leilão primeiro lance selado
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Aula sobre Leilão de Primeiro Lance Selado. Como encontrar o Equilíbrio de Nash no jogo de referência?TRANSCRIPT
Insper Competição Imperfeita e Teoria dos Jogos Adhemar Villani Jr
Leilão de primeiro preço com lances selados
Insper Competição Imperfeita e Teoria dos Jogos Adhemar Villani Jr
Cenário de competição assumido
• Um objeto indivisível vai para leilão com dois potenciais compradores: i = 1, 2
• As avaliações privadas v1 e v2 dos jogadores são independentemente extraídas de uma distribuição uniforme no intervalo contínuo [0,1] – Cada jogador sabe a sua avaliação sorteada, mas conhece
apenas a distribuição da avaliação do oponente • Os lances não-negativos b1 e b2 são feitos
simultaneamente; quem der o maior lance leva o objeto pagando seu lance – O payoff do vencedor i é vi - bi
– O payoff do perdedor é zero – Desempates são resolvidos no cara-ou-coroa
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Estratégias dos compradores
• O espaço de estratégias para cada comprador é o de todas as funções bi tais que:
bi: [0,1] R+
• No caso, cada comprador escolherá uma “função lance”, tendo como argumento a sua própria avaliação: bi(vi)
Tipos (avaliações)
Ações (lances)
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Equilíbrio de Nash Bayesiano
• Funções b1ENB(v1) e b2
ENB(v2) tais que:
Para cada v1 ∈ [0,1]:
b1ENB(v1) ∈ argmax b1≥0 𝑃𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓1 𝑏1, 𝑏2
𝐸𝑁𝐵 𝑣2 ; 𝑣1 . 1. 𝑑𝑣21
0
Para cada v2 ∈ [0,1]:
b2ENB(v2) ∈ argmax b2≥0 𝑃𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓2 𝑏2, 𝑏1
𝐸𝑁𝐵 𝑣1 ; 𝑣2 . 1. 𝑑𝑣11
0
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Equilíbrio de Nash Bayesiano: “chute” educado
• É razoável supor que b1ENB(.) e b2
ENB(.) sejam funções estritamente crescentes; nesse caso:
bi> bjENB(vj) ↔ bj
-1 ENB(bi)> vj
• Portanto: bi
ENB(vi) ∈ argmax bi≥0 𝑃𝑎𝑦𝑜𝑓𝑓𝑖 𝑏𝑖 , 𝑏𝑗𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑗 ; 𝑣𝑖 . 1. 𝑑𝑣𝑗
1
0
biENB(vi) ∈ argmax bi≥0 𝑣𝑖 − 𝑏𝑖 . 1. 𝑑𝑣𝑗
𝑏𝑗−1 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝑖
0+
50%. 𝑣𝑖 − 𝑏𝑖 + 50%. 0 . 1. 𝑑𝑣𝑗𝑏𝑗
−1 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝑖
𝑏𝑗−1 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝑖
+ 0.1. 𝑑𝑣𝑗1
𝑏𝑗−1 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝑖
i vence
i perde empate
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Equilíbrio de Nash Bayesiano: “chute” educado
• Continuando...
biENB(vi) ∈ argmax bi≥0 𝑣𝑖 − 𝑏𝑖 . 1. 𝑑𝑣𝑗
𝑏𝑗−1 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝑖
0
biENB(vi) ∈ argmax bi≥0 𝑣𝑖 − 𝑏𝑖 . 1. 𝑑𝑣𝑗
𝑏𝑗−1 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝑖
0
biENB(vi) ∈ argmax bi≥0 𝑣𝑖 − 𝑏𝑖 . 𝑏𝑗
−1 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝑖
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Equilíbrio de Nash Bayesiano simétrico e diferenciável
• Vamos procurar o ENB onde exista:
– Simetria: b1ENB(.) = b2
ENB(.) = bENB(.)
– Diferenciabilidade na função bENB(.)
• Então: biENB(vi) ∈ argmax bi≥0 𝑣𝑖 − 𝑏𝑖 . 𝑏𝑗
−1 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝑖
CPO:−𝑏𝑗−1 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝑖
𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑖 + 𝑣𝑖 − 𝑏𝑖𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑖 . 𝑏𝑗
−1′ 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝑖𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑖 = 0
−𝑏−1 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑖 + 𝑣𝑖 − 𝑏𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑖 . 𝑏−1′ 𝐸𝑁𝐵 𝑏𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑖 = 0
Usando diferenciabilidade
Usando simetria
= −𝑣𝑖 =1/𝑏′ 𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑖
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Equilíbrio de Nash Bayesiano simétrico e diferenciável
• Rearranjando: 𝑣𝑖 = 𝑏′ 𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑖 . 𝑣𝑖 + 𝑏 𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑖
𝑣𝑖2
2+ 𝑘 = 𝑏𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑖 . 𝑣𝑖
𝑏𝐸𝑁𝐵 𝑣𝑖 =𝑣𝑖2
Integrando ambos os lados
k=0 pela equação acima com vi=0