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1 José Wammes, Toledo, Paraná, 2012


© José Wammes

Coordenação Editorial: Osmar Antonio Conte

Editoração: José Wammes

Ficha Catalográfica: Rute Teresinha Schio - CRB 1095

Direitos desta edição reservados à: José Wammes

Av. Ministro Cirne Lima, 2565

CEP 85903-590 – Toledo – Paraná

Tel. (45) 3277-4000 - e-mail: [email protected]

É proibida a reprodução parcial ou total desta obra, sem autorização prévia do autor.

Impresso no Brasil – 2012

mailto:[email protected]


SUCESSÃO OU SEQUÊNCIA

Antes de iniciarmos o estudo de progressão aritmética, vamos conceituar

sucessão ou sequência, visto ser a base do que se deseja explorar.

Exemplos:

O conjunto ordenado (janeiro, fevereiro,..., dezembro) é chamado

sequência ou sucessão dos meses do ano;

O conjunto ordenado (0,1,2,3, . . .) é chamado sequência ou

sucessão dos números naturais;

O conjunto ordenado (0,2,4,6,...) é chamado sequência ou

sucessão dos números naturais pares;

E, assim, sucessivamente.

Se os elementos de uma sequência forem números reais, a sequência é

denominada sequência numérica.

(2, 5, 8, 11, 14) é uma sequência numérica finita;

(-3, 0, 3, 6, 9...) é uma sequência numérica infinita.

REPRESENTAÇÃO DE UMA SUCESSÃO

A representação matemática de uma sucessão é dada por (a1, a2 , a3 . . .

an-1, an) .

E, graficamente, temos:

a1 a2 a3 . . . an-1 an

em que:

a1 é o primeiro termo (lê-se: a índice 1);

a2 é o segundo termo (lê-se: a índice 2);

an é o enésimo termo (lê-se: a índice n)

Exemplo:

Dada a sequência (2, 5, 9, 14, 20, 27), calcular:

a) a4 b) a1-2 a52

Resolução:

a) a4 é o 4º termo da sucessão. Logo, 14.

b) a1-2 a52 = 2 -2(20)2 = 2 – 2(400) = 2 – 800 = -798

DETERMINAÇÃO DE UMA SUCESSÃO

As sucessões são dadas, em sua maioria, por meio de uma regra chamada

lei de formação, que nos permite calcular qualquer termo da sucessão.

Exemplificando, vamos escrever a sucessão em que an = 2n e n E{1,2,3,}.

Temos:

Para n= 1, temos: a1 = 2(1) = 2

Para n= 2, temos: a2 = 2(2) = 4

Para n= 3, temos: a3 = 2(3) = 6

A sucessão procurada é (2, 4, 6).

Sucessão ou sequência é todo conjunto em que consideramos os

elementos dispostos em certa ordem. Pode ser finita ou infinita.


PROGRESSÃO ARITMÉTICA

Exemplo:

(2, 5, 8, 11, 14, ...)

2 5 8 11 14

a1 a2 a3 a4 a5

Nesta sequência, 3 é a razão da progressão aritmética.

(12, 7, 2, -3, -8, -13)

(12, 7, 2, -3, -8, -13)

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r a3 = a1 + 2r

a4 = a3 + r a4 = a1 + 3r

a5 = a4 + r a5 = a1 + 4r

a6 = a5 + r a6 = a1 + 5r

12 7 2 -3 -8 -13

a1 a2 a3 a4 a5 a6

(12, 7, 2, -3, -8, -13)

a2 = 12 + (-5) = 7

a3 = 7 +(-5) = 2 a3 = 12 + 2(-5) = 2

a4 = 2 +(-5) = - 3 a4 = 12 + 3(-5) = -3

a5 = -3 +(-5) = - 8 a5 = 12 + 4(-5) = - 8

a6 = - 8 +(-5) = - 13 a6 = 12 + 5(-5) = -13

Nesta sequência, - 5 é a razão da progressão aritmética.

