joÃo gabriel queiroz de araÚjo por modo deslizante... · 2019. 7. 15. · momentos de colisão...
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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE FEIRA DE SANTANA
BACHARELADO EM ENGENHARIA DE COMPUTAÇÃO
JOÃO GABRIEL QUEIROZ DE ARAÚJO
CONTROLE POR MODO DESLIZANTE DE FREIOS AUTOMOTIVOS ABS
FEIRA DE SANTANA
2013
JOÃO GABRIEL QUEIROZ DE ARAÚJO
CONTROLE POR MODO DESLIZANTE DE FREIOS AUTOMOTIVOS ABS
Trabalho de Conclusão de Curso elaborado como um
requisito para a obtenção do título de Bacharel em
Engenharia de Computação pela Universidade
Estadual de Feira de Santana.
Orientador(a): Marcia Lissandra Machado Prado
FEIRA DE SANTANA
2013
DEDICATÓRIA
“Dedico este trabalho aos meus pais Eduardo e Benedita pelo amor, pela
confiança e pelos sacrifícios que fizeram para cuidar e educar a mim e aos
meus irmãos. Aos meus irmãos João Rafael e Maria Eduarda pela alegria e
força nos momentos de dificuldade e aos meus tios Maria Amélia, Ubiratan,
Maria Auxiliadora e André Felipe que foram fundamentais, pelo carinho e
pela ajuda, para que eu conseguisse chegar onde estou hoje”.
AGRADECIMENTOS
A Deus, por me dar a vida, força e oportunidades para realizar meus sonhos e objetivos.
Aos meus pais, Eduardo e Benedita por nunca deixarem de acreditar em mim e por fazerem
com que a minha vida seja repleta de amor e compreensão.
Aos meus irmãos, João Rafael e Maria Eduarda, por fazerem com que minha vida seja mais
alegre.
Aos meus tios, Maria Amélia e Ubiratan, pelo carinho com que me acolheram aqui em Feira
de Santana.
Aos meus tios Maria Auxiliadora e André Felipe pela alegria e força nos momentos de
dificuldade.
A minha orientadora, Prof.ª Dr.ª Marcia Lissandra Machado Prado, pela confiança, pelo
conhecimento compartilhado e pela paciência.
A todos os meus primos de Camamu e de Feira de Santana pela alegria e apoio.
“Agradeço todas as dificuldades que enfrentei; não fosse por elas, eu não teria
saído do lugar. As facilidades nos impedem de caminhar. Mesmo as críticas
nos auxiliam muito”. (Chico Xavier)
RESUMO
Esse trabalho apresenta um estudo da utilização de controladores em Modo Deslizante para
freios automotivos com ABS (Antilock Brake Systems) e compara os seus resultados com a
frenagem do veículo com apenas freios convencionais, sem uso de nenhum tipo de
controlador no modelo implementado. Os freios com ABS estão cada vez mais sendo
utilizados em veículos de passeio por proporcionar maior segurança ao motorista em
momentos de colisão iminente, impedindo as que as rodas do veículo travem em uma freada
brusca e ao mesmo tempo diminuindo a distância de parada do mesmo. Para que o ABS possa
funcionar em qualquer terreno, a sua unidade de controle ECU (Electronic Control Unit) deve
calcular o nível de escorregamento que a roda do veículo está passando naquele momento, o
que não é trivial, pois o veículo pode passar por diversos tipos de terrenos com condições
diferentes (seco, molhado, com gelo, lama entre outros), o que dificulta o cálculo de valores
satisfatórios devido às não linearidades associadas a cada terreno anteriormente citado. O
controlador em Modo Deslizante é um controlador robusto não linear de implementação
relativamente simples que no momento de sua estabilidade (quando entra em Modo
Deslizante) se comporta como um sistema de ordem reduzida.
Palavras-chave: Sistemas de Controle. Teoria de Controle. Freios. Sistema de Freios
Antitravamento. Sistema de Controle Não-Linear.
ABSTRACT
This paper presents a study of the use of Sliding Mode controllers for automotive brakes with
ABS (Antilock Brake System) and compares its results with the braking of the vehicle with
conventional brakes only, without the use of any controller in the implemented model. The
brakes with ABS are increasingly being used in passenger vehicles by providing greater driver
safety in the moment of imminent collision, preventing the wheels from locking on the
vehicle to a halt while reducing the stopping distance of the same. To that ABS can work on
any terrain, its unit ECU (Electronic Control Unit) control should calculate the level of the
wheel slip of the vehicle is going at the moment, which is not trivial, because the vehicle can
pass by several with different types of terrain (dry, wet, ice, mud and other) conditions, which
complicates the calculation of satisfactory values due to nonlinearities associated with each
terrain previously cited. The Sliding Mode controller is a nonlinear robust controller relatively
simple implementation at the time of its stability (when entering Sliding mode) behaves as a
system of reduced order.
Keywords: Control Systems. Control Theory. Brakes. Antilock Braking Systems. Nonlinear
Control Systems.
LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1: Sistema de Freios ...................................................................................................... 15
Figura 2: Pedal de freio ligado a um sistema de freio convencional. ....................................... 16
Figura 3: Servo-freio ................................................................................................................ 16
Figura 4: Cilindro mestre .......................................................................................................... 18
Figura 5: Freio a tambor ........................................................................................................... 19
Figura 6: Freio a tambor Simplex ............................................................................................. 19
Figura 7: Freio a tambor Duo-Servo ........................................................................................ 20
Figura 8: Freio a disco (a) Pinça fixa, (b) Pinça flutuante ........................................................ 21
Figura 9: Comportamento de um veículo de passeio durante a frenagem ............................... 22
Figura 10: Sistema de freios com ABS .................................................................................... 24
Figura 11: Comportamento de um veículo de passeio em situação extrema............................ 24
Figura 12: Sistema massa-mola-amortecedor .......................................................................... 27
Figura 13: Pêndulo simples ...................................................................................................... 30
Figura 14: Superfície de deslizamento de um sistema ............................................................. 31
Figura 15: Computando limites em ....................................................................................... 33
Figura 16: Computando limites em .................................................................................. 34
Figura 17: A condição de deslizamento ................................................................................... 36
Figura 18: Gráfico de interpretação das equações (8) e (16) para n=2..................................... 37
Figura 19: Representação da estabilidade do sistema. ............................................................. 38
Figura 20: Coeficientes de atrito utilizados para a simulação. ................................................. 40
Figura 21: Sistema implementado no Simulink ....................................................................... 45
Figura 22: Valor do torque para terreno seco. .......................................................................... 46
Figura 23: Distância de parada para terreno seco. .................................................................... 46
Figura 24: Escorregamento do sistema em terreno seco. ......................................................... 47
Figura 25: Velocidade do veículo e da roda para terreno seco. ................................................ 47
Figura 26: Torque do sistema com terreno molhado. ............................................................... 48
Figura 27: Distância de parada em terreno molhado. ............................................................... 49
Figura 28: Escorregamento do sistema em terreno molhado. .................................................. 49
Figura 29: Velocidade do sistema com terreno molhado. ........................................................ 50
Figura 30: Torque do sistema em terreno com gelo. ................................................................ 50
Figura 31: Distância de parada em terreno com gelo. .............................................................. 51
Figura 32: Escorregamento do sistema em terreno com gelo. .................................................. 51
Figura 33: Velocidade do sistema em terreno com gelo. ......................................................... 52
Figura 34: Escorregamento do sistema do MATLAB .............................................................. 52
Figura 35: Velocidade da roda e do veículo do modelo do MATLAB. ................................... 53
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Valores utilizados na simulação do sistema ............................................................. 44
LISTA DE SIGLAS
ABS Antilock Braking System
BBW Brake by Wire
ECU Electronic Control Unit
LISTA DE SÍMBOLOS
b Atrito com a parede do recipiente
Bv Atrito viscoso do veículo
d Símbolo da derivada
D Região de Lyapunov
Fθ Força nominal do gradiente da estrada
Ft Força de tração do veículo
g Gravidade
Gp Ganho de controle com uma constante positiva
Jw Inércia de rotação da roda
k Constante da mola
m Massa de um corpo pequeno
M Massa de um corpo grande
Mv Massa do veículo
Nv Força nominal entre a roda e a estrada
Rw Raio da roda
t Tempo
Tb Torque do freio
Tt Torque gerado entre a roda e a estrada.
