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N U C L E A R I N ST R U M E N T S A N D M E T H OD S 1 2 7 ( t9 7 5 ) 4 7 5 - 4 8 5 ; N O R T H - H O L L A N D P U B L I S H I N G CO .

B E A M - C A V I T Y I N T E R A C T I O N I N E L E C T R O N S T O R A G E R I N G S

E B E R H A R D K E IL *European Organiza t ion fo r Nuc lear Research , Geneva, Swi tzerlan d

C L A U D I O P E L L E G R I N I t + a nd A N G E L O T U R R I N tLa b o ra to r i Na z io n a l i d i Fra sc a ti , F ra sc a t i (Ro m a ) , I t a l y

andA N D R E W M . S E S S L E R * *

Law rence Berke ley Labor atory , Universi ty o f Cali forn ia , Be rke ley , C al ifornia 94720, U .S .A.Received 1 April 1975

A fo rmal express ion is obtained for the energy loss per turn, of a r igid bu nch of electrons , to a closed cyl indrical cavi ty with qual i tyfactor Q. The express ion is val id prov ided the diameter of the entrance and exi t ports fo r the beam are small com pared to the bunchlength. Th e effect of the ports is s tudied in an ind epend ent co mp utat ional me thod. The energy loss is numerical ly evaluated for arange o f parameters of interest to electron s torage r ings.1 . I n t r o d u c t i o n

T h e n e x t g e n e r a t i o n o f e l e c tr o n s t o r a g e ri n g s , w h i c h c u r r e n t l y is u n d e r d e s ig n , S u p e r - A d o n e l ) , p E p 2 ) , E P I C 3 ) ,P E T R A * ) , a n d t h e e l e c tr o n o p t i o n o f I S A B E L L E S ) , h a s in t y p i c al c a se s e l e c tr o n b u n c h e s o f a b o u t 0 .1 m l e n g tha n d p e a k c u r r e n t s o f u p t o 1 0 00 A . F o r t h e s e d e v ic e s, b e a m - l o a d i n g o f th e r f sy s t e m m u s t b e c a r e f u l ly c o n si d e re d 6 ) .

O f c o u r s e , t h e l o a d i n g o f an r f c a v it y b y a b e a m is a n o l d a n d w e l l - u n d e r s t o o d s u b je c t. H o w e v e r , i n t h e c la s si ca lc a se s t h e b u n c h s p a c i n g i s e q u a l t o a n r f w a v e l e n g t h a n d t h e b u n c h c h a r g e i s so s m a l l t h a t t h e e n e r g y l o ss iss m a ll c o m p a r e d t o t h e e n e r g y g a i n e d b y t h e b u n c h f r o m t h e e x ci te d c a v i ty . A s t r i k in g e x c e p t i o n t o t h is s i t u a ti o ni s e n v i s a g e d i n th e r f a c c e l e r a t in g s t r u c t u r e o f a n e l e c t r o n r i n g a c c e l e r a t o r , w h e r e a b u n c h o f n e g l ig i b l e e x t e n t ,a n d w i t h v e r y h i g h c h a r g e , is e x p e c t e d t o l o s e a c o n s i d e r a b l e a m o u n t o f e n e r g y . I n f a c t , o n l y th e f in i te r a d i u so f t h e b e a m t u b e a n d t h e p e r i o d i c it y o f t h e s t ru c t u r e k e e p t h e l o ss w i th i n b o u n d s 7 ) .

T h e s i tu a t i o n i n e l e c t r o n s t o r a g e r i n g s is b e t w e e n t h e se t w o e x t re m e s : T h e b u n c h c h a r g e i s h i g h , b u t t h e b u n c hl e n g t h i s o f th e o r d e r o f t h e r f c a v i t y l e n g th . I n c o n t r a s t t o t h e e l e c t r o n r i n g a c c e l e r a t o r , t h e b u n c h p a s s e s r e p e a t e d l yt h r o u g h t h e s a m e c a v i t y .

W e e m p l o y r o u t i n e p r o c e d u r e s t o e v a lu a t e t h e e n e r g y lo s s o f a n e l e c t ro n b u n c h t o a m o d e l r f c a v i ty , n a m e l yt o a c l o se d c y l in d r i c al l o s sy c av i ty . T h i s m o d e l s h o u l d b e v a l i d p r o v i d e d t h e b u n c h is lo n g c o m p a r e d t o t h ed i a m e t e r o f th e e n t r a n c e a n d e x i t p o r t s o f t h e c a v it y . I n a d d i t io n , w e s t u d y , b y a n u m e r i c a l m e t h o d , t h e e ff ec to f t h e p o r t s o n t h e e n e r g y l o ss .

I n s e c t i o n 2 , w e p r e s e n t a f o r m a l e x p r e s s i o n f o r t h e e n e r g y l o s s i n a s t r u c t u r e c h a r a c t e r i z e d b y a n a r b i t r a r yc o u p l i n g i m p e d a n c e . I n s e c t i o n 3 w e i n t r o d u c e t h e e x p r e s si o n o f Z (o g ) f o r a p i ll - b o x c a v i ty a n d o b t a i n a f o r m u l af o r t h e e n e r g y lo s s a s a d o u b l e s u m o v e r a ll th e c a v i t y r e s o n a n t m o d e s . N u m e r i c a l r e su l ts a r e o b t a i n e d a n dd i s c u s s e d i n s e c t i o n 4 .2 . D e f i n i t i o n o f th e e n e r g y l o s s f o r a n a r b it r a r y c o u p l i n g i m p e d a n c e

L e t e ~(n ) a n d ~ b~ (n ) b e t h e e n e r g y d i s p l a c e m e n t a n d t h e a z i m u t h a l p o s i t i o n o f t h e lt h p a r t i c l e a t t h e n t h r e v o l u -t io n , w i t h r e s p e c t t o t h e s y n c h r o n o u s p a r t ic l e, h a v i n g e n e r g y E . T h e e q u a t i o n s o f m o t i o n c a n b e w r i t te n a s :

( az (n ) - q b t ( n - 1 ) = 2rc~ e l ( n ) , ( l a )E* Present address: SLAC, P. O. Box 4349, Stanford, California 94305, U.S.A.W or k s uppor te d by C N E N .+ On leave to JET Group, Culham Labora tory , Abingdon, Berkshi re OXI43DB, Uni ted Kingdom.** W ork supp orted by the U. S. Energy Research and D evelopm ent Adminis tration.

