juan m. rodr guez p. phd. · 2020-02-24 · ley de pascal: la presi on aplicada a un uido con nado...
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Presion y estatica de fluidos
Juan M. Rodrıguez P. PhD.
Universidad EAFIT
2020
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 1 / 114
Contenido
1 Presion
2 Medicion de PresionEjemplos
3 Estatica de fluidosSuperficies planas sumergidas
Ejemplos
Superficies curvas sumergidasEjemplos
4 Referencias
5 Fin
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 2 / 114
Presion
Presion
Presion: una fuerza normal ejercida por un fluido por unidad de area. Launidad de presion en sistema internacional es el Pa
1 Pa = 1 N/m2
1 bar = 105 Pa = 0.1 MPa = 100 kPa
1 atm = 101, 325 Pa = 101.325 kPa = 1.01325 bars
1 kgf/cm2 = 9.807 N/cm2 = 9.807× 104 N/m2 = 9.807× 104 Pa
= 0.9807 bar
= 0.9679 atm
Recordemos el MPa de mecanica de solidos. La presion tiene las mismasunidades del esfuerzo.
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Presion
Presion
En el sistema ingles, la unidad de presion es la libra-fuerza por pulgadacuadrada (lbf /in2 o psi) y 1 atm = 14.696 psi.Se define como una fuerza normal ejercida por un fluido por unidad dearea.Se habla de presion solo cuando se trata de un gas o un lıquido
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Presion
Presion
El esfuerzo normal (o ”presion”) enlos pies de una persona gordita esmucho mayor que en los pies de unapersona delgada. Algunos medidores de presion basicos
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Presion
Presion
La presion tambien explica por que una persona puede caminar sobrenieve recien caıda sin hundirse si usa zapatos grandes para caminarsobre ella .
Tambien, explica como una persona corta algun objeto ejerciendopoca fuerza si usa un cuchillo afilado.
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Presion
Presion
Presion absoluta: la presion real en una posicion determinada. Semide con relacion al vacıo absoluto (es decir, presion cero absoluta).
Presion manometrica: la diferencia entre la presion absoluta y lapresion atmosferica local. La mayorıa de los dispositivos de medicionde presion estan calibrados para leer cero en la atmosfera, por lo queindican la presion del manometro.
Presiones de vacıo: presiones por debajo de la presion atmosferica.
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Presion
Presion
Pabs = Patm + Pman
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Presion
Presion en un punto
La presion es la fuerza de compresion por unidad de area, pero no esun vector.
La presion en cualquier punto de un fluido es la misma en todas lasdirecciones.
La presion tiene magnitud pero no una direccion especıfica, y por lotanto es una cantidad escalar.
La presion es una cantidad escalar,no un vector; La presion en un puntode un fluido es la misma en todas lasdirecciones.
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Presion
Presion en un punto
∑Fx = max = 0 : P1 ∆y∆z − P3 ∆yl sin θ = 0∑Fz = maz = 0 : P2 ∆y∆x − P3 ∆yl cos θ − 1
2ρg ∆x ∆y ∆z = 0
W = mg = ρg ∆x ∆y ∆z/2
∆z = l sin θ
∆x = l cos θ
P1 − P3 = 0
P2 − P3 −1
2ρg ∆z = 0
Figura: Fuerzas que actuan sobre unelemento fluido en forma de cuna enequilibrio
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Presion
Variacion de la presion con la profundidad: Densidadconstante
∆P = P2 − P1 = −ρg ∆z = −γs ∆z
Pdebajo = Pencima + ρg |∆z | = Pencima + γs |∆z |P = Patm + ρgh o Pman = ρgh
Figura: La presion de un fluido en reposo incrementa con la profundidad
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Presion
Variacion de la presion con la profundidad: Densidadvariable
∆P = P2 − P1 = −∫ 2
1ρg dz
La anterior ecuacion se aplica cuando se conoce la variacion de la densidadcon la profundidad.
Figura: Diagrama de cuerpo libre de un elemento fluido rectangular en equilibrio.
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Presion
Presion
Figura: En un cuarto lleno con gas, lavariacion de la presion con laprofundidad es despreciable.
Figura: La presion en un lıquido enreposo aumenta linealmente con ladistancia desde la superficie libre.
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Presion
Presion
Figura: La presion es a misma en todos los puntos en un plano horizontal en unfluido dado, independientemente de la geometrıa, siempre que los puntos esteninterconectados por el mismo fluido.
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Presion
Principio de Pascal
Ley de Pascal: lapresion aplicada a unfluido confinadoaumenta la presion enla misma cantidad.
La relacion de areaA2/A1 se llama laventaja mecanicaideal del elevadorhidraulico.
P1 = P2 → F1A1
= F2A2
→ F2F1
= A2A1
Figura: Levantamiento de un gran peso mediante unapequena fuerza
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Medicion de Presion
Medicion de Presion
La presion atmosferica se midemediante un dispositivo llamadobarometro.
La presion atmosferica a menudo sedenomina presion barometrica.