V Função de Lyapunov
Vo Velocidade inicial do sistema (km/h)
Vv Velocidade do veículo
xn Estado do sistema
wv Velocidade angular do veículo
ww Velocidade angular da roda
λ Escorregamento
λd Escorregamento desejado
μ Coeficiente de atrito
σ Superfície ou plano
θ Ângulo de inclinação da estrada
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................... 12
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ...................................................................................... 14
2.1 Sistemas de Freios ............................................................................................................. 14
2.1.1 Componentes de um sistema de freios ............................................................................ 15
2.1.1.1 Pedal do freio ................................................................................................................ 15
2.1.1.2 Servo-freio .................................................................................................................... 15
2.1.1.3 Cilindro mestre ............................................................................................................. 17
2.1.1.4 Freio a tambor ............................................................................................................... 18
2.1.1.5 Freio a disco ................................................................................................................. 20
2.2 Frenagem ........................................................................................................................... 21
2.3 Sistema de Freio Antitravamento ABS (Antilock Braking System) .............................. 22
2.4 Teoria de Controle ............................................................................................................ 24
2.5 Teoria de Controle Moderno ........................................................................................... 25
2.5.1 Estado .............................................................................................................................. 25
2.5.2 Variáveis de estado .......................................................................................................... 26
2.5.3 Estabilidade ..................................................................................................................... 27
2.6 Sistemas de Controle Lineares e Não-Lineares ............................................................. 28
2.6.1 Não linearidades .............................................................................................................. 30
2.7 Modo Deslizante ................................................................................................................ 31
2.7.1 Superfícies de deslizamento ............................................................................................ 32
2.8 Função de Lyapunov ........................................................................................................ 37
3 METODOLOGIA ................................................................................................................ 39
3.1 Equações da Dinâmica do ABS ....................................................................................... 39
3.1.1 Sistema de Controle em Modo Deslizante ...................................................................... 41
3.2 Desenvolvimento do Sistema, Controlador e Simulação. .............................................. 43
3.3 Comparação dos Sistemas Implementados. ................................................................... 43
4 RESULTADOS OBTIDOS ................................................................................................. 44
4.1 Modelo Construído ........................................................................................................... 44
4.2 Resultados da Simulação ................................................................................................. 45
4.2.1 Simulação com terreno seco ............................................................................................ 45
4.2.2 Simulação em terreno molhado ....................................................................................... 48
4.2.3 Simulação em terreno com gelo ...................................................................................... 50
4.2.4 Simulação do modelo do MATLAB®
............................................................................. 52
5. CONCLUSÃO ..................................................................................................................... 54
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 55
12
1 INTRODUÇÃO
A cada dia que passa, o número de acidentes com automóveis nas estradas do Brasil e
do mundo aumenta de forma preocupante e, por mais treinado e habilidoso que possa ser o
motorista, às vezes é inevitável que ele se envolva em algum acidente. Na maioria das vezes
esses acidentes são causados por falha humana, ou pelo fato do motorista não conseguir
desviar de um determinado obstáculo em tempo hábil para evitar uma colisão.
Pensando neste segundo problema, foram criados os freios do tipo ABS (Antilock
Braking System) que foram projetados para evitar que as rodas do automóvel travem e que o
motorista mantenha o controle do automóvel durante o processo de frenagem, principalmente
em situações severas como em pista escorregadia e com freadas bruscas(LIMA, 2005).
O grande problema dos freios ABS é quanto à sua adaptação a diversos terrenos e
condições climáticas. Dependendo de quais sejam as condições da pista ou do terreno em
questão, o freio ABS deve se comportar de forma diferente para compensar o maior ou menor
atrito que está sendo produzido pelo conjunto pneu-pista. Manter um nível de escorregamento
do pneu aceitável nem sempre é possível com as abordagens de controle do freio utilizadas
atualmente. Por exemplo, em uma pista seca o coeficiente de atrito é maior do que com a
mesma pista molhada ou com gelo. Essas mudanças ocorrem de tal forma que não dá para
fazer uma previsão matemática exata do comportamento do veículo em situações diferentes.
Sem falar que o próprio sistema de freios ABS é um sistema não-linear, o que torna o projeto
de um controlador específico muito mais complexo(LIMA, 2005).
Uma das abordagens que vem sendo utilizada para resolver este problema é a
utilização de controladores em modo deslizante. Esse tipo de controlador, diferentemente dos
controladores convencionais, trabalha com sistemas numéricos não-lineares podendo
controlar melhor o nível de escorregamento que o sistema pneu-pista possa sofrer. Existem
diversas pesquisas realizadas com esses controladores em conjunto com freios ABS e que
utilizam formas diferentes para se chegar a um ponto de escorregamento aceitável como os
trabalhos feitos por Lin & Hsu (2003), Siqueira (2005), Lima (2005) entre outros.
Este trabalho mostra a implementação do modelo de um veículo de passeio no
software MATLAB®. Os modelos consideram freios convencionais e freios com ABS e foram
utilizados para simular o comportamento do sistema durante o processo de frenagem. Assim,
esse trabalho resulta na comparação do resultado da resposta do freio convencional com o
modelo do veículo que utiliza um controlador em Modo Deslizante, mostrando a diferença de
13
resultado entre eles. Para o modelo com ABS foi implementado um sistema de controle de
malha fechada utilizando Modo Deslizante, enquanto o modelo convencional não faz uso de
nenhum tipo de controlador para ajustar o escorregamento do sistema.
Esta monografia está dividida em 5capítulos, sendo o primeiro capítulo essa
introdução. O Capítulo 2 é uma fundamentação teórica que abrange todos os conceitos que
são utilizados nesta pesquisa. O capítulo 3 mostra a metodologia de estudo e simulação que
foi utilizada para se chegar aos resultados do trabalho e o equacionamento utilizado na
implementação. O capítulo 4 descreve os resultados obtidos mostrando um comparativo entre
um modelo de veículo sem controlador no sistema de freio e outro que utiliza um modelo em
modo deslizante para alguns tipos de terreno e o Capítulo 5 é a conclusão do trabalho com
uma breve explanação sobre as dificuldades encontradas e os trabalhos futuros.
14
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Na Fundamentação Teórica serão descritos alguns conceitos que foram utilizados para
a elaboração do modelo matemático do veículo. Dentre esses conceitos estão o funcionamento
do sistema de freios, o funcionamento do controlador Modo Deslizante, alguns conceitos
básicos de Sistemas de Controle entre outros.
2.1 Sistemas de Freios
Sistemas de freios são elementos de um sistema automotivo, nos quais são geradas
forças de oposição ao movimento ou a tendência de movimento do veículo, por exemplo,
freios de fricção (disco ou tambor) ou desaceleradores (desaceleradores hidrodinâmicos ou
eletrodinâmicos, freio motor) (BOSCH, 2005).
O sistema de freios (Figura 1) é concebido sob o ponto de vista tanto do veículo
quanto do equipamento. Na concepção sob o ponto de vista do veículo, a força de frenagem
que pode ser aplicada, sob um coeficiente específico de atrito entre os pneus e a superfície da
pista, sem que ocorra bloqueio das rodas, é determinada pela posição do centro de gravidade
do veículo e pela distribuição da força de frenagem entre os eixos dianteiro e traseiro
(BOSCH, 2005).
Nos modernos automóveis de passeio, os sistemas de freios podem ser classificados
como convencionais e eletrônicos (BAUER, 2003). Os sistemas de freios convencionais são
comumente aplicados em quase toda totalidade dos carros de passeio, devido ao seu custo
menor frente aos eletrônicos. A sequência de frenagem é iniciada aplicando uma força
mecânica no pedal do freio que é transformada em uma pressão hidráulica pelo conjunto
servo-freio/cilindro-mestre, que por consequência aciona os freios das rodas (KAWAGUCHI,
2005).
Os sistemas de freios eletrônicos buscam desempenhar basicamente duas funções que
são: complementar as funções de segurança do motorista, quando aplicado em conjunto com
freios convencionais e a realização da conexão entre o pedal de freio e freios de roda através
de sinais elétricos, eliminando parcialmente ou completamente a pressão hidráulica.
(KAWAGUCHI, 2005).
A Figura 1 mostra os componentes principais de um sistema de freios de um veículo
de passeio comum que são (1) Servo-freio, (2) Cilindro mestre e reservatório do fluido de
15
freio, (3) Disco de freio ventilado, (4) Pastilhas de freio, (5) Pinças do freio, (6) Panela do
freio, (7) Sapatas e cilindros do freio, (8) Tambor do freio.
Figura 1: Sistema de Freios
Fonte: (PEUGEOT, 2012)
2.1.1 Componentes de um sistema de freios
2.1.1.1 Pedal do freio
O pedal do freio é uma alavanca que normalmente fica suspensa e se encontra
localizada do lado esquerdo do pedal do acelerador. Sua função é transmitir a força de
acionamento do motorista ao sistema de freio, trabalhando como uma alavanca multiplicadora
de força, que aciona o sistema de atuação do freio composto pelo conjunto servo-freio e
cilindro mestre. Estes, por sua vez, convertem a força mecânica de entrada em pressão
hidráulica para os freios da roda (BAUER, 2003).
2.1.1.2 Servo-freio
O servo-freio é um sistema auxiliar que amplifica mecanicamente a força exercida
pelo condutor do veículo durante o acionamento do pedal de freio, permitindo desacelerações
maiores do veículo sem precisar aumentar o esforço ou deslocamento do pedal de forma não
ergonômica e proporcionando maior conforto e segurança no uso do freio de serviço.
Geralmente é fornecido junto com o cilindro mestre para facilitar o manuseio, manter a
16
integridade e eliminar a necessidade de regulagem, formando o sistema de atuação(MÜLLER,
2009).
