lógica de proposiciones y de predicado · 2017-05-30 · de un conjunto a (de aristas) y de una...

Franco D. Menendez

LABIA

FACET - UNT

Universidad Nacional de Tucumán

Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología

Lógica de Proposiciones

y de Predicado

UT4: TEORÍA DE GRAFOS Y ÁRBOLES

»Grafos: Definiciones y Ejemplos. Representación Matricial. Adyacencia de Nodos y Aristas. SubGrafos, Complementos e Isomorfismos de Grafos. Grado de un Vértices. Recorridos y Circuitos Eulerianos. Grafos Planos. Grafos Bipartitos. Grafos Coloreados. Aplicaciones y Ejemplos.»Árboles: Definiciones, propiedades y ejemplos. Árboles con Raíz. Árboles Binarios. Búsqueda. Árboles Recubridores. Árboles



UT4: TEORÍA DE GRAFOS Y ÁRBOLESIntroducción: ¿Qué es un Grafo?

Los grafos, resultan ser un modelo matemático extremadamente útil para analizarproblemas muy diversos como, por ejemplo, los siguientes:

» Problemas de asignación de tareas» Construcción de redes» Problema de horarios

Los grafos constituyen una herramienta básica para modelar fenómenos discretos y sonfundamentales para la comprensión de las estructuras de datos y el análisis dealgoritmos.Los grafos son un lenguaje, una notación, que permite representar relaciones binariasdiscretas — es decir, entre pares de objetos— en un conjunto. De una manera informal,podríamos decir que un grafo es una colección de vértices y de aristas que unen estosvértices



UT4: TEORÍA DE GRAFOS Y ÁRBOLESIntroducción ¿Qué es un Grafo?

Los vértices los dibujaremos como puntos del plano o pequeños círculos, y las aristasserán líneas que unen estos puntos. Veamos ahora las definiciones formales:



Grafo: Un grafo G = (V, A) es un conjunto no vacío V (de vértices) y un conjunto A (dearistas) extraído de la colección de subconjuntos de dos elementos de V. Una arista deG es pues, un subconjunto {a, b}, con a, b ∈ V, a b.

Figura 1.- Grafo G


Introducción ¿Qué es un Grafo?

Para ser precisos, deberíamos decir que esta definición se refiere a lo que se conoce

como un grafo simple y sin lazos.

Un grafo es simple si a lo más sólo 1 arista une dos vértices cualesquiera. Esto es

equivalente a decir que una arista cualquiera es el único que une dos vértices

específicos. Un grafo que no es simple se denomina complejo.




Dos grafos son iguales si tienen el mismo conjunto de vértices y la misma colección de

aristas. Nombraremos un grafo G mediante G = (V, A). A veces, cuando manejemos

varios grafos a la vez, utilizaremos símbolos como V (G) y A(G) para recordar a qué grafo

corresponden los conjuntos de vértices y aristas a las que nos estamos refiriendo.



UT4: TEORÍA DE GRAFOS Y ÁRBOLESIntroducción ¿Qué es un Grafo?

Ejemplo 1

1. El problema de la asignación de tareas tiene una traducción inmediata: los vértices

estarían etiquetados con los nombres de los trabajadores y de las tareas (en este tipo de

problemas, generalmente se dibujan los vértices correspondientes a las tareas a un lado

y los correspondientes a los trabajadores, a otro). Y dibujaremos una arista entre un

vértice que represente a un trabajador y otro que represente a una tarea si efectivamente

el trabajador está preparado para realizar dicha tarea.




2. Para el problema de la construcción de la red, las ciudades serían los vértices y las

conexiones, las aristas. Y, por supuesto, lo que buscaremos serla unir todos los vértices

con el menor número posible de aristas y de manera que la red resultante sea lo mas

barata posible.

3. En el problema de horarios, representaremos las asignaturas con los vértices y las

incompatibilidades entre asignaturas, con aristas. Para abordar el problema, aún nos

falta ver un ingrediente: cómo se colorea un grafo. En este caso, los colores serían las

horas de que dispongamos.







