Leibniz

y

el infinito

FRANK BURBAGE Y NATHALIE CHOUCHAN

24 de febrero de 2002

PHILOSOPHIESColeccion dirigida por Francoise Balibar, Jean Pierre Lefebvre Pierre Macherey yYves VargasISBN 2 13 040223 2 ISSN 076-1398Deposito legal - 1a edicion: 1993 julio c© Presses Universitaires de France, 1993 108,Boulevard Saint Germain, 75006 ParisTraduccion1: Alejandro Martın Maldonado

1La idea de traducir este libro vino de encontrar en el una vision de la obra de Leib-niz en la que el concepto de infinito, al atravezar las diferentes disciplinas, sirve de clavepara buscar una unidad en ella. Esta obra cumple entonces un doble papel de ejemplometodologico y fuente de pistas para mi propia aproximacion a la obra leibniciana. Peroeste papel lo podıa muy bien cumplir en frances y no habıa por que traducirla. Entoncesesta tarea mıa, que ahora, en medio de los detalles finales me parece tan innecesaria, tuvosobre todo dos motivos. El primero: aprender frances, y mientras tanto ir encontrando enespanol la manera de articular sus conceptos. El segundo y tal vez el unico que me hapermitido no dejar la tarea en la mitad, tener un texto para pasarles a mis amigos conalgo de lo que me “adhiere” a Leibniz.Entonces, estan avisados, el texto que viene a continuacion se trata de una traduccion delfrances de alguien que no sabe frances. Para curarme en salud y de paso pedir una ayudaa quien me la quiera dar, dejo en frances entre corchetes cuadrados los conceptos masimportantes. Las citas las he traducido directamente del texto (la mayorıa son originaria-mente en frances) y cuando ha sido posible las he corroborado con una version en espanolde la misma (ver Bibiliografıa).

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Indice

1. Objeto de este libro

2. Introduccion

Una filosofıa del infinito - El infinito entre matematicas y metafısica -Una metafısica “abusiva”.

3. Todo va al infinito en la naturaleza

Las exigencias de una “reforma” - Los diferentes “lugares” de la infi-nitud - El infinito existe “en acto” - Leibniz con Pascal.

4. Podemos, sin embargo, saber muchas cosas del infinito

Una “ciencia” muy problematica - La crıtica de la prudencia cartesiana- Del buen uso de las paradojas del infinito - La idea positiva del infinito- El infinito verdadero... y los otros - El numero y la magnitud.

5. Todo lo que he anadido a la invencion matematica ha nacido solo delhecho de haber mejorado el uso de los sımbolos que representan lascantidades

Un problema muy antiguo: la busqueda de las “cuadraturas” - Leibnizentre Descartes y Arquımedes - Un “nuevo metodo”: diferenciacion eintegracion - La confianza en la escritura.

6. Mi metafısica es toda matematica, por ası decir, o lo podra llegar aser

Los fundamentos para el calculo - Lo ficticio, lo ideal, lo actual: ellugar de la continuidad - El infinito en los fenomenos - Las expresionesdel infinito.

7. Textos

Comentario del fragmento de Pascal Desproporcion del hombre - Ex-tracto de la carta a Varignon del 2 de febrero de 1702 - Extracto de laCarta a Varignon (?) del 16 de octubre de 1706.

Objeto de este libro

No hemos buscado presentar una exposicion exhaustiva de la doctrinaleibniciana del infinito: ella comprende todo su sistema, que habrıa que re-correr por todos sus “repliegues”. En particular, hemos puesto de lado la

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mayor parte de las dificultades relativas a la genesis y a la evolucion de lasposiciones leibnicianas. Ha sido tambien necesario escoger entre las preo-cupaciones cientıficas de Leibniz, y hemos privilegiado las consideracionesrelativas a las matematicas.

En las paginas que vienen a continuacion se encontrara una introducciona una de las principales filosofıas modernas del infinito: nos hemos dedicadoa construir y a seguir algunas cuestiones, mediante las cuales puede empren-derse la lectura, a menudo difıcil, de los textos de Leibniz con respecto alinfinito:

1. ¿Que significa exactamente la tesis segun la cual el infinito existe “enacto”?

2. ¿Como puede pretender el racionalismo leibniciano comprender el in-finito?

3. ¿Que rol juega el calculo infinitesimal en esta comprension?

4. ¿Como se articulan el infinito del matematico y el infinito del metafısi-co?

Por comodidad en la exposicion hemos distinguido estas cuestiones unasde otras, consagrandoles capıtulos sucesivos, pero evidentemente ellas estandestinadas a ser asociadas.

Proponemos en el anexo algunos textos representativos de tomas de posi-cion, pero tambien de dudas, leibnicianas. Esos textos pueden ser leıdos inde-pendientemente, pero se encontraran elementos de explicacion en el cuerpodel libro. Al final se encontraran tambien algunas indicaciones bibliograficas.

Introduccion

“Mis meditaciones fundamentales se mueven en torno a dos co-sas, saber sobre la unidad y sobre el infinito2”

Una filosofıa del infinito

Leibniz (1646-1716) aparece en aquella epoca del pensamiento donde unmismo hombre podıa pretender comprender el solo los multiples capıtulosdel saber, ser al mismo tiempo matematico, fısico, moralista, metafısico. La

2“Mes meditations fondamentales roulen sur deux choses, savoir sur l’unite et surl’infini.” Carta a la princesa Sophie, PS, VII p.542.

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era de los “honnete hommes” sera bien pronto relevada, y cedera lugar aaquella de las “disciplinas” y los “especialistas”. El proyecto de un sistemacompleto del conocimiento entrara entonces en una crisis que los proyectosenciclopedistas intentaron, quizas vanamente, remediar. Sin duda esa crisises ya percibible al final del siglo XVII, a pesar de esto y contra todo, Leibnizbusca ocupar aun el lugar del “honnete homme”. El es uno de los filosofosque han llevado a su punto mas alto la exigencia de un “sistema”.

Es desde esta perspectiva que la consideracion del infinito resulta de-cisiva. Desde aproximaciones en apariencia muy diferentes (matematicas,fısica, metafısica) Leibniz no deja nunca de interesarse por esta cuestion.Tiene anotaciones al respecto -algunas incluso polemicas- en multiplicidadde opusculos, segun su muy singular estilo de pensamiento. Los historiado-res de la ciencia le consideran, con justicia, como uno de los inventores del“calculo infinitesimal” moderno, en el que trabaja regularmente a partir de1670. Paralelamente, elabora una fısicia y una metafısica que otorgan unlugar central a la nocion de infinito. Esta constancia en la reflexion no ga-rantiza, por supuesto, que hubiese logrado una concepcion unificada y sobretodo estable del infinito. Leibniz presenta regularmente el infinito como unproblema mayor de su filosofıa. Ası explica en las primeras paginas de losEnsayos de Teodicea que la difıcil cuestion de la libertad es la patrimonio[lot] comun de todos los hombres, mientras que “la discusion de la conti-nuidad y de los indivisibles que parecen ser sus elementos, (...) donde debeentrar la consideracion del infinito” constituye el “laberinto” propio de lafilosofıa. Y lo lleva a llegar mucho mas lejos aun, a hacer de la reflexion sobreel infinito una de las piedras angulares [clefs de voute] de su “sistema”: “Mismeditaciones fundamentales se mueven alrededor de dos cosas, saber sobrela unidad y sobre el infinito.3” Y cuando, al final de su vida, con ocasion dela polemica que le opone a newtoniano Clarke, el lanza una mirada retros-pectiva sobre su recorrido filosofico, la cuestion del infinito viene en primeralınea:

Cuando era un joven muchacho llegue a crer tambien en el Vacıo y en losAtomos; pero la razon me hizo echar atras. La imaginacion se desbordaba.Uno acota allı sus investigaciones; fija la meditacion como con un clavo; creehaber encontrado los primeros Elementos, un “non plus ultra”. Quisieramosque la Naturaleza no fuese mas lejos, que fuese finita como nuestro espıritu:pero eso es no conocer la grandeza y la majestad del Autor de las cosas. Elmınimo corpusculo esta actualmente subdividido al infinito, y contiene unmundo de nuevas criaturas, al que le faltarıa el universo si ese corpusculo

3Ibid.

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fuese un Atomo, es decir un cuerpo de una sola pieza sin subdivision4.Leibniz es uno de aquellos que, por tomar una formula de Kant, se

senalan como tarea principal intentar “introducir en filosofıa” el conceptode “magnitud infinita”5. En eso, el pretenece a una epoca singular, y quizasefımera, de la filosofıa: Pascal, Spinoza, y algunos otros menos conocidoshoy, tambien colocaron este “objeto” en el centro de sus preocupaciones,como si hubiese ahı una de las cuestiones mas vivas y mas necesarias parala filosofıa, pero sobre todo, como si el conocimiento del infinito permitieseorganizar y fundar una filosofıa nueva.

El infinito entre matematicas y metafısica

La comprension de la concepcion leibniciana del infinito es bastante de-licada. La grandısima masa de textos, su caracter a menudo fragmentarioe incompleto no hace facil poder inteligir su doctrina. A menudo Leibnizproyecto escribir un tratado sistematico sobre esta cuestion, incluso anun-cio un tıtulo bastante ambicioso: De Scientia Infiniti. Pero ese trabajo, queestaba pensado para exponer los fundamentos y los desarrollos principalesdel “calculo del infinito”, termino, a fuerza de ser diferido, por nunca verla luz del dıa. Por lo tanto nos vemos arrojados a una multitud de textosdonde la coherencia global no es accesible inmediatamente. El inacabamien-to mismo de esta obra puede convertirse, evidentemente, en un motivo dedesconfianza: allı donde esperamos un “sistema”, nos encontramos, aparen-temente, con un “monton” [amas6]. Entonces, ¿es necesario suponer que lafilosofıa leibniciana del infinito es inconsistente, o en todo caso inacabada eincompleta?

4“Quand j’etais jeune garcon, je donnai aussi dans le Vide et dans les Atomes; maisla raison me ramena. L’imagination etait riante. On borne la ses reserches; on fixe lameditation comme avec un clou; on croit avoir trouve les premiers Elements, un “non plusultra”. Nous voudrions que la Nature n’allait pas plus loin, qu’elle fut finie, comme notreesprit: mais ce n’est point connaitre la grandeur et la majeste de l’Auteur des choses. Lemoindre corpuscule est actuellement subdivise a l’infini, et contient un monde de nouvellescriatures, dont l’univers manquerait, si ce corpuscule etait un Atome, c’est-a-dire un corpstout d’une piece sans subdivision.” PS, VII p.377

5Saber justamente si es legıtimo hablar del infinito como de una “magnitud”, y hacerde el un objeto de un “calculo”, esa es una de la investigaciones constantes de Leibniz.

6Amas: Palabra clave para la que aun no he encontrado una solucion satisfactoria. Un“Amas” es una pluralidad desordenada, el resultado de ir “amontonando”. Se opone asistema y tambien a totalidad continua, pero no se trata de una pura variedad sin unidadalguna. Podrıamos incluso sugerir que se encuentra a medio camino, su unidad esta solosugerida. Un “amas” es un monton de trigo, una pila de papeles, pero tambien un ejambrede abejas, una nube de estrellas...[T]

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Adicionalmente, la pluralidad de puntos de vista resulta siendo un pro-blema. ¿A que tipo de doctrina nos enfrentamos?

¿Se trata de una concepcion, primero que todo matematica, que vieneadosada a la invencion de una nueva tecnica de calculo? ¿Es el “calculo in-finitesimal” el que nos brinda los analisis mas pertinentes sobre el infinito?La palabra misma -“calculo infinitesimal”- resulta muy incierta, pues dejasuponer, sin determinarla, que existe una relacion entre el calculo y el “in-finito”; pero ¿que es el infinito allı? ¿Es un “objeto” para el calculo, o unapropiedad del calculo mismo (hay resoluciones que “van al infinito”)?

¿O se trata mas bien de una “filosofıa de la naturaleza”, a medio caminoentre la fısica y la metafısica? Leibniz no duda en afirmar, tomando el riesgode enunciar proposiciones a primera vista bastante enigmaticas, que “todova al infinito en la naturaleza”, o que “(la naturaleza) hace entrar el infinitoen todo lo que ella hace”.

¿Somos finalmente reconducidos (de manera quizas decepcionante, porser mucho menos original) a una teologıa, por la repeticion insistente de laidea de que el infinito es lo propio de Dios y que solo de el puede decirse “enrigor” que sea infinito, porque solo el es “absoluto”?

En realidad, todas estas orientaciones son pertinentes, cada una con suconsistencia propia. La dificultad esta en su “composicion”, y Leibniz mismose ve enfrentado, teniendo en cuenta sus multiples perspectivas de analisis,a cuestiones muy delicadas: ¿las invenciones del matematico hablan de, oconfirman ellas mismas, las hipotesis fısicas o metafısicas? O ¿incitan ellaspor el contrario a pluralismo, incluso al eclecticismo? ¿El infinito debe com-prenderse de manera unıvoca en matematicas, en fısica, en metafısica, oprecisamente es necesario, a contravıa con la impresion que da el lengua-je ordinario, renunciar a elaborar una concepcion unificada? ¿Es necesarioadmitir, por ejemplo, que las aproximaciones cuantitativas, que buscan elinfinito en terminos de magnitud medible, no serıan suficientes, y que otrotipo de saber (¿pero cual?) es requisito para constituir un conocimiento ver-dadero del infinito? Parece que hay, en Leibniz mismo, una indecision, quepuede servir aquı de primer reparo: o bien hacer de las matematicas infini-tesimales el principio de una reforma de la filosofıa, o bien limitar su uso,ası sea muy fecundo, a su dominio original. ¿Cual es el contenido exacto deesta alternativa?

1. Al igual que Kant algunas decenas de anos despues, Leibniz juzga conojo severo el estado de la filosofıa, y particularmente el de la metafısica(o “filosofıa primera”): en un texto de 1694, De la reforma de la filo-sofıa primera y de la nocion de substancia, la describe como el lugar

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de todas las incertidumbres y de todas las ambiguedades: allı abun-dan las “visiones”, pero hacen falta las verdaderas demostraciones, lascontroversias se multiplican, de manera que “la mayor parte de aque-llos que gustan del estudio de las matematicas tienen aversion por lametafısica, porque en las primeras encuentran la luz y en la ultima lastiniebras”. Leibniz se coloca entonces como metafısico “reformador” ysugiere resolver finalmente los problemas “bajo el ejemplo del calcu-lo”. Si hay un optimismo leibniciano, que se atribuye a menudo a sufilosofıa moral, consiste tambien en esa esperanza de aportar una “so-lucion” a los problemas de la metafısica. Y si el calculo viene a ocuparese lugar de ejemplo para la filosofıa, ¿no es antes que nada porqueesta en camino de convertirse en calculo “del infinito”?

Es a partir de “las consideraciones matematicas sobre la naturalezadel infinito” que una “luz nueva e inatendida” llegarıa al filosofo7. Nu-merosos desarrollos dan testimonio, hasta en el vocabulario utilizado,de esa “inspiracion infinitista” en la filosofıa leibniciana: la mayorıade las cuestiones tradicionales, a menudo las mas aporeticas, son re-tomadas y pasadas por la “criba” de esta nueva aproximacion a larealidad. Se puede seleccionar, como un modelo del genero, la toma deposicion leibniciana frente a la muerte. Leibniz retoma una tesis muyhabitual de la antigua metafısica -aquella de la inmortalidad-, perodistinguiendose mediante la argumentacion que propone. Se trata desubstituir las imagenes groseras e inadecuadas del comienzo y el fin,pero tambien de la permanencia, por el concepto de una transforma-cion continua e infinita: no hay en realidad ni comienzo, ni fin, losseres vivos se “desarrollan” y se “enrollan” [“developpent” et “enve-loppent”8]. Es solo bajo esta condicion que la tesis de la inmortalidadviene a ser aceptable. El nacimiento y la muerte no deben ser con-cebidas como momentos de ruptura (paso del no-ser al ser o del seral no-ser), ni como simples continuaciones de lo mismo, sino al con-trario, como procesos continuos de crecimiento y de disminucion. La

7De la Libertad, PO. Pp. 379-383.8Developper/ envelopper: Este par de conceptos juegan un papel clave dentro del sis-

tema leibniciano como ha venido a subrayar la obra de Deleuze, “El Pliegue, Leibniz y elBarroco”. La primera de las palabras sugiere el par desarrollar / enrrollar, sin embargola segunda nos inclinarıa mas bien por desenvolver /envolver. En este caso he escogidoel primer par para mantener la implicacion de progreso (que corresponderıa tambien alpar evolucionar / involucionar que es el utilizado por Velarde en su traduccion y por elmismo Leibniz en la version latina de la Monadologıa). Con el segundo se pone el enfasisen el origen “textil” del par en cuestion (que se verıa aun mas acentuado con desplegar /replegar) y ya me vere forzado a recurrir a el mas adelante (ver p.59). [T]

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disminucion puede ir tan lejos que el proceso, propiamente hablan-do, deje de ser visible. Pero aquello que no es visible se deja concebirsin contradiccion y sobre la base de solidas razones que bastan paraestablecerlo. La muerte sera aquella “disminucion, que hace volver alanimal a las produndidades de un mundo de pequenas criaturas, dondelas percepciones son mas limitadas9 [bornees10]”

Como no advertir en esas proposiciones, pero tambien en el argumento[demarche] que hace aquı de hilo conductor, las analogıas, incluso lassimilitudes con los conceptos fundadores del totalmente nuevo calculoinfinitesimal: la introduccion de las magnitudes “diferenciales” (aque-llas que Leibniz propone escribir como “dx”, donde “x” representauna variable y “d” la operacion de diferenciacion) en el analisis permi-te determinar aquellas cantidades “tan pequenas” que anteriormenteescapaban al calculo, y orienta a las matematicas hacia una medida[mesure] adecuada de la continuidad. ¿Que son entonces las “disminu-ciones” y los “crecimientos” de los que habla cuando esta en cuestionel analisis de la muerte, sino la reformulacion, en el espacio de una bio-logıa, de las formas matematicas de la diferenciacion y la integracion?

Aquello que vale para la biologıa puede tambien valer para una fısi-ca general, al igual que para un pensamiento de la historia: es todauna filosofıa nueva la que llama el nuevo calculo, capaz de escaparpor fin a las aporıas de los antiguos metafısicos, demasiado atrapa-dos por una concepcion finitista de la realidad. Leibniz se diferenciaen este punto de aquellos modernos que, como Descartes y sus “se-guidores” [sectateurs], han buscado reinventar la filosofıa, pero hanresultado demasiado tımidos y demasiado prudentes en la elaboracionde una concepcion racional del infinito. Leibniz habrıa trabajado tam-bien - ayudandose constantemente de sus invenciones matematicas yaplicando los conceptos de lo infinitesimal a otros objetos y en otrossectores- hacia la constitucion de una filosofıa de parte en parte “infini-tista”. Ası tomara distancia de la afirmacion religiosa de una infinitudtrascendente y misteriosa.

9Por lo general tanto cuando usa “limite” como “borne” parece referirse a aquelloque denotamos con la palabra “lımite” en espanol, pero por lo general a dos acepcionesdistintas: “limite” para termino (se llega hasta allı), y “borne” a cota (no se va masalla). Lo preferible habrıa sido poder utilizar “lımite” siempre para “limite” y “cota” para“borne” y las palabras analogas, pero el resultado es demasiado chocante en muchos de loscasos. Sin embargo para permitir seguir el rastro al lector he puesto “lımite” en cursivascuando corresponde a “borne”. [T]

10Cf. Principios de la filosofıa, Monadologıa, §73 y 76, PO p.406.

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2. Pero no es seguro que el proyecto de una doctrina unificada sea tenible,y que pueda existir una convergencia entre los analisis matematicosy las preocupaciones mas generales de la filosofıa: Leibniz se resis-tio regularmente a las presiones de sus contemporaneos que querıanhacerlo admitir una correspondencia estricta entre los descubrimien-tos matematicos y las tesis de fısica o de metafısica que implicaban elinfinito. Quizas debio defenderse tambien contra su propia tendenciaa establecer correspondencias, analogıas entre los distintos dominios,entre los diversos niveles de analisis. El estallido de los “ordenes” rea-parecerıa entonces, en la oposicion entre el “infinito verdadero” (Dioso la inmensidad del mundo) y las determinaciones limitadas graciasa las cuales pensamos. Incluso los conceptos matematicos mas sutilesparecen entonces insignificantes: ¿no son finalmente ficciones, llenasde astucia y utiles, pero sin valor de verdad fuera de su estricto do-minio de utilizacion? Uno tiende entonces, de nuevo, a desesperarsecon la razon: ¿no hay ningun concepto que pueda “irse al infinito”?¿Que viene a ser en estas condiciones el proyecto de una “ciencia delinfinito”?

Existe entonces una dificultad que apunta a esa mezcla de proximidady de distancia que Leibniz instala entre su “calculo del infinito” y elresto de su filosofıa. Al hilo de sus textos, pero tambien al hilo de losnumerosos comentarios que su obra ha sucitado, uno se ve confronta-do a la separacion [ecart], quizas irreductible, que se ahonda [creuse]entre las matematicas y la metafısica; pero al mismo tiempo uno seve enviado y devuelto sin cesar de un polo al otro, segun aquello queLeibniz mismo llama relaciones de “expresion” recıproca.

¿Una metafısica “abusiva”?

Resulta entonces interesante senalar [remarquer] que justamente Leibniz,ası como aquellos que son inscritos bajo su filiacion, se han visto reprochados,y esto desde del siglo XVIII, por haber “mezclado” [melange] abusivamentelos analisis matematicos y las hipotesis metafısicas, de haberse “embrolla-do” [embarrasse] en una metafısica del infinito, prefiriendo muy a menudolas extrapolaciones y las analogıas al rigor de la matematica. Como si lapositividad de las matematicas fuese trabada entre ellos por una metafısicaestorbosa [encombrante].

La posicion tomada por d’Alembert resulta desde esta perspectiva muysignificativa: ella representa un “tipo” de crıtica radical a la filosofıa leibni-ciana. En su Ensayo sobre los elementos de la filosofıa, d’Alembert opone la

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buena metafısica y la metafısica “abusiva”. La primera corresponde al cono-cimiento claro de los principios de la ciencia: es “la mas satisfactoria cuandono considera sino los objetos que estan a su alcance, los analiza con claridady precision, y no se eleva en su analisis mas alla de aquello que ella mismaconoce claramente de los mismos”; pero la metafısica deviene “la mas futilcuando, orgullosa y tenebrosa a la vez, se introduce [enfonce] en una regionnegada a su mirada, diserta sobre los atributos de Dios, sobre naturaleza delalma, sobre la libertad (...) donde toda la antiguedad filosofica se ha perdido,donde toda la filosofıa moderna no debe esperar ser mas afortunada11”. Yla consideracion del infinito es la ocasion principal para el desarrollo de estametafısica excesiva.

A los metafısicos “abusivos” - Fontenelle es senalado explıcitamente, perosin duda, a traves de el, tambien Leibniz - d’Alembert dirige de hecho tresreproches principales:

- Haber sobrepasado las reglas de la prudencia cientıfica, y haberse dedicadoa tratar con preguntas demasiado complejas, y por lo tanto definitiva-mente oscuras: preguntandose, por ejemplo, si el infinito puede decirsede Dios, o si la naturaleza es infinita, y en que sentido.

- No haber fijado “una idea clara, simple y al abrigo de todo enredo [chi-cane]” del infinito: ahora bien, fijar esta idea, es, segun d’Alembert,comprender a la vez que nosotros no tenemos (y que no podremos tenernunca) una idea positiva del infinito como tal, porque para nosotrosesta nocion se reduce [ramene] principalmente a la idea “abstracta” yvaga de indefinido; y que la unica definicion verdadera del infinito esla del “lımite” de lo finito: “El termino [terme] contra el cual lo finitotiende sin nunca arrivar, pero a donde se puede suponer que se acercasiempre mas y mas.12”

- No haber comprendido que las expresiones (en particular las expresionesmatematicas) donde entra el termino “infinito” no remiten jamas a“alguna cosa” que serıa infinita, sino que son “maneras abreviadas deexpresarse, que los matematicos han inventado para enunciar una ver-dad, cuyo desarrollo y enunciado exacto habrıan requerido demasiadaspalabras”. En el fondo, los metafısicos “excesivos” no resisten la ten-tacion, natural y naıve, de “realizar” el infinito, para hacer de el la“base real de sus calculos”.

11Essai sur les elements de philosophie, Fayard, p. 347.12Ibid. p. 340.

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En la serie de artıculos de la Enciclopedia que consagra al calculo13,d’Alembert busca establecer una diferencia muy precisa [nette] entre Leib-niz y Newton, oponiendo la “embrollo” del uno a la determinacion esclare-cedora del otro. Leibniz se habrıa “embrollado con las objeciones que sentıase podrıan hacer sobre las cantidades infinitamente pequenas”, allı dondeNewton “no ha tomado jamas el calculo diferencial como el calculo de can-tidades infinitamente pequenas, sino como el metodo de las primeras y ulti-mas proporciones [raisons], es decir, el metodo de encontrar los lımites de lasrelaciones [rapports]...” La positividad newtoniana consistirıa en haber com-prendido, antes de que el concepto mismo fuese plenamente elaborado, que“la teorıa de los lımites es la verdadera base del calculo diferencial”. La otrametafısica, aquella de las cantidades “infinitamente pequenas” vendra a seren realidad superflua: de allı que notemos que “la suposicion que hacemos decantidades infinitamente pequenas no es mas que para abreviar y simplificarel razonamiento...”, todos los “misterios” se explican y se desaparecen comotantos otros falsos problemas: “Se puede prescindir muy comodamente detoda esa metafısica del infinito en el calculo diferencial.”

Aunque sea precisa, la crıtica de d’Alembert no resulta menos pro-blematica. De hecho, ella nos reconduce a las preguntas leibnicianas. Po-demos rearreglar las dificultades alrededor de tres puntos:

1. Una primera serie de dificultades apuntarıa a la palabra misma: eltermino “infinito”, efectivamente, esta lleno de equıvocos que alimen-tan las fluctuaciones del concepto mismo, o mas aun, de aquella “no-cion” de infinito que tenemos y que esta, sin duda, muy lejos de serun concepto. El defecto es aquı, en principio, del lenguaje comun, quedeja las significaciones en una gran indeterminacion. Pero nuestra re-lacion habitual con el lenguaje es implicada tanto o mas: frente a laspalabras, sobre todo cuando se trata de “substantivos”, partimos in-mediatamente a la busqueda de un referente - como si debiese haber“alguna cosa” que responda al termino “infinito” de la que se intentaraadquirir conocimiento. ¿Que hay aquı sino una creencia naıve e irre-flexiva acerca de la “realidad” de las palabras? Si la vıa propuesta pord’Alembert es interesante, es porque ella exige antes que nada resistira ese realismo naıve que nos hace tomar las palabras por las cosas opor los signos de las cosas.

Pero se irıa demasiado rapido al negar la existencia de un referente. ¿Elinfinito es nada y no hay nada que sea infinito? ¿Estamos seguros que

13Encyclopedie, artıculos “Infinito”, “Diferencial”, “Lımite”.

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no hay allı mas que una palabra, que una manera de hablar? Aquelloque hay de interesante en Leibniz es que se le puede ver resistir alrealismo naıve, pero al mismo tiempo no abandona la perspectiva deuna referencia: el infinito no es “nada”, y los “juegos” del lenguaje noremiten solo a ellos mismos. Y si el admite que las diferenciales soncaracteres que abrevian el razonamiento, se trata de caracteres bienfundados, que tienen su fundamentum in re.

2. Una segunda serie de dificultades concierne a la exigencia misma declaridad y de definicion que anima la crıtica que conduce d’Alembert.Esa exigencia toma evidentemente sentido dentro de una polıtica deextension del saber: es necesario luchar contra el oscurantismo y desa-rrollar los conocimientos “tous azimuts”, comprendiendo las cuestionesreputadas como las mas inaccesibles, como aquella del infinito. Parad’Alembert el riesgo apunta a que los hombres, como sucede en gene-ral, caigan fascinados por la oscuridad “previendo que de ahı resultealguna cosa maravillosa14”, pero sobre todo a que los hombres quie-ran cultivar el misterio ellos mismos, mediante lo cual parecerıan muypoderosos y muy sabios. Nada mas que “charlatanerıa”: de hecho, “laverdad es simple, y quizas se deshace del numero mas grande sabiendoque no vale la pena15”. Mas que ninguna otra, la cuestion del infinito -ya que ella se comunica con todos los enigmas de la teologıa - requiereser desembarazada de sus resıduos mısticos [“gangue mystique”].

Pero, ¿es verdaderamente pertinente aquı la exigencia de claridad?Exigir la claridad y hacerla el criterio de la verdad, no es, simplemen-te, instalarse en una concepcion intuicionista del conocimiento, comosi el infinito debiera, o bien devenir el objeto de una “vision”, o en sudefecto no ser mas que una palabra, una “manera de hablar”. Leibniz,constantemente, busca construir una vıa distinta: la claridad intuitivano es un buen criterio en materia de conocimiento. Uno puede ser “cie-go” o “sordo”, y a pesar de eso reconocer lo verdadero: porque pensarno es ver, sino calcular, y la consistencia del calculo debe primar sobrelas evidencias (¿o las oscuridades?) de la intuicion. ¿Es necesario de-sahuciar los enunciados sobre el infinito, bajo el pretexto de que no son“claros”? La unica vıa positiva serıa entonces aquella de una reducciona lo finito: o bien que se mantenga la idea del infinito que se tiene habi-tualmente, una idea muy vaga y “abstracta” (aquella de una “cantidad

14Encyclopedie, artıculo “Differentiel”.15Ibid.

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a la cual no le asignamos lımites”), o bien que se la determine dentrode lo finito, como la tendencia de ciertas cantidades finitas contra suslımites (“el termino contra el cual lo finito tiende sin nunca arribar,pero al que se puede suponer que se aproxima siempre mas y mas”).Es precisamente contra esta reduccion que los analisis leibnicianos seorientan. ¿Es necesario ver ahı el signo de una metafısica demasiadoambiciosa, de un realismo mal controlado [maıtrise] y condenado alfracaso, o mas bien, de una orientacion conceptual distinta, no menosexigente?

3. Un tercer grupo de dificultades concierne a la historia de las matemati-cas del infinito, y el rol que allı juega aquella metafısica aparentemen-te “abusiva”. Tratandose del infinito, las matematicas son sujeto deuna extrana historia. Las cuestiones que conducen a “reencontrar” elinfinito son muy antiguas, pero la conceptualizacion propiamente ma-tematica del infinito se adquiere muy lentamente. Ciertos conceptosque hoy nos parecen elementales, como aquellos de funcion o de lımi-te, no vienen a ser construidos sino muy tardıamente. Se encontrarıanargumentos consistentes para decir que no es sino hasta el siglo XIX,con los trabajos de Weierstrass y del mismo Cantor, que el infinitotoma definitivamente su lugar entre los conceptos fundamentales delpensamiento matematico. Los matematicos han dudado con frecuen-cia entre una desconfianza frente del infinito y la invencion, quizassutil pero mal controlada conceptualmente, de tecnicas de calculo quedan un lugar (al infinito), como tantas astucias [autant de ruses] queanticipan una teorıa ausente.