4 7 5

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476 E. KE IL et al.et (n + 1) - et(n) = - fief(n) - qt (n) + e Vo [T~b (n) /2 n] + ener gy cha nge due to se l f-f ie lds , (1 b)

w h e r e ~ is th e m o m e n t u m c o m p a c t i o n f a c t o r , T is t h e r e v o l u t i o n p e r i o d , V o ( t ) i s th e e x t e r n a l r a d i o - f r e q u e n c yv o l ta g e , f l i s t h e d a m p i n g c o e f fi c ie n t p r o d u c e d b y s y n c h r o t r o n r a d i a t i o n a n d q z ( n ) i s t h e en e rg y l o ss a t t h e n thr e v o l u t i o n d u e t o i n c o h e r e n t s y n c h r o t r o n r a d i a t i o n . L e t I ( t ) b e t h e l o n g i t u d in a l b eam cu r ren t , I (co ) i t s Fo u r i e rt r a n s f o r m a n d Z (o g) t h e l o n g i t u d i n a l c o u p l i n g i m p e d a n c e . T h e a z i m u t h a l c o m p o n e n t o f t h e s e lf - el ec tr ic fi e ldcan b e wr i t t en a sS) :

t ~2~ zRe ( t ) = - J d m Z (o 9) I (o 9) e x p ( - i m t ) . ( 2)

Th e en e rg y l o ss o f t h e l t h p a r t i c l e a t t h e n th re v o lu t i o n i s t h en g iv en by :~l (n) = - e f do9 Z(og) 1(o9) e x p { -i o g [n T + T 4 h ( n ) / 2 n ] } . (3 )

W e w r i t e t h e b e a m c u r r e n t a s :+oo N

I ( t ) = e ~ , Z 6 [ t - m T - T c ~ t ( n ) / 2 r Q , (4 )m = - - o o k = l

w h e r e N i s t h e n u m b e r o f p a r ti c le s , a n d t h e s u m o v e r m d e s c r i b e s d i f f er e n t r e v o l u ti o n s .Def in in g I (o 9) a s:

1(o9) = 1 f I ( t ) exp(iogt) d t ,2r r 3u s in g eq . (4 ) an d su b s t i t u t i n g i n eq . (3 ) , we o b t a in :

~l(n) = 2~ ~ do9 Z(og) exp - i o g ( n - m ) T - iogT2~ q~t(n) - q~l(rn)] -

e2 i { }~ ~ k*~ do) Z (o0 ex p - i o g ( n - m ) T - iogr2rc[4,,(n) - q~k(m)] . (57Th e f i r st t e rm o n t h e r i g h t -h an d s i d e o f eq . (5) g iv es t h e i n c o h e re n t en e rg y l oss an d i n t h e fo l l o w in g wi l l b en eg l ec t ed ; t h e seco n d t e rm d esc r i b es t h e co h e ren t en e rg y l o ss. Th e cau sa l i t y co n d i t i o n req u i re s t h a t i n t h eex p ress io n :

~, (n) = - 2---~ ,=- ~o k*,~ do9 Z(O g) ex p - i o g T n - m + q b ,( n) k ( m , (6 )t h e o n l y n o n - z e r o c o n t r i b u t i o n s m u s t c o m e f r o m t h o s e t e r m s s a t is f y i n g t h e r e l a ti o n s h ip :

~ ( n ) - ~ ( m )n - m + > 0 . ( 7)2reHe n ce t h e fu n c t i o n Z(co ) mu s t b e an a ly t i c ex cep t fo r p o l e s i n t h e l o wer h a l f co mp lex o g -p lane .I n t h e f o l l o w i n g w e w i ll a s s u m e t h e b u n c h t o b e m u c h s h o r t e r t h a n t h e m a c h i n e c i r c u m f e r e n c e , o r C~k/2n ~ 1.We can t h en rewr i t e t h e ex p ress io n (6 ) fo r t h e co h e ren t en e rg y l o ss a s :

- - - ~ ~ d w Z ( w ) ex p - i w T n - m + 4 t ( n ) k (m _~ t ( n ) = 2 n m < n k 4 : l2~z ~ z d w Z(og ) ex p - i w T 4 h (n ) _ _ k ( n ) S[qSt(n) _ 0k (n )] , (8 )

w h e r e S ( x ) i s t h e s t ep fu n c t i o n .

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B E A M - C A V I T Y I N T E R A C T I O N I N E L E C T R O N S T O R A G E R I N G S 477T h e f i rs t t e r m o n t h e r i g h t h a n d s i d e o f e q . ( 8) d e s c r i b e s t h e " r e t a r d e d e n e r g y l o s s " d u e t o t h e f i el d s i n d u c e d

i n t h e c a v i t y o n t h e r e v o l u t i o n s p r e v i o u s t o t h e n t h r e v o l u t i o n , w h i l e t h e s e c o n d t e r m d e s c r i b e s t h e " i n s t a n t a n e o u se n e r g y l o ss o f t h e l t h p a r t i c l e " .