Una unidad de presion de uso frecuentees la atmosfera estandar, que se definecomo la presion producida por unacolumna de mercurio de 760 mm dealtura a 0◦C (ρHg = 13,595 kg/m3)bajo aceleracion gravitacional estandar(g = 9.807 m/s3 )
Patm = ρgh
Figura: Barometro basico
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Medicion de Presion
Medicion de Presion
Figura: Barometro basico
La longitud o el area de la secciontransversal del tubo no tiene ningunefecto sobre la altura de la columnade fluido de un barometro, siempreque el diametro del tubo sea losuficientemente grande como paraevitar los efectos de tensionsuperficial (capilaridad).
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Medicion de Presion
Manometro
Se usa comunmente para medir diferencias de presion pequenas ymoderadas. Un manometro contiene uno o mas fluidos como mercurio,agua, alcohol o aceite.
Figura: Manometro
P2 = Patm + ρgh
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Medicion de Presion
Capas de fluido apiladas
Se usa comunmente para medir diferencias de presion pequenas ymoderadas. Un manometro contiene uno o mas fluidos como mercurio,agua, alcohol o aceite.
En las capas de fluido apiladas, elcambio de presion a traves de unacapa de fluido de densidad ρ y laaltura h es ρgh.
Patm + ρ1gh1 + ρ2gh2 + ρ3gh3 = P1
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Medicion de Presion
Manometro diferencial
Medicion de la caıda de presion atraves de una seccion de flujo o undispositivo de flujo mediante unmanometro diferencial.
P1 + ρ1g(a + h)− ρ2gh − ρ1ga = P2
P1 − P2 = (ρ2 − ρ1)gh
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Medicion de Presion
Estrategias solucion problemas: manometro
El cambio de presion de un lado al otro lado de la columna de fluidode altura h es ρgh.
La presion aumenta hacia debajo de un fluido dado y disminuye haciaarriba
Dos puntos a la misma altura de un fluido continuo en reposo estanen la misma presion
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Medicion de Presion Ejemplos
Ejemplo 1
El agua en un tanque se presurizacon aire y se mide la presion conmanometros de fluidos multiples.Determine la presion del aire en eltanque si h1 = 0.1 m, h2 = 0.2 m yh3 = 0.35 m. Tome las densidadesdel agua, el aceite y el mercuriocomo 1000 kg/m3, 850 kg/m3 y13600 kg/m3, respectivamente. Lapresion atmosferica es 85.6 kPa.
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Medicion de Presion Ejemplos
Ejemplo 1
P1 + ρaguagh1 + ρaceitegh2 − ρHggh3 = Patm
Despejando la presion en el punto 1 P1
P1 = Patm − ρaguagh1 − ρaceitegh2 + ρHggh3
Remplazando los valores del enunciado se obtiene: P1 = 130 kPa
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Medicion de Presion Ejemplos
Ejemplo 2
Determine el diferencial de presion ∆P = PA−PB , en unidades de lbf/in2.SGHg = 13.6 y SGaceite = 0.88
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Medicion de Presion Ejemplos
Ejemplo 2
Determine el diferencial de presion ∆P = PA−PB , en unidades de lbf/in2.SGHg = 13.6 y SGaceite = 0.88
PA + ρH2Ogh10 − ρHggh3 + ρaceitegh4 − ρH2Ogh5 − ρH2Ogh8 = PB
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Medicion de Presion Ejemplos
Ejemplo 2
Determine el diferencial de presion ∆P = PA−PB , en unidades de lbf/in2.SGHg = 13.6 y SGaceite = 0.88, ρH2O = 1.94 slug/ft3
PA + ρH2Ogh10 − ρHggh3 + ρaceitegh4 − ρHggh5 − ρH2Ogh8 = PB
Despejando PA − PB
PA − PB = −ρH2Ogh10 + ρHggh3 − ρaceitegh4 + ρHggh5 + ρH2Ogh8
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Medicion de Presion Ejemplos
Ejemplo 2
Determine el diferencial de presion ∆P = PA−PB , en unidades de lbf/in2.SGHg = 13.6 y SGaceite = 0.88, ρH2O = 1.94 slug/ft3
PA − PB = −(
1.94slug
ft3
)(32.2
ft
s2
)(10
12ft
)+ 13.6
(1.94
slug
ft3
)(32.2
ft
s2
)(3
12ft
)− 0.88
(1.94
slug
ft3
)(32.2
ft
s2
)(4
12ft
)+ 13.6
(1.94
slug
ft3
)(32.2
ft
s2
)(5
12ft
)+
(1.94
slug
ft3
)(32.2
ft
s2
)(8
12ft
)= 537.64
lbf
ft2= 4.02 psi
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Medicion de Presion Ejemplos
Ejemplo 3
La presion manometrica del aire en un tanque presurizado de agua esmedida simultaneamente por un medidor de presion y un manometro. Laaltura diferencial de mercurio se determinara
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Medicion de Presion Ejemplos
Ejemplo 3
La presion manometrica del aire en un tanque presurizado de agua esmedida simultaneamente por un medidor de presion y un manometro. Laaltura diferencial de mercurio se determinara
P1 + ρwghw − ρHgghHg − ρoilghoil = Patm
P1 − Patm = −ρwghw + ρHgghHg + ρoilghoil
P1,man
ρwg= SG oilhoil + SGHghHg − hw
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Medicion de Presion Ejemplos
Ejemplo 3
La presion manometrica del aire en un tanque presurizado de agua esmedida simultaneamente por un medidor de presion y un manometro. Laaltura diferencial de mercurio se determinara
P1,man
ρwg= SG oilhoil + SGHghHg − hw
Remplazando los valores dados seobtiene un hHg de 0.47 m.