Problema Nº2

Problema Nº1



Ejemplo 2: Consideremos un conjunto de vértices V = {1, 2, 3}. Construyamos algunos grafos distintos con ese conjunto de vértices.Los subconjuntos de dos elementos de V son {1, 2}, {1, 3} y {2, 3}. Dos elecciones distintas de conjunto de aristas son A1 = {{1, 2}, {2, 3}} y A2 = {{1, 2}}, que dan lugar a los grafos G1 y G2 que dibujamos a continuación:

Figura 2: Grafos Ejemplo 2



1

2

3

G1

1

2

3

G2



En muchas ocasiones, conviene considerar grafos que están incluidos “dentro” de otros.

SubGrafo: Dado un grafo G = (V, A), formamos un grafo H = (V’, A’) de G seleccionando algunos de los vértices de G (esto es, V’ ⊆ V ). Y, de las aristas que unieran vértices del conjunto V’ en el grafo original G, nos quedamos con algunas de ellas (o todas).

Hay que ser cuidadosos con esto: si nos limitáramos a pedir que H contuviera a algunosde los vértices y algunas de las aristas de G, podríamos llegar a situaciones sin sentidocomo incluir una arista pero no alguno de sus vértices (no sería un grafo verdadero)




Multigrafos

Multigrafo o pseudografo: son grafos que aceptan más de una arista entre dos vértices.

Estas aristas se llaman múltiples o lazos (loops en inglés). Los grafos simples son una

subclase de esta categoría de grafos. También se les llama grafos no-dirigido.

Multigrafo: Un multigrafo G = (V, A) consta de un conjunto no vacío V (de vértices) y de

un conjunto A (de aristas) y de una función f de A en {{a, b}, con a, b ∈ V, a b}. Se dice

que las aristas e1 y e2 son aristas múltiples si se cumple que f(e1) = f(e2).




»Una red informática puede contener una línea telefónica que conecte a unacomputadora consigo misma (a efectos de diagnóstico). El grafo G1 es un multigrafo(aristas múltiples entre {d, c}) No podemos utilizar multigrados para representar estasredes, ya que no admiten bucles o lazos (aristas que conectan un vértice consigo mismo)en un multigrafo.



Figura 3: Multigrafo G1. Pseudografo G2


Pseudografos

Pseudografo.- Un pseudografo G = (V, A) consta de un conjunto no vacío V (de vértices) yde un conjunto A (de aristas) y de una función f definida de A en {{a, b}, con a, b ∈ V, a ≠ b}.Se dice que la arista e es un bucle o lazo si se cumple que f(e) = {a, a} = {a} para algún a ∈V.

En el problema de la red informática telefónica puede ser que entre dos puntos la mismano opere en las dos direcciones. Por ejemplo, la computadora en Bs. As. Puede enviardatos a la computadora en la ciudad de Córdoba, pero no recibir datos de Córdoba. Otrostipos de redes telefónicas si funcionan en ambas direcciones. Se utiliza grafos dirigidospara modelar redes de este tipo. Las aristas de un grafo dirigido son pares ordenados, seadmiten bucles, pares ordenados con los dos elementos iguales, pero no se admitenaristas múltiples en la misma dirección entre dos vértices.




Grafos Dirigidos

Grafo Dirigido: Un grafo dirigido G = (V, A) consta de un conjunto no vacío V (de vértices)y de un conjunto no vacío A (de aristas) que son pares ordenados de elementos de V y deuna función f definida de A en {(a, b), con a, b ∈ V}. Se dice que la arista e es un bucle olazo si se cumple que f(e) = (a, a) = (a) para algún a ∈ V. Son grafos en los cuales se haañadido una orientación a las aristas, representada gráficamente por una flecha.

Multigrafo dirigido: Un multigrafo dirigido G = (V, A) consta de un conjunto no vacío V (devértices) y de un conjunto no vacío A (de aristas) que son pares ordenados de elementosde V y de una función f definida de A en {(a, b), con a, b ∈ V}. Se dice que la arista e es unbucle o lazo si se cumple que f(e) = (a, a) = (a) para algún a ∈ V. Se dice que las aristas e1

y e2 son aristas múltiples si se cumple que f(e1) = f(e2).




