Mestrado Integrado em Engenharia MecanicaMestrado Integrado em Engenharia Eletrotecnica e de Computadores

Investigacao Operacional2012.02.02

Exame de recursoProva com consultaDuracao: 2h30min

Jogos Olımpicos de Verao - Londres 2012

A organizacao de um evento com a dimensao dos jogos olımpicos envolve um enorme esforco. Para au-xiliar a organizacao e assegurar um evento grandioso, em 1894, foi criado o Comite Olımpico Internacionalpor iniciativa de Pierre de Coubertin. A missao do Comite Olımpico Internacional e desenvolvida atraves dediversas comissoes: Comissao Medica, Solidariedade Olımpica, Mulheres e o Desporto, Educacao e Cultura,Desporto e Paz, Desporto e Meio Ambiente.

No entanto, para alem das questoes fundamentais a cargo das diferentes comissoes existem outras questoesde cariz mais operacional que a organizacao dos jogos olımpicos deve ter em consideracao antecipadamente.Por exemplo, a organizacao dos jogos olımpicos deste ano disponibilizou no site oficial dos jogos uma fun-cionalidade “Spectator journey planner” para os visitantes planearem cuidadosamente as viagens, devido aausencia de parques de estacionamento junto dos locais onde irao decorrer os diferentes jogos. Com estafuncionalidade, a organizacao pretende garantir que todas as pessoas chegam aos locais dos jogos e de umaforma tranquila.

adaptado de http://www.london2012.com/, consultado em 2012.29.01

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1. (25%) A Comissao Medica do Comite Olımpico Internacional luta ativamente contra o doping e suportatodas as acoes que visem a protecao da saude dos atletas. O objectivo que presidiu a sua fundacaoem 1967, criar uma estrutura anti-doping, foi rapidamente alargado para abarcar os seguintes tresprincıpios fundamentais: protecao da saude dos atletas, respeito pelas eticas medica e desportiva,equidade para todos os atletas em competicao.

No entanto, na conjuntura de crise que se vive, mesmo estruturas como a de combate ao dopingtem que otimizar os custos. Nos Jogos Olımpicos de Londres 2012, como em todos os jogos, saofeitas analises clınicas aleatorias aos atletas, procurando detetar substancias proibidas. Estas analisesdecorrem nao so no perıodo dos jogos mas tambem nos meses anteriores, deslocando-se as equipasmedicas aos centros de estagio e paıses onde os atletas se encontram (a localizacao exata de cadaatleta e de declaracao obrigatoria e a prestacao de falsas declaracoes implica a irradiacao dos atletasdos jogos). O objetivo e planear as saıdas de 3 equipas medicas na proxima semana, que estarao noterreno a controlar 10 atletas previamente selecionados, determinando que atletas cada equipa medicavai controlar e porque ordem as deslocacoes devem ser feitas, de forma a que o tempo total de viagem(para as 3 equipas) seja mınimo. Todas as equipas partem da sede do COI, na margem norte do LagoGeneva em Lausanne, na Suıca, e la regressam outra vez no fim da viagem. Na figura 1 apresenta-sea localizacao no mapa da sede do COI (no 0), dos centros de estagio dos 10 atletas que serao visitadospelas equipas medicas (nos 1 a 10), e ainda uma solucao admissıvel para o problema.

8 6

4

21

7

0 3

5

9

+

++

10

Figura 1: Localizacao da sede do COI e dos centros de estagio dos 10 atletas a controlar, e exemplo de umasolucao admissıvel para o problema.

O objetivo e formular o modelo de programacao matematica que permitiria resolver este problema,tendo ainda em conta os seguintes dados:

ti,j – tempo de viagem entre o centro de estagio i e o centro de estagio j, em que i = 0 ou j = 0representam nao um centro de estagio mas a sede do COI (i = 0, . . . , 10; j = 0, . . . , 10);

ci – tempo que demora a efetuar o controlo do atleta i (i = 0, . . . , 10);

T – Tempo util disponıvel na semana para cada equipa medica viajar e fazer os controlos anti-doping;

(a) Decisoes

Considere que as variaveis de decisao para este problema representam se a equipa medica k vaiou nao controlar o atleta j depois de ter controlado o atleta i — a sede do COI, ponto de partidae chegada das equipas medicas, e representada como o atleta 0:

xki,j =

{1, se a equipa k controlar o atleta j apos ter controlado o atleta i0, caso contrario

k = 1, . . . , 3; i = 0, . . . , 10; j = 0, . . . , 10

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• Quantas sao as variaveis de decisao?