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Medicion de Presion Ejemplos
Ejemplo 4
El agua fresca y el agua de mar (ρsea = 1025 kg/m3) que fluye en tuberıasparalelas horizontales se conectan entre sı mediante un manometro dobleen forma de U. La diferencia de presion entre las dos tuberıas sedeterminara.
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Medicion de Presion Ejemplos
Ejemplo 4
El agua fresca y el agua de mar (ρsea = 1025 kg/m3) que fluye en tuberıasparalelas horizontales se conectan entre sı mediante un manometro dobleen forma de U. La diferencia de presion entre las dos tuberıas sedeterminara.
P1 + ρwghw − ρHgghHg − ρairghair + ρseaghsea = P2
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Medicion de Presion Ejemplos
Ejemplo 4
El agua fresca y el agua de mar (ρsea = 1025 kg/m3) que fluye en tuberıasparalelas horizontales se conectan entre sı mediante un manometro dobleen forma de U. La diferencia de presion entre las dos tuberıas sedeterminara.
Despejando P1 − P2
P1 − P2 = −ρwghwρ+HgghHg + ρairghair − ρseaghsea
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Medicion de Presion Ejemplos
Ejemplo 4
El agua fresca y el agua de mar (ρsea = 1025 kg/m3) que fluye en tuberıasparalelas horizontales se conectan entre sı mediante un manometro dobleen forma de U. La diferencia de presion entre las dos tuberıas sedeterminara.
Se obtiene que P1 − P2 es igual a: 3.39 kPa
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Medicion de Presion Ejemplos
Ejemplo 5
La presion en una tuberıa de gas natural se mide con un manometro dobleen forma de U con uno de los brazos abierto a la atmosfera. La presionabsoluta en la tuberıa debe ser determinada.
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Medicion de Presion Ejemplos
Ejemplo 5
La presion en una tuberıa de gas natural se mide con un manometro dobleen forma de U con uno de los brazos abierto a la atmosfera. La presionabsoluta en la tuberıa debe ser determinada.
P1 − ρHgghHg − ρwaterghwater = Patm
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Medicion de Presion Ejemplos
Ejemplo 5
La presion en una tuberıa de gas natural se mide con un manometro dobleen forma de U con uno de los brazos abierto a la atmosfera. La presionabsoluta en la tuberıa debe ser determinada.
P1 = ρHgghHg + ρwaterghwater + Patm
La presion atmosferica es 14.2 psi
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Medicion de Presion Ejemplos
Ejemplo 5
La presion en una tuberıa de gas natural se mide con un manometro dobleen forma de U con uno de los brazos abierto a la atmosfera. La presionabsoluta en la tuberıa debe ser determinada.
P1 = 13.6
(1.94
slug
ft3
)(32.2
ft
s2
)(6
12ft
)(ft2
144 in2
)+
(1.94
slug
ft3
)(32.2
ft
s2
)(27
12ft
)(ft2
144 in2
)+ 14.2psi
= 18.12 psi
Recuerde: 1lbf=1 slug·fts2
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Estatica de fluidos
Estatica de fluidos
Estatica de fluidos: trata problemas asociados con fluidos en reposo.El fluido puede ser gaseoso o lıquido.
Hidrostatica: cuando el lıquido es un lıquido.
Aerostatica: cuando el fluido es un gas.
En la estatica de fluidos, no hay movimiento relativo entre las capas defluido adyacentes, y por lo tanto no hay esfuerzos de corte (tangenciales)en el fluido que intenta deformarlo.
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Estatica de fluidos
Estatica de fluidos
El unico esfuerzo con el que tratamos en la estatica de fluidos es elesfuerzo normal, que es la presion, y la variacion de la presion sedebe solo al peso del fluido.
El tema de la estatica de fluidos solo tiene importancia en los camposde gravedad.
El diseno de muchos sistemas de ingenierıa, como represas de agua ytanques de almacenamiento de lıquidos, requiere la determinacion delas fuerzas que actuan sobre las superficies utilizando estatica defluidos.
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Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Fuerzas hidrostaticas en superficies planas sumergidas
Una placa, como la compuertade una presa, la pared de untanque de almacenamiento delıquidos o el casco de un barcoen reposo, se somete a presionde fluido distribuida sobre susuperficie cuando se expone aun lıquido.
En una superficie plana, lasfuerzas hidrostaticas forman unsistema de fuerzas paralelas, y amenudo necesitamos determinarla magnitud de la fuerza y supunto de aplicacion, que sedenomina centro de presion.
Figura: Hidroituango
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Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Fuerzas hidrostaticas en superficies planas sumergidas
Figura: Presion hidrostatica
Al analizar las fuerzas hidrostaticasen superficies sumergidas, la presionatmosferica se puede restar porsimplicidad cuando actua en amboslados de la estructura.