Outra classificação do servo-freio refere-se à quantidade das câmaras que o mesmo
possui: servo freio de 2 câmaras ou servo freio de 4 câmaras (ou tandem). Porém, o princípio
de funcionamento deles são similares (MÜLLER, 2009).
A Figura 2 mostra o conjunto do pedal de freio ligado ao próprio sistema de freios e
como as forças aplicadas nele agem para acionar os freios do veículo (FORDGERAIS, 2007).
Figura 2: Pedal de freio ligado a um sistema de freio convencional.
Fonte: (FORDGERAIS, 2007)
A Figura 3 mostra um dispositivo de servo-freio destacando seus componentes
(BOSCH, 2005).
Figura 3: Servo-freio
Fonte:(BAUER, 2003)
17
Enquanto o pedal de freio não está acionado, a câmara de pressão com conexão (Item
2, Figura 3) e a câmara de trabalho (Item 8, Figura 3), encontram-se interligadas através de
canais no corpo da válvula. Como a conexão da câmara de vácuo está conectada a uma fonte
de vácuo (coletor de admissão do motor), logo ambas as câmaras estão com vácuo
(MÜLLER, 2009).
Ao acionar o pedal do freio, a haste do pistão (Item 7, Figura 3) move-se em direção a
câmara de vácuo e pressiona a válvula dupla (Item 5, Figura 3) contra seu assento, criando um
isolamento entre as duas câmaras. Como consequência do movimento da haste de conexão, o
pistão de reação afasta-se da junta da válvula dupla e permite a entrada do ar atmosférico na
câmara de trabalho ao passar pelo filtro de ar (Item 6, Figura 3). Com o gradiente de pressão
entre as câmaras, o diafragma (Item 3, Figura 3) pressiona o pistão de trabalho (Item 4, Figura
3). Este, conectado ao corpo da válvula, movimenta-se em direção a câmara de vácuo
aumentando a pressão aplicada pelo pé do motorista, transmitida pela haste de acionamento
do servo-freio (pertencente ao conjunto do pedal do freio). Assim, a pressão exercida pelo pé
combinada a força de assistência, vence a força da mola de retorno do pedal e empurra a haste
de pressão do cilindro mestre (Item 1, Figura 3) para frente e assim transmite uma força de
saída ao mesmo (MÜLLER, 2009).
Depois de cessada a força exercida no pedal de freio, fecha-se a conexão entre o ar
atmosférico e a câmara de trabalho e novamente esta é interligada a câmara de vácuo e o
sistema volta à posição inicial com o trabalho de molas de retorno (MÜLLER, 2009).
2.1.1.3 Cilindro mestre
A função do cilindro mestre é converter a força exercida no pedal do freio pelo
motorista, amplificada pela relação de pedal na haste de acionamento do servo-freio, e
somada à força gerada pela assistência do próprio servo-freio, em pressão hidráulica no fluido
de freio proporcional. Esta pressão hidráulica é distribuída pelas linhas de freio e servem para
acionar os freios nas rodas. A Figura 4 mostra um típico cilindro mestre(BOSCH, 2005).
Quando o freio não está acionado, o furo para o reservatório de fluido (Item 11, Figura
4) permite a interligação entre a conexão para o reservatório do fluído de freio (Item 4, Figura
4) e câmara de pressão primária (Item 2, Figura 4). Da mesma forma, a válvula central (Item
7, Figura 4) está aberta, interligando a câmara de pressão secundária (Item 2, Figura 4) e a
18
outra conexão para o reservatório do fluido de freio. Nesta condição, não há pressão no
sistema (MÜLLER, 2009).
Com o acionamento do pedal, assim que a gaxeta primária (Item 9, Figura 4) fechar o
furo de compensação, a câmara de pressão primária é isolada, iniciando-se o aumento gradual
da pressão conforme o pistão de haste de pressão (Item 5, Figura 4) avança. Com uma
pequena defasagem, o pistão intermediário (Item 6, Figura 4) fecha a válvula central,
pressurizando a câmara de pressão secundária. Neste momento, a pressão é distribuída à linha
de freios pelas conexões de pressão (Item 3, Figura 4) (MÜLLER, 2009).
Figura 4: Cilindro mestre
Fonte:(BOSCH, 2005)
Após cessar a frenagem, os êmbolos retornam rapidamente a posição de repouso
devido à força das molas de retorno. Este retorno rápido cria uma diferença de pressão, que
deforma as gaxetas de recuperação e permite o fluxo do fluido através de furos nos êmbolos,
preenchendo as câmaras e eliminando o gradiente de pressão (MÜLLER, 2009).
2.1.1.4 Freio a tambor
O freio a tambor gera a força de frenagem no interior do tambor de freio, através do
atrito entre a lona e a superfície do tambor. Os tipos mais comuns são o Simplex, que é
utilizado em veículos de passeio e utilitários de pequeno porte, e o Duo-Servo que é utilizado
em veículos utilitários de médio porte. A Figura 5 mostra um típico freio a tambor (BOSCH,
2012).
19
Figura 5: Freio a tambor
Fonte:(BOSCH, 2012)
No freio hidráulico Simplex as sapatas agem independentemente umas das outras. As
extremidades de ancoragem são livres para se movimentarem, deslizando sobre a ancoragem,
daí a denominação flutuante. Essa flutuação resulta na centralização automática das sapatas
no tambor. É um freio com menor torque por força exercida pelo pedal de freio. Quando o
veículo se movimenta à frente, a sapata primária é mais solicitada do que a sapata secundária,
com isso damos à sapata primária o nome de sapata energizada, e para a sapata secundária,
damos o nome de sapata desenergizada.Com o veículo se movimentando para trás (em
marcha a ré), a atuação das sapatas se inverte, energizando a sapata secundária e deixando a
sapata primária desenergizada (BOSCH, 2012). A Figura 6 mostra um típico freio a tambor
do tipo Simplex destacando seus principais componentes que são (1) Direção de rotação, (2)
Efeito auto-energizamento, (3) Efeito auto-inibimento, (4) Torque, (5) Cilindro de roda de
dupla ação, (6) e (7) Sapatas, (8) Ponto de ancoragem.
Figura 6: Freio a tambor Simplex
Fonte:(BAUER, 2003)
Nos freios tipo uni e duo-servo, o tipo de projeto é o mesmo, a diferença se deve ao
fato de que o freio do tipo uni-servo possui cilindro com um único êmbolo, tendo, portanto,
20
ação unidirecional atuando sobre a sapata primária, fazendo com que o freio tenha ação de
servo somente quando o veículo se movimenta para frente. Já o tipo duo-servo, possui
cilindro com dois êmbolos, portanto, com dois sentidos de aplicação atuando sobre as sapatas
primárias e secundárias. Desta forma, a ação de servo atua tanto no movimento para frente
como no movimento de ré. O freio duo-servo é conhecido pela servo-ação da sapata primária
sobre a secundária e da secundária sobre a primária. A pressão exercida contra o tambor por
uma das sapatas é aumentada substancialmente pela servo-ação da outra sapata; por exemplo,
quando o veículo se movimenta para frente, aplicando-se o freio, o movimento do tambor de
freio tende a arrastar a sapata primária (energização); essa força de arraste é então aplicada à
sapata secundária, por intermédio do conjunto de regulagem automática, adicionando-se a
força aplicada pelo cilindro de freio. Isto resulta numa multiplicação de forças e,
consequentemente, numa diminuição do esforço por parte do motorista ao frear o veículo, daí
a denominação “servo”(BOSCH, 2012).A Figura 7 mostra o esquema de um freio a tambor do
tipo Duo-Servo, destacando seus principais componentes que são (1) Direção de rotação, (2)
Efeito de auto-energizamento, (3) Torque, (4) Cilindro de roda, (5) Ponto de apoio, (6) Sapata
de freio, (7) Pino de pressão.
Figura 7: Freio a tambor Duo-Servo
Fonte:(BAUER, 2003)
2.1.1.5 Freio a disco
Os freios a disco, basicamente fabricados com ferro fundido cinzento tem se tornado
padrão nos últimos anos devido ao seu melhor desempenho de frenagem em carros de passeio
pesados (com bastante carga distribuída) em relação ao freio a tambor. Geralmente o disco de
freio é instalado no cubo da roda, requerendo uma adequada dissipação de calor por
irradiação, convecção e condução térmica (BOSCH, 2005).
21
As pinças de freio são subdivididas em pinças fixas e pinças flutuantes. As pinças
fixas agarram-se ao disco de freio com uma carcaça rígida. Durante a frenagem, os pistões de
pressão, em posições opostas, pressionam as pastilhas contra o disco de freio(BOSCH, 2005).