• Diga quais sao as variaveis de decisao que sao iguais a 1 na solucao admissıvel representadana figura 1.

(b) Restricoes

• Descreva por palavras os diferentes tipos de restricoes para este problema.

• Quantas sao as restricoes de cada tipo?

• Represente matematicamente as restricoes para este problema na forma linear.

(c) Objetivo

• Descreva por palavras a funcao objetivo para este problema.

• Represente matematicamente essa funcao objetivo na forma linear.

2. (25%) A comissao organizadora dos Jogos Olımpicos de Londres 2012 disponibilizou uma plataformaonline para a pre-reserva de bilhetes. Uma das sessoes mais concorridas foi a final das provas deatletismo, a decorrer no estadio Olımpico, com capacidade para 90000 espetadores. Os bilhetes paraesta sessao estao divididos em quatro categorias: Categoria 1, Categoria 2, Categoria 3 e VIP. Paracada categoria sao conhecidos os precos de venda dos bilhetes e as pre-reservas ja efetuadas (ver tabela1):

Tabela 1: Dados por categoriaCat. 1 Cat. 2 Cat. 3 VIP

Preco (em libras) 50 65 75 150Pre-reservas (em num. de bilhetes) 5000 15000 6000 -

(-) nao sao permitidas pre-reservas

A comissao pretende definir o numero final de bilhetes a emitir para cada categoria de forma a maximi-zar a receita de bilheteira. Para tal, a juntar as pre-reservas ja efetuadas, deve ainda considerar regrasque o numero de bilhetes vendidos da Categoria 3 nao pode exceder as 15000 unidades, e os bilhetesVIP estao limitados a 2000. A estrategia de marketing definida dita ainda que o numero de bilhetesvendidos da Categoria 3 so pode ser no maximo um quarto da soma dos bilhetes das categorias 1 e 2,e que os bilhetes da Categoria 1 devem corresponder a pelo menos duas vezes o numero de bilhetesdas restantes categorias.

Na figura 2 esta presente o modelo em Excel para o problema que corresponde a maximizacao dareceita de bilheteira. Nas figuras 3 e 4 sao apresentados, respetivamente, os relatorios de resposta esensibilidade produzidos pelo Solver aquando da resolucao do problema.

Figura 2: Modelo em Excel

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Célula de Objetivo (Máx)

Célula Nome Valor original Valor final

$F$5 2) 0 5250000

Células de Variável

Célula Nome Valor original Valor final

$B$3 1) Cat. 1 60000 60000

$C$3 1) Cat. 2 15000 15000

$D$3 1) Cat. 3 13000 13000

$E$3 1) VIP 2000 2000

Restrições

Célula Nome Valor da célula Fórmula Enlace Margem

$F$7 3) 90000 $F$7<=$H$7 Enlace 0

$F$8 4) 60000 $F$8>=$H$8 Sem Enlace 55000

$F$9 5) 15000 $F$9>=$H$9 Enlace 0

$F$10 6) 13000 $F$10>=$H$10 Sem Enlace 7000

$F$11 7) 13000 $F$11<=$H$11 Sem Enlace 2000

$F$12 8) 2000 $F$12<=$H$12 Enlace 0

$F$13 9) -5750 $F$13<=$H$13 Sem Enlace 5750

$F$14 10) -1.45519E-11 $F$14>=$H$14 Enlace 0

Figura 3: Relatorio de resposta gerado pelo Solver

Células de Variável

Final Reduzido Objectivo Permissível Permissível

Célula Nome Valor Custo Coeficiente Aumentar Diminuir

$B$3 1) Cat. 1 60000 0 50 25 87.5

$C$3 1) Cat. 2 15000 0 65 10 1E+30

$D$3 1) Cat. 3 13000 0 75 75 10

$E$3 1) VIP 2000 0 150 1E+30 75

Restrições

Final Sombra Restrição Permissível Permissível

Célula Nome Valor Preço Lado direito Aumentar Diminuir

$F$7 3) 90000 58.33333333 90000 6000 21000

$F$8 4) 60000 0 5000 55000 1E+30

$F$9 5) 15000 -10 15000 7000 2000

$F$10 6) 13000 0 6000 7000 1E+30

$F$11 7) 13000 0 15000 1E+30 2000

$F$12 8) 2000 75 2000 7000 2000

$F$13 9) -5750 0 0 1E+30 5750

$F$14 10) -1.45519E-11 -8.333333333 0 21000 6000

Figura 4: Relatorio de sensibilidade gerado pelo Solver

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(a) Considere o modelo de Excel presente na figura 2. Explique a que corresponde cada uma daslinhas numeradas de 1) a 10).