La epoca de Newton y de Leibniz parece ası llena de incertidumbre: venla luz nuevos procedimientos de calculo, pero los conceptos que permitiranjustificarlos estan en curso de elaboracion. Leibniz en matematicas - se leha reprochado a menudo - tantea mas de lo que demuestra. Su rol efectivoes a veces controvertido, como sucede a menudo cuando se trata de asignarlos “inventores” a los “descubrimientos”. O bien se insiste en la importanciadel metodo, y se hace de su marcha [demarche] innovadora (sus exigencias“algorıtmicas”, su “arte de la invencion”) el principio del desarrollo ulteriorde las matematicas del infinito: se tiene entonces la figura de un descubri-dor. O bien nos atenemos unicamente a los problemas y a los conceptosefectivos, para constatar que en el fondo Leibniz a innovado muy poco, queel sobre todo se ha dedicado a organizar los calculos que otros (Fermat,Pascal, Huygens) habıan emprendido antes que el, y que sus trabajos estan

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limitados por la indeterminacion, perceptible por la ausencia de ciertos con-ceptos claves. Leibniz pertenecerıa entonces, sea cual sea su “genio”, a unaepoca primitiva en la historia del calculo del infinito. Esta querella es pro-bablemente interminable, ya se alimenta de las ambiguedades mismas de laobra leibniciana16. ¿Pero no es entonces en su “metafısica” que es necesa-rio buscar las elaboraciones conceptuales que aparentemente hacen falta enmatematicas? Se puede aquı hacer un paralelo entre las argumentaciones[demarches] de Leibniz y Spinoza: ¿no es cuando hablan de “Dios”, y retra-bajan las categorıas mas tradicionales de la filosofıa (notablemente aquellade “substancia”) que ellos contribuyen a hacer entrar el infinito en el campode la racionalidad, incluso en la matematica?

“Todo va al infinito en la naturaleza17”

Las exigencias de una “reforma”

Es necesario “reformar” la metafısica: tal es la exigencia que Leibniz sepone despues de haber analizado la crisis en la cual, a sus ojos, la “filosofıaprimera” se ha hundido. Pero en el debate que opone en el siglo XVII los“Antiguos” y los “Modernos”, Leibniz escoge la solucion de termino medio,privilegiando la continuidad y la integracion de las posiciones sobre la ruptu-ra: pues reformar es en principio conservar, incluso si las reinterpretacionesson inevitables. Esa conservacion se sostiene sobre tres puntos fundametales:una metafısica es posible y necesaria, como “ciencia” distinta y fundamen-tadora de las otras disciplinas; esa metafısica se define primero que todocomo una “ontologıa”, ciencia o teorıa general del ser18, y la nocion tradi-cional de substancia continua siendo su centro. La diferencia aquı es muyprecisa entre Leibniz y sus contemporaneos, Pascal o Spinoza por ejemplo,que buscan deshacerse de tal nocion, o en todo caso a reservar su uso paraDios. Que sean las “substancias”, como vienen a la existencia y como se

16Nosotros remitimos en la bibliografıa a las obras que tratan precisamente de esasdificultades.

17Tout va a l’infini dans la nature. Principios de naturaleza y de la gracia fundadas enla razon, §6, PO, p.393 En la traduccion de Olaso (p.600) se dice “todo tiende al infinito”que sin duda suena mejor, pero para mı tiene el problema de que da la apariencia demantener el infinito en la lejanıa, en la potencialidad, hacia la que se “tiende”, mientrasque lo que se pretende aquı es mostrar que el infinito esta aquı, de manera actual, en todolo que hace parte de la naturaleza [T].

18El uso de este termino es desarrollado por Christian Wolf (1679-1754) Pero se encuen-tra tambien en Leibniz (COF, p.512): “Ciencia de cualquier cosa y de ninguna, del ser ydel no-ser, de la cosa y sus modos, de la substancia y los acidentes.”

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mantienen, como ellas se relacionan unas con otras, tales son las cuestionesprincipales que esta “metafısica” debe responder.

Pero la conservacion no tiene sentido si no se acompana de una empresade renovacion. Leibniz terminara por proponer un nuevo termino, “monada”,para designar aquello que considera la realidad primera, verdadero elementofundador de aquello que nosotros llamamos, sin saber muy bien que es, larealidad.

La reforma emprendida por Leibniz se desarrolla en principio sobre unplan logico. La substancia es un “sujeto”, y habra que comprender que esesujeto tiene una relacion de inherencia con el conjunto de sus predicados:los predicados estan “en” el sujeto, y la proposicion que los relaciona noes mas que una explicitacion. Pero las cuestiones de orden dinamico reve-lan rapidamente ser tambien muy importantes: ¿como y sobre la base deque potencia estas “substancias” producen los efectos? Estos interrogantesconducen a Leibniz a romper con los cartesianos, a operar un retorno a los“Antiguos” (Aristoteles, pero tambien Platon) y a construir, bajo el tıtulode “monadologıa”, una nueva filosofıa en primera instancia muy enigmatica.El atomismo y el mecanicismo se encuentran ahı, en efecto, subvertidos: lassubstancias son como las “almas”, o “atomos espirituales”, los cuerpos nodeben su realidad a la materia o a la extension, sino a las fuerzas que allı seexpresan. De conjunto, la racionalidad de esta nueva filosofıa dara problema,Leibniz se adhiriendose a la reactivacion de una forma de animismo o vitalis-mo, mientras que los fundadores del pensamiento moderno, comenzando porBacon y Descartes, habıan buscado desembarazarse de estos. Los elementosde esta filosofıa singular son sometidos a muchas revisiones en textos queademas de muy complejos suelen ser muy sinteticos19. ¿Que lugar ocupa,en su trabajo constante de renovacion de la metafısica y de sus categorıasfundamentales la consideracion del infinito?

Los diferentes “lugares” de la infinitud

El termino infinito interviene abundantemente, en uno de los textos don-de Leibniz expone aquello que constituye segun sus propias palabras los“principios de (su) filosofıa”, la Monadologıa. Este texto es tardıo (se lofecha en 1714) y se apoya en una doctrina ya constituida para entoncesdesarrollar las grandes articulaciones.

19Citamos algunos de los mas importantes: Discurso de metafısica (1686), Nuevo sistemade la naturaleza y de la comunicacion de las substancias (1695), Principios de la naturalezay la gracia y Principios de la filosofıa, llamados Monadologıa (estos ultimos dos textos sonescritos entre 1711 y 1714).

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El termino infinito aparece explıcitamente en cinco contextos diferentes,lo que incita al lector a la prudencia. Las dificultades senaladas en la in-troduccion estan plenamente presentes aquı: ¿que hay que entender por eltermino “infinito”? ¿Es suceptible de una definicion unificada y precisa, ono hay mas que una idea vaga e “indefinida”? Y sobre todo: ¿como se rela-cionan unos con otros los diferentes aspectos (los diferentes “niveles”) de lainfinitud?

La infinitud de Dios. - La infinitud es en principio aquella de un Dios ysus “atributos”. Hay, debe haber - es una de las constantes de la filosofıaleibnciana que se articula siempre con una teologıa - un “autor infinito” delmundo y de la historia:

... Dios es absolutamente perfecto; la perfeccion no siendo otracosa que la magnitud de la realidad positiva tomada de mane-ra precisa, poniendo aparte los lımites o cotas en las cosas. Yallı donde no hay nigun tipo de cotas, es decir en Dios, la per-feccion es absolutamente infinita20.

Sin la infinitud la perfeccion no podrıa, por retomar una formula de laCorrespondencia con Arnauld, ni ser, ni ser concebida. Los dos terminosse remiten el uno al otro en una relacion de casi-identidad: la perfeccion,dice Leibniz, no es “nada mas que” la infinitud. Aquello que es perfecto,nada le podrıa faltar: la perfeccion implica, por lo tanto, analıticamente (esdecir, por simple despliegue [deploiement] de su nocion) la abolicion de loslımites. La infinitud pertenece a aquel que es perfecto a mismo tıtulo que laexistencia.

La originalidad de Leibniz viene menos de la tesis misma (que la inifini-tud sea uno de los “atributos” de Dios es una proposicion constante de lasteologıas modernas) que de sus motivaciones. A las tradicionales “pruebas”de la existencia de Dios no les reconoce valor sino bajo una condicion previa:hay que mostrar que un ser absolutamente perfecto e infinto es posible, esdecir, que se deja concebir sin contradiccion. Que tengamos una “idea” dela perfeccion infinita no es suficiente: tenemos tambien una idea del numeromas grande o de una velocidad infinıtamente grande a pesar de que el uno yla otra son, stricto sensu, imposibles, pues implican una contradiccion. Y los

20... “Dieu est absolutement parfait; la perfection n’etait autre chose que la grandeur dela realite prise precisement, en mettant a part les limites ou bornes dans les choses qui enont. Et la ou il n’y a point de bornes, c’est a dire en Dieu, la perfection est absolutamentinfinie.” Monadologıa, §41, PO, p.401.

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pensamos, y tambien los utilizamos en las demostraciones21. Es necesarioentonces someter el argumento “ontologico” tradicional (“A un ser perfec-to la existencia no le podrıa faltar”) a una prueba previa: aquella de la nocontradiccion, y es solo bajo esta condicion que viene a ser aceptable.

Si hay un Dios perfecto, es decir infinito, es sobre todo porque es nece-saria, a los ojos de Leibniz, una “razon” superior que culmine [acheve] laserie de razones particulares y salve ası el mundo de la contingencia. El Diosde la Monadologıa, en su propia infinitud, es sobre todo una exigencia dela razon, y Pascal habrıa visto allı muy ciertamente un Dios-de-filosofo: “Esnecesario que la razon suficiente o ultima este fuera de la secuencia o seriedel detalle de las contingencias, por infinito que este podrıa ser.22”

Es la infinitud de Dios, paradojicamente, la que viene a poner un “termi-no” a la infinitud de las contingencias o de los “detalles” del mundo. Laposibilidad de encadenar infinitamente razones particulares a razones par-ticulares es una amenaza a su racionalidad: en esas condiciones, en efecto,nos harıa falta siempre una razon “suficiente” que “complete” los encadena-mientos (las series), si no, no se escaparıa jamas verdaderamente a la con-tingencia. Es de esta “razon ultima”, que “es incapaz de lımites y (contiene)tanta realidad como es posible23”, de la que se puede afirmar sin reservasque es plena y “positivamente” infinita.

Se puede reparar aquı en muchas dificultades. Mientras que el terminoorden es frecuente en Pascal, que ahonda la separacion entre “ordenes” he-terogeneos, es raro en Leibniz. ¿La infinitud de Dios constituye un ordende infinitud especıfico? La infinitud es descrita aquı como la “ausencia delımites”: parece entonces (pero ¿como podrıa ser de otra manera?) que serıauna operacion de abstraccion la que nos conducirıa a concebir el infinito.¿Pero entonces la idea del infinito no resulta demasiado indirecta, finalmen-te demasiado indeterminada? Leibniz, para caracterizar la perfeccion divina,hace intervenir la nocion de “magnitud”24. ¿Que es una magnitud “sin lımi-tes”? ¿Poner “aparte” los lımites, no es abolir la idea misma de magnitud?Como una “magnitud” ası puede ser concebida?

Es la cuestion del conocimiento del infinito la que se anuncia aquı: ¿darseun Dios y llamarlo infinito, “inmensamente grande”, no es condenarse departida a hacer del infinito una realidad misteriosa y, en sentido estricto,inconcebible? Como se puede ser a la vez un filosofo racionalista, quizas uno

21Carta a Elizabeth (?), fin 1678, PO, p. 129-130.22M, §37, p. 401.23M, §40, p. 401.24Ibid. “La perfeccion no siendo otra cosa que la magnitud de la realidad positiva tomada

de manera precisa, poniendo aparte los lımites o cotas en las cosas.”

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de los mas racionalistas de los filosofos - “nada es sin razon”- y un teologode la trascendencia divina.

La infinitud de los mundos posibles. - Uno encuentra enseguida “entrelas ideas de Dios”, es decir, siguendo con cuidado las distinciones leibnicia-nas, situandose en el nivel de un analisis de los posibles, una “infinitud deuniversos”:

Ahora bien, como hay una infinitud de universos posibles entrelas ideas de Dios y no puede existir sino uno solo, es necesarioque exista una razon suficiente de la eleccion de Dios que lodetermine hacia uno mas que a otro25.

Antes que ser una dimension del mundo real, el infinito caracteriza los“posibles”. Que haya una infinitud de universos posibles, diferentes del nues-tro, es en parte lo que permite a Leibniz (contra Spinoza sobre todo) defenderla hipotesis de la eleccion divina: el universo existente no es el unico universoposible. Pero esto trae a cuenta, por otra parte, un sistema de combinacio-nes, de composiciones alternativas: otros universos, diferentes del nuestropero “coherentes”, son pensables, y ası al infinito. El paso de lo posible a loreal no obedece a una necesidad en el sentido estricto (aquella de una iden-tidad), sino a la determinacion de lo mejor. A esta tesis corresponde, en laTeodicea, la reinterpretacion de la creacion divina como calculo, concebidobajo el modelo de una combinatoria que toma en cuenta la infinitud de losposibles.

La infinitud de los posibles, tan grande como sea, no es mas queaquella de la sabidurıa de Dios, que conoce todos los posibles. Sepuede decir incluso que si su sabidurıa no sobrepasa extensiva-mente los posibles, pues los objetos del entendimiento no podrıanir mas alla de lo posible, que en un sentido es solo inteligible, ellales sobrepasa intensivamente, a causa de las combinaciones infini-tamente infinitas que ella de ellos realiza, y de tantas reflexionesque ella hace alla arriba. La sabidurıa de Dios, no contenta deabarcar todos los posibles, los penetra, los compara, los pesa losunos contra los otros, para estimar los grados de perfeccion ode imperfeccion, lo fuerte y lo debil, lo bueno y lo malo: ella vamas alla de las combinaciones finitas, ella realiza allı una infini-tud de infinitos, es decir una infinitud de continuaciones posibles

25M, §53.

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del universo, donde cada una contiene una infinitud de criatu-ras, y por ese medio, la sabidurıa distribuye todos los posiblesque ella ha considerado por aparte, en una variedad de sistemasuniversales, que ella compara entonces entre ellos: y el resultadode todas sus comparaciones y reflexiones es la eleccion del mejorentre todos esos sistemas posibles26...

Notamos de nuevo la presencia de la nocion de magnitud, aplicada a lainfinitud. Ella se profundiza mediante la distincion entre dos modos, o dosmaneras de referirse al infinito: extensiva o intensivamente. La “extension”corresponde a la infinitud simple, que uno podrıa llamar objetiva (sin perderde vista que se trata de posibilidades, no de realidades): hay una infinitud deposibilidades coherentes, es decir de mundos, posibles. La “intension” impli-ca la refexion, y el examen meditado [reflechi] de los posibles por la puestaen obra de la combinatoria hablando propiamente, en una distribucion quetiene por objeto la determinacion del mejor. La inflacion del vocabulario - loinfinitamente infinito - marca esta oposicion entre una infinitud de primergrado y una infinitud meditada por intermedio de un sistema combinato-rico. Se tiene aquı, a proposito de Dios, la indicacion muy precisa de quepor ese sistema la infinitud pude devenir objeto de conocimiento: la com-binatoria permite “abarcar” [embrasser] los posibles y “comprender” esainfinitud. Lejos de indicar un lımite para el conocimiento, la cualificacion de“infinitamente infinito” marca, por el contrario, el momento donde el juegocombinatorio transforma el infinito en objeto de conocimiento.

La infinitud de la substancia. - Una de las singularidades de esta doctrina,es que la infinitud no esta “reservada” a un Dios, ası fuese el “autor infini-to” del mundo y de las cosas del mundo. Ella se dice tambien de los “seres”realmente existentes, en otros terminos, de las “substancias” o “monadas”.Leibniz distingue variedad de especies de substancias, segun el desarrollomayor o menor de la conciencia, donde la “percepcion” y el “apetito” per-tenecen a todas las substancias, y no solo a aquellas que son dotadas deconciencia. Todas “perciben” el infinito y son marcadas por el. El “apetito”,que es “la accion del principio interno que hace el cambio o el paso de unapercepcion a otra” : cada substancia es una realidad dinamica, capaz de pa-sar por sı misma, es decir por un “principio interno”, de un estado al otro.“Percibir”, que es reunir [rassembler] una multitud de estados en la unidadde un mismo sujeto: “Representar una multitud en la unidad.27” Es allı don-de se situa la relacion con el infinito: la substancia es representativa, y esa

26T, §225, GF, p. 253.27M, §14, PO 398.

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capacidad de representacion va al infinito: “La naturaleza (de la monada)siendo representativa, nada podrıa limitarla a no representar mas que unaparte de las cosas... ellas van todas confusamente al infinito, al todo...28”Leibniz explica, en la Correspondencia con Arnauld, que la unidad (en eldoble sentido de unicidad y de cohesion) es absolutamente necesaria paralos seres, y que no se podrıa ser un ser sin ser uno: “Yo tengo por un axiomaesa proposicion indentica que no es variada sino por el acento, a saber, queaquello que no es verdaderamente UN ser no es verdaderamente un SER.”29

Parece que la relacion con el infinito es completamente fundamental, en elsentido de que ser es “percibir”, “expresar” el infinito. Es toda la definicionhabitual de finitud la que Leibniz retrabaja aquı: en lugar de oponer comodos realidades separadas lo finito y lo infinito, y de considerar las substanciasindividuales como seres finitos, hay que comprender (en todo caso plantear,pues resulta un problema saber en que medida es comprensible) que la subs-tancia es, tambien, a su manera, infinita. Por “simple” y “singular” que sea,ella no expresa menos que el universo entero, y tambien, cuando se tratade substancias inteligentes, la divinidad. La imagen que Leibniz utiliza masfrecuentemente para hacerse comprender es la del espejo; la monada es un“espejo vivo perpetuo” de todo el universo: “Toda substancia es como unmundo entero y como un espejo de Dios, o bien de todo el universo, quecada una expresa a su manera, un poco como una ciudad es diversamenterepresentada segun las diferentes posiciones del que la contempla.30”

Se suele imaginar las monadas leibnicianas como entidades encerradas[closes], cerradas sobre sı mismas, “sin puertas ni ventanas”. Se olvida ası quecada substancia es como un mundo, es decir, que finalmente nada le esexterior. La interioridad tiene entonces inmediatamente el sentido de unaapertura radical al infinito.

¿Que es entonces lo que distingue, desde tal perspectiva, la infinitudde Dios de aquella de la substancia singular? La diferencia entre el “autorinfinito” del mundo y sus “criaturas” corresponde, no a la oposicion radicalde lo infinito y lo finito, sino a una separacion entre dos modos de ser infinito.De una parte el infinito es percibido por la monada entre los lımites de uncierto punto de vista, desde un cierto angulo, a partir de una situacion unica.Tantas monadas, tantas perspectivas singulares tomadas de la infinitud delmundo. Un Dios que, por el contrario, vendra a integrar todos esos “puntos”

28M, §60, p. 404.29“Je tiens pour un axiome cette proposition identique qui n’est diversifiee que par

l’accent, a savoir, que ce qui n’est pas veritablement UN etre n’est pas non plus veritable-ment un ETRE.” Carta a Arnauld del 30 de abril 1687, PO, p.252

30DM, §IX, PO, p. 168.

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de vista. Por otra parte el infinito es percibido por las monadas entre laconfusion y la indistincion:

(...) Dios al regular el todo ha tenido en consideracion cada parte,y particularmente cada monada; cuya naturaleza al ser represen-tativa, nada podrıa limitarla a no representar mas que una partede las cosas, aunque sea verdad que esa representacion no seasino confusa dentro del detalle de todo el universo, y no pue-da ser distinta sino en una pequena parte de las cosas, es decir,en aquellas que son, o bien las mas proximas, o bien las masgrandes, con relacion a cada una de las monadas; de otra ma-nera cada monada serıa una Divinidad. No es en el objeto, sinoen la modificacion del conocimiento del objeto, que las monadasson limitadas. Ellas van confusamente al infinito, al todo, peroestan limitadas y se distinguen por los grados de percepcionesdistintas.

Incluso cuando la percepcion deviene una percepcion consciente (cuandose trata de almas razonables o reflexivas), ella no podrıa ser del todo unapercepcion distinta. Hay en el universo, y en la representacion que producende el las substancias, detalles, pliegues al infinito, que escapan a la “lectura”:“Un alma que no pueda leer en ella misma mas que aquello que es represen-tado distintamente, no podrıa desenvolver de un golpe todos sus repliegues,que van al infinito.31”

Que la distincion pueda poco a poco reemplazar la confusion, y que hayalugar a ese nivel para un progreso del conocimiento, Leibniz lo indica muyclaramente. Queda aun el hecho de que la distincion no podra tener lugar si-no en una “pequena parte de las cosas” y que de esa manera se mantendra li-mitada. Es en entonces en gran parte sin saberlo que nos “representamos”el infinito: percibir no significa apercibir y hay una gran diferencia entre laconciencia y el conocimiento distinto. El desarrollo de nuestro conocimientotiene entonces por correlato una “explicitacion” del infinito, a medida quelas relaciones -los repliegues- se pueden distinguir cada vez mejor y mejor.¿Que modo de pensamiento estara a la altura de esta exigencia? Leibniz po-ne a menudo en relacion la imaginacion y la confusion como llamandose launa a la otra. Pero, ¿que es pensar sin imaginar y que son los conceptos si noson imagenes? ¿Cual rol pueden jugar las matematicas en esta explicitaciondel infinito?

31M, §60, PO, p. 404.

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La infinitud del universo. - Las substancias singulares, tomadas una auna, estan llenas de repliegues y “van al infinito”: ellas representan ası unainfinitud que es la del universo en su totalidad. La totalidad de las cosasexistentes debe ser concebida como “la multitud infinita de “las” substanciassimples”: “El detalle “es” ilimitado a causa de la variedad inmensa de lascosas de la naturaleza y de la division de los cuerpos al infinito.32”

Leibniz insiste regularmente en la omnipresencia del orden en el universo:el caos, el desorden no son sino aparentes, “nada se puede hacer que noeste ya en el orden”33. Pero el orden es aquel del universo infinito, “inmenso”.La utilizacion de terminos como “mundo” o “naturaleza” no le cambia nadaa esta afirmacion fundamental: la multiplicidad de substancias es tal que nose le pueden asignar lımites.

Leibniz considera siempre el spinozismo, no solamente como una herejıa,sino tambien como un error, negando la identificacion de Dios y la natu-raleza que Spinoza coloca en el centro de su filosofıa. La infinitud del Diosleibniciano se conserva trascendente, ella no viene a confundirse jamas conaquella de la naturaleza, que continua ocupando el lugar que le reserva tra-dicionalmente la religion, aquel de una creacion. Pero esta subordinacion nole impide a la naturaleza acceder a la infinitud. Se reencuentra aquı una di-ficultad analoga a aquella que concierne a las substancias singulares: ¿que esentonces lo que hace la diferencia entre la infinitud de la divinidad y la de lanaturaleza? O, para poner la pregunta de otra manera: ¿cuales son las vıasdel anti-spinozismo de Leibniz?

La respuesta apunta a una precision concerniente a la naturaleza especıfi-ca de la infinitud “natural”:

(...) El universo (...) debiendolo entender como toda la eternidadfutura es un infinito. Es mas, hay una infinitud de criaturas en lamenor partıcula de la materia, a causa de la division actual delcontinuum al infinito. Y el infinito, es decir el monton de numeroinfinito de substancias, propiamente hablando, no es un todo; nomas que el numero infinito mismo, del cual no se podrıa decir sies par o impar. Es lo mismo que sirve para refutar aquellos quehacen del mundo un Dios, o que conciben a Dios como el alma delmundo; el mundo o el universo no puede ser considerado comoun animal o como una substancia34.

32M, §57, 36, PO, p. 401 y 403.33Discurso de Metafısica, §VII, PO, p. 166.34“(...) L’univers (...) se devant etendre par toute l’eternite future est un infinit. De

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El asunto es a la vez filosofico y religioso: ¿se llegarıa hasta hacer delmundo un Dios? Es notable que la tesis de la infinitud del universo seamobilizada aquı para resistir a tal identificacion. Es porque el universo esinfinito que no puede ser un Dios (o que un Dios no puede ser su alma): acondicion de comprender que se tiene que ver, con el universo, con un ciertotipo de infinitud: el “monton de numero infinito de substancias”. Un talmonton, por definicion, no puede ser ni un todo ni una realidad simple, y untal “numero” escapa a nuestros esfuerzos de determinacion. Describir ası lainfinitud del mundo es entonces inmediatamente (analıticamente) mostrarimposible la confusion entre un Dios, que es necesariamente un ser absoluta-mete simple, plenamente determinado, y la naturaleza, ciertamente infinita,pero de una infinitud jamas unificable.

¿Que es exactamente el “monton de numero infinito”? El termino “monton”marca aparentemente la imposibilidad de una determinacion exacta. Pero,¿como puede Leibniz hablar de numero cuando se refiere a algo ası? ¿Que sig-nificacion podrıa recibir el termino “numero infinito” desde un punto de vistaaritmetico?

¿Que sentido dar al termino “totalidad”? Las cuestiones de vocabularioson tanto mas importantes cuando se sabe el compromiso de Leibniz conuna caracterıstica rigurosa, es decir, unicamente articulada por conceptosprecisamente determinados. Es frecuente que Leibniz, entre sus considera-ciones, que podrıamos llamar de cosmologıa general, haga referencia a latotalidad del mundo. Hemos visto, por ejemplo, que cuando caracteriza lasituacion de substancias singulares en el universo, explica que las monadasvan “confusamete al todo”. La definicion misma de mundo demada - ¿perocomo podrıa ser de otra manera? - que se recurra a esa idea de totalidad35.¿Cual es entonces el status de ese “todo”? ¿No es mas que una manera dehablar, inaceptable “en rigor”, teniendo que toca tratar justamente con unarealidad que no se deja totalizar?

La divisibilidad de la materia. La naturaleza se compone de una multitudinmensa de substancias, pero ella se nos aparece bajo la forma de un sistema

plus, il y a une infinite de creatures dans la moindre parcelle de la matiere, a cause de ladivision actuelle du continuum a l’infini. Et l’infini, c’est-a-dire l’amas d’un nombre infinide substances, a propement parler, n’est pas un tout; non plus que le nombre infini lui-meme, duquel on ne saurait dire s’il est pair ou impair. C’est cela meme qui sert a refuserceux qui font du monde un Dieu, ou qui concoivent Dieu comme l’ame du monde; le mondeou l’univers ne pouvant etre considere comme un animal ou comme une substance.” Ibid.

35T, Primera Parte, §8, GF, p.108: “Yo llamo mundo a toda la secuencia y toda lacoleccion de todas las cosas existente, a fin de que no se pueda decir que muchos mundospueden existir en diferenes tiempos y en diferentes lugares. Pues tocarıa contarlos todosjuntos por un mundo, o si ustedes quieren, por un universo.”

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de cuerpos extendidos. Es necesario entender el termino “aparecer” en dossentidos posibles, aparicion y apariencia. Leibniz se opone de un lado a los“filosofos demasiado materiales”, y de otro a los cartesianos, que concibenla materia extendida como una realidad substancial. Pensar ası, es dejarsellevar por el juego de las apariencias, olvidar que los cuerpos, la materia, laextension son primero que todo fenomenos (incluso si son fenomenos “bienfundados”), que “envuelven” siempre “alguna cosa imaginaria”. Eso que no-sotros llamamos hoy el “materialismo” - Leibniz es, por lo demas, uno de losque forjan esa nocion - es a sus ojos una doctrina seductora, pero finalmen-te inconsecuente36. Lo que importa aquı, es que el argumento decisivo dela crıtica leibniciana compromete directamente la consideracion del infinitoen un sentido sensiblemente diferente del que ha aparecido hasta ahora. Nopuede haber, si se sigue a Leibniz, realidad sin unidad: pero esa unidad nopodrıa ser encontrada en la materia, por el hecho de su divisibilidad “alinfinito”. Aquellos que buscan atomos en la materıa estan condenados poradelantado a fracasar en su busqueda que es en realidad contradictoria: enefecto, se le exige la la indivisibilidad (la unidad, incluso la simplicidad) auna extension material que, por definicion, no es capaz de tal. A ese nivel,nuestras divisiones no se podrıan detener; por lo tanto no hay atomos oindividuos materiales:

“Cada porcion de la materia no solo es divisible al infinito, comolos Antiguos lo han reconocido, sino que tambien esta subdi-vidida actualmente sin fin, cada parte en partes, de las cualescada una tiene algun movimiento propio, de otra manera serıaimposible que cada porcion de la materia pudiese expresar todoel universo... Cada porcion de la materia puede ser considera-da como un jardın lleno de plantas, como un estanque lleno depeces. Pero cada rama de la planta, cada miembro de un ani-mal, cada gota de sus humores es tambien un tal jardın o un talestanque.37”

Que la division sea interminable, esto apunta a la naturaleza misma dela materia. Se llega entonces “muy a menudo” a “una sutileza para nosotrosimperceptible”: allı hasta la imaginacion nos abandona, y es necesario acep-tar concebir eso que no puede ser, a pesar de todos los perfeccionamientos

36¿Que es entonces aquello que da realidad y unidad a los cuerpos? En la Corresponden-cia con Arnauld, Leibniz explica que esta cuestion es una de las mas difıciles de resolver: larespuesta requiere de hecho, bajo el nombre de “Dinamica”, toda la teorıa de las fuerzas,de sus manifestaciones, y de su composicion.

37M, §65, 67, PO, p. 405.

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posibles (se piensa naturalmente en el desarrollo y a las observaciones de labiologıa naciente), un objeto de vision. Esta materia infinitamente divisible“contiene” la multitud infinita de substancias que componen el universo, omas aun, para hablar rigurosamente, ella resulta, como el fenomeno resultade aquello que es la manifestacion:

Para hablar con precision, la materia no esta compuesta de uni-dades constitutivas, pero resulta de ellas, pues la materia o ma-sa extendida no es mas que un fenomeno fundado en las cosascomo el arco iris o los espejismos, y toda la realidad no perte-nece mas que a las unidades. Los fenomenos pueden entoncesser siempre divididos en fenomenos mas pequenos que puedenaparecer a otros animales mas pequenos, pero jamas se llegara alos fenomenos que sean los mas pequenos. De hecho, las Unida-des substanciales no son las partes, sino los fundamentos de losfenomenos38.

Lo importante aquı apunta tanto a la “pequenez” hacia la cual el analisisse orienta como al status que Leibniz da a esa infinitud. Hablar simplementede divisibilidad, o, como se ha acostumbrado decir a partir de los Antiguos,de “potencialidad”. Es algo completamente diferente lo que Leibniz tiene envista aquı, incluso al no negar esa posible division al infinito. Al reconocerselano se ha recorrido mas que la mitad del camino: queda lo mas difıcil, concebirel infinito como una realidad “actual”.