Grafos Dirigidos

Debemos observar que las aristas dirigidas múltiples están asociadas a un mismo par devértices. No obstante, diremos que (a, b) es una arista de G = (V, A) siempre que haya almenos una arista e con f (e) = (a, b). No haremos distinción entre la arista e y el parordenado (a, b) a no ser que la identidad de alguna de las aristas múltiples en particularsea importante.



Figura 4: Grafo Dirigido G

UT4: TEORÍA DE GRAFOS Y ÁRBOLESGrafos Dirigidos

La Tabla 1 resume la terminología que se emplea para los diferentes tipos de grafos. Utilizaremos lapalabra grafo para describir grafos con aristas no dirigidas o dirigidas, con o sin bucles y aristasmúltiples. Emplearemos los términos grafo no dirigido o pseudografo para indicar grafos no dirigidosque pueden tener aristas múltiples y bucles. Usaremos siempre el adjetivo dirigido para referirnos agrafos cuyas aristas estén asociadas a pares ordenados, como por ejemplo grafos dirigidos odígrafos.

Tabla1: Terminología en la Teoría de Grafos



Tipos Aristas Arista Múltiples Bucles

Grafo Simple No dirigido No No

Multigrafo No dirigido Si No

Pseudografo No dirigido Si Si

Grafo Dirigido Dirigido No Si

Multigrafo Dirigido Dirigido Si Si


SubGrafos

Hay ocasiones en que solo necesitamos una parte del grafo para resolver un problema. Por ejemplo,solo estamos interesados en una parte del grafo. Podemos ignorar todas las otras partes del grafo.En el grafo completo eliminamos los vértices que corresponden a las partes no contempladas ysuprimimos todas las aristas que vienen y van a esos vértices eliminados. Una vez eliminados estosvértices y aristas del grafo, sin eliminar ningún extremo de las aristas que quedan, se obtiene ungrafo más pequeño. Se dice que este grafo es un subgrafo del grafo original.

Subgrafo: Un subgrafo de un grafo G = (V, A) es un grafo H = (W, F) con W V y F A.

Union: La unión de dos grafos simples G1 = (V1, A1) y G2 = (V2, A2) es un grafo simple cuyo conjunto devértices es V1 U V2 y cuyo conjunto de aristas es A1 U A2. La unión de G1 y de G2 se representa por G1 UG2




SubGrafos Recubridor e Inducido

Un par de subgrafos que serían especialmente relevantes son los siguientes:Dados un par de grafos H y G, diremos que H es un subgrafo recubridor (el ejemplo másrelevante de un subgrafo recubridor lo encontraremos en el Capítulo de Arboles, cuandodesarrollemos árbol recubridor) de G si H es un subgrafo de G y, además, V (H) = V (G). Esdecir, si H contiene a todos los vértices de G.

Diremos que H es un subgrafo inducido de G para un conjunto de vértices V’ ⊆ V (G) si secumple, por un lado, que V (H) = V’. Y, por otro, que si v, w ∈ V’ y {v, w} ∈ A(G), entonces{v, w} ∈ A(H).

Es decir, H tiene como conjunto de vértices a un cierto subconjunto V’ de los vértices de G; y como conjunto de aristas, a todas aquéllas de G cuyos extremos sean vértices de V’.



UT4: TEORÍA DE GRAFOS Y ÁRBOLESSubgrafo

Ejemplo 3: Consideremos el siguiente grafo G

Figura 5: Grafo G del Problema 3El conjunto de vértices de G es V(G) = {1, 2, 3, 4, 5}, mientras que el de las aristas es el siguiente conjunto A(G) = {{1, 2}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}}. Los siguientes cuatro grafos son subgrafos de G




»Los grafos H1 y H2 son, además, subgrafos recubridores de G (porque incluyen a todoslos vértices de G). El grafo H3 es el subgrafo inducido de G para los vértices {2, 3, 4, 5}. Yel grafo H4, para los vértices {2, 3, 4}.



