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Juliana Maria Meza López
Modelagem do Trincamento de Misturas Asfálticas pelo Método dos Elementos Discretos
Dissertação de Mestrado
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil.
Orientador: Celso Romanel
Co-orientadora: Laura Maria Goretti da Motta
Rio de Janeiro
Agosto de 2010
Juliana Maria Meza López
Modelagem do Trincamento de Misturas Asfálticas pelo Método de Elementos Discretos
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Mestre pelo Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada.
Prof. Celso Romanel Orientador
Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Profa. Laura Maria Goretti da Motta Co-orientadora
Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ/COPPE
Profa. Christianne de Lyra Nogueira Universidade Federal de Ouro Preto
Profa. Michéle Dal Toé Casagrande Departamento de Engenharia Civil – PUC-Rio
Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do
Centro Técnico Científico - PUC-Rio
Rio de Janeiro, 06 de Agosto de 2010
Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, da autora e do orientador.
Juliana Maria Meza López Graduou-se em Engenharia Civil pela Universidad Nacional de Ingenieria (UNI), em 2006, iniciando o curso de mestrado em Engenharia Civil na Pontifícia Universidade Católica de Rio de Janeiro (PUC-Rio) em 2008, na área de Geotecnia, onde desenvolveu a presente dissertação na linha de pesquisa Geomecânica Computacional com aplicação no comportamento de pavimentos.
Ficha Catalográfica
Meza López, Juliana Maria
Modelagem do trincamento de misturas asfálticas pelo método dos elementos discretos / Juliana Maria Meza López; orientador: Celso Romanel; co-orientadora: Laura Maria Goretti da Motta. – 2010.
114 f. : il. (color.) ; 30 cm
Dissertação (mestrado)-Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 2010.
Inclui bibliografia
1. Engenharia civil – Teses. 2. Método dos elementos discretos. 3. Misturas asfálticas. 4. Trincamento de pavimentos. 5. Teória da mecânica da fratura linear elástica. 6. Propagação de fissuras, processo de zona de fratura. 7. Modelagem numérico. 8. PFC-2D. I. Romanel, Celso. II. Laura Motta, Maria Goretti da. III. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Departamento de Engenharia Civil. IV. Título.
CDD: 624
Para meus amados pais Carlos e Marlene
e aos irmãos Carlos e Jimena pelo apoio e compreensão. Para minha avó Maria Concepcion (in memorian)
E ao meu avô Nacianceno
Agradecimentos
À Deus por iluminar meu caminho e por me dar forças para seguir sempre
em frente.
Ao professor Celso Romanel por sua disposição em me ajudar e por suas
idéias, sugestões e críticas para o bom andamento deste trabalho.
À Professora Laura Maria Goretti da Motta, pela co-orientação, ajuda e
interesse.
Ao amor de minha vida Nilthson, que foi e é meu apoio nos momentos mais
difíceis.
À minha amada família: meus pais Carlos e Marlene e meus irmãos Carlos e
Jimena pelo grande apoio, carinho e compreensão durante esta etapa de estudo. À
minha querida tia Norma e primos Ficher e Alina.
Aos professores do setor Geotecnia do DEC da PUC-Rio, pelo ensino
acadêmico e motivação dada ao longo do mestrado.
Às professoras, Christianne e Michéle, membros da Comissão Examinadora,
pelas sugestões neste trabalho.
À UNI (Universidad Nacional de Ingenieria ), em especial aos professores
Zenon Aguilar e Milagro Castro (in memoriam) pela formação na graduação, base
dos conhecimentos aqui continuados.
6
Ao Brasil e a CAPES, pelo auxílio financeiro.
Aos colegas da PUC-Rio, pela ajuda acadêmica, pessoal e pelos momentos
de convívio. E em especial a Rafael, Evelyn, Antonio, Elvis, Gricell, Gino,
Phillips, Julio, Alejandra e Jose Roca
À engenheira e pesquisadora Sandra Oda do Laboratório de Misturas
Asfálticas da COPPE agradeço por sua ajuda desprendida neste trabalho.
À Rita de Cassia pela constante apoio e amizade.
Um agradecimento especial à Paula Teixeira pela amizade, apoio e
compreensão.
Resumo
Meza López, Juliana Maria; Romanel, Celso (orientador); Motta, Laura Maria Goretti (co-orientadora). Modelagem do Trincamento de Misturas Asfálticas pelo Método dos Elementos Discretos, Rio de Janeiro, 2010. 114 p. Dissertação de Mestrado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
O trincamento de camada de mistura asfáltica é o principal tipo de
deterioração das rodovias, e o presente estudo pretende contribuir para
conhecimento dos processos de fissuramento com o objetivo de incorporar novos
parâmetros mecânicos para melhorar projetos de pavimentação rodoviária . A
modelagem computacional através do Método dos Elementos Discretos (MED),
permitiu fazer uma simulação da iniciação e da propagação do trincamento em um
ensaio de tração direta chamado de Disco Circular com Fenda (Disk Shaped
compact), considerando uma abordagem da teoria da mecânica da fratura elástica
linear (MFEL) e a incorporação do modelo constitutivo de zona coesiva (MZC).
As modelagens realizadas permitiram inferir o comportamento de corpos de prova
de Disco Circular com Fenda DC(T) feitos em laboratório. O método dos
elementos discretos monstrou-se uma ferramenta apropriada para realizar este tipo
de simulação. Também foram feitas análises da sensibilidade da resposta do
modelo em relação a diversos parâmetros mecânicos do material: módulo de
Young (E), resistência à tração (RT) e energia da fratura (Gf). Este último
parâmetro foi obtido da área sob a curva tração-deslocamento da abertura da boca
da trinca (CMOD). A análise foi realizada considerando o corpo como material
homogêneo atribuindo-se a todas as partículas propriedades idênticas. A
modelagem numérica 2D foi executada através do programa comercial PFC2D
baseado no MED.
Palavras-chave
Método dos elementos discretos; Misturas asfálticas; Trincamento de
pavimentos; Teoria da mecânica da fratura elástica linear; Propagação de trincas;
Processo de zona de fratura, Modelagem numérico; PFC-2D.
Abstract
Meza López, Juliana Maria; Romanel, Celso (Advisor); Motta, Laura Maria Goretti (Co-Advisor). Crack Modeling in Asphalt Mixtures by the Discrete Element Method. Rio de Janeiro, 2010. 114 p. MSc. Dissertation - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro.
The cracking of asphalt mixture layers is the main type of deterioration of
roads in Brazil, and this study aims to contribute to improve the knowledge of
cracking processes in order to incorporate new mechanical parameters into road
pavement projects. Computer modeling by the Discrete Element Method (DEM),
permitted the simulation of the initiation and the propagation of cracking in a
tensile test called Direct Circular Slotted Disc (Disk Shaped Compact), whose
interpretation is based on the theory of linear elastic fracture mechanics and
considering an specific elastoplastic model known as the cohesive zone model
(CZM). Results of Direct Circular Slotted Disc tests were obtained in laboratory
and interpreted by numerical simulations using the discrete element method, with
good results. The sensitivity of model response with respect to various mechanical
parameters, such as the Young's modulus (E), the tensile strength (RT) and the
fracture energy (Gf) was also analyzed. This last parameter (Gf) was obtained
considering the area under the traction-displacement curve from the Crack Mouth
Opening Displacement (CMOD) test. The analyses were carried out considering
the body as a homogeneous material, assigning to all particles identical properties.
The 2D numerical model was analyzed using the commercial software PFC2D
based on the discrete element method (MED).
Keywords
Discrete element method; Cracking of pavements; Theory of linear elastic
fracture mechanics; Crack propagation; Fracturing process zone; Numerical
modeling; PFC2D.
Sumário
Lista de Símbolos 16
Lista de Abreviaturas 19
1 . Introdução 20
1.1. Relevância e Justificativa da Pesquisa 20
1.2. Objetivo da Pesquisa 26
1.3. Organização da Dissertação 26
2 . Mecânica da Fratura 28
2.1. Introdução 28
2.2. Teoria da Mecânica da Fratura 29
2.2.1. Mecânica da Fratura Linear Elástica 29
2.2.2. Mecânica da Fratura Elasto-Plástica 35
2.3. Propagação de Trincas no Modo Misto I-II 38
2.4. Direção de Propagação de Trincas 41
2.4.1. Direção de Propagação da Fissura 41
3 Programa PFC2D 47
3.1. Introdução 47
3.2. O programa PFC2D 48
3.2.1. Forças nos contatos 51
3.2.2. Modelo Constitutivo no Contato 56
3.2.3. Modelo de Zona Coesiva com Amolecimento 60
4 Modelagem Numérica da Propagação de Trincas no Ensaio DC(T) 66
4.1. Introdução 66
4.2. Ensaio DC(T) ou de Tração em Disco Circular com Fenda 66
10
4.2.1. Geometria dos Corpos de Prova 67
4.2.2. Preparação dos Corpos de Prova e Execução do Ensaio DC(T) 68
4.3. Parâmetros Mecânicos do Ensaio DC(T) 72
4.3.1. Módulo de Elasticidade 72
4.3.2. Resistência à Tração Estática (Ensaio Brasieliro) 73
4.3.3. Energia de Fraturamento 74
4.4. Simulação Numérica do Ensaio DC(T) 75
4.4.1. Geração e Arranjo de Particulas 76
4.4.2. Condições de Contorno 79
4.4.3. Condições Iniciais e Aplicação dos Deslocamentos 79
4.5. Propagação da Trinca na Modelagem do Ensaio DC(T) 80
5 Apresentação e Análises dos Resultados 90
5.1. Aferição da Curva Força vs Deslocamento 90
5.2. Análises Paramétricas 93
5.2.1. Grupo I: Corpos de Prova do Grupo A (CP_A) 94
5.2.2. Grupo II: Corpos de Prova do Grupo B (CP_B) 97
5.2.3. Grupo III: Corpos de Prova do Grupo III (CP_C) 101
5.2.4. Grupo IV: Corpos de Prova do Grupo IV ( CP_D). 104
6 Conclusões e Sugestões 106
6.1. Conclusões 106
6.2. Sugestões para trabalhos futuros 107
Referências Bibliográficas 108
11
Lista de figuras
Figura 1.1 – Sistema de camadas de um pavimento e carregamentos
solicitantes (Albernaz, 1997) 20
Figura 1.2 - (a)Trincas interligadas chamadas “Jacaré” com erosão nas
bordas por fadiga, (b) Trinca por reflexão da base. (c) Trinca térmica,
que ocorre somente em países frios, geralmente sob temperaturas
inferiores a -10ºC (Motta, notas de aula) 21
Figura 1.3 – Longa trinca longitudinal causada pelo tráfego. 22
Figura 1.4 - (a) Vigota de asfalto submetida à flexão; (b) Corpo
de prova semicircular ( Marasteanu et al., 2007; Wagoner et al., 2004). 23
Figura 1.5 - Corpo de prova com trinca previamente iniciada
(Wagoner, 2006) 24
Figura 2.1 - Entalhe elíptico em uma placa plana ( Miranda,2003) 30
Figura 2.2 – Modelo usado por Griffith, 1920 (Miranda, 2003) 31
Figura 2.3 – Os três modos básicos de fraturamento 32
Figura 2.4 - Distribuição das componentes de tensão nas vizinhanças
da ponta de uma trinca. (Miranda, 2003) 34
Figura 2.5 - Conceito de CTOD ( Crack Tip Opening Displacement) 37
Figura 2.6 - O tamanho da região plastificada e sua relação
com a abertura da ponta da fratura δ 37
Figura 2.7 - Esquema de um caminho escolhido no método da integral J. 38
Figura 2.8 - Uma fratura sob modo misto I-II: (a) configuração
de carregamento; (b) tensões na fratura (Whittaker et al. 1992) 39
Figura 2.9 - Possíveis envoltórias de fratura no modo misto I-II
de fraturamento (Whittaker, et al. ,1992). 41
Figura 2.10 - Fratura ramificada (Whittaker et al.,1992). 43
Figura 3.1 – Etapas básicas do método dos elementos discretos. 48
Figura 3.2 – Procedimento geral de solução no programa PFC-2D 50
Figura 3.3 – Características do contato partícula-particula e
partícula-parede (Mejia, 2009) 53
Figura 3.4 – Modelos constitutivos de contato. 56
Figura 3.5 – Componente normal da força de contato na ligação
12
(Itasca, 2003) 59
Figura 3.6 – Componente tangencial da força de contato ligação
(Itasca, 2003) 59
Figura 3.7 – Esquema de ligação paralela no contato (Mejia, 2009) 60
Figura 3.8 – Comportamento do material em ensaio de ruptura sob
deformação controlada (a) material frágil (b) material dúctil (Soares,1997) 61
Figura 3.9 – Modelo de Zona Coesiva de Barenblatt (1959). 61
Figura 3.10 – Esquema de uma zona coesiva no ensaio DC(T)
(Buttlar, 2007) 63
Figura 3.11 – Modelo bilinear de zona coesiva com amolecimento
(Kim, 2007) 63
Figura 3.12 - Esquema de uma zona coesiva, segundo Kim ( 2007). 64
Figura 4.1 – Nomenclatura e dimensões dos corpos de prova
(Wagoner, 2006) 67
Figura 4.2 - Compactador giratório utilizado na moldagem dos
corpos de prova no Laboratório de Pavimentação da COPPE/UFRJ
(Hirsch,2009). 68
Figura 4.3 – Corte e faceamento dos corpos de prova (Hirsch,2009). 69
Figura 4.4 - Etapas de preparação dos furos de carregamento nos
corpos de prova no Laboratório de Geotecnia da COPPE/UFRJ –
(Hirsch,2009). 69
Figura 4.5 – Execução dos chanfros nos corpos de prova (Hirsch,2009). 70
Figura 4.6 – Fixação de duas placas de alumínio na amostra para
conexão ao clip-on-gage 70
Figura 4.7 - -Corpo de prova na prensa de carregamento (Hirsch,2009) 71
Figura 4.8 - Equipamento utilizado na realização do ensaio
no Laboratório de Pavimentação da COPPE/UFRJ (Hirsch, 2009). 71
Figura 4.9 – Mòdulo de Elasticidade E 73
Figura 4.10 - Equipamento para ensaio de resistência à tração
estática (Bastos, 2010). 74
Figura 4.11 - Curva força vs abertura da boca da trinca (CMOD)
(Wagoner, 2004). 75
Figura 4.12 – Curva força vs abertura da trinca (CMOD) obtida nas
Histórias do programa PFC-2D. 76
13
Figura 4.13 - Número de partículas necessárias para gerar a geometria
do DC(T) considerando arranjos hexagonal e quadrado para três
valores de diâmetros de partícula ( 0,25; 0,50 e 1,00 mm). 77
Figura 4.15 – Contato coesivo e ligação paralela entre contatos 78
Figura 4.16 - Furos representados por segmentos de parede reta no DC(T) 79
Figura 4.17 - Abertura da boca da trinca e vetores de deslocamentos sob taxa
de velocidade constante de afastamento dos furos de carregamento do DC(T) 80
Figura 4.18 - Trincas na região dos furos na modelagem computacional
obtidas na presente pesquisa. 80
Figura 4.20 - DC(T) na condição inicial, antes do inicio dos
deslocamentos dos furos de carregamento. Passo de tempo 400,
onde não se aplicou ainda o carregamento no corpo de prova. 82
Figura 4.21 - DC(T) com arranjo hexagonal no passo de tempo
15601 com tração máxima de 41.27N. 82
Figura 4.22 - DC(T) com arranjo hexagonal no passo de tempo
24916 com tração máxima 336.3 N. 83
Figura 4.23 - DC(T) com arranjo hexagonal no passo de tempo
26660 com tração máxima 381.2 N. 83
Figura 4.24 - DC(T) com arranjo hexagonal no passo de tempo
28880 com tração máxima 380.1 N. 84
Figura 4.25 - DC(T) com arranjo hexagonal no passo de tempo
29600 com tração máxima 375.5 N. 84
Figura 4.26 - DC(T)com arranjo hexagonal no passo de tempo
30925 com tração máxima 363.9 N. 85
Figura 4.27 - DC(T) com arranjo hexagonal no passo de tempo
42416 com tração máxima 377.4 N. 85
Figura 4.28 - Processo de faturamento progressivo na simulação do
ensaio DC(T). 86
Figura 4.29 - DC(T) com arranjo quadrado no passo de tempo 65. 87