Para as pinças flutuantes, os dois desenhos que se tornaram padrão foram o de pinça
de chassi flutuante e o de pinça de garra. Em ambos os desenhos, o cilindro ou os pistões de
pressão atuam diretamente sobre as pastilhas alojadas do lado interno do veículo. As pastilhas
externas são puxadas contra o disco de freio pelo chassi flutuante guiado ou através da garra
que envolve o disco de freio. A Figura 8 mostra dois tipos de freios a disco, um com pinça
fixa e outro com pinça flutuante, seus principais componentes estão numerados e listados na
figura como (1) Pastilha de freio, (2) Pistão, (3) Disco de freio, (4) Carcaça, (5)
Suporte.(BOSCH, 2005).
Figura 8: Freio a disco (a) Pinça fixa, (b) Pinça flutuante
Fonte:(BOSCH, 2005)
2.2 Frenagem
Para uma frenagem próxima do aceitável, em freios devidamente regulados, a sua
eficiência deve ser de no mínimo 80%. Entretanto, para obter as distâncias de frenagem
indicadas, os pneus devem aderir devidamente à estrada. Em geral é difícil avaliar a
possibilidade de aderência de um pneu a um determinado tipo de terreno apenas pelo aspecto
do mesmo (COSTA, 2010).
Teoricamente, o esforço de frenagem deveria ser distribuído entre as rodas dianteiras e
as traseiras, de acordo com o peso que elas suportam. Esta distribuição varia de acordo com o
modelo do automóvel (de motor na frente ou na parte traseira do veículo, por exemplo), com
22
o número de seus ocupantes e com a quantidade de bagagem. Contudo, em consequência da
frenagem, uma parte do peso é transferida para frente e acrescentada à carga aque estão
sujeitas às rodas da frente, reduzindo-se assim a carga sobre as de trás (COSTA, 2010). A
Figura 9 mostra o comportamento de um veículo quando está em velocidade normal (Figura
9, Item 1) e como se comporta no momento de uma frenagem (Figura 9, Item 2).
Quando o freio do automóvel é aplicado ao máximo, a transferência de peso para as
rodas dianteiras é maior, o que pode fazer com que as rodas traseiras travem, devido à força
excessiva aplicada ao sistema de freios. Esse bloqueio pode ocasionar a derrapagem da parte
de trás do automóvel. Caso as rodas dianteiras venham a travar antes das rodas traseiras, o
automóvel se deslocará em linha reta, no entanto, o automóvel perderá o controle, sendo
impossível desviar de algum obstáculo que esteja à frente (COSTA, 2010).
Figura 9: Comportamento de um veículo de passeio durante a frenagem
Fonte:(COSTA, 2010)
2.3 Sistema de Freio Antitravamento ABS (Antilock Braking System)
Sistemas de Freios Antitravamento (ABS) são dispositivos de controle nos sistemas de
freios que evitam o bloqueio das rodas na frenagem mantendo a dirigibilidade e a
estabilidade. Em geral geram-se distâncias de frenagem menores em comparação com
frenagens com rodas totalmente bloqueadas. Isso é o caso principalmente em situações com
pista molhada. A redução das distâncias de frenagem pode ser de mais ou menos 10%
dependendo de quão molhada esteja a pista, e do coeficiente de atrito pneu-pista(BOSCH,
2005).
Desde o final de 1978, os sistemas antitravamento ABS são fabricados em série.
Segundo Bosch (2005) esses sistemas já estão funcionando em 80% dos veículos fabricados
23
na Europa e na América do Norte e em quase 70% dos automóveis do mundo. Em muitos
países do mundo, os freios com ABS já se tornaram padrão.
De acordo com Lima (2005) um sistema antibloqueio consiste das seguintes partes:
Sensores das rodas: usualmente são componentes eletromagnéticos que fornecem um
sinal digital com uma frequência proporcional à velocidade da roda.
Unidade de controle eletrônico (ECU) (Electronic Control Unit): dispositivo
eletrônico responsável pelos cálculos para a geração do sinal de controle.
Modulador de pressão no freio: dispositivo eletro-hidráulico ou eletro-pneumático
para reduzir, armazenar e manter a pressão para os freios, independente do esforço no
pedal realizado pelo motorista. Para freios eletromagnéticos o modulador de pressão
no freio não é necessário.
O sistema ABS funciona da seguinte maneira: a ECU controla a força da frenagem que
é aplicada ao pedal. Essa central recebe informações sobre a velocidade do veículo através de
sensores que se encontram instalados nas rodas. Cada roda tem um sensor, já que cada roda,
em geral, se comporta de maneira diferente, tendo assim velocidades diferentes. A força do
pedal é controlada pelo modulador de pressão que emite a pressão necessária(SIQUEIRA,
2005).
A ECU (eletronic control unit) funciona como o cérebro do sistema, pois a mesma
recebe as informações de cada roda, e em caso de travamento iminente, a ECU faz com que a
eletroválvula aplique uma força ao pedal para evitar o travamento das rodas. Ela também é
responsável por manter o desempenho de frenagem em um ponto ótimo e avisar ao usuário
(geralmente através de luzes no painel) sobre o funcionamento do sistema (SIQUEIRA,
2005). A Figura 10 mostra um esquema simplificado de um ABS em um sistema de freios
onde temos: (1) Sensor de velocidade da roda, (2) Módulo de controle do ABS, (3) Bomba hidráulica
e válvulas.
24
Figura 10: Sistema de freios com ABS
Fonte: (CARS PARADISE, 2010)
Com o ABS é possível diminuir a distância de frenagem, e principalmente não perder
o controle da direção do veículo, sendo possível desviar de obstáculos que estejam na pista. A
Figura 11 mostra o comportamento de um veículo com ABS (Figura 11, Item 1) e sem ABS
(Figura 11, Item 2) em um momento de colisão iminente.
Figura 11: Comportamento de um veículo de passeio em situação extrema
Fonte:(NISSAN, 2012)
2.4 Teoria de Controle
Teoria de controle é a área de conhecimento que lida com os princípios básicos
subjacentes à análise e projeto de sistemas de controle. Controlar um objeto significa
influenciar seu comportamento de modo a atingir um objetivo desejado. A fim de
implementar essa influência, os engenheiros constroem dispositivos que incorporam várias
25
técnicas matemáticas. Estes dispositivos variaram de motor a vapor de Watt, projetado
durante a Revolução Industrial Inglesa, para os controladores de microprocessadores
sofisticados encontrados em itens de consumo, tais como leitores de CD e automóveis ou em
robôs industriais e pilotos automáticos de aviões(SONTAG, 1998).
Existem duas principais linhas de trabalho na teoria de controle, que às vezes pareciam
prosseguir direções muito diferentes, mas que são na verdade complementares. Uma delas
baseia-se na idéia de que um bom modelo do objeto a ser controlado é acessível, e que se
pretende de algum modo otimizar o seu comportamento. Os princípios físicos e as
especificações de engenharia podem ser e são utilizados a fim de calcular a trajetória de uma
nave espacial, por exemplo, minimizando o custo da viagem e o consumo de combustível. As
técnicas aqui são intimamente relacionadas com o cálculo clássico de variações e de outras
áreas da teoria da otimização, o resultado final é tipicamente um plano de voo pré-
programado. A outra linha de trabalho é que, com base nas restrições impostas pelas
incertezas sobre o modelo ou sobre o ambiente no qual o sistema opera. A ferramenta central
é o uso de realimentação (feedback), a fim de corrigir desvios do comportamento desejado.
Por exemplo, vários sistemas de controle de realimentação são usados durante o voo espacial
real, a fim de compensar os erros da trajetória pré-computadas. Matematicamente, a teoria da
estabilidade, sistemas dinâmicos, e especialmente a teoria de funções de uma variável
complexa, tiveram uma forte influência sobre esta abordagem (SONTAG, 1998).
2.5 Teoria de Controle Moderno
A necessidade de satisfazer requisitos cada vez mais rigorosos quanto ao desempenho
dos sistemas de controle, o aumento da complexidade dos sistemas e a facilidade ao acesso de
computadores de grande porte ensejaram o desenvolvimento da teoria de controle moderno,
iniciada por volta dos anos 60, como uma nova forma de analisar e projetar sistemas de
controle complexos. Essa nova abordagem é baseada no conceito de estado. A teoria de
controle moderno é aplicada a sistemas que podem ter múltiplas entradas e múltiplas saídas,
lineares ou não-lineares, variantes ou invariantes no tempo. Além disso, a teoria de controle
moderno é uma abordagem essencialmente no domínio do tempo (OGATA, 2003).
2.5.1 Estado
O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de valores de variáveis em que o
conhecimento desses valores em t = t0, de forma única, junto com o conhecimento dos sinais
26
de entrada para t ≥ t0 determina em qualquer instante t ≥ t0, de forma única, o comportamento
do sistema (OGATA, 2003).
Outra definição diz que o estado de um sistema é um conjunto de variáveis cujo os
valores, em conjunto com o sinal de entrada e as equações descrevendo a dinâmica, irão
fornecer o estado e a saída futuros do sistema (DORF e BISHOP, 2009).
Uma definição que também deve ser citada é a definição de Espaço de Estado que é o
espaço n-dimensional cujo os eixos coordenados consistem nos eixos x1, x2, ..., xn. Qualquer
estado pode ser representado por um ponto no espaço de estados (OGATA, 2003).