(b) Recorrendo a informacao disponıvel nos relatorios apresentados nas figuras 3 e 4, preencha ascelulas a sombreado na figura 2.

(c) A comissao pretende estudar o efeito do preco dos bilhetes na distribuicao dos lugares pelasdiferentes categorias. O que aconteceria a solucao otima se o preco de um bilhete da Categoria1 aumentasse em 20%? E no caso de o mesmo aumento se verificar na Categoria 2? Justifiqueambas as respostas.

(d) As pre-reservas feitas online representam intencoes de compra e nao compras efetivas. No entanto,foi ja cobrada uma taxa de reserva que corresponde a 10% do preco do bilhete e que devera serdevolvida caso a comissao nao queira emitir os bilhetes reservados. A comissao esta a ponderara nao emissao de 2000 bilhetes da Categoria 2. Faz sentido esta opcao? Justifique calculando oproveito ou custo associado a esta operacao.

3. (25%)

A organizacao dos Jogos Olımpicos esta a contratar varias empresas de transportes para garantir asdeslocacoes das pessoas a partir de pontos estrategicos da cidade para os locais onde irao decorrer asdiferentes provas. A empresa “London Shuttle” que opera com mini autocarros foi contratada parafazer viagens desde tres pracas de Londres (St. James Square, Trafalgar Square, Piccadilly Circus)ate tres diferentes locais (Basketball Arena, Wembley Stadium, Wimbledon).

Com base nos dados recolhidos pela organizacao, estima-se que o numero de pessoas que chega a cadauma das pracas por hora e: 150 a St. James Square, 250 a Trafalgar Square, 300 a Piccadilly Circus.A tabela 2 indica o numero maximo de pessoas que a “London Shuttle” consegue transportar por horaentre cada uma das pracas e cada um dos locais.

Tabela 2: Capacidade de transporte dos autocarros por hora

Basketball Arena Wembley Stadium WimbledonSt. James Square — 200 100Trafalgar Square 100 150 —Piccadilly Circus — 150 300

— percurso inviavel

De acordo com as ultimas estimativas da organizacao, o numero de pessoas que pretende deslocar-se, por hora, com a “London Shuttle” para os locais das provas ira ser aproximadamente 1% dacapacidade de cada local. As capacidades dos locais, em numero de pessoas, sao: Basketball Arena -12 000, Wembley Stadium - 60 000 e Wimbledon - 15 000.

(a) Apresente uma rede que permita determinar o numero maximo de pessoas que pode chegar acada um dos locais das provas. Nao se esqueca de indicar a capacidade de cada ramo.

(b) Determine o numero maximo de pessoas que pode chegar a cada um dos locais das provas. Naose esqueca de provar que a solucao que encontrou e otima.

(c) Adicionalmente, considere agora que tendo em conta o elevado movimento previsto nas ruas dacidade, a “London Shuttle” nao devera conseguir transportar um numero de pessoas por horasuperior a 300 a partir das pracas St. James Square e Trafalgar Square, no seu conjunto. Alterea rede que desenhou na alınea anterior de modo a incorporar esta nova restricao. Nao determinea solucao otima para esta nova rede.

4. (25%)

A organizacao dos Jogos Olımpicos de Londres 2012 vai fornecer gratuitamente aos espetadores queirao assistir a final de andebol bandeiras luminosas especialmente concebidas para a producao de efei-tos visuais de grande impacto. A empresa Bandeirinhas ganhou o concurso para a producao dessasbandeiras, estando assegurada a compra pela Organizacao dos Jogos da totalidade da capacidade de

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producao da empresa durante um determinado perıodo antes da cerimonia de abertura.

O processo produtivo da empresa, representado na figura seguinte, consiste:

• no fabrico de componentes, e na colocacao dos componentes necessarios a montagem de umabandeira numa caixa;

• na colocacao destas caixas numa tela transportadora para alimentacao dos postos de montagem;

• na montagem das bandeiras nos postos de montagem.