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 42 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Fuerzas hidrostaticas en superficies planas sumergidas
Figura: Fuerza hidrostatica sobre una superficie plana inclinada completamentesumergida en un lıquido.
P = P0 + ρgh = P0 + ρgy sin θ
FR=∫A P dA=
∫A (P0+ρgy sin θ) dA=P0A+ρg sin θ
∫A ydA yC= 1
A
∫A y dA
FR=(P0+ρgyC sin θ)A=(P0+ρghC )A=PCA=PavgA PC=P0+ρghC
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Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Fuerzas hidrostaticas en superficies planas sumergidas
Figura: Presion hidrostatica
La presion en el centroide de unasuperficie es equivalente a la presionpromedio en la superficie.
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Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Fuerzas hidrostaticas en superficies planas sumergidas
La fuerza resultante que actua sobreuna superficie plana es igual alproducto de la presion en elcentroide de la superficie y el area dela superficie, y su lınea de accionpasa a traves del centro de presion.
Figura: Presion hidrostatica
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 45 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Fuerzas hidrostaticas en superficies planas sumergidas
FR = PCA
yP = yC +Ixx ,C
[yC + P0/(ρg sin θ)]A
yP = yC +Ixx ,CyCA
Ixx ,O =
∫A
y2 dA
hP = yP sin θ Ixx ,O = Ixx ,C + y2CA
Donde Ixx ,C y Ixx ,O son el segundomomento de area sobre el eje x, conrespecto al punto C y O,respectivamente.
Figura: Presion hidrostatica
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 46 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Centroides
Figura: Centroide
El centroide y los momentos centroidales de inercia para algunasgeometrıas comunes.Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 47 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 1
Una placa rectangular de 4 m de altura y 5 m de ancho bloquea elextremo de un canal de agua dulce de 4 m de profundidad, como semuestra en la siguiente figura. La placa esta articulada en torno a un ejehorizontal que esta a lo largo de su borde superior y que pasa por el puntoA, y su apertura la restringe un borde fijo en el punto B. Determine lafuerza que se ejerce sobre la placa por el borde.
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 48 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 1
Una placa rectangular de 4 m de altura y 5 m de ancho bloquea elextremo de un canal de agua dulce de 4 m de profundidad, como semuestra en la siguiente figura. La placa esta articulada en torno a un ejehorizontal que esta a lo largo de su borde superior y que pasa por el puntoA, y su apertura la restringe un borde fijo en el punto B. Determine lafuerza que se ejerce sobre la placa por el borde.
La presion promedio en la superficiees la presion en el centroide, y sedetermina como sigue
Pavg = PC = ρghc = ρg(h/2)
= (1000 kg/m3)(9.81 m/s2)(4/2 m)
= 19.62kN/m2
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 49 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 1
Una placa rectangular de 4 m de altura y 5 m de ancho bloquea elextremo de un canal de agua dulce de 4 m de profundidad, como semuestra en la siguiente figura. La placa esta articulada en torno a un ejehorizontal que esta a lo largo de su borde superior y que pasa por el puntoA, y su apertura la restringe un borde fijo en el punto B. Determine lafuerza que se ejerce sobre la placa por el borde.
Luego, la fuerza hidrostatica resultante en lapared se calcula como
FR = PavgA = (19.62 kN/m2)(4 m× 5 m)
= 392kN
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 50 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 1
Una placa rectangular de 4 m de altura y 5 m de ancho bloquea elextremo de un canal de agua dulce de 4 m de profundidad, como semuestra en la siguiente figura. La placa esta articulada en torno a un ejehorizontal que esta a lo largo de su borde superior y que pasa por el puntoA, y su apertura la restringe un borde fijo en el punto B. Determine lafuerza que se ejerce sobre la placa por el borde.
La lınea de accion de la fuerza pasa a travesdel centro de presion, el cual esta ubicado a2h/3 de la superficie libre
yp =2h
3=
2× (4m)
3= 2.667m
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 51 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 1
Una placa rectangular de 4 m de altura y 5 m de ancho bloquea elextremo de un canal de agua dulce de 4 m de profundidad, como semuestra en la siguiente figura. La placa esta articulada en torno a un ejehorizontal que esta a lo largo de su borde superior y que pasa por el puntoA, y su apertura la restringe un borde fijo en el punto B. Determine lafuerza que se ejerce sobre la placa por el borde.
Suma de momentos con respecto a A seiguala 0∑
MA = 0→ FR(s + yp) = FBAB
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 52 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 1
Una placa rectangular de 4 m de altura y 5 m de ancho bloquea elextremo de un canal de agua dulce de 4 m de profundidad, como semuestra en la siguiente figura. La placa esta articulada en torno a un ejehorizontal que esta a lo largo de su borde superior y que pasa por el puntoA, y su apertura la restringe un borde fijo en el punto B. Determine lafuerza que se ejerce sobre la placa por el borde.
