jenifer waschburger monich instituto de matemática e estatística...

Modelagem da Dinâmica Epidemiológica da Dengue

Jenifer Waschburger Monich

Instituto de Matemática e Estatísticada

Universidade de São Paulo

Orientadora: Larissa Marques SartoriCoorientador: Prof. Dr. Pedro da Silva Peixoto

São Paulo, Março de 2018

Modelagem da Dinâmica Epidemiológica da Dengue

Esta versão da dissertação/tese contém as correções e alterações sugeridaspela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho,realizada em 16/02/2018. Uma cópia da versão original está disponível no

Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.

Comissão Julgadora:

• Larissa Marques Sartori (Orientadora) - IME-USP

• Prof. Dr. Pedro da Silva Peixoto (Coorientador) - IME-USP

• Prof. Dr. Sergio Muniz Oliva Filho - IME-USP

Resumo

MONICH, J. W. Modelagem da Dinâmica Epidemiológica da Dengue. 2018. 50 f. Trabalhode Conclusão de Curso, Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, SãoPaulo, 2018.

O número de casos de Dengue vem aumentando e afetando cada vez mais países, por esse motivo,muitos modelos epidemiológicos são estudados e desenvolvidos no intuito de entender a dinâmica deinfecção e características da doença. Este trabalho apresenta o modelo SIR (Suscetíveis - Infectados- Removidos) desenvolvido por Kermack e Mckendrick, aplicado para tentar aproximar a dinâmicada Dengue. Para explicar o modelo, são utilizadas simulações de cenários variando parâmetros,aproximando a solução do modelo com o método de Runge Kutta 4,4. Os parâmetros do modeloforam ajustados através de dados reais de algumas cidades da região Sudeste com o método MCMC(Markov Chain Monte Carlo), e comparados em cidades com diferentes perfis epidemiológicos.

Palavras-chave: Dengue, SIR, epidemiologia, MCMC.

i

Abstract

MONICH, J. W.Modeling the epidemiological dynamics of Dengue. 2018. 50 p. Trabalho deConclusão de Curso, Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de São Paulo, São Paulo,2018.

The number of Dengue cases is increasing and afecting more and more countries and, for thisreason, many epidemiological models are studied and created in order to understand the infectiondynamics. This paper presents the SIR model (Suscetible - Infected - Removed) created by Ker-mack and Mckendrick applied to try to approximate the Dengue dynamics. As a explanation to themodel, we applied some simulation of the scenarios varying the parameters, approaching the modelsolution with the method Runge Kutta 4,4. The model parameters were adjusted through real datafrom some cities in the southeast region with the method MCMC (Markov Chain Monte Carlo),and compared in cities with different epidemiological profiles.

Keywords: Dengue, SIR, epidemiology, MCMC.

iii

Sumário

Lista de Figuras vii

1 Introdução 1

2 Modelos Epidemiológicos 3

3 Modelo SIR 73.1 Dinâmica do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.1.1 Reprodutividade Basal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.2 Estabilidade do Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Resultados Numéricos 134.1 Método de Runge Kutta 4,4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Simulações Numéricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4.2.1 Cenário 1 : β = 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.2.2 Cenário 2 : β = 0.91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.2.3 Cenário 3 : β = 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.2.4 Cenário 4 : β = 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.2.5 Discussões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.3 MCMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3.1 Adaptação do Código . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.4 Ajuste dos Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4.1 São Paulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4.2 Vitória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.4.3 Belo Horizonte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Conclusões 35

Referências Bibliográficas 37

v

vi SUMÁRIO

Lista de Figuras

2.1 Fluxograma de transmissão de um Modelo SI, em que S representa a população deSuscetíveis, que pode se tornar infectado (I) segundo uma taxa de transmissão aoentrar em contato com um indivíduo infectado. Ao se tornar infectado, permaneceráinfectado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Fluxograma de transmissão de um modelo SIS, em que S representa a população deSuscetíveis, que pode se tornar infectado (I) segundo uma taxa de transmissão aoentrar em contato com um indivíduo infectado. Após se curar, o indivíduo retorna àpopulação de suscetíveis (S). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Fluxograma de transmissão de um modelo SIR, em que S representa a populaçãode suscetíveis, que pode se tornar infectado (I) segundo uma taxa de transmissão aoentrar em contato com um indivíduo infectado. Após se curar, o indivíduo passa àpopulação de removidos (R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

3.1 Fluxograma de transmissão de um modelo SIR, em que S representa a população desuscetíveis, que pode se tornar infectado (I) segundo uma taxa de transmissão (β)ao entrar em contato com um indivíduo infectado. Após se curar, segundo uma taxade recuperação (γ), o indivíduo passa à população de removidos (R). . . . . . . . . . 7