El infinito existe “en acto”

Este recorrido a traves de las multiples dimensiones de la monadologıaleibniciana conduce en principio mas a preguntas que a respuestas unıvocas.¿Cual es en el fondo la unidad entre estas diferentes apariciones del infinito?¿Una misma definicion puede valer para Dios y para la naturaleza, para losindividuos y para el universo, para las substancias y para sus fenomenos?¿De que manera el infinito se encuentra, por lo demas, “definido”? La fre-cuencia del termino contrasta con la rareza - uno puede hablar tambien de

38“Pour parler precisement, la matiere n’est pas composee d’unites constitutives, maiselle en resulte, puisque la matiere ou masse n’est qu’un phenomene fonde dans les cho-ses comme l’arc-en-ciel ou le parhelie, et toute realite n’appartient qu’a des unites. Lesphenomenes peuvent donc toujours etre divises en phenomenes plus petits qui pourraientappaıtre a d’autres animaux plus petits, mais jamais on ne pairvendra a des phenomenesqui seraient les plus petits. En fait les Unites substatielles ne sont pas les parties, mais lesfondaments des phenomenes.” Carta a Volder del 30 de junio 1704, PS, II, p.268

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la ausencia - de una verdadera defincion, al contrario de lo que sucede conotros conceptos principales de la doctrina (percepcion, apetito, alma). Launica indicacion, de hecho, es dada por Leibniz en el analisis de la nocion dela perfeccion (divina): la infinitud corresponde a la “magnitud de la realidadpositiva tomada con precision, poniendo aparte los lımites o cotas en las co-sas que los tienen”39. Pero no es seguro que esta proposicion sea suficiente;mas aun, no es seguro que ella sea generalizable. ¿No vale ella esencialmentepara un Dios, en la medida que las substancias singulares sean todas al igual,como se ha visto previamente, limitadas?

La afirmacion que es mas general - quizas ella dirija todas las otras -es que el infinito existe “en acto” (o “actualmente”), y no simplemente “enpotencia”. Esta tesis concierne a la vez a la “razon ultima” (Dios), el uni-verso (la naturaleza) y a las substancias, simples o compuestas. Esta llega aser formulada, segun un argumento [demarche] muy inspirado de Pascal40,de manera negativa: “Y despues de todo, es muy falso que un infinito ac-tual sea imposible.41” Pero Leibniz no duda en formular esta misma tesisafirmativamente:

Yo estoy a favor del infinito actual de tal manera, que en lugar de admitirque la naturaleza le aborrece, como se dice vulgarmente, yo sostengo que esafectada por el por todas partes, para mejor resaltar las perfecciones de suautor. Ası es que yo creo que no hay ninguna parte de la naturaleza que nosea, yo no digo divisible, sino actualmente dividida, y por consecuecia, lamenor partıcula debe ser considerada como un mundo lleno de una infinitudde criaturas diferentes42.

Se reencuentra esta afirmacion en el prefacio de los Nuevos Ensayos sobreel entendimiento humano, a proposito de la “inmensa sutileza de las cosasque envuelve un infinito actual siempre y por todo [partout]”.

Leibniz toma ası posicion en un debate muy antiguo, que se alimentade ciertos analisis de Aristoteles y que ve confrontar dos concepciones delstatus del infinito:

- O bien se considera que el infinito existe “actualmente”: como alguna cosa,

39M, §41, PO, p. 401.40Del espıritu geometrico, OC, Pleiade, p. 572-592.41T, Discurso de la Conformidad de la fe con la razon, §8, GF, p. 55.42“Je suis tellement pour l’infini actuell, qu’au lieu d’admettre que la nature l’abhorre,

comme on le dit vulgairement, je tiens qu’elle l’affecte partout, pour mieux marquer lesperfections de son auteur. Ainsi je crois qu’il n’y a aucune partie de la nature qui ne soit,je ne dis pas divisible, mais actuellment divisee, et par consequent, la moindre parcelledoit etre consideree comme un monde plein d’une infinite de creatures differentes.” Cartaa Foucher, PS, I, p.416.

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o como una propiedad de las cosas existentes (se dira por ejemplo, comolo hace Leibniz, que “el universo es infinito”). Nuestras operaciones depensamiento como la division o la adicion, no hacen entonces mas quedescubrir una realidad que les preexiste. La ausencia de lımites o decotas debe entonces ser considerada como un hecho. Si se llegan aoperar divisiones o aumentos al infinito, es porque el infinito existe enel mundo, o mejor, porque el mundo es el mismo infinito. Incluso si notenemos experiencia directa de esta infinitud, ella no constituye sinola condicion de posibilidad de esas operaciones.

- O bien se considera el infinito como una realidad simplemente “potencial”.Dado por ejemplo un numero, se podra siempre encontrar uno masgrande, y ası sin fin. Dada una extension, podra ser dividida en dosporciones iguales, y reiterar esa operacion al infinito. ¿Que es entoncesel infinito? Ni una realidad que existiese en sı misma, ni tampoco unadimension de la realidad, sino el paso “interminable” de una cantidada otra. Jamas la ausencia de lımite existe en sı misma (siempre haynumeros, magnitudes delimitadas): pero eso lımites son transpasables,o desplazables, hacia otros.

Se es remitido ası a una distincion de Aristoteles, para quien no es po-sible contentarse con oponer el ser y el no ser, sino que hay que distinguirentre dos maneras de ser: “el acto” y “la potencia”. Aplicada al infinito, estadistincion permite tomar una posicion de compromiso: por una parte hayque admitir la existencia del infinito, si no uno serıa conducido a un ciertonumero de absurdos o de contradicciones (por ejemplo: afirmar que ciertasmagnitudes no son divisibles en magnitudes mas pequenas, o bien que eltiempo tiene un comienzo o un fin). Pero por otro lado es necesario reco-nocer que el infinito no posee las caracterısticas suficientes para “ser” en elpleno sentido de la palabra, como “son” las substancias individuales. Prin-cipalmente - este es uno de los argumentos mas importantes en Aristoteles- le falta al infinito una identidad propia en sı (“puede ser siempre tomado“como” alguna otra cosa y siempre otra”): no es “en sı mismo” y ademasno puede ser conocido “en tanto que infinito”, sino que depende siempre demagnitudes finitas que se anadan o se substraigan las unas a las otras43.Es necesario entonces tener juntas esas dos exigencias: el infinito debe tener

43Fısica, libro III, 206a: “El infinito no es para considerar como alguna cosa especial yprecisa [tode ti], un hombre, por ejemplo, una casa; sino que es necesario comprender laexistencia del infinito como se dice que son los dıas de la Olimpiada, a los cuales el ser noles pertenece como siendo tal o cual sustancia, pero que son siempre a devenir y perecer,sin duda limitados y finitos, pero siendo siempre otros y siempre otros.”

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una (cierta) realidad, mas no puede ser “en acto”: le queda entonces ser “enpotencia”. El analisis es del mismo tipo que aquel que realiza Aristotelesa proposito de la materia, y senala ademas en multiples ocasiones que seesta ante dos realidades analogas: “por otra parte, entre las cuatro especiesde causas admitidas por nosotros, es claro que el infinito no es causa sinocomo materia44. Su ser, es la privacion (...) Todos los filosofos han considera-do, ası como nosotros, el infinito como materia.” Pero es necesario precisar,tratandose del infinito, la idea de “ser en potencia”: pues ciertas realidadesque son en potencia pueden devenir en acto (se podrıa hablar de la potenciacomo virtualidad, incluso como tendencia), lo que no sera nunca el caso delinfinito, condenado en cierta forma a mantenerse siempre sin arribar a laactualidad:

(...) Cuando se dice en potencia, no se debe tomar esa expresionen el sentido que se dice, por ejemplo, que, si tal materia pue-de devenir una estatua, esta materia sera una estatua; y no sedebe pensar que hay tambien un infinito que pueda existir ac-tualmente. Pero la palabra Ser tiene variedad de acepciones, hayque comprender que el infinito puede ser de la misma maneraque es el dıa o el periodo de los juegos olımpicos, porque sin cesedeviene otro y siempre otro45.

Los ejemplos que toma aquı Aristoteles conciernen de cerca al estatus delas palabras mismas: la permanencia, la consistencia no son mas que apa-riencias verbales, ellas atrapan un devenir y una indeterminacion perpetuas.El infinito no podrıa entonces ser “en acto”: al igual que a la materia lefalta la forma, la parte de indeterminacion del infinito es demasiado grandepara que pueda devenir una realidad entera aparte - una “cosa alguna”. Delinfinito no se puede ni se podra jamas decir “eso que el es”.

La distincion de lo actual y lo potencial concierne de tal manera a Leibnizque la retoma para sı en parte, oponiendose ası a toda la corriente cartesianaque rechaza la idea de potencia como oscura (¿que es lo que significa en efec-to para una cosa ser, sin ser verdaderamente, o sin ser aun?). La “reforma”leibniciana de la nocion tradicional de substancia pasa por la reintroduccionde la “potencialidad” al lado [aux cotes de] de la “actualidad”. El plura-lismo defendido por Aristoteles en la determinacion del “ser” - “la palabraSer tiene variedad de acepciones” - reencuentra entonces un sentido. Peroel status del infinito aparece, en el seno mismo de esta nuevo desarrollo,

44Ibid. 207b-208a.45Ibid. 206a.

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completamente transformado. Leibniz no se niega, hemos visto, a la ideade que el infinito pueda existir “en potencia”: la extension (la materia) es“divisible al infinito”. Pero esa infinitud “potencial” corresponde a una in-finitud “actual”: la materia esta actualmente dividida, en una division quese abre sobre la infinitud (la multitud infinita) de las criaturas. El infinitoexiste entonces “en acto”, no como una realidad separada, sino como unapropiedad fundamental (necesaria) de toda cosa: que se trate de un Dios, delmundo o de las substancias que lo componen, “ser” para ellos, es ser efecti-vamente (actualmente) infinitos. El infinito leibniciano se tiene entonces dellado de las “substancias”, de los “seres verdaderos”. Este nuevo estatus exigepor lo menos dos cambios complementarios en relacion a la muy coherenteargumentacion que se encuentra en los textos de Aristoteles:

- Que el infinito deje de ser afectado por los defectos que tradicionalmentele impedıan la actualidad. La cuestion de la imperfeccion llega ası aun primer plano, pero ası tambien la de la indeterminacion: para queel infinito, por ejemplo, pueda decirse de Dios, al cual por definicionnada le falta, es necesario que la ausencia de lımites deje de equivalera la privacion y a la negacion. Desde una perspectiva aristotelica, sedice que “nada es perfecto que no tenga un fin; y el fin, ese es ellımite”46. Aquı es necesario entonces estar en capacidad de invertir laproposicion: nada es perfecto a no ser que no tenga lımites. Pero esnecesario tambien que la ausencia de lımites corresponda a un maximode determinacion: resulta entonces una cosa totalmente distinta la quese vendrıa a concebir bajo la misma palabra “infinito”.

- Inversamente, es necesario que la realidad no sea identificada a la limita-cion, que se pueda ser, y tambien ser perfecto o completo sin por lotanto ser finito. Esa cuestion corresponde tanto a la naturaleza mismade las cosas como al movimiento del conocimiento: ¿que es conocer,sino definir, sino delimitar?

Podemos tomar prestada de Cassirer y de Koyre la idea de que la con-cepcion moderna del mundo apunta en gran manera al descubrimiento de ununiverso infinito - valdrıa mas sin duda hablar de invencion y no de descu-brimiento, tanto mas si es verdad que nos faltan las experiencias que harıanaparecer la infinitud como una evidencia sensible: las tesis leibnicianas seintegran en un movimiento cultural que evidentemente las sobrepasa. Pero

46Ibid. 207a.

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lo que le corresponde a Leibniz (y a otros - pensando notablemente en Pas-cal y Spinoza), es haber intentado determinar el sentido y la verdad de esenuevo “paradigma”. Pues la afirmacion de que el universo es infinito, pormoderna que sea, puede muy bien mantenerse como una hipotesis bastanteenigmatica, suficiente para alimentar la imaginacion y para desvalorizar lasantiguas concepciones del mundo, pero finalmente de un debil valor concep-tual. Esa tesis, por sı misma, no resuelve nada: por el contrario multiplicalas dificultades. Es necesario entonces examinar la verdad: ¿la tesis de una“actualidad” del infinito puede dar lugar a una concepcion coherente? ¿Enque nos hace ella conocer, mejor que otras, la realidad de las cosas?

Leibniz con Pascal47

Leibniz reconoce a menudo tener una deuda muy significativa con Pas-cal. Las cuestiones de matematicas cuentan mucho en ese reconocimiento:es meditando acerca del trabajo de Pascal que Leibniz llega a poner en sulugar las orientaciones fundamentales de lo que vendra a ser, poco a poco,el calculo diferencial. Pero Pascal es tambien uno de aquellos que, en el si-glo XVII, han avanzado mas en esta “consideracion del infinito” que tantoimporta a Leibniz. En el comentario que realiza de los textos de Pascal so-bre el infinito, Leibniz insiste en la continuidad de sus analisis, como si ladescripcion pascaliana de la doble infinitud, de “magnitud” y “pequenez”,viniera a integrarse dentro su propia doctrina del infinito actual. Hay, si sesigue a Pascal, una naturaleza infinita, “esfera infinita cuyo centro esta entodas partes y la circunferencia en ninguna”, y una “infinitud de universos”en la menor partıcula de la materia. La cuestion, evidentemente, es tam-bien teologica: no hay contradiccion en atribuir la infinitud a un Dios y enatribuirla a la naturaleza. Al contrario: la infinitud de la naturaleza es lamarca, el “caracter sensible de la omnipotencia de Dios”. Por otra parte,Pascal recurre, para caracterizar la naturaleza, a formulas tradicionalmentereservadas a Dios. Es comprensible que Leibniz haya encontrado en el puntosde apoyo muy importantes para elaborar su propia doctrina. La distanciaque les separa no puede ser mas significativa: al confrontar los textos, unoincluso llega a preguntarse a veces por donde es que Leibniz viene a per-cebir una continuidad. Pues si bien esta de acuerdo con Pascal en admitirla existencia del infinito, el recorrido para llegar a esa conclusion, ası comolas consecuencias que saca, son completamente diferentes. La diferencia masespectacular concierne a los analisis antropologicos: el descubrimiento de la

47Ver el texto anexo, este consiste en un comentario al fragmento de Pascal, Despropor-cion del hombre.

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doble infinitud del universo es para Pascal siempre fuente de miedo y angus-tia: “La unidad anadida al infinito no le aumenta en nada, no mas que unpie a una medida infinita. Lo finito se aniquila en presencia de lo infinito ydeviene una pura nada48.” Descubrir la existencia del infinito, es de vueltareconocerse no solo como un ser finito, sino como una “nada”, un “punto me-dio”, dice Pascal, entre esos dos extremos que son lo infinitamente pequenoy lo infinitamente grande, pero un punto medio donde la inconsistencia im-pide toda certeza y toda seguridad. El conocimiento, lejos compensar esosdefectos y esos limites, esta el mismo, marcado por esa inconsistencia:

Para nosotros nada se detiene. Es el estado que nos es natural, y detodas maneras el mas contrario a nuestra inclinacion: ardemos en deseo deencontrar un asiento firme, y una ultima base constante para edificar unatorre que se eleve al infinito: pero todo nuestro fundamento se quiebra y latierra se abre hacia los abismos49.

No se puede entonces recurrir a lo finito: tenemos que admitir la exis-tencia del infinito, mas sin poder comprenderlo.

No se encontrara nada ası en Leibniz: ni inquietud, ni indeterminacion.Jamas el infinito es descrito como un “abismo”, jamas es reconocida allı lainconsistencia de nuestro “ser”. Es mas bien lo inverso lo que allı tiene lu-gar. Es por la infinitud que ella conoce como suya, ası sea confusamente,que la monada se descubre “como un Dios50”. Todo el tema de la despro-porcion desaparece en Leibniz, para ser reemplazado por su contrario: aquelde la proporcion, o de la analogıa, que esta marcado por las formulas: “co-mo Dios”, “como el universo”. La diferencia de estatus entre la substancia“finita” y la infinitud de un Dios o del universo deja de ser una diferenciaradical, para venir a ser del orden de una “disminucion”. La proximidad seincrementa aun si se toma en consideracion el tema del Dios “combinador”:cuando Dios calcula, no hace nada distinto de lo que nosotros hacemos, sim-plemente lo hace a otra escala. La infinitud deja de ser para las substanciasuna realidad exterior: la infinitud esta “en” el “casi-nada” y no mas alla deel. De un mismo golpe, ese “primer casi-nada” deviene “ultimo casi-todo”.La inquietud pierde aquı toda razon de ser: ¿que tiene entonces que temeraquel que se descubre ser “como Dios”?

Mas fundamentalmente aun, es a un cambio completo de perspectiva alque uno se ve confrontado. En Pascal es siempre al interior de una antro-pologıa que el infinito es planteado y descrito: el punto de vista a partir del

48OC, Pleiade, p. 1212.49OC, Pleiade, p. 1212.50Las dudas en las formulaciones leibnicianas y el grado de complicacion al que es

conducido para diferenciar Dios y las substancias finitas son relevantes. (ver texto 1)

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cual el infinito es percibido es aquel de un hombre, que descubre que loslımites de lo que creıa que era su mundo son siempre provisorios, y que nose puede pasar mas alla. La infinitud actual del mundo es el horizonte deesa experiencia (se podrıa decir tambien: su condicion), pero nunca devieneobjeto directo de analisis.

Al contrario en Leibniz, las consideraciones antropologicas se difuminan,y la descripcion de aquello que se podrıa llamar un sistema del infinitopasa a un primer plano, sin medirse a partir de la experiencia humana. Larealidad infinita deviene ella misma un objeto de analisis. ¿Donde encuentraesa divergencia profunda su origen? Se pueden indicar por lo menos dosmotivos.

Por una parte le “falta” a Pascal (quizas su “defecto” es, por lo demas,uno de los ejes mas interesantes de su filosofıa) la nocion de substancia queLeibniz pone constantemente por delante. Esa “ausencia” [manque] corres-ponde a orientaciones de pensamiento muy opuestas: es probable que laconsistencia atribuida por Leibniz a las cosas del mundo, y en particular alos seres humanos, pareciera usurpada a Pascal. Incluso si Pascal ve en elpensamiento una fuente de grandeza para el hombre, no va a hablar nuncade aquel como de una substancia. No es incluso abusivo emplear, a propositodel hombre, las nociones de “ser” o “estado”: ¿Que es el yo [moi]? Ante estaposibilidad, Leibniz no duda nunca: su doctrina de la substancia, que en susimplicidad expresa o representa la infinitud del mundo, le da los mediosde concebir una comunidad de lo finito y lo infinito que no existe nunca enPascal. La trascendencia de lo infinito - la de un Dios o de la naturaleza - notiene entonces para nada el mismo estatus: en un caso ella es la marca de loque somos siempre privados; en el otro caso deviene aquello que ciertamentenos sobrepasa, pero hacia lo que, incluso confusamente, vamos nosotros. Elinfinito ha devenido nuestro elemento.

Por otro lado, Pascal no concibe sino que un tipo de conocimiento delinfinito sea posible. Se puede - es necesario - admitir su existencia, pero sunaturaleza se matiene desconocida para nosotros.

Conocemos que hay un infinito, e ignoramos su naturaleza (...) Conoce-mos entonces la existencia y la naturaleza de lo finito, porque somos finitosy extendidos como el. Conocemos la existencia del infinito e ignoramos sunaturaleza, porque el tiene extension como nosotros, pero no tiene lımitescomo nosotros. Pero no conocemos ni la existencia ni la naturaleza de Dios,porque el no tiene ni extension ni lımites51.

Solamente olvidando el infinito se puede emprender, presuntuosamente

51Pascal, OC, p. 1212

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por lo demas, el conocimiento de la naturaleza, como si se tuvera “algu-na proporcion con ella”. Pero el inacabamiento mismo de las ciencias nosrecuerda nuestra vanidad y nos incita a transformarla en “curiosidad y ad-miracion”. Es mas en la “contemplacion silenciosa” y en el temor [effroi] queen la ciencia incierta donde el infinito puede encontrar su verdad.

Se comprende ası porque, finalmente, Leibniz se separa de Pascal: nopuede aceptar la idea de que sea necesario por un lado admitir la existenciadel infinito y por otra parte renunciar definitivamente a comprender su na-turaleza. Inversamente, es porque se debe poder comprender la naturalezadel infinito que el tema de la admiracion pasa en los textos de Leibniz a unsegundo plano. El infinito, ciertamente, continua siendo descrito como una“maravilla”, pero la dimension estetica se desvanece ante el analisis racional,y sobre todo, cambia de significacion: que el infinito sea admirable, eso nosignifica jamas para Leibniz que sea incomprensible.

Si el infinito deja de ser una realidad atemorizadora, es entonces antetodo porque se transforma totalmente su estatus cientıfico, y porque vienea ser pensado como objeto de un conocimiento posible. La demarcacion conPascal (la muy sosegada atmosfera que se desprende de los textos leibni-cianos) pasa por ese cambio. Que haya allı, en la parte de Leibniz, un tipode desafıo, es probable: ¿que es lo que motiva una tan grande confianzaen los poderes del conocimiento? ¿Y por cuales medios puede comenzar aconstituirse una tal “ciencia del infinito”?

“Podemos, sin embargo,saber muchas cosas del infinito52”

Una “ciencia” muy problematica

La filosofıa leibniciana, cuando intenta establecer los “primeros princi-pios” sobre los cuales nuestros conocimientos se pueden fundar, se apoyaconstantemente - lo hemos visto en el capıtulo anterior - sobre la afirmacionde que el infinito existe, no solo como una posibilidad, sino como una reali-dad. Se puede aun ir mas lejos por esa vıa: no hay ninguna realidad que nosea, de una manera u otra y a pesar de las apariencias, “marcada” por elinfinito. La sistematicidad que pretende Leibniz debe mucho a la hipotesisde una replicacion del infinito, segun los diferentes niveles de realidad quela monadologıa permite distinguir.

52“Nous pouvons pourtant savoir beacoup de choses de l’infini”. Reflexiones sobre laparte general de los principios de Descartes, Libro I, sobre el artıculo 26, PO, p.293

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Esta tesis es explıcita, y es al mismo tiempo muy problematica: ¿cuales en efecto el estatus del infinito actual? ¿En donde hay allı, propiamen-te hablando, un conocimiento? Leibniz no duda en hablar a proposito desu doctrina del infinito como de una “ciencia”: el comparte con Spinoza elproyecto de constituir una “filosofıa del infinito” que vaya mas alla de sim-ples hipotesis y que pueda pretender la verdad. La proximidad temporal, ysobre todo, la manera como se intercruzan sus analisis, son, por lo demas,sorprendentes. ¿De que tipo de ciencia se trata? En uno y otro, aunque bajomodalidades muy diferentes, el “principio de razon” ocupa un plano central,asociado a la idea de que el poder de la razon no tiene lımites, o mas exacta-mente, que sus lımites no impiden la aparicion del infinito. Esta tesis tomaregularmente en Leibniz una tonalidad teologica, pero no se restringe ahı.Ası es que el Discurso de la conformidad de la fe y la razon (que precedelos Ensayos de Teodicea), en el cual Leibniz polemiza vivamente con Bayle,pero tambien a traves de el con Descartes, esta integramente consagrado a lademostracion de que no hay “misterios” que se opongan a la razon, y Leibnizdefiende en esta ocasion el derecho de la razon a un conocimiento efectivodel infinito. “Debe” ser posible, en contra de las tradiciones religiosas, perotambien de las filosoficas, que colocan al infinito mas alla de la razon parahacer de el un objeto de admiracion y de misterio, elaborar una doctrinaracional del infinito. Pero, ¿como escapar aquı de la peticion de principio? Sepuede reformular la pregunta a partir de la distincion que Leibniz proponeentre los diferentes grados del conocimiento:

Cuando puedo reconocer una cosa entre otras, sin poder decir en queconsisten sus diferencias o sus propiedades, el conocimiento es confuso (...)Pero cuando puedo explicar las notas que tengo, el conocimiento se denomi-na distinto (...) El conocimiento distinto tiene grados, pues ordinariamentelas nociones que entran en la definicion requerirıan ellas mismas de defini-cion y solo son conocidas confusamente. Pero cuando todo lo que entra enuna definicion o conocimiento distinto es conocido distintamente, hasta lasnociones primitivas, lo llamo conocimiento adecuado. Y cuando mi espıritucomprende simultanea y distintamente todos los ingredientes primitivos deuna nocion, posee un conocimiento intuitivo que es bien raro, pues la mayorıade los conocimientos humanos son, o bien confusos, o bien hipoteticos53.

53“Quand je puis reconnaitre une chose parmi les autres, sans pouvoir dire en quoiconsiste ses differences ou ses propietes, la connaissance est confuse (...) Mais lorsque jepuis expliquer les marques que j’ai, la connaisance s’appelle distincte (...) La connaisancedistincte a ses degres, car ordinairement les notions qui entrent dans la definition auraientbesoin elles-memes de definition et ne sont conues que confusement. Mais lorsque tout cequi entre dans une definition ou connaisance distincte et connu distinctement, jusq’aux

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Si debe y si puede haber una “ciencia” del infinito, esto implica al menos,llegar a elaborar sus propias ideas distintas, o mejor, adecuadas. Es necesarioentonces afrontar dos dificultades tradicionales, que conciernen, la una a laexistencia del infinito, y la otra a su naturaleza:

1. Leibniz, hemos visto, se decide, contra una tradicion inspirada enAristoteles, a favor de la actualidad del infinito. Habrıa podido mante-nerse en la posicion mas prudente de los partidarios del infinito poten-cial, o bien definir al infinito como una “idea”, en un sentido cercano aaquel que Kant da a ese termino. ¿De donde le viene esa seguridad deque el infinito “existe”? ¿Cuales son sus fundamentos? Esta seguridadpodrıa ser el fruto de una experiencia. Podrıa ser el lugar de llegada[terme] de un razonamiento. Pero la experiencia no provee mas que elinfinito “potencial”: lımites, mas alla de los cuales siempre podemosllevar nuestra mirada - pero nunca tenemos una experiencia del infi-nito “propiamente hablando”. ¿Y cual razonamiento sera tan potentecomo para decidir tal existencia?

2. Las palabras mismas nos emprobleman. Una de las exigencias basicasdel trabajo del conocimiento es definir: primero el sentido de las pala-bras que utilizamos, y despues, en la medida de lo posible, la naturalezao realidad de las cosas de las que hablamos. Pero ¿que es “definir” sino asignar lımites, para distinguir las cosas o las propiedades unas delas otras? Podemos recordar, pues aquı la etimologıa esta lejos de seranecdotica, que definir puede decirse en griego horizein. ¿Como puedeentonces el infinito hacerse objeto de una verdadera “definicion” y deun conocimiento adecuado? Recordemos la descripcion que da Leibnizde la finitud: ir hacia el infinito, pero entre la confusion.

La crıtica de la prudencia cartesiana

Descartes indica en la primera parte de los Principios de la Filosofıa porque el proyecto mismo de una comprension cientıfica del infinito le parece“ridıculo” y vano. Apunta principalmente a una diferencia de naturaleza:somos, irremediablemente, seres finitos, y “la naturaleza del infinito es talque los pensamientos finitos no la podrıan comprender”54. Esta toma de

notions primitives, j’appelle cette conaisance adequate. El quand mon esprit comprend ala fois et distinctement tous les ingredients primitifs d’une notion, il en a une connaisanceintuitive qui est bien rare, la plupart des connaisance humaines n’etant que confuses oubien suppositives.” Discurso de Metafısica, §XXIV, PO, p.184

54Principios de la filosofıa, Primera parte, §19, OEuvres, Pleiade, p.579-580

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posicion determina una frontera, casi una prohibicion dentro de la cual lamayorıa de los pensadores del siglo XVII se irıan a situar. Es necesario, escierto, relativizar esta tesis, y tomar en cuenta la distincion que Descartesestablece entre “concebir” y “comprender”: podemos concebir alguna cosadel infinito con bastante claridad y distincion, en particular aquello quepueda ser la perfeccion de Dios. Pero se mantiene el hecho de que el infinitosobrepasa nuestro entendimiento: la inteligencia cede entonces el paso a lacontemplacion admirativa.

El sabio debe ser prudente: es necesario tenerse con cuidado, cuando sepiensa en “eso en lo que no encontramos lımites”, en la nocion de indefinido,sin arriesgarse a “determinar ninguna cosa” sobre el infinito, y sin “enre-darse... en las disputas del infinito”. Es eso mismo lo que serıa “ridıculo”, yque supondrıa de nuestra parte un saber que no podemos poseer. Cuandose trata de Dios, podemos - dada la idea que tenemos de sus perfeccionessin lımites-, estar seguros de que se trata de un verdadero infinito. Perocuando se trata de “otras cosas”, de las que no sabemos que sean “tan ab-solutamente perfectas”, no tenemos ningun criterio decisivo para saber sila ausencia de lımites que notamos apunta a su naturaleza o “al defectode nuestro entendimiento”. Es necesario entonces “reservar solo a Dios elnombre de infinito”55, y considerar las otras cosas, incluyendo las “cosas”matematicas, como “indefinidas”. De esta manera Descartes no se arriesga aafirmar como lo hace Pascal, que la naturaleza o la realidad son infinitas. Lascuestiones sobre el infinito - “si la mitad de una lınea infinita es infinita, o siel numero infinito es par o impar” - aparecen viciadas en su principio mismoy surgen quizas de un tipo especial de locura, en todo caso de una ambicionexcesiva (¿aquella misma que define la metafısica?): “No son sino aquellosque se imaginan que su espıritu es infinito los que parecen deber examinarese genero de dificultad.” Se trata de cuestiones indecidibles, a causa de unaindeterminacion imposible de sobrepasar. Y esa indeterminacion, una vezreconocida y circuscrita, vale mas que un pseudo-conocimiento.

Es principalmente de la separacion entre los dos dominios (lo finito, ob-jeto de experiencia, y lo infinito, realidad trascendente), pero tambien entredos tipos de inteligibilidad, que se agarra Leibniz: resulta muy significativoque en sus anotaciones crıticas sobre los Principios cartesianos omita co-mentar la §19 del primer libro, que contiene justamente la distincion entre“concepcion” y “comprehension” del infinito. En el comentrario que da de la§26, admite que hay una diferencia entre “saber alguna cosa de un objeto”y “comprender”, pero lo hace para anadir inmediatamente que “sabemos

55Ibid., p. 582-583

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muchas cosas del infinito”:

Aunque seamos seres finitos, podemos saber muchas cosas con-cernientes al infinito, por ejemplo sobre las lıneas asintoticas,es decir, aquellas que prolongadas al infinito, se aproximan masy mas sin nunca concurrir; sobre los espacio cuya longitud esinfinita y cuya superficie no sobrepasa la de un espacio finitodado; sobre las sumas de las series infinitas. De otra manera notendrıamos siquiera ningun conocimiento cierto de Dios.Y unacosa es conocer cierta propiedad de un objeto, y otra es com-prenderlo, es decir, tener en nuestra posesion todo el contenidoescondido56.

