limite de uma funÇÃo: histÓria e atividades para o ensino · 2019. 11. 10. · grande...

MARIA ALICE DE VASCONCELOS FEIO MESSIAS

JOÃO CLÁUDIO BRANDEMBERG

LIMITE DE UMA FUNÇÃO:

HISTÓRIA E ATIVIDADES PARA O ENSINO

BELÉM - PARÁ

outubro 2019

Organizadores Acylena Coelho Costa

Fernando Cardoso de Matos

Reginaldo da Silva

Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias – João Cláudio Brandemberg

2

Copyright © 2019 by EPAEM- 12º Edição

Revisão de Texto e Bibliográfica: Os autores

Projeto Gráfico e Diagramação: Demetrius Gonçalves de Araújo

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)

Belém - Pará - Brasil



Belém : Sociedade Brasileira de Educação

Matemática - SBEM, 2019.

1. Educação - Finalidade e objetivos

2. Aprendizado 3. Matemática (Ensino fundamental)

4. Matemática - Estudo e ensino 5. Prática de ensino 6. Professores -

Formação 7. Sala de aula I. Alice de Vasconcelos Feio Messias, Maria. II.

Cláudio Brandemberg, João.

Belém: XII EPAEM, 2019. (Coleção VI). 67 p.

ISBN 978-65-5076-010-6 (V.10)

ISBN 978-65-5076-000-7(Coleção)

CDD 510.

Índices para catalogo sistemático:

1. Matemática: Estudo e ensino 510.7

Todos os direitos reservados. Nenhuma parte desta obra poderá ser reproduzida

sejam quais forem os meios empregados sem a permissão da Editora. Aos infratores

aplicam-se as sanções previstas nos artigos 102, 104, 106 e 107 da Lei Nº 9.610, de 19

de fevereiro de 1998.

Comitê Científico - Coleção VI Demetrius Gonçalves de Araújo

José Carlos de Sousa Pereira

José Messildo Viana Nunes

Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias

Natanael Freitas Cabral

Organizadores:

Acylena Coelho Costa

Fernando Cardoso de Matos

Reginaldo da Silva

Coleção VI – Educação Matemática na Amazônia V.10

3

XII ENCONTRO PARAENSE DE EDUCAÇÃO

MATEMÁTICA

Diretoria Regional da SBEM-PA

Diretor: Fernando Cardoso de Matos

Vice-diretor: Reginaldo da Silva

Secretário: José Carlos de Sousa Pereira

Secretário: José Messildo Viana Nunes

Secretário: Demetrius Gonçalves de Araújo

Secretário: Natanael Freitas Cabral

Tesoureiro: Acylena Coelho Costa

Tesoureiro: Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias


4


5

Apresentação

om o intuito de consolidar mais um espaço de divulgação da

produção de conhecimento na região norte, a coleção Educação

Matemática na Amazônia teve o lançamento de sua sexta edição

durante a realização do XII Encontro Paraense de Educação

Matemática – XII EPAEM.

A partir do tema Educação Matemática: Teorias, Práticas e

Reflexões, apresenta-se ao leitor um conjunto de obras diversificadas,

tendo em vista os avanços dos estudos efetivados no âmbito da

Educação Matemática em diversos centros de pesquisa do país.

Cada um dos 12 volumes apresenta múltiplas discussões e

reflexões sobre teorias e práticas, as quais foram contempladas

durante os minicursos disponibilizados no XII EPAEM. Espera-se,

nesse sentido, que a publicação desse material permita que

estudantes de graduação e pós-graduação, bem como professores

dos níveis básico e superior, ampliem seu olhar crítico no que se

refere à pluralidade de produções relativas à Educação Matemática.

Finalmente, almeja-se que essa coleção inspire reflexões e

provoque transformações na trajetória acadêmica e profissional de

cada um dos leitores.

Boa leitura!


(Membro da Diretoria da SBEM-PA)

C


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7




João Cláudio Brandemberg


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9

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO..................................................................... 11

AS ORIGENS DO CÁLCULO: CONCEPÇÕES NA

ANTIGUIDADE E NA IDADE MÉDIA............................

14

SÉCULO XVII: CONTRIBUIÇÕES QUE

ANTECEDERAM O CÁLCULO.........................................

18

NEWTON X LEIBNIZ: A DESCOBERTA DO

CÁLCULO.............................................................................

25

SÉCULO XIX: O RIGOR MATEMÁTICO VEM À

TONA..................................................................................

35

COMPREENSÕES SOBRE LIMITE: O QUE DIZ A

LITERATURA?......................................................................

41

COMPREENSÕES SOBRE LIMITE A PARTIR DE

QUESTÕES ENVOLVENDO ESSE CONCEITO..............

47

HISTÓRIA & ENSINO DE MATEMÁTICA:

ALGUMAS CONSIDERAÇÕES.........................................

58

CONSIDERAÇÕES FINAIS................................................ 63

REFERÊNCIAS...................................................................... 65

DADOS SOBRE OS AUTORES........................................... 69

Educação Matemática na Amazônia - Coleção – VI... 71


10


11



INTRODUÇÃO

A evolução histórico-conceitual no âmbito do Cálculo se constituiu

como um processo que, desde os primórdios até a efetiva formalização e

sistematização dos conceitos matemáticos envolvidos, foi marcado por uma

pluralidade de conflitos.

Evidenciamos, nesse sentido, que os avanços relativos a essa área

de conhecimento não podem ser atribuídos a uma única figura. Nessa

perspectiva, admitimos que:

[...] raramente – quem sabe nunca – um único

matemático ou cientista foi intitulado por receber o crédito completo por uma inovação ou, nenhuma Era

merece ser chamada de renascença em relação a determinado aspecto cultural. Por trás de qualquer

descoberta ou invenção há, invariavelmente, um desenvolvimento evolucionário de ideias, tornando seu

surgimento possível. A história do cálculo nos fornece

uma notável ilustração desse fato. (BOYER, 2012, p. 299,

traduzido pelos autores).

As origens do Cálculo estiveram centradas nas dificuldades dos

gregos em expressar razões e proporcionalidades de segmentos de retas

de forma numérica. Todavia, foi somente no período medieval que teve

início o estudo quantitativo acerca da variabilidade, fato que possibilitou o


12

desenvolvimento de novos campos de conhecimento, tais como a

geometria analítica e a representação de variáveis, os quais exerceram

grande influência na composição dos algoritmos de Newton e Leibniz que,

por sua vez, constituíram o Cálculo.

Ressaltamos, no entanto, que mesmo com as contribuições de

Newton e Leibniz, não se tinha clareza sobre a base lógica e formal dos

conceitos envolvidos. Na verdade, foi somente quando as definições mais

rigorosas de número e contínuo, no século XIX, que a noção de derivada se

configurou como fundamental e, consequentemente, uma base mais sólida

no âmbito do Cálculo foi estabelecida (MESSIAS, 2013).

Atualmente, as definições dos tópicos de Cálculo, bem como as

operações envolvidas encontram-se tão esclarecidas em livros da área que

as dificuldades referentes ao desenvolvimento histórico dos conceitos

básicos são facilmente esquecidas. Em contrapartida, mais de 2500 anos

de tentativas foram necessárias para o desenvolvimento, sistematização e

formalização do Cálculo. Reiteramos, nesse sentido, a relevância de um

estudo histórico sobre tais conhecimentos, sobretudo, no que tange à sua

construção epistemológica.

Dedicamos esse texto à descrição da construção do conceito de

limite de uma função, conforme a organização a seguir:

➢ As origens do Cálculo: Concepções na Antiguidade e na Idade

Média;

➢ Século XVII: Contribuições que antecederam o Cálculo;

➢ Newton x Leibniz: A descoberta do Cálculo;

➢ Séc. XVIII: Um século rumo à formalização do Cálculo;

➢ Século XIX: o rigor matemático vem à tona;

Em seguida, apresentamos múltiplas interpretações relacionadas ao

conceito de limite, tendo os apontamentos de diferentes autores como


13

suporte para efetivar uma discussão acerca das compreensões destacadas

no decorrer de seção.

Por fim, disponibilizamos algumas atividades envolvendo o referido

objeto matemático e outros adjacentes a ele, de modo a promover uma

reflexão sobre tais atividades a partir de elementos comumente associados

à compreensão sobre limite.

É importante ressaltarmos que o conceito de limite é de

fundamental importância para a construção de uma base mais sólida da

esfera de conhecimentos do Cálculo. O Teorema do Valor Médio, por

exemplo, é aplicável somente para funções contínuas. Sendo assim, antes

de utilizá-lo, é preciso averiguar a continuidade da função em um dado

intervalo e, para tanto, verificar as condições para a existência do limite em

determinado ponto.

Qualquer fragilidade no que tange ao entendimento desse conceito

pode implicar, portanto, em dificuldades na aprendizagem de outros

conteúdos no âmbito do Cálculo, fato que reitera a relevância dos aspectos

discutidos nesse trabalho.


14

Capítulo 1

AS ORIGENS DO CÁLCULO: CONCEPÇÕES NA ANTIGUIDADE E NA IDADE MÉDIA

Um importante resultado para o desenvolvimento do Cálculo na

Antiguidade foi a teoria dos pitagóricos sobre a aplicação de áreas que os

permitia verificar se uma figura delimitada por segmentos de retas era

maior, equivalente ou menor que uma segunda figura. Tal superposição de

uma área sobre a outra pode ser considerada um primeiro passo, na

tentativa de definir de maneira exata essa noção.