Figura 4.30 - DC(T) com arranjo quadrado no passo de tempo 16912. 87
Figura 4.31 - DC(T) com arranjo quadrado no passo de tempo 20721. 88
Figura 4.32 - DC(T)com arranjo quadrado no passo de tempo 33268. 88
Figura 4.33 - DC(T) com arranjo quadrado no passo de tempo 35103. 89
Figura 5.1 - Curvas força vs abertura da trinca (CMOD) obtidas
14
numericamente (nesta pesquisa) e experimentalmente por Hirsch (2009) 91
Figura 5.2 - Energia de fratura das curvas força vs abertura de trinca (CMOD). 92
Figura 5.3 - Curvas força vs abertura de trinca (CMOD) para 6 corpos
de prova do grupo CP_A mantendo-se a resistência à tração constante. 94
Figura 5.5 - Relação entre energia de fratura (Gf) e rigidez da partícula
nos corpos de prova CP_A do grupo I. 96
Figura 5.6 - Relação entre a energia de fratura (Gf) e módulo de
elasticidade nos corpos de prova CP_A do grupo I. 96
Figura 5.7 - Relação linear entre a rigidez da partícula e o módulo de
elasticidade. 97
Figura 5.8 - Curvas força vs abertura de trinca (CMOD) para 6 corpos
de prova do grupo CP_B mantendo-se o módulo de elasticidade constante. 98
Figura 5.9 - Energia de fratura nos 6 corpos de prova do grupo II (CP_B). 99
Figura 5.10 - Relação entre a energia de fratura (Gf) e a resistência de
ligação nos corpos de prova do grupo II (CP_B). 99
Figura 5.11 - Relação entre a energia de fratura (Gf) e a resistência
à tração nos corpos de prova do grupo II (CP_B). 100
Figura 5.12 - Relação entre a resistência da ligação vs resistência
à tração nos corpos de prova do grupo II (CP_B). 100
Figura 5.13 - Curvas força vs abertura de trinca (CMOD) para 5 corpos
de prova do grupo III considerando-se a resistência à tração constante. 101
Figura 5.14 - Curvas força vs abertura de trinca (CMOD) para 3 corpos
de prova do grupo III considerando-se a resistência à tração constante. 102
Figura 5.15 - Energia de fratura em 5 corpos de prova do grupo III (CP_C). 103
Figura 5.16 - Energia de fratura em 3 corpos de prova do grupo III (CP_C). 103
Figura 5.17 - Curvas força vs abertura de trinca (CMOD) para 3 corpos de
prova do subgrupo CP_DA (resistência à tração constante em 1.429 MPa)
e dois corpos de prova do subgrupo CP_DB (resistência à tração
constante em 1.314 MPa). 104
Figura 5.18 - Energia de fratura em 3 corpos de prova do subgrupo
CP_DA e 2 corpos de prova do subgrupo CP_DB. 105
15
Lista de tabelas
Tabela 3.1 – Número máximo de partículas em função da
memória RAM disponível (PFC2D, 2003). 49
Tabela 3.2 - Versões do modelo de zona coesiva propostas na
literatura (Kim, 2007). 65
Tabela 4.1 – Dimensões em (mm) recomendadas pela ASTM D7313/07 67
Tabela 4.2 - Propriedades e arranjo das partículas nas simulações
computacionais. 77
Tabela 5.1 Fator de calibração da energia de fratura no modelo numérico. 91
Tabela 5.2 – Propriedades em macro e mesoescalas das curvas
experimental e numérica calibrada, respectivamente. 92
Tabela 5.3 - Propriedades mecânicas e energia de fraturamento
nos corpos de prova do grupo CP_A 95
Tabela 5.4 - Propriedades mecânicas e energia de fratura nos corpos
de prova do grupo II (CP_B). 98
Tabela 5.5 - Propriedades mecânicas e energia de fratura nos 8 corpos
de prova do grupo III. 102
Tabela 5.6 - Propriedades mecânicas e energia de fratura nos corpos
de prova dos grupos CP_DA e CP_DB. 105
16
Lista de Símbolos
Símbolos Romanos D diâmetro (mm), da geometria do corpo-de-prova DC(T)
E
módulo de elasticidade do material e
ET energia total do sistema,
maxF força resistente no contato
nF força normal
SF força de cisalhamento
nF força no contato - componente normal
sF força no contato - componente cisalhante
kF∆ incremento de força
sFmax máxima força de cisalhamento no contato
niF magnitude da força
kF∆ incremento de força
F força de ruptura (N);
G módulo de cisalhamento
Gf energia de fraturamento
J integral J sK
rigidez de cisalhamento do contato nK
rigidez normal do contato
nK rigidez normal
sK rigidez tangencial
tK fator de concentração de tensões
CK tenacidade à fratura do material.
KI,
fator de intensidade de tensão associados ao modo I de fratura
KII fator de intensidade de tensão associado ao modo II de fratura
KIII, fator de intensidade de tensão associado ao modo III de fratura
17
m fator de plasticidade [ ]OLDmn vetor unitário normal referente ao passo anterior
∆t incremento de tempo
t espessura do corpo-de-prova DC(T)
T vetor de carregamento com normal exterior n ao contorno,
u vetor deslocamento nU
deslocamento normal
sU deslocamento tangencial
( )snkU k ,=∆ incremento de deslocamento no contato
keU∆ incremento de deslocamento no contato elástico
kpU∆
incremento de deslocamento no contato plástico
( )snkU k ,=∆ incremento de deslocamento no contato
W
densidade de energia de deformação [ ]Cix posição do contato
[ ]( )j
ix φ& velocidade translacional da partícula jφ
Ws energia de deformação das superfícies da trinca.
18
Símbolos Gregos ν coeficiente de Poisson µ coeficiente de atrito ρ raio de curvatura na ponta da elipse
Γ contorno
α ângulo formado entre a direção da força de contato e o segmento de
reta conectando os centros das partículas em contato
θ ângulo entre o ponto escolhido e a direção da tensão
Φ energia coesiva
sepδ distância de separação das superfícies da trinca
δ
abertura de ponta da trinca
φ diâmetro dos furos interiores do corpo-de-prova DC(T)
kω velocidade angular entre duas partículas
0Π energia potencial total de uma placa equivalente sem trinca
Sγ
energia elástica de superfície
Π energia potencial na placa
yσ tensão de escoamento
σ tensão normal de tração
maxσ resistência coesiva
Rσ resistência à tração estática
19
Lista de Abreviaturas
ASTM American society for testing and materials
CTOD Crack tip openings displacements
CMOD Crack mouth opening displacement
)(TDC Ensaio de tração em disco circular com fenda
DNER Departamento nacional de estradas e rodagem
ME Módulo de elasticidade
MEC Método dos elementos de contorno
MEF Método dos elementos finitos
MED Método dos elementos discretos
MFLE Mecânica da fratura linear elástica
MR Módulo de resiliência
MZC Modelo de zona coesiva
PFC2D Particle Flow Code 2D
RT Resistência à tração estática
TMF Teoria da mecânica da fratura
ZC Zona coesiva
20
1. Introdução
1.1. Relevância e Justificativa da Pesquisa
No Brasil, bem como em muitos países do mundo, as rodovias têm um papel
fundamental na economia do país. A importância das rodovias nas trocas
econômicas entre as diversas regiões plenamente justifica a busca de uma melhor
compreensão do comportamento de pavimentos rodoviários.
Para Souza (1980), pavimento é uma estrutura construída após o
terraplenagem, por meio de camadas de vários materiais de diferentes
características de resistência e deformabilidade. Assim, o pavimento rodoviário
constitui-se numa estrutura multicamadas de espessuras constantes
transversalmente ao eixo da estrada, submetida a tensões e deformações que
derivam do tráfego e das condições ambientais, que devem ser compatibilizadas
com a resistência de cada material empregado em cada uma das camadas e em
relação ao terreno de fundação (subleito) - Figura 1.1. Sob o ponto de vista de
engenharia, esta estrutura deve ser obtida com a máxima qualidade e o mínimo
custo possivel.
Figura 1.1 – Sistema de camadas de um pavimento e carregamentos solicitantes
(Albernaz, 1997)
21
Dentre as principais causas de mecanismos de degradação dos pavimentos
asfálticos destacam-se: o trincamento, deformações permanentes excessivas,
envelhecimento do material, fadiga por carregamentos repetidos, etc. Tais defeitos
são condicionados por diversas variáveis, como as características do tráfego,
condições climáticas, processos construtivos, planos de manutenção e materiais
empregados.
Motta (1991) e Pinto (1991) indicam o trincamento da camada asfáltica
como o principal e mais comum defeito das rodovias brasileiras. Os trincamentos
que se estendem através da espessura do revestimento reduzem sua capacidade
estrutural e aumentam significativamente a permeabilidade e a possibilidade de
infiltração de umidade na fundação do pavimento. O trincamento das camadas
asfálticas pode ser classificado em três tipos: trincas por fadiga (Figura 1.2(a)),
trincas por reflexão devido à propagação de trincas existentes através do
recapeamento (Figura 1.2(b)) e trincas térmicas devido a baixas temperaturas
(gelo) como na Figura 1.2(c). Em virtude das condições climáticas brasileiras,
apenas as trincas por fadiga e reflexão ocorrem com freqüência no país.
Figura 1.2 - (a)Trincas interligadas chamadas “Jacaré” com erosão nas bordas por
fadiga, (b) Trinca por reflexão da base. (c) Trinca térmica, que ocorre somente em países
frios, geralmente sob temperaturas inferiores a -10ºC (Motta, notas de aula)
(b)
(a) (c)
22
Como a vida a vida útil de um pavimento e sua posterior reabilitação por
meio de tratamentos, para sua recuperação funcional e estrutural, necessita de
investimentos consideráveis, é importante, como já mencionado, uma
investigação das causas e mecanismos fundamentais de propagação de trincas por
fadiga (Figura 1.3) e reflexão. Esta é a proposta deste trabalho, procurando
analisar sob ponto de vista de modelagens numéricas, o comportamento de trincas
em corpos de prova de misturas asfálticas ensaios em laboratório considerando um
ensaio de compressão diametral, de baixa tensão controlada, utilizado no Brasil
desde 1980 para investigação de fadiga em pavimentos asfálticos.
Figura 1.3 – Longa trinca longitudinal causada pelo tráfego.
A modelagem por métodos numéricos de materiais suscetíveis a
trincamentos pode ser feita sob dois pontos de vista, diretamente relacionados com
a escala de observação: (a) abordagem da mecânica dos meios contínuos; (b)
23
abordagem da micromecânica. Na engenharia de materiais a nano escala (10-9 m)
não representa (ainda) uma área de grande interesse para materiais cimentícios.
Em microescala (10-6 m) o cimento e grãos de agregado individuais em
pavimentos podem ser distinguidos, enquanto em mesoescala (10-3 m) os
agregados e o mastique podem ser identificados. Na macroescala (100 m) um
corpo de prova de laboratório ou uma estrutura de campo são geralmente
modelados, porém sem preocupação do reconhecimento interno da composição do
material.
Vários tipos de ensaios existem para a avaliação das propriedades de fratura
de concretos asfálticos, como o ensaio de compressão diametral em corpos de
prova cilíndricos e o ensaio de fadiga em vigotas sujeitas à flexão, como ilustrado
na Figura 1.4(a).
Na busca de geometria de corpos de prova que possam ser capazes de
avaliar as propriedades de fratura de concretos asfálticos, diversos pesquisadores
experimentaram várias geometrias sob formas de vigota - Figura 1.4(a) - semi-
circular - Figura 1.4(b) - e cilíndrica - Figura 1.5. No caso de vigotas sujeitas à
flexão a preparação do corpo de prova é complicada, enquanto que no caso da
geométrica semi-circular a área em geral é muito pequena para o estudo da
propagação de trinca restringindo, por vezes, o processo de fraturamento.
(a) (b)
Figura 1.4 - (a) Vigota de asfalto submetida à flexão; (b) Corpo de prova semicircular
( Marasteanu et al., 2007; Wagoner et al., 2004).
A geometria cilíndrica é uma das mais utilizadas para ensaios de fratura, por
permitir o ensaio de corpos de prova tanto extraídos de campo quanto moldados
em laboratório. Também proporciona a confecção de corpos de prova mais
homogêneos, de mais fácil manipulação, facilitando assim a execução de ensaios
físicos de volumetria.
24
Bazan e Planas (1998) são de opinião de que um ensaio de laboratório com
propagação de trincas deve ser realizado em corpo de prova com trinca
previamente iniciada. A geometria de disco com chanfro e pré-trinca, apresentada
na Figura 1.5, é considerada a mais adequada para ensaios de trincamento com
tração direta DC(T) em misturas asfálticas. Este ensaio foi utilizado no Brasil por
Hirsch em 2009, sendo conhecido nos Estados Unidos por Disk Shaped Compact
Test, normalizado pela ASTM D7313 - Standard Test Method for Determining
Fracture Energy of Asphalt- Aggregate Mixtures Using the Disk-Shaped Compact
Tension Geometry, de 2007.
Figura 1.5 - Corpo de prova com trinca previamente iniciada (Wagoner, 2006)
O objetivo desta pesquisa é a simulação do DC(T) numérica através do
método dos elementos discretos de resultados da propagação de trincas em
pavimentos asfálticos obtidos em laboratório através da execução de ensaios de
trincamento com tração direta.
A investigação numérica do comportamento de trincas em pavimentos pode
ser realizada por uma abordagem da mecânica dos meios contínuos, sendo
geralmente empregado o método dos elementos finitos – Soares (1997), Freitas
(2002), Paulino et al. (2004), Soares et al. (2007), Song et al. (2006), Franco
(2007) - onde o revestimento, em macroescala, é identificado como material
único, com suas propriedades mecânicas determinadas em laboratório, refletindo
propriedades médias dos seus diversos materiais componentes. Na modelagem em
Plano de Fratura
25
mesoescala, o material contínuo é considerado, via método dos elementos
discretos, como um conjunto de partículas, com ligações entre si eventualmente
desfeitas durante a simulação da propagação da trinca. A modelagem pelo método
dos elementos discretos, como será discutido mais adiante, apresenta algumas
desvantagens, como maiores tempos de processamento, mas também importantes
vantagens pois, mesmo com número limitado de partículas e leis de contato
simples, é possível obter respostas de materiais envolvendo ocorrência de grandes
deformações, com ocorrências de danos e propagação de trincas.
Métodos numéricos têm sido empregados para obtenção de soluções
aproximadas em problemas sob condições de contorno complexas e relações
constitutivas não-lineares. O sucesso da modelagem numérica pode ser
testemunhado pela grande popularidade do método dos elementos finitos desde
sua introdução como ferramenta de pesquisa, na década de 1960, e na prática da
engenharia, desde a década de 1980 com o surgimento de microcomputadores.
Mais recentemente, também em consequência da maior capacidade de
processamento dos equipamentos de informática, o método dos elementos
discretos introduziu a vantagem adicional de permitir o estudo da interação entre
as propriedades do material em mesoescala. Evidentemente, a experiência
adquirida neste tipo de modelagem, embora promissora, pode ser considerada
apenas em seu estágio inicial. Como aplicação do método dos elementos discretos
(MED) em estudos de propagação de fraturas podem ser citados Rothenburg et al.
(1992), Chang e Meengoda (1997), Cheung et al. (1999), Shashidhar et al. (2000),
You e Buttlar (2001), Abbas et al. (2005), Collop et al. (2006), Kim et al. (2007),
Wang et al. (2008), dentre outros.