Resolviendo para FB y remplazando valoresobtenemos
FB = 288 kN
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 53 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 2
El flujo de agua desde un recipiente se controla con una compuerta enforma de L y de 5 ft de ancho, articulada en el punto A, como se muestraen la siguiente figura. Si se desea que la compuerta abra cuando la alturadel agua sea 12 ft, determine el peso W necesario
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 54 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 2
El flujo de agua desde un recipiente se controla con una compuerta enforma de L y de 5 ft de ancho, articulada en el punto A, como se muestraen la siguiente figura. Si se desea que la compuerta abra cuando la alturadel agua sea 12 ft, determine el peso W necesario
La presion promedio en la superficiees la presion en el centroide, y sedetermina como sigue
Pavg = ρghC = ρg(h/2)
=
(1.93
slug
ft3
)(32.2 ft/s2)(12/2 ft)
= 374.4 lbf/ft2
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 55 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 2
El flujo de agua desde un recipiente se controla con una compuerta enforma de L y de 5 ft de ancho, articulada en el punto A, como se muestraen la siguiente figura. Si se desea que la compuerta abra cuando la alturadel agua sea 12 ft, determine el peso W necesario
La lınea de accion de la fuerza pasa atraves del centro de presion, el cualesta ubicado a 2h/3 de la superficielibre
yp =2h
3=
2× (12ft)
3= 8 ft
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 56 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 2
El flujo de agua desde un recipiente se controla con una compuerta enforma de L y de 5 ft de ancho, articulada en el punto A, como se muestraen la siguiente figura. Si se desea que la compuerta abra cuando la alturadel agua sea 12 ft, determine el peso W necesario
Suma de momentos con respecto a Ase iguala 0∑
MA = 0→ FR(s + yp) = WAB
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 57 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 2
El flujo de agua desde un recipiente se controla con una compuerta enforma de L y de 5 ft de ancho, articulada en el punto A, como se muestraen la siguiente figura. Si se desea que la compuerta abra cuando la alturadel agua sea 12 ft, determine el peso W necesario
Resolviendo para W y remplazando valoresobtenemos W = 30900 lbf.
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 58 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 3
Se debe construir un muro de contencion contra un derrumbe de lodo conbloques rectangulares de concreto (densidad 2700 kg/m3) de 0.8 m dealtura y 0.2 m de ancho como se muestra en la figura. El coeficiente defriccion entre el suelo y los bloques es de f=0.3, y la densidad del lodo esalrededor de 1800 kg/m3. Existe la preocupacion de que los bloques deconcreto puedan resbalarse o voltearse sobre el borde izquierdo inferiorconforme suba el nivel de lodo . Determine la altura del lodo la cual a) losbloques venceran la friccion y empezaran a resbalar y b) los bloques sevoltearan.
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 59 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 3
El peso de la pared de concreto por unidadde longitud (L=1) y la fuerza de friccionentre la pared y la tierra son
Wbloque = (2700kg/m3)(9.81m/s2)(0.2× 0.8× 1m3) = 4238N
Ffricci on = 0.3× (4238N) = 1271N
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 60 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 4
La fuerza hidrostatica ejercida por el lodo enla pared es
FH = Fx = Pavg = ρghcA = (ρgh/2)A
= (1800kg/m3)(9.81m/s2)(h/2)(1× h)
= 8829h2N
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 61 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 3
Igualando las fuerzas hidrostaticas y las defriccion obtenemos
FH = Ffricci on → 8829h2 = 1271→ h = 0.38m
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 62 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 3
La lınea de accion de las fuerzashidrostaticas pasa a traves del centro depresion, el cual es 2h/3 desde la superficielibre. La lınea de accion del peso de la paredpasa a traves del plano medio de la pared.∑
MA = 0→Wbloque(t/2) = FH(h/3)
→Wbloque(t/2) = 8829h3/3Despejando h y substituyendo, la altura delodo para voltear el muro sobre el punto Aesta dado por:
h = 0.52m
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 63 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 3
La pared de concreto deslizara antes devoltearse. Por tanto, deslizarse es mas crıticoque voltearse en este problema.
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 64 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 3
La pared de concreto deslizara antes devoltearse. Por tanto, deslizarse es mas crıticoque voltearse en este problema.