Ressaltamos, também, a relevância das discussões relacionadas aos

paradoxos de Zenão1 que, por sua vez, em muito afetaram as concepções

da época, já que envolviam abstrações extrínsecas ao pensamento

matemático grego, tais como a noção de limite, infinito e continuidade.

Tais paradoxos segundo Caraça (1984), têm um valor inestimável,

mostrando-nos que:

[...] o movimento não pode ser compreendido como uma

sucessão de estados particulares; considerá-lo assim,

equivale abordar seu estudo por um método estático que traz consigo o gérmen da infecundidade e da

incompreensão (CARAÇA, 1984, p. 215).

O paradoxo da dicotomia aponta que antes de determinado objeto

percorrer certa distância, deve percorrer metade dela e antes disso, um

quarto dessa distância, mas antes um oitavo da distância e assim

sucessivamente. Dessa maneira, o movimento do objeto não acontecerá,

pois a distância percorrida se aproximará cada vez mais do ponto de

partida. (BARTO, 2004)

1 Referimo-nos, nesse caso, aos paradoxos de Aquiles e a Tartaruga, da Dicotomia, da Flecha, e do Estádio.


15

No paradoxo de Aquiles e a tartaruga, percebemos que ao disputar

uma corrida com uma tartaruga, Aquiles será derrotado se a tartaruga

largar determinada distância à frente. Isso porque:

[...] assim que Aquiles alcançar a posição inicial da tartaruga, ela já se deslocou dali, mesmo que seja pouca

coisa. Quando Aquiles chegar ao local onde a tartaruga devia se encontrar agora, esta já adiantou-se outro

pequeno espaço, e assim por diante, de modo que a tartaruga sempre está à frente de Aquiles, até cruzar

vitoriosa a reta de chegada (BROLEZZI, 1996, p. 22 –

23).

O paradoxo da flecha aponta que ao se disparar uma flecha,

percebemos que ela nunca sairá do lugar, dado que em cada instante a

flecha se encontra imóvel, já que o tempo é constituído por instantes.

(BROLEZZI, 1996)

Finalmente, no paradoxo do estádio, Zenão considera (por absurdo)

que o tempo é constituído por instantes e o espaço por pontos, sendo

ambos indivisíveis. Devemos considerar um estádio – em que os corredores

sejam pontos indivisíveis – e que haja três grupos de cinco corredores, um

parado e os outros dois correndo em sentidos opostos (ver figura 2).

Figura 1: Descrição do Paradoxo do Estádio I

A B C D E

F G H I J →

K L M N O

Fonte: BROLEZZI (1996)

Sendo a velocidade dos corredores tal que percorram a distância

entre dois pontos em um instante, então J irá passar de C para D em um


16

instante, da mesma maneira que K passará de C para B no mesmo instante

(ver figura 3).

Figura 1: Descrição do Paradoxo do Estádio II

A B C D E

F G H I J →

K L M N O

Fonte: BROLEZZI (1996)

Em contrapartida, K passou por J e I, encontrando-se agora sob o

corredor H, mas o tempo necessário para passar por dois pontos são dois

instantes. Dessa maneira, um instante seria igual à dois instantes, o que

seria uma contradição.

Outro grande marco na trajetória de desenvolvimento conceitual do

Cálculo foi o método de Exaustão, o qual nos permite verificar que:

[...] para todo , existe um polígono regular inscrito

em um círculo, cuja área difere da do círculo menos que

. Se a razão das áreas dos dois círculos for e o

quadrado dos raios , então teremos três casos

possíveis: , ou

(CORNU, 1991, p. 160, traduzido pelos

autores)

É importante destacarmos que, apesar de ser equivalente aos

argumentos utilizados na prova de existência do limite, o método de

Exaustão era puramente geométrico, já que não se tinha conhecimento


17

sobre infinito contínuo na Antiguidade. Em se tratando da relação entre

esse método e a noção de limite, Boyer (2012) aponta que:

[...] o método de Exaustão corresponde a um conceito institucional, descrito em termos de figuras mentais da

percepção sensorial de mundo. A noção de limite, por

outro lado, deve ser percebida como um conceito verbal (...) apesar da ideia de limite aparecer na história da

matemática nos tempos antigos, sua formulação rigorosa não aparece em trabalhos antes do século XIX e,

certamente, não no método da Exaustão (BOYER, 2012

p. 36-37, traduzido pelos autores).

Arquimedes de Siracusa (287 – 212 a. C.) teve, mediante seus

resultados, grande importância para as antecipações do Cálculo Diferencial

e Integral. Dentre seus trabalhos, destacamos as aplicações do Método de

Exaustão, o cálculo de volume, centros de gravidade do semicírculo, dentre

outros (MESSIAS, 2013). Todavia, os métodos de Arquimedes não podem

ser considerados uma representação genuína da integração, já que os

aspectos essenciais desse conceito, tais como as noções de variabilidade e

funcionalidade, são extrínsecos a todo pensamento matemático grego.

No período medieval, as principais contribuições para o

desenvolvimento dos conceitos no âmbito do Cálculo estiveram

relacionadas à especulações, do ponto de vista filosófico, sobre infinito,

infinitesimal, continuidade, movimento e variabilidade (BARON, 1985).

Nesse sentido, destacamos os estudos de Richard Suiseth, cujos trabalhos

trouxeram consigo a noção da variabilidade.

A associação do estudo da variação à representação de

coordenadas estabelecidas por Nicole Oresme (1323 – 1382) também teve

grande importância para o avanço da análise matemática. Oresme foi o

primeiro a representar uma taxa de variação instantânea como uma reta,

além de ter se dedicado, assim como outros escolásticos, ao estudo


18

retórico de séries infinitas. Sobre as contribuições medievais no âmbito do

Cálculo, Boyer (2012) aponta que:

[...] foram, sobretudo, na forma de especulações,

largamente sob ponto de vista filosófico com referência ao estudo do movimento a da variabilidade. Essas

aquisições tiveram papel fundamental para o

desenvolvimento de conceitos e métodos do Cálculo, pois conduziram os primeiros descobridores do assunto a

associar a geometria estática dos gregos às representações gráficas de variáveis, bem como à ideia

de continuidade (BOYER, 2012, p. 94, traduzido pelos

autores)

A história do Cálculo foi marcada de incertezas, bem como pelo

empenho de inúmeros estudiosos para a fundamentação de seu campo de

estudo. Apesar de muitas das contribuições para trajetória do

desenvolvimento do Cálculo ser estabelecidas após a Idade Média, este

período é considerado de suma importância, pois preparou terreno para os

estudos posteriores que anteciparam e em muito influenciaram as

descobertas de Newton e Leibniz no século XVII, bem como as

formalizações de Cauchy e Weirstrass no século XIX. Dessa maneira,

dedicamos o tópico a seguir a algumas dessas antecipações.

SÉCULO XVII: CONTRIBUIÇÕES QUE ANTECEDERAM O CÁLCULO

Nos anos que anteciparam as descobertas de Newton e Leibniz

acerca do Cálculo, deparamo-nos com contribuições advindas dos trabalhos

de alguns estudiosos, dentre os quais destacamos: Johann Kepler (1571 –

1630), Boaventura Cavalieri (1598 – 1647), Evangelista Torricelli (1608 –

1647), Pierre de Fermat (1601 – 1665), Gregory de St. Vicent (1584 –

1667), Gilles de Roberval (1602 – 1675), Blaise Pascal (1623 – 1662) e

Isaac Barrow (1630 – 1677), sendo algumas de suas contribuições

descritas a seguir.


19

Dentre os estudos de Kepler, evidenciamos algumas antecipações

de resultados relacionados ao Cálculo Integral. Em seu livro Astronomia

Nova (ver figura 3), há uma computação que se assemelha à notação

moderna (BOYER, 2012).

Figura 3 – Astronomia nova de Keppler

Fonte: Imagens do Google

Entretanto, apesar de alguns estudos que se aproximavam a

resultados do cálculo integral, Kepler não apresentava nenhum tipo de

esclarecimento no que se refere aos conceitos básicos envolvidos. Ainda

assim, convencionamos importante destacar que:

[...] apesar da visão escolástica sobre variação apresentar um papel significativo para as antecipações

do Cálculo, a abordagem estática de Kepler predominou.

Incrementos e decrementos, ao invés de taxa de variação, foram elementos fundamentais que levaram

aos trabalhos de Leibniz e, apresentaram um papel ainda


20

mais importante no Cálculo de Newton (BOYER, 2012, p. 111, tradução nossa).

Cavalieri também teve participação, dentre aqueles que

anteciparam as descobertas do Cálculo. Um de seus resultados, referente à

soma dos cubos dos segmentos de um paralelogramo, é equivalente ao

que atualmente expressamos da seguinte maneira: , sendo

esse o primeiro teorema geral do cálculo.

É claro que Cavalieri não apresentava nenhuma concepção clara

acerca dos conhecimentos em termos de diferencial e integral. Sobre seu

livro Geometria indivisibilibus (ver figura 4), ressaltamos que Cavalieri não

enfatizava os elementos algébricos e aritméticos que levaram, a priori, às

regras de procedimentos do Cálculo e, a posteriori, às definições de

diferencial e integral (BOYER, 2012).

Figura 4 – Geometria Indivisilibus de Cavalieri



21

Dentre os resultados alcançados por Torricelli, destacamos a

aplicação dos métodos de exaustão, dos indivisíveis e a composição de

movimento que são antecipações marcantes da nova análise. Além disso,

Torricelli realizou diversos estudos relacionados aos problemas de

quadraturas e tangentes e, inclusive, reconhecia que um era o inverso do

outro. Em contrapartida, não estabeleceu nenhum algoritmo que pudesse

ser aplicado em todos os casos, haja vista que não via seus métodos como

constituintes de um novo tipo de análise.