2.5.2 Variáveis de estado
Variáveis de estado são grandezas cujo conjunto de valores determina o estado do
sistema. Se forem necessárias pelo menos n variáveis x1, x2,..., xn, para descrever
completamente o comportamento de um sistema dinâmico, então tais n variáveis são o
conjunto de variáveis de estados (OGATA, 2003).
As variáveis de estado descrevem a configuração presente de um sistema e podem ser
usadas para determinar a resposta futura, dadas às excitações de entrada e as equações
descrevendo a dinâmica (DORF e BISHOP, 2009).
O conceito de um conjunto de variáveis que representa um sistema dinâmico pode ser
ilustrado em termos do conjunto massa-mola-amortecedor (Figura 12). O número de variáveis
de estado escolhido para representar esse sistema deve ser o menor possível a fim de evitar
redundâncias nos valores das variáveis. Um conjunto de variáveis de estado suficiente para
descrever este sistema inclui a posição e a velocidade da massa. Consequentemente, define-se
um conjunto de variáveis de estado como (x1, x2), sendo y(t) a velocidade da mola(DORF e
BISHOP, 2009):
Uma equação diferencial descreve o comportamento do sistema e para o sistema
massa-mola-amortecedor pode ser descrita como (DORF e BISHOP, 2009):
(1)
27
onde M é a massa da mola, b é o atrito com a parede do recipiente, k é a constante elástica da
mola e u é uma força aplicada ao sistema.
Para descrever a Equação 1 em função das variáveis de estado, os valores descritos
acima são substituídos por suas respectivas variáveis de estado, obtendo (DORF e BISHOP,
2009):
(2)
Portanto, é possível escrever as equações diferenciais que descrevem o sistema massa-
mola-amortecedor como um sistema de equações diferenciais de primeira ordem (DORF e
BISHOP, 2009):
(3)
e
(4)
A Figura 12 mostra o esquema do sistema massa-mola-amortecedor.
Figura 12: Sistema massa-mola-amortecedor
Fonte:(DORF e BISHOP, 2009)
2.5.3 Estabilidade
Dado um sistema de controle, a primeira pergunta que se faz, e que é a mais
importante sobre as suas várias propriedades é se o sistema é estável, porque um sistema de
controle instável normalmente é inútil e potencialmente perigoso. Um sistema é descrito como
estável se o arranque do sistema em algum lugar próximo do seu ponto de funcionamento
28
desejado implica que vai ficar sempre em torno desse ponto. Cada sistema de controle linear
ou não linear envolve um problema de estabilidade, que deve ser cuidadosamente estudado
(SLOTINE e LI, 1991).
Definição: O estado de equilíbrio x = 0 é dito ser estável se, para qualquer R > 0, existe r >
0, de tal modo que se ||x(0)|| < r, então, ||x(f)|| < R para todo t > 0. Caso contrário, o ponto
de equilíbrio é instável (SLOTINE e LI, 1991).
2.6 Sistemas de Controle Lineares e Não-Lineares
Teoria de controle linear predominantemente abrange o estudo de sistemas lineares
invariantes no tempo (LTI) da forma
(5)
com x sendo o vetor de estados e A sendo a matriz do sistema. Sistemas LTI têm propriedades
bastante simples, como:
Um sistema linear tem um único ponto de equilíbrio se A é não singular;
O ponto de equilíbrio é estável se todos os autovalores de A têm parte real negativa,
independentemente das condições iniciais;
A resposta transiente de um sistema linear é composto dos modos naturais do sistema,
e a solução geral, pode ser resolvida analiticamente;
Na presença de uma entrada externa u(t), com:
(6)
a resposta do sistema tem uma série de propriedades interessantes. Primeiro, ele
satisfaz o princípio da superposição. Em segundo lugar, a estabilidade assintótica do
sistema (5) implica em estabilidade de entrada limitada e saída limitada, na presença
de u. Em terceiro lugar, uma entrada senoidal leva a uma saída senoidal de mesma
frequência (SLOTINE e LI, 1991).
Sistema de controle linear é um assunto muito amplo, que tem uma variedade enorme
de métodos poderosos para solucionar diversos tipos de problemas nas mais diversas áreas,
como a robótica, a aviação, engenharia biomédica entre outros. Entretanto, há um crescimento
no interesse de engenheiros e pesquisadores na área de controle não linear devido a diversos
motivos, como a dificuldade de linearização de certos sistemas. Muitos problemas de controle
seriam resolvidos mais facilmente com o uso de técnicas não lineares (SLOTINE e LI, 1991).
29
Os métodos de controle linear dependem fundamentalmente de uma pequena gama de
operações para validar o modelo do sistema. Quando essa gama de operações é grande, um
controlador linear provavelmente terá um desempenho muito pobre ou então ficará instável,
porque as não linearidades do sistema não serão adequadamente compensadas. Por outro lado,
os controladores não lineares podem trabalhar diretamente com essa gama de operações
grande sem perdas de desempenho e mantendo o sistema estável (SLOTINE e LI, 1991).
Outro motivo para utilizar controle linear em problemas não-lineares seria com a
linearização do sistema através de métodos matemáticos. Entretanto, em muitos sistemas
existem não-linearidades que a sua natureza descontínua não permite uma aproximação linear,
essas são chamadas de “não linearidades pesadas”. Esses efeitos não podem ser derivados de
métodos lineares, e uma técnica de análise não linear pode ser desenvolvida para prever o
desempenho do sistema na presença de não-linearidades inerentes(SLOTINE e LI, 1991).
Na concepção de controladores lineares, normalmente é necessário considerar que os
parâmetros do modelo do sistema são razoavelmente bem conhecidos. No entanto, muitos
problemas de controle envolvem incertezas nos parâmetros do modelo. Isto pode ser devido a
uma variação lenta de tempo dos parâmetros (por exemplo, da pressão do ar ambiente durante
um voo de aeronaves), ou a uma mudança brusca de parâmetros (por exemplo, nos parâmetros
de inércia de um robô, quando um novo objeto é agarrado). Um controlador linear com base
em valores imprecisos ou obsoletos dos parâmetros do modelo pode apresentar significativa
degradação do desempenho ou até mesmo instabilidade. Não-linearidades podem ser
intencionalmente introduzidas para dentro da parte do controlador de um sistema de controle
de modo que as incertezas do modelo possam ser toleradas. Duas classes de controladores não
lineares para esta finalidade são os controladores robustos e os controladores
adaptativos(SLOTINE e LI, 1991).
Bons projetos de controle não lineares podem ser mais simples e mais intuitivos do
que suas contrapartes lineares. Este resultado a priori paradoxal vem do fato de que os
projetos de controladores não lineares são muitas vezes profundamente enraizados na física
das plantas que serão controladas. Para tomar um exemplo muito simples, considere um
pêndulo (Figura 13) ligado a um eixo, no plano vertical. A partir de um ângulo inicial
arbitrário, o pêndulo oscilará e progressivamente parará ao longo da vertical. Embora o
comportamento do pêndulo possa ser analisado próximo do equilíbrio por linearização do
sistema, fisicamente a sua estabilidade tem muito pouco a ver com os valores próprios de uma
30
matriz de sistema linearizado: provém do fato de que a energia mecânica total do sistema é
progressivamente dissipada por várias forças de fricção, de modo a que o pêndulo vem
repousar numa posição de mínimo de energia(SLOTINE e LI, 1991).
Figura 13: Pêndulo simples
Fonte:(UFPB, 2013)
Sistemas físicos são inerentemente não lineares. Assim, todos os sistemas são não
lineares até certo ponto. Os sistemas de controle não lineares podem ser descritos por meio de
equações diferenciais não lineares. No entanto, se o intervalo de funcionamento de um
sistema de controle é pequeno e se as não linearidades envolvidas são suaves, o sistema a ser
controlado pode ser razoavelmente aproximado para um sistema linear, cuja dinâmica é
descrita por um conjunto de equações diferenciais lineares(SLOTINE e LI, 1991).
2.6.1 Não linearidades
Não linearidades podem ser classificadas como inerentes (naturais) e intencionais
(artificiais). Não linearidades inerentes são aquelas que naturalmente vêm com o hardware do
sistema. Normalmente, tais não linearidades têm efeitos indesejáveis, e os sistemas de
controle têm de compensar adequadamente estes efeitos. Linearidades intencionais, por outro
lado, são artificialmente introduzidas pelo projetista do sistema (SLOTINE e LI, 1991).
Não linearidades também podem ser classificadas em termos de suas propriedades
matemáticas, como contínua e descontínua. Não linearidades descontínuas não podem ser
localmente aproximadas por funções lineares, sendo também chamadas de não linearidades
pesadas (SLOTINE e LI, 1991).
31
2.7Modo Deslizante
O Modo Deslizante é uma lei de controle chaveada em alta velocidade, que ocorre
quando o estado do sistema cruza certas superfícies descontínuas no espaço de estados. Essas
superfícies são projetadas de forma que a dinâmica dos estados obedeça a um comportamento
desejado quando em deslizamento. A estrutura de controle é usualmente não linear e resulta
em um sistema com estrutura variável que pode ser considerado como uma combinação de
subsistemas, cada um com uma estrutura fixa e que opera em uma região específica do espaço
de estados (UTKIN, 1977).