Segundo Soares et al. (2007), a maneira mais comum usada na modelagem
de trincas em pavimentos é através dos modelos de zona coesiva , introduzidos
por Dugdale (1959) e Barenblatt (1962) para invertigação do comportamento de
materiais frágeis e dúteis, respectivamente. O conceito de trinca coesiva foi
estendido por Hillerborg et al. (1971) no estudo de processos de fraturas não-
lineares em cimento Portland. Tvergaard (1990) sugeriu uma equação quadrática
para representação da relação tração-deslocamento na análise do comportamento
de interfaces, enquanto que Goubelle et al. (1998) empregou o modelos de zona
coesiva bilinear para simulação da inicação espontânea e propagação de fissuras
transversais em placas finas submetidas a impactos de baixa velocidade, na
26
investigação da propagação de trincas em diversos materiais, como polímeros
(Rahulkumar et al., 2000).
Em todos os modelos propostos na literatura de zona coesiva (MZC), a
relação tração-deslocamento nas interfaces atinge um valor máximo, com a tração
decrescendo em seguida e eventualmente desaparecendo, possibilitando a
completa decoesão do material.
1.2. Objetivo da Pesquisa
A presente dissertação tem como objetivo geral procurar melhor
compreender a propagação de trincas em revestimentos de pavimentos flexíveis,
através da realização de modelagens numéricas para simulação da propagação de
trincas observadas em laboratório no ensaio de Tração Direta DC(T) (Disk-
Shaped Compact.), pelo método dos elementos discretos, incorporando o modelo
de zona coesiva bilinear. Pesquisas diretamente relacionadas com o tema foram
feitas por Kim (2007), sob ponto de vista numérico, Hirsch (2009) e Bastos
(2010), sob ponto de vista experimental.
Como objetivos secundários podem também ser mencionados os seguintes:
• Maior experiência em aplicações do método dos elementos discretos na
modelagem de problemas de engenharia, que é no Brasil ainda bastante
limitado. As modelagens serão realizadas com a utilização do software
PFC2D (Particle Flow Cod 2D) desenvolvido pela companhia Itasca
Engineering Consulting and Software.
• Análise da sensibilidade dos parâmetros do material, em mesoescala, em
relação à resposta mecânica do pavimento e na propagação da trinca.
• Estudo e utilização do modelo constitutivo MZC (Modelo de Zona
Coesiva) para simulação da propagação de trincas pelo método dos
elementos discretos.
1.3. Organização da Dissertação
O presente trabalho está organizado nos seguintes 6 capítulos:
Capítulo 1 que introduz o tema e os objetivos da pesquisa, ora apresentados.
27
Capítulo 2 que apresenta uma revisão bibliográfica sobre os mecanismos de
trincamento em misturas asfálticas, com considerações sobre a teoria da mecânica
da fratura.
Capítulo 3 que é dedicado a uma exposição geral do método dos elementos
finitos e uma apresentação, em particular, das características, vantagens e
limitações do programa computacional PFC2D (Itasca, 2003) utilizado nesta
investigação.
Capítulo 4 onde as simulações numéricas são descritas e o capítulo 5 onde
resultados de ensaios de laboratório (Disk-shaped Compact), bem como análises
de sensibilidade das previsões numéricas, são interpretados e discutidos.
Capítulo 6 que apresenta as conclusões do presente estudo e sugere tópicos e
recomendações para futuras pesquisas.
28
2. Mecânica da Fratura
2.1. Introdução
As condições de trincamento em campo representam um dos principais ítens
para a avaliação de pavimentos e diagnóstico dos problemas existentes.
Os primeiros projetos de pavimento eram totalmente empíricos, baseados na
experiência e na observação do comportamento de trechos experimentais.
Formou-se assim, um acervo de resultados e de observações experimentais que
deram origem a vários métodos para o projeto de pavimentos tal como o método
empírico do DNER, dentre outros. A partir da década de 1970 surgiram os
métodos classificados como mecanístico-empíricos, que procuravam relacionar o
desempenho do pavimento em campo com as propriedades mecânicas dos
materiais, obtidas através de ensaios de laboratório (ensaio de compressão
diametral, geralmente, no Brasil).
Motta (1991), em uma abordagem mecanística, propõe um método que
previna a formação e propagação de trincas, limitando as tensões solicitantes nas
fibras inferiores do revestimento, através da utilização de parâmetros adequados
para os materiais, obtidos em ensaios de laboratório.
Na metodologia mecanística, a propagação de trincas e o fenômeno da
fadiga de materiais são abordadas através de conceitos da Mecânica dos
Pavimentos (Rodrigues, 1991; Pinto, 1991; Medina,1997), que estuda o
comportamento de materiais que contenham fraturas ou trincas pré-existentes.
O estudo do campo das tensões nas proximidades da ponta da trinca é de
grande importância na determinação da carga estática máxima que o pavimento
suportará e na estimativa da vida útil dos seus componentes. No entanto o mais
importante nos pavimentos é considerar a repetição das cargas móveis do tráfego
que geram estas trincas.
Segundo Freitas (2002), o trabalho desenvolvido no Brasil por Rodrigues
(1991) contribuiu para disseminar a Teoria da Mecânica da Fratura (TMF) em
29
problemas de pavimentação. O referido trabalho fez uso da Lei de Paris (Paris e
Erdogon, 1963) para a determinação de parâmetros de fratura de misturas
asfalticas a partir de ensaios de fadiga, considerando, entretando, o material como
homogêneo.
A Mecânica da Fratura pode ser estudada através da formulação linear
clássica, para materiais frágeis, ou pela Mecânica da Fratura Elasto-Plástica, para
materiais dúteis. No Brasil, pesquisas sobre a Mecânica da Fratura aplicada a
concretos asfálticos são mencionadas nos trabalhos de Rodrigues (1991), Pinto
(1991) Medina (1991) Soares e Freitas (2003), dentre outros.
2.2. Teoria da Mecânica da Fratura
2.2.1. Mecânica da Fratura Linear Elástica
A Mecânica da Fratura Linear Elástica (MFLE) surgiu em função das
limitações na aplicação dos conceitos tradicionais para prever o comportamento
dos materiais em relação à presença de descontinuidades internas e superficiais.
Segundo Miranda (2003) a MFLE descreve a magnitude e a distribução do campo
de tensões (linear elástico) na vizinhança de uma trinca.
Inglis (1913) mostrou para o caso de uma placa de dimensões infinitas
apresentada na figura 2.1 (comprimento da placa muito maior do que 2b e largura
muito maior que 2a) e que contém uma trinca elíptica, que a tensão normal na
extremidade do eixo maior da elipse (ponto A) é majorada de acordo com a
equação (2.1) onde ab2=ρ é o raio de curvatura na ponta da elipse e σ o valor
do carregamento de tração aplicada à placa.
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
ρσσ a
A 21 (2.1)
Considerando o raio de curvatura ρ na extremidade da elipse muito menor
que o tamanho da trinca, pode-se simplificar a equação (2.1) para:
ρσσ a
A 2= (2.2)
30
O termo ρa2 é definido como fator de concentração de tensões tK e
descreve o efeito da geometria da placa no nível de tensões da ponta da trinca. Em
uma primeira análise, significa que as trincas, se presentes, devem ser mantidas
com o menor tamanho possível e que, quanto maior o raio de curvatura, menor a
severidade devido à concentração de tensões.
Figura 2.1 - Entalhe elíptico em uma placa plana ( Miranda,2003)
A equação (2.1) sugere que para um raio de curvatura nulo (trinca com
ponta aguda) as tensões máximas tendem a infinito sob qualquer tensão de tração,
o que, evidentemente, não acontece na realidade.
O primeiro desenvolvimento teórico da Mecânica da Fratura foi proposto
anos mais tarde por Griffith (1920). Este observou que quando uma trinca é
introduzida em uma placa tracionada de material elástico, deve existir um balanço
entre o decréscimo na energia potencial, relacionado com a liberação de energia
elástica armazenada e ao trabalho realizado pelo movimento das forças externas, e
o aumento na energia de superfície resultante da presença da trinca, conforme
equação 2.3.
0=+Π
=dA
dWdAd
dAdE ST (2.3)
onde ET é a energia total do sistema, Π a energia potencial na placa e Ws a
energia de deformação das superfícies da trinca.
Segundo Griffith (1920), em materiais idealmente frágeis, a trinca se
propagaria de maneira instável se a energia de deformação liberada, quando a
trinca avançasse de um comprimento infinitesimal, fosse maior do que a energia
31
necessária para formar uma nova superfície de trinca. Considerando novamente
uma placa infinita de largura B, sujeita ao carregamento uniforme σ (Figura 2.2),
contendo uma trinca elíptica de comprimento 2a, Griffith com base nas equações
de Inglis (1913) demonstrou que:
EBa22
0πσ
−Π=Π (2.4)
( )SS aBW γ22= (2.5)
onde Π0 é a energia potencial total de uma placa equivalente sem trinca, E é
módulo de elasticidade do material e Ws a energia de deformação das superfícies
da trinca, considerada igual ao produto da energia elástica de superfície γs pela
nova área da superfície da trinca 2(2aB).
Figura 2.2 – Modelo usado por Griffith, 1920 (Miranda, 2003)
Substituindo as equações (2.5) e (2.4) na equação (2.3) obtém-se a tensão na
trinca,
aE s
f πγσ 2
= para estado plano de tensão (2.6)
A Mecânica da Fratura Elástica Linear pode ser matematicamente formulada
em função de energia (abordagem proposta por Griffith, 1920) ou em termos dos
fatores de intensidade de tensão Kt, ambas produzindo os mesmos resultados em
problemas envolvendo materiais elásticos ou com pequena zona plástica na frente
da trinca. A análise com base em fatores de intensidade de tensão é vantajosa na
32
engenharia, pois o comportamento de trincas longas em estruturas pode ser
estudado em laboratório utilizando pequenos corpos de prova.
Westergaard (1927) determinou a natureza da distribuição de tensões na
ponta de uma trinca, utilizando uma análise de tensões baseada em conceitos da
teoria da elasticidade. Os campos de tensão circundando a ponta de uma trinca
podem ser divididos em três modos principais de fraturamento que envolvem
diferentes deslocamentos das superfícies das trincas (figura 2.3).
Figura 2.3 – Os três modos básicos de fraturamento
O modo de abertura, ou modo I, é caracterizado por deslocamentos locais na
direção do eixo y, os quais são simétricos em relação aos planos x-y e x-z. É o
modo mais comumente encontrado e fácil de ser simulado em ensaios de
laboratório (Rossmanith, 1983; Dumont, 2001).
No modo de cisalhamento, ou modo II, ocorre um deslocamento relativo
entre ambas as superfícies da fratura ao longo do eixo x, simétrico em relação ao
plano x-y e antissimétrico em relação ao plano x-z, enquanto que no modo III, de
torção, as superfícies movem-se ao longo do eixo z, com antissimetria em relação
aos planos x-y e x-z.
A cada um destes modos de fraturamento corresponde um tipo básico do
campo de tensões nas vizinhanças da ponta da fratura, para a singularidade
0→r , determinados por Irwin (1957) como:
modo IIdeslizamento ou
cisalhamento
modo IIIrasgamento
modo Iabertura
(mais comum)
xy
z
xy
z
xy
z torção
33
Modo I
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
+
⋅⋅⋅
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2cos
2sen
2cos
2sen1
2cos
22
2
θθ
θ
θ
θπσ
σσ
θ
θ rK I
r
r
(2.7)
Modo II
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
⋅−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2sen31
2cos
2cos
2sen3
2sen31
2sen
22
2
2
θθ
θθ
θθ
πσσσ
θ
θ rK II
r
r
(2.8)
Modo III ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2cos
2sen
2 θ
θ
πσσ
θ rK III
z
rz (2.9)
onde as coordenadas r, medida a partir da ponta da fratura e θ, ângulo polar
medido positivamente no sentido anti-horário, são mostradas na figura 2.4.
Nas equações (2.7) a (2.9) foram negligenciados termos de mais alta ordem,
por isto, os valores exatos das tensões circulares na ponta da trinca são obtidos
apenas na condição limite em que 0→r . Os campos de tensão mostram que as
distribuições de tensão ao redor da ponta da trinca podem ser descritas em termos
dos parâmetros KI, KII e KIII, isto é, dos fatores de intensidade de tensão
associados aos modos I, II e III, respectivamente. Uma característica importante
dessas equações é o fato que as distribuições das tensões em torno da trinca são
similares e dependem somente de r e θ. A diferença entre um material trincado e
outro reside na grandeza do parâmetro K que, essencialmente, serve como um
fator de escala para definir a magnitude do campo de tensões. Um considerável
trabalho de pesquisa já foi desenvolvido neste sentido, com publicações na
literatura de expressões para cálculo dos fatores de intensidade de tensão para
vários tipos de fratura nos modos I, II e III.
Valores de tensões na ponta da fratura podem também ser tratados como
uma combinação linear destes três tipos básicos de campos de tensão (modo
misto).
34
Figura 2.4 - Distribuição das componentes de tensão nas vizinhanças da ponta de uma
trinca. (Miranda, 2003)
Do desenvolvimento de Westergaard (1927), pode ser concluído que:
),( afK σ= (2.10)
É importante comparar o fator de intensidade de tensões K (equação 2.10) e
o fator de concentração de tensões Kt (equação 2.2). Embora Kt leve em
consideração variáveis geométricas, tamanho de trinca e raio na ponta da trinca, o
fator de intensidade de tensões K incorpora tanto termos geométricos (o
comprimento da trinca aparece explicitamente, enquanto que o raio na ponta da
trinca é subentendido muito pequeno) quanto o nível de tensões σ. Dessa forma, o
fator de intensidade de tensões incorpora mais informações do que o fator de
concentração de tensões.
Se o fator de intensidade de tensões de uma determinada amostra é
conhecido, então é possível determinar o máximo fator de intensidade de tensões
que causaria ruptura. Esse valor crítico Kc é descrito na literatura como a
tenacidade à fratura do material.
Uma analogia interessante pode ser feita entre tensão e resistência, e fator de
intensidade de tensões e tenacidade à fratura. Um corpo pode sofrer muitos níveis
de tensões, porém existe um único nível de tensões que produz deformações
plásticas permanente, que é a tensão limite de escoamento, bem como um único
nível de tensões que causa fratura, que é a tensão limite de resistência. Da mesma
forma, o fator de intensidade de tensões na ponta de uma trinca pode variar com o
nível de carregamento aplicado e com o comprimento da trinca. Porém, existe um
35
único nível de intensidade de tensões que causa a fratura, que é o nível crítico de
intensidade de tensões, definido como tenacidade à fratura. Portanto, a tensão está
para a resistência mecânica assim como o fator de intensidade de tensões está para
a tenacidade à fratura.
A implementação de conceitos de Mecânica da Fratura Linear Elástica
como um item de controle de projeto consiste em duas etapas essenciais:
• Determinação das propriedades da tenacidade à fratura do material, usando
corpos de prova e carregamentos adequados;
• Determinação do tamanho da trinca real no corpo e cálculo do valor limite
de tensão que manterá o valor do fator de intensidade de tensão menor do
que a tenacidade à fratura do material. Pode ser aplicado um fator de
segurança nesta estimativa e pode também ser incorporada uma margem
de segurança ao tamanho da trinca, escolhendo-se um tamanho de
referência maior que o tamanho da trinca real. Existe, como já foi visto
anteriormente, uma relação entre a tenacidade à fratura, a tensão nominal
de fratura e o tamanho da trinca.
Resultados da Mecânica da Fratura Linear Elástica são válidos somente
enquanto a deformação plástica do material for confinada a uma pequena região
circundante à ponta da trinca. Em materiais dúteis, onde a energia de fraturamento
é algumas ordens de grandeza maior do que a energia de superfície, as equações
de Griffith não podem ser mais aplicadas em sua forma original.