Os estudos de Torricelli marcaram um significativo avanço para o

Cálculo, entretanto os conceitos básicos empregados nos mesmos estavam

díspares do ponto de vista moderno e apesar de Torricelli estar ciente do

método dos indivisíveis produzir resultados consonantes com os obtidos

pelos métodos dos antigos, ele estava longe de descobrir que ambos

deveriam ser associados ao conceito de limite.

A participação de Gregory de St. Vincent também foi de suma

importância para a história do Cálculo. Segundo Boyer (2012), há uma

grande probabilidade de ter sido dele a primeira sentença explícita sobre

estar definida, em séries infinitas, uma grandeza a ser chamada de limite

de uma série. Aliado a isso, Gregory também reconheceu que o paradoxo

de Aquiles e a Tartaruga poderia ser explicado em termos de limite de uma

série infinita. No que se refere à sua importância para a história do Cálculo,

verificamos que:

[...] apesar de Gregory de St. Vincent não se expressar com o rigor e clareza dos matemáticos do século XIX,

seu trabalho deve ser guardado como constituindo a

primeira tentativa explícita de formular em um sentido positivo – mesmo que com uma terminologia geométrica

– a doutrina do limite, na qual foi assumida implicitamente por Stevin e Valerio e também,

provavelmente, por Arquimedes em seu método da

exaustão (BOYER, 2012, p. 138, traduzido pelos

autores).


22

Os estudos sobre infinitesimais foram bastante difundidos no século

XVII e, nesse aspecto, Gilles de Roberval não foi exceção. Em suas

proposições sobre indivisíveis, são reconhecidas antecipações do Cálculo

Integral, sendo algumas delas equivalente à determinação de integrais

definidas de funções algébricas e trigonométricas.

O equivalente do teorema foi alcançado por

Roberval que, ao contrário de Fermat e Torricelli, não consegui chegar aos

resultados para outros valores de . Apesar disso, podemos dizer que seus

trabalhos são caracterizados pela flexibilidade e pela utilização de diversos

elementos infinitesimais, tais como triângulos, paralelogramos,

paralelepípedos, cilindros e conchas cilíndricas concêntricas, sendo a ideia

de limites implícita, escondida sob a terminologia do método de indivisíveis

de Roberval (BOYER, 2012).

No que se refere à Blaise Pascal, destacamos seu traité des sinus du

quart de cercle, no qual determinou a soma dos senos de uma parte de

uma curva, ou seja, a área abaixo dela, sendo essa uma considerável

observação. Nesse aspecto, verificamos que se Pascal tivesse se dedicado

mais em considerações aritméticas e nos problemas das tangentes, ele

poderia ter antecipado o conceito de limite e descoberto sua importância

para os problemas de tangentes e quadraturas. Entretanto, Boyer (2012)

evidencia que:

[...] sua subestimação no que se refere à importância

dos pontos de vista algébrico e analítico podem ter sido responsáveis não apenas por sua inabilidade de definir o

conceito central e unificador do Cálculo integral – o de limite de uma soma – mas também pela falha ao

reconhecer a natureza inversa dos problemas de

quadratura e tangentes (BOYER, p. 152, traduzido pelos

autores)


23

O método de determinar máximos e mínimos de Pierre de Fermat,

publicado em 1638, foi também um dos marcos na história do Cálculo. Em

seus estudos, dados um segmento de reta de comprimento e uma

distância a partir de uma das extremidades desse segmento , a área

nos segmentos e será . Se, ao invés da distância

for considerada uma distância , a área seria

Dessa maneira, para a área máxima os dois

valores serão iguais e os pontos e coincidirão. Consequentemente,

definindo dois valores de iguais e fazendo desaparecer, o resultado

será .

Na verdade, mesmo sem conhecer a noção de limite, ele igualava

( )f x e ( )f x E+ e percebia que os valores eram quase iguais. Em seguida,

dividia tudo por E e resolvia E = 0, encontrando assim as abscissas dos

pontos máximo e mínimo da função. Em outras palavras, fazia

0

( ) ( )limE

f x E f x

E→

+ − e igualava a zero. Nesse aspecto, Boyer (1959)

destaca que o procedimento aplicado por Fermat é praticamente aquele

atualmente utilizado no cálculo diferencial, exceto que é substituído por

(ou ocasionalmente ).

Os trabalhos de Isaac Barrow também tiveram grande relevância

para história do Cálculo. Seus resultados incluem inúmeros teoremas sobre

os problemas de tangentes e quadraturas, além do reconhecimento acerca

do significado da relação entre esses problemas. Em sua obra Lectiones

Geometricae, de 1670, ele estabeleceu de forma explicita, que, em certo

sentido, existe uma reciprocidade entre quadraturas de áreas e

determinação de tangentes (ESTRADA et al, 2000).


24

Figura 5 – Lectiones Geometricae de Barrow


É importante ressaltar que as proposições de Barrow eram dispostas

em termos de construções geométricas. Caso elas tivessem sido feitas em

termos do Cálculo, seriam equivalentes a inúmeras regras e teoremas da

diferenciação e integração, inclusive relativas ao Teorema Fundamental do

Cálculo (MESSIAS, 2013).


25

Cabe comentar que Barrow foi professor de Newton e, portanto, o

mesmo teve acesso a suas descobertas.

Newton estudou no Trinity College de Cambridge, foi aluno de Barrow (a quem sucedeu, em 1669, como

professor de Matemática daquela universidade) e sofreu

as influências de suas Lectiones Geometricae. Além disso, o próprio Newton reconheceu ter sido influenciado

pela Arithmetica Infinitorum de Wallis (ESTRADA et al,

2000, p. 570)

Podemos inferir que, dentre os estudiosos que foram destacados

nesse tópico, além de outros que possam ter antecipado as descobertas do

Cálculo, Barrow e Fermat foram os que mais se aproximaram da nova

análise. Segundo Boyer (2012):

[...] Fermat inventou métodos analíticos equivalentes a ambos, diferenciação e integração, mas aparentemente

não percebeu o significado da inter-relação entre esses problemas. Por outro lado, Barrow descobriu a relação

fundamental inversa, mas por conta de não ter desenvolvido profundamente as possibilidades de

representação analítica das operações envolvidas, ele era

incapaz de fazer um uso efetivo disso (p. 184, traduzido

pelos autores).

Conforme evidenciamos nesse tópico, foram inúmeros os esforços

que levaram ao desenvolvimento do cálculo e, frente às contribuições dos

estudiosos envolvidos com essa nova análise, seria inevitável – cedo ou

tarde – a descoberta desse campo de estudo. Essa trajetória foi marcada,

sobretudo, pelos estudos de Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibiniz,

cujas observações acerca do Cálculo são apresentadas no tópico seguinte.


26

NEWTON X LEIBNIZ: A DESCOBERTA DO CÁLCULO

A descoberta do Cálculo é atribuída a Isaac Newton (1642 – 1727) e

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 – 1716), em virtude de terem inventado –

independente um do outro – algoritmos universalmente aplicáveis que, em

sua essência, assemelham-se com aqueles empregados atualmente no

Cálculo, cujas concepções de derivada e integral se encontram logicamente

desenvolvidas.

As primeiras manifestações de Newton sobre o Cálculo constam em

seu De analysi per aequationes numero terminorum infinitas (BOYER,

2012).

Figura 6 – De Analysi de Issac Newton


No referido estudo, ele não se expressava explicitamente em termos

da ideia e/ou notação fluxionária, mas encontrou quadraturas de curvas

baseando-se nas noções geométrica e analítica de infinitamente pequeno,


27

conforme as seguintes considerações que caracterizaram um passo

introdutório ao Cálculo Diferencial e Integral:

Seja uma curva esboçada tal que para a abscissa e

para a ordenada a área é . Seja o

momento ou crescimento infinitesimal na abscissa,

seguindo a notação de James Gregory, igual a . A nova

abscissa será e a área mencionada

. Se nessa expressão

aplicarmos o teorema binomial, dividindo tudo por , e

depois abandonar os termos que ainda contenham , o

resultado será . Ou seja, se a área é dada por

, a curva será . Reciprocamente,

se a curva é , a área será

(BOYER, 2012, p. 191, traduzido pelos autores)

Em Methodus fluxionum et serierum infinitarum, seu segundo

trabalho contendo aspectos referente ao Cálculo, Newton estabeleceu os

conceitos de fluxões, que seria a taxa de geração, e de fluentes constituída

pela quantidade gerada. Segundo Boyer (2012), esse livro se caracteriza

por expor o problema fundamental do Cálculo – dada uma relação de

quantidade, encontrar a relação do fluxão dessa quantidade e vice-versa.

Como exemplo, apresentamos a seguir:

Se é um intervalo de tempo infinitamente pequeno,

então e serão incrementos, ou momentos,

infinitamente pequenos das seguintes quantidades e .

Em , então, substitui-se em e em

, expande-se, como anteriormente pelo teorema

binomial, cancela-se os termos que não contém e se

divide tudo por . Como, aliás, foi considerado

infinitamente pequeno, os termos que o contém - isto é,

os momentos de quantidades – pode ser considerado como zero em comparação com os outros, e devem ser


28

abandonados (BOYER, 2012, p. 194 - 195, traduzido

pelos autores).

Figura 7 – Método de Fluxões e Séries Infinitesimais de Isaac

Newton


É claro que o resultado é o mesmo obtido por Newton

em seu De analysi, sendo que sem o uso do conceito de fluxão.