3.2 Retrato de Fases do modelo para N = 1000000, β = 3.5, α = 1 ,em semanas, eR0 = 3.5, considerando diferentes valores iniciais de S e I, com R(0) = 0 . . . . . . . 12

3.3 Retrato de Fases do modelo para N = 1000000, β = 0.91, α = 1 ,em semanas, eR0 = 0.91, considerando diferentes valores iniciais de S e I, com R(0) = 0 . . . . . . 12

4.1 Distribuição da população total, dividida em classes, para a solução aproximada domodelo SIR, apresentado nas equações 3.1, 3.2, 3.3, com parâmetros β = 2.1 e γ = 1

dados em semanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2 Distribuição da população de Suscetíveis para a solução aproximada do modelo SIR,

apresentado nas equações 3.1, 3.2, 3.3, com parâmetros β = 2.1 e γ = 1 dados emsemanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.3 Distribuição da população de Infectados para a solução aproximada do modelo SIR,apresentado nas equações 3.1, 3.2, 3.3, com parâmetros β = 2.1 e γ = 1 dados emsemanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4.4 Distribuição da população de Removidos para a solução aproximada do modelo SIR,apresentado nas equações 3.1, 3.2, 3.3, com parâmetros β = 2.1 e γ = 1 dados emsemanas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

vii

viii LISTA DE FIGURAS
















4.17 Distribuição de casos de notificação da Dengue para a cidade de São Paulo em 2013 . 274.18 Distribuição de casos de notificação de Dengue para a cidade de São Paulo em 2014 . 284.19 Ajuste do modelo SIR com parâmetro β ≈ 1.45, em semanas, estimado via MCMC

através de dados reais de notificação de Dengue para a cidade de São Paulo em 2014 294.20 Convergência dos valores do parâmetro β no ajuste via MCMC utilizando dados reais

de notificação de Dengue para a cidade de São Paulo em 2014 . . . . . . . . . . . . . 29

LISTA DE FIGURAS ix

4.21 Ajuste do modelo SIR com parâmetro β ≈ 1.18, em semanas, estimado via MCMCatravés de dados reais de notificação de Dengue para a cidade de São Paulo em 2013 30

4.22 Convergência dos valores do parâmetro β no ajuste via MCMC utilizando dados reaisde notificação de Dengue para a cidade de São Paulo em 2013 . . . . . . . . . . . . . 30

4.23 Ajuste do modelo SIR com parâmetro β ≈ 1.3, em semanas, estimado via MCMCatravés de dados reais de notificação de Dengue para a cidade de São Paulo em 2013,considerando apenas as semanas de 1 a 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.24 Convergência dos valores do parâmetro β no ajuste via MCMC utilizando dados reaisde notificação de Dengue para a cidade de São Paulo em 2013 considerando apenasas semanas de 1 a 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.25 Distribuição de casos de notificação de Dengue para a cidade de Vitória em 2013 . . 324.26 Ajuste do modelo SIR com parâmetro β ≈ 1.16, em semanas, estimado via MCMC

através de dados reais de notificação de Dengue para a cidade de Vitória em 2013 . . 324.27 Convergência dos valores do parâmetro β no ajuste via MCMC utilizando dados reais

de notificação de Dengue para a cidade de Vitória em 2013 . . . . . . . . . . . . . . . 334.28 Distribuição de casos de notificação de Dengue para a cidade de Belo Horizonte em

2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.29 Ajuste do modelo SIR com parâmetro β ≈ 1.49, em semanas, estimado via MCMC

através de dados reais de notificação de Dengue para a cidade de Belo Horizonte em2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.30 Convergência dos valores do parâmetro β no ajuste via MCMC utilizando dados reaisde notificação de Dengue para a cidade de Belo Horizonte em 2013 . . . . . . . . . . 34

x LISTA DE FIGURAS

Capítulo 1

Introdução

As doenças infecciosas são um problema que afeta a humanidade incessantemente há seculos,

pois, com a civilização, a aglomeração de pessoas acaba facilitando a transmissão de infecções. Com

melhorias nas condições de saneamento básico e nos conhecimentos medicinais, houve uma queda

na proporção de óbitos causados por infecções na população [1]. Entretanto, as doenças infecciosas

ainda preocupam a sociedade e o constante estudo de seus comportamentos é necessário para

reduzir a incidência das doenças. Com essa necessidade, os modelos matemáticos de epidemiologia

vem sendo muito utilizados.

Além de doenças que podem ser espalhadas pelos próprios indivíduos, as doenças infecciosas

também se manifestam através de alimentos contaminados e animais infectados. A Dengue é uma

doença viral transmitida através da picada de mosquitos do gênero Aedes infectados pelo vírus

DENV. No Brasil, existem 4 sorotipos de dengue identificados (DENV1 - DENV4) e a espécie Ae.

aegypti é a principal responsável pela sua transmissão [2].