Lo mas significativo en esta respuesta es el rechazo, desde un principio,de la “frontera cartesiana”. No esta de un lado Dios, unico verdadero infini-to, y de otro lado las cosas irremediablemente indefinidas: ciertas figuras omagnitudes tienen derecho al tıtulo positivo de infinitud, aquel que suponeque se las puede determinar como tales. La asıntota es una lınea infinita,tenemos la certeza y sabemos la razon: en ese nivel no hay nada que seaindefinido. Pero eso que se ha dicho de las realidades matematicas concier-ne tambien, lo hemos visto en otros textos, a la naturaleza en general. Laapuesta leibniciana sostiene aquı muy claramente a la vez la realidad de esteinfinito y su determinabilidad.

Leibniz va mas lejos aun, efectuando una aproximacion en primera ins-tancia bastante enigmatica: resulta afortunado que podamos desarrollar enmatematicas un conocimiento del infinito, sin duda, porque ası las ma-tematicas resultan enriquecidas, pero tambien porque “de otra manera notendrıamos ningun conocimiento cierto de Dios”. Es allı donde se encuentrauna relacion entre matematicas y teologıa. ¿Como determinar esa relacion?¿Es necesario comprender que el conocimiento de Dios comienza por lasmatematicas, Dios de alguna manera haciendo “parte” de las matematicas?¿O que se pueden poner en obra dentro de la teologıa conceptos que se hancomenzado a elaborar dentro de las matematicas?

56“Bien que nous soyons des etres finies, nous pouvons savoir bien de choses concernantl’infini, par exemple sur les lignes asymptotyques, c’est-a-dire celles qui, prolongees al’infini, se raprochent de plus en plus sans jamas coıncider; sur les sommes de series infinies.Autrement nous n’aurions non plus aucune connaissance certaine de Dieu. Et autre choseest de connaitre quelque propiete d’un objet, autre chose est de la comprendre, c’est-a-dired’en tenir en notre possession tout le contenu cache.” Reflexiones sobre la parte generalde los Principios de Descartes, sobre el libro I, art.26, PO, 293.

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Leibniz defiende de nuevo la posiblidad de una ciencia del infinito enla correspondencia que mantiene, durante los diez ultimos anos de su vi-da, con Des Bosses57. Se enzarza, en respuesta a la demanda de aquel, enuna controversia que opone los cartesianos a las autoridades de la iglesia, aproposito del contenido de la ensenansa en los colegios [colleges]. Una de lasproposiciones en litigio es la siguiente: “4 - Nuestro espıritu, en tanto seresfinitos, no puede saber nada con certeza sobre el infinito, y por lo tanto nole conviene disputar acerca de el.” He aquı la respuesta de Leibniz:

Los Matematicos, si no me equivoco, han refutado ya la cuarta,y yo mismo he dado algunos ejemplos de la ciencia del infinito.Atendiendonos a esto, pienso que, hablando propiamente, el in-finito formado de partes no es ni una unidad, ni un todo, y quesolo se lo concibe como una cantidad por una pura ficcion delespıritu. Solo el infinito sin partes es uno, pero no es un todo;ese infinito es Dios58.

Esta respuesta retoma claramente los principios generales que los comen-tarios sobre Descartes proponıan: un saber positivo del infinito es posible,de lo que los trabajos matematicos constituyen “ejemplos”.

Del buen uso de las paradojas del infinito

Las reservas de Descartes en cuanto a la posibilidad de una comprensiondel infinito se adosan a una tradicion muy antigua y muy fuerte, que sededica, mezclando consideraciones de logica, de matematicas, pero tambiende teologıa y fısica, a poner en evidencia que tanto el infinito es fuente deparadojas para el pensamiento. Como si buscar concebir el infinito, y masaun, admitir su existencia, pusiera nuestro espıritu “patas arriba” y noslibrara a una multiplicacion de proposiciones contradictorias. La coleccionde esas paradojas viene ahora a servir a dos tipos de argumentacion: la una,que opone la infinitud potencial y la actual, y muestra que mientras noses posible, e incluso necesario, admitir la potencial, sostener la actual, alcontrario, nos sumergerıa en paradojas insolubles. La otra, mas radical aun,

57Se encuentra una traduccion al frances de las cartas de Leibniz a Des Bosses en unanexo al estudio de C. Fremont, El ser y la relacion, Vrin, 1981.

58“Les Matematiciens, si je ne m’abuse, ont deje refute la quatrieme, et j’ai moi-memedonne quelques specimens de la science de l’infini. En attendant, je pense qu’a proprementparler l’infini forme de parties n’est ni une unite ni un tout, et qu’on ne le concoit commequantite que par une pure fiction de l’esprit. Seul l’infini sans parties est un, mais il n’estpas un tout; cet infini est Dieu.” Carta V, 1 Septiembre 1706, PS, II, p.313

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que nos pone en guardia contra todo pensamiento del infinito: aspiramos ael, pero ası somos conducidos hacia vanas disputas sobre las cuales, en elfondo, serıa mas prudente renunciar definitivamente.

Presentamos aquı dos ejemplos de las mas espectaculares paradojas:

1. La relacion del lado del cuadrado con su diagonal. Se sabe que estasmagnitudes son inconmensurables, en el sentido de que su proporcionno puede corresponder a un numero entero (ni tampoco a una fraccionde enteros). Admitamos ahora que los segmentos que constituyen ellado y la diagonal estan compuestos de una infinitud de puntos; sepuede entonces establecer una correspondencia punto por punto (enlenguaje moderno dirıamos “biyectiva”) entre el lado y la diagonal.Los dos segmentos vienen a ser ası, misteriosamente, iguales (no haymas puntos en la diagonal que en el lado), y a la vez uno los llama“inconmensurables”.

El desarrollo de la geometrıa proyectiva en el siglo XVII, bajo la in-fluencia de los trabajos de Desargues, ofrece la posibilidad de multi-plicar estos ejemplos ya que ası se pueden relacionar uno con otro doscırculos en un cono, o un medio-cırculo con una media-elipse como lohace Pascal.

2. Galileo en sus Discursos y demostraciones matematicas propone unaparadoja distinta, de tipo aritmetico. Dada la serie de los enteros y lade los cuadrados de los mismos, la segunda serie tendrıa, por hipotesis,un numero de terminos igual que el de la primera. Pero se nota queque la primera serie comprende “mas” numeros que la segunda, puesella contiene no solamente los cuadrados, sino tambien los que no loson.

¿Que hacer con estas paradojas, cuando se busca constituir una “cienciadel infinito”? Se recuerda entonces que el problema de la consideracion delcontinuo, “donde debe entrar la consideracion del infinito”, es tenido porLeibniz como la dificultad fundamental de la filosofıa. Pero esto no le conducesencillamente a aceptar, tal cuales, las aporıas tradicionales, al contrario:cuando el utiliza para un problema la imagen del laberinto, es siempre paraindicar que debe existir un “hilo de Ariadna” que permita salir de el. Setrata entonces de apropiarse de la tradicion de las paradojas, y tambiendesarrollarla, pero para proveerse de los medios de sobrepasarla.

Un argumento de tipo pascaliano puede constituir aquı un primer puntode apoyo. Es por la vıa indirecta del razonamiento de reduccion al absurdo

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que Pascal busca eludir las paradojas del infinito. Se trata para el de mos-trar que la negacion del infinito conduce a paradojas mayores aun que suafirmacion59. Pascal explica, valiendose de la idea de que para los hombresno hay acceso directo a la verdad, que se tiene fundamento para no negar loque por esa razon nos es incomprensible, mas aun cuando un razonamientoriguroso nos conduce a concebir que lo contrario implicarıa contradiccion:“Todas las veces que una proposicion es inconcebible, es necesario suspen-der el juicio y nunca negarla en ese paso, sino examinar el contrario; y sise encuentra manifiestamente falso, se puede afirmar con fuerza la primera,por incomprensible que sea.60” Esta vıa es audaz, e interesa mucho mas aLeibniz cuanto permite que el infinito sea objeto de razonamiento, ası fueseindirecto, y da testimonio de una gran confianza en la forma de ese razo-namiento. Pero esa intrepidez en la forma de conducir la demostracion nopermite concluir mas que la existencia del infinito, ella no nos ensena nadade su naturaleza. Ella, entonces, no podrıa ser suficiente.

Es necesario examinar la consistencia de las paradojas mismas: ¿son ellasverdaderas paradojas, o solamente pseudo-contradicciones, que provienen dela conjuncion [assemblage] de elementos o de proposiciones heterogeneas?¿Las suposiciones a partir de las cuales se las construye son ellas mismas ac-ceptables? Hay a menudo, dice Leibniz, “fallas en las consecuencias”, perotambien, “falsas suposiciones que enredean”. Por ejemplo, “uno se enredacon las series de numeros que van al infinito. Uno concibe un ultimo termi-no...61” ¿Pero por que serıa necesario que hubiese un ultimo termino, unaultima mitad, un ultimo punto? Se percibe entonces que muchas de estasparadojas no lo son: las dificultades nacen de principios mal fundados (“hayun punto en el extremo de una lınea”), que juegan como presupuestos enel razonamiento, siendo una mezcla mal controlada de generos: se razonasobre la lınea como si ella estuviese compuesta de puntos, sobre la superficiecomo si ella estuviese compuesta de lıneas. No mezclar los generos, tal es laregla principal si se quiere tener un chance de resolver, incluso disolver, lasparadojas. Esta ultima exigencia juega un rol determinante en el analisis dela continuidad. Es importante ante todo poner las paradojas “formalmente”,para hacer aparecer sobre que principios de partida se las construye. Lejosde ser una manıa esteril y redundante, la expresion formal de los argumentoses el unico medio de comprobar el rigor.

Es entonces que comienza el verdadero trabajo: ¿sobre cuales principios

59Este era ya un argumento de Aristoteles, a favor de la ‘infinitud en potencia.’60Del espıritu de la geometrıa, OC, Pleiade, p. 58661T, Discurso de la conformidad de la fe y la razon, §70, p. 91 y 92.

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debe fundarse la comprension del infinito y de la “composicion del conti-nuo”? Tomemos por ejemplo el axioma fundamental que sirve a Galileo enla construccion de su paradoja aritmetica - “el todo es mas grande que laparte”: ¿cual es la pertinencia de este axioma? Leibniz, al admitir su validez,se esforzara por darle una demostracion. Pero queda aun el hecho de quesu aplicacion resulta aquı no menos que problematica: la coleccion de losenteros naturales, como la de los cuadrados, no puede ser considerada comoun “todo”. La “paradoja” de Galileo reposa entonces sobre bases inciertas,que deben devenir objeto de un examen.

Las paradojas cambian ası completamente de estatus: en lugar de re-presentar un punto de acabamiento, un final para un pensamiento que serevela definitivamente vacuo, vienen a ser trampolines para la reflexion. Esal desarrollarlas, yendo hasta al borde [bout] de las contradicciones queellas ocultan, que se es conducido a transformar los principios y los metodosmismos que sirven de base a nuestros razonamientos. Si las paradojas sedesarrollan, es porque nuestros conceptos son limitados, pero este lımite notiene nada de definitivo: buscamos las cantidades allı donde necesitarıamosdeterminar las relaciones, desnaturalizamos la continuidad al aplicarle losesquemas de la contiguidad. En breve, se trata, no de renunciar a com-prender el infinito, sino de elaborar conceptos adecuados para esta tarea. Yesto no requiere alguna facultad superior y misteriosa , sino simplemente eldesarrollo la razon.

El dialogo Placidius Philalethi62 resulta ejemplar en este aspecto: lasparadojas adquieren ahı, en efecto, la funcion de laboratorio conceptual. Seve introducir ahı el tema, que vendra a ser decisivo, de la division al infinito,pero sin “ruptura” [coupure] de las realidades continuas. Las consideracionesmatematicas cruzan las preocupaciones de fısica: la materia, los cuerpos, elmovimiento, el tiempo, en cuanto realidades que son actual y conjuntamentedivididas en un “mayor” numero de partes. Pero el termino de “partes” sepresta a confusion: se arriesga caer en una problematica de la adicion departes, o mas generalmente, de la yuxtaposicion de elementos contiguos.Se busca por ejemplo obtener la duracion por la adicion de los instantes, lalınea por la adicion de los puntos; jamas se encontrara, desde tal perspectiva,la continuidad. Es necesario entonces concebir de una manera totalementediferente las “partes”: no como elementos separados (“granos de arena”) sinocomo “pliegues” al infinito. Leibniz introduce aquı la metafora del pliegue,que renovara constantemente, hasta en la Monadologıa:

La division del continuo no debe ser considerada como aquella

62COF, p. 594-627

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de la arena en granos, sino como aquella de una hoja de papelo de una tunica en pliegues, de tal manera que pueda tener unainfinitud de pliegues, los unos mas pequenos que los otros, sinque el cuerpo se disuelva nunca en puntos o mınimos.63

Es entonces a falta de una concepcion adecuada de la continuidad quesomos conducidos a paradojas insalvables.

Las discusiones con Foucher, que fue uno de los corresponsales regularesde Leibniz en los anos 1690-1700, son la ocasion de una clarificacion delmismo tipo. La interpretacion que Foucher da a las paradojas representacon bastante precision la posicion que Leibniz busca sobrepasar. Foucheradmite, en efecto, (es mas, concede) la existencia del infinito actual, peroparte del argumento de la proliferacion de las paradojas para considerarel infinito como una realidad incomprensible, volviendo ası a una teologıadel misterio. Las hipotesis de Leibniz relativas a las divisibilidad infinitadel espacio y del tiempo, a la continuidad y a los cambios “infinitamentepequenos” le parecen no una solucion, sino mas bien una recaıda en lasdificultades antiguas:

Ese infinito es incomprensible al espıritu humano, y (...) no tenemos deel ninguna idea positiva, no mas que de la nada. Estas dos extremidades nossobrepasan, y no es sin razon que Platon dijera en el Sofista que el filosofose pierde en la contemplacion del ser, y el Sofista en la de la nada, el unosiendo deslumbrado por la gran luz de su objeto, el otro quedando ciego enlas tiniebras del suyo...

Yo os confieso que aun dudo [de eso de que la naturaleza “no hace saltosy se mueve por cambios infinitamente pequenos”] pues temo que eso nosreenvıa a los argumentos de los Pitagoricos, que hacen a la tortuga ir tanrapido como Aquiles, pues todas las magnitudes pueden ser divididas alinfinito, no habiendo unas tan pequenas, en las que que no se pueda concebiruna infinitud de divisiones que no se agotaran jamas. De donde se sigue quelos movimientos deberıan hacerse todos de un golpe, en relacion a ciertosindivisibles fısicos y no matematicos64...

La respuesta de Leibniz indica muy precisamente la inversion que quiereefectuar:

Tiene usted razon al decir que “todas las magnitudes pueden

63“La division du continu ne doit pas etre consideree comme celle du sable en grains,mais comme celle d’une feuille de papier ou d’une tunique en plis, de telle facon qu’ilpuisse y avoir une infinite de plis, les uns plus petits que les autres, sans que les corps sedisolve jamais en points ou minima.” M (¿?), p. 615

64Carta de Foucher, 31 Diciembre 1691, PS, I 40.

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ser divididas al infinito, no habiendo unas tan pequenas, en lasque no se pueda concebir una infinitud de divisiones que no seagotaran jamas”. Pero yo no veo que haya de malo, ni que ne-cesidad haya de agotarlas. Un espacio divisible sin fin se reco-rre en un tiempo tambien divisible sin fin... El P. Gregoire deSaint-Vincent, tatandose de la suma de una multitud infinita devalores que estan en progresion decreciente, ha mostrado muypertinentemente, tal como lo puedo recordar, mediante la mis-ma suposicion de la divisibilidad al infinito, que tanto mas debeavanzar Aquiles que la tortuga, o en cuanto tiempo la deberıaencontrar si ella hubiese partido antes. Yo no concibo los indivisi-bles fısicos (sin milagros) y creo que la naturaleza puede realizartodas las pequeneces que la geometrıa pueda considerar65.

Lejos de que la suposicion del infinito sea el origen de paradojas insalva-bles, es esa misma hipotesis la que permite escapar de ellas. Resta todavıapor establecer la verdad de esta suposicion, y mostrar que estamos provistosde proposiciones bien fundadas. El debate que Leibniz conduce en el segun-do libro de los Nuevos Ensayos sobre el entendimiento humano (cap. XVII)con el empirismo en general, con Locke en particular, constituye desde esepunto de vista una ocasion privilegiada.

La idea positiva del infinito

Como sucede a menudo en el caso de los Nuevos Ensayos..., la cuestionde partida es aquella del origen de las ideas: ¿de donde sacamos nosotrosnuestra idea de infinito? ¿Ella es innata, a priori, o a posteriori, derivada deuna experiencia, o de una combinacion de experiencias? La respuesta que sede a esta cuestion envuelve, de hecho, la definicion misma de infinito y deconocimiento que tengamos:

65“Vous avez raison de dire que “toutes les grandeurs pouvant etre divisees a l’infini, iln’y a en point de si petites, dans lesquelles on ne puisse concevoir une infinite de divisionsque l’on n’epuisera jamais”. Mais je ne vois pas quel mal en arrive, mi quel besoin il y aitde les epuiser. Un espace divisible sans fin se passs dans un temps aussi divisible sans fin...Le P. Gregoire de Saint-Vincent, traitant de la somme d’une multitude infinie de valeursqui sont en progression decroissante, a montre fort pertinemment, autant que je puis m’ensouvenir, par la supposition meme de la divisibilite a l’infini, combien Achille doit avancerplus que la tortue, ou en quel temps il la devrait rejoindre si elle avait pris les devants.Je ne concois point d’indivisibles physiques (sans miracle) et je crois que la nature peutexecuter toute la petitesse que la geometrie peut considerer.” Carta a Foucher, enero 1692,PS, I, p.403

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Philalethe: Hemos creıdo que la potencia que tiene el espıritu deextender sin fin su idea del espacio mediante nuevas adicionessiendo siempre la misma, es de allı que este saca la idea de unespacio infinito.

Theophile: Es bueno anadir que ello sucede porque se ve que lamisma razon subsiste siempre. Tomemos una lınea recta y pro-loguemosla, de manera que llegue a ser el doble de la primera.Ahora bien, es claro que la segunda, siendo perfectamente seme-jante a la primera, puede ser doblada de la misma manera (...)y al tener lugar siempre la misma razon, nunca es posible queseamos detenidos; ası la lınea puede ser prolongada al infinito,de manera que la consideracion del infinito viene de aquella dela similitud o de la misma razon, y su origen es el mismo queel de las verdades universales y necesarias. Lo cual permite vercomo aquello que da cumplimiento a la concepcion de esa idea[de infinito], se encuentra en nosotros mismos, y no podrıa venirde experiencias de los sentidos, ası como las verdades necesariasno podrıan ser probadas por la induccion ni por los sentidos66...

Locke no concibe que nosotros podamos tener una idea “positiva” delinfinito. Habrıa que ser “absurdo” para sostenerla, y no podrıa ser cuestionde construir una “doctrina” cualquiera acerca del infinito. ¿Como elaboraruna doctrina de aquello que no tenemos una idea precisa? Esta desconfianzaes motivada por un analisis general de la idea de infinito. Ella deriva, si sesigue a Locke, de una experiencia interna: aquella de la potencia constante“que tiene el espıritu de extender sin fin su idea del espacio mediante nuevasadiciones”. Que se trate del espacio, del tiempo, pero sobre todo del numero,que juega en esta genesis de la idea de infinito un rol decisivo, no vienea oponerse a un aumento ası. Es esta experiencia la que nos “sugiere” laidea del infinito. Pero esa idea se mantiene fundamentalmente “negativa”,en el sentido que, propiamente hablando, ella no nos hace conocer nada. Lainfinitud no es “nada” aparte de esa posibilidad de un aumento o disminucioninterminable. Que ese movimiento tenga su principio en el orden de losnumeros no basta para la elaboracion de un conocimiento efectivo.

La respuesta leibniciana se desarrolla en varios tiempos, alrededor dedos orientaciones principales. Se trata de mostrar, por un lado, que tenemosuna idea adecuada del infinito “verdadero” o “absoluto” que escapa a ladefinicion cuantitativa propuesta por Locke; y por otro lado, que cuando

66Nuevos Ensayos, libro II, cap. XVII, GF, p. 133

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atrapamos la infinitud en el orden de la cantidad, estamos siempre en lacapacidad [mesure] de conocer las razones.

1. El orden en el cual Leibniz procede es en sı mismo significativo. Elexamen de la cuestion del origen no aparece sino en un segundo lugar,como si ella hubiera devenido una cuestion subordinada, y fuera pre-cedida por un analisis de las diferentes especies de infinitud. Se apoyasobre la idea del infinito, que es considerada como dada. Toda la cons-truccion de Locke pierde entonces su razon de ser: en lugar de buscarengendrar la idea del infinito a partir de las combinaciones que operael espıritu, Leibniz la ha reconocido como una idea original, que exigeciertamente ser analizada, pero no producida. Es una idea innata, queencontrarmos en nosotros mismos a priori: “La idea del absoluto “elverdadero infinito en rigor” nos es interior como aquella misma delser67”. Nos vemos entonces aquı ante un “hecho”: esta idea es en no-sotros. Pero se trata de un hecho “de la razon”: ni la induccion - lageneralizacion a partir de experiencias particulares - ni la experienciainterna estan en la capacidad de darnos tal idea. Ella es del mismogenero que “las verdades universales y necesarias, como las que encon-tramos en las matematicas puras y particularmente en la aritmetica yla geometrıa68”, y “los principios que le dan cumplimiento” no depen-den de los sentidos, sino de la razon “pura”. Resta entonces conducirel analisis, para desarrollar las determinaciones principales del infinito.

2. Se puede mostrar, situandose provisoriamente sobre el mismo terrenode Locke, que su concepcion del infinito resulta enganosa [fautive]:si tenemos una idea de incremento al infinito de las cantidades, noes porque nada venga a detener nuestro espıritu en su movimiento,sino al contrario porque alguna cosa nos hace conocer la necesidad deesta progresion interminable: “La misma razon subsiste siempre (...)“y” la consideracion del infinito viene de la de la similitud o de lamisma razon.” Que esta argumentacion sea interminable no produceninguna indeterminacion: conocemos adecuadamente la ley que rige laprogresion, es por ella que estamos seguros de su infinitud. Nada nosobliga a no tener mas que una idea indefinida del infinito: conocemoslas razones de la infinitud.

3. Se puede hacer aparecer entonces, bajo el principio del origen propues-to por Locke, un cırculo vicioso: ¿no es necesario tener una idea del

67Ibid.68NE, Prefacio, GF, p. 35

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infinito para concebir un incremento o una disminucion al infinito? Laexperiencia que Locke pone como origen de la idea de infinito la su-pone de hecho como su condicion. Uno reencuentra aquı, en oposicional empirismo, un tipo de argumentacion que era ya aquel de Platoncuando defendıa la realidad de las “Ideas” y que sera el de Kant paraestablecer la realidad de las formas o principios a priori.

4. Se trata entonces de cambiar de terreno, rechazando el presupuesto queorienta los analisis de Locke: considerar el infinito como una determi-nacion esencialmente cuantitativa, aplicable a realidades compuestasde partes y suceptibles de ser aumentadas (por adicion o multiplica-cion) o disminuidas (por sustraccion o division). Esta caracterizacionresulta con nitidez a los ojos de Leibniz como demasiado restrictiva: siella es, en el lımite, aceptable para la infinitud en potencia de las can-tidades matematicas, ella no puede valer para las magnitudes infinitasdel mundo real ni a fortiori para la infinitud de un ser absoluto. Elladesconoce, sobre todo, por su propio principio, que existen multitudde “ordenes” de infinitud, y no se procura medios de concebirlos ni dedistinguirlos.

El infinito “verdadero” se dice de partida de ese que, en sı mismo, notiene ni puede tener lımites:

El verdadero infinito, en rigor, no se da sino en el absoluto, que esanterior a toda composicion, y no esta formado por la adicion departes (...) La idea del absoluto esta en nuestro interior ası comoaquella del ser: esos absolutos no son otra cosa que los atributosde Dios, y se puede decir que ellos no son menos la fuente de lasideas que Dios mismo el prıncipe de los seres. La idea del absolutopor referencia al espacio no es otra que la de la inmensidad deDios, y ası de los demas [atributos]69.

Lejos de ser obtenida por abstraccion a partir de la consideracion de lofinito, la idea del infinito la precede (y finalmente la condiciona): “El ver-dadero infinito no es una modificacion, es el absoluto; al contrario, cuando

69“Le vrai infini a la rigeur n’est que dans l’absolu, qui est anterieur a toute composition,et n’est pas par l’addition des parties (...) L’idee de l’absolu es en nous interiorment commecelle de l’etre: ces absolus ne sont autre chose que les attributs de Dieu, et on peut direqu’ils ne sont pas moins la source des idees que Dieu est lui-meme le principe des etres.L’idee de l’absolu par rapport a l’espace n’est autre que celle de l’immensite de Dieu, etainsi des autres.” NE, Leibniz. II, c. XVII, GF, p.132-133

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uno modifica, se limita o forma un finito.70” El error de Locke, finalmente,consiste en haber buscado comprender lo infinito a partir de lo finito, comoun “modo”, una cierta modificacion de la cantidad. La idea fundadora de loinfinito - aquella a partir de la cual el conjunto [ensemble] de la demostra-cion se organiza - no tiene ya nada que ver con aquella del aumento o de ladisminucion interminable, que siempre supone una composicion. Es en esenivel que se puede arraigar un conocimiento adecuado del infinito. No es quetengamos un conocimiento de ese Dios que Leibniz coloca en el origen delas cosas, pero conocemos distintamente ciertos atributos: la eternidad y lainmensidad, por ejemplo, en donde es posible explicitar las determinaciones.Es de esos atributos (infinitos) que tenemos una “idea positiva”: no del infi-nito o del absoluto, sino de los “absolutos”, que lo son en cuanto “atributos”de Dios (la inmensidad, la eternidad y... los demas). Se anota por un ladola pluralidad de sus atributos: es ella la que llama a a la construccion de undiscurso sobre el absoluto ası como al trabajo de diferenciacion y de deter-minacion. Por otra parte, la relativizacion del absoluto: tomamos de el unaidea “relativamente al espacio”, y “relativamente al tiempo”. Relativamenteal espacio (orden de coexistentes), la idea del absoluto deviene aquella de lainmensidad, relativamente al tiempo (orden de sucesivos), de la eternidad.Ası mismo, dice Leibniz, para los “otros absolutos”. La cuestion del numero(¿de la infinitud?) de los atributos queda aquı abierta. Las ideas que nos for-mamos suponen esos absolutos como su “fuente”. Sin esta “relativizacion”no tendrıamos ninguna forma de atrapar el absoluto y no podrıamos lograrningun verdadero trabajo de conocimiento. La idea de inmensidad no debeser confundida con la del espacio, y aun menos con aquella de la extension,pero su elaboracion exige la mediacion del espacio.

Leibniz busca reunir dos orientaciones aparentemente divergentes:

- Definir la infinitud a partir de la simplicidad radical. Ser infinito paraeste absoluto del que tenemos idea, es menos ser “sin lımites” que ser“sin partes”; o mas aun, es de la simplicidad que deriva la ausencia delımites. ¿Como aquel que no tiene partes podrıa ser limitado? Se tratade una de las orientaciones fundamentales de la filosofıa leibniciana,pensar juntos el ser y la simplicidad; se percibe aquı que la relacion noes menos estrecha entre la simplicidad y la infinitud. Es esta relacion,dada aquı en general, la que es movilizada cuando se trata de describirla infinitud de substancias “simples”.

70“L’infini veritable n’est pas une modification, c’est l’absolu; au contraire, des qu’onmodifie, on se borne ou forme un fini.” Ibid.

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- Pero importa tambien, para poder dar asidero al discurso y al conoci-miento, que esa simplicidad se deje pluralizar, que se pueda, pidien-do prestado a Leibniz de su propio discurso, “desenvolver” eso queesta ahı “envuelto”: los diferentes atributos y sus caracterısiticas. Queun circuito ası sea posible, es lo unico que garantiza la construccionde una idea adecuada del infinito.

Se esta en la capacidad, al termino de este recorrido, de distinguir dosfuentes de “positividad” netamente diferentes para un conocimiento del in-finito. Cuando nos encontramos en el orden de la composicion de las can-tidades, nos es necesario y nos es siempre posible encontrar una razon quejustifique la infinitud. Esta razon nos permite ademas, algo que juega un rolmuy importante en las matematicas, distinguir entre muchas maneras de serinfinito: no tener termino (como la serie de los numeros) o al contrario, ten-der (sin jamas llegar) hacia un lımite. Comprender el infinito aquı consisteen dar razon de el. La situacion es diferente cuando nos encontramos en elorden del absoluto y de sus atributos. Y no es la menor de las paradojas delracionalismo leibniciano, poner por delante, como fundamento ultimo parael conocimiento del infinito, una “intuicion originaria”.

Pero la teorıa leibniciana del conocimiento distingue con nitidez granvariedad de tipos de verdad: las verdades primitivas, las derivadas, las ne-cesarias y las contingentes.

Las verdades primitivas son aquellas de las que no se puede darrazon, y estas son, o bien las verdades identicas, o bien las in-mediatas; que se afirman por sı mismas, o que niegan la con-tradiccion de sus contradictorias. Por el otro lado las verdadesderivadas son de dos generos: las unas, en efecto, se resuelvenen primitivas, las otras comprenden en su resolucion un progresoal infinito. Las primeras son necesarias, las segundas contingen-tes71.

Las proposiciones identicas (o las derivadas resolubles en identicas) sonaquellas cuyo contrario implica contradiccion. A esa categorıa pertenecenlas verdades “que son llamadas metafısicas o geometricas”. La idea del infi-nito verdadero, el enunciado de sus atributos toma lugar en la serie de esasverdades “que se afirman por sı mismas” y “que niegan la contradiccion desus contradictorias”. Ası como la suposicion de un numero infinito (o masgeneralmente, una cantidad infinita) se descubre inmediatamente como una

71De la libertad, NLO, p.178-185, o PO, p.381

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proposicion contradictoria, los atributos del absoluto se revelan suceptiblesde ser aumentados sin contradiccion hasta el infinito, “suceptibles de ultimogrado”. De las nociones primitivas no sabemos, por definicion, dar razon.Pero la infinitud no escapa por lo tanto de una determinacion racional: ellaesta bajo el control del principio de no contradiccion, ese que basta a losojos de Leibniz para inscribirla dentro del horizonte de la definicion.