T h e c o h e r e n t e n e r g y lo s s , a s d e fi n e d in e q . ( 8) , d e p e n d s o n t h e p o s i t i o n o f t h e l t h p a r t i c l e in s i d e th e b u n c h .A q u a n t i t y o f m o r e p r a c t i c a l i n t e r e s t is t h e a v e r a g e e n e r g y l o s s p e r p a rt i c le :

W ( n ) = 1 ~2 ~t (n ) . (9 )N tI f t h e p a r t i c l e d i s t r i b u t i o n f u n c t i o n i s a s s u m e d t o b e t i m e - i n d e p e n d e n t , t h e a v e r a g e e n e r g y lo s s , W , w i ll n o td e p e n d o n n . I n t h e f o l l o w i n g , w e s h a l l o n l y c o n s i d e r t h i s c a s e .3. T he closed-cylindrical-cavity impedan ce

T h e c o u p l i n g i m p e d a n c e Z ( 0 )) m u s t b e e v a l u a t e d f o r a n y g i ve n s tr u c t u r e f o r w h ic h w e w is h to c o m p u t e t h eb e a m - s t r u c t u r e i n t e r a c t i o n . F o r a c l o s e d c y l i n d r i c a l c a v i t y , t h i s is d o n e i n a p p e n d i c e s A a n d B . E q s . ( 6 0 ) a n d( 63 ) a r e a n a l y t i c a l e x p r e s s i o n s f o r t h e e n e r g y l o ss 14 . F o r o u r p r e s e n t p u r p o s e , i t is c o n v e n i e n t t o r e w r i t e t h e m i nt e r m s o f a n e f fe c t iv e i m p e d a n c e Z e r r ,

W = - e l a v Z ~ f r , (10)a n d a n a v e r a g e b e a m c u r r e n t I , v ,

/ a v = - e N / T = e 0 ) o N / 2 n . (11)He r e , 0 )0 = 2 n i T is th e c i r c u l a r b u n c h f r e q u e n c y , a n d N is th e b u n c h p o p u l a t i o n . F r o m e q s . ( 1 0 ), ( 1 1) a n d ( 60 )o r ( 6 3) , t w o e q u i v a l e n t e x p r e s s i o n s f o r Z e ff m a y b e o b t a i n e d , b o t h o f t h e m v a l i d f o r a G a u s s i a n b u n c h s h a p e ,a s g i v e n b y e q . ( 58 ) , w i t h a n r m s h a l f - le n g t h A . T h e f i rs t e x p r e s s io n , w h i c h e x h i b i t s th e p e r i o d i c n a t u r e o f t h eb e a m c u r r e n t d r i v i n g t h e c a v i t y , i s :

I n2 0)2 d 2 1 ( 1 2 )Z e e = . = o Z . e x p V 2 .H e r e , Z n is t h e c a v i t y i m p e d a n c e a t t h e n t h h a r m o n i c o f t h e r e v o l u t i o n f r e q u e n c y , g i v e n b y:

Z n 160)2 ~ n2 1 - ( - 1 ) P c s ( n 0 ) g lv ) ( n 9 ~ : 1 (13,- b g v a c p = o l + 6 p o 7 ~ n p / - ~ [ ~ ~ t 8 n a / O ; ; 'H e r e , b a n d 9 a r e t h e c a v i t y r a d i u s a n d l e n g t h , v a n d c a r e t h e b e a m a n d l i g h t v e l o c it i e s , a is t h e c a v i ty - w a l lc o n d u c t i v i t y a n d D , p i s d e f in e d i n e q. ( 6 1) . T h e f o r m ( 12 ) o f th e e f f e c t iv e i m p e d a n c e w i l l b e u s e d f o r s t u d y i n gt h e e f f e c t o f t h e b e a m p o r t s .

T h e s e c o n d f o r m , o b t a i n e d f r o m e q . (6 3 ), e x h ib i t s th e r e s o n a n t p r o p e r t i e s o f th e c a v i ty :Z e f f = 16re ~ ~ R s p e x p ( - - 0 ) 2 p d 2 / v 2 ) 1 - - ( - - 1 ) p c o s ( o 3 ~ p g / v ) (14)

v ~ J x ( v ~ ) {1 + [ ( p n b ) / ( T g L ) ] 2 } 20 ) o p= O s = 1 ( l + 6 v 0 ) 2 2I n eq . ( 1 4 ) , v~ i s d e f in ed a s t h e s th r o o t o f J o ( v ~ ) = 0 , V i s t h e e l ec t r o n en e r g y in u n i t s o f i t s r e s t en e r g y , an d th er e s o n a n t f r e q u e n c y 0 )sp o f t h e E o s p m o d e i s g i v e n b y :

( e ) ,p l c ) 2 = ( v U b ) 2 + ( n p l g ) 2 . (15)T h e " r e s o n a n t t e r m " R ~p is:

an d th e q u a l i t y f a c to r Q~p i s:

R ~ p = sin h (nco~p/0)o Q ~ P ) , (16)c o s h (nco~p /0 ) o Q~p) - co s ( 2 n 0 ) , p / 0 ) o )

Q ~ p = ( b / c ) (2na0)sp) ~ . (17)

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4 7 8 E . K E I L e t a l.T h e r e s o n a n t t e r m R ~p d e s c r i b e s t h e e f fe c t o f th e m u l t i p l e p a s s a g e s o f t h e b u n c h t h r o u g h t h e c a v i ty . I t w a s a l s od e r i v e d b y W i l s o n 9 ) u s i n g a d i ff e r e n t te c h n i q u e . B e c a u s e o f th e o s c i l l a t o r y b e h a v i o u r o f t h e d e n o m i n a t o r , i t i s ar a p i d l y v a r y i n g f u n c t i o n o f 09 o , ' in p a r t i c u l a r w h e n OOsp >~ co o . U p p e r a n d l o w e r b o u n d s f o r Rsp c a n b e f o u n d b yi n s e r t i n g :

co s (mrw )~JO go) = ___ 1 ,i n t o e q . ( 1 6 ) :

k ~ p = t a n h ( rt c o ~ p /2 O9o Q , p ) _< R s p < c o t h ( n o ) ~ p / 2 o ) o Q , p ) = / ~ , p . ( 1 8 )A v e r a g i n g R ~p o v e r o n e p e r i o d o f c o s ( m rc o) ~p /O g o) y i e l d s 1 o ) :

( R , p ) = 1 . ( 1 9 )T h e s e r e l a t i o n s w i l l b e u s e d l a t e r o n i n t h e d i s c u s s i o n o f n u m e r i c a l r e s u lt s .