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 65 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 4
Un cuarto en el nivel inferior de un barco para cruceros tiene una ventanacircular de 30 cm de diametro. Si el punto medio de la ventana esta 5 mdebajo de la superficie del agua, determine la fuerza hidrostatica que actuasobre la ventana y el centro de presion. Tome la gravedad especifica delagua de mar como SG = 1.025
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 66 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 4
La presion promedio en la superficie es lapresion en el centroide de la superficie y sedetermina como sigue
Pavg = Pc = ρghC
= (1025kg/m3)(9.81m/s2)(5m)
= 50276N/m2
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Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 4
Luego la fuerza resultante hidrostatica encada ventana es:
FR = PavgA = Pavg
[πD2/4
]= 50276N/m2
[π(0.3)2/4
]= 3554N
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Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 4
La lınea de accion de la fuerza pasa a travesdel centro de presion, cuya distancia verticaldesde la superficie esta determinada por
yp = yC +Ixx ,CyCA
= yc +πR4/4
yCπR2
= yC +R2
4yC= 5 +
(0.15m)2
4(5m)= 5.001m
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 69 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 5
Un auto se sumergio a un lago por accidente y quedo sobre sus ruedas.Determine la fuerza hidrostatica sobre la puerta y la ubicacion del centrode presion si la puerta tiene una altura de 1.2 m y un ancho de 1 m, y elborde superior de la misma esta 8 m abajo de la superficie libre del agua
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 70 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 5
La presion promedio sobre la puerta es elvalor de la presion en el centroide de lapuerta y se determina ası
Pave = PC = ρghC = ρg(s + h/2)
= (1000kg/m3)(9.81m/s2)(8 + 1.2/2)
= 84400N/m2
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 71 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 5
El centroide de presion esta directamenteabajo del punto medio del lago, y sudistancia a la superficie del lago sedetermina de la siguiente manera
yp = s +b
2+
b2
12(s + b/2)
= 8 +1.2
2+
1.22
12(8 + 1.2/2)= 8.61m
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 72 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 6
Una compuerta rectangular de 200 kg y 5 m de ancho, que se articula enB y se apoya contra el piso en A, formando un angulo de 45o con lahorizontal. La compuerta se va a abrir por su borde inferior por medio dela aplicacion de una fuerza normal en su centroide. Determine la fuerzamınima para abrir la compuerta
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 73 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 6
La longitud de la compuerta y ladistancia desde el punto B hasta lasuperficie libre a lo largo de plano dela compuerta
b =3m
sin 45◦ = 4.243m
s =0.5m
sin 45◦ = 0.7071m
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 74 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 6
La presion promedio en la superficie es lapresion en el centroide de la superficie, y simultiplicamos por el area de la placa da lafuerza hidrostatica resultante en la superficie
FR = PavgA = ρghCA
= (1000kg/m3)(9.81m/s2)(2m)(5× 4.243m2)
= 416kN
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 75 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 6
La distancia a en centro de presion desde lasuperficie libre a lo largo del plano de lacompuerta es:
yP = s +b
2+
b2
12(s + b/2)
= 0.7071 +4.243
2+
4.3432
12(0.7071 + 4.243/2)
= 3.359 m
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 76 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 6
La distancia del centro de presion desde labisagra en el punto B es
LP = yP − s = 3.359− 0.7071 = 2.652 m
La fuerza debido al peso de la compuerta es despreciable encomparacion a la fuerza hidrostatica
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 77 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 6
Tomando momentos con respecto a B eigualando a 0 obtenemos∑
MB = 0→ FRLP = Fb/2
Remplazando valores obtenemos
F =2FRLP
b=
2(416kN)(2.652m)
4.243m= 520kN
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 78 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 7
La puerta de la figura tiene 5 pies de ancho, esta articulada en el punto By descansa contra una pared lisa en el punto A. Calcule (a) la fuerza en lapuerta debido a la presion del agua de mar, (b) la fuerza horizontal Pejercida por la pared en el punto A, y (c) las reacciones en la bisagra B.
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 79 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 7
La fuerza hidrostatica en la placa es:
F = ρghCA
= (1.98slug/ft3)(32.2ft/s2)(12ft)(50ft2)
= 38400lbf
El segundo momento de area es:
Ixx ,C =1
12bL3 =
(5ft)(10ft)3
12= 417ft4
yP = yC +Ixx ,CyCA
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 80 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 7
yP = yC +Ixx ,CyCA
yP = yC +Ixx ,CyCA
= 20ft+417ft4
(20ft)(50ft2)
= 15.417ft
Por tanto l=0.417 ft
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 81 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 7
La distancia desde B hasta el punto deaplicacion de la fuerza F es 4.583 ftSumando momentos alrededor de b nosqueda∑
MB = 0 = PL sin θ − F (5− L)→
P = 29300 lbf
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 82 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 7
Con F y P conocidas, las reacciones Bx y Bz
se encontraran sumando fuerzas en la placa∑Fx = Bx + F sin θ − P = 0
Bx = 6300 lbf
y ∑Fz = Bz − F cos θ
Bz = 30700 lbf
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 83 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 8
El agua en un deposito de 25 m de profundidad se mantiene en el interiorpor medio de un muro de 150 m de ancho cuya seccion transversal es untriangulo equilatero, como se muestra en la figura. Determine la fuerzatotal (hidrostatica mas atmosferica) que actua sobre la superficie interiordel muro y su lınea de accion.
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 84 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 8
La longitud de la superficie de la paredsumergida bajo el agua es:
b =25 m
sin 60◦= 28.87 m
La presion promedio en una superficie es lapresion en el centroide (punto medio) de lasuperficie, y multiplicarla por el area de laplaca da la fuerza hidrostatica resultantesobre la superficie,
FR = PavgA(Patm + ρghc)A
=[1× 105N/m2 + (1000kg/m3)(9.81m/s2)(12.5 m)
](150× 28.87m2)
=9.64× 108N
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 85 / 114
Estatica de fluidos Superficies planas sumergidas
Ejemplo 8
Dado que
P0
ρg sin 60◦ =
100000N/m2
(1000kg/m3)(9.81m/s2)(sin 60◦
)
= 11.77m
la distancia del centro de presion desde lasuperficie libre de agua a lo largo de lasuperficie de la pared es
yp = s +b
2+
b2
12(s + b2 + P0
ρg sin θ )
=28.87
2m+
(28.87m)2
12( 28.872 m + 11.77m)
= 17.1m
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 86 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Fuerzas hidrostaticas en superficies curvas sumergidas
Determinacion de la fuerza hidrostatica que actua sobre una superficiecurva sumergida.