El infinito verdadero... y los otros

El trabajo de definicion importa sobre todo por las distinciones que au-toriza. A aquellos que niegan la actualidad del infinito, Leibniz les objetasiempre que confunden, sin razon, las diferentes especies de infinitud. ¿Debeuno sorprenderse, por ejemplo, del enredo de Locke cuando se sabe que el nobusca la infinitud sino en el orden de la cantidad numerica? Tal restriccionno es legıtima. Es necesario, por el contrario, si se quiere estar en capacidadde concebir la actualidad del infinito, distinguir las multiples especies. Laidea de absoluto juega dentro de esta distincion el rol que describe Leibnizcuando habla de “fuente” [source]: es a partir de ella que las distincionesoperan, es ella la que sirve, por ası decir, de norma fundamental. Solo en esesentido es que uno puede decir que la “idea positiva” del infinito no es unasino plural. Nuestra primera idea es, como se vio antes, aquella del infinitoactual en cuanto “verdadero infinito en rigor “es decir absoluto””: “Potenciaactiva conteniendo casi-partes, eminentemente, pero no formalmente, ni enacto. Ese infinito es Dios mismo72.” Hay, en segundo lugar, una infinitud queno es aquella de Dios, sino la de las cosas: “Propiamente hablando, es verdadque hay una infinitud de cosas, es decir, que siempre hay mas de lo que sepuede asignar73.” No estamos en este caso ante la infinitud de un absoluto.Pero por eso no resulta la infinitud menos verdadera, eso es lo que indicala formula “hablando propiamente”74: la nocion de inmensidad sigue siendopertinente, pero esta siendo aplicada a una multitud, lo que no es el casocuando se trata del absoluto y de su simplicidad. Existe de todas manerasentre estos dos niveles una relacion estrecha, que Leibniz determinara comouna relacion de expresion.

72“Puissance active ayant des quasi-parts, eminemment, mais ni formellement ni enacte”. Carta a Des Bosses del 1 Septiembre 1706, PS, II, p.315

73NE, lib. II, cap. XVII, GF, p. 13274Leibniz a menudo hace la diferencia entre las formulaciones hablando propiamente y

las formulaciones impropias. Es por ejemplo impropio que digamos que las colecciones deobjetos son “unas”. La unidad no es, en efecto, mas que verbal y no corresponde a ningunarelacion substancial.

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Que hay “siempre mas de lo que se puede asignar”, esto quiere decir,en sentido propio, que la multitud no es numerable. Concebir la infinitudde cosas, su multitud inmensa, es entonces comprometerse con una vıa in-termedia entre, por un lado, la del absoluto y la simplicidad y, por el otro,la de la numeracion y la totalizacion numerica. Leibniz se niega, en efectomuy neta y frecuentemente, a asociar a la infinitud de las substancias unacantidad determinada. Para hacerlo serıa necesario que pudiese existir unnumero infinito:

Pero no existe un numero infinito, ni lınea u otra cantidad infini-ta, si se los toma por verdaderos todos, como es facil de demos-trar. Esto han querido decir las escuelas al admitir un infinitosincategorematico, como es su manera de hablar, y no uno cate-gorematico75.

Detras de ese vocabulario de apariencia esoterica se atrapa una distincionque es, en una primera aproximacion, bastante simple: el infinito “catego-rematico” designa una multitud compuesta de una infinitud enumerable departes. El infinito sincategorematico, por el contrario, designa una multitudque no es numerable. Las cosas se complican evidentemente cuando se bus-ca enunciar las razones que autorizan, o prohiben, la numerabilidad. Estadistincion sirve tradicionalmente para definir las caracterısticas del infinitoactual, si se acepta o no la hipotesis. Es entonces del infinito numerable queLeibniz dice que no existe: “No se da el infinito categorematico, es decir,teniendo en acto partes infinitas formalmente.76” Pero si no esta “dado”, esantes que nada porque no es posible: su simple idea implica contradiccion.Para comprender esto sera necesario interrogar la concepcion leibniciana denumero.

Leibniz en los Nuevos Ensayos hace alusion a esa antigua distincion perono se apropia completamente de ella. Por el contrario, en la corresponden-cia con Des Bosses, afirma explıcitamente que el infinito sincategorematicoesta “dado”: “Se da el infinito sincategorematico, o potencia pasiva teniendopartes, que entiendo como la posibilidad de un desarrollo ulterior por divi-sion, multiplicacion, sustraccion, adicion.77” ¿Que sentido hay que otorgar

75“Mais il n’y a point de nombre infini, ni de ligne ou autre quantite infinie, si on esprend pur des veritables touts, comme il est aise de demontrer. Les ecoles ont voulu direcela en admetant un infini syncategorematique, comme elles parlent, et non pas l’infinicategorematique”. NE, lib. II, cap.XVII, GF, p.132

76“Il n’est pas donne d’infini categorematique, c’est-a-dire ayant en acte des partiesinfinies formellment.” Carta a Des Bosses del 1 de septiembre 1706, PS, II, p.314

77“Est donne l’infinie syncategorematique, ou puissance passive ayant des parties,

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a esta proposicion? La ambiguedad es en efecto real: en un primer momentose puede pensar que Leibniz retoma finalmente en cuenta la distincion tra-dicional entre las dos formas posibles de infinitud actual, y que caracteriza“la infinitud de las cosas” como una infinitud “sincategorematica”, porquees imposible de numerar (“siendo dada”, entonces, reenviarıa a esa multitudexistente en acto). Las caracterısticas que Leibniz retiene aquı: ser una “po-tencia activa”, “tener partes” y dejarse dividir a voluntad, multiplicar, etc.,no se pueden atribuir a las realidades substanciales, por definicion “unas eindivisibles”. Pero entonces es necesario tener cuidado con la manera comose aborde “la inmensidad de las cosas”. Es posible aprehenderla en el planode las apariencias, en cuanto conjunto de fenomenos: entonces la materia(potencia extensa y pasiva segun Leibniz) ocupa el primer lugar y autorizalas aproximaciones cuantitativas, segun todas las operaciones de aumento ydisminucion. La infinitud es entonces tanto la de aquella “potencia pasivateniendo partes...”, divisible y dividida “sin fin”: “Los cuerpos son multi-tudes, infinitas, tanto que el menor grano de polvo contiene un mundo deinfinitud de criaturas78.” Pero es posible tambien (como es el caso en me-tafısica) interesarse en la realidad substancial que constituye el fundamento:se tiene entonces que tratar con la multitud de las substancias, individualesy activas. En tanto que tales, ellas son indivisibles, no tienen partes y noson partes. La infinitud no es entonces aquı aquella de la dismincion (o delaumento) al infinito, sino mas bien la de la multitud no numerable.

Los analisis que preceden aportan elementos para un conocimiento “bienfundado” del infinito. Cuando describe el movimieto propio del pensamien-to humano, Leibniz insiste en la utilidad, pero tambien en la necesidad delsimbolismo: no hay razonamiento que no sea en parte ciego”, es decir, quese haya sustituido por sımbolos la concepcion explıcita de su significacion.De un mismo golpe, una duda planea siempre sobre el valor de verdad denuestros pensamientos: ¿estarıamos nosotros verdaderamente en la capaci-dad de exhibir la definicion los terminos que utilizamos? La “ciencia delinfinito”, quizas mas que cualquier otra, debera recurrir y tomar confianzaen los sımbolos, en particular los sımbolos escritos. ¿Se dira entonces quetratamos con estos sımbolos “creyendo” poser una definicion del infinito?Se percibe, por el contrario, que tanto Leibniz tiene el cuidado de dar lugarun sistema de definiciones fundadoras para las construcciones posteriores,

j’entends la possibilite d’un developpement ulterior par division, multiplication, sustrac-tion, adition” Ibid.

78“Les corps sont des multitudes, mais infinies, tellement que le moindre grain de lapoussiere contient un monde d’une infinite des creatures.” PS, VII, p.542

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ası ellas sean “ciegas”79.

El numero y la magnitud

Lo que complica singularmente (pero quizas tambien enriquece) la defi-nicion que Leibniz propone de infinito, es la separacion que ahonda entre elinfinito, cuya realidad afirma, y el orden de los numeros y la cantidad. Elanalisis descansa sobre una oposicion aparentemente definitiva: de un lado,se afirma el derecho de la razon a una inteligibilidad completa del infinito,del otro, se afirma regularmente que no existe un numero infinito, y que lainfinitud actual, por real que sea, no es numerable. El numero parece enton-ces tener su terreno de aplicacion del lado de la infinitud potencial: allı seencuentran las partes y los todos, que se pueden componer por el juego deoperaciones de base aritmetica. Los terminos, como siempre en Leibniz, soncuestionados en su mas alto nivel de caracterıstica: cuando el describe lamultitud de substancias que constituyen el universo, afirma que es “inmen-sa”, es decir que literalmente escapa a la medida. ¿Como es posible que loque escapa a la medida pueda ser inteligible, y llegue a ser el objeto de“un analisis”? Medir, cuantificar, ¿no es esto necesario en primer lugar paraaquel que quiere conocer? ¿Se puede medir sin la asistencia de los numeros?¿Como comprender las formulas de Leibniz, de quien no duda en hablar delmundo como de la totalidad (infinita) de las cosas existentes?

El analisis de Locke, al cual Leibniz se opone tan vivamente, tiene al me-nos la ventaja de inscribir de entrada el infinito en el orden de la cantidad.En Leibniz pareciera que el movimiento se invirtiese, y que el analisis hi-ciese aparecer progresivamente que el veradero infinito no es “cuantitativo”sino “cualitativo”. Se encuentran textos en los cuales Leibniz establece unaseparacion explıcita entre la cantidad y la cualidad como si se tuviese quetratar con dos ordenes heterogeneos:

El paso de la cantidad a la cualidad no va bien siempre, no masque aquel que se da de los iguales a los similares. Pues los igualesson aquellos donde la cantidad es la misma, y los similares sonaquellos que no difieren sino segun las cualidades80.

79Para una definicion del pensamiento ciego, ver por ejemplo Meditacion sobre el cono-cimiento, la Verdad y las Ideas, PO, p.152-153

80“La consequence de la quantite a la qualite ne va pas toujours bien, non plus quecelle qu’on tire des egaux aux semblables. Car les egaux sont ceux dont la quantite estla meme, et les semblables sont ceux qui ne differnt point selon les qualites.” T, Segundaparte, §213, GF, p.246.

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Pero si el infinito no es cuantificable, y en cuanto escapa al calculo, ypor lo tanto a una de las formas mas eficaces de la racionalidad, existeel riesgo de que se reintroduzca una indeterminacion e irracionalidad, queLeibniz, constantemente, busca reducir. ¿Que es entonces lo que motiva esaafirmacion de que el infinito se situa “mas alla” del numero? Incluso si sedesconfıa de los jucios retrospectivos, la posicion tomada por Leibniz siguesiendo sorprendente. El era probablemente uno de los mejor situados, enese momento del nacimiento de la ciencia moderna, para emprender la vıade la innovacion conceptual que hara admitir, en aritmetica, la existenciade numeros infinitos asociandolos en un nuevo calculo. Pero es en Pascal, yno en Leibniz, que Cantor, al final del siglo XIX, se buscara un predecesor.¿Leibniz no habrıa sabido tomar parte en matematicas de sus intuicionesmetafısicas? ¿Habrıa construido una teorıa al borde del estallido, preso entreel infinitismo de su metafısica y el finitismo de su aritmetica?

Que la infinitud actual (de Dios o de la naturaleza) no sea numerable,se revela necesario, cuando se acepta la definicion leibniciana de substancia.La imposibilidad de la numerabilidad apunta entonces tanto a la naturalezade las realidades que se busca numerar como a la imposibilidad del numeroinfinito mismo. Incluso si hubiese un numero infinito, la infinitud actual res-tarıa “no numerable”, porque el absoluto es “anterior a toda composicion”:se caracteriza por una simplicidad extrema. Es necesario concebir aquı unaunidad que escape radicalemente al orden de la cantidad y de la division,si fuese simplemente posible. La multitud de las substancias podrıa ser des-crita a primera vista como una totalidad compuesta de partes: habiendotantas partes como substancias. Pero entonces uno podrıa dejarse enganarpor las apariencias: ante todo porque esa multitud, siendo infinita, no podrıacompletarse [s’achever] y componer un todo; y a continuacion porque, pro-piamente hablando, las substancias no son “partes”: “Las unidades substan-ciales no son partes, sino los fundametos de los fenomenos.81” No se esta enla capacidad ni de numerar, ni de unificar. El mundo, o “agregado de cosasfinitas”, no podrıa ni “constituir un verdadero todo” ni un ser determinadopor una cantidad numerica. Se tiene entonces que tratar con las unidades,pero la unidad de esas unidades permanece de mas problematica. Leibnizasume la cuestion de la “comunicacion” de las substancias - de hecho de lacostitucion del mundo - como una de las mas difıciles de su filosofıa. Perono se la resolverıa sino en apariencia atribuyendo un numero a la multitudde substancias.

Hacen faltan entonces aquı (y eso sera el caso tanto si se conserva la

81Carta a Volder, 30 de Junio 1704, PS, II, p. 268

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definicion euclidiana de numero) los elementos necesarios para la constitu-cion de una numeracion. El numero pertenece, junto con las figuras, a esasnaturalezas que, como dice en el Discurso de Metafısica, “no son suceptiblesde ultimo grado”, a diferencia de las perfecciones divinas que “no poseenlımites”. Se puede continuar por siempre por la serie de los numeros sinjamas encontrar un numero que fuese “el numero de todos los numeros”;un tal numero es imposible, porque “implica contradiccion”. Pero hay unarazon mas fuerte aun, que apunta a la naturaleza misma del numero comototalidad compuesta: la totalizacion implica un lımite. Si un conjunto deunidades debe constituir un verdadero todo, esto no puede ser sino sobre labase de una delimitacion:

Y para hablar con precision, en lugar de un numero infinito hayque decir que hay mas que lo que se puede expresar por cual-quier numero; o, en lugar de una lınea recta infinita, decir que seprolonga mas alla de cualquier magnitud asignable, tal que hayallı una recta siempre mas y mas grande. Pertenece a la esenciadel numero, de la lınea, y de un todo cualquiera, ser limitado.

Sobre esta base, la negacion del numero infinito es coherente, inclusonecesaria, y es en la reflexion que Leibniz conduce sobre la continuidad quetoma su significacion principal. Es necesario recordar, en efecto, que una delas dificultades historicas de las matematicas (y de la filosofıa) consiste en ladiferencia de naturaleza que separa dos tipos de realidades aparentementeheterogeneas: los numeros y las magnitudes. Los numeros son tradicional-mente definidos como “unidades de multiplicidades”. Son las entidades dis-cretas. Las magnitudes por el contrario aparecen como realidades continuas,segun la intuicion que los analisis de Aristotles han contruibuido mucho aformalizar (“se entiende por contınuos los cuerpos donde las extremidadesestan reunidas”). Es dificil de concebir entonces como es posible “pasar” delos numeros a las magnitudes y viceversa. La separacion entre la contigue-dad de los unos y la continuidad de los otros parece infranqueable. Es enparte esa dificultad la que Leibniz bautiza con el nombre de “laberinto delcontinuo”: dada una magnitud continua, ¿como resolverlo en un conjuntodeterminado de elementos constituyentes? Dado un conjunto determinadode elementos, ¿como obtener una magnitud continua al componerlos?

¿Como componer o descomponer la continuidad sin desnaturalizarla? Es-to requiere, dice Leibniz, “cierta consideracion del infinito”. Desde tal pers-pectiva, la negacion de un numero infinito aparece menos como un lımite oun arcaismo que como un obstaculo que hay que esquivar para inventar una

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nueva manera de medir las magnitudes, buscando escapar a la discretizacionque caracteriza el orden de los numeros. En lugar de impedir por siemprela medida, la imposibilidad del numero infinito quizas lo que hace es llamara una de un nuevo tipo. Se encuentra una indicacion en el discurso que sos-tiene Leibniz sobre las “cantidades infinitesimales” del calculo diferencial:querer dar una expresion numerica - asignarle una cantidad determinada -,pura y simplemente no tiene sentido. Leibniz dira entonces de nuevo: “nohay numero infinito”. Se percibe ası que la cuestion de una medida del infi-nito es mucho mas compleja de lo que parece en una primera mirada. Claro,Leibniz afirma que el “verdadero infinito” es un absoluto que no podrıa serdeterminado numericamente. Pero es para anadir inmediatamente que no sepuede escapar al laberinto del continuo mediante un analisis “del infinito”,y que ese analisis contribuye a hacernos tomar un conocimiento cierto... deDios. Es el termino “magnitud” el que toma entonces una significacion muyparticular, pues Leibniz le utiliza a la vez para describir la infinitud actualno numerable y para caracterizar el objeto del nuevo analisis matematico -el mismo que el se esfuerza de erigir a proposito de los problemas “trascen-dentes”:

Mr de Leibniz habiendo anotado que hay problemas y lıneas queno son determinados en ningun grado, es decir, que hay proble-mas en los que el grado mismo es desconocido y se pregunta porel, y lıneas de las cuales una sola pasa continuamente de gradoen grado, esa ruptura lo hizo pensar en un nuevo calculo, queparece extraordinario, pero que la naturaleza ha reservado paraeste tipo de problemas trascendentes, que sobrepasan al Algebraordinaria. Es eso que el llama Analisis de los Infinitos (...) Elnuevo analisis de los infinitos no trata ni de las figuras, ni de losnumeros, sino de las magnitudes en general (...). El muestra unalgoritmo nuevo, es decir una nueva manera de sumar, de res-tar, de multiplicar, de dividir, de extraer, incluso a cantidadesincomparables, es decir a aquellas que son infinitamente grandes,o infinitamente pequenas en comparacion con las demas82...

¿Cual es entonces este analisis del “magnitud en general” y que contri-buye a la “ciencia del infinito”?

82MS, p. 259. Leibniz habla aquı de sı mismo.

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“Todo eso que he anadido a la invencion matemati-ca ha nacido solo de que yo mejorara el uso de lossımbolos que representan las cantidades83”

No es raro ver a Leibniz defender la autonomıa de las ciencias con relaciona la filosofıa, ası fuese la filosofıa “primera”. Su insistencia en la necesidadde la metafısica y de su reforma no le conduce jamas a reivindicar para ellael papel de la direccion de las otras ciencias: fundar no significa mandar.Ası explica en su Discurso de Metafısica (§X) que los fısicos pueden “darrazon de las experiencias”, o bien mediante experiencias mas simples yarealizadas, o bien mediante demostraciones geometricas y mecanicas, sintener necesidad de “consideraciones generales que son de otra esfera”, esdecir de la metafısica. Un fısico que hiciera intervenir “el concurso de Dios,o bien algun alma, archee, u otra cosa de tal naturaleza”, no serıa mas queun “extravagante”. Esta anotacion vale tambien para las matematicas: “Ungeometra no tiene ninguna necesidad de embarazar su espıritu con el famosolaberinto de la composicion del continuo.”

Ese laberinto que “consiste en la discusion de la continuidad y de los indi-visibles que parecen ser sus elementos, y donde debe entrar la consideraciondel infinito”, donde “la razon se extravıa a menudo”, es el objeto especıficode la filosofıa. ¿Que relacion se establece entonces entre las matematicas y lafilosofıa? ¿Que papel pueden jugar las matematicas, reteniendo la autonomıade sus razones y de sus operaciones, pero tambien de sus objetos, dentro deesta comprension del infinito que vendrıa a ser la tarea propia de la filosofıa?Nos podemos guiar aquı por una indicacion que Leibniz da en 1694 en untexto que aparece en el Journal des Savants bajo el tıtulo Consideracionessobre la diferencia que hay entre el analisis ordinario y el nuevo calculo delos trascendentes:

No es de extranarse si nuestro nuevo calculo de diferencias yde sumas, que envuelve la consideracion del infinito y se aleja,por consecuencia, de eso que la imaginacion podrıa tratar, no haadquirido su perfeccion desde un principio84...

83“Tout ce que j’ai ajoute a l’invention mathematique est ne de cela seul que j’aiameliore l’usage des symboles qui representent les quantites”. MS, VII, p.17.

84“Il ne faut point s’etonner si notre nouveau calcul des differences et de sommes, quienveloppe la consideration de l’infini et s’eloigne par consequent de ce que l’imaginationpeut atteindre, n’est pas venu d’abord a sa perfection”. Por lo tanto se comprende mejorestas proposiciones recordando aquellas de Aristoteles: “(...) Desde su punto de vista,los matematicos no tienen necesidad del infinito, y no les dan ningun uso; se contentan

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La “consideracion del infinito” no es presentada como el objeto directode las matmaticas infinitesimales: ella esta “envuelta”. ¿Que es “envolver”si no es directamente incluir85? La elucidacion de la relacion entre filosofıay matematicas del infinito llama a una determinacion mas precisa de esetermino. Leibniz establece una relacion entre los problemas reencontradospor el “nuevo calculo” - sus dudas y sin duda tambien sus errores - y su“envolvimiento” del infinito: es porque el infinito esta en cuestion, inclusoindirectamente, para las matematicas que la imaginacion viene a ser ra-dicalmente insuficiente y que el trabajo se hace mas difıcil. ¿Que tipo depensamiento viene entonces a relevar a la imaginacion deficiente?

Aparece nıtidamente, a traves de las cuestiones mismas, que la auto-nomıa operatoria y tambien conceptual de las matematicas esta lejos de im-plicar insignificancia o neutralidad filosofica: el “envolvimiento” matematicodel infinito llama evidentemente a un “desenvolvimiento”, momento decisivode esta “ciencia del infinito” en que Leibniz tanto ha sonado.

Un problema muy antiguo: la busqueda de las “cuadraturas”

Leibniz se presenta regularmente, hasta en los textos tardıos que relatanel origen de sus “descubrimientos”, como el fundador de un nuevo calculo: eltermino de “calculo diferencial e integral” sera seleccionado progresivamentepara nombrarlo. Las polemicas con los newtonianos, que estan lejos de redu-cirse a las querellas de anterioridad, pero tambien el escepticismo de ciertosde sus contemporaneos, son ocasiones que aprovecha Leibniz para defenderla fecundidad de este nuevo calculo. Es bajo el tıtulo de “nuevo metodo”que hace conocer sus primeros elementos, planteando los principios genera-les y mostrando con ejemplos, como cuestiones, hasta entonces aporeticas,encuentran ahora, gracias a este nuevo metodo, una respuesta.

Esta innovacion no toma su sentido sino en relacion a problemas muyantiguos, a los cuales las generaciones sucesivas de matematicos se han con-frontado. Estos han sido senalados tradicionalmente bajo el termino de “cua-draturas” y nacen de las dificultades ligadas a la medida de lıneas, superficiesy volumenes. Medir es siempre asociar, poner en relacion un numero y unafigura. Los problemas aparecen cuando esta asociacion se revela imposible, yciertas longitudes o ciertas areas no pueden ser numeradas. Se sabe que tan-

siempre con suponer una lınea finita tan grande como quieran.” Fısica, lib.III, XI, 207b.85Aquı hay peligro de caer en la tentacion de pensar que ‘algo’ distinto del velo esta “en-

vuelto”, cuando lo mas sugerente es pensar que ese ‘algo’ es el mismo velo plegado. Ese“algo” no esta envuelto como el regalo en el paquete, sino mas bien como la planta en lasemilla. [T]

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to la cuestion de la “irracionalidad” de ciertas magnitudes a sido motoren el desarrollo de las matematicas, obligando a los matematicos a inventarnuevos numeros, adecuados a esas magnitudes inaccesibles desde una prime-ra aproximacion. Los Griegos, que no disponıan sino de enteros naturales,encontraron esta dificultad - por ejemplo, con el problema de la diagonaldel cuadrado - y lo tematizaron distinguiendo, pero tambien oponiendo, losnumeros y las magnitudes: los primeros se caracterizan por su discresion,las segundas por su continuidad (en el sentido comun del termino). ¿Comoponer en relacion entidades discretas (los numeros enteros, por ejemplo),no divisibles al infinito, y las magnitudes continuas para las que una carac-terıstica fundamental parece ser la divisibilidad al infinito? Esta puesta enrelacion es quizas simplemente imposible.

Estas cuestiones recorren la historia de las matematicas hasta el sigloXIX. Se pueden notar allı dos movimientos:

- Por una parte, un esfuerzo de comprension de las magnitudes: ¿cual essu naturaleza? Esta interrogacion corresponde a un problema de “fun-damento”, cuya solucion no aparecera sino hasta el siglo XIX con laredefinicion de numero y la contruccion de cuerpo R, de los numerosreales.

- Por otra parte, las consideraciones relativas al calculo o a las operacionesde medida. Ya en los Griegos, con Eudoxo y Arquımedes, estaba dadala posibilidad de calcular con las magnitudes comparandolas, pero evi-tando, de hecho, la cuestion de su naturaleza. Ellos se apoyaban sobreuna teorıa de las magnitudes que daba, en particular, las definicion si-guiente: se dice que dos magnitudes tienen una razon [raison] comun,si, siendo convenientemente multiplicadas por enteros, ellas pueden so-brepasarse mutuamente. Esto permitirıa hacer entrar las magnitudesen un cuadro de racionalidad [cadre de rationalite]. Es sobre esta baseteorica que Arquımedes se apoya para proponer, para figuras particu-lares, calculos de cuadratura (determinacion de un area) y de cubatura(determinacion de un volumen).

Es a este segundo movimiento que Leibniz se adhiere desde un principio,pues el calculo diferencial e integral ofrece los medios seguros, y sobre todogenerales, para determinar las areas y los volumenes, ası como las longitudesde curva y sus tangentes. Sin embargo la reflexion sobre la naturaleza de lasmagnitudes atravieza igualmente toda la filosofıa leibniciana del infinito. Yaunque esta interrogacion no recibe formalizacion matematica, constituye

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un jalon dentro de la larga puesta en lugar de los “fundamentos” de lasmatematicas.

Leibniz entre Descartes y Arquımedes

¿Como toma posicion Leibniz en este conjunto de dificultades tradiciona-les? Publica en 1682 De la expresion en numeros racionales, de la proporcionverdadera entre un cırculo y su cuadrado circunscrito86: ese texto inagurala larga serie de artıculos que Leibniz consagra al analisis matematico delinfinito. Los elementos del “calculo infinitesimal” no son expuestos ahı porsı mismos, pero son insinuados por las elecciones de metodo que Leibnizefectua. Como el tıtulo lo indica, Leibniz s confronta en el la cuestion anti-gua y casi mıtica de la cuadratura del cırculo:

Desde siempre, los Geometras se han dedicado a establecer lasproporciones entre las lıneas curvas y las lıneas rectas, sin embar-go, a pesar de que ahora que disponemos del ayuda del algebra,no dominamos todavıa bien la cuestion, al menos aplicando losmetodos en uso hoy. Pues es imposible de reducir esos problemasa ecuaciones algebraicas87...

No es directamente en relacion con las matematicas griegas que Leib-niz se situa. Lo que sucita su sorprendimiento, es que la “revolucion alge-braica” (cartesiana en gran parte) en geometrıa, muy fecunda por demas,no sea suficiente para dominar esta cuestion: ¿como hacer conmensura-bles unas con otras las lıneas rectas y las lıneas curvas? ¿como dar a esarelacion una expresion en “numeros racionales”? El aporte cartesiano re-vela aquı sus lımites: hay problemas que no se reducen a ecuaciones al-gebraicas. Ciertas curvas, que Leibniz nombra por esta misma razon “tras-cendentes”, no se dejan expresar bajo la forma de un polinomio de tipoanx

n+an−1xn−1 + . . .+a1x+a0 = O. Por lo tanto es necesario, o bien cons-

tatar una vez mas que la imposibilidad de una solucion y concluir con una

86De Vera Proportione Circuli ad Quadratum Circumscriptum in Numeris RationalibusExpresa, MS, V, p. 118-122. Se encuentra una traduccion al frances de ese artıculo enLeibniz, Nacimiento del calculo diferencial, p.61-81. En todo rigor, ese texto nos el primeropublicado por Leibniz sobre la cuestion de las cuadraturas, pero juega un rol decisivo enla puesta en lugar de su analisis.

87“Depuis toujours les Geometres se sont employes a etablir des proportions entre lig-nes courbes et lignes droites, pourtant meme a present que nous disposons de l’aide del’algebre, nous ne maıtrisons pas encore bien la question du moins en appliquant les metho-des en usage aujurd’hui. Car il est impossible de ramener ces problemes a des equationsalgebriques...” Ibid., p.118

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nueva forma de irracionalidad, o bien inventar un nuevo metodo [demarche] ynuevos conceptos para resolver la dificultad. Una de las apuestas del metodoleibniciano sera precisamente este: aplicarse a estas curvas “trascendentes”,hasta ahora cosideradas como irracionales.

El analisis ordinario de Viete y Descartes consistente en la re-duccion de problemas a ecuaciones y a lıneas de un cierto grado,es decir, al plano solido, sobresolido [sursolid], etc. M. Descartes,para mantener la eficacidad y la suficiencia de su metodo, en-cuentra pertinente excluir de la Geometrıa todos los problemasy todas las lıneas que no se puedan someter a este metodo, bajoel pretexto de que todo eso no serıa sino mecanico. Pero comoesos problemas y esas lıneas pueden ser construidas , o imagi-nadas por medio de ciertos movimientos exactos, y ellas tienenpropiedades importantes y de las que la naturaleza se sirve amenudo, se puede decir que hay ahı una falta parecida a aque-lla que se reprochaba a algunos antiguos, que estaban limitadosa las construcciones, para las que no se hubiese necesidad sinode regla y compas, como si todo el resto fuese mecanico. A M.de Leibniz, habiendo senalado que hay problemas y lıneas queno son en nigun grado determinadas, es decir, que hay proble-mas y lıneas cuyo grado mismo es desconocido o preguntado, ylıneas de las que una sola pasa continuamente de grado en gra-do, esta ruptura le hizo pensar en un nuevo calculo, que pareceextraordinario, pero que la naturaleza ha reservado para ese tipode problemas trascendentes que sobrepasan el Algebra ordinaria.Es esto lo que yo llamo el analisis de los infinitos88...

Allı donde Descartes se limita a ecuaciones de grado determinado - unaecuacion de grado n posee n soluciones y se puede reducir a un productode n factores de primer grado (x − a) - Leibniz hace entrar en el campodel analisis una multitud de problemas de naturaleza diferente: curvas cuyogrado esta indeterminado, o cuyo grado varıa continuamente (notablementelas exponenciales), y para las cuales las soluciones algebraicas de Descartesson insuficientes. En particular, esta el caso del cırculo que no se puedeexpresar bajo la forma de un polinomio de grado determinado. El problemade la cuadratura del cırculo no puede entonces encontrar su lugar en lageometrıa cartesiana. Mas generalmente, Descartes afirmaba que “encontrar

88De la cadeneta o solucion de un problema famoso propuesto por Galileo, para servirde ensayo de un nuevo analisis de los infinitos... MS, V, p.258.

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la proporcion entre las lıneas rectas y las curvas” era “imposible para loshombres”.