Evidenciamos, portanto, que a introdução desse conceito não foi uma

modificação essencial do trabalho anteriormente apresentado por ele. Em

seu De quadratura curvarum, Newton demonstrou mais clareza no que


29

concerne aos elementos essenciais da derivada, enfatizando a ideia de

função de uma variável, a formação da relação entre as taxas, a variável

independente e a função e a determinação do limite dessa relação quando

as taxas se aproximam de zero.

No que concerne à noção de limite, Newton apresentou a seguinte

definição:

Quantidades, e razões de quantidade, os quais em qualquer tempo finito convergem continuamente á

igualdade, e antes do fim daquele tempo se aproximam cada vez mais uma da outra que, finalmente, tornam-se

iguais (BOYER, 2012, p. 197, traduzido pelos autores).

Em linhas gerais, podemos dizer que as manifestações de Newton

sobre a nova análise caracterizam-se por três interpretações: Uma em

termos de infinitesimais, conforme apresentado em seu De analysi; outra

em termos de razões ou limites, conforme destacado em seu De

quadratura e, finalmente, aquela em termos de fluxões, apresentada em

seu Methodus fluxionum (BOYER, 1954).

Gottfried Wilhelm Leibiniz – independente das considerações de

Newton sobre a nova análise – desenvolveu seu método para determinar

somas e diferenças de infinitesimais, caracterizando-o por uma notação

própria: para as “somas” (integral de , conforme chamou) e

para as “diferenças”.

Dentre as manifestações de Leibniz sobre o Cálculo, destacamos

que – assumindo e como sendo e , respectivamente –

ele evidenciou que e . Além disso, ao

perceber que a “diferença” de seria e, sabendo que as “somas”

eram o inverso das “diferenças”, determinou que . No que

se refere à definição de diferencial de primeira ordem, verificamos que:


30

[...] Ele afirmou que a diferencial da abscissa é uma

quantidade arbitrária, e que a diferencial da ordenada

é definida como a quantidade, na qual é para como

a razão da ordenada para a subtangente (BOYER, 2012,

p. 210, traduzido pelos autores).

Sobre a ideia de limite, Leibniz a justificava a partir da lei de

continuidade. Sabemos, entretanto, que a lei de continuidade deve ser

definida em termos de limites o que nos leva a perceber que sua ideia de

contínuo era vaga, tal como na antiguidade. Além disso, evidenciamos que

somente depois do desenvolvimento do conceito de número real foi

possível interpretar tanto o cálculo de Newton quanto o de Leibniz em

termos de limites, ou seja, os inventores do Cálculo, tal como seus

antecessores, não conseguiram explicar a ideia de limites pertinentemente.

Atribuímos à notação de Leibniz um papel de suma importância

para a base lógica do Cálculo, sendo mantida a sua utilização até os dias

atuais. Em contrapartida, esse sistema de notação induziu Leibniz ao erro

no que concerne à formulação rigorosa desse campo de estudo, haja vista

que o fez pensar as relações diferenciais como quocientes, e suas integrais,

não como valores limitantes de determinadas funções características, mas

como somas.

Finalmente, em se tratando dos estudos de Newton e Leibniz,

concordamos com Boyer (2012) ao afirmar que:

Newton apresentou três interpretações de seu

procedimento, e apesar de indicar a preferência pela noção de razões iniciais e finais como a mais rigorosa, ele

não elaborou nenhuma em um sistema lógico. Leibniz apresentou uma falta de decisão similar, pois embora

tenha empregado o método integral por completo, ele

vacilou em sua atitude à respeito das diferenciais, considerando – as como zeros qualitativos, e como

variáveis auxiliares (BOYER, 2012, p. 219, tradução nossa).


31

As abordagens de Newton e Leibniz, portanto, foram bem diferentes

quanto a forma e influências. Newton apresentou uma visão cinemática do

Cálculo, ou seja, sua derivada foi interpretada como uma taxa de variação,

enquanto Leibniz considerou x e y variando, com variações muito pequenas

e em sequência, onde e , seriam as diferenças entre valores

consecutivos destas sequências. (BRANDEMBERG, 2017a).

Baron (1985) destacou em seu trabalho que as principais diferenças

entre o Cálculo de Newton e Leibniz residem, sobretudo:

(i) Quanto às suas concepções sobre quantidades variáveis:

Enquanto Newton considerou as variáveis dependentes do

tempo, Leibniz as entendia ‘percorrendo sequências de

valores infinitamente próximos’ (BARON, 1985, p. 70);

(ii) Quanto aos conceitos fundamentais: Newton partiu de uma

concepção cinemática, na qual sugeriu a velocidade ou a

taxa de mudança de variável como conceito fundamental,

isto é, a fluxão; Leibniz partia da ideia de quantidades

infinitamente pequenas, na qual a diferencial era entendida

como a ‘diferença de dois valores sucessivos em uma

sequência’ (BARON, 1985, p. 71);

(iii) Quanto à notação: Leibniz usou letras como símbolos para a

diferenciação e integração, elucidando seus papéis como

operadores. Já Newton, trabalhou com pontos para fluxões,

porém fez pouco uso de qualquer símbolo para a integração;

(iv) Quanto às quantidades infinitamente pequenas: Leibiniz

utilizou plenamente essa ideia em seus estudos. Newton,

entretanto, hesitou em utilizá-las, uma vez que considerava

seu cálculo independente dessa noção, sendo a fluxão de

Newton uma velocidade finita, e não uma quantidade

infinitamente pequena (BARON, 1985).


32

Entendemos, de todo modo, que seja importante destacar que os

trabalhos de ambos, Newton e Leibniz, apresentaram procedimentos

essenciais do Cálculo. Isso porque, conforme destacado por Baron (1985):

(i) Os métodos infinitesimais de seus antecessores eram

restritos, uma vez que foram aplicados, na maioria das

vezes, eram aplicáveis a classes específicas de curvas. Já

Newton e Leibiniz apresentaram um conjunto de métodos

que os permitiam resolver problemas sobre curvas,

independente da natureza delas;

(ii) A coerência dos estudos de Newton e Leibniz deu-se,

principalmente, pelo reconhecimento do Teorema

Fundamental do Cálculo, ou seja, da relação inversa entre

diferenciação e integração;

(iii) Newton e Leibniz utilizaram um sistema de notação e

símbolos por meio dos quais era possível aplicar

analiticamente seus métodos.

Todavia, a clareza de algumas de suas contribuições foram somente

estabelecidas quase um século depois e são essas manifestações

posteriores, relacionadas às concepções da nova análise, que destacaremos

no tópico subsequente.

SÉC. XVIII: UM SÉCULO RUMO À FORMALIZAÇÃO DO CÁLCULO

Conforme mencionamos anteriormente, Newton e Leibniz tiveram

um papel importante para o Cálculo, pois ambos foram os primeiros a

desenvolver algoritmos universalmente aplicáveis, cuja essência

assemelha-se aos métodos utilizados atualmente, sendo assim, o título de

inventores do Cálculo lhes é dado com incontestável coerência. Em

contrapartida, sabemos que as manifestações tanto de Newton quanto de

Leibniz acerca do Cálculo não apresentavam rigor e clareza em suas


33

definições e, portanto, havia a necessidade de buscar esse rigor

matemático para esclarecer as concepções envolvidas na nova análise.

Dentre os que se dedicaram à tentativa de fundamentação teórica

do Cálculo, destacamos: Benjamin Robins (1707 – 1751), Leonhard Euler

(1707 – 1783) e Jean le Rond d’Alembert (1717 – 1783), cujas

considerações apresentamos a seguir.

As manifestações de Benjamin Robins sobre o cálculo constam em

alguns artigos publicados em periódicos da época, como por exemplo, o de

título A discourse concerning the nature and certainty of Sir Isaac Newton’s

methods of fluxions and of prime and ultimate ratios (BOYER, 2012).

Dentre suas considerações, verificamos que ele distinguiu somente duas

interpretações concernentes ao trabalho de Newton, sendo uma

relacionada às fluxões e outra às razões iniciais e finais. Estes são,

respectivamente, caracterizados por facilitar as demonstrações e pelo rigor

matemático. No que concerne às suas considerações sobre limites,

verificamos que:

(...) ele reconheceu que a frase ‘a razão final de

quantidades desaparecidas’ era uma expressão figurativa, referindo – se não à última razão, mas à ‘uma

quantidade fixa na qual uma quantidade variável, mediante um contínuo aumento ou diminuição, pode

continuamente se aproximar,... munida da quantidade

variável essa aproximação pode diferir uma da outra tão pouco quanto qualquer quantidade possa ser atribuída’,...

‘apesar de nunca poderem ser absolutamente iguais’

(BOYER, 2012, p. 230, traduzido pelos autores).

Leonhard Euler, por ter sido um dos primeiros matemáticos a ter

dado notoriedade ao conceito de função, ocupa posição de destaque

dentre os que almejavam pela formalização da nova análise, sendo

responsável pelo estudo e classificação sistemáticos relacionados às

funções elementares, bem como suas diferenciais e integrais. Entretanto,

segundo Boyer (2012), o desenvolvimento do cálculo no decorrer do século

XVIII se caracterizou por uma visão de funcionalidade atrelada não a um

reconhecimento conceitual de relação, mas somente como uma


34

representação formal, na qual a notação de Leibniz se encontrava

perfeitamente adaptada.