Segundo o Ministério de Saúde, o número de casos da doença aumentou mundialmente 30 vezes

nos últimos 50 anos. Além disso, mais de 100 países são afetados atualmente [3]. Os principais países

afetados são os países tropicais, que têm condições climáticas favoráveis para o desenvolvimento dos

mosquitos transmissores [2, 4].

Os boletins epidemiológicos mostram que em 2016 foram registrados em torno de 1.500.000 casos

de Dengue, enquanto em 2014 e 2015, foram registrados, respectivamente, em torno de 580.000 e

1.680.000 casos. Além disso, em 2016, houveram mais de 600 óbitos causados por casos graves de

Dengue e em 2015, mais de 900 casos [5].

A Dengue pode ser assintomática ou sintomática. Ao apresentar sintomas, os mais comuns

são febre alta, dor de cabeça, dores nas articulações, dor retroorbital, fadiga, mal-estar, perda

de apetite, manchas avermelhadas na pele e náuseas. Em alguns pacientes, pode existir sinais de

alerta e avanço para caso hemorrágico, podendo apresentar manifestações hemorrágicas, derrames,

1

2 INTRODUÇÃO 1.0

instabilidade hemodinâmica e choque [4].

Após a cura da doença, a pessoa se torna permanentemente imune ao sorotipo específico pelo

qual foi infectado e tem imunidade temporária para os outros, denominada imunidade cruzada tem-

porária. Não se sabe ao certo o tempo de duração da imunidade cruzada, onde, segundo referências,

pode variar de 2 meses a 2 anos [6].

Após a picada do mosquito e infecção com o vírus, existe um tempo de incubação do vírus e

após este tempo, o vírus fica presente na corrente sanguínea da pessoa. Nesse período, é possivel

que outros mosquitos sejam infectados após picarem-na. O período médio de incubação da doença

é de 5 a 6 dias, mas pode variar entre 4 e 10 dias. Sendo assim, existem dois ciclos de transmissão:

um intrínseco, que acontece na pessoa infectada, e um extrínseco, que acontece no mosquito [2].

Por não existir ainda uma vacina efetiva para proteção simultanea aos quatro sorotipos da

Dengue, as medidas de prevenção da doença utilizadas atualmente basicamente envolvem a redução

de propagação do vetor [3]. Os mosquitos se reproduzem em fontes de água limpa parada, sendo

assim, é importante que a sociedade seja constantemente orientada para que tenha participação

ativa na redução dos criadouros [7, 8]. As diferenças climáticas também interferem na reprodução

dos mosquitos, onde seu pico de crescimento no Brasil ocorre nos meses de Dezembro a Maio, que

são os meses mais chuvosos e quentes do ano [3, 9].

Portanto, é importante entender o comportamento da Dengue para possibilitar a criação de

medidas para reduzir o desenvolvimento da doença. A epidemiologia matemática tem seu uso cres-

cente para entender o comportamento das doenças, utilizando modelos epidemiológicos, como o

modelo SIR, desenvolvido por Kermack e McKendrick [10], que considera a população dividida em

classes de Suscetíveis, Infectados e Removidos. Para que o modelo fique o mais próximo possível da

realizade, é necessário otimizar os parâmetros do modelo baseado em dados reais.

Neste trabalho, temos por objetivo estudar um modelo epidemiológico que descreva a trans-

missão da Dengue de forma a ser próximo da real dinâmica da doença, estimando os parâmetros

do modelo a partir de dados reais da incidência da doença. Para entender melhor a dinâmica do

modelo, neste trabalho foram realizadas algumas simulações de cenários variando parâmetros, uti-

lizando o método de Runge Kutta 4,4 e valores de parâmetros obtidos em referências. O ajuste de

parâmetros nesse trabalho é feita via Markov Chain Monte Carlo para dados reais de São Paulo,

Vitória e Belo Horizonte.

Capítulo 2

Modelos Epidemiológicos

Para a modelagem de doenças infecciosas, normalmente a população é separada em classes (ou

compartimentos). As mais comuns são: Suscetíveis, Expostos, Infectados e Removidos.

Na classe de suscetíveis, consideramos os indivíduos sem infecção e que ainda não tiveram

contato com o vírus. Após contato com o vírus, o indivíduo passa a ser da classe de expostos, onde

o indivíduo foi infectado com o vírus mas ainda não é capaz de infectar outros indivíduos. A partir

do momento que o indivíduo está infectado e já pode infectar outros indivíduos, passa a ser da classe

de infectados até se curar completamente do vírus. Após eliminar o vírus ou morrer, o indivíduo

passa a ser da classe de removidos [11].

Para cada modelo, a combinação de classes utilizada é escolhida de forma à explicar melhor o

comportamento das doenças de estudo. Sendo assim, precisamos escolher o modelo que melhor se

adequa à doença que vamos estudar.

