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Lei das Malhas (KVL)Lei dos Nós (KCL)

ElectrónicaArnaldo Batista

2005/2006


KCL (Kirchhoff Current Law)•Nó é o ponto de ligação de dois ou mais elementos de circuito•Ramo é uma porção do circuito contendo um elemento simples, limitado por dois nós.•O número de equações KCL linearmente independentes, num circuito com N nós, é N-1 (é o número de equações necessárias para calcular as tensões em todos os nós dos circuitos).

Rvvi Nm −= Ohm de Lei

Rvvi mN −

='Ohm de Lei

'ii −=

'i

Nó de referência, onde o potencialé nulo.


Nó de ReferênciaÉ o nó onde se considera que o potencial é zero. Pode ser o nó que está ligado à terra (que está ao

nosso potencial) e que se considera zero. Em sistemas que não estão ligados à terra (p. ex. telemóveis) é o nó relativamente ao qual todos os

potenciais estão referidos e que igualmente se considera com potencial nulo. Neste caso é comum chamar-se “nó de massa”.Para ambos os casos anteriores as regras de KCL ou KVL são as mesmas.

( )( ) VVV

VVV

VVVVV

VVVVVV

642624

Também22

Igualmente4 logo

)referência de (nó 0 mas 4

12

21

232

1

331

−=+−−=−=−−=−

−=⇒−=−

=

==−

−

+V4

+

−V2

I1 I2

I3

Corrente Eléctrica

A corrente eléctrica (convencional) desloca-se dos potenciais maiores para os menores, pelo que na figura, I1, I2 e I3 têm os sentidos indicados. Pela lei de Ohm:

( )

( )222

213

333

232

111

311

624

220

404

RRRVVI

RRRVV

I

RRRVVI

=−−

=−

=

=−−

=−

=

=−

=−

=

I4I5

Os potenciais de todos os nós estão referidas ao nó de referência, ou seja V1=4V significa que este nó está a 4 Volt acima do potencial do nó 3 que é zero volt ou seja:


KCL (Kirchhoff Current Law) revisitadaA soma das correntes que sai de um nó é igual à soma das correntes que chega ao nó.Ou de outra forma:A soma de todas as correntes que sai de um nó é zero (neste caso uma ou mais correntes vão ser necessariamente negativas).

Nó de Referência

SV aV bV cV Pretendemos calcular os potenciais em todos os nós do circuito. Tendo anteriormente definido nó como a junção de dois ou mais elementos de circuito existem 5 nós neste circuito. Desses 5 nós 2 têm potenciais conhecidos: VG=0 e VS=12 V. Restam portanto Va ,Vb e Vc.para calcular (três equações).

GV

0:@ 321 =++− IIIV a

036

09

12=

−+

−+

−kVV

kV

kV baaa

0:@ 543 =++− IIIV b 094

03

=−

+−

+−

kVV

kV

kVV cbbab

0:@ 65 =+− IIV c 039

=+−

kV

kVV cbc

Escrever directamente estas equações


a b c

d

aV

bV

cV

dV

1R 3R

2R2I3I

1I

Nota importante: Os sentidos das correntes em cada nó podem ser arbitrados, independentemente dos sentidos arbitrados para os outros nós.

( )

0

00

0nó no correntes

321

321321

=−

+−

+−

=−

+−

+−

−⇒=++−

=∑

RVV

RVV

RVV

RVV

RVV

RVVIII

cbdbab

cbdbba

a b c

d

aV

bV

cV

dV

1R 3R

2R '2I

'3I'

1I

( )

0

00

0nónocorrentes

321

321

'3

'2

'1

=−

+−

+−

=−

−−

+−

⇒=−+

=∑

RVV

RVV

RVV

RVV

RVV

RVVIII

cbdbab

bcdbab

''2I

''3I''

1I

a b c

d

aV

bV

cV

dV

1R 3R

2R

( )

00

0nó no correntes

321

''3

''2

''1 =

−+

−+

−⇒=++

=∑

RVV

RVV

RVVIII cbdbab

Neste caso arbitrou-se que todas as correntes abandonam o nó. É claro que uma ou mais correntes serão negativas

Qualquer que seja o sentido das correntes arbitradas no nó a equação final é a mesma!