FR =√
F 2H + F 2
V α = FV /FH
Componente horizontal de la fuerza sobre superficie curva: FH = Fx
Componente vertical de la fuerza sobre superficie curva: FV = Fy ±W
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 87 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Fuerzas hidrostaticas en superficies curvas sumergidas
En muchas estructuras de aplicacionpractica, las superficies sumergidasno son planas.
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 88 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Fuerzas hidrostaticas en superficies curvas sumergidas
Cuando una superficie curva esta porencima del lıquido, el peso del lıquidoy el componente vertical de la fuerzahidrostatica actuan en direccionesopuestas.
La fuerza hidrostatica que actuasobre una superficie circular siemprepasa por el centro del cırculo, ya quelas fuerzas de presion son normales ala superficie y todas pasan por elcentro.
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 89 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 1
Un cilindro solido de radio 0.8 m, articulado en el punto A se emplea comouna compuerta automatica, como se muestra en la figura. Cuando el niveldel agua llega a 5 m, la compuerta se abre girando en torno a laarticulacion en el punto A. Determine a) la fuerza hidrostatica resultanteque actua sobre el cilindro y su lınea de accion cuando la compuerta seabre, y b) el peso del cilindro por m de longitud del mismo (1 m deprofundidad)
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 90 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 1
Se considera el diagrama de cuerpo libredel bloque de liquido encerrado por lasuperficie circular del cilindro y susproyecciones vertical y horizontal. Lafuerza hidrostatica horizontal que actuasobre la superficie vertical esta dada por:
FH = PaveA = ρghCA = ρg(s + R/2)A
= (1000 kg/m3)(9.81 m/s2)(4.6 m)(0.8m× 1m)
=36.1 kN
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 91 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 1
La fuerza hidrostatica vertical que actuasobre la superficie horizontal esta dadapor:
Fy = PaveA = ρghCA = ρghfondoA
= (1000 kg/m3)(9.81 m/s2)(5 m)(0.8 m× 1m)
=39.2 kN
Peso del bloque de fluido por m delongitud (hacia abajo)
W = mg = ρgV = ρg(R2 − πR2/4)(1 m)
= (1000 kg/m3)(9.81 m/s2)(0.8 m2)(1− π/4)(1 m)
=1.3 kN
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 92 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 1
Por lo tanto, la fuerza vertical neta haciaarriba es:
FV = Fy −W = 39.2− 1.3 = 37.9 kN
Entonces, la magnitud y direccion de lafuerza hidrostatica que actua sobre lasuperficie cilındrica queda:
FR =√F 2H + F 2
V =√
36.12 + 37.92 = 52.3 kN
tanθ = FV /FH = 37.9/36.1 = 1.05→ θ = 46.4◦
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 93 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 1
Cuando el nivel del agua tiene 5 m dealtura, la compuerta esta a punto deabrirse y la fuerza de reaccion entre elcilindro y el piso es cero. Entonces, lasfuerzas que presentes son el peso queactua en el centro del cilindro y la fuerzahidrostatica del agua. Toman momentoscon respecto al punto A y igualando a 0se obtiene:
FRR sin θ −WcylR = 0
→Wcyl = FR sin θ = (52.3 kN)sin46.4
◦=37.9 kN
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 94 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 2
Una artesa de agua de seccion transversal semicircular y con un radio de0.5 m consta de dos partes simetricas articuladas entre sı en el fondo,como se muestra en la siguiente figura. Las dos partes se mantienen juntaspor medio de cables y tensores roscados cada 3 metros a lo largo de lalongitud de la artesa. Calcule la tension de cada cable cuando la artesaesta llena hasta el borde
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 95 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 2
Diagrama de cuerpo libre del bloquede liquido encerrado por la superficiecircular del cilindro y susproyecciones vertical y horizontal
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 96 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 2
Fuerza horizontal sobre superficie vertical
FH = Fx = PavgA = ρghCA = ρg(R/2)A
= (1000 kg/m3)(9.81m/s2)(0.5/2 m)(0.5 m× 3 m)
=3679 N
Fuerza vertical sobre superficie horizontal es 0,porque la superficie horizontal coincide con lasuperficie libre
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 97 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 2
El peso del bloque de fluido por 3 m de longitud(hacia abajo) es
FV = W = ρgV = ρg[w × πR2/4
]= (1000 kg/m3)(9.81 m/s2)
[(3m)π(0.5m)2/4
]= 5779 N
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 98 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 2
La magnitud y direccion de la fuerza hidrostaticaque actua sobre la superficie cilındrica es
FR =√F 2H + F 2
V =
√(3679)2 + (57792 = 6851 N
tanθ =FVFH
=5779N
3679 N= 1.571→ θ = 57.5◦
Tomando momentos con respecto al punto A∑MA = 0→ FRR sin(90− 57.5)◦ = TR
Resolviendo para T se obtiene
T = 3680 N
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 99 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 3
Los dos costados de una artesa de agua con forma de V estan articuladosentre si en el fondo, en donde se encuentran, como se muestra en lasiguiente figura, formando ambos costados un angulo de 45o respecto delsuelo. Cada costado mide 0.75 m de ancho y las dos partes se mantienenjuntas mediante cables y tensores colocados cada 6 m a lo largo de lalongitud de la artesa. Determine la tension en la cuerda.