I n t h e l i m i t Q~p--+oo, w e h a v e R s p + O , u n l e s s t h e r e s o n a n t c o n d i t i o n oo, ,/o9o = h i s s a t i s f i e d , w h e r e h i s a ni n t e g e r . I n t h i s c a s e , o n e h a s , f o r Q ,p >> h:

R ~ p ~ 2 Q , p / ( n h ) . ( 2 0 )H e n c e , f o r a p e r f e c t ly c o n d u c t i n g c a v i t y , t h e re i s n o e n e r g y l o s s , u n le s s t h e r e s o n a n c e c o n d i t i o n ~sp/Ogo = h iss a t i s f i e d .

I n e v a l u a t i n g Z e f f f r o m e q . (1 2 ) o r ( 1 4) o n e m u s t d i s t i n g u i s h t w o c a s e s . F o r e x t e r n a l l y d r i v e n r f c a v it ie s , th et e r m w i th p = 0 a n d s = 1 s h o u l d b e r e m o v e d f r o m t h e s u m . I t c o r r e s p o n d s t o t h e d r i v e n f u n d a m e n t a l m o d e o ft h e c a v i t y a n d n e e d s a s e p a r a t e t r e a t m e n t ~~ ). F o r c a v i t ie s w h i c h a r e n o t d r i v e n f r o m a n e x t e r n a l r f p o w e r s o u r c ea n d w h i c h m i g h t e x i s t i n a n e l e c t ro n s t o r a g e r i n g , t h e f u ll f o r m u l a e ( 1 2) a n d ( 1 4) m a y b e u s e d .4 . N u m e r i c a l e v a l u a t i o n o f Z c ff

I n t h is s e c t i o n e s t i m a t e s o f Z e f f w i ll b e o b t a i n e d f o r v a lu e s o f t h e p a r a m e t e r s r e l e v a n t t o e l e c tr o n s t o r a g e r i n g s.T o t h i s e n d , i t i s c o n v e n i e n t t o r e w r i t e Z e f f i n t e r m s o f 4 s c a l e d v a r i a b l e s : h , 2 , / 1 , a n d Q ~ o , d e f i n e d a s fo l l o w s :

h = O91o/O9o, (21 )2 = 9 / b , ( 2 2 )I~ = A / b , ( 2 3 )Q x o = ( b / c ) ( m r c a O l o ) . ( 2 4 )

W e s h a l l c a ll h t h e h a r m o n i c n u m b e r , 2 t h e c a v i ty a s p e c t r a t i o , / ~ t h e n o r m a l i z e d b u n c h l e n g t h , a n d Q ~ o t h eq u a l it y f a c t o r o f th e E o l o m o d e .

I n t h e s e n e w p a r a m e t e r s , t h e e ff e c ti v e i m p e d a n c e o f e q . (1 4 ) b e c o m e s , w h e n c o n v e r t e d t o m k s u n i t s ( b y m u l t i -p l y i n g b y Z o e / 4 ~ , w h e r e Z o = 1 20 re Q is t h e i m p e d a n c e o f fr e e s p a ce ) :

Z e~ , = 4 Z h ~ e x p [ - (rcp~/m)"]~ R sp 1 - ( - 1 ) p c os{ (~ . / /~ ) + e x p [ - ( vd .x ) z ] . ( 2 5 )2 v 1 , = 0 l + 6 p o ~ =1 v m j m ( G ) [1 + (rcp/~v~2)2] 2

H e r e , f l = v / c . I n t h e n e w v a r i a b l e s , w e a ls o h a v e :s i n h 6 ~ pR ~p = " , (26 ) c o s h 6 sp - c o s ( 2 Q~p6.,p)

6s p = ~_..__~h v 2 + ( ~ p / 2 ) 2 3 ~ , ( 2 7 )Y1Qsp

G , , = G o v i ~ r v ~ + ( r cp / .~ ) 2 ] + . ( 2 8 )

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B E A M - C A V I T Y I N T E R A C T I O N I N E L E C T R O N S T O R A G E R I N G S 4 7 9T h e e f fe c ti v e i m p e d a n c e ( 2 5 ) w a s e v a l u a te d o n a c o m p u t e r . A s o n e m i g h t h a v e s u s p e c t e d f r o m t h e a r g u m e n t sg i v e n a b o v e , t h e r e s o n a n t f a c t o r s Rsp a r e v a r y in g t o o r a p i d ly t o y i e l d s m o o t h c u r v e s f o r Z er . W e h a v e th e r e f o r ed e c i d e d t o p r e s e n t o n l y c u r v e s f o r th e m i n i m u m , a v e r a g e , a n d m a x i m u m i m p e d a n c e , u s i n g t h e v a lu e s o f Rspg i v e n i n e q s . ( 1 8 ) a n d ( 1 9 ) . I t m a y b e s e e n f r o m e q . ( 2 6 ) th a t i n t h i s c a se Z e e o n l y d e p e n d s o n t h e r a t i o h /Q l o .F i g . 1 s h o w s t h e r e s u lt s o b t a i n e d f o r a r a n g e o f v a lu e s f o r 2 a n d / z . T h e a v e r a g e i m p e d a n c e d i v i d e d b y t h e h a r m o n i cn u m b e r ( Z e f f ) / h , w h i c h i s i n d e p e n d e n t o f Q l o a n d h , i s s h o w n f o r a w i d e r r a n g e o f 2 a n d # a n d f o r t w o c a se s :f i g . 2 s h o w s (Zef r ) /h f o r a n a c t i v e c a v i t y w h e n t h e E o l o m o d e i s n o t i n c l u d e d i n t h e s u m m a t i o n , a n d f i g . 3s h o w s (Zcrf}/h f o r a p a s s iv e c a v i t y w h e r e t h e E o l o m o d e i s i n c l u d e d . A c o m p a r i s o n b e t w e e n f ig s. 2 a n d 3 s h o w st h a t fo r l o n g c a v i t ie s ( 2 > ~ 1 ) t h e e ff e c t iv e i m p e d a n c e s a r e p r a c t i c a l l y t h e s a m e f o r b o t h c a s e s , w h i l e f o r s h o r tc a v i t ie s ( 2 < 1 ) l e a v i n g o u t t h e E o l o m o d e r e d u c e s ( EC r f} b y a la r g e f a c t o r , a s o n e w o u l d e x p e c t .