Podemos classificar as progressões aritméticas em:

Crescentes r > 0

Decrescentes r < 0

Constantes ou estacionárias r = 0

(2, 5, 8, 11, 14, . . .)

a2 = a1 + r

a3 = a2 + r a3 = a1 + 2r

a4 = a3 + r a4 = a1 + 3r

a5 = a4 + r a5 = a1 + 4r

(2, 5, 8, 11, 14, . . .)

a2 = 2 + 3 = 5

a3 = 5 + 3 = 8 a3 = 2 + 2(3) = 8

a4 = 8 + 3 = 11 a4 = 2 + 3(3) = 11

a5 = 11 + 3 = 14 a5 = 2 + 4(3) = 14

É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do

segundo, é igual ao anterior somado com um número fixo,

chamado razão (r) da progressão.


Exemplos:

(3, 4, 5, 6, 7)

3 4 5 6 7

a1 a2 a3 a4 a5

É uma progressão aritmética crescente, pois r = 1, (r >0);

(10, 8, 6, 4, 2)

10 8 6 4 2

a1 a2 a3 a4 a5

É uma progressão aritmética decrescente, pois r = -2, (r <0);

(5, 5, 5, 5, 5)

5 5 5 5 5

a1 a2 a3 a4 a5

É uma progressão aritmética constante, pois r = 0.

REPRESENTAÇÃO GERAL DE UMA PROGRESSÃO

ARITMÉTICA – P.A.

A representação matemática de uma progressão aritmética (P.A.) é dada

por (a1, a2, a3, . . . an-1, an, an+1, ...). Logo, an+1 = an +r.

EXPRESSÃO GERAL DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO

ARITMÉTICA – P.A.

A fórmula acima nos permite calcular qualquer termo de uma progressão

aritmética sem precisar escrevê-la por inteiro. Identificando os termos:

Para a definição do termo geral de uma progressão aritmética, ao

utilizarmos o formulário, teremos o resultado. Acompanhe.

Dada a progressão aritmética: 4, 7, . . . encontrar o termo geral da mesma

(desta progressão aritmética).

Resolução:

an = a1 + (n – 1)r

an = é o enésimo termo (último termo);

a1 = é o primeiro termo;

n = é o número de termos;

r = é a razão.


a1 r n

4 3 n = n

(a2 – a1)

(7 – 4)

an = a1 + (n-1)r an = 4 + 3n - 3

an = 4 + (n -1)3 an = 1 + 3n

an = 3n + 1

Tendo o termo geral da progressão aritmética, com ele, podemos definir,

rapidamente, qualquer termo an. Observe.

Quais são os termos de ordem 3 e 21 da progressão aritmética dada no

modelo acima? (4, 7, . . .)

a3 = ? a21 = ?

an = 3n + 1 an = 3n + 1

a3 = 3(3) + 1 a21 = 3(21) + 1

a3 = 9 + 1 a21 = 63 + 1

a3 = 10 a21 = 64

Acompanhe, agora, a mesma resolução, porém com a utilização da

fórmula do termo geral de uma progressão aritmética.

an = a1 + (n-1)r an = a1 + (n-1)r

a3 = 4 + (3-1)3 a21 = 4 + (21-1)3

a3 = 4 + (2)3 a21 = 4 + (20)3

a3 = 4 + 6 a21 = 4 + 60

a3 = 10 a21 = 64

Indiferente, portanto, a forma de resolução. Na prática, utilizamos a

fórmula do termo geral das progressões aritméticas.

Acompanhe alguns exemplos.

a) Determinar o 12º termo da progressão aritmética (5, 10, 15, 20...)

Resolução:

an = a1 + (n-1)r a12 = 5 + 55

a12 = 5 + (12-1)5

a12 = 5 + (11)5 a12 = 60

b) Determinar o número de termos da progressão aritmética (-3, 1, 5,

..., 113).