Como sucede a menudo en el siglo XVII, es frente a Arquımedes, delcual Leibniz aprecia la audacia y el rigor en matematicas ası como el em-peno en una cuantificacion de la fısica, que Leibniz opta por abrir una vıadistinta: si Descartes “hubiese profundizado suficientemente en la geometrıade Arquımedes, no habrıa dicho nunca que no se puede igualar una cur-va a una recta...89”. Lo que retiene la atencion de Leibniz es justamentela tentativa arquimediana de poner en relacion las lıneas curvas y las rec-tas. Arquımedes propone una cuadratura de la parabola, una cubatura de lapiramide, y acomete la cuadratura del cırculo. Se trata en ese caso de encon-trar un numero que exprese la relacion del cırculo al cuadrado circunscrito,y tambien de expresar la relacion de la circunferencia con el diametro. Sumetodo para las cuadraturas consisten en la busqueda de un “cuadramien-to” [encadrement] de una magnitud: o bien por la descomposicion de unalınea, de una superficie o de un volumen en elementos mas pequenos (queno seran necesariamente de la misma naturaleza), elementos que seran a suvez descompuestos (una piramide sera descompuesta en dos prismas y dospiramides y ahı reiteramos la operacion); o bien por la comparacion de unafigura con otra (cırculo y polıgono por ejemplo); en el caso del cırculo, apartir de la medida de una figura conocida y rectilınea se busca por aproxi-maciones sucesivas la medida desconocida de una figura curvilınea. Lo quelegitima el metodo, es lo que se llama comunmente el axioma de Arquımedesdel que se encuentra una formulacion en la proposicion I del libro X de losElementos de Euclides:

Al proponer dos magnitudes desiguales, si se le quita a la par-te mas grande una mas parte grande que que su mitad, y si sele quita al resto una parte mas grande que su mitad, y si sehace siempre la misma cosa, quedara una cierta magnitud quesera mas pequena que la mas pequena de las magnitudes pro-puestas.

Se dice entonces que es suficiente un numero finito de descomposicionespara que la diferencia entre la figura inicial a medir y aquella que sive de au-xiliar para la medida sea inferior a toda magnitud de referencia previamenteescogida. El tratado de Arquımedes La medida del cırculo esta construidodesde esta perspectiva. Se llega a un cuadramiento de S/R2 (donde S es elarea del cırculo y R el radio).

89Carta a Tschirhaus, MS V, p. 446

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En el siglo XVII, los problemas que los matematicos se planteaban, ası co-mo sus metodos y sus soluciones, no han sido transformados fundamental-mente. Lo que explica que Leibniz se dedicas al problema todavıa no resueltode la cuadratura del cırculo: “Ası los Geometras se hayan ejercitado, no hanlogrado todavıa ordenarlo bajo leyes semejantes90”. No existen mas que eva-luaciones aproximadas a este respecto; los Geometras chocan siempre con elhecho de que “el cuadrado y el cırculo no son conmensurables”: “el ultimono puede expresarse en un numero unico.” ¿Como hacer corresponder unnumero a esa magnitud que es la del cırculo?

Para resolver este problema, Leibniz escoge cambiar de terreno, en el sen-tido de abandonar una solucion puramente geometrica. Propone, en efecto,una “cuadratura aritmetica”: esta consiste, de hecho, “en una serie [series],donde el valor exacto del cırculo aparece a traves de una sucesion [suite] determinos, de preferencia racionales”. En este caso, si se supone un cırculode radio 1, el area del cırculo serıa igual a 1− 1/3 + 1/5 − 1/7... el recursoa los numeros permite al calculo de independizarse de las figuras, y atraparası un movimiento que la puesta en escena del calculo diferencial acentuara.En diferencia de lo que se obtiene por el metodo de exhaucion, es decir,una aproximacion, Leibniz afirma la exactitud de la solucion que propone,afirmacion que podrıa parecer paradojica ya que se obtiene una serie que“sigue hasta el infinito”. Y esto no es nada: es justamente porque se tieneuna infinitud de terminos que se se puede plantear la igualdad; si no se tu-viese en cuenta sino un numero finito de terminos, tan grande como fuese, seobtendrıa solo un resultado aproximado, ya que se estarıa obligado a omitirciertos elementos. Por el contrario: “tomada en su totalidad la serie expresael valor exacto.”

El area del cırculo (que es finita) es igual a una serie infinita de terminos.Si se ve ahı una paradoja, y si allı “uno se figura que una serie constituidade una infinitud de terminos no puede ser igual a un cırculo que es unacantidad finita” esto no puede ser “sino por falta de costumbre”. Lo infinitoaquı expresa lo finito, la serie expresa el area del cırculo; es la naturalezamisma del cırculo - el hecho de que no sea conmensurable con el cuadrado- lo que impone un recurso a lo infinito. Tomar en cuenta una infinitudde terminos no constituye para nada un salto fuera de la racionalidad, alcontrario: en la medida en que la serie “no esta constituida mas que por unaley de progresion unica, el espıritu la puede concebir convenientemente todaentera”. Para retomar la formula de los Nuevos Ensayos: “La misma razon

90“Bien que les Geometres s’y soient essayes, ils ne sont pas encore parvenus a le rangersous de semblables lois.” MS, V, p.119

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subsiste siempre.” Ası no se pueda enumerar la totalidad de los terminos dela serie, de todas maneras se sabe como engendrarlos todos91.

Un “nuevo metodo”: diferenciacion e integracion

Es en el texto titulado Nuevo Metodo para buscar los Maximos y losMınimos que Leibniz plantea las bases de un nuevo calculo, que permitira ala vez culminar el trabajo de los matematicos griegos y extender el campo dela geometrıa cartesiana. Es con este fin que forja el concepto de “diferencial”.En ese texto, la nocion esta definida muy sumariamente, esencialmente paraprecisar la notacion que adopta: “Llamemos entonces dx a un segmento derecta arbitrariamente escogido, y dv, es decir la diferencia de v, un segmentoque sea con dx como v conXB.92” Leibniz introduce de hecho una operacion,la diferenciacion (y correlativamente, la operacion inversa, la integracion) .Las cuales se expresan mediante nuevos sımbolos, dos nuevas notacionesmatematicas: dx y

∫x. Pero lo mas importante lo constituyen las reglas de

calculo que Leibniz introduce justo despues de la presentacion de la nuevanotacion, y que permiten poner en obra esos nuevos objetos que son los “dx”.Leibniz da ası las reglas de diferenciacion [differentiation] de una suma o deuna diferencia de terminos, y tambien las de un producto o de un cociente.Da tambien las formulas de derivacion de una variable elevada a una potenciacualquiera.

¿A que corresponde la aparicion de esta nueva notacion y de que se puedehablar aquı como de un “nuevo metodo”? Leibniz decribe ası la genesis desu descubrimiento:

Reconociendo entonces esta gran utilidad de las diferencias yviendo que por el calculo de M. Descartes puede ser expresadala ordenada de la curva, vi que encontrar las cuadraturas o lassumas de las ordenadas no es otra cosa que encontrar la ordenada(de la cuadratriz) cuya diferencia es proporcional a la ordonadadada. Reconocı pronto tambien que econtrar las tangentes no es

91A un lector contemporaneo la formula de Leibniz podrıa parecerle extrana: “Ası nose pudiese escribir la suma en un solo y unico numero, y que ella continuase [poursuivre]siempre al infinito...” Si bien Leibniz acepta igualar una serie infinita a una magnitudfinita, sin embargo no dispone de una definicion de numero irrancional que vendrıa a serdada por Cantor o Weierstrass: un numero irracional es el lımite de una secuencia infinita,o la suma de una serie infinita de numeros racionales. Uno puede preguntarse si Leibnizno resulta aquı trabado por el hecho de conservar una definicion antigua de numero, ladefinicion euclidiana en uso, que le impide aceptar la existencia de un numero infinito.

92Nova Methodus pro Maximis et Minimis, MS V, p. 220-226

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otra cosa que restar, y encontrar las cuadratrices no es otra cosaque sumar, previendo que se supongan las diferencias incompa-rablemente pequenas.

Este nuevo calculo permite buscar las tangentes en un punto cualquierade una curva pues descubir la tangente “no es otra cosa que restar [differen-tier]”; de manera simetrica, la busca de una cuadratura, se reduce a unaoperacion de sumacion “previendo que se supongan las diferencias [differen-ces] incomparablemente pequenas”. La busqueda de una cuadratura o deuna tangente devienen resultados “mecanicos” de un calculo sobre las dife-renciales [differentielles]. No cabe duda de que se sabıa, antes de Leibniz,encontrar una tangente a una curva: para Fermat, esto consistıa en descubriruna recta que no tuviese sino un punto en comun con la curva. Descarteshace evolucionar el problema definiendo la tangente a partir de una secantea la curva girando alrededor de uno de sus puntos donde la tangente es preci-samente la recta que no corta la curva. Pero el calculo diferencial transformala definicion: “nuestro calculo encuentra la esencia de la tangente en la mul-tiplicidad de sus puntos coincidentes” mientras que en el “sentido vulgar”,“la esencia de la tangente era no cortar la curva93” En Fermat, ası como enDescartes, se trata de soluciones geometricas que suponen tomar en cuen-ta la figura particular que dibuja la curva dada. No habiendo una soluciongeneral para la busqueda de la tangente, ciertas curvas resultaban todavıaun obstaculo para la perspicacia de los matematicos: se puede citar entreotras las cadeneta - la lınea “mas simple” dibujada por una pequena cadenasuspendida por sus dos extermos - cuyas caracterısticas encuentra Leibniz(tangentes, cuadraturas del area, centro de gravedad de la lınea y del area,etc.) El calculo diferencial introduce en ese nivel la sistematicidad, la gene-ralidad, y por ello mismo, la facilidad:

Tambien se ve que mi metodo se extiende a las curvas trascen-dentes, que no se pueden reducir a ningun calculo algebraico, esdecir, que no son en ningun grado determinadas, y esto de lamanera mas universal, sin recurrir a hipotesis particulares queno pueden verficarse siempre, siempre que uno se atenga solo aellas: en su principio, encontrar la tangente consiste en trazaruna recta uniendo dos puntos infinitamente cercanos de la cur-va, es decir trazar el lado de un polıgono infinitangular que amis ojos equivale a la curva. Ahora bien, se puede siempre repre-sentar esta distancia infinitamente pequena por una diferencial

93Carta al marques de l’Hospital del 17 de Noviembre 1694, MS, II, p. 260

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conocida dv, o por una relacion que la hace intervenir, es decirpor una tangente conocida94.

Todas las curvas incluyendo las “trascendentes” pueden entonces ser es-tudiadas siempre que se acepte este principio: “encontrar una tangente con-siste en trazar una recta reuniendo dos puntos infinitamente cercanos de lacurva.” La tangente no se define mas como una recta absolutamente diferen-te de la curva que se reconoce por el numero de puntos comunes que tienecon esta ultima (dando por entendido que el punto de tangencia, no es sinoun solo punto que tiene comun con la curva). Por el contrario, esta definida apartir de la curva misma: suponer dos puntos infinitamente proximos, permi-te, cualquiera que sea la figura dibujada por la curva, definir una recta, pueslos dos puntos no nunca son confundidos absolutamente; de todas maneras,como esos dos puntos son infinitamente proximos, la recta satisface bien lascaracterısticas de una tangente segun la nueva definicion que Leibniz da paraella (duplicidad de puntos coincidentes). Leibniz retrabaja aquı una esque-ma geometrico propuesto por Pascal: el “triangulo caracterıstico”. Ası comose puede igualar el cırculo a una serie infinita, este procedimiento permiteigualar cada porcion de una curva al lado de un polıgono infinitangular (esdecir un polıgono con una infinitud de lados y, por lo tanto, una infinitudde angulos).

Desde un punto de vista geometrico, toda curva se puede reducir a una“composicion” de segmentos rectilıneos (donde cada segmento se forma apartir de dos puntos infinitamente proximos). Pero es aun mas importan-te que esta caracterızacion reciba una traduccion algebraica: “Ahora bien,siempre se puede representar esta distancia infinitamente pequena por unadiferencial conocida dv, o por una relacion que la hace intervenir...95” Lo quecuenta a ojos de Leibniz antes que nada es esta representacion: dos puntosinfinitamente proximos pueden ser representados por una diferencial dv. Elsalto al infinito condiciona la generalidad del metodo; es, en efecto, lo quehace posible un tratamiento identico para todas las curvas96. A partir dela ecuacion de la curva que permite expresar y en funcion de x, se puede

94Nova Methodus ..., MS V, p. 22395Nova Methodus ..., V, p. 22396Esta orientacion sera muy importante en metafısica, como aparece en el Discurso

de Metafısica, §VI: “Y si cualquiera trazase de manera continua [tout de suit] una lıneaque fuese tanto recta, tanto cırculo, como de otra naturaleza, es posible encontrar unanocion o regla, o ecuacion comun a todos los puntos de esa lınea en virtud de la cual susmismos cambios deberıan darse [arriver]. Y no hay, por ejemplo, ninguna figura [visage]cuyo contorno no fuese parte de una lınea geometrica y no pudiese ser trazada de un trazo[trait] por un cierto movimiento reglado.”

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entonces, utilizando las reglas del calculo diferencial, inferir una ecuacion“diferencial” que da la ecuacion de la tangente (es decir una relacion entredy y dx) pero tambien los maximos y mınimos de la curva (o si se quieresus variaciones), a condicion de introducir las diferenciales segundas inclusolos puntos de inflexion (es decir los puntos donde la curvatura se invierte):

Cuando se conoce de que manera el Algoritmo de ese calculo,que yo llamo diferencial, se pueden encontrar mediante el calcu-lo ordinario todas las demas ecuaciones diferenciales, las de losmaximos y mınimos, ası como las de las tangentes, sin tener queeliminar ni fracciones, ni irracionalidades, ni otros signos radica-les, que era inevitable en los Metodos en uso hasta el presente97.

Leibniz insiste mucho en la simplicidad de su metodo, ya que la elimina-cion de las fracciones o de los radicales, que antes complicaban considerable-mente los calculos, aquı resulta superflua. Las magnitudes diferenciales “seencuentran mas alla de la fraccion y del vınculo [vinculum]”, y es esto justa-mente lo que justifica el calculo. La simplicidad apunta tambien al caracteralgorıtmico del calculo, que permite casi automaticamente encontrar la di-ferencial de una suma, de una diferencia, pero tambien de un producto o deun cociente de terminos. Leibniz piensa estar en la capacidad de “liberar”de los radicales y de las fracciones una ecuacion (incluso) muy compleja alderivarla muchas veces .

Sabemos entonces calcular con las diferenciales y ese calculo permite daruna expresion algebraica adecuada del movimiento de curvas en las que setenga interes. El calculo integral viene finalmente a terminar con el problemade las cuadraturas en cuanto tal: no se procedera mas por aproximacionescomo con el metodo de exhausion, ni por adicion de elementos supuestoscomo infinitamente pequenos e indivisibles98. Leibniz plantea el problema demanera completamente diferente: el hace notar claramente que la integraciones a la vez la operacion inversa de la diferenciacion y la sumacion que seefectua a partir de los dx.

Se trata de definir un nuevo tipo de operaciones. Lejos, en efecto, devenir a anadirse a las operaciones habituales (adicion, sustraccion...), la di-ferenciacion y la integracion plantean al matematico un nuevo objetivo: yano se trata de la determinacion tan precisa como sea posible de cantidades,

97Nova Methodus ..., V, p. 22298Como en el metodo de Cavalieri (1598-1647), llamado de “indivisibles” y que con-

siste en descomponer un area en un cierto numero de “tajadas” [tranches] infinitamentepequenas que se adicionan a continuacion.

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o de relaciones entre cantidades, sino del estudio de un proceso de variacion.La nocion de funcion, que jugara un rol muy importante en las matematicasulteriores, es conceptualizada por Leibniz gracias a su trabajo en el calculoinfinitesimal. Si bien el termino es utilizado desde bien pronto, es hacia 1698,en la correspondencia con Jean Bernoulli, que toma su sentido moderno: unafuncion ? de una cantidad indeterminada x que expresa la ecuacion de unacurva, que puede ser derivada (diferenciacion) o de la que se puede buscaruna primitiva (integracion).

El calculo infinitesimal toma sentido por su generalidad. Allı donde nohabıa sino “orientaciones particulares”, es decir recetas descubiertas paso apaso por espıritus astutos, resolviendo cierto problema a partir de la exclu-sion de los demas, Leibniz propuso las reglas generales del analisis. Es estabusqueda de un metodo verdadero lo que lo aleja de Descartes:

Aquellos que nos han brindado los metodos nos han brindadosin duda buenos preceptos, pero no el medio de observarlos. Serequiere, dicen ellos, comprender todas las cosas clara y distinta-mente, es necesario proceder de las cosas simples a las compues-tas; es necesario dividir nuestros pensamientos, etc. Pero esto nosirve de mucho si no se nos dice nada a continuacion. Pues cuan-do la division de nuestros pensamientos no esta bien realizada,ella oscurece mas de lo que aclara. Es necesario que el tenedorque trincha conozca los ligamentos, pues de no hacerlo desharıalas carnes en lugar de cortarlas. M. Descartes fue un gran hom-bre sin duda, pero yo creo que aquello que nos ha donado esmas un efecto de su genio que de su metodo, porque yo no veoque sus seguidores hagan descubrimientos. El verdadero metodonos debe proveer de un filum ariadnes, es decir de un cierto me-dio sensible y ordinario, que conduzca al espıritu, como lo sonlas lıneas trazadas en geometrıa y las formas de las operacionesque se prescriben a los aprendices en aritmetica. Sin esto nuestroespıritu no podrıa hacer un largo camino sin extraviarse99.

99“Ceux qui nous ont donne de methodes donnent sans doute de beux preceptes, maisnon pas le moyen de les observer. Il faut, disent-ils, comprendre toute chose clairmentet distinctement, il faut proceder des choses simples aux composees; il faut diviser nospensees, etc. Mais cela ne sert par beacoup si on ne nous dit rien davantage. Car lorsquela division de nos pensees n’est pas bien faite, elle broille plus qu’elle n’eclaire. Il fautqu’un ecuyer tranchant sache les joitures, sans cela il dechirerait les viandes au lieu deles couper. M. Descartes a ete grand homme sans doute, mais je crois que ce qu’il nous adonne est plutot un effet de son genie que de sa methode, parce que je ne vois pas que sesectateurs fassent des decouvertes. La veritable methode nous doit fournir un filum ariad-

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La confianza en la escritura

Se ha reprochado a menudo a Leibniz el no justificar suficientemente lasoperaciones, la cuales el reivindica por su fecundidad. Es verdad que las“soluciones” que propone con la ayuda del calculo diferencial a menudo sonpresentadas de manera muy lapidaria, insistiendo en su efectividad practicamas que en su justificacion conceptual. A veces Leibniz parece hacer seriasconcesiones al pragmatismo y toma el riesgo de pasar mas por un tecnicoastuto que por un fundador riguroso. Pero entonces no es solo a Leibniz,sino a todos los matematicos de su tiempo, que se consagraron al nuevoanalisis del infinito, a los que se podrıa reprochar el haber trabajado “sinred” y el haber concedido una confianza excesiva a operaciones de las queno tenıan total control [maıtrise] conceptual. La historia de las matemati-cas puede parecer extrana, pero los hechos estan ahı: los “fundamentos”,las construcciones conceptuales que retrospectivamente nos parecen indis-pensables, han venido despues. Es solamente en el siglo XIX que el calculodiferencial encontrara sus verdaderos fundamentos.

Esta situacion resulta acentuada por las decisiones que Leibniz toma enmateria de metodo. La primera concierne a la invencion y a sus condiciones.Es imperativo, para el progreso de los conocimientos y su “perfeccion”, fun-dar las demostraciones y los analisis, probando la verdad de los principios,que se sirven de punto de partida. Es el unico medio de separar los princi-pios de las hipotesis inciertas, pero tambien de intuiciones quizas demasiadoevidentes. Es necesario substituir las “imagenes sensibles” por la fuerza delas “razones”. Leibniz se dedica ası a demostrar el axioma “evidente” segunel cual el todo es mas grande que la parte. La evidencia intuitiva no es in-mediatemente posible, explica Leibniz, sino allı donde se tiene que ver connociones primitivas - principalmente con el principio de identidad. En todaslas otras partes la demostracion es posible y necesaria. Es necesario entoncesrendir homenaje a todos aquellos que se dedicaron dar fundamento a nues-tros conocimientos, a probar los principios, incluso a demostrar los axiomas,pues Leibniz hace una distincion entre los axiomas “identicos” que son in-demostrables y los axiomas “no identicos” que pueden y deben demostrarsepor medio de los anteriores.

De todas maneras, una investigacion sistematica de los fundamentos pue-de perjudicar al progreso de los conocimientos y sobre todo a la invencion.

nes, c’est-a-dire un certain moyen sensible et grossier, qui conduise l’esprit, comme sont leslignes tracees en geometrie et les formes des operations qu’on prescrit aux apprentices enarithmetique. Sans cela notre esprit ne saurait fair un long chemin sans s’egarer.” Cartaa Galloys, MS, I, p.81

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Si los geometras hubiesen buscado probar sus axiomas o sus postulados...“quizas no tendrıamos hoy ninguna geometrıa”. Euclides no debe ser acu-sado por haber admitido ciertas proposiciones sin pruebas: inventar suponeque se toma el riesgo de pensar sin “fundamentos”. Si no se lo hiciese, setendrıan grandes posibilidades de ser siempre reconducido al mismo nivel deconocimientos y nunca progresar, sobre todo si ciertos de nuestros principios,lejos de ser universales, se revelan relativos a un cierto dominio y a un ciertogrado de conocimiento. El trabajo de redefinicion de la igualdad se inscribedentro de esta perspectiva. En su Respuesta a Nieuwentijt Leibniz anotasu negativa “de trabar el arte de inventar por un exceso de excrupulos” ode “rechazar bajo ese pretexto los mejores descubrimientos, privandonos anosotros mismos de sus ventajas”. Ası, antes que detenerse ante aquello quela definicion tradicional de igualdad le impedirıa a hacer, Leibniz proponeuna redefinicion:

Yo considero que son iguales no solo cuando su diferencia es abso-lutamente nula, sino tambien cuando ella es incomparablementepequena; y ası no se pueda decir en ese caso que la diferencia seaabsolutamente nada, no resulta por ello que sea una cantidadcomparable a aquellas de las cuales ella es la diferencia100.

No se esta aquı ante un bricolage, ni ante un salto adelante [une fuite enavant], sino ante una autentica reelaboracion conceptual que Leibniz poneen paralelo con otras, como aparece en los textos donde trata conjuntamentede matematicas y de fısica: es necesario repensar en un mismo orden de ideasla relacion del movimiento y del reposo, que no es sino un movimiento infini-tamente lento. La “negligencia” con respecto a los principios no es entoncessino una apariencia tramposa. Se esta en realidad ante un vaiven entre lasinnovaciones simbolicas y las redefiniciones de los conceptos y principios quelas comandan. Pero si se puede aquı economizar el trabajo permanente deretorno y de elucidacion de los fundamentos, es porque se puede apoyar enla cogencia [consecution] de los razonamientos. La confianza de Leibniz enlas virtudes del nuevo calculo apuntan por muchos lados a eso que el haconvenido llamar su formalismo. El “rigor de la consecuencia” se basta ası mismo, y debe entrenarnos ante proposiciones extranas y a primera vis-ta incomprensibles. Que las diferenciales sean magnitudes extranas, que lasrelaciones que ellas nos permiten establecer desafıen el sentido comun, escierto; se dice, por ejemplo, que una serie infinita de terminos puede “igua-lar” un termino finito, que una curva se descompone en una infinitud de

100MS V, p. 322

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segmentos de recta. La extraneza es tanto mas grande cuando los elementosdel nuevo analisis escapan regularmente a la representacion sensible. Aspi-ramos constantemente a la puesta en imagenes, a la “construccion” intuitivade los conceptos, y esto quizas tanto mas cuando la geometrıa tradicionalnos ha habituado a trabajar con figuras. ¿Cual sera la imagen de “dx”, de lasumacion o de la diferenciacion? No “vemos” nada del infinitesimal: es unaocasion de mas para Leibniz de recordar que existe, entre los conceptos ylas imagenes, una separacion radical, que concebir no es ver, sino mas bienponer en relacion. Serıa necesario entonces que la verdad se construyese deotra forma, y que la coherencia del razonamiento viniese a compensar laimposibilidad definitiva de una vision. ¿Que es entonces lo que nos guıa enel analisis al infinito? Nada distinto del movimiento propio del analisis. Sibien hay un cırculo, no es vicioso, pues se esta restringido estrictamente alas exigencias elementales de la demostracion: no subsituir unos por otrossino los equivalentes. Esto lleva a Leibniz a buscar, por razones pedagogicas,brindar una imagen sensible de las magnitudes diferenciales. Ellos son, diceel, del mismo tipo que los incomparables:

Yo he creıdo que para hacer sensible el razonamiento a todo elmundo, es suficiente con explicar lo infinito como lo incompara-ble, es decir, concebir cantidades incomparablemente mas gran-des o mas pequenas que las nuestras... Es ası como una partıculade materia magnetica que pasa a traves de un grano de vidrio noes comparable con un grano de arena, ni este grano con el globoterrestre, ni ese globo con el firmamento101.

Pero esta imaginerıa persuasiva, inmediatamente destruye el rigor de laconstruccion. Porque se fija lo que por definicion debe permanecer “inasig-nable”; y, sobre todo, porque se restablece una relacion de heterogeneidadentre la magnitud y “su” diferencial, eso que precisamente se buscaba evi-tar102. ¿Como podrıa, en efecto, componerse una lınea de puntos? Ahorabien, es necesario que el proceso de integracion de las diferenciales nos per-mita reencontrar la magnitud inicialmente diferenciada.

Ası, el pensamiento del infinitesimal debe aceptar devenir “ciego” si quie-re poderse desarrollar, y ganar en distincion. Es una constante de la filosofıa

101Cf. texto en el anexo.102Por el contrario yo tengo la sensacion que el ejemplo lo que hace es plantear una

relacion de homogeneidad que termina extraviando a aquel que busque un fundamentoconceptual. Sin embargo resulta muy util como guıa para resolver y hacer intuitivos ciertosproblemas. [T]

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leibniciana , que sobrepasa la pura invencion del calculo diferencial, consi-derar la “caracterıstica” como la condicion fundamental de la ciencia y susprogresos. Leibniz vendra justo a decir que todo lo que el ha inventado enmatematicas ha nacido de un “mejoramiento en el uso de los sımbolos querepresentan las cantidades103”. El calculo diferencial constituye un terrenoprivilegiado para la puesta en obra de esta orientacion fundamental, en lamedida en que la escritura viene a jugar un papel esencial. El analisis delos Antiguos resulta, como se ha visto anteriormente, “reemplazado” por lasoperaciones que “abrevian” el razonamiento y permiten, gracias a una escri-tura apropiada, cortar con las dificultades insobrepasables de la exhaucionde figuras, ası como con la pesadez de los calculos. Los Antiguos (Arquıme-des en particular), explica Leibniz, poseıan “el fundamento de la invencion”por un analisis al infinito, pero no pudieron llegar a ponerlo en obra, dema-siado embrollados por su metodo de figuracion y por el muy largo circuitode sus reducciones al absurdo.

La condicion del funcionamiento del calculo consiste en un cambio en elestatus de los sımbolos: se sustituye lo “definido” a la definicion; se puedenentonces de alguna manera “olvidar” las ideas, para trabajar combinandolos caracteres, economizando el “desvıo” por las definiciones explıcitas, quesiempre resulta largo cuando se tiene que ver con nociones complejas. Estacaracterıstica “economica” debe ser tomada aquı en su funcion mas fuerte:no solamente como un auxiliar que vendra a suplir las deficiencias del pensa-miento, sino como la condicion misma de un pensamiento a la vez inventivoy riguroso. Se desarrolla el saber operando sobre los caracteres mismos, quedevienen objetos del conocimiento por aparte.

Todo el merito de las ciencias abstractas reposa sobre las marcasabreviadas de las palabra y la escritura, y estas marcas hacen quepodamos calcular el lımite y la suma de una progresion cualquie-ra todo de un golpe, aunque no recorramos todos los terminosuno por uno; y que nosotros podamos mostrar un termino finitoiguala al infinito mismo y otras cosas de este genero que chocande asombro a aquellos que no conocen la razon de las cosas104.

103MS VII, p. 17104“Tout le merite des sciences abstraites repose sur les marques abregees de la parole et

de l’ecriture, et ces marques font, que nous pouvons calculer le terme et la somme d’uneprogression quelconque tout d’un coup, quoique nous ne parcourions pas tous les termesun a un; que nous pouvons montrer un terme fini egal a l’infini lui-meme et d’autres chosesde ce genre qui frappent d’etonnement ceux qui ne comprennent pas la raison des choses.”COF, p.257.

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La posibilidad misma de una concepcion rigurosa, pero finalmente tam-bien, de una intuicion en el sentido intelectual del termino, reposa ası sobrelas “marcas abreviadas”. Es a traves de ellas que se puede “mostrar” y cap-tar eso que en principio parece impensable: que una serie infinita de terminosiguale un termino finito. Lo mas remarcable apunta a que, lejos de represen-tar un lımite para la inteligencia, la mediacion de los caracteres, en realidad,la condiciona. Es por el desvıo de las escritura que se llega a comprenderesa igualdad “toda de un golpe”. La dimension de la intuicion (intelectual)se presenta finalmente aquı, gracias al desvıo por lo escrito. La escrituraexpresa sinteticamente eso que un largo analisis no permitirıa jamas poneren evidencia.

Es posible ası invertir las cosas: solo un pensamiento que se niege a jugarel juego de la caracterıstica se condena, de manera definitiva, a mantenerseciego. Son numerosos los textos en los cuales Leibniz distingue el pensamien-to ciego y la intuicion intelectual (“que es bien rara”), pero esta distincionno toma su verdadero sentido sino en una dinamica de desarrollo de losconocimientos: el desvıo por una caracterıstica bien escogida nos permitecomprender aquello que sin ella se mantendrıa inaccesible: la igualdad, porejemplo, de lo finito y lo infinito. Cierta paradoja parecida tiene, se sabe,una larga historia en filosofıa: es necesario ser ciego para ver bien, pero sobretodo, aquı, para “entender/escuchar” [entendre] bien.