2.2.2. Mecânica da Fratura Elasto-Plástica
A Mecânica da Fratura elasto-plástica representa o comportamento de
trincas em materiais com comportamento não-linear e independente do tempo. Há
dois parâmetros que são muito utilizados para representação da elasto-plasticidade
no fraturamento: a Integral J e a abertura de ponta da trincaδ (CTOD – “Crack
Tip Opening Displacement”). Seus valores críticos são quase independentes da
tenacidade ao faturamento para grandes deformações plásticas. A integral J e a
CTOD podem ser utilizados como critérios para dimensionamento no regime
36
elasto-plástico e, embora possuam limitações, são parâmetros mais abrangentes do
que os empregados na MFLE.
Irwin (1948) e Orowan (1948), de forma independente, modificaram a
expressão de Griffith para levar em consideração o trabalho plástico γp
( )a
E ps
πγγ
σ+
=2
max (2.11)
ou, de maneira geral,
aEW f
πσ
2max =
(2.12)
onde Wf é a energia de fraturamento.
Esta adaptação sofre restrições, em sua aplicação, porque na mecânica da
fratura linear elástica o comportamento da fratura é caracterizado apenas pelo
estado de tensões na ponta da fratura, enquanto que a presença de uma zona
plástica de tamanho significativo na ponta da trinca permite que as duas
superfícies se separem sem ocorrência do crescimento da trinca.
Duas metodologias foram desenvolvidas para a mecânica da fratura elasto-
plástica: uma delas é conhecida como o método CTOD (crack tip opening
displacement) proposta por Wells (1961), que investiga a distância entre as duas
superfícies da trinca, medida na ponta da trinca.
O parâmetro CTOD caracteriza a capacidade do material em se deformar
plasticamente antes da ruptura, medindo o afastamento entre as duas faces da
trinca pré-existente na frente desta (figura 2.5). Pode ser estimado em função do
aumento do perímetro da zona deformada plasticamente nas vizinhanças da ponta
da fratura (figura 2.6).
A outra metodologia é conhecida como a integral J, proposta por Rice
(1968), formulada em termos de um tratamento mecânico com forte base
matemática (equação 2.13).
∫Γ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−= dsxuTWdyJ .
(2.13)
Onde Γ é o contorno escolhido (figura 2.7), percorrido no sentido anti-
horário, com início e final em dois pontos não coincidentes de cada uma das faces
37
da trinca, W é a densidade de energia de deformação, T o vetor de carregamento
com normal exterior n ao contorno, u o vetor deslocamento na direção x, e s o
comprimento do caminho escolhido.
A integral J é independente do caminho escolhido, o que a liberta da
caracterização local do estado de tensões na frente da ponta da trinca.
Historicamente, CTOD e a integral J são ambas usadas extensivamente na
Mecânica da Fratura. Relação entre elas foi estabelecida de forma empírica, como
a seguinte, incorporada na ASTM norte-americana,
CTODmJ yσ= (2.14)
onde yσ é tensão de escoamento e m um fator de plasticidade.
Figura 2.5 - Conceito de CTOD ( Crack Tip Opening Displacement)
Figura 2.6 - O tamanho da região plastificada e sua relação com a abertura da ponta da
fratura δ
38
Figura 2.7 - Esquema de um caminho escolhido no método da integral J.
2.3. Propagação de Trincas no Modo Misto I-II
A literatura apresenta várias publicações tratando da propagação de trincas
no modo I, correspondente ao tipo de ensaio de laboratório analisado nesta
dissertação. Todavia, para fins de revisão bibliográfica sobre assunto, foi adotada
uma abordagem mais geral de propagação de trinca no modo misto I-II (figura
2.8). Particularização das equações aqui apresentadas para apenas o modo I é feita
sem dificuldades.
A propagação da trinca pode ser estimada comparando-se o fator de
intensidade de tensão com o valor crítico Kc, considerado como propriedade do
material, e determinado experimentalmente em ensaios de laboratório para cada
modo de fraturamento.
Como já mencionado, Griffiths (1920) aplicou princípios de conservação de
energia para postular que a fratura em materiais frágeis torna-se instável quando a
taxa de liberação de energia de deformação na ponta da fratura, devido ao seu
crescimento, tornar-se igual ou maior do que o acréscimo de energia associada
com as recém-formadas superfícies da fratura. Esta abordagem não envolve o
cálculo das distribuições de tensão ao redor da fratura, tendo sido estendida por
Irwin (1948) e Orowan (1955) para materiais com ocorrência de limitada
deformação plástica nas vizinhanças da ponta da fratura.
39
Figura 2.8 - Uma fratura sob modo misto I-II: (a) configuração de carregamento; (b)
tensões na fratura (Whittaker et al. 1992)
Os fatores de intensidade de tensão estão relacionados com as
correspondentes expressões da taxa de liberação de energia de deformação por:
Modo I
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅
+
⋅⋅⋅
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2cos
2sen
2cos
2sen1
2cos
22
2
θθ
θ
θ
θπσ
σσ
θ
θ rK I
r
r
(2.15)
Modo II
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
⋅−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −⋅
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
2sen31
2cos
2cos
2sen3
2sen31
2sen
22
2
2
θθ
θθ
θθ
πσσσ
θ
θ rK II
r
r
(2.16)
Modo III ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2cos
2sen
2 θ
θ
πσσ
θ rK III
z
rz (2.17)
onde, no estado plano de deformação,
νκ 43−= (2.18)
Se a abertura da fratura ocorre sob modo misto I-II, então a liberação total
de energia de deformação é simplesmente:
40
( )( )µ
κ8
122 ++=+= IIIIII KKGGG
(2.19)
A equação (2.19) permite então introduzir um critério para propagação da
fratura no modo misto I-II, em termos da taxa de liberação total de energia de
deformação
cGG = (2.20)
onde Gc corresponde à taxa crítica de liberação de energia de deformação,
que é propriedade do material.
Alternativamente, em termos dos fatores de intensidade de tensão,
( ) ( ) cIII GKK1
822
+=+
κµ
(2.21)
o que permite inferir que KIC e KIIC são iguais entre si, desde que GC seja
uma constante
2222IICICIII KKKK ==+
(2.22)
Resultados experimentais, no entanto, não satisfazem a equação (2.22),
representada pelo arco de círculo da figura 2.9, mas se adaptam a outras formas da
envoltória de ruptura, como as seguintes, propostas na literatura (Whittaker, Singh
e Sun,1992):
Linha reta: 1=+IIC
II
IC
I
KK
KK
(2.23)
Elipse: 122
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
IIC
II
IC
I
KK
KK (2.24)
Quadrática homogênea:
122
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
IIC
II
IICIC
IIIc
IC
I
KK
KKKK
CKK (2.25)
onde Cc é uma constante diferente de 2. Huang e Wang (1985) recomendam
a utilização da equação (2.25), onde a envoltória de ruptura é a mais conservadora
dentre as apresentadas, excetuando-se, evidentemente, a linear.
41
Figura 2.9 - Possíveis envoltórias de fratura no modo misto I-II de fraturamento
(Whittaker, et al. ,1992).
2.4. Direção de Propagação de Trincas
2.4.1. Direção de Propagação da Fissura
a) Critério da tensão circunferencial máxima (critério θσ )
É baseado na hipótese de que a fratura propagará, a partir de sua ponta, na
direção θ em que a tensão tangencial θσ é máxima, isto é
0=∂∂θσθ (2.26a)
com 02
2
<∂∂θσθ para mθθ =
(2.27b)
ou 0=θσ r (2.27)
onde θσ e θσ r se referem à superposição dos campos de tensões
determinados pelas equações (2.7), para o modo I, e (2.8) para o modo II.
A direção de fraturamento mθ é então determinada da equação (2.27)
como
02
sen312
cos2
sen 2 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+⋅ m
IImm
I KKθθθ
(2.28)
Resultando em
42
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛±⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅= 8
41
412
22
II
I
II
Im K
KKK
arctgθ (2.29)
onde o sinal positivo de mσ , para tensões de compressão, não satisfaz a
segunda expressão da equação (2.26b), sendo, portanto, desconsiderado.
No modo I, para CII KK = , 0=IIK , o ângulo de propagação mθ da fratura
e a tensão tangencial crítica são definidos por:
o0=mθ (2.30a)
aK IC
c⋅⋅
=π
σθ 2 (2.30b)
Enquanto que no modo II, para CIIII KK = , 0=IK , tem-se:
o53,70−=mθ (2.31a)
aK IIC
c⋅⋅
⋅=π
σθ 232
(2.31b)
Admitindo-se que cθσ é uma constante característica do material, da
comparação das equações (2.30b) e (2.31b) resulta,
ICICIIC KKK ⋅=⋅= 8666,023
(2.32)
b) Critério da máxima taxa de liberação de energia de deformação
(critério G)
É baseado na hipótese de que a fratura propagará, a partir de sua ponta, na
direção mθ em que a taxa de liberação de energia de deformação for máxima, isto
é,
0G=
θ∂∂
(2.33a)
com 0G2
2
<θ∂
∂ para θ = θm (2.33b)
A figura 2.10 ilustra a ramificação de uma fratura de Griffith (fratura
central de comprimento a2 em uma placa submetida a um estado uniaxial de
tração), em conseqüência de seu crescimento na direção θ de um incremento de
43
comprimento a∆ . A forma geral da taxa de liberação de energia de deformação
vem da equação (2.19)
( ) ( ) ( )[ ]( )µ
κθθθ8
122 ++= III KKG
onde (2.34a)
( )( ) ⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
θθ
θθ
πθπθ
θθθ πθ
sen2
cos
sen23cos
11
sen44
2
2I
II
III
II
I
KK
KK
KK
(2.34b)
são os fatores de intensidade de tensão na fratura original, não ramificada.
O sinal do ângulo mθ , obtido pela aplicação das equações (2.33) e (2.34),
depende do sinal de IIK . De acordo com Carvalho et al (1999), se 0>IIK então
0<mθ e se 0<IIK então 0>mθ
No modo I de fraturamento, 0=IIK , ICI KK = e ( ) ICm GG =θ , o ângulo
de propagação da fratura é determinado como 00=mθ e o fator crítico de
intensidade de tensão ICK nesta direção relaciona-se com a taxa crítica de
liberação de energia de deformação ICG pela equação (2.15),
( ) 2
81
ICIC KGµ
κ +=
(2.35)
Figura 2.10 - Fratura ramificada (Whittaker et al.,1992).
Enquanto que no modo II, IICII KK = , 0=IK e ( ) IICm GG =θ , o ângulo de
propagação da fratura é calculado como 06.75−=mθ e o correspondente fator
44
crítico de intensidade de tensão IICK nesta direção relaciona-se com IICG pela
equação (2.16),
( ) 2
81546,2 IICIIC KG
µκ +
= (2.36)
Admitindo-se que a taxa crítica de liberação de energia de deformação seja
uma constante do material, uma comparação das expressões (2.35) e (2.36)
permite então concluir que
ICII KK ⋅= 627,0 (2.37)
C) Critério da mínima densidade de energia de deformacão (Critério S)
Para um problema do estado plano de deformação, a expressão geral para
determinação da densidade de energia de deformação S é dada por
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−+
+= 22
81
21
θθθ σσσσσκµ rrrS
(2.38)
Considerando-se o problema de uma fratura sob o modo misto I-II (figura
2.8), as expressões das componentes de tensão na ponta da fratura, conforme
equações (2.7) e (2.8), permitem escrever a seguinte equação quadrática para o
fator de densidade de energia de deformação, denotado por SF,
( )22212
211 21
IIIIIIF KaKKaKar
S ++= (2.39a)
onde os coeficientes aij (i, j = 1, 2) são dados por
( )( )( )[ ]
( )( ) ( )( )⎪⎭
⎪⎬
⎫
−++−+=−−=
−+=
1cos3cos1cos11161cos216
coscos116
22
12
11
θθθπµθθπµ
θθπµ
kaksena
ka
(2.39b)
O critério S está baseado nas seguintes três hipóteses fundamentais
(Whittaker et al.,1992):
1) A propagação da fratura ocorre na direção ao longo da qual o fator de
densidade de energia de deformação FS é mínimo. O ângulo de propagação
mθ , medido em relação à direção da fratura original, corresponde ao da
mínima densidade de energia de deformação FmS , ou seja:
45
0=∂∂θ
FS
(2.40a)
com 02
2
>∂∂θ
FS para mθθ = (2.40b)
2) a propagação da fratura ocorre quando FmS atingir um valor crítico FCS ;
3) o fator de densidade de energia de deformação SF é avaliado ao longo de
um contorno 0rr = , onde a razão 0rSFm permanece constante.
No modo I de fraturamento, ICII KK = , 0=IIK , FCFm SS = e o ângulo
crítico determinado pelas equações (2.40) é
o0=mθ (2.41a)
indicando que a propagação da fratura ocorre ao longo do plano da fratura
original, com valor crítico de FS correspondendo a
2
81
ICFC KSπµ
κ −=
(2.41b)
No modo II de fraturamento, 0=IK , IICII KK = , FCFm SS = e o ângulo
crítico é determinado por:
61cos −
−=κθ arm
(2.42a)
com o correspondente valor crítico de FS expresso por
22
192114
IICFC KkS ⋅−−
=πµ
κ
(2.42b)
Desde que FS seja uma constante característica do material, e que não se
altere com o modo de fraturamento, conclui-se então das equações (2.41) e (2.42)
que
( )2114
124κκ
κ−−−
=IC
IIC
KK
(2.43)
De acordo com o critério da tensão circunferencial máxima (critério θσ ) os
ângulos de propagação da fratura nos modos I e II, bem como a razão entre os fatores
críticos de intensidade de tensão ICIIC KK / , são independentes das propriedades do
material.
De acordo com o critério da mínima densidade de energia de deformação S ,
estes valores são, no entanto, dependentes do coeficiente de Poisson do material ν , o que
46
causa pequenas variações nos valores de mθ e ICIIC KK , conforme equações (2.42a) e
(2.43).
Resultados experimentais indicam que geralmente mθ e ICIIC KK estão
relacionados com as propriedades mecânicas (Huang e Wang, 1985).
47
3 Programa PFC2D
3.1. Introdução
Existe uma variedade de métodos numéricos disponíveis para cálculo de
soluções aproximadas de problemas de engenharia. O método dos elementos
finitos (MEF) e o método dos elementos de contorno (MEC) estão atualmente em
um estágio de desenvolvimento bastante avançado, podendo ser considerados
métodos tradicionais para solução de problemas de valor de contorno. O método
dos elementos discretos (MED) encontra-se em um estágio de desenvolvimento
comparativamente anterior. A sua formulação está ainda em franco
desenvolvimento, mantendo-se as características básicas propostas por Cundall e
Strack (1979), com aperfeiçoamentos freqüentemente apresentados e publicados
em periódicos e congressos da área.
Para o uso eficiente de uma ferramenta numérica é preciso, no entanto,
identificar para quais tipos de problemas o seu uso é mais recomendado. O
método dos elementos discretos mostra-se mais adequado para lidar com
problemas de natureza descontínua e, ao mesmo tempo, sob grandes níveis de
deformação. Devido a essas características particulares, o método tem sido
aplicado em problemas de diversas áreas, e especificamente na engenharia
geotécnica suas funcionalidades têm sido utilizadas em problemas de mecânica
das rochas (Cundall, 1971; Tannant e Wang, 2004), mecânica dos solos, mecânica
dos pavimentos, etc.
A característica principal do método dos elementos discretos é a sua
simplicidade e generalidade. Problemas estáticos são resolvidos através de uma
aproximação de relaxação dinâmica e o processo de cálculo é feito em pequenos
incrementos de tempo. O meio é discretizado em partículas rígidas (discos na
modelagem 2D, esferas em simulações 3D), as quais se movem para posições de
equilíbrio de acordo com a segunda lei de Newton. As etapas básicas de um ciclo
de cálculo do método dos elementos discretos são apresentadas na figura 3.1.
48
Figura 3.1 – Etapas básicas do método dos elementos discretos.
O intervalo de tempo é assumido suficientemente pequeno para que a
perturbação, durante determinado incremento de tempo, não se propague além da
vizinhança matemática de cada partícula. A natureza explícita da resolução do
sistema de equações otimiza o uso da memória computacional e evita a
necessidade de processos de cálculo iterativos, permitindo a representação de
interações não lineares envolvendo um grande número de partículas.