Resolução:

an = a1 + (n-1)r 116 ÷ 4 = n – 1

113 = -3 + (n-1)4 29 + 1 = n

113 + 3 = (n-1)4 n = 30

c) Achar o número de múltiplos de 5 compreendidos entre 21 e 623.

Resolução:

21 25 30 . . . 620 623.

a1 an

an = a1 + (n-1)r 595 ÷ 5 = n – 1

620 = 25 + (n-1)5 119 + 1 = n

620 – 25 = (n-1)5 n = 120

Esta é a fórmula do termo geral DESTA progressão aritmética.


d) Interpolar cinco meios aritméticos entre 6 e 30.

Resolução:

Interpolar cinco meios aritméticos entre 6 e 30 é formar uma P.A. de sete

termos (os dois dados, a1 e an, mais os cinco do enunciado) em que o a1 =

6 e a7 = 30, ou seja:

6, __, __, __, __, __, 30

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7

a1 an r n a2...a6

6 30 ? 7 ?

Inicialmente, para definir os termos da progressão aritmética, precisamos

apurar a razão de seu crescimento. Assim, calculamos a razão da P.A.

an = a1 + (n-1)r 24 ÷ 6

30 = 6 + (7-1)r

30 – 6 = 6r r = 4

Definida a razão, podemos estabelecer os termos da progressão

aritmética. Acompanhe:

a1 =6 Ou

a2 = a1 + r 6 + 4 = 10 a2 = a1 + 1r 6 + 4 = 10

a3 = a2 + r 10 + 4 = 14 a3 = a1 +2r 6 + 2(4) = 14

a4 = a3 + r 14 + 4 = 18 a4 = a1 + 3r 6 + 3(4) = 18

a5 = a4 + r 18 + 4 = 22 a5 = a1 + 4r 6 + 4(4) = 22

a6 = a5 +r 22 + 4 = 26 a6 = a1 +5r 6 + 5(4) = 26

a7 = a6 +r 26 + 4 = 30 a7 = a1 +6r 6 + 6(4) = 30

Logo, a progressão aritmética é:

6 10 14 18 22 26 30

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7

e) Numa progressão aritmética, tem-se que a2 + a6 = 20 e, a4 + a9 =35.

Escrever a progressão aritmética.

Resolução:

Vamos escrever os dados do enunciado em função de a1 e r:

a2 = a1 + r a6 = a1 + 5r

a4 = a1 + 3r a9 = a1 + 8r

Podemos formar o sistema com duas variáveis:

(a1 + r) + (a1 + 5r) = 20 2 a1 + 6r = 20

(a1 + 3r) +( a1 + 8r) = 35 2 a1 + 11r = 35

Resolvendo o sistema:

2 a1 + 6r = 20 (-1) -2 a1 - 6r =-20

2 a1 + 11r = 35 2 a1 + 11r = 35 r = 15 ÷ 5

5r = 15 r = 3

Como a razão r é igual a 3, temos:

2 a1 + 6r = 20 2 a1 = 2

2 a1 + 6(3) = 20 a1 = 2 ÷ 2

2 a1 = 20 – 18 a1 = 1


Assim, a progressão aritmética solicitada é dada por:

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9

1 4 7 10 13 16 19 22 25

Confirmando a condição da progressão aritmética em que

a2 + a6 = 20 a4 + a9 =35

4 + 16 = 20 10 + 25 = 35

20 = 20 35 = 35

f) Três números estão em progressão aritmética de tal forma que a soma

entre eles é 18 e o produto é 66. Calcular os três números.