No que diz respeito à visão de Euler sobre os princípios do Cálculo,

afiançamos, mediante as considerações de Boyer (2012), que:

[...] como Euler se restringiu às funções elementares, ele

não se envolveu com as sutis dificuldades conectadas às

noções de infinito e continuidade (...). Apesar de suas visões sobre os princípios fundamentais do cálculo não

apresentarem precisão e rigor, apresentada pela matemática no século seguinte, a tendência formalística

que seu trabalho inaugurou, estava por libertar a nova análise da corrente geométrica. Além de a interpretação

aritmética ter sido mais aceita, o que levou ao

esclarecimento do cálculo mediante o conceito de limite, no qual ele mesmo (Euler) negligenciou (p. 246,


Jean Ron d’Alembert reconheceu a importância da nova análise e,

na tentativa de tornar o conceito de limite – no qual a acreditava ser a

base do cálculo diferencial – mais compreensível, apresentou a seguinte

definição em um artigo para a Encyclopédie methodique:

Diz que uma grandeza é o limite de outra grandeza

quando a segunda pode aproximar-se da primeira tanto quanto se queira, embora a primeira grandeza nunca

possa exceder a grandeza da qual ela se aproxima; de

modo que a diferença entre tal qual quantidade e seu limite é absolutamente indeterminável (SIERPINSKA,

1985, p. 49, traduzido pelos autores).

Em contrapartida, a ideologia geométrica de D’Alembert influenciou

na falta de uma fraseologia clara em sua definição de limite. É possível

ilustrar esse fato ao compararmos sua terminologia à moderna.

Atualmente, não falamos em limite de uma variável, mas sim sobre o limite

de uma função quando a variável independente tende a determinado valor,


35

enquanto que para D’Alembert, o limite é claramente tratado como uma

fronteira.

De qualquer maneira, a atitude de D’Alembert e a de muitos outros

resultou no estabelecimento de uma nova análise, em que o conceito de

limite se constituiu como fundamental, trazendo à tona a formulação

rigorosa do Cálculo.

Apresentamos no tópico a seguir as importantes manifestações

nesse aspecto.

SÉCULO XIX: O RIGOR MATEMÁTICO VEM À TONA

O Cálculo foi descoberto no século XVII por Newton e Leibniz,

entretanto, somente no século XIX podemos dizer que esse campo de

estudo foi definitivamente fundamentado, conforme o rigor matemático

característico deste período. Destacaremos nesse tópico as contribuições

advindas dos trabalhos de Bernhard Bolzano (1781 – 1848), A. L. Cauchy

(1789 – 1857) e Karl Weirstrass (1815 – 1897) que foram de extrema

importância para que, finalmente, a fundamentação conceitual da nova

análise fosse estabelecida.

No que concerne às contribuições de Bolzano, podemos dizer que

ele foi o primeiro a definir continuidade de função a partir do conceito de

limite, definindo uma função “como contínua em determinado

intervalo se por qualquer valor de nesse intervalo a

diferença se torna e permanece menor que qualquer

quantidade dada para um suficientemente pequeno, sendo positivo ou

negativo” (BOYER, 2012, p. 268, tradução nossa). Verificamos ainda que:

Ele definiu a derivada de para qualquer valor de

como a quantidade , na qual a razão se

aproxima indefinidamente, ou tanto quanto queiramos, a

medida que se aproxima de zero, sendo positivo

ou negativo (BOYER, 2012, p. 269, tradução nossa).


36

Cauchy expôs em seus trabalhos – Cours d’analyse de L’Êcole

Polytechnique, Résumé des leçons sur le calcul infinitesimal e Leçons sur le

calcul différentiel – uma incontestável contribuição para o Cálculo (ver a

figura 3).

Figura 8 – Cours D’Analyse de Cauchy


Dentre as manifestações de Cauchy acerca da fundamentação

conceitual da nova análise, apresentamos a seguir a definição de limite –

livre das intuições geométricas – apresentada em seu Cours d’analyse:

[...] Quando os valores sucessivamente atribuídos a uma

variável aproximam-se indefinidamente de um valor fixo, de modo que eles finalmente difiram deste valor tão


37

pouco quanto quisermos, esse último valor é chamado o limite de todos os outros. Assim, por exemplo, a área do

círculo é o limite para qual convergem as áreas de todos os polígonos regulares inscritos, se o número de seus

lados aumentar cada vez mais e o ângulo entre o eixo x e o raio vetor, traçado do centro de uma hipérbole a um

ponto na curva que se mover cada vez mais para longe

do centro tem como limite o ângulo entre esse mesmo

eixo e a assíntota [...] (BARON, 1985, p. 46).

Além da definição de limite destacada anteriormente, Cauchy

apresentou a definição de um infinitesimal como sendo de ordem a

respeito de um infinitesimal se e , tal

que e estabeleceu ainda a definição de derivada, conforme a seguir:

Seja a função . Atribui-se a variável um incremento

; e forma-se a razão . O limite

dessa razão (se existir) quando se aproxima de zero ele

representou como e chamou de derivada de em

relação à (BOYER, 2012, p. 275, traduzido pelos

autores).

As contribuições de Cauchy se estendem à noção de continuidade, a

qual definiu a partir da ideia de limite, apresentando uma precisão

matemática muito mais evidente que as definições expostas até então.

Para ele, uma função é contínua se, entre os limites, um incremento

infinitamente pequeno na variável sempre produz um incremento

infinitamente pequeno na função.

Ainda sobre as contribuições de Cauchy para a nova análise,

evidenciamos que a partir de sua definição precisa de limite, ele construiu

sua teoria sobre continuidade, séries infinitas, derivadas, diferenciais e

integrais, sendo essa trajetória rumo à formalização do Cálculo também

seguida, com notável sucesso, por Karl Weierstrass na segunda metade do

século XIX.


38

No que concerne às manifestações de Weierstrass sobre a nova

análise, verificamos uma notável clareza e rigor nas definições

apresentadas. Sobre a noção de continuidade, ele definiu uma função

contínua em determinado intervalo se, para qualquer valor neste

intervalo e para um número positivo arbitrariamente pequeno , for

possível encontrar um intervalo próximo de tal que para todos os

valores nesse intervalo a diferença for menor em valor

absoluto que . Além disso, definiu limite, conforme a seguir:

O número é o limite da função , tal que se,

dado qualquer número arbitrariamente pequeno , outro

número possa ser encontrado tal que para todos os

valores de diferindo de por menos que , o valor de

diferir de por menos que (BOYER, 2012, p. 287,


Diante das considerações de Bolzano e, principalmente, de Cauchy

e Weierstrass podemos dizer que a nova análise – depois de instituída por

Newton e Leibniz no século XVII – atingiu seu rigor máximo, tal como os

gregos jamais sonharam em alcançar nos primórdios das concepções

envolvidas nesse campo de conhecimento.

Reiteramos, finalmente, que no que concerne ao conhecimento da

história do Cálculo interpretamos que:

A familiaridade não apenas com os elementos do cálculo, mas também com a história de seu desenvolvimento,

servirá para trazer à tona que a questão não está voltada

apenas aos fundadores desse conhecimento – Weierstrass e Cauchy, ou Newton e Leibniz, ou Barrow e

Fermat, ou Cavalieri e Kepler, ou Arquimedes e Eudoxo – mas principalmente em que sentido cada um desses

homens podem ser apontados como responsáveis pela

nova análise (BOYER, 2012, p. 301, traduzido pelos autores).


39

Na seção subsequente, efetivamos uma discussão relativa à

múltiplas compreensões sobre limite de uma função, tendo em vista os

apontamentos de diferentes pesquisas que contemplaram a aprendizagem

desse conceito como objeto de estudo.


40


41

Capítulo 2

COMPREENSÕES SOBRE LIMITE: O QUE DIZ A LITERATURA?

Ao longo das últimas décadas, os conceitos de limite têm se

configurado como objetos de estudo em várias pesquisas no âmbito da

educação matemática, dadas as expressivas dificuldades inerentes à sua

compreensão. Dedicamos esse tópico à discussão sobre a multiplicidade

dos conhecimentos que estudantes investigados em diferentes pesquisas

têm mobilizado a respeito desses conceitos.

No que concerne às expressivas dificuldades relativas ao processo

de apreensão do conceito de limite, por exemplo, evidenciamos em Cornu

(1983) e Juter (2008), que o (não) entendimento dos elementos que

constituem o campo conceitual dessa noção – tais como o conhecimento

sobre sequências, séries, bem como as ideias de infinitamente pequeno,

infinitamente grande e função – influenciam na formação de imagens

conceituais nem sempre coerentes sobre limites.

Ressaltamos, em acordo com Cornu (1991), que o entendimento da

noção de limite depende tanto da riqueza e complexidade do conceito

quanto de aspectos cognitivos que não podem ser gerados puramente a

partir de sua definição matemática, uma vez que a ideia de aproximação

encontrada usualmente por meio de uma concepção dinâmica e a maneira

como o conceito é colocado em prática para resolver problemas não estão

exatamente ligados à sua definição formal.

Os próprios termos ‘limite’ e ‘tender para’, segundo Cornu (1983,

1991), conduzem os estudantes a interpretações contraditórias do

conceito, pautadas na ideia de aproximação em torno de um valor de ,

sem alcançá-lo ou ultrapassá-lo. Nesse sentido, os estudantes costumam


42

enfatizar essa aproximação no eixo das abscissas e não em torno de um

valor limite no eixo das ordenadas.

Tall e Vinner (1981) reforçaram que a utilização de expressões

como ‘se aproxima de’, ‘tende a’ ou ‘chega perto de’ conduz os alunos a

uma percepção de que o valor de em determinado ponto sempre difere

do valor do limite de nesse ponto, isto é, . A ideia de

aproximar-se de um valor no eixo também foi mobilizada pelos sujeitos

investigados por Swinyard (2011) e em Przenioslo (2004). Nesses casos,

observamos que o conceito de limite foi atrelado a uma compreensão de

vizinhança ao longo dos intervalos , ) e .