3.2. O programa PFC2D
O Programa PFC2D (Particle Flow Code 2D) foi desenvolvido pela Itasca
Consulting Group Inc. Baseado no método dos elementos discretos modela o
movimento e interação de partículas cilíndricas (PFC2D) geradas aleatoriamente,
de raios constantes ou variáveis.
Nesta pesquisa considerou-se partículas de raios constantes para modelagem
do trincamento de revestimento asfáltico com base nos resultados de ensaios de
Disco Circular com Fenda (Disk-Shaped Compact), considerando o material como
homogêneo e partículas de raios 0.25mm, 0.5mm e 1mm.
À medida que o número de partículas aumenta, é necessário ter maior
capacidade de memória RAM, como indicado na tabela 3.1.
Estabelecimento
das condições iniciais
Integração da segunda lei de Newton
Cálculo das forcas de contato
Atualização das posições e rotações
Determinação dos contatos
49
Tabela 3.1 – Número máximo de partículas em função da memória RAM disponível
(PFC2D, 2003).
* Estado compacto (Contatos requerem maior memória que as partículas)
100
10.000
50.000100.000
RAM disponível (MB) Número aproximado de partículas*
10
50
O procedimento geral de solução é mostrado na Figura 3.2, dividido em
diferentes estágios. Na etapa de configuração do modelo, três componentes são
fundamentais:
• O arranjo de partículas;
• Comportamento no contato e propriedades do material;
• Condições de contorno e condições iniciais.
O arranjo corresponde a um número de partículas posicionadas e
distribuídas de maneira uniforme dentro de uma região previamente estabelecida.
As propriedades destas partículas e o comportamento dos seus contatos
determinam o tipo de resposta do modelo. Antes de efetuar qualquer simulação é
importante definir as condições iniciais e de contorno. Após aplicação das cargas,
o arranjo de partículas atinge uma condição de equilíbrio inicial. Qualquer
alteração deste estado (como uma escavação ou uma mudança nas condições de
contorno) faz com que a resposta do modelo seja recalculada. A solução de
equilíbrio é atingida depois da execução de vários passos de tempo,
automaticamente controlados pelo programa, mas que também podem ser
redefinidos pelo usuário.
O programa PFC tem a sua própria linguagem de programação chamada
FISH. Ela permite definir e introduzir no modelo novas variáveis, gerar outras
geometrias, modificar relações constitutivas, utilizar mecanismos servo-
controlados, etc., ampliando assim a potencialidade do programa.
50
Figura 3.2 – Procedimento geral de solução no programa PFC-2D
51
O programa também possui uma opção de processamento em paralelo,
permitindo a solução de problemas de modo compartilhado entre
microcomputadores agrupados em um "cluster" de máquinas, diminuindo assim o
tempo de processamento em problemas mais complexos.
Para processamento em um computador isolado, o programa tem como
desvantagem um tempo de cálculo bastante longo, dependendo do número de
partículas e de contatos envolvidos na simulação. Nesta pesquisa trabalhou-se
com 65 mil partículas.
Dentre outras características do programa PFC2D podem ser citadas as
seguintes:
• As partículas são consideradas rígidas;
• O contato entre as partículas ocorre em uma área muito pequena (pontual);
• No contato há uma tolerância de penetração entre partículas. A magnitude
desta tolerância está diretamente relacionada com a força do contato
através da relação constitutiva força - deslocamento, sendo em geral muito
pequena em comparação com o tamanho das partículas;
• Pode existir uma ligação no contato entre as partículas;
• Todas as partículas são consideradas como discos, mas outras geometrias
podem ser geradas agrupando-se partículas;
• Na formulação podem ser incluídos elementos rígidos ou paredes, os
quais podem experimentar velocidades, deslocamentos ou forças
prescritas. Estas paredes delimitam os contornos do problema, delimitando
e confinando um determinado arranjo de partículas.
3.2.1. Forças nos contatos
Uma relação força versus deslocamento deve ser utilizada no contato entre
duas entidades (partícula-partícula ou partícula-parede). O plano de contato tem
vetor unitário normal in , definido pela reta que une os centros das duas partículas
(partículas A e B).
52
[ ] [ ]
dxx
nA
iB
ii
−=
(3.1)
onde d é a distância entre os centros, determinada por
[ ] [ ] [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )Ai
Bi
Ai
Bi
Ai
Bii xxxxxxd −−=−=
(3.2)
Se o contato for entre uma partícula e a parede, a normal será definida pela
direção da menor distância entre o centro da partícula e a parede. A superposição
Un entre partículas é definida por um deslocamento relativo na direção normal
(figura 3.3), expresso pela equação (3.3).
[ ] [ ] ( )[ ] ( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−
−−+=
paredepartículadRpartículapartículadRR
Ub
BAn
,,
(3.3)
Onde [ ]φR é o raio da entidade φ .
Após a definição destas variáveis, a posição do contato [ ]Cix pode ser
determinada como:
[ ]
[ ] [ ] ( )
[ ] [ ] ( )⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
=paredepartículanURx
partículapartículanURxx
inbb
i
inAA
iC
i
,21
,21
(3.4)
A força no contato é gerada pela superposição das partículas, sendo formada
pelas componentes de força normal nF e cisalhante sF , com magnitudes
dependentes da relação força - deslocamento adotado.
si
nii FFF +=
(3.5)
As partículas atuam como se estivessem ligadas por molas nos contatos.
Logo, a força no contato será o produto do deslocamento da mola por sua rigidez.
Sendo a rigidez normal do contato igual nK , a força normal é portanto
innn
i nUKF = (3.6)
53
Figura 3.3 – Características do contato partícula-particula e partícula-parede (Mejia,
2009)
R [A]
R [B]
X i [A]
X i [B]
X i [C]
ni
d
A B
Un
Plano de contato
R [b]
X i [b] d
b
Un
parede
[ ]CiX
ind
54
No caso da componente de força cisalhante, são considerados os
deslocamentos laterais de translação bem como as rotações relativas entre as
partículas. Quando o contato é formado, o valor total da força cisalhante é zero.
Cada deslocamento cisalhante subseqüente incrementará a força. Assim, para
determinar a força cisalhante, são consideradas a força gerada pelo deslocamento
translacional do contato e a força gerada pela rotação das partículas.
A componente rotacional pode ser escrita como:
{ } [ ]( )nOLD
mkmnkjijisjrot
si nneeFF −= δ1.
(3.7)
{ } ( )( )teFF kkjiijsjrot
si ∆−= ωδ2. (3.8)
onde [ ]OLDmn é o vetor unitário normal referente ao passo anterior e kω a
velocidade angular entre as duas partículas na nova direção normal. A velocidade
angular é definida como:
( ) [ ] [ ]( ) ijjji nn21
21 φφ ωωω +=
(3.9)
As equações 3.7 e 3.8 foram escritas em termos do delta de Kronecker
(equação 3.10) e do símbolo de permutação (equação 3.11) definidos como
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≠=
=jisejise
ij ,0;,1
δ (3.10)
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−+=
casooutroentrepermutakjise
coincidemíndicesdoisseeijk
,1;3,2,1,,,1
,0
(3.11)
O produto vetorial entre os vetores unitários normais [ ] nxnc OLD= pode
ser expresso com auxílio do símbolo de permutação da seguinte forma:
[ ]n
OLDmkmnk nnec =
(3.12)
Possibilitando então que as equações 3.7 e 3.8 sejam reescritas como
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−=
s
s
s
srot
F
F
F
cccccc
F
3
2
1
1
112113231
(3.13)
55
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
∆∆∆−∆∆∆−
=srot
srot
srot
srot
F
F
F
tttttt
F
13
12
11
13
13
23
2
11
1
ωωωωωω
(3.14)
Uma vez determinada a força rotacional é necessário conhecer o valor da
força produzida pelo movimento translacional no contato. No caso da força
normal, o deslocamento relativo foi definido como a superposição nU , calculada
diretamente em função dos raios das partículas e a distância entre os seus centros.
No caso do deslocamento cisalhante sU , a determinação é feita com base nas
velocidades das partículas, da seguinte forma
[ ]( ) [ ]( ) 12 φφ Ci
Cii xxV && −=
(3.15)
[ ] [ ] [ ] [ ]( )( ) [ ] [ ] [ ] [ ]( )( )111222 φφφφφφ ω kC
kjijkikC
kjijkii xxexxxwexV −+−−+= && (3.16)
onde [ ]( )j
ix φ& é a velocidade translacional da partícula jφ .
A velocidade do contato é definida em termos das velocidades normal e
cisalhante, sendo a componente cisalhante expressa por
ijjin
iis
i nnVVVVV −=−= (3.17)
Através da velocidade cisalhante, é possível determinar o deslocamento
incremental cisalhante no contato pela equação 3.18, a cada incremento de tempo
∆t:
tVU si
si ∆=∆
(3.18)
e o incremento de força cisalhante translacional sendo determinado por:
si
ssi UKF ∆−=∆
(3.19)
A força cisalhante total no contato é então calculada pela adição das
componentes geradas pelos movimentos de translação e de rotação,
{ } sirot
si
si FFF ∆+= 2.
(3.20)
56
3.2.2. Modelo Constitutivo no Contato
O comportamento geral de um material pode ser representado mediante a
definição de um modelo constitutivo para os contatos entre partículas. Este
modelo constitutivo consiste na superposição de três modelos básicos: o modelo
de rigidez, o modelo de deslizamento e o modelo de ligação. Existem vários tipos
de modelos que podem ser utilizados, como ilustrado na figura 3.4.
Figura 3.4 – Modelos constitutivos de contato.
3.2.2.1. Modelos de Rigidez do Contato
O modelo linear é definido pela rigidez normal nK e tangencial sK , com
unidades de força por deslocamento, calculadas a partir dos valores de rigidez das
partículas em contato (equações 3.21 e 3.22) [ ] [ ]
[ ] [ ]Bn
An
Bn
Ann
kkkkK+
= (3.21)
[ ] [ ]
[ ] [ ]Bs
As
Bs
Ass
kkkkK+
=
(3.22)
O modelo de Hertz-Midlin é um tipo de contato não linear, definido pelos
parâmetros G (módulo de cisalhamento) e ν (coeficiente de Poisson). A rigidez
normal do contato é dada pela seguinte expressão:
57
( )nn U
RGK
υ−=
1322
(3.23)
e a rigidez de cisalhamento no contato por
( )( ) 31312
2132 n
iS F
RGK
υυ
−−
= (3.24)
onde nU é a sobreposição das partículas e niF a magnitude da força
normal no contato. As demais variáveis das equações 3.23 e 3.24 são definidas
segundo as entidades em contato.
Para o contato partícula- partícula,
[ ] [ ]
[ ] [ ]BA
BA
RRRRR+
=2
2
[ ] [ ]( )AA GGG +=21
[ ] [ ]( )AA ννυ +=21
(3.25)
e no caso de contato partícula-parede,
partículaRR = partículaGG =
partículaνν =
(3.26)
sendo R o raio da partícula e os índices [ ]A e [ ]B denotando as duas
partículas em contato.
A rigidez normal tangente nk é definida como
nn
nn K
dUdFk
23
== (3.27)
a qual, diferentemente do modelo linear, não tem valor constante, variando
em função dos valores das forças normais e da sobreposição entre as partículas.
58
3.2.2.2. Modelo de Deslizamento do Contato
O modelo de deslizamento é uma propriedade das entidades em contato,
podendo ser novamente entre duas partículas ou entre partícula e parede. Este
modelo está sempre ativo, exceto se houver algum tipo de ligação entre as
entidades, quando pode ser substituído pelo modelo de ligação correspondente. O
principal parâmetro do modelo de deslizamento é o coeficiente de atrito µ . Com
base no critério de Mohr-Coulomb é possível escrever
ni
s FF µ=max (3.28)
Se ssi FF max> , a força cisalhante s
iF é limitada pelo valor de sFmax ,
si
siss
i FFFF max=
(3.29)
3.2.2.3. Modelo de ligação
Duas partículas podem estar ligadas mediante certo tipo de contato que pode
ser definido, ou imaginado, como uma cola entre as partículas no ponto de
contato. Neste contexto, dois tipos de contato são utilizados: (a) ligação de contato
(contact bond), que é um tipo de contato pontual que só transmite forças; (b)
ligação paralela (parallel bond), onde duas partículas são unidas por um elemento
não pontual que atua como cimentação entre as partículas, podendo transmitir
forças e momentos.
A ligação de contato pode ser representada por duas molas atuando na
direção normal e tangencial no ponto de contato entre duas partículas. Estas duas
molas possuem resistência normal e cisalhante, impossibilitando o deslizamento
entre as partículas. Se a tensão normal de tração for igual ou maior do que a
resistência normal na ligação do contato, esta ligação é rompida em ambas as
direções (normal e cisalhante) e as forças de contato tornadas iguais a zero.
A figura 3.5 mostra o comportamento da ligação de contato na direção
normal. Quando 0>nU tem-se uma sobreposição de partículas, mas uma ruptura
da ligação de contato não acontece devido à natureza da força ser de compressão.
59
Todavia, caso 0>nF (tração) e nc
n FF ≥ então a ruptura da ligação se produz e
as forças de contato se anulam.
Figura 3.5 – Componente normal da força de contato na ligação (Itasca, 2003)
No caso da força cisalhante, se o valor sc
s FF >> a ligação nesta direção é
rompida, mas os valores das forças não são modificados como no caso anterior,
desde que o valor da força cisalhante não seja maior que o valor obtido do modelo
do deslizamento. Após a ruptura, o valor da força cisalhante é limitada pelo
modelo de deslizamento (figura 3.6).
Figura 3.6 – Componente tangencial da força de contato ligação (Itasca, 2003)
Modelo deslizamento
Ruptura de
Ligação
Un
K
1
Fn
Fn
Contato ligado
(Tração)
ncF
nK (Sobreposição)
Ruptura de Ligação
Fs
Fsc
Fsmax
Ks
1
Modelo Deslizamento
Ruptura de
Ligação
Contato ligado
sU
60
A ligação paralela descreve o comportamento de um elemento não pontual
que une a duas partículas como uma cimentação. Este tipo de contato estabelece
uma interação elástica entre as partículas, podendo ser transmitidos forças e
momentos para as partículas (denotados por iF e iM na figura 3.7). O contato
paralelo é representado como um disco com raio definido pelo menor dos raios
das partículas em contato. Adota-se, por convenção, que as forças atuam na
partícula B para fins de representação deste tipo de ligação no contato.
Figura 3.7 – Esquema de ligação paralela no contato (Mejia, 2009)
3.2.3. Modelo de Zona Coesiva com Amolecimento
Na análise numérica da propagação de trincas é necessário adotar-se um
modelo constitutivo específico para a região próxima à ponta da fratura.
Barenblatt (1959) e Dugdale (1960) propuseram o modelo de zona coesiva para
A B
61
representação do comportamento de materiais frágeis e dúteis (figura 3.8),
respectivamente, incluindo forças de coesão na região típica do trincamento.
Barenblatt (op.cit.) assumiu que tais forças decrescem suavemente (figura 3.9)
enquanto que no modelo de Dugdale (op.cit.) estas forças se mantém constantes,
representando comportamento de material elasto-perfeitamente plástico.
Figura 3.8 – Comportamento do material em ensaio de ruptura sob deformação
controlada (a) material frágil (b) material dúctil (Soares,1997)
Figura 3.9 – Modelo de Zona Coesiva de Barenblatt (1959).
Atualmente modelos de zona coesiva (MZC) têm sido usados para simular
processos de fraturamento em vários materiais como polímeros, materiais
metálicos, materiais cerâmicos, compósitos de matriz metálica, concreto, materiais
reforçado com fibras de plástico, considerando-se uma variedade de condições de
carga (estática, dinâmica, cíclica, etc.).