Figura 6: Subgrafos de G (Recubridores e Inducidos)


SubGrafoLos grafos H1 y H2 son, además, subgrafos abarcadores de G (porque incluyen a todoslos vértices de G). El grafo H3 es el subgrafo inducido de G para los vértices {2, 3, 4, 5}. Yel grafo H4, para los vértices {2, 3, 4}. Por el contrario, los dos siguientes grafos no sonsubgrafos de G:



Figura 7: Grafos que no son Subgrafos de G

El grafo H5, porque incluye una arista, la {1, 5} que no estaba en G. Y el H6, porque su

conjunto de vértices no es un subconjunto del de G.


Matrices Asociadas

Una forma muy útil de representar un grafo G = (V, A) es mediante su matriz de adyacencia (o matriz devecindades). La idea es formar una matriz de ceros y unos. Si el conjunto de vértices es V = {v1, . . . ,vn}, el grafo se puede describir mediante una matriz n × n:



En la posición (vi, vj) pondremos un 1 si {vi, vj} ∈ A, y un 0en caso contrario. La matriz tendría ceros en la diagonal(porque no permitimos lazos) y serla simétrica: si en laposición (vi, vj) aparece un 1 es porque {vi, vj} ∈ A y portanto en la posición (vj , vi) (vj, vi) debería aparecer tambiénun 1. Así que un grafo G simple y sin lazos con n vértices esexactamente lo mismo que una matriz n × n simétrica deceros y unos con ceros en la diagonal.

v1 V2 V3 …. Vn

v1 0 1 0 … 1

V2 1 0 1 … 1

V3 0 1 0 … 0

: : : : : :

Vn 1 1 0 … 0


Grado de un Vértice

Un concepto fundamental en un grafo es el de grado de un vértice:Los dos vértices que conforman una arista se llaman puntos finales ("endpoints", en inglés), y esa aristase dice que es incidente a los vértices. Un vértice w es adyacente a otro vértice v si el grafo contiene unaarista (v,w) que los une.

Vértice Adyacente: Dado un grafo G = (V, A), diremos que dos vértices v, w ∈ V son adyacentes ovecinos si {v, w} ∈ A. Si e = {v, w}, se dice que la arista e es incidente con los vértices v y w. También sedice que la arista e conecta v con w. Se dice que los vértices v y w son extremos de la arista e.

Grado de Vértice.- El grado de un vértice de un grafo es el número de aristas incidentes en el,exceptuando los bucles, cada uno de los cuales contribuye con dos unidades al grado de un vértice. Elgrado de un vértice v se denota por δ(v).

δ(v) = grado de v ≡ gr(v) = #{w ∈ V : {v, w} ∈ A(G)} .




Grado de un Vértice

Si el grado de un vértice es 0, diremos que es un vértice aislado. En la matriz de adyacencia,para determinar el grado de un vértice v, basta sumar los unos que aparezcan en su fila. A lalista de los grados de los vértices de un grafo G la llamaremos la sucesión de grados:

(gr(v1), gr(v2), . . . , gr(vn)) .(δ(v1), δ(v2), . . . , δ(vn)) .

En un grafo dirigido, se puede distinguir entre grado de salida ("outdegree", número de aristasque salen del vértice) y grado de entrada ("indegree", número de aristas que llegan al vértice);un vértice fuente es un vértice con grado de entrada cero, mientras que un vértice hundido esun vértice con grado de salida cero.




Ejemplo 4: ¿Cuáles son los grados de los vértices de los grafos de la Figura 5?

Solución: en G tenemos δ(1) = 1, δ(2) = 4, δ(3) = 2, δ(4) = 3, δ(5) = 2

Pero no toda lista de n números ≥ 0 se corresponde con la sucesión de grados de un grafo

con n vértices.