Outros estudos – tais como o de Nascimento (2003), Jordaan

(2005), Juter (2008), Sarvestani (2011), Denbel (2014) e Messias e

Brandemberg (2015) – também apontaram em suas análises que os

estudantes costumam mobilizar elementos que caracterizam o limite como

sendo inalcançável e/ou intransponível (ideia de fronteira), uma vez que

partem de uma compreensão dinâmica, na qual a função se move em

direção a um ponto qualquer sem, de fato, atingi-lo. Em contrapartida, se

tomarmos como exemplo a função , veremos que

e que esse valor de é ‘alcançado’ ou ‘ultrapassado’ várias

vezes no eixo das ordenadas

Outra mobilização comumente atrelada à ideia de movimento dada

a função é a de que o valor do limite pode ser alcançado. Amatangelo

(2013) observou, nesse sentido, que os estudantes consideram que o valor

da função em determinado ponto é sempre igual ao valor do limite nesse

ponto, ou seja, .

A prática excessiva do cálculo de limites a partir do método de

substituição, como por exemplo, acontece no caso das funções polinomiais,

contribui para esse tipo de interpretação que, para Amatangelo (2013),

configura-se como uma concepção potencialmente problemática, uma vez


43

que pode levar os estudantes ao erro, dependendo da tarefa matemática

que lhe for proposta. Cinestav e Lara-Chaves (1999), Cornu (1983),

Przenioslo (2004) e Juter (2008) também apontaram mobilizações

semelhantes a essa em seus estudos. Juter (2008) ressaltou ainda que

muitos estudantes acabam, inclusive, por não saber diferenciar ) de

.

Cornu (1991), Zuchi (2005), Juter (2008), Rodriguez (2009) e Oh

(2014) ressaltaram também que a ‘passagem’ da noção intuitiva para a

definição formal, a relação entre e , e os quantificadores envolvidos na

definição têm se configurado como um fator de conflito em potencial ao

longo do processo de aprendizagem do conceito de limite. Isso porque,

poucos estudantes conseguem correlacionar a definição formal com o

dinamismo comumente utilizado para explicar que uma função tem limite

quando se a distância entre as imagens da função e podem ser

arbitrariamente pequenas e os valores de , cada vez mais próximos de .

Sobre as condições para que o limite exista em determinado ponto,

Nascimento (2003), Nair (2009), Messias e Brandemberg (2016) apontaram

que muitos estudantes evocam que indeterminações implicam na não

existência do limite. Outras mobilizações, tais como a existência do

condicionada ao fato de ou ainda à continuidade em

também se fizeram presente em diferentes pesquisas2. Nessa

perspectiva, ‘buracos’, ‘saltos’ ou ‘quebras’ no gráfico de uma função

podem levar a esse tipo de evocação.

O cálculo de limite de funções escritas em mais de uma sentença

tem se configurado como um fator de conflito em potencial, conforme

destacado em Nascimento (2003), Maharaj (2010), Mutlu e Aydin (2013) e

Brandemberg e Messias (2016). É comum, nesse caso, que os estudantes

2 Tais como Cinestav e Lara-Chaves (1999), Przenioslo (2004), Jordaan (2005), Juter (2008), Karatas et al. (2011), Sarvestani (2011), Amatangelo (2013), Denbel (2014) e Messias e Brandemberg (2015, 2016).


44

tenham dificuldades em calcular limites, ou ainda, que considerem que este

não exista em determinado ponto.

Apresentamos nos quadros subsequentes uma síntese acerca das

diferentes compreensões sobre o conceito de limite enunciada nessa seção.

QUADRO 1 – Compreensões sobre o Conceito de Limite

Tipo de compreensão Quem discutiu?

Concepção dinâmica: atribui-se

movimento à função; aproximação em

torno de ;

Tall e Vinner (1981); Cornu (1983); Cornu (1991); Cottril et al (1996);

Przenioslo (2004); Sarvestani (2011); Swinyard(2011); Amatangelo (2013);

Denbel (2014)

Limite é inalcançável Tall e Vinner (1981); Cornu (1983); Cornu (1991); Cinestav; Lara-Chaves (1999); Nascimento (2003); Jordaan

(2005); Juter (2008);

Limite da função em um ponto é sempre igual ao valor da função nesse

ponto (limite alcançável)

Cornu (1991); Cinestav e Lara-Chaves (1999); Przenioslo (2004); Juter (2008);

Amatangelo (2013)

Ideia de intervalo; vizinhança em torno de um ponto pertencente a um

intervalo

Cornu (1991); Przenioslo (2004)

Discussões sobre o que épsilon e delta representam na definição de limite

Zuchi (2005); Juter (2008); Rodriguez (2009); Oh (2014)


45

Indeterminações implicam na não existência do limite

Nascimento (2003); Nair (2009); Messias e Brandemberg (2016)

Existência do limite no ponto condicionada ao fato desse ponto pertencer ao domínio da função

Przenioslo (2004); Jordaan (2005); Karatas et al. (2011); Denbel (2014);

Messias e Brandemberg (2015)

Existência do limite condicionada à continuidade da função

Cinestav e Lara-Chaves (1999); Przenioslo (2004); Jordaan (2005); Juter (2008); Sarvestani (2011);

Swinyard (2011); Amatangelo (2013);. Denbel (2014); Messias e Brandemberg

(2015; 2016)

Dificuldades em calcular limites de funções escritas em mais de uma

sentença/limite não existe

Nascimento (2003); Mutlu e Aydin (2013); Brandemberg e Messias (2016)

Investigação à direita e à esquerda de um ponto dado é suficiente para

verificar a existência do limite

Nascimento (2003); Mutlu e Aydin (2013)

Fonte: Elaborado pelos autores.

Observamos, mediante a síntese apresentada no quadro 1, que o

conhecimento de estudantes sobre limite é pautado, sobretudo, em

interpretações dinâmicas desse conceito. Além disso, a questão da

existência do limite tem se configurado como um fator de conflito em

potencial para estudantes de Cálculo.


46

Vejamos, a seguir, algumas atividades envolvendo, sobretudo, o

conceito de limite de uma função, bem como suas possíveis relações com

outros conhecimentos no âmbito do Cálculo.


47

COMPREENSÕES SOBRE LIMITE A PARTIR DE QUESTÕES ENVOLVENDO ESSE CONCEITO

A dualidade estático/dinâmico permeia todo o processo de

compreensão do conceito de limite e encontra-se presente, sobretudo, na

dificuldade dos estudantes em afirmar se uma função pode ou não alcançar

o valor do limite. Como exemplo, consideremos as questões 1 e 2, a seguir:

1ª questão: O número é menor ou igual a 1? E o

?

Para Tall e Vinner (1981) e Messias (2013), é comum que

estudantes afirmem que e que

. Isso porque, diferentes elementos podem

estar vinculados à compreensão de um indivíduo sobre um conceito. E,

nesse caso, a ideia de que “existem infinitos números entre 0,99999 e 1”

ou que “o limite da sequência se aproxima de 1, porém nunca o alcança”,

ou ainda, que ‘limite fica tão próximo de 1 que o alcança”. Tais

interpretações estão intimamente ligadas à ideia de limite (in)alcançável

(TALL; VINNER, 1987; AMATANGELO, 2013; MESSIAS, 2018).

Para responder essa questão, consideremos as informações do

quadro 1:


48

Quadro 1: Considerações sobre o Exemplo 1

2ª questão: O paradoxo da dicotomia aponta que antes de determinado

objeto percorrer qualquer distância, este deve percorrer metade dela e,

antes disso, um quarto dessa distância, mas previamente, um oitavo, e

assim sucessivamente... Nessas condições, temos que o argumento de que

o movimento do objeto não aconteceria, uma vez que a distância

percorrida se aproximaria cada vez mais do ponto de partida (BARTO,

2004; MESSIAS; BRANDEMBERG, 2013).

Fialho e Soares (2008) interpretaram e analisaram os processos

infinitos implícitos nas concepções filosóficas desse paradoxo. Vejamos, no

quadro 2, a interpretação desses autores, na perspectiva da análise

matemática, para o problema no quadro 2:

Observe que ,ou seja, a referida dízima

periódica pode ser expressa como uma soma infinita que, por sua vez, é igual

ao limite das somas parciais. Desse modo, temos que:

Logo:


49

Quadro 2 – Interpretação do Paradoxo da Dicotomia

3ª questão: Observe o gráfico e, em seguida, avalie a existência do limite

quando .

1. Considere que seja a distância percorrida num tempo finito ;

2. Observe que, para percorrer , é preciso percorrer , , ...

3. A distância pode ser obtida, portanto, a partir da soma dos infinitos ‘pedaços’ a serem

percorridos (ver figura a seguir):

4. Observe que, tendo em vista o argumento do paradoxo da dicotomia, obtemos o seguinte resultado:

5. Observe que: Para percorrer , é necessário um tempo ; Para será gasto , e assim

sucessivamente. Ou seja, o raciocínio é análogo ao descrito em (4); 6. As séries:

, nos levam à conclusão de que é possível percorrer infinitas

distâncias num tempo limitado.


50

Mediante o gráfico representado acima, é possível levar um

indivíduo a refletir acerca dos aspectos que precisam ser considerados para

que o limite exista em determinado ponto. É importante ressaltar que

muitos estudantes condicionam a existência do limite ao domínio da função

e/ou a continuidade no ponto (PRZENIOSLO, 2004; JUTER, 2008;

MESSIAS; BRANDEMBERG, 2015, 2016; MESSIAS, 2018). Tais

compreensões não estão em acordo com a teoria formal, porém, dependo

da situação matemática, elas podem levar um indivíduo a solucionar um

problema corretamente, ainda que por meio de justificativas incoerentes.

