Limites

Uma teoria abordando os principais tópicos

sobre a teoria dos limites

Este trabalho tem como foco, uma abordagem sobre a

teoria dos limites. Cujo objetivo é o método para

avaliação da disciplina GEX110- Laboratório de

Matemática ministrada pela Professora Ivana de

Vasconcellos Latosinski, do departamento de Ciências

exatas da Universidade Federal de Lavras (UFLA).

José Natanael Reis

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Limites REIS, J. N.

Conteúdo 1. Introdução ............................................................................................................................. 3

2. Limites laterais ...................................................................................................................... 5

2.1 Relações entre limites laterais e bilaterais ........................................................................... 6

3. Limites infinitos .................................................................................................................... 7

4. Calculando limites ................................................................................................................. 9

5. Limites de polinômios e funções racionais quando x→a .................................................... 11

5.1 Forma indeterminada do tipo 0/0 ................................................................................ 14

5.2 Limites envolvendo radicais ........................................................................................ 14

5.3 Limites de funções definidas por partes ...................................................................... 15

6. Limites no infinito ............................................................................................................... 16

6.1 Limites infinitos no infinito ......................................................................................... 17

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1. Introdução

Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma

função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor. Os limites

são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir

derivadas e a continuidade de funções.

Para ilustrar o conceito e interpretação do limite de f(x), imaginamos a função :

f(x)=x²-x+1

Observemos o gráfico a seguir da função f(x):

Figura1

Vejamos agora a notação:

( )

Estudando o comportamento da função f(x) podemos observar que:

X 1,0 1,5 ... 1,99 2 2,001 ... 3,0 ...

f(x) 1,0 1,75 ... 2,997 3 3,003 ... 7,0 ...

Se considerarmos um a=2, temos que o Lim f(x) descreve o comportamento de f perto

de x tendendo à a, mas não em “a”.

Portanto podemos observar que a medida que escolhemos valores de x mais próximo de

2,por qualquer um dos lados, esquerdo ou direito, o valor da função fica cada vez mais

próximo de 3.

( )

Definição 1:

Se os valores de f(x) puderem ser tão próximos quanto desejamos de um valor L, então

escrevemos:

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Exemplo 1:

Use a evidência numérica para conjectura1 o valor de:

Solução: Com a ajuda de uma calculadora ajustada para o modo radianos, obtemos a

tabela 1. Os lados da tabela sugerem que

O resultado é consistente com o gráfico de f(x)=(sem x)/x, mostrado na figura 2.

Tabela 1:

1Conjectura: Ideia, fórmula ou frase, a qual não foi provada ser verdadeira, baseada em suposições ou ideias com

fundamento não verificado. Às conjecturas utilizadas como prova de resultados matemáticos dão-se o nome de

hipóteses.

X

(RADIANOS) Y=

±1,0 0,84147

±0,9 0,87036

±0,8 0,89670

±0,7 0,92031

±0,6 0,94107

±0,5 0,95885

±0,4 0,97355

±0,3 0,98507

±0,2 0,99335

±0,1 0,99833

±0,01 0,99998

Quando x tende a 0 pela esquerda ou direita, f(x)

tende a 1.

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Proposição 1.1: Unicidade do Limite.

Se ( ) e ( ) ; (L1,L2 ) então:

L1=L2

Em outras palavras se o limite existe (é um número real), ele é único.

Corolário 1.1: Se as funções f(x) e g(x) são tais que f(x) = g(x) exceto em um ponto a,

então:

( ) = ( ) ,

desde que exista um dos limites.

Esta propriedade nos permite simplificar os cálculos antes de efetuar o cálculo do limite.

2. Limites laterais

Pode se dizer que ( ) é o limite bilateral, pois requer valores de f(x)

fiquem cada vez mais próximos de L quando x tende a a por qualquer um dos lados.

Vejamos o seguinte exemplo:

Exemplo 1:

Seja f(x)=

Graficamente podemos deduzir que

= 1 e

= -1.

Nesta notação os índices superiores “+” e “-” indicam se a aproximação é para a

direita(+) ou esquerda(-).

1 se x > 0;

-1 se x < 0.

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2.1 Relações entre limites laterais e bilaterais

Não a garantia de que uma função tenha um limite bilateral em um ponto dado, ou seja,

os valores de f(x) podem não se aproximar tanto de um único número real L quando

x→a. Neste caso o limite não existe. O limite bilateral de uma função f(x) só existe em

um ponto a se e somente se existirem os limites laterais no ponto a , e tiverem o mesmo

valor, ou seja;

( ) , se e somente se ( ) = ( ).