Exemplo 1 (KCL)

VVVVVVk

Vk

Vk

VV

15;3;2.7

01

151

32

0:@

321

1111

===

=−

+−

+− 1 equação para 1 incógnita

PSpice

mAk

I

mAk

ImAk

I

R

RR

6.32

02.7

8.71

152.7;2.41

2.73

17

2018

=−

=

−=−

=−=−

=

O Circuito tem 4 nós.Em v2, v3 e v4 os potenciais são conhecidos:V2=3VV3=15VV4=0V (terra)Fica apenas um potencial por calcularV1=?v4


4 eqs, 4 incógnitas

VVVVVV 5.05.2;2 321 −===

.....

5.01

25.21

14

1212

=

=−

=−

=

R

R

I

mAkk

VVI

Exemplo 2 (KCL)

SI

Necessidade de utilização de uma corrente de auxílio IS

02

012

3:@ 12111 =

−+

−+

−k

VkVV

kVV

01

:@ 122 =+

−sI

kVVV

01

0:@ 33 =

−+−

kVIV s

VVV 332 =−

Os potenciais desconhecidos correspondem aos nós assinalados a cor vermelha

Torna-se necessário utilizar uma corrente de auxilio IS


001

1

2

21 =−

+−

+−R

vR

vviA

00

3

2

2

12 =−

+−

+R

vR

vviB

2 eqs, 2 incógnitas v1 e v2

Exemplo 3 (KCL)

Número de nós: 3O nó 3 tem zero volts.

Nó 3


03

06

06:@ 222 =

−+

−+−

kV

kVmAV

062

02:@ 11 =+

−+ mA

kVmAV

mA6

VV 161 −=VV 122 =


Exemplo 4 (KCL)


@V_10

66 1 =++− SI

kVmA

@V_2 012

4 2 =++−k

VmAIS


VVV 621 =−

SI

KCLExemplo 5 (KCL)


4 eqs 4 incógnitas

Exemplo 6 (KCL)

32

4

3

2

23

2

32

1

12

1

21

3

1

00

0

00

vvv

iR

vR

vvR

vvv

Rvvi

iR

vvR

v

x

B

xA

A

−=

=−−

+−

=−

++−

+

=−−

+−

α


)()(Obter

tvtvG

i

O=

00)()( =−

+L

Ogm R

tvtvg

00)()()(

21

=−

+−

Rtv

Rtvtv gig

vgvo

Exemplo 7 (KCL)


02

21

1

1 =−

++R

vvRvioβ

1@v

02

12

3

2 =−

++−R

vvRviA2@v

3

2

Rvio =3 equações, 3 incógnitas

β é uma constante

01112

231

21

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ v

RRv

RRβ

AivRR

vR

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++− 2

321

2

111

Re-arrajando

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

−+

Aivv

RRR

RRRR 0111

111

2

1

322

2321

β

Exemplo 8 (KCL)


KCL (Kirchhoff Voltage Law) revisitadaA soma das quedas de potencial ao longo de uma malha fechada é zero

Para um dado circuito com:B Número de RamosN Número de Nós

O número L de correntes de malha necessário para resolver o circuúito é

)1( −−= NBL


Exemplo 1 (KVL)

Começa-se por estabelecer em cada malha uma corrente chamada fictícia (de sentido arbitrário). A corrente em cada ramo da malha é igual à corrente fictícia se esse ramo não for também percorrido por nenhuma outra corrente fictícia. É o caso da corrente em R1 e R2 que é igual a i1.A corrente que passa por ramos que são percorridos por várias correntes fictícias obtêm-se pela soma destas tendo em consideração o seu sentido. É o caso de R3 onde a corrente vale i1- i2.

2)16(767

=−−===

LNB

São necessárias duas malhas

1-Em primeiro lugar escolhem-se as correntes fictícias 2-Para facilitar assinala-se a polaridade da queda de potencial em cada elemento passivo. 3- Nos elementos passivos percorridos por mais do que uma correntefictícia considera-se, para efeitos de polaridade, que a corrente da malha onde estamos é superior às outras correntes fictícias que percorrem o mesmo ramo, embora isto possa não corresponder àrealidade do circuito.