Resolução:

Vamos indicar:

(a1, a2, a3) (x-r, x, x+r)

x-r x x+r

a1 a2 a3

Podemos formar o sistema com duas variáveis (x e r)

(x - r) + x + (x + r) = 18 3x = 18

(x - r) .x. (x + r) = 66 x(x2 - r2) = 66

Resolvendo o sistema, temos:

3x = 18 x= 18 ÷ 3 x = 6

x(x2 - r2) = 66 36 - r2 = 66 ÷ 6 - r2 = -25 (-1)

6(62 - r2) = 66 36 - r2 = 11 r2 = 25 r = √25

6(36 - r2) = 66 - r2 = 11-36 r = + - 5

Sendo (se):

r = +5

(x-r) + x + (x+r) = 18

(6-5) + 6 + (6+5) = 18

(1) + 6 + (11) = 18 18 = 18

Testando, temos:

a1 = (x-r) a2 = x a3 = (x+r)

a1 = (6-5) a3 = (6 + 5)

a1 = 1 a2 = 6 a3 = 11

Sendo (se):

r = - 5

a1 = (x-r) a2 = x a3 = (x+r)

a1 = 6 -(-5) a3 = 6 +(- 5)

a1 = 11 a2 = 6 a3 = 1

Os números pedidos são 1, 6 e 11.

E, confirmando o enunciado:

a1 + a2 + a3 = 18 1 + 6 + 11= 18 18 = 18

a1 . a2 . a3 = 66 1 . 6 . 11 = 66 66 = 66


g) Determinar 5 números em progressão aritmética, sabendo-se que o

produto dos dois extremos é 220 e a soma dos outros três vale 48.

Resolução:

x-2r x-r x x+r x+2r

a1 a2 a3 a4 a5

Podemos formar o sistema com duas variáveis (x+r):

(x – 2r) (x + 2r) = 220 x2 – 4r2 = 220

(x – r) + x + (x + r) = 48 3x = 48

Resolvendo o sistema, temos:

3x = 48 x = 48 ÷ 3 x = 16

x2 – 4r2 = 220 - 4r2 = 220 – 256 r2 = 36 ÷ 4

162 – 4r2 = 220 - 4r2 = -36 (-1) r2 = 9 r = √9

256 - 4r2 = 220 4r2 = 36 r = + - 3

Sendo (se):

r = +3

a1 = x-2r a1 = 16 – 2(3) a1 = 16 – 6 a1 = 10

a2 = x-r a2 = 16 – 3 - a2 = 13

a3 = x - - x= 16

a4 = x + r a4 = 16 + 3 - a4 = 19

a5 = 16 +2(3) a5 = 16 + 2(3) a1 = 16 + 6 a1 = 22

Sendo (se):

r = -3

a1 = x-2(-3) a1 = 16 – (-6) a1 = 16 + 6 a1 = 22

a2 = x-r a2 = 16 – (-3) a2 = 16 + 3 a2 = 19

a3 = x - - x = 16

a4 = x + r a4 = 16 + (-3) a4 = 16 -3 a4 = 13

a5 = 16 +2(-3) a5 = 16 + (-6) a1 = 16 - 6 a1 = 10

Os números pedidos são 10, 13, 16, 19 e 22.

E, confirmando o enunciado:

a1 . a5 = 220 10 . 22 = 220 220 = 220

a2 + a3 + a4 = 48 13 + 16 + 19 = 48 48 = 48

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1) Encontre o termo geral da progressão aritmética (2, 7,...);

2) Qual é o 15º termo da progressão aritmética (4, 10, ...)?

3) Qual é o 100º número natural par?

4) Ache o 60º número natural impar;

5) Numa progressão aritmética de razão 5, a1 = 4. Qual é a posição

do termo igual a 44?

6) Quantos termos têm uma progressão aritmética finita, onde a

razão é 3, o a1 = -5 e o an= 16?

7) Calcule o número de termos da progressão aritmética (5,10, ...,

785);


8) Qual é o a1 de uma progressão aritmética cujo a7 = 46, sendo o

termo precedente 39?

9) Quantos múltiplos de 7 podemos escrever com 3 algarismos?

10) Quantos são os números naturais menores que 98 e divisíveis por

5?

11) Interpole 11 meios aritméticos entre 1 e 37;

12) Quantos termos aritméticos devemos interpolar entre 2 e 66 para

que a razão da interpolação seja 8?