Na tabela 3.2 estão listadas várias versões do modelo MZC propostos por
vários autores na literatura, nas últimas décadas. A principal diferença entre eles
se refere à forma da resposta tração versus deslocamento e as constantes que são
usadas para descrição do modelo.
Modelos bilinear de zona coesiva podem ser descritos por dois parâmetros
independentes, dentre a energia coesiva Φ , a resistência coesiva maxσ ou a
distância de separação das superfícies da trinca sepδ . Em geral, a energia coesiva
é obtida a partir de ensaios de laboratório, sendo considerada equivalente à
energia de fraturamento Γ . Na figura 3.10 é ilustrando uma zona coesiva onde os
pontos A e B representam a ponta da trinca coesiva e C a ponta da trinca do
62
material, e na figura 3.11 o conceito esquemático do modelo de zona coesiva com
amolecimento.
Se o contato está sob tração, a força resistente no contato maxF é calculada a
partir dos parâmetros de resistência (força normal nF e força de cisalhamento
SF ), como uma função da orientação atual da força de contato. É assumido que a
resistência no contato varia linearmente com o ângulo α formado entre a direção
da força de contato e o segmento de reta conectando os centros das partículas em
contato:
sn
nc FFF
πα
πα 2)21(max +−=
(3.30)
O escoamento plástico no contato sob tração é determinado comparando-se
a força de contato F resultante com a força resistente maxF disponível.
( ) ( )( )22 Sn FFF += (3.31)
O contato apresentará escoamento plástico se
maxFF > (3.32)
No escomento plástico nos contatos, o incremento de deslocamento no
contato ( )snkU k ,=∆ pode ser descomposto em incremetos de deslocamento
elástico e plástico: kp
ke
K UUU ∆+∆=∆ (3.33)
O incremento de força kF∆ é uma função do incremento do deslocamento
elástico somente
ke
KK UKF ∆=∆ (3.34)
onde:
kp
kKe UUU ∆−∆=∆ (3.35)
O incremento de deslocamento plástico pode ser determinado usando a
condição de consistência 0max =− FF . O incremento de deslocamento plástico
satisfaz uma lei de fluxo e é considerado que, se a força normal for de tração,
então a direção do incremento de deslocamento plástico é sempre coincidente com
a direção da força de contato resultante,
63
FFU
Kkp λ∆=∆ (3.36)
onde λ∆ é um escalar positivo.
Figura 3.10 – Esquema de uma zona coesiva no ensaio DC(T) (Buttlar, 2007)
Figura 3.11 – Modelo bilinear de zona coesiva com amolecimento (Kim, 2007)
Ponta da Trinca coesiva
Zona Coesiva
C
64
Se a força normal de contato for compressiva, a máxima força de
cisalhamento no contato é definida por:
sc
ns FFF += µmax (3.37)
Se deslizamento ocorrer, então o deslocamento plástico de cisalhamento é
assumido coincidente com a direção da força cisalhante no contato.
O modelo de zona coesiva incorpora amolecimento (figura 3.11), sendo as
resistências nos contatos expressas em função dos deslocamentos plásticos
acumulados,
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
maxmax 1
p
pkcpp
kc U
UFUUF (3.38)
∑∆= pp UU (3.39)
Figura 3.12 - Esquema de uma zona coesiva, segundo Kim ( 2007).
Ponta da fissura do Material Ponta da fissura
Coesiva Ponta da fissura
Matematica
Zona Elastica
Zona Plástica Inactiva
Zona Plástica Ativa
Frente Amolecimento
65
Tabela 3.2 - Versões do modelo de zona coesiva propostas na literatura (Kim, 2007).
Ano Autores Modelo proposto
Tipo de problema Comentários
1952 1962 Barenblatt Modelo Frágil Materiais frágeis
O primeiro a propor o conceito de zona coesiva
1960 Dugdale Modelo Dútil
Escoamento de folhas finas de aço elástico-plásticas ideais contendo trincas
Tensão coesiva igual à tensão de escoamento do material
1976 Hillerborg et al.
Modelo com Trinca Fictícia
Concreto de cimento Portland
O primeiro para materiais cimentícios
1987 Needleman
Modelo polinomial para
forças normais e linear para forças
cisalhantes
Separação partícula-matriz Separação normal
1989 Rice and Wang
Modelo em Reajuste Atômico
Segregação de soluto
Considera separação normal e ignora separação tangencial (deslizamento).
1990 Needleman
Modelo polinomial para
forças normais e linear para forças
cisalhantes
Separação partícula-matriz Separação normal
1990 Needleman
Modelo exponencial para forças normais e trigonométrico
para forças cisalhantes.
Separação na interface sob tensão hidrostática
Força cisalhante periódica
1990 Tvergaard Modelo Quadrático
1992 Tvergaard
and Hutchinson
Modelo Trapezoidal
Crescimento da trinca em material elasto-plástico
A forma da lei de separação é relativamente não importante
1993 Xu and Needleman
Modelo exponencial para forças normais e
cisalhantes
Separação partícula-matriz
Prevê separação normal e tangencial (deslizamento).
1996 Camacho and Ortiz
Modelo Linear de Separação Forças de impacto
Prevê ruptura por cisalhamento e separação normal por tração, com separação normal e por cisalhamento.
1997 Geubelle and Bayler Modelo Bilinear Impacto de baixa
velocidade
66
4 Modelagem Numérica da Propagação de Trincas no Ensaio DC(T)
4.1. Introdução
Neste capítulo é apresentada a simulação numérica da propagação de trinca
em mistura asfáltica em ensaios de tração direta em disco circular com fenda
(Disk-Shaped Compact Test) através da modelagem pelo método dos elementos
discretos, incorporando o modelo de zona coesiva com amolecimento, com auxílio
do programa computacional PFC2D. Os corpos de prova são considerados
homogêneos, sujeitos ao modo de faturamento I.
Para determinação do parâmetro energia de fraturamento (Gf) em misturas
asfálticas é possível empregar o ensaio de fadiga em corpos de prova construídos
em forma de vigotas, porém a grande quantidade de material necessária para
confecção dos mesmos limita sua utilização prática. Corpos de prova de forma
cilíndrica, por outro lado, são mais fáceis de serem moldados em laboratório ou
extraídos de rodovias diretamente de campo.
Sob ponto de vista numérico, onde a modelagem dos corpos de prova é feita
em mesoescala, também é interessante que o corpo de prova seja de pouco
volume, tendo em vista o tempo de processamento exigido para simular iterações
envolvendo dezenas de milhares de partículas.
4.2. Ensaio DC(T) ou de Tração em Disco Circular com Fenda
O ensaio DC(T), de cujos resultados pode-se obter os parâmetros mecânicos
de misturas asfaltica, foi primeiramente empregado por Wagoner (2006) nos
Estados Unidos. Uma característica importante deste ensaio é que forças de
tração são aplicadas diretamente, diferentemente do ensaio de compressão
diametral (ensaio brasileiro) onde tensões de tração no corpo de prova são geradas
de maneira indireta.
67
A utilização do ensaio DC(T) no Brasil foi introduzida por Hirsch (2009)
mediante execução de ensaios em laboratórios da Coppe/UFRJ, como relatado
mais adiante neste trabalho.
4.2.1. Geometria dos Corpos de Prova
O disco dos corpos de prova tem as seguintes características: diâmetro
D=150 mm, espessura t = 50mm, com dois furos interiores (figura 4.1) de
diâmetro Φ=25 mm. Comprimento de pré-trinca (a+c) = 62.5mm e de ligamento
(W - a) = 82.5mm. Demais dimensões são listadas na tabela 4.1., com a
nomenclatura adotada apresentada na Figura 4.1.
Tabela 4.1 – Dimensões em (mm) recomendadas pela ASTM D7313/07
D 150
W 110
φ 25
a 27.5
d 25
c 35
t 50
Figura 4.1 – Nomenclatura e dimensões dos corpos de prova (Wagoner, 2006)
68
4.2.2. Preparação dos Corpos de Prova e Execução do Ensaio DC(T)
Os ensaios DC(T) foram executados por Hirsch (2009) nos laboratórios da
Coppe/UFRJ, de acordo com a norma D7313 (Standard Test Method for
Determining Fracture Energy of Asphalt – Aggregate Mixtures Using the Disk-
Shaped Compact Tension Geometry) da ASTM (2007).
Hirsch (2009) realizou ensaios obedecendo aos seguintes procedimentos:
1. Moldagem ou extração de corpos de prova de acordo com o teor de ligante
de projeto, com número mínimo de 2 corpos de prova por mistura, com
diâmetro de 150 mm e altura de 140 mm, utilizando um compactador
giratório apresentado na Figura 4.2
Figura 4.2 - Compactador giratório utilizado na moldagem dos corpos de prova no
Laboratório de Pavimentação da COPPE/UFRJ (Hirsch,2009).
2. Concluída a moldagem, foi realizada a divisão de cada corpo de prova
procedendo-se ao corte, conforme Figura 4.3. Cada corpo de prova tem
altura de 50±5 mm.
69
Figura 4.3 – Corte e faceamento dos corpos de prova (Hirsch,2009).
3. Execução dos furos de carregamento, a 90±5° em relação à face do corpo
de prova, devendo suas posições não diferir em mais do que 5,0 mm das
posições especificadas, conforme Figura 4.4
Figura 4.4 - Etapas de preparação dos furos de carregamento nos corpos de prova no
Laboratório de Geotecnia da COPPE/UFRJ – (Hirsch,2009).
4. Fixação do corpo de prova no gabarito e execução de chanfros e da fenda
(trinca inicial), empregando-se uma serra, de acordo com Figura 4.5.
70
Figura 4.5 – Execução dos chanfros nos corpos de prova (Hirsch,2009).
5. Preparação da face chanfrada do corpo de prova para acoplamento ao clip-
on-gage, com fixação de duas pequenas placas de alumínio na face do
corpo de prova (Figura 4.6).
Figura 4.6 – Fixação de duas placas de alumínio na amostra para conexão ao clip-on-
gage
6. Condicionamento dos corpos de prova na temperatura desejada, durante
um período mínimo de 16 horas.
7. Montagem do conjunto de garras na prensa de carregamento, fixando o
corpo de prova às mesmas, conforme Figura 4.7.
8. Acoplamento do clip-on-gage nas placas de alumínio fixadas no corpo de
prova.
71
Figura 4.7 - -Corpo de prova na prensa de carregamento (Hirsch,2009)
9. Ajuste da prensa de carregamento, com aplicação de carga mínima de 0,20
kN.
10. Realização do ensaio de tração com o controle de velocidade da abertura
da trinca através do clip-on-gage de 1,0 mm/min ou 1,7 x 10-5 m/s (Figura
4.8).
Figura 4.8 - Equipamento utilizado na realização do ensaio no Laboratório de
Pavimentação da COPPE/UFRJ (Hirsch, 2009).
11. O ensaio termina quando a carga atingir o valor mínimo de 0,1 kN;
12. Determinação da energia de faturamento pela equação 4.3.
(a) (b)
72
Os ensaios de laboratório executados por Hirsch (2009) foram feitos com
tamanhos máximos de agregado de 19,1mm e 12.7mm (correspondentes às faixas
B e C do DNIT) da especificação SUPERPAVE, com ligantes convencionais de
PG 70-16 e PG 64-16 e ligantes modificados de Flex 65/90 (PG 70-22) e asfalto-
borracha (PG 64-22).
4.3. Parâmetros Mecânicos do Ensaio DC(T)
Foram obtidos dos corpos de prova os seguintes parâmetros: resistência à
tração por compressão diametral (RT), módulo de Young (ME) e Energia de
Fratura ( fG ) .Cabe salientar que os parâmetros ME , RT e fG do ensaio no
laboratório foram necessários para o modelagem numérico do DC(T) tendo em
vista a utilização do modelo de zona coesiva com amolecimento.
4.3.1. Módulo de Elasticidade
O módulo de elasticidade é um parâmetro mecânico que representa uma
medida de proporcionalidade entre valores de tensões e de deformações em corpos
elásticos lineares. O termo módulo de elasticidade tem sido usado de forma pouco
rigorosa na área de pavimentação, pois misturas asfálticas não apresentam um
comportamento elástico linear. O módulo de resiliência MR é análogo ao módulo
de elasticidade ME (relação entre tensão σ e deformação ε), porém é determinado
em ensaios de cargas repetidas sob compressão diametral.
O ensaio para obtenção de MR consiste na aplicação de pulsos de carga com
duração de 0,1s e repousos de 0,9s, com a deformação sendo monitorada ao longo
do ensaio. Os procedimentos para realização do ensaio estão descritos na ASTM
(1982) e DNER (1994).
Para a análise de materiais isotrópicos é necessária apenas a determinação
das propriedades do material em uma única direção (solicitação uniaxial), já que
as propriedades, pela próprio conceito de isotropia, independem da direção (Allen
et al, 1985). Ainda que o ensaio de compressão diametral gera um estado biaxial
de tensões, adotou-se o ME (módulo de elasticidade) obtido em estado uniaxial de
tensões no presente desenvolvimento.
73
Figura 4.9 – Mòdulo de Elasticidade E
Lei de Hooke εσ E= (4.1)
4.3.2. Resistência à Tração Estática (Ensaio Brasieliro)
O ensaio de compressão diametral (ou tração indireta) consiste na aplicação
de duas forças de compressão, concentradas e diametralmente opostas em uma
amostra cilíndrica, que geram ao longo do diâmetro tensões de tração uniformes e
perpendiculares ao diâmetro, como apresentado na Figura 4.9. Este ensaio foi
concebido em 1943 por Fernando Luiz Lobo Carneiro, quando da abertura da
Avenida Presidente Vargas, na cidade do Rio de Janeiro, onde existia a igreja de
São Pedro, situada bem ao centro da futura avenida. Como solução imaginada à
época, pensou-se em deslocá-la por meio de rolos de concreto. Desta experiência
o engenheiro Lobo Carneiro notou queos mesmos rompiam formando uma fissura
vertical. Estudando este tipo de comportamento, propôs então um novo método
para determinação da resistência à tração dos concretos.
Pinto (1991) relata que este ensaio de tração por compressão diametral,
conhecido internacionalmente como ensaio brasileiro, originalmente proposto
para determinação da resistência à tração de concretos, passou também a ser
empregado de maneira similar em misturas asfálticas.
Tg α= E
A lei de Hooke só é válida
até este ponto
αε
σ
74
Figura 4.10 - Equipamento para ensaio de resistência à tração estática (Bastos, 2010).
DHF
R πσ 2
= (4.2)
onde
Rσ = Resistência à tração estática; F = Carga de ruptura (N); D = Diâmetro do corpo de prova (mm); H = Espessura do corpo de prova (mm);
4.3.3. Energia de Fraturamento
A energia de fraturamento pode ser calculada através da área abaixo da
curva experimental força versus abertura de trinca (CMOD), conforme observado
na Figura 4.11, obtida no ensaio de tração direta (Disk-Shaped Compact Test),
juntamente com a espessura do corpo de prova e o comprimento disponível para o
início e propagação da trinca.
Na modelagem com o programa PFC2D é possível plotar a correspondente
curva prevista força vs deslocamento, com cálculo posterior desta área, através da
de quadratura numérica pelo método dos trapézios com auxílio do aplicativo
Excel, utilizando a equação (4.4) apresentada a seguir.
75
)(*)(*5.0)(*)( 111
1 iiiii
n
iii yyxxyxxAREA −−+−= ++
=+∑ (4.3)
Figura 4.11 - Curva força vs abertura da boca da trinca (CMOD) (Wagoner, 2004).
A energia de fatura é dada pela seguinte equação
)(* aWBAREAGf
−= (4.4)
onde: Gf = Energia de fratura (J/m2); AREA = Área abaixo da curva força versus abertura de trinca; B = Espessura do corpo de prova (m); W-a = Comprimento do ligamento inicial (m)
4.4. Simulação Numérica do Ensaio DC(T)
A simulação do ensaio de tração em disco circular com fenda (DCF) foi
feita com auxílio do programa computacional PFC2D v.3.1, considerando-se as
dimensões da geometria do corpo de prova apresentadas na tabela 4.1. O material
do corpo de prova foi admitido homogêneo, sob ponto de vista estatístico,
isotrópico, sob modo de fraturamento I, considerando o modelo coesivo com
amolecimento na trajetória de propagação da trinca. A formulação do modelo
bilinear já está disponível dentre as possibilidades de modelos constitutivos de
contato disponíveis no programa PFC2D.