T h e e ff e ct o f t h e b e a m e n t r a n c e a n d e x i t p o r t s o n t h e c o u p l i n g i m p e d a n c e h a s b e e n s tu d i e d b y a c o m p u t a t i o n a lp r o c e d u r e i 2 ) f o r f in d i n g t h e c o u p l i n g i m p e d a n c e o f th e i n f in i t e st r u c t u r e s h o w n i n f ig . 4 a t a l l t h e h a r m o n i c s o fo9 o , a n d s u m m i n g o v e r t h e m a c c o r d i n g t o e q . ( 1 2) . T w o n e w p a r a m e t e r s a p p e a r i n th i s c a l c u l at i o n : a /b , t h e r a t i ob e t w e e n h o l e a n d c a v i t y r a d i u s , a n d d /b , t h e r a t i o b e t w e e n t h e c a v i t y s p a c i n g a n d t h e c a v i t y r a d i u s . W e m a d e de q u a l t o o n e r f w a v e l e n g t h . W e h a v e v e r if ie d t h a t c h a n g i n g d/b h a s l i t t l e i n f l u e n c e o n t h e e f f e c t i v e i m p e d a n c e .

F i g s 5 a n d 6 s h o w t h e r e s ul ts o f t h is c a l c u l a ti o n i n te r m s o f " b e a m - p o r t r e d u c t i o n f a c t o r s" . I n o r d e r t o o b t a i nt h e i m p e d a n c e o f a c a v i t y w i t h b e a m p o r t s , t h e v a l u e s s h o w n i n f i g s . 2 a n d 3 m u s t b e m u l t i p l i e d b y t h e f a c t o r ss h o w n i n f i g s . 6 a n d 7 , r e s p e c t i v e l y . T h e s e f a c t o r s a r e a l w a y s s m a l l e r t h a n u n i t y . H e n c e , c a l c u l a t i o n s n e g l e c t i n gt h e b e a m p o r t s a lw a y s o v e r e s t i m a t e t h e im p e d a n c e . F o r ~ < # , i .e . , w h e n t h e b e a m - p o r t r a d iu s is s m a l l c o m p a r e dt o t h e b u n c h l e n g t h , t h e r e d u c t i o n f a c t o r s a r e c l o s e t o u n i t y , a n d t h e e r r o r c o m m i t t e d i n n e g l e c t i n g t h e b e a mp o r t s i s s m a l l . S u b s t a n t i a l r e d u c t i o n s a r e o b t a i n e d w h e n t h e b e a m - p o r t r a d i u s b e c o m e s b i g g e r t h a n t h e b u n c hl e n g t h .

iO s

1 0 5

1 0 4

x : I 0 3N

I x ~~ N " .\ \ " -o? . .\ .

__- . . . . . - ~ . - - % .

I 0 2 /

/ .. . . . . .. _ 1 . _ - 1 _ _ _ _io ~ . / "/

s'iO 0 o" ,,I 0 - 3

- - ' - - X : I 0. F : O " I- - ~ : 0 .~ 1 t ~ L -- O .I. . . . . . . . . . . ) k : 1 . 0 1 / I , L : 0 . 3. . . . . X = 0 . 3 , /U ~= 0 3

x %\% '.

/ . . . . . . . . . . . . ; . ~. . . . . . . . . . . = . . , " _. ." ,~s. / / I p .. / "" , /o. , , , '.o . , , ,.. ,,.." z

i O - Z i O - Ih / Q i o

1 0 o

F i g . 1 . M i n i m u m , a v e r a g e , a n d m a x i m u m i m p e d a n c e o f an a c t i v ec l o s e d c y l i n d r i c a l c a v i t y . 2 i s c a v i t y l e n g t h / c a v i t y r a d i u s , ft isb u n c h l e n g t h / c a v i t y r a d i u s , h i s t h e h a r m o n i c n u m b e r , a n d Q i 0i s t h e q u a li t y f a ct o r o f t h e E 0 i 0 m o d e . T h e i m p e d a n c e o f t h eE 0 i 0 m o d e i s n o t i n c l u de d .

10 2

10 3

i0 1

i0 o0.1 0 . 2 0 . 5 I 2 5 I 0

k

F i g . 2 . A v e r a g e i m p e d a n c e o f a n a c t i v e c l o s e d c y l i n d r i c a l c a v i t y .T h e c o n t r i b u t io n o f t h e E 01 o m o d e i s n o t i n c l ud e d .

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F i g . 7 s h o w s a sp e c if ic e x a m p l e : t h e a v e r a g e i m p e d a n c e o f th e P E P r f s y s te m 2 ) . T h e c a v i t y d i m e n s i o n s a r ea = 6 . 4 c m , b = 3 2 c m , g = 2 2 . 4 c m ; t h e i r n u m b e r i s 9 0 . T h e d e s i g n c u r r e n t i s 8 2 m A i n t h r e e b u n c h e s , a n d h e n c eh = 8 6 4 . A t t h e d e s ig n b u n c h l e n g th , A = 2 . 2 c m , t h e t o t a l e n e r g y l o s s d u e t o h i g h e r m o d e s i s a b o u t 1 0 M e V i ft h e b e a m p o r t s a r e n eg l e c te d , a n d a b o u t 2 .5 M e V i f t h e y a r e t a k e n i n t o a c c o u n t .

5 . C o n c l u s i o n sW e h a v e e v a l u a t e d t h e e n e r g y lo s s o f a b u n c h e d b e a m p a s s i n g t h r o u g h a c l o s e d c y li n d r ic a l l o s s y c a v it y in a ne l e c t r o n s t o r a g e r i n g . O u r r e s u l t s a r e g i v e n i n a se r ie s o f g r a p h s . T h e y s h o w t h a t in t y p i c a l c a s e s t h e e n e r g y

10 3

10 2

i 0 1

O.l0.2

48 0 E . KE I L e t a l.

i 0 o0 .1 0 . 2 0 . 5 I 2 5 I 0

),.