Quando e atingida a capacidade da tela transportadora, as caixas que saem do fabrico de componen-tes sao colocadas no chao proximo do inıcio da tela. Logo que haja lugar na tela transportadora,um trabalhador retira as caixas entretanto armazenadas no chao e coloca-as na tela transportadora.Considere que a capacidade de armazenagem de caixas no chao e infinita.

Do fabrico de componentes sai, em media, uma caixa de 3,75 em 3,75 minutos. Este tempo e aleatorioe segue uma distribuicao exponencial negativa. Em cada um dos postos de montagem sao montadas,em media, 10 bandeiras por hora, sendo o tempo de montagem de uma bandeira aleatorio, seguindouma distribuicao exponencial negativa.

(a) Admita que se utilizam 2 postos de montagem e que a capacidade maxima da tela transportadorae de 3 caixas. Qual a probabilidade de uma caixa, quando sai do fabrico de componentes, ter queser colocada no chao antes da tela transportadora?

(b) A Bandeirinhas esta a estudar a hipotese de adquirir uma maquina automatica que permitefazer a montagem das bandeiras de forma mais rapida. Esta maquina permite montar, emmedia, 30 bandeiras por hora (considere que o tempo de montagem continua a ser aleatorio e quesegue uma distribuicao exponencial negativa). Caso se venha a adquirir uma destas maquinasautomaticas, em substituicao dos 2 postos de montagem atuais, qual devera ser a capacidade datela transportadora, para que a probabilidade de uma caixa (que saia do fabrico de componentes)ter de ser colocada no chao seja inferior a 1%?

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Resolucao

1. (a) Decisoes

• Considerando que cada uma das 3 equipas pode ir de cada um dos 11 “atletas” (sede doCOI incluıda) para qualquer um dos 11 “atletas” (sede do COI incluıda), temos um total de3× 11× 11 = 363 variaveis.

• As variaveis de decisao que sao iguais a 1 sao as seguintes:

x10,1 x11,2 x12,3 x13,0 x20,4 x24,6 x26,7 x27,5 x25,0 x30,8 x38,9 x39,10 x310,0

(b) Restricoes

• As restricoes para este problema serao as seguintes:

i) Cada atleta e controlado por uma e uma so equipa medica.

ii) Se uma equipa controla um atleta l, vinda do atleta i ou da sede do COI, tem depois quesair para um outro atleta j ou para a sede do COI (restricao de conservacao de fluxos).

iii) No maximo podem sair 3 equipas.

iv) A duracao total das viagens e do tempo de controlo nao pode exceder o tempo utildisponıvel na semana.

Sao ainda necessarias restricoes que evitam a formacao de sub-ciclos, mas isso sera tratadoseparadamente no fim desta resolucao, dado ser uma questao de valorizacao.

• i) 10

ii) 30

iii) 1

iv) 3

• i)3∑

k=1

10∑i=0

xki,j = 1, j = 1, . . . , 10

ii)10∑i=0

xki,l =

10∑j=0

xkl,j , l = 1, . . . , 10; k = 1, . . . , 3

iii)3∑

k=1

10∑j=1

xk0,j ≤ 3

iv)10∑i=0

10∑j=0

xki,j(ti,j + ci) ≤ T, k = 1, . . . , 3

De facto, este conjunto de restricoes nao impede que solucoes como a apresentada na Figura 5,ocorram. Estas solucoes nao sao admissıveis porque contem sub-ciclos, isto e, existe uma rotafechada que nao comeca e acaba no ponto de partida, a sede do COI. Uma forma de evitarsub-ciclos e usar as restricoes que estudamos para o problema do caixeiro viajante. Vamos aquipropor uma forma alternativa, que se baseia numa variavel auxiliar que vai contando o tempo,como se fosse o relogio, a que se esta em cada momento da rota. Ao impormos que o tempo naoanda para tras, conseguimos evitar os sub-ciclos.

Teremos entao que definir as seguintes variaveis auxiliares adicionais:

yki = Instante de tempo em que a equipa k chega ao centro de estagio para controlar o atleta ik = 1, . . . , 3; i = 0, . . . , 10

Restricoes adicionais:

7

8 6

4

21

7

0 3

5

9

+

++

10

Figura 5: Exemplo de uma solucao nao admissıvel, por ter um sub-ciclo.