76
Nos furos do corpo de prova são monitoradas as leituras das forças e
deslocamentos correspondentes, através de rotinas designadas no programa
PFC2D como Histórias, programadas em linguagem FISH, ilustradas na Figura
4.12. Tais Histórias, importadas para programas EXCEL, permitem o cálculo das
áreas necessárias para determinação da energia de fratura, conforme mencionado
no ítem anterior.
Figura 4.12 – Curva força vs abertura da trinca (CMOD) obtida nas Histórias do programa
PFC-2D.
4.4.1. Geração e Arranjo de Particulas
A geração das partículas para representação do disco foi feita com dois tipos
de arranjo, hexagonal e quadrada, e com três tipos de tamanho de partícula, com
raios constantes de 0.25 mm, 0.50 mm e 1.00 mm, seguindo recomendações de
Kim (2006).
Os modelos constitutivos entre partículas obedecem ao Modelo Linear em
todo o corpo de prova, exceto na parte central onde foi adotado o modelo de zona
coesiva com amolecimento.
Na tabela 4.2 é apresentado um resumo das propriedades das partículas
utilizadas para cada arranjo, assim como o número de contatos entre elas. A figura
4.13 também informa o número de partículas para cada raio adotado nos dois
77
diferentes tipos de arranjos pesquisados. Para formar uma mesma geometria é
preciso mais partículas no tipo de arrango hexagonal do que no arranjo quadrado.
Na geração do disco da Figura 4.14 foram necessárias 75.966 particulas de 0.25
mm de raio para o arranjo hexagonal e 65.762 particulas para o arranjo quadrado.
Tabela 4.2 - Propriedades e arranjo das partículas nas simulações computacionais.
65.762
16.414
4.041
18.914
4.717
75.966
0
10.000
20.000
30.000
40.000
50.000
60.000
70.000
80.000
0,25 0,50 1,00
Radio da partícula (mm)
Nùm
ero
de p
artíc
ulas
Quadrado
Hexagonal
Figura 4.13 - Número de partículas necessárias para gerar a geometria do DC(T)
considerando arranjos hexagonal e quadrado para três valores de diâmetros de partícula
( 0,25; 0,50 e 1,00 mm).
Arranjo da
Partícula
Diâmetro da
Partícula (mm)
Massa Específica Kg/m3
Coeficiente de Poisson
ν
Coeficiente de atrito
Número de
Partículas
Número de
Contatos
Número de
Contatos Coesivos
Quadrado 0.25 2400 0.25 0.5 65.762 130.609 165
Quadrado 0.50 2400 0.25 0.5 16.414 32.374 65
Quadrado 1.00 2400 0.25 0.5 4.041 7.050 35
Hexagonal 0.25 2400 0.25 0.5 75.966 226.263 329
Hexagonal 0.50 2400 0.25 0.5 18.914 55.925 154
Hexagonal 1.00 2400 0.25 0.5 4.717 13.739 82
78
Na Figura 4.14 são apresentados, em escala majorada, os tipos de arranjos,
hexagonal e quadrado, nas vizinhanças da ponta da trinca. É possível notar a
ligação entre as partículas cujos contatos satisfazem ao modelo de zona coesiva
com amolecimento. Contatos coesivos, bem como o modelo de ligação paralela
(parallel bond) entre partículas, podem também ser observados na figura 4.15.
Figura 4.14 - Contatos coesivos e tipos de arranjo de partículas: (a) hexagonal (b)
quadrado.
PFC2D 3.10Step 26800 09:16:40 Mon Jun 14 2010
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X
Y
WallContactPBond Locations
Figura 4.15 – Contato coesivo e ligação paralela entre contatos
Contatos coesivos Contatos coesivos Contatos coesivos
Contatos coesivos
79
4.4.2. Condições de Contorno
Foi restringida a deformação dos furos do disco com fenda (DC(T)),
mediante funções de restrição escritas na linguagem de programação FISH do
programa PFC2D. Cada furo circular foi modelado como uma circunferência
composta por 60 segmentos de paredes retas de 0,0013 mm de comprimento,
como ilustra a Figura 4.16.
Figura 4.16 - Furos representados por segmentos de parede reta no DC(T)
4.4.3. Condições Iniciais e Aplicação dos Deslocamentos
Para simulação do carregamento, as paredes de ambos os furos circulares
foram verticalmente deslocadas, em sentidos opostos, sob velocidade constante
(Figura 4.16), provocando uma reorganização do conjunto das partículas com
geração de campos de tensão que, na região de propagação da fratura, são de
tração e provocam o início do mecanismo coesivo de simulação de trincamento.
Os deslocamentos na abertura da boca da trinca (CMOD) são continuamente
registrados pelo programa para obtenção da curva força vs. abertura da trinca
CMOD, conforme Figura 4.17.
P
P
80
Figura 4.17 - Abertura da boca da trinca e vetores de deslocamentos sob taxa de
velocidade constante de afastamento dos furos de carregamento do DC(T)
4.5. Propagação da Trinca na Modelagem do Ensaio DC(T)
Nas primeiras simulações, observou-se fraturamento junto aos próprios
furos onde o carregamento (sob forma de deslocamentos prescritos) foi aplicado
(Figura 4.18). Após várias tentativas, concluiu-se que as propriedades mecânicas
adotadas (em mesoescala) modelavam um corpo de prova constituído por material
frágil.
Figura 4.18 - Trincas na região dos furos na modelagem computacional obtidas na
presente pesquisa.
81
Uma situação similar foi registrada na pesquisa experimental de Wagoner
(2005), conforme ilustrações da figura 4.19. Também segundo Hirsch (2009) este
tipo de trincamento pode ocorrer devido a uma rigidez insuficiente na região
próxima aos furos.
Figura 4.19 – Trinca na região dos furos ( à esquerda ) nos primeiros ensaios
executados por Wagoner (2005).
As figuras 4.20 a 4.27 apresentam os resultados obtidos nesta pesquisa, com
o desenvolvimento das forças de contato entre partículas arranjadas de forma
hexagonal, podendo-se notar a concentração de tensões nas proximidades da ponta
da trinca, bem como a propagação da trinca sob modo de fraturamento I.
Resultados similares para arranjos quadrados de partículas são ilustrados nas
figuras 4.29 a 4.33
82
Figura 4.20 - DC(T) na condição inicial, antes do inicio dos deslocamentos dos furos de
carregamento. Passo de tempo 400, onde não se aplicou ainda o carregamento no corpo
de prova.
Figura 4.21 - DC(T) com arranjo hexagonal no passo de tempo 15601 com tração
máxima de 41.27N.
83
Figura 4.22 - DC(T) com arranjo hexagonal no passo de tempo 24916 com tração
máxima 336.3 N.
Figura 4.23 - DC(T) com arranjo hexagonal no passo de tempo 26660 com tração
máxima 381.2 N.
84
Figura 4.24 - DC(T) com arranjo hexagonal no passo de tempo 28880 com tração
máxima 380.1 N.
Figura 4.25 - DC(T) com arranjo hexagonal no passo de tempo 29600 com tração
máxima 375.5 N.
85
Figura 4.26 - DC(T)com arranjo hexagonal no passo de tempo 30925 com tração
máxima 363.9 N.
Figura 4.27 - DC(T) com arranjo hexagonal no passo de tempo 42416 com tração
máxima 377.4 N.
86
Figura 4.28 - Processo de faturamento progressivo na simulação do ensaio DC(T).
Na Figura 4.28 apresenta-se o processo de faturamento progressivo do corpo
de prova, identificando-se o ponto A como início do ensaio DC(T), o ponto B
considerando o material sob acréscimo do estado de tensão porém sem ocorrência
dapropagação da trinca ainda, o ponto C evidenciando o processo de aumento da
trinca que atinge um comprimento final no ponto D.
.
C T S F
Força (KN)
C : Compressão T : Tração S: Amolecimento F : Fratura
A
B
c
D
C T S
C T S F
CMOD (mm)
87
Figura 4.29 - DC(T) com arranjo quadrado no passo de tempo 65.
PFC2D 3.10
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BallAxes Linestyle
X
YWallContact
Figura 4.30 - DC(T) com arranjo quadrado no passo de tempo 16912.
88
PFC2D 3.10
Itasca Consulting Group, Inc.Minneapolis, MN USA
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BallAxes Linestyle
X
YWallContact
Figura 4.31 - DC(T) com arranjo quadrado no passo de tempo 20721.
Figura 4.32 - DC(T)com arranjo quadrado no passo de tempo 33268.
PFC2D 3.10
Itasca Consulting Group, Inc.Minneapolis, MN USA
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BallAxes Linestyle
X
YWallContact
89
PFC2D 3.10
Itasca Consulting Group, Inc.Minneapolis, MN USA
Step 35103 18:02:14 Mon Jun 14 2010
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BallAxes Linestyle
X
YWallContact
Figura 4.33 - DC(T) com arranjo quadrado no passo de tempo 35103.
90
5 Apresentação e Análises dos Resultados
Neste capítulo será apresentada uma síntese dos resultados obtidos nas
simulações numéricas do ensaio de Tração em Disco Circular com Fenda DC(T),
realizadas nesta pesquisa, comparando-os com os resultados experimentais
determinados em laboratório por Hirsch (2009). Também serão apresentados os
resultados de análises paramétricas obtidas com a variação dos parâmetros
mecânicos módulo de elasticidade (ME), resistência à tração estática (RT) e
energia de faturamento ( fG ) em diferentes situações.
5.1. Aferição da Curva Força vs Deslocamento
A aferição do modelo numérico foi feita através das curvas obtidas nos
ensaios de DC(T) dos corpos de prova ensaiados em laboratório por Hirsch
(2009), procurando-se ajustar os parâmetros em mesoescala, referentes às
partículas e contatos no modelo numérico, de tal forma que houvesse a melhor
concordância possível entre as curvas força versus abertura da trinca determinadas
experimental e numericamente.
Embora esta concordância, sob ponto de vista quantitativo, não tenha sido
atingida, a comparação dos resultados, na Figura 5.1, mostra que ao menos
qualitativamente a modelagem numérica simulou adequadamente as tendências
gerais de comportamento do material asfáltico ensaiado em laboratório.
Na simulação computacional a força máxima prevista foi estimada 250%
maior do que a obtida experimentalmente, com a energia de fratura ( fG )
resultando superior na modelagem numérica (2622.76 J/m2) do que na
experimental (2166.78 J/m2).
A curva indicada como calibrada na Figura 5.1 foi obtida igualando as
energias de fatura, multiplicando-se o valor numérico pelo fator de calibração 0.83
(tabela 5.1).
91
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
Abertura da Trinca - CMOD (mm)
Forç
a (k
N)
Numérico
Calibrado
Experimental
Figura 5.1 - Curvas força vs abertura da trinca (CMOD) obtidas numericamente (nesta
pesquisa) e experimentalmente por Hirsch (2009)
Tabela 5.1 Fator de calibração da energia de fratura no modelo numérico.
Corpos de Prova
Area (N*m)
Gf (J/m2)
Numérico 10,82 2622,76
Calibrado 9,32 2166,66
Experiemental (CP_B34) 9,33 2166,78
Fator de Calibração 0,83
Na Figura 5.2 são comparados os valores da energia de fratura ( fG ) das
curvas do modelo numérico, do modelo numérico calibrado e do modelo
experimental do corpo de prova CP-B34.
92
2622,76
2166,66 2166,78
0,00
500,00
1000,00
1500,00
2000,00
2500,00
3000,00
3500,00
Original Calibrado ExperimentalCurva
Ene
rgia
de
Fra
tura
(J/
m2)
Energia de fratura(J/m2)
Figura 5.2 - Energia de fratura das curvas força vs abertura de trinca (CMOD).
Finalmente, na tabela 5.2 são apresentadas então as propriedades em macro
e mesoescalas, correspondentes às curvas experimental e numérica calibrada,
respectivamente, adotadas na continuação deste trabalho.
Tabela 5.2 – Propriedades em macro e mesoescalas das curvas experimental e
numérica calibrada, respectivamente.
Corpo de Prova (CP_B34)
Hirsch (2009)
Propriedades em Macroescala
Propriedades em Mesoescala
Temperatura (� C)
Espessura (mm)
Energia de
Fratura (J/m2)
Módulo de
Young E
(GPA)
Resistência à Tração
RT (MPA)
Rigidez da
partícula (GPA)
Resistência da Ligação
(MPA)
Energia de Fratura
(J/m2)
25 50 2166,78 4,00 2,00 0,07 8,00 2166,00
Freitas (2002) investigou a propagação de trincas em misturas asfálticas
pelo método dos elementos finitos (MEF), considerando corpos de prova
cilíndricos com uma trinca pré-existente no centro do corpo de prova sob forma de
losango. Obteve curvas força vs deslocamento muito próximas às curvas
experimentais, possivelmente porque a trinca pré-existente representava 2% da
93
área total do modelo, enquanto que no presente estudo os furos de carga e a trinca
inicial somam mais do que 6% da área do disco do ensaio DC(T).
Song (2006) realizou modelagem do ensaio DC(T) também utilizando o
método dos elementos finitos com oo programa comercial ABAQUS,
incorporando o modelo de zona coesiva. Os resultados obtidos das curvas força-
abertura da trinca (CMOD) em relação aos resultados experimentais de Wagoner
(2006) diferem em 20%.
Kim (2007) empregou o método dos elementos discretos nos resultados
experimentais obtidos por Wagoner (2005) em ensaios de Disco Circular com
Fenda DC(T), utilizando o programa comercial PFC2D com o modelo de zona
coesiva com amolecimento. Kim (2007) realizou dois tipos de simulação: a
primeira, considerando o corpo de prova como material homogêneo formado por
partículas de mesmo tamanho, e a segunda simulação considerando o material
como heterogêneo, com base em técnicas de imagem de alta resolução para
definição da composição do corpo de prova (asfalto, interface e agregado). Os
resultados obtidos na simulação numérica considerando a heterogeneidade do
material foram bastante satisfatórios.
5.2. Análises Paramétricas
Para a realização de análises paramétricas, os corpos de prova foram
subdivididos em 4 grupos, cada qual com diferentes valores dos parâmetros
mecânicos de interesse, em macro e mesoescalas: módulo de elasticidade (ME) e
resistência à tração (RT).
Foram observadas a variação das curvas força vs abertura de trinca
(CMOD), bem como o comportamento dos valores da energia de fratura ( fG ) em
relação à rigidez da partícula, da energia de fratura ( fG ) em relação ao módulo de
elasticidade e da rigidez da partícula em relação ao módulo de elasticidade.
94
5.2.1. Grupo I: Corpos de Prova do Grupo A (CP_A)
Neste grupo de 6 corpos de prova as análises foram executadas mantendo-se
a resistência à tração (RT) constante e verificando-se o comportamento da curva
força vs abertura da trinca conforme Figura 5.3.
0,00
0,40
0,80
1,20
1,60
2,00
2,40
2,80
3,20
3,60
4,00
4,40
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5Abertura de trinca - CMOD (mm)
Forç
a (k
N)
CP_A1 CP_A2
CP_A3 CP_A4
CP_A5 CP_A6
Figura 5.3 - Curvas força vs abertura de trinca (CMOD) para 6 corpos de prova do grupo
CP_A mantendo-se a resistência à tração constante.
Com a diminuição do valor do módulo de elasticidade (em macroescala) de
1.5 GPa para 1.0 GPa, conforme valores listados na tabela 5.3, aumentam as
aberturas de trinca (Figura 5.3) e da energia de fratura (Figura 5.4).