Como exemplo, um sujeito pode afirmar que o existe porque

e não porque .

O cálculo de limite de funções escritas em mais de uma sentença

tem se configurado como um fator de conflito em potencial, conforme

destacado em Nascimento (2003), Maharaj (2010), Mutlu e Aydin (2013) e

Brandemberg e Messias (2016). É comum, nesse caso, que os estudantes

tenham dificuldades em calcular limites, ou ainda, que considerem que ele

não exista em determinado ponto. Isso porque funções definidas em partes

normalmente despertam nos alunos a ideia de que suas representações

gráficas apresentam saltos que, para eles, implicam na não existência do

limite. Esse tipo de mobilização pode (ou não) levar um indivíduo a uma

resposta equivocada, dependendo da tarefa que lhe for proposta. Vamos

tomar como exemplo as funções e , cujas representações

gráficas encontram-se destacadas na questão 4.


51

4ª questão: Avalie a existência dos limites das funções e

quando .

Na figura A temos a representação gráfica de .

Nesse caso específico, o não existe, uma vez que

. No entanto, caso um sujeito mobilize que uma

função definida em partes apresenta saltos em seu gráfico que, por sua

vez, implicam na não existência do limite, sua interpretação – ainda que

equivocada – será suficiente para avaliar a existência do , porém,

o levará ao erro se solicitado que verifique o , tal que

(ver figura B), já que , fato

que garante a existência de , independente da função estar

definida em mais de uma sentença.

Figura A: Gráfico de

Fonte: Thomas (2002, p. 88)

Figura B: Gráfico de

Fonte: Kelley (2013, p. 131)


52

Ainda sobre o conceito de limite, apresentamos um roteiro de

discussão na questão 5, por meio do qual entendemos que seja possível

levar um indivíduo a refletir acerca dos elementos que estejam vinculados à

compreensão desse conceito. Vejamos o primeiro tópico:

5ª questão (roteiro de discussão) – (Des)continuidade implica na (não)

existência do limite?

1. Mostrar o gráfico da função abaixo:

• Observe esse gráfico e responda: o O existe? Justifique.

o E quando ? Justifique.

o O existe? Justifique.

o E quando ? Justifique.

• Caso seja mobilizada a ideia de que o limite existe se ,

perguntar:

o Então, o limite da função em determinado ponto deve ser igual ao valor da função nesse ponto? (aguardar resposta). E se não for?

o Devemos, portanto, considerar o domínio da função como um fator decisivo para evidenciarmos a (não) existência do limite?

o Então quando o limite de uma função existe? o Escreva uma definição para e, em seguida, explique-a.

• Caso o sujeito responda corretamente o primeiro tópico, solicitar as seguintes

situações:

o Quando o limite existe? o Escreva uma definição para e, em seguida, explique-a.


53

O roteiro apresentado na questão 5 explora a relação entre (des)

continuidade de função em um ponto e a (não) existência do limite nesse

ponto. Esse tema é de grande relevância, já que muitos estudantes evocam

que o limite de uma função quando existe se ela for contínua nesse

ponto (VINNER, 1987; MESSIAS; BRANDEMBERG, 2015; MESSIAS, 2018).

Incluímos o gráfico de uma função, a fim de discutir sobre a (não)

existência do limite. É importante discutir a ideia de continuidade, já que

estudos têm mostrado que para muitos estudantes L existe se

. É importante, ainda, solicitar uma definição para limite

de função, bem como seu significado, já que a reprodução da definição

formal não garante a compreensão de seus elementos (ver questão 6).

6ª questão (roteiro de discussão) – Limite de função x Dicotomia

estático-dinâmico

1. Observe a definição de limite:

[Seja ( )f x definida em um intervalo aberto em torno de 0x , exceto talvez em 0x ] (parte I).

[Dizemos que ( )f x tem limite L quando x tende a 0x e escrevemos 0

lim ( )x x

f x L→

= se para

todo número >0 existir um >0] (parte 2) tal que, [para todos os valores de x , 0 < 0x x− <

( )f x L− < ] (parte 3).

a) Explique, com suas palavras, o que significa cada parte da definição de limite de função.

b) O que é o limite? O que ele representa?

2. Mostrar a figura abaixo:

a) De que maneira você pode relacionar a definição de limite com essa figura?


54

Com a questão 6 é possível discutir aspectos relacionados à

dicotomia estático/dinâmica. Para isso, solicitamos uma definição de limite

de função, seguida da explicação de seu significado por parte do sujeito,

de maneira e verificar se as mesmas relacionam sua definição com as

expressões ditas dinâmicas que mobilizam a ideia de que o valor do limite

não pode ser alcançado pela função.

A definição de limite de função incluída nesse roteiro é de

fundamental importância, pois a partir dela, entendemos que seja possível

discutir a presença e/ou ausência de dinamismo nessa definição.

Ressaltamos que incluímos a figura no roteiro com o intuito de verificar

como (ou se) é estabelecida qualquer relação com a definição por meio de

sua representação visual.

7ª questão: Considere a função definida a seguir e responda:

(a) “O existe”. Essa afirmativa é verdadeira ou falsa? Explique.

(b) Verifique se o existe. Explique.

(c) “O limite da função quando não existe”. Você concorda com essa

afirmação? Explique

(d) Determine o .

(e) ”. Essa sentença é verdadeira ou falsa? Explique b sua

resposta.


55

Na questão 7, apresentamos uma função escrita em partes.

Consideramos importante que um indivíduo avalie (e justifique) a existência

do limite em diferentes pontos a partir da forma analítica da função. Essa

mesma tarefa foi solicitada anteriormente sob uma perspectiva geométrica,

já que na questão 3 apresentamos o gráfico dessa função e solicitamos que

seja avaliada a existência do limite nos mesmos pontos.

Além disso, essa questão permite verificar se o fato da função ser

escrita em mais de uma sentença leva o aluno a evocar que os limites da

função nos pontos indicados não existem, ou ainda, que a função não é

contínua. É possível, também, identificar se os limites laterais e bilateral

são mobilizados.

8ª questão: Observe o gráfico de a seguir:

Fonte: Flemming e Gonçalves (2006)

a) Qual o domínio de ?

b) Explique o que as retas de equações e representam no

gráfico de .

c) O existe? Explique.

d) O que acontece com à medida que tornamos os valores de

cada vez mais próximos de 3, tanto pela direita quanto pela esquerda?


56

É possível, a partir da questão 8, verificar como o aluno analisa o

gráfico de , a fim de identificar seu domínio e assíntotas, cujas

equações são e , de modo a observar sua compreensão

acerca das assíntotas no gráfico e sua relação com o domínio da função.

Como sugerimos que seja realizada uma análise à direita e à esquerda dos

pontos dados, é provável que os limites laterais e a (não) existência dos

limites sejam evocados. Por isso, consideramos uma boa oportunidade para

discutir a relação limite x domínio x continuidade, bem como o conceito de

assíntotas (horizontal e vertical).

9ª questão: É possível desenhar o gráfico de uma função, de maneira que

o limite quando exista, e:

a) A função seja descontínua em ? Explique

b) A função seja contínua em ? Explique.

c) A função não seja definida em ? Explique.

d) A função seja definida em ? Explique.

A questão 9 é baseada em uma atividade proposta por Amatangelo

(2013). Ao solicitar que um estudante a resolva, é possível discutir sobre a

construção gráfica mediante determinadas particularidades que, por sua

vez, relacionam domínio, limite e continuidade.


57

10ª questão: Seja . Responda a seguir:

a) O limite de f(x) quando x tende a 2 existe? Explique.

b) Leibniz entendia que a existência do limite em um ponto dependia da

continuidade nesse ponto (MESSIAS, 2013). Como você explicaria para

Leibniz que sua justificativa para a existência do limite estava equivocada?

Utilize a função da questão para explicar sua resposta.

A questão 10 permite que seja realizada uma discussão a fim de

levar o indivíduo a explicar aspectos concernentes à existência do limite,

tanto a partir do cálculo de L quanto a partir de uma concepção histórica

desse conceito, na qual Leibniz condicionava a existência do limite à

continuidade da função no ponto, fato que permite o conhecimento de

elementos históricos relativos ao desenvolvimento do Cálculo.


58

HISTÓRIA & ENSINO DE MATEMÁTICA: ALGUMAS CONSIDERAÇÕES

Ao longo dos anos, temos observado, cada vez mais, pesquisas em

educação e educação matemática que incorporam a história à teoria e à

prática no âmbito do ensino de matemática, de maneira a utilizá-la não

somente como instrumento de ensino, mas também para proporcionar uma

visão dinâmica da evolução da própria matemática (MENDES; VALDÉS;

FOSSA, 2006). Nesse sentido, a história da matemática vem se

configurando como um campo de pesquisa que atua na busca da

aprendizagem de maneira a possibilitar aos alunos uma construção do

saber matemático dentro de sua realidade, por meio da valorização dos

conhecimentos produzidos ao longo de sua história.

A utilização de aspectos históricos relacionados ao conteúdo é

importante para se conhecer o desenvolvimento de conceitos matemáticos,

esta importância se acentua, quando pensamos em um ensino de

Matemática que visa o reconhecimento e, se possível, a contextualização

dos conteúdos. Com nossa abordagem histórica queremos relacionar as

estruturas conceituais envolvidas nos processos de resolução dos

problemas e fazer a ligação entre o conhecimento atual e o antigo. Assim,

resolução de atividades, aqui, é tratada a partir de exemplos de cunho

histórico, em processos diferenciados, que permitam estas ligações.