Entonces la caracterıstica que el calculo diferencial moviliza no esta es-cogida al azar. La mejor caracterıstica es siempre aquella que objetiva masinmediatamente “a los ojos y al espıritu” las relaciones que ella representa.Es siempre por ese argumento que Leibniz defiende la superioridad de su es-critura de los infinitesimales. Los sımbolos escogidos son al mismo tiempo lacondicion del algoritmo infinitesimal y de la comprension de las operaciones.Las cualidades de un caracter son: de partida la concision, pues esta desti-nado a abreviar el trabajo del pensamiento al condensar los pensamientos;sigue la forma misma del caracter que debe hacer sensibles las propiedadesque representa: el simbolismo escogido para expresar la diferencial “dx” hacenotar bien que se trata de una afeccion de una magnitud - Leibniz parecehaber escogido una analogıa con las potencias de una cantidad x - y ademasse presta bien para la expresion de la iteracion de la operacion (dx, d2x, ...).La confianza dada a la escritura en el “analisis del infinito” no tiene enton-ces sentido sino bajo esta exigencia permanente de legibilidad. La relacionresulta aquı circular: el nuevo calculo no puede triunfar sino sobre la basede una caracterıstica adecuada; pero el valor de ella se mide en los efectosde conocimiento que ella condicione. Los caracteres bien elegidos extiendenel poder del entendimiento. Leibniz compara la caracterıstica a un telesco-

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pio o a un microscopio: ¿quizas serıa necesario, antes que nada, para que elinfinito deje de ser inconcebible, reaprender a escribir?

Al nuevo metodo, su fecundidad, y al simbolismo, su calidad, a menudoles sirvieron como argumento para hacerse admitir entre los matematicos, ypara defenderse contra los ataques de los mas escepticos. ¡Serıa una lastimarechazar un metodo que produce resultados precisos con una gran economıade medios105!. Queda por saber que tipo de verdad el calculo infinitesimalnos provee, y si puede pretender el tıtulo de “universal”, extendiendo a otrossectores del conocimento, incluida la metafısica, sus principios de inteligibi-lidad.

“Mi metafısica es completamente matematica, porası decir, o podra llegar a serlo106”

Fundamentos para el calculo

El exito del calculo diferencial, pero quizas sobre todo la confianza otor-gada a las operaciones formales que lo regulan, no dejaron de sucitar laperplejidad de sus contemporaneos, y quizas la de Leibniz mismo, que pa-rece dudar sobre su verdadero alcance: a menudo llega a decir no estar bienseguro de la naturaleza y del estatus de sus “infinitesimales”. Las interroga-ciones se dirigen hacia la validez del calculo, pero tambien mas alla, haciala significacion y el papel que deben asignarsele dentro del orden general delconocimiento. ¿No se adelanta Leibniz demasiado cuando habla a propositodel mismo como de un “analisis del infinito”?¿Que es lo que garantiza que,con las diferenciales, se este ante algo distinto de un juego de escritura?¿Que son son esas cantidades “infinitamente pequenas” (o “infinitamentemas pequenas”) que las diferenciales pretenden representar, y con que gene-ro de realidad estamos teniendo que ver? Allı donde se situa finalmente laverdad de este nuevo calculo: ¿nos hace conocer alguna cosa de ese infinitodel que, ademas, se proclama la realidad?

Las respuestas de Leibniz a estas cuestiones parecen a primera vistabastante variadas, a veces incluso contradictorias. Pero es necesario teneren cuenta los contextos en los cuales se pronuncia: si las respuestas varıan

105Respuesta a Nieuwentijt, MS, V, p.322. “Desde el instante en que produce necesaria-mente y con tanto rigor los resultados que producirıa el otro metodo (aparentemente) masriguroso, es suficiente con que sea inteligible y util para la invencion.”

106“Ma metaphysique est toute mathematique pour ainsi dire ou le pourrait devenir”.Carta a l’Hospital, 27 de noviembre 1694, MS, I/II, p.238.

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segun los interlocutores, es porque se trata justamente de reaccionar a inter-pretaciones que parecen erroneas, y a veces “ponen la regla al reves” [tordrele baton dans le otre sens].

A aquellos que dudan de la fecundidad y de la verdad del calculo infini-tesimal, Leibniz opone por una parte la coherencia y el rigor de los proce-dimientos (la validez del calculo se muestra... por el calculo), pero tambienla “realidad” de las diferenciales. Lejos de no ser referidas a nada, ellas re-presentan cantidades “reales” y se asocian segun un orden que “entra en lasoperaciones de la naturaleza”:

La perfeccion del Analisis de los Trascendentes en Geometrıa,donde entra la consideracion de cierto infinito, sera sin duda lamas importante a causa que pueda darsele para las operacio-nes de la naturaleza, que hace entrar el infinito en todo lo quehace107...

Una diferencial tiene entonces un referente y este posee por lo menos dosdimensiones: primero que todo una magnitud, la cantidad continua que losinfinitesimales vienen a medir; y en seguida, de manera mucho mas general,la naturaleza y sus fenomenos, o, aun mas, la aplicacion que se puede ha-cer del calculo diferencial en los estudios de fısica. A aquellos que terminenpor pensar que las diferenciales no estan “referidas” a nada, y que ellas nodesignan nada distinto de sı mismas108, es necesario recordar que las ver-dades fundamentales de la mecanica (movimiento, velocidad) pero tambiende la dinamica (fuerza) no puede ser concebidas rigurosamente sino sobre labase del analisis infinitesimal. Se tienen entonces dos fuertes razones paraconsiderar que las diferenciales son algo distinto que nada.

Pero este argumento es en realidad muy complejo. La aplicacion delanalisis infinitesimal a los fenomenos naturales supone una mediacion: lade la continuidad. En efecto es en principio a la “cantidad contınua”, quecompete segun Leibniz al orden de los posibles (y no al orden de las reali-dades actuales), que son adecuadas las operaciones del calculo diferencial.

107“La perfection de l’Analyse des Trascendantes en de la Geometrie ou il entre la con-sideration de quelque infini serait sans doute la plus importante a cause de l’applicationqu’on en peut faire aux operations de la nature, qui fait entrer l’infini ent tout ce qu’ellefait...” Carta a l’Hospital, enero 1693, MS, I/II, p.218-223

108Leer acerca de este punto los analisis de Hide Ishiguro, Leibniz’s philosophy of logicand language, p.79-101, Hide Ishiguro que se apoye en la distincion propuesta por Fregeentre significacion y denotacion (sentido y referencia), trabaja en poner en evidencia lateorıa de la significacion “contextual” que implica la contruccion leibniciana.

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Y es solamente porque la naturaleza es “regulada” por el principio de conti-nuidad que el paso de las matematicas a la fısica deviene posible (e inclusonecesario): “La ciencia de los continuos, es decir los posibles, comporta lasverdades que no seran jamas violadas por los fenomenos actuales, pues ladiferencia es siempre mas pequena que cualquiera que se puediese senalar.”Es necesario entonces, si se quiere evaluar el alcance del calculo, adquirir unconocimiento preciso de esta articulacion.

A aquellos que ven en el calculo diferencial una llave para resolver (por-fin) las complejas cuestiones de la filosofıa primera o de la teologıa, Leibnizopone la dimension ficticia (o ideal, lo que representa una variacion signi-ficativa) de las operaciones y las cantidades del calculo diferencial. Es ası,por ejemplo, que toma distancia con Fontenelle, muy tentado hacia la cons-truccion de una “filosofıa de los infinitamente pequenos”:

Quedo a la espera de vuestras bellas meditaciones acerca de loinfinito o infinitamente pequeno. Es verdad que para mı, los in-finitos no son totalidades y los infinitamente pequenos no sonmagnitudes. Mi metafısica los destierra de esas tierras. Ella noles brinda alhojamiento sino en los espacios imaginarios del calcu-lo geometrico, donde esas nociones son admitidas como las raıcesque llamamos imaginarias. La parte que he tenido que ver con elcalculo de los infinitesimales no me hace enamorarme tanto comopara ponerlos mas alla del buen juicio. Y la veradera metafısicao filosofıa, si usted quiere, me parece no menos importante quela geometrıa, sobre todo si hay un medio introducir en ella lasdemostraciones, que han sido puestas de lado solo hasta aho-ra, mediante el calculo, que sera necesario para darles toda laentrada que necesitan109...

Entre nosotros, creo que M. de Fontenelle, quien tiene un espıritugalante y bello, no hablaba en serio [en a voulu railler] cuandoha dicho que querrıa hacer los elementos metafısicos de nues-tro calculo. Para decir la verdad, yo mismo no estoy demasiadoconvencido de que sea necesario considerar nuestros infinitos ynuestros infinitamente pequenos como algo distinto que comoficciones bien fundamentadas. Yo creo que no hay criatura pordebajo de la cual no haya una infinitud de criaturas, sin embar-go no creo que haya, ni siquiera que pudiese haber, infinitamen-te pequenos, y creo poder demostrarlo. Las substancias simples

109Al verso de una carta de Fontenelle, fechada 9 septiembre 1704, LO, p. 233-235

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(es decir, que no son seres por agregacion) son verdaderamenteindivisibles, pero son inmateriales, y no son sino principios deaccion110...

Serıa inocente creer que, con el surgimiento del calculo infinitesimal, elinfinito encontrase finalmente “su” ciencia y que bastase con ser buen calcu-lador para saberlo todo acerca del infinito. Sobre todo porque las cuestionescontinuan abiertas en el seno de la matematica misma: ¿quizas se podrıaelaborar un analisis del infinito mas pertinente aun que aquel que nos ofre-ce el calculo de las diferenciales? Los esfuerzos de Leibniz para reconstruirla geometrıa, desde una inspiracion bastante cercana a lo que nosotros lla-mamos topologıa, indican nıtidamente que, incluso desde el punto de vistamatematico, serıa imprudente considerar el calculo infinitesimal como unpunto final [aboutissement] definitivo. Constituye un sistema de expresion,pero nada impide trabajar en perfeccionarlo, e incluso sobrepasarlo. No esseguro que sea suficiente ser buen matematico para triunfar en metafısica.Esta manera de explotar el calculo resulta entonces apresurada y sin funda-mento. Uno se deja atrapar por las palabras y por su equivocidad: se creeque el infinito ha devenido el objeto del calculo (o, al reves, que el calculo esel calculo “del infinito”) y se olvida que una diferencia de naturaleza separala realidad substancial y las cantidades matematicas.

De todas maneras no es necesario confundirse con respecto al sentidode la posicion leibniciana. Sin duda, Leibniz defiende regularmente la auto-nomıa practica de su calculo: “No se tiene que hacer depender los analisismatematicos de las controversias metafısicas.111” El calculo soporta sin difi-cultad la pluralidad de interpretaciones que puedan serle dadas. Cualquieraque sea la concepcion que uno se haga de las diferenciales (realidades “enrigor metafısico” que existiesen “en la naturaleza” o “ficciones utiles”), seconserva el hecho de que ellas permiten abreviar el razonamiento y refinarla medida. Se puede entonces poner (provisionalmente) entre parentesis lacuestion de su naturaleza y de su referente sin que, por lo tanto, la cohe-rencia del calculo sea afectada. Leibniz refuerza ese argumento mediante lacomparacion entre las cantidades infinitesimales y las raices “imaginarias”del algebra, que juegan un papel muy util en la solucion de las ecuaciones,incluso cuando su estatus se mantenga (para un matematico del siglo XVII)muy problematico.

Pero si la autonomıa operatoria del calculo es una realidad, Leibniz no vanunca a llegar a decir que el calculo este privado de significacion filosofica,

110Carta a Varignon, 20 de Junio 1702, MS, IV, p. 106-109111Anexo.

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y que la filosofıa comenzarıa “despues” o “mas alla” de las matematicas.No se trata de hacer un corte radical entre las matematicas y la metafısi-ca, bajo nombre por ejemplo de una heterogeneidad radical de la cantidad(matematica) y las cualidades (reales). La metafısica esta mas bien “en” lasmatematicas, envuelta en ellas: la metafısica es matematica “por ası decir,o lo podra llegar a ser”, pero esta relacion supone una serie compleja demeditaciones. Lo que Leibniz niega ante todo es una cierta interpretaciondel calculo diferencial: aquella que consiste en “realizar” los infinitesimalesal definirlos como “cosas” o como imagenes de cosas. Esto es falso por lomenos por dos razones:

Hablando matematicamente, las diferenciales no son cantidades deter-minadas; ellas no son cantidades negigibles, que se introduzcan por un ladopara olvidarlas despues, pero tampoco son magnitudes fijas. Por lo tanto, sehabla impropiamente al hablar de ellas como de infinitamente pequenas, y esesto mismo lo que constituye una ficcion, que puede ser util, pero que carececompletamente de rigor. Las diferenciales son “afecciones” de magnitudes,que reciben su determinacion de las operaciones en las que son empleadas.Es la diferenciacion que se realiza lo que define la diferencial, y no al reves.Si se traduce al vocabulario de lo infinitamente pequeno, para ser riguroso,es necesario usar el comparativo: las diferenciales son “infinitamente mas pe-quenas que” las magnitudes que se diferencian. Es en ese sentido solamenteque se puede hablar de ellas como de “incomparables”. Olvidar que las di-ferenciales no son nada afuera de la operacion que les da origen, y que estomismo justamente prohibe que se las trate como cantidades determinadas,es perder de un mismo golpe la dinamica del analisis y el pensamiento de lacontinuidad. Es reinventar el atomismo en el lugar mismo donde se buscabaescapar de el. Uno se reencuentra entonces con las dificultades de los meto-dos de los indivisibles: buscar sin poder alcanzar componer el continuo conunidades discretas.

Buscar definir, determinar a priori, las diferenciales (negarse a dejarsellevar “ciegamente” por las palabras), es sin duda olvidar que lo mas im-portante, como lo indica la introduccion del concepto de funcion, son lasrelaciones que los terminos del calculo tienen los unos con los otros. Sonesas relaciones las que brindan una definicion cuantitativa de las diferencia-les, y no a la inversa. Querer partir de los “elementos” es olvidar que losverdaderos elementos aquı son las relaciones...

Tratar los “infinitamente pequenos” como cosas, viene a ser, hablandometafısicamente, mezclar los generos: se confunde lo real y lo imaginario,lo discontinuo y lo continuo, olvidando todos los logros adquiridos de unateorıa rigurosa de la substancia. Es posible poner en relacion la “ciencia del

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continuo” con el conocimiento de las realidades actuales, pero esa relacionno tiene nada que ver con una transposicion inmediata y mimetica.

La busqueda de una “realizacion” inmediata de las cantidades infinitesi-males resulta entonces demasiado corta. Por el contrario la buena metafısicarequiere de multiples desvıos. Leibniz no niega que el calculo infinitesimalparticipe de una “ciencia” general del infinito, pero a partir de relacionesque es necesario construir, en lugar de presuponer apresuradamente.

Lo ficticio, lo ideal, lo actualel lugar de la continuidad

La correspondencia con Foucher, Varignon112, pero tambien con Volder,tratan de establecer estas mediaciones. Leibniz se explica allı sobre el estatusde los “infinitamente pequenos”. El los situa entre las relaciones que man-tienen los dos tipos de realidades que permanentemente invita a distinguir:lo ideal y lo actual, lo posible y lo real:

Y es la confusion de lo ideal y lo actual lo que ha embrollado ydado lugar al laberinto de compositione continuii. Aquellos quecomponen la lınea de puntos han buscado los primeros elementosentre las cosas ideales o relaciones completamente de otro tipoque no eran necesarias; y aquellos que han encontrado que lasrelaciones como el numero o el espacio (que comprende el or-den o relacion de las cosas coexistentes posibles) no podrıan serformados por reunion de puntos, en mayorıa se han equivocadoal negar los elementos primeros de las realidades substanciales,“como” si ellas no tuviesen unidades simples o como si no hu-biese substancias simples. Sin embargo el numero y la lınea noson cosas quimericas, aunque no hubiese tal composicion, puesson las relaciones las que encierran las verdades eternas, sobrelas cuales se rigen los fenomenos de la naturaleza113.

112Ver en el anexo el fragmento de la carta del 2 de Febrero de 1702.113“Et c’est la confusion de l’ideal et de l’actuel qui a tout embruille et fait le labyrinthe

de compositione continuii. Ceux qui possent la ligne de points ont cherche les premierselements dans les choses ideales ou rapports tout autrement qu’il ne fallait; et ceux quiont trouve que les rapports com le nombre ou l’espace (qui comprend l’ordre ou rapportdes choses coexistantes possibles) ne sauraient etre formes par l’assemblage des points onteu tort pour la plupart de nier les premiers elements des realites substantielles, [comme]si elles n’avaient point de substances simples. Cependant le nombre et la ligne ne sontpoint des choses chimeriques, quoiqu’il n’y ait point de telle composition, car ce sont desrapports qui referment des verites eternelles, sur lesquelles se reglent les phenomenes dela nature.” Respuesta a las objeciones de Foucher, PS, IV, p.491-493

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El orden real (o actual) “tomado en rigor” (aquel que componen el con-junto de las substancias) esta marcado por la individuacion y la discrecion:las substancias son unidades indivisibles y singulares. Los “elementos” sonsiempre determinados. La discontinuidad parece ser aquı la regla: se pue-de incluso hablar de atomismo, a condicion de anadir que los atomos (o“elementos constitutivos primeros”) son espirituales y recordar que cadasubstancia es representativa de la infinitud del mundo. La infinitud actuales aquella de una multitud inmensa y discreta:

“No hay” en las cosas actuales mas que una cantidad discre-ta, una multitud de monadas o substancias simples mas grandeque cualquier numero, en cualquier agregado sensible, es decir,correspondiente a un fenomeno114.

El orden ideal (o posible) corresponde a aquel que es finalmente pensablea priori, independientemente de nuestras experiencias y sin contradicciones.El conjunto de “verdades eternas” constituye un orden inteligible en el quenuestro entendimiento descubre poco a poco que tanto tiene su propia cohe-rencia. La cantidad continua pertenece a ese orden ideal. Pero Leibniz hablatambien, situandolos al mismo nivel, de “cuerpos matematicos” (por ejemplola lınea):

La cantidad contınua es cierta cosa ideal, que pertenece a losposibles y a los actuales, tomados como posibles. El continuoenvuelve partes indeterminadas, mientras que en las actuales nohay nada indefinido, pues en aquellas cualquier division que pue-da ser realizada se encuentra realizada115.

Es aquı que los infinitesimales encuentran su lugar, sobre una misma ba-se que la continidad, cuyo analisis hacen posible. Si ellos pueden ser tomados“tan pequenos como se quiera”, es porque son momentos de esa continuidadque no contiene ninguna “parte” determinada a priori. La cantidad conti-nua lleva entonces consigo la divisibilidad “al infinito”. Una lınea puede ser

114““Il n’y a” dans les choses actuelles qu’une quantite discrete, une multitude de mo-nades ou substances simples plus grande que n’importe quel nombre, dans n’importe quelagregat sensible, c’est-a-dire correspondant a un phenomene.” Carta a Volder del 19 deenero 1706, PS, II, p.282

115“La quantite continue est quelque chose d’ideal, qui appartient aux possibles et auxactuelles, prises comme possibles. Le continu enveloppe des parties indeterminees, alorsque dans les actuelles il n’y a rien d’indefini, puisque dans celles-ci n’importe quelle divisionqui peut etre faite se trouve etre faite.” Carta a Volder, PS, II, p.283

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cortada idealmente de una infinitud de maneras, en una infinitud de partesque son indeterminadas, a la inversa de lo que tiene lugar para las realidadesactuales.

Mediante esta distincion entre lo ideal (lo posible) y lo actual, se dis-pone de un “hilo de Ariadna” para escapar a las dificultades inextrincablesque nacen de la confusion de los dos ordenes, sea que se busque componerel contınuo con cantidades discretas, sea que tome el pretexto de la divisi-bilidad al infinito del continuo para negar la existencia de las substanciasindivisibles. Se puede tambien, gracias a esta clarificacion, aclarar la natu-raleza y el alcance del analisis infinitesimal. La demostracion leibniciana sedesarrolla segun dos argumentos principales: de entrada se insiste en la na-turaleza ideal de las operaciones y cantidades infinitesimales, eso que podrıaaparecer como una restriccion (lo que es ideal no es actual); sin embargo, ellamuestra enseguida que lejos de ser una limitacion, esta naturaleza “ideal”permite al analisis extenderse en direccion a la naturaleza y sus fenomenos.

El analisis infinitesimal no es ni un simple juego de escritura (los sımbolosno son su referente), ni una ficcion util. Es porque desconocemos la natura-leza de las ideas y de las relaciones “abstractas” que las tomamos, o bien por“nadas”, o bien seres ficticios: de hecho, ellas poseen la realidad propia de unorden inteligible. Por ideal que sea, la “ciencia de los infinitos” no tiene nadaque ver con una ficcion. Incluso si esto parece a primera vista paradojico,es justo para manifestar la realidad de las operaciones infinitesimales queLeibniz les compara con las raıces “imaginarias” del algebra.

La ficcion, y finalmente el error, vienen de dejarse llevar por los esquemaspropios a la imaginacion, y considerar los infinitesimales como “infinitamen-te pequenos”. Pero cuando se los concibe adecuadamente, a partir de laoperacion que los determina, ellos aparecen en su verdad: relaciones ideales,regidas por un sistema completo de razones. Incluso si las diferenciales nofuesen sino nociones ideales, sin relacion alguna (directa o indirecta) con lainfinitud actual del mundo, ellas de todas maneras serıan adecuadas para elanalisis de la infinitud “impropia” de las cantidades contınuas, y ocultarıanpor ese sesgo [biais] una verdad efectiva aunque limitada. La ciencia del con-tinuo, incluso si el continuo pertenece al orden de los posibles, es una cienciapor completo aparte.

Este primer argumento es importante, pero aun insuficiente: el asuntoprincipal esta en otra parte, y se descubre en un hecho bastante sorprenden-te:

Se puede decir incluso que los infinitos e infinitamente pequenosestan tan arraigados, que todo se hace en la Geometrıa, incluso

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en la naturaleza, como si fuesen realidades perfectas, dando testi-monio no solo nuestro Analisis geometrico de los Trascendentes,sino tambien mi ley de continuidad (...) Las reglas de lo finitotriunfan en el infinito, como si hubiese atomos (es decir, elemen-tos senalables en la naturaleza), aunque no los hay de ningunamanera, ya que la materia esta actualmente subdividida sin fin;y (...) viceversa las reglas de lo infinito triunfan en lo finito, co-mo si hubiese infinitamente pequenos metafısicos, aunque no selos necesite de ninguna forma, y que la division de la materia nollegue nunca a partıculas infinitamente pequenas116.

Es “como si”... : ¿como explicar esta correspondencia, tanto mas sor-prendente cuando reconcilia las realidades aparentemente mas contrarias: locontinuo y lo discontinuo, lo finito y lo infinito? Esta es en primera instanciadescrita como enigmatica (por comparacion con la reaccion de Huyghens queveıa en la utilizacion de raıces imaginarias “algo de incomprensible”), peroLeibniz se provee inmediatamente de un principio de explicacion: el estatusde las continuidad. Por una parte esta es una “cosa ideal”, “abstracta”, pe-ro por otra ella da forma directamente a la realidad: “Lo real no deja degobernarse perfectamente por lo ideal y abstracto117”. La continuidad rigelas cantidades posibles, pero rige tambien la realidad actual “tomada comoposible”. Es por ese desvıo [biais] que el calculo de las diferencias recibe unasignificacion fısica, pero quizas tambien metafısica.

Comprender la idealidad de las diferenciales, es entonces, incluso si enprimera instancia parece paradojico, comprender su realidad. No solo porquelas diferenciales son realidades ideales, y adquieren a ese nivel las propieda-des que les son propias (por ejemplo ser “integrables”). Sobre todo porquelas operaciones de la naturaleza portan en ellas, por intermedio de la conti-nuidad, el movimiento de la diferenciacion infinitesimal. Es en este sentidoque se puede decir que la naturaleza “hace entrar el infinito en todo lo quehace” y requiere de una fısica y de una biologıa infinitista.

El infinito en los fenomenos

¿De que naturaleza se puede tratar aquı? Lo que Leibniz presenta comouna solucion engendra una dificultad nueva. Si uno se restringe de hechoa la distincion entre lo ideal y lo actual, se encontrarıa de cara ante unaseparacion irreducible - lo que Leibniz llama en ciertos textos un “hiatus”:

116Cf. p. 121-122.117Cf. p. 122

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por un lado la multitud discreta de las substancias individuales, por otro lacantidad continua de las magnitudes posibles. De un lado la infinitud (nonumerable) de la naturaleza, del otro la infinitud de las cantidades conti-nuas, diferenciables e integrables a voluntad. Entre los dos, nada distintoque una forma de irracionalidad: ¿como poner en relacion estas realidadeshasta aquı heterogeneas? ¿Que sentido tendrıa entonces la hipotesis de queel analisis matematico “envuelve” la consideracion del infinito?

La respuesta a esta cuestion pasa por un analisis de los “fenomenos”, y sumanera de ser infinitos. La naturaleza (la multitud infinita de substancias)incluye siempre una dimension fenomenal. Las substancias manifiestan (senos aparecen) en las series de fenomenos: “Las Unidades substanciales no sonlas partes, sino los fundamentos de los fenomenos.118” Para describir estarelacion se puede tambien tomar prestado el lenguaje de la dinamica: lasfuerzas se desarrollan, se “derivan” y, literalmente hablando, “se extienden”en el seno de los cuerpos y de sus movimientos.

Es justamente de los “fenomenos” que Leibniz dice que son regidos porlas “verdades eternas” y, mas particularmente, por el principio de continui-dad:

Nada se hace de un golpe, es una de mis mas grandes y verificadasmaximas, que la naturaleza nunca da saltos: la denomine comola Ley de la Continuidad (...), y es muy considerable el uso deesta ley en fısica: ella establece que siempre se pase de lo pe-queno a lo grande y viceversa a traves de lo intermedio, tantoen los grados como en las partes, y que jamas un movimientonace inmediatamente del reposo, ni se reduce a el, si no es pormedio de un movimiento mas pequeno, ası como no se acaba derecorrer ninguna lınea o longitud antes de haber acabado unamas pequena (...). Y todo esto nos hace pensar que incluso laspercepciones notables vienen por grados desde aquellas que sondemasiado pequenas para ser notadas. Pensar de otra manera esconocer poco la inmensa sutileza de las cosas que envuelve uninfinito actual siempre y por todas partes119.

La “naturaleza” debe entonces comprenderse aquı como naturaleza fe-nomenal, aquella que es objeto de estudio para la fısica. La continuidad, yla divisibilidad al infinito que es su correlato, puede ser concebida en estascondiciones como un “principio” o “ley” de la naturaleza. La relacion de las

118Carta a Volder, PS, II, p. 268119NE ..., Prefacio.

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substancias y sus fenomenos es entonces indispensable si se quiere compren-der de que manera la naturaleza, compuesta y fundamentada por unidadesdiscretas, puede tambien analizarse y comprenderse en terminos de conti-nuidad. Es la misma naturaleza, segun se la tome en el orden discreto de lassubstancias, o en el orden continuo de los fenomenos, que requiere de una ode otra aproximacion. La metafısica no se entiende nunca en Leibniz sin unafısica. Se puede ası concebir la convergencia de dos movimientos: la expre-sion fenomenal de las substancias (la naturaleza como materia, movimiento,reposo...), y la puesta en relacion de la continuidad ideal y la continuidadreal (natural en el sentido que se hablaba). Los fenomenos son regidos porlas verdades eternas, y requieren de eso que hace el analisis infinitesimal.

Importa entonces distinguir, pero tambien no oponer, la divisibilidad yla infinitud del continuo de la infinitud actual de las substancias. La primeranos conduce a la segunda y nos la hace descubrir (“el estanque esta llenode peces...”). Y la segunda “funda” la primera, al conferirle una realidadcompletamente distinta de una simple posibilidad. La diferenciacion perotambien la integracion y el conjunto de operaciones que el analisis del in-finito permite construir pueden ser consideradas como operaciones “de lanaturaleza”. La fısica y la geometrıa “armonizan” constantemente, en elsentido de que obedecen a las mismas reglas fundamentales: no sorpren-dera entonces que los conceptos del analisis del infinito sean utilizados enla mecanica (por ejemplo en la nocion de velocidad) pero tambien en ladinamica, de la que Leibniz dice a menudo que no habrıa visto la luz sin elcalculo diferencial, y para terminar, en la biologıa. Eso que podemos saber apriori (en la metafısica) los progresos de las ciencias no cesan de confirmarlo.

Las expresiones del infinito

Hay una segunda vıa, de naturaleza completamente distinta, por la cualLeibniz intenta sobrepasar la separacion entre estos ordenes de realidad hete-rogeneos. No se trata entonces de hacer parecer que existe, entre las substan-cias actuales (discretas) y las idealidades posibles (continuas), una realidadintermedia (la naturaleza en su dimension fenomenal), sino de mostrar querealidades heterogeneas pueden, contra todo, ser puestas en relacion unascon las otras. Este es todo el asunto de la teorıa de la expresion.

El vocabulario de la expresion aparece en momentos de pensamientoque incluyen siempre la misma dificultad: aquella de un “paso” entre loque Pascal llamarıa los “ordenes”. Pero allı donde Pascal concibe ordenesrigurosamente inconmensurables unos con otros, Leibniz se dedica, por el

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contrario, a establecer relaciones entre ellos120:

La expresion tiene lugar por todas partes, porque todas las subs-tancias simpatizan con todas las otras y reciben cierto cambioproporcional en respuesta al menor cambio que sucede en todoel universo, aunque ese cambio sea mas o menos notable a me-dida que los otros cuerpos o sus acciones tengan mayor o menorrelacion con el nuestro121.

Se dice que expresa una cosa aquello donde se encuentran lasmaneras de ser que responden a las maneras de ser de la cosa aexpresar. Ahora bien, esas expresiones son diversas; por ejemplo,el modelo de una maquina expresa esa maquina, la escenografıaplana de un objeto expresa ese solido, el discurso expresa pen-samientos y verdades, los caracteres expresan los numeros, laecuacion algebraica expresa el cırculo u otra figura: y -eso quees comun a las expresiones- del solo examen de la manera deser de lo que expresa podemos venir a conocer las propiedadescorrespondientes a la cosa a expresar. De donde es claro que noes necesario que lo que expresa se parezca a lo expresado, bastaque cierta analogıa se mantenga entre sus maneras de ser122.

Una cosa expresa otra (en mi lenguaje) cuando hay una relacionconstante y reglada [regle] entre lo que puede decirse de la unay lo que puede decirse de la otra. Es ası que una proyeccion deperspectiva expresa su geometral123.

Las asuntos tratan en uno y otro lado de definiciones del mismo orden:¿cual es entonces la relacion, cuando no hay entre las cosas que se relacionanni contacto, ni nada parecido? La ultima formulacion (mas tardıa) ahondaaun mas la separacion entre la relacion de expresion y la relacion de simi-litud (de aspecto pero tambien de naturaleza): la correspondencia, regladay constante, no se da mas entre “maneras de ser”, sino entre “eso que sepude decir” de la una y de la otra. Se dan ası los medios de redefinir la ideamisma de representacion. Esta no tiene ya nada que ver con la imagen, enel sentido mimetico que damos al termino:

120Cf. las paginas 39-44 y el comentario a Desproporcion del hombre.121Carta a Arnauld del 9 de octubre de 1687, PO, p.262122Quid sit Idea, PS, VII, p.263123Carta a Arnauld del 9 de Octubre de 1687, PO, p. 261

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No es necesario que eso que concebimos de las cosas fuera denosotros se les asemeje perfectamente, sino que les exprese, comouna Elipse expresa un cırculo visto de lado, de manera que a cadapunto del cırculo le corresponde uno de la elipse y viceversa,siguiendo una cierta ley de relacion. Pues como he dicho ya,cada substancia individual expresa el universo a su manera, unpoco como una misma ciudad es expresada diversamente segunlos diferentes puntos de vista124.

