentrada P. Na linha elástica a viga se deflete ,

portando devemos usar duas coordenadas , visto que o momento fletor torna-

se descontínuo em P. Nesse caso admitiremos que x1 e x2 tenham a mesma

origem em A. Momento fletor da viga de modo que M1 = P/3X1.

Na inclinação e linha elástica aplicando a equação para M1 e integrando

duas vezes , de maneira semelhante para M2. Calculamos as quatro

constantes usando duas condições de contorno. Além disso, devem ser

aplicadas duas condições de continuidade em B. Substituindo como

especificado resultam as quatro equações. Resolvendo essas equações

obtemos C1, C2, C3, C4. Analisando a linha elástica, conclui-se que o

deslocamento vertical máximo ocorre em D em algum lugar na região AB.

Nesse ponto a inclinação é nula. Substituindo na equação. O sinal negativo

indica que o deslocamento ocorre para baixo.

Exemplo 5:

Neste exemplo pede-se para determinar o deslocamento vertical em C,

considerando EI constante, de uma viga que esta submetida a uma forca

concentrada em P na extremidade. A figura mostra viga simples em balanço

submetida à força concentrada em uma das extremidades da viga. Para

solucionarmos este problema analisamos a linha estática: A viga se deflete até

adquirir a forma mostrada na figura 5.5a. Devido ao carregamento, devem ser

consideradas duas coordenadas x, ou seja, 0 < x1 < 2a 1 e 0 < x2 < a , onde

2 x orienta-se para a esquerda a partir de C, uma vez que o momento interno é

fácil de expressar. No momento fletor usamos o diagrama de corpo livre. Com

isso aplicamos as quatro constantes de integração usando três condições de

contorno.

Exemplo 6:

Neste exemplo foi determinado, para viga e o carregamento indicado: A

equação da linha elástica, a declividade de viga no apoio A e a flecha máxima.

Com a viga bi apoiada com uma carga uniformemente distribuída. Para

solucionarmos esse problema usaremos a equação diferencial da linha

estática, integrando essa equação duas vezes e a condição de contorno. Assim

encontraremos a equação da linha elástica, a declividade da linha elástica no

apoio A: Para x = 0 e Flecha Máxima: Para x= l/2.