-2N

F i g . 3 . A v e r a g e i m p e d a n c e o f a pass ive c losed cy l indr ica l cav i ty .T h e c o n t r i b u t i o n o f t h e E 0 1o m o d e i s inc luded .

I_I

o0, , < 0 . 5zot.)c 3wn -

n -oCL0.22;

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10 3

m - - m

i o 2

I 0 I

I 0 o

\ \ \ [ I I I [ 1

\ \ B e a m P o r ts N e g l e c te d I 0\ \\ " ,

B e a m P o r ts I n c lu d e d ~ \ |I I I r \ ~ q o . ~0 2 4 6 8 I 0A ( c m )

Fig . 7 . Av erag e imp ed an ce an d en erg y lo ss d u e to th e PE P r fsy s tem. Th e co n t r ib u t io n o f th e E0 10 mo d e i s n o t in c lu d ed .

B E AM - C AVI T Y I NT E R AC T I ON I N E L E C T R ON S T OR AGE R I NGS 4 81

I / t / r

- IFig . 8 . Geo metry o f a c lo sed cy l in d rica l cav i ty .

l o s s d u e t o t h e e x c i t a t i o n o f t h e c a v i t i e s a d d s a s i g n if i c a n t a m o u n t t o t h e e n e r g y lo s s d u e t o s y n c h r o t r o n r a d i a t i o n .T h e r e f o r e t h e r f s y s t e m o f th e s e s t o r a g e r in g s m u s t b e d e s i g n e d t o h a n d l e t h i s a d d i t i o n a l p o w e r l o s s , b y i n -c r e a s i n g t h e r f v o l t a g e a n d h e n c e t h e t o t a l r f p o w e r i n s t a ll e d b e y o n d w h a t w o u l d h a v e b e e n n e c e s s a ry t o h a n d l es y n c h r o t r o n r a d i a t i o n a l o n e .

O u r c a l c u l a t i o n h a s b e e n d o n e f o r m a c h i n e s w i t h e i t h e r a s in g l e b u n c h i n t h e b e a m , o r w i t h s e v e r a l e q u i -d i s t a n t b u n c h e s w i t h e q u a l p o p u l a t i o n s . I t c o u l d ea s i ly b e e x t e n d e d t o c a s e s w i t h u n e q u a l b u n c h e s w i t h u n e q u a ls p a c i ng s , o r t o t h e c a s e o f t w o c o u n t e r - r o t a t i n g b e a m s .

S i n c e t h e b e a m - c a v i t y i n t e r a c t i o n p r o d u c e s s u c h a l a r g e c o h e r e n t e n e r g y l o s s, i t m u s t b e e x p e c t e d t h a t i t s t r o n g l ya f fe c t s t h e s y n c h r o t r o n m o t i o n 1 3 ) , a s w e ll a s o t h e r p h e n o m e n a s u c h a s b u n c h l e n g t h e n i n g .

T h e a u t h o r s a r e g r a te f u l t o H . G . H e r e w a r d f o r c a r e f u l l y r e a d i n g t h e m a n u s c r i p t a n d p o i n t i n g o u t a n u m b e ro f s m a l l e r ro r s i n th e f ir s t v e r s i o n , a n d t o R . A . E a r l y ( S L A C ) a n d A . K e n n e y ( L B L ) f o r t h e i r h e l p w i t h t h ec o m p u t a t i o n s .References1 ) Su p erad o n e Des ig n S tu d y , INFN (1 9 7 4 ) .g) Repo r t LBL-2688/SLAC-171 (1974) .a ) G . H . R ees e t a l ., P ro c . IX th In te rn . C o n f . o n High energy accelerators (Stan ford , 1974) p . 548.4 ) Pe t r a P ro p o sa l , DESY (19 7 4) .5) Re por t BN L 18891 (1974) ,6 ) y . Or lo v (Yerev an ) , p r iv a te co mm u n ica t io n , 1 97 1 ; P . L . M o r to n (SLAC ) , p r iv a te co mm u n ica t io n , 1 9 7 3 .7) E. Keil , ISR/TH/69-49 (1969) ; and Proc. VII th In tern . Conf . on High energy accelerators (Yerev an , 1 9 6 9 ; Aca d em y o f Sc ien ceso f Arm en ia S SR , 1 9 70 ) v o l . I I , p . 5 5 1 .8) A. M. Sessler , IEEE Trans. Nucl . Sci . NS-18, no . 3 (1971) 1039.9) p . B . Wilson , Proc. IXth In tern . Conf . on High energy accelerators (Stanford , 1974) p . 57 .a0) M. Sands, PEP-90, SLAC (unpublished) .11) p . L. Morton and V. K. Neil , Proc. Symp. Electron ring accelerators, LR L R ep o r t U C R L 1 8 10 3 (19 6 8) p . 3 6 5.12) E. K eil and B. Zotter , P ar t icle Acc elerat ors 3 (1972) 11.as) M. H. R. Donald , RHEL Repor t RL-74-154 (1974) ,

Appendix AElectromagnetic.fieM in a closed resistive cylindrical cavity

T h e c a v i t y c o n s i d e r e d i s s h o w n i n f ig . 8 . I t h a s c y l i n d r i c a l s y m m e t r y a r o u n d t h e z - a x is , t h e b e a m d i r e c t i o n ,i n f i ni t e c o n d u c t i v i t y o n t h e w a l l s p e r p e n d i c u l a r t o z , a n d c o n d u c t i v i t y a o n t h e w a l l p a r a l l e l t o z . U s i n g c y l i n d r i c a l

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4 8 2 E . K E I L e t a l.c o o r d i n a t e s r , 0 , z , w e a s s u m e t h a t a l l d e r i v a t i v e s w i t h r e s p e c t t o 0 v a n i s h , a n d t h a t t h e o n l y n o n - z e r o c o m p o n e n to f th e c u r r e n t d e n s i t y i s:

j ~ = I ( z - v t) 6 ( r ) / 2 r t r , ( 2 9 )

w h e r e I ( z - v t ) i s t h e in s t a n t a n e o u s c u r r e n t a t p o s i t i o n z a n d t i m e t .M a x w e l l ' s e q u a t i o n s a r e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e v e c t o r a n d s c a l a r p o t e n t i a l s A , ~b, u s i n g t h e L o r e n t z g a u g e .W e o b t a i n A r = A o = 0 , a n d :

[ ] A z = - ( 4 r t / c ) J z , ( 3 0 )I -- ]q5 = - 4 r c p , (31 )OAz + 1 Oq~ = 0 . (32 )a z c a t

T h e b o u n d a r y c o n d i t io n s a r e :E r = 0 , f o r z = 0 a n d z = g ,/~z = N / 4 0 , f o r r = b .