Considera-se um sistema descrito por equações de estado na qual uma das parcelas da
entrada é descontínua através de uma hipersuperfície no espaço de estados. A técnica se
baseia no fato de que, se esta lei de controle foi projetada de tal forma que todas as trajetórias
que se iniciam dentro da mesma trajetória, permanecerão ali indefinidamente. Neste caso, as
trajetórias permaneceram “deslizando” pela superfície, que é então chamada de superfície de
deslizamento (sliding surface). Evidentemente, a superfície de deslizamento deve ser definida
convenientemente de forma que as trajetórias dentro da mesma se dirijam assintoticamente
para os valores desejados (set-points). Nesta fase do movimento (dentro da superfície de
deslizamento) diz-se que o sistema está em regime (modo) de deslizamento(LIMA, 2005). A
Figura 14 mostra o comportamento de uma superfície de deslizamento.
Figura 14: Superfície de deslizamento de um sistema
Fonte: (LIMA, 2005).
Outro aspecto que deve ser ressaltado é a robustez deste tipo de controlador. Se apesar
das incertezas e das perturbações existentes, as trajetórias do sistema continuarem apontando
32
em direção à superfície de deslizamento, o sistema continuará entrando em modo deslizante,
apresentando o mesmo desempenho, governado pela dinâmica referente à equação da
superfície deslizante (OLIVEIRA, 2006).
2.7.1 Superfícies de deslizamento
A superfície de deslizamento ou superfície de chaveamento s(x) = 0 é um espaço
fechado (n-m) dimensional em Rn, determinado pela intersecção de m superfícies de
chaveamento de dimensão (n-m). As superfícies de chaveamento são projetadas tal que o
sistema, restrito a superfície s(x) = 0, tenha comportamento desejado(RIBEIRO, 2006).
Seja a superfície de deslizamento dada por:
{ ( ) } (7)
Cada entrada ui(t) do controle chaveado u(t) Rmtem a forma:
{
( )
( )
(8)
onde {x(t) | si(x(t)) = 0} é a i-ésima superfície de deslizamento associada com a superfície de
deslizamento Equação (7) de dimensão (n-m). As superfícies de deslizamento são projetadas
tais que a resposta do sistema restrito à {x(t) |s(x(t)) = 0} tenha o comportamento
desejado(RIBEIRO, 2006).
Considere a dinâmica do sistema de entrada simples da equação (7) onde o escalar x é
a saída de interesse, o escalar u é o controle da entrada e [ ] é o vetor de
estados. Na equação (7) a função f(x) não é conhecida com exatidão, mas a extensão da
imprecisão em f(x) é limitada acima por uma conhecida função de x; da mesma forma, o
ganho do controle b(x) não é exatamente conhecido, mas seus sinais são conhecidos e são
delimitados por funções conhecidas de x.
(9)
Seja o erro de trajetória calculado na variável x e seja
[ ] (10)
33
um vetor de erros de trajetórias. Além disso, vamos definir uma superfície variante no tempo
s(t) no espaço de estados R(n)
pela equação escalar s(x;t) = 0, onde
(
)
(11)
e λ é uma constante sempre positiva. Por exemplo, se n = 2, então temos
(12)
Dada uma condição inicial , o problema de trajetória é
equivalente ao do restante da superfície s(t) para todo t > 0; de fato representa uma
equação diferencial linear de quem a única solução é , dadas as condições iniciais
. Assim, o problema de trajetória para um vetor de dimensão n, xd pode ser
reduzido para manter a quantidade escalar s em zero (SLOTINE e LI, 1991).
Mais precisamente, o problema da trajetória do vetor n-dimensional xd pode ser
substituído por um problema de estabilização de 1ª ordem em s. De fato, uma vez que a partir
de (11) a expressão de s contém , só precisamos diferenciar s uma vez para a entrada u
aparecer (SLOTINE e LI, 1991).
Além disso, limites em s podem ser diretamente transladados dentro de limites no
vetor de erro de trajetória e, portanto, o escalar s representa uma medida verdadeira do
desempenho da trajetória. Especificamente, assumindo que , temos
| | (13)
Figura 15: Computando limites em
Fonte: (SLOTINE e LI, 1991)
34
onde . De fato, pela definição de (10), o erro da trajetória de é obtido de s
através de uma sequência de filtros passa-baixa de primeira ordem (Figura 15) onde p = (d/dt)
é o operador de Laplace. Seja y1 a saída do primeiro filtro, então temos
∫
(14)
De é feito
∫
(15)
É possível aplicar o mesmo raciocínio para o filtro de segunda ordem, e assim por diante, até
a Então é obtido
(16)
Da mesma forma, pode ser obtido através da sequência da Figura 16. A partir do
resultado anterior, tem-se , onde z1é a saída do (n-1-i)-ésimo filtro. Ainda,
note que
(17)
Figura 16: Computando limites em
Fonte: (SLOTINE e LI, 1991)
vê-se que a sequência da Figura 16 indica que
35
| | (
) (
)
(18)
Finalmente, no caso que , os limites de (13) são obtidos assintoticamente dentro de
um tempo constante curto (n-1)/λ (SLOTINE e LI, 1991).
Assim, tem-se de fato a substituição de um problema de trajetória de ordem n por um
problema de estabilização de 1ª ordem, e quantifica-se com (13) as transformações
correspondentes das medidas de desempenho (SLOTINE e LI, 1991).
O problema de primeira ordem simplificado para manter as escalares de s em zero
pode agora ser obtido escolhendo a lei de controle u (9), de modo que do lado de fora de s(t)
(19)
onde η é uma constante estritamente positiva. Essencialmente, (19) estipula que a "distância"
quadrática da superfície, medida por s2, diminui ao longo do de todas as trajetórias do sistema.
Assim, ela restringe trajetórias para apontar na direção da superfície s(t), conforme ilustrado
na Figura 17. Com isso, uma vez que sobre a superfície, a trajetória do sistema permanece
sobre ela. Em outras palavras, se a superfície satisfizer (19), ou condição de deslizamento,
significa que a mesma é um conjunto invariante. Além disso, também deve ver que a equação
(19) também implica que algumas perturbações ou incertezas dinâmicas podem ser toleradas,
enquanto mantém a superfície como um conjunto invariante. Graficamente isto corresponde
ao fato de que na Figura 17 as trajetórias fora da superfície podem "se mover" em direção a
superfície. A superfície s(t) satisfazendo (19) é referida como superfície de deslizamento e o
comportamento do sistema, uma vez sobre a superfície de deslizamento, é chamado regime ou
modo de deslizamento (SLOTINE e LI, 1991).
36
Figura 17: A condição de deslizamento
Fonte: (SLOTINE e LI, 1991)
Outro aspecto interessante do conjunto invariante s(t) é que uma vez sobre ele, a
trajetória do sistema é definida pela equação do próprio conjunto, ou seja
(
)
(20)
em outras palavras, a superfície s(t) é ao mesmo tempo um lugar e uma dinâmica. Esse fato é
simplesmente a interpretação geométrica da nossa observação anterior de que a equação (11)
permite-nos substituir um problema de ordem n por um sistema de 1ª ordem (SLOTINE e LI,
1991).
Finalmente, satisfazendo (19) garante-se que se a condição não é
exatamente verificada, a superfície s(t) irá, contudo, ser alcançada em um tempo finito menor
que |s(t=0)|/η. De fato, assuma, por exemplo, que s(t=0) > 0, e seja tr o tempo requerido para
alcançar a superfície s = 0. Integrando (19) entre t=0 e t=tr
(21)
o que implica que
(22)
37
Além disso, a definição de (11) implica que uma vez sobre a superfície, o erro de
trajetória tende exponencialmente para zero, com uma constante de tempo (n-1)/λ, (a partir da
sequência de (n-1) filtros de constantes de tempo igual a 1/λ) (SLOTINE e LI, 1991).
O comportamento típico do sistema, ao satisfazer a condição de deslizamento (16) é
ilustrado na Figura 18 para n=2. A superfície de deslizamento é uma linha no plano de fase,
de inclinação -λ e contendo o ponto [ ] . Começando a partir de qualquer condição
inicial, a trajetória de estado atinge a superfície da variável no tempo em um tempo finito
menor do que |s(t=0)|/η, e depois desliza ao longo da superfície para xd exponencialmente,
com uma constante de tempo igual para 1/λ (SLOTINE e LI, 1991).
Figura 18: Gráfico de interpretação das equações (8) e (16) para n=2
Fonte: (SLOTINE e LI, 1991)
2.8 Função de Lyapunov
A função de Lyapunov é uma função escalar V(y) definida em uma região D que é
contínua e positiva V(y) > 0 para todo y≠0 e tem derivadas parciais de primeira ordem
contínuas em todos os pontos de D. A derivada de Vem relação ao sistema y´ = f(y) é definida
como o produto escalar:
(23)
A existência da função de Lyapunov para que V*(y) ≤0 em alguma região de D
contendo a origem, garante a estabilidade da solução de zero de y´ = f(y), enquanto que a
existência de uma função de Lyapunov para os quais V*(y) é definida negativa para alguma
região de D que contenha a origem garante a estabilidade assintótica da solução do zero de y´
= f(y) (WEISSTEIN, 2013).