13) Determine a média aritmética dos seis meios aritméticos que

podem ser interpolados entre 10 e 500;

14) Numa estrada existem dois telefones instalados no acostamento:

um no quilômetro 3 e outro no quilômetro 88. Entre eles serão

colocados mais 16 telefones, mantendo-se entre dois telefones

consecutivos sempre a mesma distância. Determine em quais

marcos quilométricos deverão ficar esses novos telefones.

15) Uma fábrica produziu, em 1986, 6530 unidades de um

determinado produto e, em 1988, produziu 23330 unidades do

mesmo produto. Sabendo-se que a produção anual desse produto

vem crescendo em progressão aritmética, pede-se:

15.1) Quantas unidades do produto essa fábrica produziu em 1987?

15.2) Quantas unidades serão produzidas em 1991?

QUADRO DE RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS:

Questão Resposta

1 an = 5n - 3

2 88

3 200

4 119

5 9º

6 8

7 8

8 4

9 128

10 19

11 (1, 4, 7, 10, 13,..., 34, 37)

12 7

13 255

14 Km 8, 13, 18, 23,..., 78, 83.

15.1 14930

15.2 48530


PARA SABER MAIS

Vieira Sobrinho, José Dutra. Matemática Financeira. 7ª edição, Atlas,

2000, São Paulo. CDD 513.93 – FASUL.

Paiva, Manoel. Matemática. 1ª edição, Editora Moderna, 2000, São Paulo.

CDD 510.7 – FASUL.

Barreto Filho, Benigno; Silva, Cláudio Xavier da. Matemática. Volume

único, FTD, 2000, São Paulo. CDD 510.7 - FASUL.

Iezzi, Gelson; Hazzan, Samuel. Fundamentos de Matemática Elementar.

6ª edição, Atual Editora. CDD 510.07 – FASUL.

Wikipedia

http://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%A3o_aritm%C3%A9tica

Youtube

http://www.youtube.com/watch?v=962PPICCDEk

BIBLIOGRAFIA

Giovani, José Ruy. et al. Matemática fundamental. 2º Grau – Volume

único. 1ª edição. Editora FTD S/A. São Paulo. Sem ano de publicação.

Yamada, Akihiro. Curso de Matemática Financeira. Matemática básica.

Módulo I. Apostila. Curitiba. Sem ano de publicação.

http://pt.wikipedia.org/wiki/Progress%C3%A3o_aritm%C3%A9tica

http://www.youtube.com/watch?v=962PPICCDEk


SOMA DOS TERMOS DE UMA PROGRESSÃO ARITMÉTICA

FINITA

Admita que lhe fosse apresentada a seguinte progressão aritmética:

2 4 6 8 10

a1 a2 a3 a4 a5

Nela, podemos deduzir algumas informações, como:

a1 n r an

2 5 a2 – a1 a5

2 10

Outro dado que se pode extrair, é a soma de seus termos.

a1 a2 a3 a4 a5

2 4 6 8 10

Soma an 6 12 20 30

Numa situação como a acima, não é difícil a obtenção da soma dos seus

termos. Porém, em situações outras, poderemos ter algumas dificuldades.

Assim, recorremos a um algoritmo de cálculo, dada pela fórmula algébrica

da soma dos termos de uma progressão aritmética finita.

Acompanhe o modelo a seguir, na evolução do assunto.

6, 10, 14, 18, 22, 26, 30, 34

a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8

a1 a8

6 34 São os extremos.

a2 10

a7 30 São termos

a3 14

a6 26 eqüidistantes

a4 18

a5 22 dos extremos

Verifica-se, facilmente, que:

6 + 34 = 40 Soma dos extremos

10 + 30 = 40 Soma de dois termos eqüidistantes dos

extremos


extremos


extremos


PROPRIEDADE

Assim, podemos demonstrar:

(a1, a2, a3, . . . an-2, an-1, an),

E x t r e m o s equidistantes

Temos que:

a2 + an-1 = a1 + an

a3 + an-2 = a1 + an

Se voltarmos ao modelo anterior, iremos confirmar a propriedade.