Exemplo 2:

Calcule o ( ), se:

f(x)=

Pela definição 2, calculamos os limites correspondentes. Portanto:

( ) e ( )

Demonstrando o cálculo dos limites:

Pelo método da substituição temos que:

, pois 1²=1, onde o x foi substituído por 1.

, pois 3*1=3, onde x foi substituído por 1.

OBS.: Limite de constante é a própria constante.

Logo, o ( ) não existe.

Definição 2:

Se os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos de a, o quanto queiramos,

desde que estes valores sejam maiores do que a, a notação é a seguinte:

( )

Portanto, o f(x) tende a L quando x tende a pela direita.

Se os valores de f(x) puderem ser tomados tão próximos de a, o quanto queiramos,

desde que estes valores sejam menores do que a, a notação é a seguinte:

( )

Portanto, o f(x) tende a L quando x tende a pela esquerda.

x² se x < 1;

3x se x ≥ 1.

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3. Limites infinitos

Quando os limites laterais ou bilaterais de uma função não existem, dizemos que os

valores desta função crescem ou decrescem sem uma cota, ou seja, não possui um ponto

que delimite o seu gráfico.

Vejamos alguns exemplos:

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( )

Definição 3: Limites infinitos(Ponto de vista informal):

Pelas expressões ( ) e ( ) , podemos

concluir que f(x) cresce sem cota quando x tende a a pela esquerda ou pela direita,

respectivamente. Portanto podemos dizer de um modo geral que:

Os mesmo vale quando o limite de f(x) quando x tende a zero pela esquerda

ou direita, é infinito para o lado negativo. Logo:

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Exemplo .

Pelo gráfico da figura , descreva o limite em x=a na notação de limite apropriado.

Solução: Pelo gráfico, a função decresce sem cota quando x tende a a pela direita, e

cresce sem cota quando x tende a a pela esquerda. Portanto;

e

4. Calculando limites

Vejamos alguns limites básicos:

Sejam a e k dois números reais.

(a) (b) (c)

(d)

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Embora os teoremas sejam enunciados apenas com duas funções, os mesmos podem ser

aplicados para um número finitos de funções. Além do mais, estes teoremas podem ser

aplicados combinados uns aos outros para reformular expressões matemáticas que

envolvem limites.

Vejamos um exemplo para demonstrar o teorema 1;

Exemplo.

Desenvolva o seguinte limite:

( ( ) ( ) ( ) √ ( ))

Solução:

Fazendo o desenvolvimento por partes temos:

Pelo teorema 1(a e b): ( ( ) ( )) ( )

( √ ( ))

[ ( ) ( )]

( )

( )

[ ( ) ( )]

( )

( )

[ ( ) ( )]

( )

( )

[ ( ) ( )]

( )

( )

( ( ))

( )

( )

Teorema 1:

a) O limite da soma é igual à soma dos limites;

b) O limite da diferença é igual à diferença dos limites;

c) O limite do produto é o produto dos limites;

d) O limite do quociente é o quociente dos limites, desde que o limite do denominador ao

seja igual a zero;

e) O limite da raiz enésima é a raiz enésima do limite;

√ ( )

=√ ( )

=√

f) Um fator constante pode ser removido para fora de um símbolo de limite;

Todas estas afirmações valem para os limites laterais quando x→a- ou x→a

+.

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Pelo teorema 1(c): ( ) ( )

( )

( √ ( ))

Pelo teorema 1(f): ( ) ( )

( )

(√ ( ))

Pelo teorema 1(e): ( ) ( )

( ) √ ( )

Portanto:

( ( ) ( ) ( ) √ ( )) = ( )

( ) ( )

√ ( )

5. Limites de polinômios e funções racionais quando x→a

O limite de um polinômio p(x) quando x→a é igual ao valor do polinômio em a.

Exemplo 1.

Encontre o ( ) .

Solução:

A função considerada é um polinômio,de modo que o limite pode ser obtido calculando

o valor do polinômio em x=1. Portanto;

( ) = 0

Lembre que uma função racional é um quociente de dois polinômios.