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 100 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 3
Para exponer la tension del cable, consideramosla mitad del canal cuya seccion transversal estriangular. La altura del agua h en la seccionmedia del canal y el ancho b de la superficielibre son
h = L sin θ = (0.75 m)sin45◦
= 0.53 m
b = L cos θ = (0.75 m)cos45◦
= 0.53 m
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 101 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 3
Las fuerzas hidrostaticas actuando en en lassuperficies planas horizontales y verticales asıcomo el peso de la columna de liquido sedeterminan como sigueLa fuerza horizontal en la superficie vertical
FH = Fx = PavgA = ρghCA = ρg(h/2)A
= (1000kg/m3)(9.81m/s2)(0.53/2m)(0.53m× 6m)
= 8267N
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 102 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 3
La fuerza vertical en la superficie horizontal escero debido a que esta coincide con la superficielibre del agua. El peso de liquido por 6-m delongitud es:
FV = W = ρgV = ρg [w × bh/2]
= (1000 kg /m3)(9.81m/s2) [(6m)(0.53m)(0.53m)/2]
= 8267N
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 103 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 3
Tomando el momento sobre el punto A dondelas dos partes estan articuladas y igualando acero da:∑
MA = 0→Wb
3+ FH
h
3= Th
Remplazando valores obtenemos
T =FH + W
3=
(8267 + 8267)N
3= 5511N
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 104 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 4
Una compuerta de 4 m de largo con forma de un cuarto de circulo de radio3 m y de peso despreciable esta articulada alrededor de su borde superiorA, como se muestra en la figura. La compuerta controla el flujo de aguasobre el reborde B, donde esta comprimida por un resorte. Determine lafuerza mınima necesaria del resorte para mantener cerrada la compuertacuando el nivel del agua se eleva hasta A en el borde superior de lacompuerta
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 105 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 4
1 La bisagra no tiene friccion.
2 La presion atmosferica actua a ambos lados de la puerta y, por lotanto, puede ignorarse en los calculos por conveniencia.
3 El peso de la puerta es insignificante.
Propiedades: Consideramos que la densidad del agua es de 1000 kg/m3
Consideremos el diagrama de cuerpo libre del bloque de agua encerradopor la superficie curva y sus proyecciones horizontal y vertical
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 106 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 4
Las fuerzas hidrostaticas actuando en en lassuperficies planas horizontales y verticales asıcomo el peso de la columna de liquido sedeterminan como sigueLa fuerza horizontal en la superficie vertical
FH = FV = PaveA = ρghCA = ρg(R/2)A
= (1000kg/m3)(9.81m/s2)(3/2m)(4m× 3m)
= 176.6kN
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 107 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 4
La fuerza vertical en la superficie horizontal(hacia arriba)
Fy = PavgA = ρghCA = ρghfondoA
= (1000kg/m3)(9.81m/s2)(3m)(4m× 3m)
= 353.2kN
El peso del fluido por 4 m de longitud (haciaabajo)
W = ρgV = ρg[w × πR2/4
]= (1000kg/m3)(9.81m/s2)
[(4m)π(3m)2/4
]= 277.4kN
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 108 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 4
Por tanto, la fuerza vertical resultante es:
FV = Fy −W = 353.2− 277.4 = 75.8kN
A continuacion, la magnitud y la direccion de lafuerza hidrostatica que actua sobre la superficiecircular de la compuerta se calculan como sigue
FR =√F 2H + F 2
V =
√(176.6kN)2 + (75.8kN)2
= 192.2kN
tanθ =FVFH
=75.8kN
176.8kN= 0.429→ θ = 23.2
◦
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 109 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 4
Tomado momentos con respecto a A e igualandoa cero obtenemos la fuerza en el resorte∑
MA = 0→ FRR sin(90− θ)− FresorteR = 0
Remplazando valores obtenemos
Fresorte = 177kN
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 110 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 5
Encuentre una formula analıtica para las fuerzas verticales y horizontalesen cada uno de los paneles semicirculares AB en la figura. El ancho esb.¿Que fuerza es mas grande? ¿Por que?
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 111 / 114
Estatica de fluidos Superficies curvas sumergidas
Ejemplo 6
El panel AB en la figura es una parabola con su maximo en el punto A.Tiene 150 cm de ancho. Desprecie la presion atmosferica. Encuentre (a) lafuerza vertical y (b) las fuerzas de agua horizontales en el panel.
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 112 / 114
Referencias
Referencias
Mecanica de Fluidos: Fundamentos y aplicaciones. Cengel y Cimbala.Mc Graw Hill. Cuarta Edicion.
Fundamentos de mecanica de fluidos. Beltran. Ediciones Uniandes.Primera Edicion.
Fluid Mechanics. White. Mc Graw Hill. Quinta Edicion.
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 113 / 114
Fin
Gracias por su atencion
Juan M. Rodrıguez P. PhD. (EAFIT) Fluidos 2020 114 / 114