H e r e , E z a n d H 0 a r e t h e F o u r i e r t r a n s f o r m s o f E z a n d H o , r e s p e c t i v e l y ; i . e . ,E z ( r , z , t ) = ~ E z ( r , z , o J) e x p ( - i o J t ) d o g .J

T h e w a l l i m p e d a n c e :

s a t is f i es t h e c o n d i t i o n := ( 1 - i ) ( o )/ 8~ z a ) ,

~ ( - ~ ) = e * ( @ ,w h e r e t h e a s t e r i s k d e n o t e s t h e c o m p l e x c o n j u g a t e .

W e n o w w r i t e A z a n d q5 i n t h e f o r m :A z = p = o f A , ( c o , r ) c o s O r p z / g ) e x p ( - i c o t ) d c o ,

q~ = ~ f B . ( oo , r ) s i n ( n p z / g ) e x p ( - i a ) t ) d o ) ,p=O da n d o b t a i n f r o m e q . ( 3 2) :

B . ( ~ o , r ) = ( i c / o ) ) ( u p ~ g ) A p ( a ) , r ) .N o w , e q . ( 3 3 ) i s a u t o m a t i c a l l y s a t i s fi e d , a n d e q s . ( 3 0 ) a n d ( 3 4 ) a r e r e d u c e d t o :

1 O ( O A e ~ 8 7 c c p ( o 9 ) 6 ( r )- ~ -r r -~r / + 2 Z A " =r c g ( 1 + 5 p o ) 2 n rA p(~o , b ) - i~o ~ a A p ,

c 2 z ~ r r ,= bw h e r e :

( 3 3 )( 3 4 )

( 3 5 )

( 3 6 )

( 3 7 )

(38)

( 3 9 )

( 4 0 )

(4 0

( 4 2 )

22 = (a) /c ) 2 - - Orp/#) z , ( 4 3 )

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B E A M - C A V I T Y I N T E R A C T I O N I N E L E C T R O N S T O R A G E R I N G S 48 3a n d :

%(CO) = dz exp (iC O t) o s ( rc p z /g ) I ( z - v t ) d r . (44)- c oT h e s o l u t i o n o f e q. ( 41 ) c a n b e w r i t te n a s t h e s u m o f t h a t s o l u t i o n o f t h e h o m o g e n e o u s e q u a t i o n w h i c h is f in i tef o r r = 0 , a n d a s o l u t i o n o f th e i n h o m o g e n e o u s e q u a t i o n , c h o s e n s u c h a s to d e s c r i be o u t g o i n g w a v e s a t r ~ ~ :

2 h iA p = a p Jo (2 r) + H(oX)(2r) cp(CO). (45)cg (1 + 6po )T h e f a c t o r a p i s d e t e rm in ed b y eq . (4 2) , wh ich y i e ld s :

{ H(oi)(2b) + ( iCO/c2)~ H~ l)(2b) _H (ol )(2r) } (46)p(CO, r) = - 2h i %(CO) jo (2 r)c g (1 + 5~o Jo (2b) + (iCO/c2) ~ J 1 (2b)

Appendix BE n e r g y l o s s o f p a r t i c l e s c r o s s i n g a c a v i ty

C o n s i d e r o n e o f th e c h a r g e d p a r t i c le s i n t h e b e a m , m o v i n g a l o n g t h e t r a j e c t o r y :z = v t + Z k , (47)r = O .

Th e en e rg y l o ss o f t h i s p a r t ic l e i s o b t a in ed b y i n t eg ra t i n g t h e fo rce ac t i n g o n i t o v e r t h e t ime t ak e n t o c ro ssth e cav i t y :

I (o- z k) /vW k = e v E ~ ( r = O , z = v t + z k , t ) d t . (48)d- z k / vSince:

we obta in , us ing eqs . (38) to (40):

wh ere :

O(o i ~A zg z - - _ _ ,Oz c t3t

W k = e v ~ ( + ~ i c 2 2p=O d-~ CO

- - A p ( C O , O ) c p k (C O ) d C O , (49)

i ( g - z k ) / vCpk (CO) = exp (- - iCOt) co s [~ p ( v t + Z k ) /g ] d t .d - z k / vW e n o w i n t r o d u c e a n e x p l i c i t e x p r e s s i o n f o r t h e b e a m c u r r e n t / :

I ( z - v t ) = e v ~ ~ ~ ( z - - v t - - z k - - n v r ) .n = - - o o k = l

(50)

(51)He re , T is t h e t im e i n t e rv a l b e tween su ccess iv e b u n ch es , each co n t a in in g N p a r t i c le s . Th e s u m o v e r n d esc r ib esth e p assa g es o f t h e b u n ch t h ro u g h t h e cav i t y . Us in g eq . (5 1) , t h e q u an t i t y %(o9 ) d e f i n ed in eq . (4 4) can b e w r i t t enas fo l l o ws :

+ c o N% ( o9 ) = e v ~ e x p ( - i c o n T ) ~ c p k ( - c o ) . ( 52 )2re , = - ~ k = l

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484 E. KE IL et al.P u t t i n g e q . ( 5 2 ) i n t o e q . ( 4 6 ), a n d t h e l a t t e r i n t o e q . ( 4 9 ), y i e ld s f o r t h e e n e r g y lo s s o f t h e k t h p a r t ic l e :

e 2 v 2 x~ 1 [ " + ~ sW k - - L . - J d o ) P (O )) ~ e x p ( - i o ) n T ) Z C p m ( - - O ' ) ) C p k ( O ' ) ) " (53)g p = 0 1 - t- 0 p 0 n = - o o m = lH e r e , w e h a v e o m i t t e d t h e t e r m H ( l ) ( 2 r ) i n eq . ( 46 ) s i n ce i t d e s c r i b e s t h e s e lf -f ie l d o f th e b e a m i n v a c u u m , a n di n t r o d u c e d :