{yk0 = 0, k = 1, . . . , 3Se xki,j = 1 entao ykj = yki + ti,j + ci, i = 0, . . . , 10; j = 1, . . . , 10; k = 1, . . . , 3

No entanto esta restricao nao e linear, tem uma condicao “se-entao”. Esta pode ser linearizadada seguinte forma:

{yk0 = 0, k = 1, . . . , 3ykj ≥ yki + ti,j + ci +M(xki,j − 1), i = 0, . . . , 10; j = 1, . . . , 10; k = 1, . . . , 3;M →∞

(c) Objetivo

• O objetivo deste problema e minimizar o tempo total gasto pelas equipas medicas em viagens,desde que saem da sede do COI ate que la regressam. Note-se que o tempo gasto no controloaos atletas e sempre o mesmo porque todos os atletas sao controlados uma e uma so vez.

•

min3∑

k=1

10∑i=0

10∑j=0

ti,j × xki,j

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2. (a) • A linha 1) contem as variaveis de decisao do problema, isto e, o numero de bilhetes a emitirde cada categoria.

• A linha 2) contem os coeficientes da funcao objetivo e, na coluna F, o seu valor.

• A linha 3) limita o numero maximo de bilhetes a emitir a capacidade total do estadio.

• As linhas 4) a 6) garantem a emissao de um numero mınimo de bilhetes correspondente aonumero de pre-reservas para as categorias 1, 2 e 3, respetivamente.

• A linha 7) e 8) limitam o numero de bilhetes das categoria 3 e VIP, respetivamente, aomaximo permitido.

• A linha 9) apresenta a restricao relativa a proporcao maxima de bilhetes da Categoria 3 faceas categorias 1 e 2.

• A linha 10) modeliza a restricao da proporcao mınima de bilhetes da Categoria 1 face ascategorias 2, 3 e VIP.

(b) Consultando o relatorio de resposta do Solver (figura 3) obtem-se:

Figura 6: Solucao otima obtida

• O valor das variaveis de decisao - linha 1) - e retirado da tabela Celulas de Variavel, dacoluna Valor final.

• O valor da funcao objetivo - linha 2) - e retirado da tabela Celula de Objetivo, da colunaValor final.

• O valor do termo do lado esquerdo de cada restricao - linhas 3) a 10) - e retirado da tabelaRestricoes, da coluna Valor final.

(c) Um aumento de 20% no preco do bilhete da Categoria 1 corresponde a um aumento de 10libras, o que pela pela analise de sensibilidade fornecida (ver figura 4), se encontra dentro dolimite permitido para um aumento do coeficiente da Categoria 1 na funcao objetivo (o aumentomaximo e de 25 libras). Assim, neste caso, a solucao atual permaneceria otima.

No caso do mesmo se verificar na Categoria 2, este corresponde a um aumento de 13 libras nocoeficiente na funcao objetivo, o que ultrapassa o limite maximo de 10 libras (ver figura 4). Paraeste cenario a solucao atual deixa de ser otima, tendo o Solver de ser executado novamente paradeterminar a nova solucao otima.

(d) O custo da nao emissao de cada bilhete da Categoria 2 com pre-reserva e de 6,5 libras, o quecorresponde a 10% do preco do bilhete. Atentando no relatorio de sensibilidade da figura 4,verifica-se que o Preco Sombra associado a restricao do numero de pre-reservas da Categoria2 e de -10 libras. Isto significa que reduzindo uma unidade ao numero de pre-reservas destacategoria a receita total aumenta em 10 libras. Desta forma, existe um benefıcio por cada bilheteda Categoria 2 nao emitido de 3,5 libras. (10 libras de benefıcio da nao emissao - 6,5 libras docusto de reembolso)

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Resta saber para que intervalo de reducao do numero de pre-reservas e o Preco Sombra valido.Analisando novamente o relatorio de sensibilidade produzido verifica-se que e possıvel uma reducaode 2000 pre-reservas da Categoria 2, mantendo-se valido o Preco Sombra de -10, precisamente onumero de bilhetes que a comissao considera nao emitir. O proveito associado a esta operacao eentao de 2000× (10− 6, 5) = 7000 libras, justificando que a comissao avance para a nao emissaodestes bilhetes.