38
Estabilidade assintótica significa que o equilíbrio é estável, e que, além disso, os
estados que começaram próximos de 0 convergem a 0 a medida que o tempo t tende para
infinito. A Figura 19 mostra que as trajetórias do sistema a partir de dentro do circulo (Figura
19) convergem para a origem. O circulo (Figura 19) é chamado domínio de atração do ponto
de equilíbrio (enquanto o domínio de atração do ponto de equilíbrio refere-se a maior região,
ou seja, para o conjunto de todos os pontos de tal forma que trajetórias iniciadas nestes pontos
eventualmente convergem para a origem). Um ponto de equilíbrio que é Lyapunov-estável,
mas não assintoticamente estável é chamado marginalmente estável (SLOTINE e LI, 1991).
Definição: Um ponto de equilíbrio 0 é assintoticamente estável se o mesmo for estável, e se,
além disso, existe algum r > 0 tal que ||x(0)|| < r implica que x(t) → 0 quando t → ∞
(SLOTINE e LI, 1991).
A Figura 19 mostra a representação de um sistema assintoticamente estável (Figura
19, curva 1), um sistema marginalmente estável (Figura 19, curva 2) e um sistema instável
(Figura 19, curva 3).
Figura 19: Representação da estabilidade do sistema.
Fonte: (SLOTINE e LI, 1991)
39
3 METODOLOGIA
Este trabalho foi realizado em várias etapas, iniciando pela revisão bibliográfica dos
assuntos referentes à pesquisa de controladores não lineares, Modo Deslizante, freios,
controladores ABS e Teoria de controle. A seguir será apresentada a modelagem matemática
do veículo.
3.1 Equações da Dinâmica do ABS
O equacionamento do funcionamento da dinâmica do veículo com ABS é o resultado
da aplicação da lei de Newton às rodas e ao próprio veículo. A dinâmica é determinada pela
soma de todas as forças aplicadas ao veículo durante o processo de frenagem. A equação da
dinâmica é dada por Lin & Hsu (2003):
[ ] (24)
Na Equação (24) temos Vv(t) que é a velocidade do veículo, Mv é a massa do veículo,
Bv é o atrito viscoso do veículo, Ft(t) é a força de tração e Fθ(θ) é a força aplicada ao carro
resultante de um gradiente vertical da estrada, de modo que esse valor é dado por:
(25)
onde θ é a inclinação da estrada e g é a aceleração da gravidade. A força de tração Ft(t) é dada
por:
(26)
Na Equação (26), Nv(θ) equivale a:
(27)
onde Nv(θ) é a força nominal de reação entre a roda e a estrada e μ(λ) é o coeficiente de atrito.
Para esse modelo assume-se que o peso do veículo está igualmente distribuído entre as 4
rodas e todo o chassi (LIN e HSU, 2003). A função μ(λ) foi obtida de forma empírica,
baseado na Equação (28), encontrada em Lima (2005), em outras aplicações realizadas com
ABS, e no próprio MATLAB®, obtendo o coeficiente de atrito para terreno seco, terreno
molhado e terreno com gelo, todos no asfalto comum. A Figura 20 mostra estes coeficientes.
40
Figura 20: Coeficientes de atrito utilizados para a simulação.
(28)
Onde μp e λp são valores de pico do sistema.
Utilizando as leis da física para achar a velocidade angular do veículo, foi dividida a
velocidade do veículo pelo raio Rw da roda, então temos (LIN e HSU, 2003):
(29)
Para achar a dinâmica da roda, os torques que são aplicados às rodas no momento da
frenagem são somados, tendo então:
[ ] (30)
em que ww(t) é a velocidade angular da roda, Jw é a inércia de rotação da roda, Tb(t) é o torque
de freio e Tt(t) é o torque gerado dependendo do escorregamento entre a roda e a estrada que
em geral é uma função da força de tração Ft(t)(LIN e HSU, 2003):
(31)
O objetivo do controle de ABS é regular o escorregamento da roda e de maximizar o
coeficiente de atrito entre a roda e a estrada para qualquer dada superfície de estrada. Em
geral, o coeficiente de atrito (μ) durante a operação de frenagem pode ser descrito como uma
função do escorregamento (λ), a qual é definida como:
41
(32)
Durante a frenagem, o escorregamento da roda é definido de acordo com a Equação (32).
Então, derivando-a no tempo, tem-se:
(33)
Substituindo as equações (24), (29) e (30) na Equação (33), obtêm-se:
(34)
onde:
(
)
(35)
é uma função não linear dinâmica; Gp = 1/Jw é o ganho de controle com uma constante
positiva e u(t) = Tb(t)/wvé o esforço de controle(LIN e HSU, 2003).
3.1.1 Sistema de Controle em Modo Deslizante
O objetivo do controle é encontrar uma lei de controle de modo que o escorregamento
possa alcançar um valor desejado λd(t). Lin & Hsu (2003) definiram o erro associado ao
escorregamento como:
(36)
onde λ(t) é a saída e λd(t) é o valor de referência que é especificado pelo comando da entrada
λc(t) seguido por um modelo de referência, que é o modelo a ser seguido para que o sistema
obtenha estabilidade.
Segundo Lin & Hsu (2003), a primeira etapa do projeto do controlador em Modo
Deslizante é selecionar uma superfície de deslizamento que modela o desempenho de malha
fechada desejada no espaço variável de estado. Em seguida, criar o controle de tal forma que
as trajetórias de estado do sistema são forçadas a ir em direção à superfície de deslizamento e
permanecer nele. Assim, ele define uma superfície de deslizamento para o controlador em
Modo Deslizante para o ABS como:
42
∫
(37)
em que k1é uma constante positiva. Unsal & Kachroo (1999) definiram a lei de controle em
modo deslizante como:
(38)
Onde ueq(t) é um sinal de controle equivalente, dado por:
[ ] (39)
e o sinal de controle de acertos uht(t) é projetado para dissipar as incertezas de forma que:
[ ] (40)
em que sgn(.) é uma função sinal e W é uma constante. Substituindo as Equações (38), (39)
e(40) em (34), obtemos:
( ) (41)
Então, escolhendo uma função de Lyapunov, que garante a estabilidade do sistema, como:
. (42)
Diferenciando a equação de Lyapunov no tempo e usando a função anterior, obtemos:
(43)
O sistema de controle em modo deslizante pode garantir a estabilidade com a função
de Lyapunov, mesmo sobre variação de parâmetros. Entretanto, para satisfazer a condição de
existência do sistema, um grande valor de limite de incerteza W deve ser escolhido. Neste
caso o controlador geralmente resulta em uma vibração muito alta do sistema e um grande
esforço de controle. O fenômeno de vibração é indesejável na maioria das aplicações de
controle (LIN e HSU, 2003).
43
3.2 Desenvolvimento do Sistema, Controlador e Simulação.
Nesta etapa foi realizado o desenvolvimento do modelo do veículo e do controlador
em Modo Deslizante. Para a implementação foram usados os softwares MATLAB® e
Simulink® para realizar as simulações do modelo feito baseado nas equações mostradas na
Seção 3.1. Durante o desenvolvimento do controlador foi constatado que o mesmo não seria
viável usando a função sinal do modelo em Modo Deslizante na função de controle de
acertos por causa do ruído gerado na saída do sistema. Com isso a solução sugerida por
Lin & Hsu (2003) foi de substituir a função sinal pela função tangente hiperbólica para
reduzir a quantidade de ruído gerado. A função tangente hiperbólica no sistema reduziu
sensivelmente a quantidade de ruído gerado pelo sistema.
3.3 Comparação dos Sistemas Implementados.
Após a etapa de simulação é realizada a etapa de comparação dos resultados. Todas as
respostas do sistema como a velocidade do veículo, a velocidade da roda, o escorregamento, o
torque serão colocados em gráficos separados e comparados com resultados realizados na
simulação do sistema sem controladores. Apenas o modelo do veículo e o freio tradicional
sem ABS para os tipos de terreno asfalto seco, asfalto molhado e com gelo.
44
4 RESULTADOS OBTIDOS
Neste capítulo serão mostrados os resultados obtidos a partir da implementação das
equações mostradas no Capítulo 3 feitas no Simulink. Os resultados são mostrados em forma
de gráficos e separados por tipo de terreno no qual o controlador foi simulado.
4.1 Modelo Construído
Os resultados obtidos na simulação foram obtidos a partir do equacionamento dos
modelos de veículo, da roda e do escorregamento propostos por Lin & Hsu (2003). A Figura
21 mostra como ficou o sistema implementado no Simulink. Cada equação do sistema
(aceleração do veículo, da roda, escorregamento e controle) foi desenvolvida em subsistemas
separados para facilitar a visualização e diminuir a perda de tempo caso seja necessário
remover o controlador para algum teste, como nos testes sem controlador do freio
convencional.