( ) 012213111 =−−−− iRiiRiRvS

[ ] [ ] [ ]VIR =

( ) 012325242 =−−−−− iiRiRiRvS

!

!


Exemplo 2 (KVL)

Ramos = 8Nós = 7

Malhas = 2

( )( ) 0

0

3242512223

2122111

=−−−−−−=−−+−

S

SS

viRiRiiRiRiiRviRv


Exemplo 3 (KVL)

As correntes fictícias podem ser escolhidas de modo a facilitar os cálculosNo circuito abaixo, calcular I0 .

1ª Opção 2ª Opção

43

21

45

210

21

=−=

==

III

II4

34

3

10

1

==

=

II

I

Mais eficiente

1I @KVL

2I @KVL

_ _

_ _ _

1I@KVL

2I@KVL

_ _

_ _ _


Exemplo 4 (KVL) Circuitos com fontes de corrente independentes

Calcular V1 e V0 usando KVL Para efeitos de simplificação, nas malhas que contêm uma fonte de corrente, consideramos apenas uma corrente fictícia. Deste modo a corrente nessa malha fica calculada e assim se reduz o número de equações necessárias para resolver o circuito.

VkmAV

mAI

IIkkI

mAI

5.4643

0

43

2

0122262 :2 Malha

21:1Malha

=Ω×=

=

=−−−

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1I

( )

VkmAmAV

mAI

kImAIkmAI

5.46452

45

02262 :2 Malha2 :1 Malha

0

2

22

1

=×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−=

=+++−

=

Outro processo:


Exemplo 5 (KVL)

( ) ( ) 03624- :3 Malha2 :2 Malha

4 :1 Malha

31323

2

1

=+−−−−−=

=

kIIIkIIkmAI

mAI

VmAkV

mAI

233

416

41

0

3

−=−=

=


•Conceito de circuito equivalente •Teorema de Thévenin


Regras para obtenção do Equivalente de Thevenin entre dois pontos A e B de um circuito.RTH

i +

_OvOCv +

_OCv

SC

OCTH i

vR =

é a tensão entre os pontos A e B

É a razão entre e , a corrente que passa entre A e B quando estes terminais são “curto-circuitados”.

OCv SCiTHR

A

B


Resistência de Thevenin ( ): • Circuitos c\ fontes dependentes e independentes: Calcula-se a corrente

que passa no curto-circuito entre A e B . Tira-se:

Nota: Se o circuito contiver apenas fontes independentes obtém-se mais facilmente calculando a resistência vista ente A e B após se terem anulado essas fontes (fontes de tensão “fechadas” e fontes de corrente “abertas”)

Regras Práticas para obtenção do Equivalente de Thevenin entre dois pontos A e B de um circuito.

Tensão de Thevenin entre A e B ( ): calcula-se usando qualquer dos métodosdisponíveis : KCL, KVL, etç.

OCv

THR

SC

OCTH i

vR =

SCi

THR


Obter os Equivalentes de Thevenin e Norton, entre A e BResolução:A tensão entre A e B pode calcular-se dediversos modos. Aplicamos p. ex. KVL para obtenção datensão de Thevenin:

( ) ( )

VmAkVvmAI

IkIk

ABoc 4)2(442

044412

=+−===

=+−−

Para calcular a Resistência de Thevenin vamos obter ISC,a corrente de curto-circuito entre A e B. Por exemplopodemos aplicar KVL às duas malhas para obter ISC

I

1ISCI SCI

( ) ( )( )

kmAV

IvRemAIdonde

IIkIIkIk

SC

OCTHSC

SC

SC

2242

044044412

1

11

====

⎩⎨⎧

=−−−=+−−−

Thevenin

Exemplo 1-Thévenin


Como o circuito anterior apenas tem fontes independentes poderiaser calculada anulando as fontes de tensão e calculando a resistência vista entre A e B. As fontes de tensão anulam-se removendo-as do circuito e fazendo um curto-circuito entre os pontos de onde foram removidas. Se existissem fontes de correntes estas anular-se-iam removendo-as e deixando os terminais de onde foram removidas em circuito aberto.

kkkRTH 24//4 ==

THR

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