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3. (a) Este e um problema de fluxo maximo com tres origens e tres destinos. Assim, para o resolverconsiderou-se um no fictıcio agregando a oferta (no de inıcio) e um no fictıcio agregando a procura(no de fim). A procura para cada local foi calculada considerando-se 0.01× capacidade do local.A rede que traduz o problema pode ser representada atraves do esquema seguinte:

(b) Para determinar o numero maximo de pessoas que chega aos locais dos jogos, deve-se proceder amaximizacao do fluxo entre o no I e o no F aplicando o algoritmo de fluxo maximo. As iteracoescorrespondentes ao algoritmo estao representadas a seguir.

O primeiro caminho nao saturado escolhido foi: I-1-5-F. Fluxo= min{50,200,600 }=50

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O segundo caminho nao saturado escolhido foi: I-2-5-F. Fluxo= min{250,150,550 }=150

O terceiro caminho nao saturado escolhido foi: I-2-4-F. Fluxo= min{100,100,120 }=100

O quarto caminho nao saturado escolhido foi: I-3-6-F. Fluxo= min{300,150,150 }=150

O ultimo caminho nao saturado escolhido foi: I-3-5-F. Fluxo= min{150,150,300 }=150

Esta solucao e a solucao otima do problema (valor fluxo maximo e igual a capacidade do cortemınimo). Com base na solucao obtida podem chegar por hora, no maximo, 100 pessoas a Bas-ketball Arena, 450 pessoas a Wembley Stadium e 150 pessoas a Wimbledon.

(c) Para ter em conta a restricao adicional, pode-se colocar um no fictıcio a seguir ao no I, ligado aeste por uma arco de capacidade 300 (capacidade maxima), saindo do no fictıcio arcos para osnos 1 e 2, com capacidades de 150 e 250, respetivamente.

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4. (a) O sistema de espera a considerar sera um sistema M/M/S, constituıdo por uma fila de esperacom capacidade infinita e 2 postos de atendimento (S=2). O sistema pode ser conceptualizadoda seguinte forma:

A Fila de Espera (com capacidade infinita) e assim constituıda pelo conjunto formado pelas cai-xas na tela transportadora e pelas caixas armazenadas no chao. As caixas so serao armazenadasno chao se o numero de caixas no sistema de espera for igual ou superior a 5 (duas das caixas aserem montadas nos postos de montagem, e 3 na tela transportadora).

Assim, a percentagem das caixas que a saıda do fabrico ficarao armazenadas no chao sera dadapela probabilidade de P (n ≥ 5).

Considerando um sistema de espera M/M/2, com:

λ = 603.75 = 16 caixas

hora

µ = 10 caixas(bandeiras)hora

S = 2 postos de montagem

Teremos: λµ = 16

10 = 1.6

Das tabelas (sides das aulas teoricas) obtemos o valor de P0 para um sistema com S=2:

P0 = 0.1111.

Do formulario para sistemas M/M/S:

Pn =(λµ)n

n! × P0 para n ≤ S [1]

Pn =(λµ)n

S!×Sn−S × P0 para n ≥ S [2]

Por [1] calculamos: P1 = 0.17776 e P2 = 0.142208

Por [2] calculamos: P3 = 0.113766 e P4 = 0.091013

P (n ≥ 5) = 1− P (n ≤ 4) = 1− (P0 + P1 + P2 + P3 + P4) = 1− 0.636 = 0.364 ≈ 36.4 %.

Assim, a probabilidade de uma caixa ser colocada no chao e de 36,4%.

(b) O sistema a considerar tem agora uma configuracao M/M/1 com:

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λ = 603.75 = 16 caixas

hora

µ = 30 caixas(bandeiras)hora

S = 1 maquina automatica

ρ = λµ = 16

30 = 0.5333

O que se deseja saber e valor de k, para que P (n > k) < 0, 01 (1%).

Como para sistemas M/M/1 (ver formulario): P (n > k) = ρ(k+1)

k P (n > k)2 0.1517043 0.0809094 0.0431515 0.0230146 0.0122747 0.006546

Note-se que o valor de k tem de inclui a caixa que esta a ser montada na maquina automatica.Assim, a capacidade da tela transportadora devera ser de 7 − 1 = 6 caixas (a que correspondek = 7, e P (n > 7) = 0, 6%, logo menor que 1%).

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