Tabela 1: Valores utilizados na simulação do sistema
Variável Valor
Mv 1.368kg
g 9,81m/s2
Vo 80km/h
Bv 6
Jw 1,13
Tb(máximo) 1200N
W 25
k1 100
Rw 0,33m
λ(desejado) 0,2
Bw 4
θ 0
A Tabela 1 mostra os valores que foram utilizados na simulação. Esses valores de teste
são propostos em outros trabalhos inclusive em Lin & Hsu (2003).
45
Figura 21: Sistema implementado no Simulink
4.2 Resultados da Simulação
Foram feitas simulações com três tipos de terrenos (asfalto seco, asfalto molhado e
com gelo) com o sistema em diferentes condições. Primeiramente o sistema está com o
controlador Modo Deslizante e para realizar um comparativo, foram feitos testes com o
sistema sem controlador, apenas o equacionamento do comportamento do veículo é
considerado.
4.2.1 Simulação com terreno seco
A Figura 22 mostra o comportamento do torque quando está em terreno seco. O torque
é a resposta que o controlador envia para o subsistema da roda para que possa ocorrer a
redução da velocidade. No sistema sem controlador, o valor do torque é colocado direto no
subsistema da roda como 1200Nm, que é o valor máximo que o torque pode atingir.
É possível notar pela Figura 22 que no sistema com controlador não é necessário que o
torque do sistema alcance o seu valor máximo. O tempo de parada também é menor no
sistema com controlador em Modo Deslizante, o que pode ser visto na Figura 23.
46
Figura 22: Valor do torque para terreno seco.
A Figura 23 mostra a distância de parada do veículo com o tempo. Neste gráfico é
possível comprovar a melhor eficácia do controlador em Modo Deslizante com relação à
distância também.
Figura 23: Distância de parada para terreno seco.
A Figura 24 mostra o comportamento do escorregamento do sistema para terreno seco.
Com o controlador em Modo Deslizante é possível alcançar o valor desejado do
escorregamento da roda, fazendo com que a mesma reduza cerca de 20% do seu
escorregamento durante o processo de frenagem, enquanto no sistema sem controlador o valor
do escorregamento chega imediatamente a 1, acusando o travamento total da roda durante o
processo de frenagem.
47
Figura 24: Escorregamento do sistema em terreno seco.
O gráfico da Figura 25 mostra o comportamento da velocidade do sistema. A
velocidade inicial do sistema é de 80km/h para essa simulação, entretanto, para que o sistema
calcule de forma correta esse valor é convertido para radianos por segundo.
Figura 25: Velocidade do veículo e da roda para terreno seco.
A Figura 25 mostra as velocidades do veículo e da roda para terreno seco. É possível
notar que para o modelo sem controlador a velocidade da roda chega a zero bem antes da
velocidade do veículo parar, acusando o travamento, enquanto no modelo com controlador a
velocidade da roda se mantem reduzindo conforme a velocidade do veículo reduz.
48
4.2.2 Simulação em terreno molhado
A simulação em terreno molhado foi feita da mesma forma que a simulação em
terreno seco, apenas o que mudou foi a função μ(λ), que foi adequada para responder como o
atrito pneu-pista de uma pista de asfalto molhado. A Figura 26 mostra o comportamento do
torque do sistema em uma frenagem com uma velocidade inicial de 80km/h.
É possível notar que nestas condições a resposta do torque do sistema em controle
deslizante é menor que a resposta em terreno seco devido ao menor atrito, consequentemente
é obtida uma distância de parada maior para as mesmas condições iniciais anteriores.
Figura 26: Torque do sistema com terreno molhado.
A Figura 27 mostra a distância de parada do sistema com o controlador em Modo
Deslizante e sem controlador. Pode-se notar que a diferença da distância de parada do sistema
com controlador e sem controlador é menor que na simulação para terreno seco, entretanto o
sistema com ABS e controle em Modo Deslizante mostra um desempenho melhor que o
sistema sem controlador.
49
Figura 27: Distância de parada em terreno molhado.
Como consequência do torque do sistema, foi obtido o escorregamento para terreno
molhado, que também se manteve de acordo com o valor desejado de 20% de diminuição do
escorregamento da roda como visto na Figura 28.
Figura 28: Escorregamento do sistema em terreno molhado.
Com isso, a Figura 29 mostra a redução de velocidade da roda e do veículo para as
duas situações, com e sem controlador.
50
Figura 29: Velocidade do sistema com terreno molhado.
4.2.3 Simulação em terreno com gelo
Para a simulação do terreno com gelo são utilizados os mesmos parâmetros que foram
utilizados na simulação em terreno seco e molhado, mudando apenas o coeficiente de atrito
μ(λ) como nas outras situações. A Figura 30 mostra o comportamento do torque do freio em
uma pista com gelo.
Figura 30: Torque do sistema em terreno com gelo.
Na simulação do terreno com gelo o sistema não obteve resultados satisfatórios, como
mostrado na Figura 31,que compara as distâncias de um sistema com controlador e outro sem.
A distância de frenagem foi a mesma nos dois casos, mostrando que o sistema é ineficaz neste
tipo de condição.
51
Figura 31: Distância de parada em terreno com gelo.
Como consequência do gelo, o escorregamento do sistema demora muito mais para
estabilizar no terreno com gelo como visto na Figura 32. Antes de chegar ao valor desejado de
0.2, ou 20% de escorregamento, o sistema tem uma subida abrupta, o que faz com que o
mesmo perca desempenho neste tipo de terreno.
Figura 32: Escorregamento do sistema em terreno com gelo.
A Figura 33 mostra a velocidade da roda e do veículo com e sem controlador no
sistema com gelo. Devido ao pico do escorregamento da Figura 32 a velocidade da roda com
controle em Modo Deslizante tem uma queda acentuada até o momento que o torque
estabiliza o escorregamento do sistema, fazendo o mesmo se comportar inicialmente como um
52
sistema sem controlador, para logo após estabilizar, o que pode ser um problema. A
velocidade do veículo nos dois casos reduzem de forma igual.
Figura 33: Velocidade do sistema em terreno com gelo.
4.2.4 Simulação do modelo do MATLAB®
Anterior à implementação do modelo utilizado neste trabalho, foram realizados testes
com o modelo de ABS utilizado pelo MATLAB® como referência. Com este modelo foi
possível esclarecer diversas questões quanto a implementação do sistema, entretanto, este
modelo foi descontinuado da pesquisa por não atingir todos os requisitos necessários para a
implementação do controle em Modo Deslizante. As Figuras 34, 35 descrevem o
comportamento do escorregamento e da redução de velocidade do sistema respectivamente.
Figura 34: Escorregamento do sistema do MATLAB
53
Figura 35: Velocidade da roda e do veículo do modelo do MATLAB.
54
5. CONCLUSÃO
Neste trabalho foi apresentada a simulação de um controlador em Modo Deslizante
para freio automotivo com ABS e seus resultados foram comparados com o resultado de um
freio automotivo sem nenhum tipo de controlador. Foi realizada uma modelagem matemática
do comportamento do veículo implementado no Simulink para a obtenção dos resultados
simulando alguns tipos de asfalto como o asfalto seco, molhado e com gelo.
Com este trabalho foi possível compreender melhor sobre a modelagem e a simulação
de controladores para veículos automotivos, em especial para controle de freios ABS e o seu
comportamento em diversas condições como em terreno seco, molhado e com gelo. Também
foi possível abordar diversos temas que geralmente não são abordados no curso de Engenharia
de Computação, como o funcionamento de freios mecânicos, funcionamento de veículos e
sistemas de controle não lineares.
O estudo e entendimento dos controladores não lineares, em especial, o controle em
Modo Deslizante, abre um leque maior de possibilidades de pesquisa na área de automação e
controle, onde é possível abordar novas estratégias com controladores robustos que podem
diminuir os problemas que são causados pelas não linearidades pesadas em determinados
tipos de planta. Tais não linearidades podem deixar um projeto realizado com controladores
lineares (mais comuns na indústria) muito mais complexos, o que pode justificar o uso de
controladores não lineares que geralmente são tão confiáveis quanto os controladores lineares.
Como trabalhos futuros espera-se realizar uma pesquisa para melhorar o desempenho
desse tipo de controlador, buscando mesclar estratégias que já existem na literatura com
estratégias novas, abordando outros modelos e inteligência artificial para no futuro aumentar a
confiabilidade e segurança de freios automotivos com ABS. Como pôde ser verificado, o
controlador adaptado para uma pista com gelo, obteve um comportamento anômalo e não
satisfatório para essa implementação. Essa anomalia será focada também em trabalhos futuros
para uma melhor solução para o problema com gelo. Também espera-se utilizar o controlador
em Modo Deslizante em outros tipos de planta, como nos manipuladores robóticos e em
outros tipos de robôs, ampliando o foco da pesquisa.
55
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