UT4: TEORÍA DE GRAFOS Y ÁRBOLESGrado de un Vértice

TEOREMA 1: En un grafo G = (V, A)

DEMOSTRACIÓN. El resultado es casi obvio, pues cada arista involucra a dos vértices. Una prueba rigurosa requiere invocar a otra matriz asociada a un grafo, la MATRIZ DE INCIDENCIA:



v1 V2 V3 …. Vn

a1 1 1 0 … 0

a2 1 0 1 … 0

a3 0 1 0 … 0

: : : : : :

am 0 1 0 … 1


Las columnas están etiquetadas con los vértices {v1, . . . , vn}, y las filas, con las aristas {a1,

. . . , am}. En la posición (ai, vj) colocaremos un 1 si el vértice vj es extremo de la arista ai; y

un 0 en caso contrario. Apliquemos ahora un argumento de doble conteo. En la fila

etiquetada por la arista a1 aparecerían sólo dos unos (sus dos extremos); lo mismo ocurre

con el resto de las filas. Así que, sumando por filas, obtenemos 2m = 2|A|. Al hacerlo por

columnas, observamos que la columna correspondiente al vértice vj contendría tantos unos

como vecinos tenga este vértice: su suma valdría justamente gr(vj ) = δ(vj). Sumando los

resultados de todas las columnas, obtenemos lo que buscábamos.




DEFINICIÓN 10.- Llamaremos mínimo grado y máximo grado de un grafo a los números

(G) = min. {δ(v)} para todo v ∈ V (G)

Δ(G) = máx. {δ(v)} para todo v ∈ V (G)

Si los dos números coinciden, por ejemplo en el valor k, entonces todos los vértices del

grafo tendrían grado k, y hablaremos de un grafo k-regular.

En un grafo siempre hay un número par de vértices de grado impar.

»No puede existir un grafo r-regular de s vertices si r y s son impares.

»El número de aristas de un grafo k-regular es (n*k)/2, y por ende, el número de aristas de un

grafo completo de n vertices es (n*(n-1))/2



UT4: TEORÍA DE GRAFOS Y ÁRBOLESGrado de un Vértice

TEOREMA 2: Todo grafo no dirigido G = (V, A) tiene un número par de vértices de gradoimpar.La terminología para grafos dirigidos refleja el hecho de que a las aristas se les asigna unsentido.

DEFINICIÓN 11.- Si (v, w) es una arista de un grafo dirigido G, se dice que v es adyacente aw y que w es adyacente desde v. Al vértice v se lo denomina vértice inicial de la arista (v, w) ya w se lo denomina vértice final o terminal de la arista (v, w). Los vértices final e inicial de unbucle coinciden.Como las aristas de un grafo dirigido son pares ordenados, podemos refinar la definición degrado de un vértice a fin de reflejar el número de aristas que tienen a ese vértice comovértice inicial o como vértice final.



UT4: TEORÍA DE GRAFOS Y ÁRBOLESGrado de Entrada: En un grafo dirigido, el grado de entrada o grado negativo de un vértice v,es denotado por δ-(v), es el número de aristas que tienen a v como vértice final.Grado de Salida: El grado de salida o grado positivo de un vértice v, denotado por δ(v), es elnúmero de aristas que tienen a v como vértice inicial. (nótese que un bucle contribuye conuna unidad tanto al grado de entrada como al grado de salida del vértice correspondiente).

Ejemplo 5: ¿Cuáles son los grados de entrada y de salida los vértices de los grafos de laFigura 4?

δ-(A) = 2; δ-(B) = 2; δ-(C) = 2; δ-(D) = 2; δ-(E) = 1; δ-(F) = 1

δ(A) = 1;δ(B) = 2; δ(C) = 1; δ(D) = 1; δ(E) = 2; δ(F) = 2

Grafo Regular: Un grafo no dirigido donde los vértices tienen el mismo grado se denominagrafo regular. Si δ-(v) = k para todos los vértices v ∈ V (G), entonces el grafo es k - regular.



BIBLIOGRAFIA»ESTRUCTURAS DE MATEMÁTICAS DISCRETAS. Bernard Kolman. Robert Busby & Sharon Ross. –2003.

»MATEMÁTICA DISCRETA Y LÓGICA. Roberto H. Fanjul – 2005.

»MATEMÁTICAS DISCRETAS - SEXTA EDICIÓN Richard Johnsonbaugh - PRENTICE HALL INC. –2005.

»LÓGICA COMPUTACIONAL. Roberto H. Fanjul. Autor y Editor. Primera Edición – 2005.

»MATEMÁTICAS DISCRETA Y COMBINATORIA Ralph P. Grimaldi- Addison Wesley Longman – 2001.



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