Observe o quadro em que está feita a demonstração de cálculo.

FÓRMULA DA SOMA DOS TERMOS DE UMA P.A. FINITA

A soma dos termos da progressão aritmética é obtida pela média

aritmética da mesma vezes o número de termos que contem.

Onde:

Alguns exemplos para fixação do conteúdo:

a) Qual a soma dos 30 primeiros termos da progressão aritmética (2,

5, ...)?

Resolução:

a1 an n r Sn

2 ? 30 5 – 2 ?

3

Numa progressão aritmética finita, a soma de dois termos

eqüidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos.

Sn = [n( a1 + an )] ÷ 2

Sn = Soma dos “n” termos de uma progressão aritmética finita;

a1 = primeiro termo;

an = último termo;

n = número de termos da progressão aritmética.


Cálculo do último termo an da progressão aritmética

an = a1 + (n – 1) r a30= 2 + 87

a30 = 2 + (30 – 1 ) 3

a30 = 2 + (29) 3 a30= 89

Cálculo da soma dos termos Sn da progressão aritmética

Sn = n ( a1 + an ) / 2 S30 = 2730 / 2

S30 = 30 (2 + 89) / 2

S30 = 30(91) / 2 S30 = 1365

b) Resolver a equação 1 + 7 + ... + x = 280, sabendo-se que os termos

do 1º membro formam uma progressão aritmética.

Resolução: Temos

a1 an r Sn

1 x 6 280

Cálculo do número de termos n da progressão aritmética

an = a1 + (n – 1) r x = 6n – 5

x = 1 + (n -1) 6 6n = x+ 5

x= 1 + 6n – 6 n =(x + 5) / 6

Substituindo na fórmula da soma dos termos Sn da progressão aritmética

Sn = n ( a1 + an ) / 2 280 =[( x2 + 6x + 5 )/6] / 2 3360 = x

2 + 6x + 5

280 = [(x+5)/6](1 +x)]/ 2 280 (2) =( x2 + 6x + 5 )/6 3360 - 5= x

2 + 6x

280 =[ (x + x2 + 5 + 5x)/6] / 2 560 (6) = ( x

2 + 6x + 5 ) 3355 = x2 + 6x

Temos uma equação do 2º grau. Resolvendo-a.

x2 + 6x – 3355 = 0 x= - 6 +- √13456 / 2

x= -b + - √b2 – 4ac / 2a x = (- 6 + - 116) / 2

x = -6 + - √62 – 4.1.(- 3355) / 2.1 x’ = (-6 + 116 / 2) + 55

x = -6 +- √36 + 13420 / 2 x’’ = (-6 - 116 / 2) - 61

Resolvendo “n” e “Sn”, temos:

n =(x + 5) / 6 n = (55 + 5) / 6

n = (55 + 5) / 6 n = 10

Sn = n ( a1 + an ) / 2 280 = 560 /2

280 = 10 ( 1 + 55 ) / 2

280 = 10 (56) / 2 280 = 280

c) Calcular a soma dos 9 termos da progressão aritmética (1, 3, 5, . . .

17).

Sn = n( a1 + an ) /2 S9 = 162 /2

S9 = 9( 1 + 17 ) /2

S9 = 9 (18 ) /2 S9 = 81

Logo, fechando o cálculo, temos:

O número de termos (n) é 10; o valor de “x” é 55 ( -61 não é verdadeiro

pois a P.A. é crescente) (1, 7, . . . x) e a soma dos termos, como

informado no modelo, 280, confere quando fazemos a prova.


d) Calcular a soma dos 41 primeiros números pares e impares,

positivo.