O conhecimento deste conteúdo histórico nos permite a

comparação de estratégias de resolução de problemas e

garante ao aluno a percepção do desenvolvimento

conceitual e dos aspectos epistemológicos do conceito

abordado, bem como as facilidades disponibilizadas pelos

métodos estruturados de resolução modernos. Assim,

considerando a beleza dos métodos de resolução

históricos e relacionando-os a economia de tempo e

esforço propiciada pela resolução moderna para resolver

tais problemas, além de tentar garantir a aprendizagem


59

existe uma preocupação nossa com o ato cotidiano de

ensinar-aprender, considerando as experiências

anteriores dos estudantes (BRANDEMBERG, 2017b, p.

25).

A inclusão da perspectiva histórica no ensino de matemática

contribui para a formação do aluno, já que o mesmo pode experimentar

determinado conhecimento matemático como atividade humana,

desmitificando-o (MACHADO; MENDES, 2013) Evidenciamos, ainda, que

certo conhecimento acerca da história da matemática permite que o aluno

avalie seu surgimento como um fruto da necessidade humana,

reconhecendo-a como um corpo de conhecimento em constante evolução,

fato que viabiliza o processo de interatividade no processo de construção

do conhecimento matemático escolar, bem como a exploração e releitura

de fatos históricos, na tentativa de encontrar explicações para

questionamentos levantados ao longo do processo de ensino-

aprendizagem.

Fauvel (1991) apud Mendes, Valdés e Fossa (2006) elencou várias

razões para que a história seja utilizada em educação matemática, dentre

as quais destaco: o aumento da motivação para aprender matemática, a

humanização da matemática, promove a aproximação multicultural para a

construção do conhecimento matemático, ajuda a explicar o papel da

matemática na sociedade, contribuem para que o estudante busque no

passado soluções matemáticas para o presente e projetem seus resultados

no futuro. Além disso, a utilização da história na aprendizagem matemática

oportuniza o acesso a um corpo de possibilidades pedagógicas, tais como

“a motivação, determinação de objetivos de ensino, a recreação, a

desmistificação, a formalização, a dialética, a unificação da matemática, a

conscientização, a significação, a cultura e a epistemologia” (MENDES;

VALDÉS; FOSSA, 2006, p. 91).

No que concerne à utilização da história no ensino, é importante

ressaltarmos que para que uma ação docente apoiada nessa perspectiva

seja desenvolvida, professores e alunos precisam exercitar a pesquisa


60

bibliográfica e documentação, além da experimentação, problematização e

argumentação lógica - matemática em sala de aula, que podem ser

realizadas mediante atividades manipulativas extraídas ou adaptadas da

história da matemática, projetos de investigação temática e de problemas

históricos, estudo de textos históricos adaptados ou extraídos de fontes

primárias, elaboração e utilização de vídeos didáticos, dentre outros

(MACHADO; MENDES, 2013). Sendo assim, uma atividade histórica

possibilita a construção de um processo de aprendizagem independente, no

qual o estudante explora, descobre, investiga e, principalmente, aprende

sobre matemática, sociedade e cultura humana.

Consideramos, também, que o percurso didático conduzido pelo

professor de matemática através da história deve manter um fluxo

interativo e dinâmico. Para isso, é imprescindível a criatividade do educador

ao elaborar as situações apresentadas aos alunos, que por sua vez, serão

estimulados a compreender o saber matemático, não como um

conhecimento pronto e acabado ou sem história, mas como criação

humana.

No que se refere à resistência em relação à utilização da história

para ensinar matemática, evidenciamos, dentre os principais argumentos,

os seguintes:

(i) ausência de literatura adequada;

(ii) natureza imprópria da literatura existente;

(iii) ausência do sentido de progresso histórico;

(iv) história é um fator complicador.

Frente a tais dificuldades, é notória a necessidade de

desenvolvimento de pesquisas voltadas tanto para o âmbito do uso da

história no ensino, quanto no estudo da própria história da matemática,

para que dificuldades como as elencadas em (i), (ii) e (iii) sejam

superadas. Em relação ao argumento (iv), os professores devem entender


61

que a ênfase ostensiva de elementos históricos em oposição ao conteúdo

matemático é prejudicial, haja vista que a história da matemática deve ser

usada como ferramenta auxiliar ao ensino da matemática, não devendo,

portanto, substituí-la.


62


63

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Propusemo-nos com esse trabalho efetivar uma discussão por meio

da qual fosse possível refletir acerca do conceito de limite sob o viés de seu

desenvolvimento histórico e de múltiplas compreensões relativas a esse

conhecimento.

Destacamos, ainda, algumas atividades envolvendo o conceito de

limite de uma função, bem como outros a ele adjacentes, como por

exemplo, a ideia de continuidade. Entendemos, nesse sentido, que tais

atividades podem permitir que estudantes compreendam aspectos da

teoria formal a partir de discussões que os levem a refletir sobre diferentes

compreensões vinculadas a conhecimentos no âmbito do Cálculo.

É importante ressaltarmos que, de modo geral, o conhecimento de

estudantes sobre limite é pautado, sobretudo, em interpretações dinâmicas

desse conceito. Além disso, a questão de sua existência tem se

configurado como um fator de conflito em potencial para estudantes de

Cálculo (MESSIAS, 2018). Por isso, consideramos de grande relevância

estabelecer discussões a partir de diferentes situações matemáticas,

inclusive do ponto de vista histórico, como as que exemplificamos no

decorrer desse livro.


64


65

REFERÊNCIAS

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Tese de doutorado (engenharia de produção). UFSC, 2005.


69

DADOS SOBRE OS AUTORES

Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias possui graduação em

licenciatura em matemática pela Universidade do Estado do Pará (2008),

Mestrado e Doutorado em Educação em Ciências e Matemáticas pela

Universidade Federal do Pará (2013/2018), com área de concentração em

Educação Matemática. Tem se dedicado aos estudos sobre Pensamento

Matemático Avançado, Imagem e Definição Conceitual, Teoria APOS e

suas implicações, especialmente, no âmbito do Cálculo. Tem experiência na

docência no Ensino Superior e Ensino Fundamental Bilíngue. Atualmente é

professora do Departamento de Matemática, Estatística e Informática

(DEMEI) na Universidade do Estado do Pará (UEPA).

E-mail: [email protected]

João Cláudio Brandemberg é professor associado III da FACMAT-

ICEN/UFPA, mestre em Matemática (UFPA) e doutor em Educação

Matemática (UFRN). Realiza pesquisa sobre o uso da componente Histórica

no ensino e aprendizagem de Matemática. Autor de livros: “Métodos

históricos para resolução algébrica de equações” (2009), “Uma Análise

histórico-epistemológica do conceito de Grupo” (2010), “Euler, Professor”

(2013). “Das Quadraturas Gregas as Somas de Riemann-Darboux” (2015),

“Uma História da Integral: de Arquimedes a Lebesgue” (2017) e “O Idioma

da Álgebra” (2017). Desde 2005 é membro da SBHMat. Professor

Orientador nos cursos de mestrado e doutorado acadêmico do PPGECM –

IEMCI – UFPA e Mestrado Profissional – PROFMAT – ICEN – UFPA.

E-mail: [email protected]

mailto:[email protected]

mailto:[email protected]


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Educação Matemática na Amazônia - Coleção - VI

Volume 1 – Ensino da matemática por meio da geometria dinâmica com o desmos.

Autores: Demetrius Gonçalves de Araújo, Fábio José da Costa Alves e Gilvan Lira Souza.

Volume 2 – A noção do raciocínio combinatório nos anos iniciais do ensino fundamental a partir

da teoria antropológica do didático.

Autores: Guilherme Motta de Moraes, José Carlos de Souza Pereira e José Messildo Viana Nunes.

Volume 3 – Educação Matemática e Educação Hospitalar: um paralelo entre o solo oncológico e

solo geométrico.

Autores: Marcos Evandro Lisboa de Moraes, Felipe Moraes dos Santos, Elielson Ribeiro Sales.

Volume 4 – Altas habilidades em matemática no contexto escolar: reflexões iniciais.

Autores: Maria Eliana Soares, Elielson Ribeiro de Sales e Edson Pinheiro Wanzeler.

Volume 5 – Pelas trilhas históricas do pesar e do medir.

Autora: Elenice de Souza Lodron Zuin.

Volume 6 – O uso de materiais manipuláveis e suas perspectivas na atividade matemática.

Autores: Fernando Cardoso de Matos, Reginaldo da Silva e Wellington Evangelista Duarte.

Volume 7 – O ensino de Frações por atividades.

Autores: Pedro Franco de Sá e Kamilly Suzanny Felix Alves.

Volume 8 – Criatividade na história da criação matemática: potencialidades para o trabalho do

professor.

Autor: Iran Abreu Mendes.

Volume 9 – Sequências didáticas: olhares teóricos e construção.

Autores: Acylena Coelho Costa e Natanael Freitas Cabral.

Volume 10 – Limite de uma função: História e atividades para o ensino

Autores: Maria Alice de Vasconcelos Feio Messias e João Cláudio Brandemberg.

Volume 11 – O ensino de fatoração algébrica por atividaes.

Autores: Glaucianny Amorim Noronha e Pedro Roberto Sousa da Silva.

Volume 12 – Medidas Lineares e de Superfície: um enfoque histórico e matemático.

Autores: Maria Lúcia Pessoa Chaves Rocha, Francisco Fialho Guedes Ferreira e Francisca Janice

dos Santos Fortaleza.

limite de uma funÇÃo: histÓria e atividades para o ensino · 2019. 11. 10. · grande...

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