Demonstração do teorema:

( ) ( )

=

=

= ( )

Teorema 2:

Para qualquer polinômio

p(x)=

e qualquer número real a;

( ) =p(a)

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Este teorema não é aplicável em funções racionais em que o denominador é nulo, pois o

teorema 1(d) não é aplicável. Neste caso há duas situações em que devemos considerar:

1ª) Quando o limite do denominador é zero e o do numerador não é zero;

Neste caso podemos provar que o limite da função racional não existe e que:

O limite tende para -∞;

O limite tende para +∞;

O limite pode tender para -∞ de um lado e para +∞ do outro lado.

Veja o gráfico de algumas funções racionais:

( )

;

( )

( ) ;

( )

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( )

( ) ;

( )

Exemplo 2.

Encontre o

.

Solução:

Observamos que substituindo o 2 zeramos o denominador e o numerador. Para

obter o limite da função devemos prosegui da seguinte maneira:

Primeiro desenvolvemos o produto notável:

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( )( )

Agora podemos simplificar a equação onde temos (x – 2);

( )( )

( )

5.1 Forma indeterminada do tipo 0/0

Um grande problema com limites em o quociente de f(x)/g(x) em que ambos os limites

de f e g são zero quando x→a, é dizer por inspeção se o limite existe ou não, e qual seria

seu valor se o limite existisse.

Vejamos o teorema;

Portanto, se queremos resolver este problema para este tipo de limite, devemos utilizar a

simplificação algébrica, como fizemos no exemplo7.

5.2 Limites envolvendo radicais

Quando no calculo de limites aparece uma raiz n-ésima qualquer em uma função,

podemos chegar em uma indeterminação do tipo 0/0, logo para acharmos este limite é

necessária algumas manipulações algébrica n função. Um dos métodos mais fácil é

tentar achar um produto notável que multiplicado pela equação em que se encontra a

raiz, faça com que simplifique a raiz da equação. Este método consiste na

racionalização da equação para simplificar o calculo do limite. Vejamos uma explemlo;

Exemplo 3.

Encontre o

√ .

Solução:

( ) ( )

( )

Teorema 3:

Sejam

uma função racional e a um número real

qualquer.

a) Se q(a)≠0, então ( ) ( )

b) Se q(a)=0 mas p(a)≠0, então

( ) não existe.

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Este limite é uma forma de indeterminação do tipo 0/0, portanto precisamos de

uma estratégia algébrica para torná-lo mais evidente, ou seja, deixá-lo mais simples,

caso exista. Para isto iremos racionalizar o denominador. Portanto;

√

( )(√ )

(√ )(√ )

( )(√ )

( ) √ (x≠1)

Logo;

√ √

5.3 Limites de funções definidas por partes

Para funções que são definidas por partes a melhor forma de se obter seu limite é

calculando seu limite bilateral em um ponto no qual a fórmula muda encontrando

primeiro os limites laterais no ponto.

Exemplo 4.

Dado:

1/(x + 2), x< -2;

f(x)= x² - 5, -2 < x ≤ 3;

√ , x > 3.

Encontre o ( )

Solução:

Determinamos o limite bilateral solicitado considerando primeiro os limites

laterais correspondentes. Para cada limite lateral, devemos usar a parte da fórmula que é

aplicável no intervalo sobre o qual x varia. Logo:

( )

( )

( )

(√ ) √ ( ) √ √

Como os dois limites laterais são iguais, temos que:

( )

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6. Limites no infinito

Quando os valores de uma variável x crescem sem parar, dizemos que x tende ao

infinito positivo (x→ +∞), quando ocorre o contrário, ou seja, x decresce sem parar,

dizemos que x tende ao infinito negativo (x→ -∞).

Assim:

e

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Exemplo 1.

De acordo com o gráfico de f(x)=(1 + 1/x)², o que ele sugere?

Solução:

Este gráfico diz que;

(

)

e (

)

de modo que a reta y=e é uma assíntotai horizontal para f tanto no sentido

positivo quanto no sentido negativo.

6.1 Limites infinitos no infinito Da mesma maneira que limites em um número real a, os limites podem deixar de existir por

vários motivos. Uma possibilidade é que os valores de f(x) cresçam ou decresçam sem cota

quando x→+∞ ou x→-∞. Podemos utilizar a seguinte anotação para descrever essa situação.

i Assíntota: Quando f se aproxima tanto quanto queiramos de uma reta y=L quando x cresce sem parar, e,

no segundo caso, f se aproxima tanto quanto queiramos de uma reta y=L quando x decresce sem parar.