2 2 H( o ' )( 2 b ) + ( io )/ c2 ) ~H ~l ) ( 2 b )P ( o ) ) = - - ( 5 4 )co Jo ( Xb ) + (io ) /c2 ) ~ J 1 ( 2 b )T h e a v e r a g e e n e r g y l o s s W c a n b e d e f i n e d as :

W = - - 1 ~ W k . (55)Nk=l

I t is i m m e d i a t e l y o b v i o u s f r o m e q s . ( 5 3) to ( 5 5 ) t h a t f o r ~ = 0, t h e a v e r a g e e n e r g y l o s s W v a n is h e s . F o r t h ec a s e ~ 0 , t h e a v e r a g e e n e r g y l o s s c a n b e w r i t t e n a s f o l lo w s :

e2v 2 ~ 1 f +0o NW = - - [P (O )) + P ( - O ) ) ] ~ e x p ( - i o ) n T ) ~ % , ( - o ) ) Cpk(o)) d o ) . ( 5 6 )2 N o p = o l + 6 p o . = - ~ k , m = lB y u s i n g t h e r e l a t io n s h i p :

J o ( z ) H ] 1 ) ( z ) - J 1 ( z ) H ( o l )( z ) = - 2 i / n z ,an d b y e v a lu a t in g cpk ( co ) f r o m eq . ( 5 0 ) , eq . ( 5 6 ) b eco m es :

2 e 2 ~" ( ~ + ~ * ) o ) 2 d o) 1 - ( - 1 ) p c o s ( o ) 9 /v )W nN bo c v 2 p=~o 1 + 6po [ Jo ( 2 b ) + ( io ) ~ /c 2 ) Ja ( 2 b ) ] [ Jo ( 2 b ) - ( i o ) ~ /c 2 ) J~ ( 2 b ) ] [ (T rp /# ) 2 - ( o ) /v ) 2 ] 2x ~ e x p - i o ) n T + . (57)

n= O k ,m =l V

A t t h i s p o i n t , w e m a y u s e t w o a l t e r n a t i v e w a y s t o p e r f o r m t h e i n t e g r a t i o n o v e r o ). W e m a y e i t h e r e x p l o i t t h ep e r i o d i c i t y o f t h e b u n c h c u r r e n t d r i v i n g t h e c a v i t y , o r w e m a y i n t e g r a t e o v e r c o i n t h e c o m p l e x p l a n e , u s i n gt h e r e s i d u e t h e o r e m w h i c h y i el d s W a s a s u m o v e r th e c a v i t y r e s o n a n t f r e q u e n c ie s . T h e s u m s o v e r k a n d m c a ns u b s e q u e n t l y b e e v a l u a t e d o n c e t h e b u n c h s h a p e i s g i v e n . I n t h e f o l l o w i n g , w e s h a l l a s s u m e a G a u s s i a n b u n c hs h a p e , r e p l a c i n g t h e s u m o v e r k b y a n i n t e gr a l :

N f + ~--* ~ e x p ( - z ~ / 2 A 2 ) d Z k . (58)k = 1 ( 2 ~ ) * A -

U s i n g t h e f i rs t w a y , w e r e p l a c e t h e s u m o v e r n in e q . (5 7 ) b y t h e P o i s s o n s u m f o r m u l a :+oo +oo~ ] e x p ( - i o ) n T ) = o ) o ~ ] 6 ( o ) - n o ) o ) , (59)

n= - -oo n~ - -oo

w i t h o ) o = 2~/T, a n d o b t a i n :W = 8 e 2o )~ N ~ ~ n z 1 - ( - 1 ) P c s ( n o ) o l v ) ( n o ) ) ~rc bov Z c . = o , = o l + 6 p o I(--rip/9)- -- -i -- -- ( n w o lv )Z ] \ 8 n a / D . ~ , e x p ( - n Z o ) ~ A 2 1 v Z ) , (60)

w h e r e :D , ,; ' = J o ( 2 , p b ) - n o ) - - - - (n o ) ~ d l ( 2 , , p b ) 2 + n o ) o ( n o ) o y d , ( 2 ,, p b ) , (61)c 2.p \ 8 z a / \ 8 h a /

8/14/2019 keil 1975 0094

11/11

B E A M - C A V I T Y I N T E R A C T I O N I N E L E C T R O N S T O R A G E R I N G Sa n d :

= ( . o o l c Y -

U s i n g t h e s e c o n d w a y , n a m e l y th e r e s i d u e t h e o r e m , w e f in d :I - 8e 2N ~ ~ g s pe x p1 - - (c ~ pA / v ) 2] 1 --(--1)__~Pc o s ( c o ~ j / v )2 j2(v s ) 1-1 + (r~pb/?v~g)2]2 "g p=o ~=1 (l+ ,~p o) vs

T h e r e s o n a n t f a c t o r R~p is :

485

(62)

(63)

s in h (Tzcosp/co Qsp) (64)R,p = csh(nC~p/CoQsp) _ cos(2rCCOsp/COo).

Th e re s o n a n t f req u en c i e s co sp a re g iv en b y :(co,p/c)2 = (vs/b)2 + (up~g)2, (65)

wh e re v s i s th e s t h ro o t o f t h e eq u a t i o n Jo (v ~) = 0 . T h e q u a l i t y fac to r i s g iv en b y :Q,p = (b/c) (2 / r t rCOsp ) ~k. (66)

In ev a lu a t i n g eq . (6 3 ), t h e p o s i t i o n o f t h e p o l e s h as b een d e t e r m in ed t o f i r st o rd e r i n ~ , an d a l l t e rms i nW , e x c e p t th e r e s o n a n t f a c t o r R ~ p , h a v e b e e n e v a l u a t e d f o r ~ = 0 .