95
Tabela 5.1 - Propriedades mecânicas e energia de fraturamento nos corpos de prova do
grupo CP_A
741,90
837,06874,90 893,84
970,84
1058,60
0,000
200,000
400,000
600,000
800,000
1000,000
1200,000
1400,000
CP_A1 CP_A2 CP_A3 CP_A4 CP_A5 CP_A6
Corpos de Prova: A
Ene
rgia
de
Fra
tura
(J/
m2)
Energia deFratura (J/m2)
Figura 5.4 - Variação da energia de fratura nos corpos de prova do Grupo I (CP_A).
Nas Figuras 5.5, 5.6 e 5.7 são apresentadas as relações entre energia de
fratura ( fG ) vs rigidez da partícula, energia de fratura ( fG ) vs módulo de
elasticidade (E) e rigidez da partícula vs módulo de elasticidade (E),
respectivamente. Os gráficos apresentados nas duas primeiras figuras ilustram o
Propriedades em Macroescala
Propriedades em Mesoescala
Corpos de Prova
A Módulo de Young, E
(GPA)
Resistência à Tração, RT
(MPA)
Rigidez da
partícula (GPA)
Resistência de Ligação (MPA)
Area (N*m)
Energia de fratura
Gf (J/m2)
CP_A1 1,50 2,00 0,0765 7,00 3,06 741,90
CP_A2 1,40 2,00 0,0714 7,00 3,45 837,06
CP_A3 1,30 2,00 0,0663 7,00 3,61 874,90
CP_A4 1,20 2,00 0,0612 7,00 3,69 893,84
CP_A5 1,10 2,00 0,0561 7,00 4,00 970,84
CP_A6 1,00 2,00 0,0510 7,00 4,37 1058,60
96
decaimento da energia de fratura com a rigidez da partícula e do módulo de
elasticidade, respectivamente.
650,00
700,00
750,00
800,00
850,00
900,00
950,00
1000,00
1050,00
1100,00
1150,00
0,045 0,050 0,055 0,060 0,065 0,070 0,075 0,080
Rigidez da Partícula (GPA)
Ene
rgia
de
Frat
ura
(J/m
2)
Energia de Fratura vsRigidez da Partícula
Figura 5.5 - Relação entre energia de fratura (Gf) e rigidez da partícula nos corpos de
prova CP_A do grupo I.
500,00
600,00
700,00
800,00
900,00
1000,00
1100,00
1200,00
1300,00
1400,00
0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55
Módulo de Young E (GPA)
Ene
rgia
de
Frat
ura
(J/m
2)
Energia de Fratura (Gf)vs Módulo de Young (E)
Figura 5.6 - Relação entre a energia de fratura (Gf) e módulo de elasticidade nos corpos
de prova CP_A do grupo I.
97
0,05
0,05
0,06
0,06
0,07
0,07
0,08
0,08
0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 1,40 1,45 1,50 1,55
Módulo de Young E (GPA)
Rig
idez
da
Part
ícul
a (G
PA)
Rigidez da Partícula vsMódulo de Young (E)
Figura 5.7 - Relação linear entre a rigidez da partícula e o módulo de elasticidade.
5.2.2. Grupo II: Corpos de Prova do Grupo B (CP_B)
Análises similares foram executadas com os corpos de prova do grupo B,
mantendo-se desta vez constante o valor do módulo de elasticidade (E) e obtendo-
se os resultados da Figura 5.8, em termos das curvas força vs abertura da trinca
correspondentes aos 6 corpos de prova listados na tabela 5.4.
Diminuindo-se o valor da resistência à tração de 2 Mpa para 1 Mpa, a força
na máxima abertura de trinca diminui também progressivamente, variando de 4.2
kN (corpo de prova CP_B1) para 3.3 kN (corpo de prova CP_B3), assim como
observa-se um decréscimo no valor da energia de fratura correspondente (Figura
5.9).
As Figuras 5.10, 5.11 e 5.12 apresentam a relação entre a energia de fratura
( fG ) e a resistência da ligação, a energia de fratura ( fG ) e a resistência à tração
(RT) e a resistência da ligação vs resistência a tração (RT), respectivamente.
98
0,00
0,40
0,80
1,20
1,60
2,00
2,40
2,80
3,20
3,60
4,00
4,40
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0
Abertura de Trinca - CMOD (mm)
For
ça (
kN)
CP_B1 CP_B2
CP_B3 CP_B4
CP_B5 CP_B6
Figura 5.8 - Curvas força vs abertura de trinca (CMOD) para 6 corpos de prova do grupo
CP_B mantendo-se o módulo de elasticidade constante.
Tabela 5.2 - Propriedades mecânicas e energia de fratura nos corpos de prova do grupo
II (CP_B).
Propriedades em Macroescala Propriedades em Mesoescala Corpos
de Prova
B
Módulo de
Young, E (GPA)
Resistência à Tração, RT
(MPA)
Rigidez da partícula (GPA)
Resistência de Ligação (MPA)
Area (N*m)
Energia de fratura
Gf (J/m2)
CP_B1 1,00 2,00 0,05 8,00 5,63 1364,88
CP_B2 1,00 1,80 0,05 7,20 4,60 1116,18
CP_B3 1,00 1,60 0,05 6,40 3,83 927,97
CP_B4 1,00 1,40 0,05 5,60 3,04 737,32
CP_B5 1,00 1,20 0,05 4,80 2,38 575,83
CP_B6 1,00 1,00 0,05 4,00 1,73 418,56
99
1364,88
1116,18
927,97
737,32
575,83
418,56
0,00
200,00
400,00
600,00
800,00
1000,00
1200,00
1400,00
1600,00
CP_B1 CP_B2 CP_B3 CP_B4 CP_B5 CP_B6
Corpos de Prova : B
Ene
rgia
de
Fra
tura
(J/m
2)Energia deFratura (J/m2)
Figura 5.9 - Energia de fratura nos 6 corpos de prova do grupo II (CP_B).
300,00
400,00
500,00
600,00
700,00
800,00
900,00
1000,00
1100,00
1200,00
1300,00
1400,00
2,000 3,000 4,000 5,000 6,000 7,000 8,000 9,000 10,000
Resistência de Ligação (GPA)
Ene
rgia
de
Frat
ura
(J/m
2)
Energia de Fratura vsResistência de Ligação
Figura 5.10 - Relação entre a energia de fratura (Gf) e a resistência de ligação nos
corpos de prova do grupo II (CP_B).
100
300,00
400,00
500,00
600,00
700,00
800,00
900,00
1000,00
1100,00
1200,00
1300,00
1400,00
0,000 1,000 2,000 3,000
Resistência à Tração (MPA)
Res
istê
ncia
de
Liga
ção
(G
PA)
Energia de Fratura vsResistência à Tração (RT)
Figura 5.11 - Relação entre a energia de fratura (Gf) e a resistência à tração nos corpos
de prova do grupo II (CP_B).
3,00
4,00
5,00
6,00
7,00
8,00
9,00
0,500 1,000 1,500 2,000 2,500
Resistência à Tração (MPA)
Res
istê
ncia
de
Liga
ção
(G
PA)
Resistência de Ligação vsResistência à Tração (RT)
Figura 5.12 - Relação entre a resistência da ligação vs resistência à tração nos corpos de
prova do grupo II (CP_B).
101
5.2.3. Grupo III: Corpos de Prova do Grupo III (CP_C)
Neste grupo, 8 de corpos de provas são considerados em análises executadas
mantendo-se a resistência à tração (RT) constante em 2 MPa (tabela 5.5), com
obtenção de curvas força vs abertura de trinca apresentadas nos gráficos das
Figuras 5.13 (corpos de prova CP_C1 a CP_C5) e 5.14 (corpos de prova CP_C6 a
CP_C8).
0,00
0,30
0,60
0,90
1,20
1,50
1,80
2,10
2,40
2,70
3,00
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
Abertura de Trinca - CMOD (mm)
Forç
a (k
N)
CP_C1 CP_C2
CP_C3 CP_C4
CP_C5
Figura 5.13 - Curvas força vs abertura de trinca (CMOD) para 5 corpos de prova do
grupo III considerando-se a resistência à tração constante.
Diminuindo-se o valor do módulo de elasticidade de 1.5 GPa para 0.1 GPa,
pode-se observar que o valor da abertura máxima aumenta de 0.3mm para 6mm,
aproximadamente, bem como os respectivos valores da energia de fratura (Figuras
5.15 e 5.16).
102
0,00
0,30
0,60
0,90
1,20
1,50
1,80
2,10
2,40
2,70
3,00
3,30
0,0 2,0 4,0 6,0 8,0 10,0 12,0
Abertura de Trinca - CMOD (mm)
Forç
a (k
N)
CP_C6CP_C7CP_C8
Figura 5.14 - Curvas força vs abertura de trinca (CMOD) para 3 corpos de prova do
grupo III considerando-se a resistência à tração constante.
Tabela 5.3 - Propriedades mecânicas e energia de fratura nos 8 corpos de prova do
grupo III.
Propriedades em Macroescala Propriedades em Mesoescala Corpos de
Prova C
Módulo de Young , E
(GPA)
Resistência à Tração, RT
(MPA)
Rigidez da partícula (GPA)
Resistência de Ligação (MPA)
Area (N*m)
Energia de fratura
Gf (J/m2)
CP_C1 1,50 2,00 0,075 4,00 1,85 447,68
CP_C2 1,40 2,00 0,070 4,00 1,93 467,42
CP_C3 1,30 2,00 0,065 4,00 1,99 481,82
CP_C4 1,20 2,00 0,060 4,00 2,17 525,01
CP_C5 1,10 2,00 0,055 4,00 2,32 563,02
CP_C6 1,00 2,00 0,05 4,00 2,32 563,02
CP_C7 0,50 2,00 0,025 4,00 3,91 947,43
CP_C8 0,10 2,00 0,005 4,00 14,72 3567,68
103
447,68467,42 481,82
525,01563,02
0,00
100,00
200,00
300,00
400,00
500,00
600,00
700,00
CP_C1 CP_C2 CP_C3 CP_C4 CP_C5
Corpo de Prova: C
Ene
rgia
de
frat
ura
(J/m
2)Energia da Fratura(J/m2)
Figura 5.15 - Energia de fratura em 5 corpos de prova do grupo III (CP_C).
563,02
947,43
3567,68
0,00
500,00
1000,00
1500,00
2000,00
2500,00
3000,00
3500,00
4000,00
CP_BC6 CP_BC7 CP_BC8
Corpo de Prova: C
Ene
rgia
de
Frat
ura
(J/m
2)
Energia deFratura (J/m2)
Figura 5.16 - Energia de fratura em 3 corpos de prova do grupo III (CP_C).
104
5.2.4. Grupo IV: Corpos de Prova do Grupo IV ( CP_D).
Nos 5 corpos de prova do grupo IV, identificados por CP_D, a resistência à
tração é mantida também constante em 1.429 MPa para três corpos de prova
(subgrupo CP_DA) e em 1.314 MPa para outros dois corpos de prova (subgrupo
CP_DB). Os valores das propriedades mecânicas dos mesmos são apresentados
na tabela 5.6, enquanto que a Figura 5.17 mostra o comportamento da curva força
vs abertura da trinca.
0,00
0,40
0,80
1,20
1,60
2,00
2,40
2,80
3,20
0,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0
Abertura de Trinca - CMOD (mm)
Forç
a (k
N)
CP_DA1 CP_DA2 CP_DA3
CP_DB1 CP_DB2
Figura 5.17 - Curvas força vs abertura de trinca (CMOD) para 3 corpos de prova do
subgrupo CP_DA (resistência à tração constante em 1.429 MPa) e dois corpos de prova
do subgrupo CP_DB (resistência à tração constante em 1.314 MPa).
A força máxima aumenta com a resistência à tração, passando do valor 2.5
kN no subgrupo CP_DA para o valor 2.9 kN nos corpos de prova do subgrupo
CP_DB. A energia de fratura (Figura 5.18) diminui, como já anteriormente
constatado, com o aumento do módulo de elasticidade do corpo de prova.
105
Tabela 5.4 - Propriedades mecânicas e energia de fratura nos corpos de prova dos
grupos CP_DA e CP_DB.
Propriedades em Macroescala
Propriedades em Mesoescala Corpos
de Prova
D
Módulo de Young , E
(GPA)
Resistência à Tração,
RT (MPA)
Rigidez da partícula (GPA)
Resistência de Ligação
(MPA)
Area (N*m)
Energia de fratura
Gf (J/m2)
CP_DA1 1,176 1,429 0,06 5,00 8,65 2097,29
CP_DA2 1,372 1,429 0,07 5,00 7,67 1859,57
CP_DA3 1,764 1,429 0,09 5,00 6,22 1507,08
CP_DB1 3,528 1,314 0,18 4,60 2,49 604,61
CP_DB2 2,744 1,314 0,14 4,60 3,48 842,60
2097,29
1859,57
1507,08
604,61
842,60
0,00
500,00
1000,00
1500,00
2000,00
2500,00
CP_DA1 CP_DA2 CP_DA3 CP_DB1 CP_DB2
Corpos de Prova: D
Ene
rgia
de
Frat
ura
(J/m
2)
Energia deFratura (J/m2)
Figura 5.18 - Energia de fratura em 3 corpos de prova do subgrupo CP_DA e 2 corpos de
prova do subgrupo CP_DB.
106
6 Conclusões e Sugestões
6.1. Conclusões
A presente pesquisa empregou o método dos elementos discretos, através do
programa computacional PFC2D, para a realização de uma investigação da
propagação de trincas em mistura asfáltica sob uma abordagem micromecânica.
Especificamente, procurou-se reproduzir os resultados de ensaios de tração em
disco circular com fenda realizados na Coppe/ UFRJ (Hirsch, 2009). O material
foi considerado estatisticamente homogêneo e a região de propagação da fratura
foi modelada com base no modelo constitutivo da zona coesiva com
amolecimento, disponível no programa comercial PFC2D. A partir dos resultados
da modelagem numérica conclui-se que:
• O método dos elementos discretos é uma ferramenta promissora para
simular os processos de propagação de trincas em corpos de prova de
misturas asfálticas.
• A relação força vs abertura de trinca obtida numericamente, ainda que não
concorde satisfatoriamente com os resultados experimentais, exibe
qualitativamente as tendências gerais de comportamento do material
asfáltico ensaiado em laboratório.
• O ensaio de tração em disco circular DC(T) com fenda representa é de
grande potencial de aplicação não somente na área de pavimentação, mas
em outros campos da engenharia onde problemas da mecânica da fratura
são importantes.
• As análises paramétricas foram úteis para relacionar as propriedades
mecânicas em macro e meso-escala, embora investigações adicionais
devam ser feitas com o objetivo de aperfeiçoar este conhecimento que, no
momento, é ainda bastante limitado.
107
• Embora simulações pelo método dos elementos discretos possam em
futuro breve serem mais freqüentes e acessíveis aos engenheiros, o método
ainda apresenta desvantagens em relação a tempos (exagerados) de
processamento e devido à maior dificuldade de modelagem através de
programas computacionais. O programa PFC2D, por exemplo, é de difícil
aprendizado, envolvendo um grande número de comandos, variáveis e
opções, muito maior do que nos usuais programas computacionais
baseados no método dos elementos finitos.
• O modelo constitutivo de zona coesiva com amolecimento usado nesta
pesquisa demonstra ser bastante eficaz na modelagem da propagação de
trincas envolvendo deformações elastoplásticas com amolecimento.
6.2. Sugestões para trabalhos futuros
A fim de dar continuidade ao tema de pesquisa ora apresentado, são feitas as
seguintes sugestões para trabalhos futuros:
• Aprofundar o estudo do trincamento de misturas asfálticas
considerando o corpo de prova como material heterogêneo.
• Investigar problemas de mecânica da fratura, na área de pavimentação
ou da mecânica das rochas, envolvendo modos de fraturamento misto
I-II com o objetivo de comparar resultados experimentais e soluções
numéricas / empíricas / analíticas com os resultados obtidos por
simulações através do método dos elementos discretos.
108
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