La teorıa de la expresion sostiene de vez en vez la “consideracion delinfinito”. Ella interviene sobre todo en las consideraciones que se podrıanllamar estrictamente matematicas: una figura geometrica, por ejemplo unaparabola, “llendo al infinito”, es “expresada” por una ecuacion de la formay = ax2. Se trata entonces de pasar de las magnitudes a las cantidadesalgebraicas. La expresion es efectiva cuando lo expresado puede ser conocidopor intermedio del que expresa [exprimant]: lo cual sucede aquı en medida enque la ecuacion nos brinde la “razon” de la curva, y nos permita finalmente(por el desvıo de las cantidades algebraicas) establecer una relacion entre elorden de las magnitudes y el de los numeros.

La expresion juega tambien un rol clave en los analisis metafısicos: ellase atribuye entonces no solo a los terminos del lenguaje y a los conceptosque les son asociados, sino al universo en conjunto ası como a las substanciasque lo componen. Ellas expresan el universo (y la divinidad si se trata deseres razonables y capaces de pensamiento no empırico) y se entre-expresanlos unos a los otros. Si no hay ninguna separacion irreductible entre la rea-lidad absoluta (sus atributos infinitos que son la inmensidad, la eternidad)y el universo de las criaturas, es en virtud a esas multiples relaciones de“correspondencia reglada”.

Es posible ir aun mas lejos, y descubrir un sistema de relaciones expresi-vas entre los diferentes ordenes de la infinitud: ¿la infinitud actual (aquelladel absoluto y de la naturaleza) se expresa a sı misma de alguna manera enel orden de las razones infinitesimales?

Leibniz dice, hablando de su “analisis de las (curvas) trascendentes”, queella “envuelve la consideracion del infinito”. Esta proposicion puede enten-derse en un sentido puramente matematico: sin las operaciones de diferen-ciacion infinitesimal no se puede dar a esas curvas una expresion algebraica.Pero se puede ir mas lejos: el analisis infinitesimal tiene algo que ensenarnossobre la infinitud actual, ya no solamente de los fenomenos de la naturaleza,

124Carta a Foucher, fechada 1686, PS, I, p. 383

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sino de las cosas, tomadas en su rigor metafısico, es decir de las substancias,incluso de Dios. Se puede aquı hacer memoria de las proposiciones de lasAnidmaversiones...:

Aunque seamos seres finitos, podemos saber muchas cosas con-cernientes al infinito, por ejemplo sobre las lıneas asintoticas,es decir, aquellas que prolongadas al infinito, se aproximan masy mas sin nunca concurrir; sobre los espacio cuya longitud esinfinita y cuya superficie no sobrepasa la de un espacio finitodado; sobre las sumas de las series infinitas. De otra manera notendrıamos siquiera ningun conocimiento cierto de Dios.Y unacosa es conocer cierta propiedad de algo, y otra es comprender-lo, es decir, atrapar todo el contenido escondido125.

Si debe haber aquı una relacion de expresion, en el sentido que ha sidodefinida mas arriba, ella no apunta de ninguna manera a una hipotetica se-mejanza entre los objetos del matematico y aquellos del metafısico: ¿que se-mejanza puede haber entre Dios y una asıntota? La “correspondencia”, siexiste, apunta a los conceptos que nos permiten “nombrar” [dir] uno y otroobjeto, al tiempo que apunta al sistema de relaciones por el cual les de-terminamos. Por ejemplo, lo que el analisis matematico de los infinitos nospermite concebir es la articulacion sin quiebres entre una ausencia de “termi-no” y una determinacion completa: la curva o la lınea “va al infinito”, noen virtud de algun defecto, sino porque allı esta positivamente determinada.Se sabe el rol que juega esta argumentacion en el orden del conocimiento:nada se nos escapa de ese movimiento al infinito (“tenemos un conocimientocierto”). Pero cuando se reflexiona en terminos de expresion, se nota queallı se tiene una “figura” de la perfeccion: la ausencia de lımites no es sinoel ındice, o el efecto, de un dinamismo inagotable.

El analisis de los infinitos nos permite tambien comprender, por el juegocomplejo de sus operaciones, que el sistema completo de variaciones, enparticular los maximos y mınimos en las curvas, puede devenir el objeto deun calculo, y por lo tanto de una determinacion completa a priori. Estasconsideraciones “funcionales” jugaron un rol importante en el analisis que

125“Bien que nous soyons des etres finies, nous pouvons savoir bien de choses concernantl’infini, par exemple sur les lignes asymptotyques, c’est-a-dire celles qui, prolongees al’infini, se raprochent de plus en plus sans jamas coıncider; sur les sommes de series infinies.Autrement nous n’aurions non plus aucune connaissance certaine de Dieu. Et autre choseest de connaitre quelque propiete d’un objet, autre chose est de la comprendre, c’est-a-dired’en tenir en notre possession tout le contenu cache.” Reflexiones sobre la parte generalde los Principios de Descartes, sobre el libro I, art.26, PO, 293.

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propone Leibiniz del orden general del mundo126 como “economıa”, dondeel maximo de efectos se obtiene con el mınimo de gasto, y donde la mayordeterminacion corresponde a la mayor simplicidad127.

El analisis infinitesimal evidentemente no se situa en el mismo plano: lasconsideraciones matematicas no son del mismo orden que las consideracionesde metafısica “cosmologica”. Serıa absurdo buscar “deducir” los unos de losotros. Pero el analisis de los infinitos permite poner en evidencia las “formas”- sistemas de relaciones que expresan a su manera un orden al cual, por lodemas, y por razones en primera instancia misteriosas, el mundo obedece.Uno no deja, evidentemente, de sorprenderse por una tal “correspondencia”:esta cuestion es la que plantea Leibniz cuando trabaja el tema de la armonıauniversal.

Pero uno de los mejores ejemplos de la dimension expresiva del analisis delos infinitos sigue siendo aquel que Leibniz mismo propone cuando examinala cuestion de la libertad: “En fin, una luz nueva y desatendida me vinocuando yo la esperaba menos; a saber, de consideraciones matematicas sobrela naturaleza del infinito.128” El sorprendimiento nace, en un principio, al nocomprender bien que relacion pueda existir entre el calculo diferencial y lalibertad. Se descubre poco a poco que hay una analogıa entre, por un lado,“eso que puede decirse” de los analisis que conducimos en matematicas aproposito de las “proporciones inconmensurables” (o las “series infinitas”),en las cuales no se llega a fijar un “ultimo termino”, y por otro lado, “esoque puede decirse” de la naturaleza de las realidades contingentes:

Al igual que con las proporciones a veces se finaliza el analisis, yse llega a una medida comun que, por su repeticion, mide perfec-tamente uno y otro termino de la proporcion; a veces el analisispuede ser continuado al infinito, como en la relacion entre unnumero racional con uno sordo129: el lado con la diagonal delcuadrado por ejemplo; al igual sucede tanto si las verdades de-mostrables, es decir necesarias, como si son libres y contingentes,y, por ningun analisis pueden ser reducidas a la identidad comomedida comun130...

Reencontramos aquı la distincion entre dos tipos de verdades: por un lado

126Cf. Del origen radical de las cosas, PO, p.338-345, y Tentamen Anagogicum, PS, VII,p.270-279.

127Del origen radical de las cosas, PO, p. 340128De la libertad, PO, p. 380129Se llama “sordo” a un numero que no es entero ni racional.130Ibid. p. 382

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las verdades primitivas, que corresponden directa o indirectamente (despuesdel analisis) a una relacion necesaria, de identidad; por el otro, las verdadesderivadas que no se dejan, incluso despues del analisis, reducir a una relacionde identidad. Estas ultimas pueden ser llamadas contingentes, y la contin-gencia de la proposicion remite a una singular manera de ser: aquella de losseres cuya existencia, ası siempre este determinada por una serie de razones,no obedece a ninguna necesidad. Nunca se podra elaborar a proposito suyouna demostracion comparabale a la que obtenemos cuando se trata de las“identicas”. Tal diferencia de estatus no apunta a los lımites del entendi-miento finito: “en Dios mismo”, el analisis no se podrıa terminar, por lasimple razon de que el “fin no tiene lugar”. Que el analisis sea intermina-ble y que no se pueda reducir la serie de los predicados (que correspondena eventos) a una identidad fundadora, es para Leibniz el signo mismo dela libertad. Eso que se expresa en el orden singular de las cantidades ma-tematicas, es con seguridad la dualidad de “proporciones” [rapports] o de“relaciones” [relations], “terminables” o “interminables”, segun se logre ono establecer una medida comun. Pero es tambien la doble naturaleza de ladeterminacion: o bien se esta ante una identidad fundamental, que se desa-rrolla analıticamente en una serie de proposiciones que la desdoblan; o biense esta ante un sistema de razones que se encadenan unas con otras, sin quese llegue nunca a “reducirlas”.

Si el ejemplo de De Libertate es significativo, es porque se apoya sobrelo que podrıa aparecer como la figura mas pobre del infinito: lo intermina-ble. Ahora bien, en su indeterminacion misma, esta figura es aun rica enensenanzas y en capacidad expresiva. ¿Que sucede cuando aparecen figurasmas complejas, y conceptualmente mucho mas ricas: cuando por ejemplolas progresiones al infinito se asocian a los lımites y se aprende a calcularesos lımites? Se puede entonces comprender -y esta es una de las riquezasde la asıntota - como lo finito y lo infinito vienen a articularse, y por que esnecesario dejar de oponer, como dos realidades incompatibles, el infinito yel lımite...

No hay un infinito malo [mauvais]. Leibniz nunca se instala en esa di-cotomıa que otros antes de el practicaron abundantemente. Ademas no hacenunca de las matematicas una etapa provisoria que la ciencia del infinitofinalmente sobrepasarıa. Pues la distincion entre infinito “verdadero” y los“demas” se abre inmediatamente sobre la multiplicacion de sistemas de ex-presion y sobre su perfeccionamiento. Es verdad que Leibniz ha mantenidoconstantemente la tesis de la trascendencia del absoluto: pero esto tambienpara impulsar al maximo la investigacion de las mediaciones que lo traen anuestro alcance. La expresion tal como Leibniz la concibe no se da nunca

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sin perdidas: nunca la expresion del infinito llega a ser equivalente al infinitoexpresado. Ası la monada expresa las cantidades continuas, pero a precio deuna abstraccion suplementaria, y poco “natural”. Pero los “secretos escondi-dos” no lo estan nunca definitivamente. Y al igual que siempre se puede salirdel laberinto, se puede siempre refinar, enriquecer, el analisis del infinito.

El “nuevo calculo” no escapa a la crıtica: no constituye, a los ojos deLeibniz, el punto terminado de la concepcion matematica del infinito. Elanalisis encuentra ahı los medios de un desarrollo sin precedentes, el algebrase hace allı “extraordinaria”, pero tambien manifiesta sus lımites. Ella nosobliga a tomar multiples desvıos, fructıferos sin ninguna duda, pero final-mente muy numerosos, donde el pensamiento arriesga perderse. Es en esesentido que el algebra, ası sea infinitesimal, no es lo bastante “natural”.

Ası es que Leibniz tomo desde muy temprano la precaucion (en el mo-mento mismo en que se compromete en la construccion del calculo infinite-simal) de tomar cierta distancia con el algebra, para desarrollar una nuevageometrıa. Y sin dudas se encuentra allı un horizonte suplementario para esametafısica del infinito “completamente matematica” o “que lo podra llegara ser”:

No busco en Geometrıa casi nada mas que el arte de encontrardesde el principio las bellas construcciones. Veo cada vez mas ymas que el algebra no es la vıa natural para llegar allı; y quehay un medio de hacer una caracterıstica distinta propia de laslıneas, y natural para las soluciones lineales; en el lugar que elalgebra es comun a todos las magnitudes, y que son necesarios losdesvıos, y las operaciones forzadas ordinariamente para sortear laconstruccion del calculo, aunque sobre este mismo hay cantidadde direcciones que aun no son conocidas por todo el mundo131.

Textos

TEXTO no1: Comentario del fragmento de PascalDesproporcion del hombre

Este texto fue publicado por Grua bajo el tıtulo “Doble infinitud enPascal y monada” (GW Leibniz. Textes inedits, PUF, 1948, t.2, p553-555).No fue ni fechado ni titulado por Leibniz. Grua propone como fecha probable:despues 1695.

131Carta a Galloys, MS, I, p. 183

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[Monsieur] “El infinito actual entre las cosas materiales tanto en aumentocomo en disminucion, es decir la division actual de cada parte de la materiaal infinito, y al mismo tiempo” la infinitud de la extencion de la Materia,ha sido sostenido por M. Pascal, y “es visible que” aquellos que han miradosus Pensamientos, ası como los Obispos y doctores que los han aprovado, loshan consagrado [y ont donne les mains]. He aquı uno de los pasajes que lohan hecho famoso: se trata del numero 22, titulado “Conocimiento generaldel hombre132” “La primera cosa que se ofrece al hombre cuando se mira,es su cuerpo... hasta los abismos133” (...)

Lo que Pascal dice de la doble infinitud que nos circunda [environne] enaumento y disminucion, cuando en sus Pensamientos (no 22) habla del cono-cimiento general del hombre, no es mas que una de las entradas a mi sistema.Que habrıa dicho con esa fuerza de elocuencia que poseıa, si hubiese llegadomas adelante, si hubiese sabido que toda la naturaleza es organica por todaspartes, y que cada porcion tan pequena como se tome, contiene representa-tivamente, en virtud de la disminucion actual al infinito que ella encierra,el aumento actual al infinito que esta fuera de ella en el universo, es decir,que cada pequena porcion contiene, de una infinitud de maneras, un espejovivo expresando todo el universo infinito que existe con ella; de manera queun espıritu lo bastante grande, armado de una vision muy fina, podrıa veraquı todo lo que hay por todas partes. Pero hay bastante mas: podrıa enton-ces leer todo el pasado, y al igual, todo el futuro infinitamente infinito, puescada momento contiene una infinitud de cosas “donde cada una envuelve suinfinitud”, y hay una infinitud de momentos en cada “hora u otra” partedel tiempo, y una infinitud de horas, de anos, de siglos, de eones, en todala eternidad futura. Cada infinitud de infinitudes infinitamente replicadas,cada mundo, cada universo “perceptible” en cada corpusculo que uno puedatomar. Pero todas estas maravillas son imperceptibles por el envolvimientode aquello que esta “infinitamente” por encima de todos las magnitudes, enaquello que esta “infinitamente” por debajo de todas las pequeneces; es de-cir nuestra armonıa preestablecida, que viene a aparecer entre los hombres

132Esa referencia corresponde en las ediciones actuales al fragmento 199 (Lafuma) o 72(Brunschvigc) conocido bajo el tıtulo “Desproporcion del hombre”.

133El texto tiene aquı una variante: “Pero la harmonıa preestablecida pasa entonces atodo aquello y da esta misma infinitud universal a cada [casi nada] “casi primera nada(que es a la vez el ultimo casi todo y por lo tanto merece ser llamado una substancia trasDios)”, es decir en cada punto real, que constituye una monada, donde yo mismo soy una,y ***, y no perecera al igual que Dios y el universo, que debe siempre representar , siendo[un Dios] [como Dios] al mismo tiempo menos que un Dios y mas que un universo demateria: un como-Dios diminutivo, y como-universo eminentemente, y como prototivo, losmundos inteligibles siendo en ectipo las fuentes del mundo sensible en las ideas de Dios].

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poco despues, y que brinda esta misma mas-que-infinitud “en todo caso”universal, concentrada en el mas que infinitamente pequeno todo singular,y poniendo virtualmente toda la secuencia del universo en cada punto realque constituye una monada “o unidad substancial”, de las que yo soy una;es decir, en cada substancia verdaderamente una, unica, sujeto primitivo dela vida y de la accion, siempre dotada de percepcion y apetiticion, siempreencerranda con lo que es la tendencia de lo que sera [siempre subsitente porconsecuencia] para representar toda otra cosa que sera (...)

[El primer casi-Nada subiendo de la nada a las cosas, por lo tanto el massimple, ası como es tambien el ultimo casi todo, descendiendo de la multitudde las cosas hacia la nada; y sin embargo el unico que merece ser llamado“un Ser” una substancia detras de Dios, pues una multitud no es mas queun “amas” de muchas substancias, y no un Ser, entre los Seres. Es enton-ces este sujeto simple y primitivo “de tendencias y” de acciones, esa fuenteinterior de sus propios cambios, la unica manera de ser verdaderamente Serimperecedero, pues es indisoluble y sin partes, siempre subsistente y que noperecera nunca, no mas que Dios y el universo que debe representar siem-pre y en todo; [siendo al mismo tiempo infinitamente menos que Dios, eincomparablemente mas que un universo de materia; sintiendo todo confu-samente, en el lugar que Dios siente todo distintamente, en el lugar que todala materia no siente y no sabe nada del todo. Una divinidad diminutiva, unUniverso de materia eminentemente; Dios en ectipo y ese mismo universoen prototipo; imitando a Dios e imitada del universo en “relacion” a suspensamientos distintos, semejante a Dios por los pensamientos distintos, se-mejante a la materia por los confusos; lo inteligible siendo siempre anteriora lo sensible en las ideas de la inteligencia primitiva fuente de las cosas].Y, si esta monada es un espıritu, es decir, un alma capaz de la reflexion yde la ciencia, [ella imitara a Dios] ella sera al mismo tiempo infinitamentemenos que un Dios e incomparablemente mas que el resto del universo delas criaturas; sintiendolo todo confusamente, en el lugar que Dios sabe tododistintamente, sabiendo alguna cosa distintamente en el lugar que toda lamateria no siente y no sabe nada del todo. Sera una divinidad diminutiva,un Universo de materia eminentemente; Dios en ectipo y este universo enprototipo; lo inteligible siendo siempre anterior a lo sensible en las ideas dela inteligencia primitiva, fuente de las cosas; imitando a Dios e imitada porel universo en relacion a sus pensamientos distintos. Sujeta a Dios en todo,y dominadora de las criaturas en cuanto es una imitadora de Dios.

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TEXTO no 2: Sobre el estatus del calculo diferencialExtracto de la carta a Varignon del 2 de Febrero 1702

[...] Le estoy muy agradecido, Senor, y a ustedes ‘savants’, que me hacenel honor de hacer algunas reflexiones sobre aquello que habıa escrito a unode mis amigos con ocasion de lo que se habıa expuesto en el Journal deTrevoux contra el calculo de diferencias y de sumas. No recuerdo bien lasexpresiones de las que me pude servir, pero mi deseo fue el de remarcar queno hay necesidad de hacer depender el analisis Matematico de las contro-versias metafısicas, ni de asegurar que haya en la naturaleza lıneas que seanen rigor infinitamente pequenas en comparacion con las nuestras, ni que porconsecuencia haya lıneas infinitamente mas grandes que las nuestras [y porlo tanto acabadas [terminees], de ahı que me pareciera que el infinito toma-do en rigor debe tener su fuente [source] en lo inacabado [intermine], sin locual no veo medio de encontrar un fundameto propio para discernirlo de lofinito]. He ahı porque, con el fin de evitar estas sutilezas, he creıdo que parahacer comprensible a todo el mundo el razonamiento, es suficiente explicaraquı lo infinito por lo incomparable, es decir, concebir cantidades incom-parablemente mas grandes o mas pequenas que las nuestras; lo que brindatantos grados de incomparables como se quiera, pues lo que es incompa-rablemente mas pequeno, viene a contar inutilmente con respecto de aquelque es icomparablemente mas grande que el, es ası como una partıcula demateria magnetica que pasa por un grano de arena no es comparable con el,ni ese grano con el globo terraqueo, ni ese globo con el firmamento. Y es contal efecto que brinde un dıa los lemas de los incomparables en las Actas deLeipzig, que se pueden entender como se quiera, sean infinitos en rigor, seanmagnitudes unicamente, que no entran en cuenta los unos con relacion losotros. Pero al tiempo es necesario considerar que estos mismos incompara-bles comunes, al no estar fijos ni determinados, y pudiendo ser tomados tanpequenos como se quiera en nuestros razonamientos geometricos, hacen elefecto de los infinitamente pequenos en rigor, ya que si un adversario quisie-ra contradecir nuestra afirmacion, se seguirıa de nuestro calculo que el errorserıa menor que cualquiera que el pudiese senalar, estando en nuestro po-der tomar el incomparablemente pequeno, lo suficicientemente pequeno paraeso, teniendo que se puede tomar siempre una magnitud tan pequena comose quiera. Es quizas esto lo que usted entiende, Senor, hablando de lo inago-table, y es sin duda en esto que consiste la demostracion rigurosa del calculoinfinitesimal, del que no servimos, y que tiene de comodo, que da directay visiblemente, con su propia manera de senalar la fuente de su invencion,lo que los Antiguos, como Arquımedes, dando la vuelta por sus reducciones

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ad absurdum, no podıan, a falta de un calculo ası, llegar a las verdades osoluciones intrincadas, aunque poseıan el fundamento de la invencion. Dedonde se sigue, que si alguien no admite lıneas infinitamente pequenas, enrigor, metafisicas y como cosas reales, puede servirse de ellas como nocio-nes ideales que abrevian el razonamiento, parecidas a aquellas que se suelenllamar raices imaginarias en el analisis comun (como por ejemplo

√−2), las

cuales por muy imaginarias que se las llame, no dejan de ser utiles, e inclusonecesarias para expresar analıticamente las magnitudes reales; siendo impo-sibles de expresar sin intervencion de los imaginarios el valor analıtico dela recta necesaria para hacer la triseccion de un angulo cualquiera, ası co-mo no se podrıa establecer nuestro calculo de los Trascendentes sin emplearlas diferencias que estan a punto de desvanecerse [evanouir], tomando deun golpe lo incomparablemente pequeno en lugar de aquello que siempre sepuede senalar mas pequeno hasta el infinito. Es incluso de la misma maneraque se conciben las dimensiones por encima de tres, e incluso las potenciascuyos exponentes no son numeros ordinarios, todo esto para establecer ideaspropias a abreviar los razonamientos y fundadas en la realidad.

Sin embargo no es necesario imaginarse que la ciencia del infinito seadegradada por esta explicacion y reducida a ficciones: pues el infinito siguesiendo sincategorematico, como en las Escuelas, y se mantiene verdaderopor ejemplo que 2 es tanto como 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + . . .,etc., que es una serie infinita, en la cual todas las fracciones tienen comonumerador 1 y los denumenadores tienen progresion geometrica doble, soncomprendidas de una vez, aunque no se emplean allı sino numeros ordina-rios, y aunque no hace entrar ninguna fraccion infinitamente pequena, odonde el denominador sea un numero infinito. Es mas, como las raıces ima-ginarias tienen su fundamentum in re, de suerte que M. Huygens, cuando yo

le comunique que√

(1 +√−3) +

√(1−

√−3) es igual a

√6, lo encuentra

tan admirable, que me responde que hay allı dentro alguna cosa que noses incomprensible; se puede decir, incluso, que los infinitos y los infinita-mente pequenos estan tan arraigados [tellement fondes] que todo se haceen Geometrıa, incluso en la naturaleza, como si fuesen perfectas realidades,dando testimonio no solo nuestro Analisis geometrico de los Trascendetes,sino tambien mi ley de continuidad, en virtud de la cual esta permitido con-siderar el reposo como un movimiento infinitamente pequeno (es decir comoequivalente a su contrario), y la coincidencia como una distancia infinita-mente pequena, y la igualdad como la ultima de las desigualdades, etc., leyque he explicado y aplicado otra vez en las Nouvelles de la Republique deLettres de M. Bayle, con relacion a las reglas del movimiento de Descartes

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y de R. P. Malenbrance, y donde yo anotarıa despues (para la segunda edi-cion de las reglas que ese Padre hizo despues) que toda su fuerza no habıasido considerada lo bastante todavıa. Sin embargo, se puede decir en generalque toda continuidad es una cosa ideal y que no hay nada en la naturalezaque tenga partes perfectamente uniformes, pero en recompensa lo real nodeja de gobernarse perfectamente por lo ideal y lo abstracto, y se encuentraque las reglas de lo finito triunfan en el infinito, como si hubiese atomos(es decir, elementos senalables en la naturaleza), aunque no los hay, ya quela materia esta actualmente subdividida sin fin; y que viceversa las reglasde lo infinito triunfan en lo finito, como si hubiese infinitamente pequenosmetafısicos, aunque no se los necesite de ninguna forma, y que la division dela materia no llegue nunca a partıculas infinitamente pequenas: es porquetodo se gobierna con razon, y que de otra manera no habrıa ciencia ni regla,lo que no serıa conforme con la naturaleza del soberano principio...

TEXTO no 3: sobre la continuidad

Extracto de la Carta a Varignon del 16 de octubre de 1707, publicadaen La llamada al juicio del Publico de S. Kohnig, Leyde, 1753.

(...) No me contentare con responder al artıculo de vuestra carta don-de usted me reclama aclaraciones sobre mi principio de Continuidad. Sindudas yo pienso que este principio es general y que vale bien, no solo enla Geometrıa, sino tambien en la Fısica. Al ser la geometrıa solamente laciencia de los lımites y de la magnitud del continuo no es sorprendente queesta ley se observe allı por todas partes: pues ¿de donde vendrıa una subi-ta interrupcion en un sujeto que no la admite en virtud de su naturaleza?Tambien sabemos que todo esta perfectamente ligado en esta ciencia, y queno se podrıa alegar ni un solo ejemplo de una propiedad que allı cesarasubitamente o naciese de la misma manera, sin que se pudiese senalar elpaso intermedio de la una a la otra, los puntos de inflexion y de giro [re-broussement] que hacen el cambio explicable; de manera que una ecuacionalgebraica que represente extactamente un estado, representa virtualmentetodos los demas que puedan convenir a un mismo sujeto. La universalidadde este principio en geometrıa me ha hecho conocer bien pronto que nopodrıa faltar un lugar ası en la fısica, pues veo que, como existen la reglay el orden en la naturaleza, es necesario que lo fısico armonice constante-mente con lo geometrico y que se de lo contrario, si, allı donde la geometrıademanda la continuacion, la fısica sufriese de una interrupcion subita. Paramı, todo esta ligado en el universo en virtud de razones de metafısica, demanera que el presente siempre esta gravido de futuro y que ningun estado

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dado es explicable naturalmente sino por medio de aquel del que le precedeinmediatamente. Si se lo niega, el mundo tendrıa hiatus que contradirıan elgran principio de razon suficiente y que obligarıan a recurrir a los milagroso al puro azar en la explicacion de los fenomenos. Sostengo entonces, paraexplicarme en el estilo del algebra, que si, imitando a Mr. Huddle - que pre-tendıa poder mostrar una curva algebraica cuyos contornos no tendrıan lostrazos de una figura conocida -, se pudiese expresar, mediante una formulade una caracterıstica superior, alguna propiedad esencial del universo, allı sepodrıa leer cuales seran los estados sucesivos de todas sus partes en todoslos tiempos dados. Tambien concluye el que no se encuentra un evento na-tural que desmienta este gran principio; por el contrario, todos los que seconocen con exactitud le justifican perfectamente. Se ha reconocido que lasleyes del choque de los cuerpos que nos ha legado M. Descartes son falsas;puedo mostrar que los son porque hacen aparecer hiatus entre los eventosviolando la ley de continuidad; y que desde que se han hecho las correccionesque la restablecen, se recae en las mismas leyes que MM Huygens y Wrenencontraran y que las experiencias han justificado. Siendo la continuidad unrequisituum necesario, un caracter distintivo de las verdaderas leyes de la co-municacion del movimiento, ¿se puede dudar que todos los fenomenos estensometidos bajo ella? ¿o que no lleguen a ser inteligiblemente explicables sinopor medio de las verdaderas leyes de la comunicacion del movimiento? Perocomo, segun creo, reina una perfecta continuidad en el orden de los sucesi-vos, y otra igual en el de los simultaneos, que restablece la plenitud real y seenvıan a regiones imaginarias los espacios vacıos. Entre las cosas que exis-ten puede haber continuidad, aunque la imaginacion no perciba sino saltos:porque ası las cosas parezcan a lo ojos enteramente disımiles y desunidas,no obstante se encontrarıan perfectamente similares y unidas en su interiorsi se pudiese llegar a conocerlas distintamente. Al no considerar mas que laconfiguracion externa de parabolas, elipses e hiperbolas, se estarıa tentadode creer que hay una interrupcion inmensa de un tipo de curvas a otro. Sinembargo nosotros sabemos que estas estan intimamente ligadas de maneraque es imposible colocar entre dos de ellas una tercera especie intermediaque nos hiciese pasar de la una a la otra por los matices mas imperceptibles.Por lo tanto pienso tener buenas razones para creer que todas las diferentesclases de seres cuyo conjunto [assemblage] forma el universo son, en las ideasde Dios - que conoce distintamente sus gradaciones esenciales -, como lasordenadas de una misma curva cuya union no permite que se pongan otrasentre ellas ya que esto serıa una senal de desorden e imperfeccion...

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Bibliografıa

OBRAS DE LEIBNIZ

Samtliche Schriften und Briefe herausgeben von des Akademie der Wis-senschaften der DDR (edicion en curso).Leibniz Philosophische Schriften, ed. Gerhardt, reed. Olms, 1965. [PS]Leibniz Mathematische Schriften, ed. Gerhardt, reed. Olms, 1962.[MS]Der Briefwechsel von GW. Leibniz mit Mathematikern, reed. Olms, 1962.Lettres et Opuscules de Leibniz, ed. Foucher de Careil, Durand 1854. [LO]Nouvelles Lettres et Opuscules de Leibniz, ed. F. de Careil, Durand 1857.[NLO]Opuscules et Fragments inedits, ed. Couturat, reed. Olms, 1988. [COF]Leibniz, Oeuvres, ed. Prenant, Aubier-Montagne, 1972. [PO]Essais de Theodicee, Garnier-Flamarion, 1969.Nouveaux Essais sur l’entendement humain, Garnier-Flamarion, 1966.Leibniz, Naissance du calcul differentiel, intro ed y tr. Parmentier, Vrin,1989.Leibniz, Les deux labyrinthes, ed. Chauve, PUF, 1973.en espanol, Leibniz, Escritos Filosoficos, ed. Ezequiel de Olaso, Charcas,1982.

Meditaciones sobre el conocimiento, la verdad y las ideas (Olaso).

Advertencias a la parte general de los Ppios de Descartes (Zwank).

Principios de la naturaleza y de la gracia fundados en razon (Olaso).

Monadologıa (Olaso).

Nuevos ensayos sobre el entendimiento humano, tr. Echeverrıa, Ed. Nacio-nal, 1977.La polemica Leibniz-Clarke, ed. E. Rada, Taurus, 1980.Monadologıa, ed trilingue G. Bueno, tr. Velarde, Basilisco, 1981.

COMENTARIOS

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