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Jorge Augusto 22/09/2020Capitalização Simples

Fundamentos da Matemática Financeira 2Prof. Jorge Augusto Costa

Capitalização Simples.➢ Fórmulas do regime de capitalização simples.➢ Capital e montante.➢ Taxas de juros➢ Saldo médio e prazo médio.➢ Cálculo de juros pelo método hamburguês.

Plano de Aula


Objetivos

➢ Conhecer as fórmulas do regime decapitalização simples, capital e montante, taxasde juros, saldo médio e prazo médio e o cálculode juros pelo método hamburguês.


Atividade – Capitalização Simples1. Suponhamos que se tome emprestada a quantia de $1.000,00 pelo prazo de 2

anos e à taxa de 10% ao ano. Qual será o valor a ser pago como juro?

2. Considerando os dados do exercício 1 acima calcule o montante, ou seja, qual é omontante de um capital de $1.000,00 aplicado à taxa de 10%a.a., pelo prazo de 2anos?

3. Verifique se as taxas de 5% ao trimestre e de 25% ao ano são proporcionais.

4. Verifique se as taxas de 5% ao trimestre e de 20% ao ano são proporcionais.

5. Considere que uma pessoa possui hoje a quantia de $10.000,00. Qual será o valorfuturo se a pessoa aplicar esta importância a taxa de 5% ao mês, daqui a 3 meses?


Fórmulas do Regime de

Capitalização Simples.


Fórmulas do Regime de Capitalização SimplesMontante, capital acumulado ou valor futuroEquação 3.1

Capital, principal, valor atual ou valor presenteEquação 3.3 e 3.3a

JurosEquação 3.2

Taxa de jurosEquação 3.4 e 3.4a

Prazo, número de dias, meses, anosEquação 3.5 e 3.5a


Fórmulas do Regime de Capitalização Simples

JurosEquação 3.2

Exemplo 1: cálculo do Juros ( J )

Suponha um capital de 1.000. taxa de 2% por um prazo de 3 meses

Substituindo na fórmula temos:J = 1.000 2% 3 mesesJ = 1.000 0,02 3 = R$ 60,0

Não utilizamos a taxa na forma % para fazer os

cálculos, mas sim na forma unitária: exemplo taxa de 2% para transforma índice dividimos por 100, assim

2/100 = 0,02



JurosEquação 3.3a

Exemplo 2: cálculo do capital ( C )

Suponha um juros de 2.000, taxa de 10% por um prazo de 2 anos

Substituindo na fórmula temos:

C = 2.000 /( 20% 2 anos)

C = 2.000 / (0,1 2 ) = R$ 10.000

Reforçando: use taxa na forma unitária e não na forma %: exemplo taxa de 10% para transforma

índice dividimos por 100, assim 10/100 =

0,01



JurosEquação 3.4a

Exemplo 3: cálculo da taxa ( C )

Suponha um capital de 1000, juros de 150, por um prazo de 3 meses

Substituindo na fórmula temos:i = 150 /(1000 3)i = 150 / (3.000 )i = 0,05 ouI = 5% ao mês

Encontramos o resultado na forma

unitária, para transformar para a

forma % basta multiplicar por 100



JurosEquação 3.5a

Exemplo 4: cálculo do prazo ( n )

Suponha um capital de 500, juros de 100 e taxa de 2%

Substituindo na fórmula temos:n = 100 /(500 0,02)n = 100 / (10 )n = 10 meses

Reforçando: use taxa na forma unitária e não na forma %: exemplo taxa de 2% para transforma

índice dividimos por 100, assim 2/100 = 0,02


Capital e Montante.


Capitalização SimplesCapital e Montante

Capital

Principal e Montante

Valor atual

Valor presente

Montante

Capital acumulado

Valor futuro

Hoje

FuturoTempo decorrido


Capitalização SimplesMontante, Capital Acumulado ou Valor Futuro

Exemplo: Calcule o montante de um capital no valor de R$1.000,00, com taxa de juro 2% a.m., pelo prazo de 3 meses.

M = C (1 + i n)

M = R$ 1.000 (1 + 2% 3 meses)

M = R$ 1.000 (1 + 0,02 3)

M = R$ 1.000 (1 + 0,06) = R$ 1.060,00


Capitalização SimplesCapital, Principal, Valor Atual ou Valor Presente

Exemplo: Qual é o capital que, investido pelo prazo de 3 meses, à taxa de juro de 2% a.m., produz montante de R$ 1.600,00?


Capitalização SimplesEquivalência de Capitais no Regime de Juros Simples

Dois ou mais capitais de diferentes datas, quando levados para uma data focalcom a mesma taxa de juros resultarem em valores iguais, são capitaisequivalentes.


Capitalização SimplesEquivalência de Capitais no Regime de Juros Simples

Fórmulas: M = C (1 + i n) C = M / (1 + i n)Exemplo: Calcule o capital equivalente no mês 3 dos seguintes

valores nominais, à taxa de juros de 3% a.m.


Taxas de Juros.


Taxa de JurosTaxas ProporcionaisSão expressas em unidades de tempo diferentes e, quando calculadas para ummesmo período de tempo, produzem a mesma taxa. É uma característica dosistema de capitalização linear (regime de juros simples).

Exemplo:


Taxa de JurosTaxas Equivalentes a Juros Simples

Segundo Shinoda (1998), a taxa equivalente a juros simples é semprecalculada usando a proporcionalidade, e a relação entre as taxasequivalentes é linear.