Impares:

a41 = ? a41 = a1 + 40r Sn = n( a1 + an ) /2

a41 = 1 + 40(2) S41 = 41( 1 + 81 ) /2

a41 = 1 + 80 S41 = 41 (82) /2

S41 = 3362 /2

a41 = 81 S41 = 1681

Pares:

a41 = ? a41 =a1 + 40r Sn = n( a1 + an ) /2

a41 = 2 + 40(2) S41 = 41 ( 2 + 82 ) /2

a41 = 2 + 80 S41 = 41(84) 41 /2

S41 = 3444 /2

a41 = 82 S41 = 1722

e) Determine a soma dos múltiplos de 9 compreendidos entre 1 e

100.

Resolução: 1 9 99 100

a1 an

Temos:

a1 an n r

9 99 ? 9

an= a1 + (n -1)r Sn = n( a1 + an ) /2

99 = 9 +( n - 1) 9 S11 = 11( 9 + 99 ) /2

99 -9 = (n - 1) 9 S11 = 11( 108 ) /2

90 / 9 = n - 1 S11 = 1188 /2

10 + 1 = n

n = 11 S11 = 594

f) Qual a soma dos termos da progressão aritmética (1, 2, 3, . . . 9,

10)?

Resolução:

Temos:

a1 an n r S10

1 10 10 1 ?

Sn = n( a1 + an ) /2 S10 = 10 (11 ) /2

S10 = 10( 1 + 10 ) /2 S10 = 110 /2

S10 = 55

g) A soma (Sn) dos “n” primeiros termos de uma progressão

aritmética é dado por Sn =n2 + n para todo “n”. Determine a

progressão aritmética.


Resolução:

Sn =n2 + n

n = 1 Sn = 12 + 1 Sn = 1 + 1 Sn = 2

n = 2 Sn = 22 + 2 Sn = 4 + 2 Sn = 6

n = 3 Sn = 32 + 3 Sn = 9 + 3 Sn = 12

Onde:

a1 = 2 S1 = 2

a2 = 4 S2 = a1 + a2 S2 = 2 + 4 S2 = 6

a3 = 6 S3 = a1 + a2+ a3 S3 = 2 + 4 + 6 S3 =12

Se:

a2 – a1 = r r = 4 – 2 r = 2

Logo:

a1 = 2 r = 2

Então:

2 4 6 ...

a1 a2 a3 an

Que é a sequência dos números naturais positivos, pares.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

1) Calcular a soma dos termos da progressão aritmética (3, 6, 9 . . .

24, 27).

2) Calcule a soma dos 30 primeiros termos da progressão aritmética

(5, 8, 11. . .).

3) Determine a soma dos múltiplos de 3, compreendidos entre 100 e

200.

4) Se a soma dos “n” primeiros termos da sucessão em progressão

aritmética (6, 10 . . .) é 510, determine “n”.

5) Calcular a soma dos 11 termos da progressão aritmética (2, 5, ...

32).

6) Determine a soma dos 15 primeiros termos da progressão

aritmética (4, 7, 10 . . .).

7) Determine a soma dos 7 números em progressão aritmética cujo

1º termo é 3 e a razão é 5.

8) Quantos múltiplos de 11 há entre 100 e 1000?

9) Numa progressão aritmética de 10 termos, o último termo é 22 e

a razão é 2. Qual é o 1º termo e qual a soma dos termos dessa

progressão aritmética?

10) Calcule a soma dos múltiplos positivos de 10 que se escrevem

com 3 algarismos.

11) Calcule a soma dos 100 primeiros números naturais positivos.


QUADRO GERAL DE RESPOSTAS

Questão Resposta

1 135

2 1455

3 4950

4 + 15

5 187

6 375

7 126

8 81

9 a1 = 4 S10 = 130

10 49050

11 5050

BIBLIOGRAFIA

Giovani, José Ruy. et al. Matemática fundamental. 2º. Grau – Volume

único. 1ª. Edição. Editora FTD S/A. São Paulo. Sem ano de publicação.

Yamada, Akihiro. Curso de Matemática Financeira. Matemática básica.

Módulo I. Apostila. Curitiba. Sem ano de publicação.

josé wammes, toledo, paraná, 2012 - fasul.edu.br · É uma sequência numérica em que cada...

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