Por exemplo, uma taxa mensal de 4,5% é equivalente à taxa diária de 0,15% e para 20 dias,

Essa taxa é de 3%

(0,045/30 x 20 = 0,03 = 3%).


Taxa de JurosHomogeinização entre a Taxa de Juro e o Período de Capitalização

Exemplo : conversão da taxa de juro para unidade do prazo

J = C i n

J = R$ 1.000 x ( 12% a.a. / 12) a.m. x 3 meses

J = R$ 1.000 x 0,01 x 3 = R$ 30,00

Calcule o juro sobre um capital de R$ 1.000,00 aplicado pelo prazo de 3 meses à taxa de juros simples de 12% a.a.


Taxa de JurosHomogeinização entre a Taxa de Juro e o Período de Capitalização

Exemplo : conversão do prazo para o período da taxa de juro

Calcule o juro sobre um capital de R$ 1.000,00 aplicado pelo prazo de 3 meses à taxa de juros simples de 12% a.a.

J = C i n

J = R$ 1.000 x 12% a.a. x (3/12) ano

J = R$ 1.000 x 0,12 x 0,25 = R$ 30,00


Taxa de JurosJuros Diário, Mensais, Semestrais e Anuais

Exemplo: Calcule o juro diário, mensal, semestral e anual sobre uma aplicação financeira no valor de R$ 500,00, à taxa de juros simples de 15% a.a.

J diário = 500 x (0,15 / 360) = R$ 0,21

J mensal = 500 x (0,15 / 12) = R$ 6,25

J semestral = 500 x (0,15 / 2) = R$ 37,50

J anual = 500 x 0,15 = R$ 75,00


Saldo Médio e

Prazo médio.


Saldo Médio e Prazo MédioPrazo Médio

Exemplo: Se existem diversos valores com diversos prazos como a seguir apresentados, qual é o prazo médio dos capitais?

Fórmula


Saldo Médio e Prazo MédioPrazo Médio

C1 = R$ 1.000,00 2% a.m. 1 mês = R$ 20,00C2 = R$ 1.500,00 2% a.m. 2 meses = R$ 60,00C3 = R$ 1.500,00 2% a.m. 3 meses = R$ 90,00C4 = R$ 2.000,00 2% a.m. 4 meses = R$ 160,00Total de juros = R$ 330,00

Comprovação do prazo médio calculado

Juro pelo prazo médio: R$ 6.000,00 2% a.m. 2,75 meses = R$ 330,00

Conclusão: a soma dos juros sobre cada capital calculados é igual ao juro calculado pelo prazo médio dos capitais.

Cálculo do juro pelo prazo médio


Saldo Médio e Prazo Médio

Exemplo: Se uma conta bancária apresentar um saldo médio de R$ 100,00durante três dias, o saldo médio ponderado desse período será deR$ 100,00, pois não houve variação de saldo durante o período. Masse o saldo variar no segundo dia para R$ 200,00 e continuar comesse valor no terceiro dia, o saldo médio dos três dias será R$166,67.

Fórmula

Capital Médio


Saldo Médio e Prazo Médio

Comprovação do capital médio calculado a taxa constante

Capital Médio

Juro sobre R$ 100,00 = R$ 100,00 x 0,2% a.d. x 1 dia = R$ 0,20Juro sobre R$ 200,00 = R$ 200,00 x 0,2% a.d. x 2 dia = R$ 0,80Total de juros em 3 dias = R$ 1,00

Cálculo do juro pelo saldo médio

Juro pelo prazo médio: R$ 166,67 x 0,2% a.d. x 3 dias = R$ 1,00


Saldo Médio e Prazo MédioExemplo Prático de Cálculo de Saldo Médio Ponderadoi = 5% a.m.


Saldo Médio e Prazo MédioExemplo Prático de Cálculo de Saldo Médio Ponderado1ª alternativa: calcular o saldo médio ponderado do período de empréstimo


Saldo Médio e Prazo MédioExemplo Prático de Cálculo de Saldo Médio Ponderado2ª alternativa: calcular o saldo médio ponderado do mês


Cálculo de Juros pelo

Método Hamburguês..


Cálculo de Juros pelo Método Hamburguês

Método Hamburguês

➢Pelo método hamburguês, os juros são devidos sobre os respectivos saldosde recursos utilizados durante os dias do mês (mês civil), calculados combase em um ano comercial de 360 dias.

➢Utiliza o conceito de capitalização simples, o que simplifica bastante ocálculo de juros.

➢ Por este método, diversos capitais com diversos prazos rendem juros a uma taxa única.


Cálculo de Juros pelo Método HamburguêsMétodo Hamburguês

Exemplo

Uma empresa contratou com o banco, em 10 de março, uma conta garantidacom limite de R$ 1 milhão e encargos financeiros de 3% a.m., com vencimentoem 10 de junho do mesmo ano. A TAC (taxa de abertura de crédito) serádebitada no início do contrato e os encargos financeiros serão devidos no finalde cada mês. Será assumido que não existem outros encargos ou impostos,para facilitar o entendimento dos cálculos.



Exemplo



Cálculo de encargos financeiros

Encargos financeiros debitados em 31/3.



Contagem do número de dias

São apurados somente os números de dias dos saldos “devedores”.

Por exemplo, se o saldo devedor de R$ 500,00 em 10/3 permaneceu até 16/3, a contagem é de 6 dias.

A contagem de dias utiliza a forma antecipada, isto é, conta-se o primeiro dia e não se conta o último dia.


Prof. Jorge Augusto Costa

E-mail: [email protected]

Celular: 86 9.9851-5570 TIM WhatsApp e Telegram

Muito obrigado!

Até a próxima.

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