O modelo SI, representado pelo fluxograma abaixo, considera que em uma população existam

apenas pessoas suscetíveis à doença ou pessoas já infectadas. Nesse modelo, após ser infectado, o

indivíduo permanecerá na classe de infectados. Por esse motivo, esse modelo se adequa melhor à

doenças que não tem cura, como HIV. [11].

Figura 2.1: Fluxograma de transmissão de um Modelo SI, em que S representa a população de Suscetíveis,que pode se tornar infectado (I) segundo uma taxa de transmissão ao entrar em contato com um indivíduoinfectado. Ao se tornar infectado, permanecerá infectado.

3

4 MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS 2.0

Para o modelo SIS, representado no fluxograma abaixo, no entanto, apesar de ter somente a

classe de suscetíveis e infectados, o modelo considera que após se tornar infectado e se curar, o

indivíduo se torna suscetível novamente. Esse modelo é utilizado para o estudo de, por exemplo,

doenças sexualmente transmissiveis como a Gonorreia [11, 12].

Figura 2.2: Fluxograma de transmissão de um modelo SIS, em que S representa a população de Suscetíveis,que pode se tornar infectado (I) segundo uma taxa de transmissão ao entrar em contato com um indivíduoinfectado. Após se curar, o indivíduo retorna à população de suscetíveis (S).

O modelo SIR, representado na figura 2.3, considera as classes de suscetíveis. infectados e

removidos. Nesse modelo, após um indivíduo ser infectado e se recuperar ou morrer, ele passa à

classe de removidos, não sendo mais suscetível à doença. Esse modelo é utilizado para doenças

em que, após a infecção e recuperação, o indivíduo torna-se imune, ajustando-se à doenças como

Rubeóla e Sarampo [11].

Figura 2.3: Fluxograma de transmissão de um modelo SIR, em que S representa a população de suscetíveis,que pode se tornar infectado (I) segundo uma taxa de transmissão ao entrar em contato com um indivíduoinfectado. Após se curar, o indivíduo passa à população de removidos (R).

Para a Dengue, um indivíduo infectado, após se curar, fica imune para aquele sorotipo que já foi

infectado. Além disso, ao ser infectado com o vírus, o indivíduo já pode infectar outros mosquitos,

que, por sua vez, irão infectar outros suscetíveis, podendo ser desconsiderada a classe de expostos.

Para doenças como a Dengue, que dependem do comportamento epidemiológico do transmissor,

existem também modelos que incluem em seu comportamento a dinâmica do vetor. No caso da

dengue, a transmissão é feita pelos mosquitos do gênero Aedes, especialmente pelas espécies Ae.

aegypti e Ae. albopictus. Porém, nesse trabalho, não possuímos as informações necessárias sobre os

mosquitos, então não os consideraremos no modelo. Além disso, o modelo SIR consegue explicar

bem o comportamento epidemiológico nos humanos, sendo, em alguns casos, até melhor que o

2.0 5

modelo com a inclusão do vetor [13].

6 MODELOS EPIDEMIOLÓGICOS 2.0

Capítulo 3

Modelo SIR

Omodelo desenvolvido por Kermack e McKendrick considera as classes de Suscetíveis, Infectados

e Removidos [10]. O modelo já foi utilizado para entender o comportamento de epidemias como,

por exemplo, a Peste Bubônica em Eyam, na Inglaterra(1665–1666) [14].

Ao utilizar esse modelo para a Dengue, assume-se que após o indivíduo ser infectado uma vez,

ao se curar, adquire imunidade à doença, conforme fluxograma abaixo [10].

Figura 3.1: Fluxograma de transmissão de um modelo SIR, em que S representa a população de suscetíveis,que pode se tornar infectado (I) segundo uma taxa de transmissão (β) ao entrar em contato com um indivíduoinfectado. Após se curar, segundo uma taxa de recuperação (γ), o indivíduo passa à população de removidos(R).

Esse modelo supõe que a taxa de propagação da doença é proporcional ao produto da população

de suscetíveis e infectados. Essa suposição vem do princípio de Ação de Massas, em que assume-se

que o crescimento do número de infectados é uniforme na população [10, 15].

Além disso, considera-se que:

• As classes são homogeneamente distribuídas;

• O número de indivíduos suscetíveis diminui à uma taxa de propagação da doença (βSI).

• O número de indivíduos infectados aumenta na mesma proporção e diminuí a partir da curados indivíduos.

• O número de indivíduos removidos aumenta conforme a recuperação dos infectados (γI).

7

8 MODELO SIR 3.1

• A população é fechada, ou seja, desconsidera mortes, nascimentos e migração. (Essa suposiçãoé feita pois, ao analisar períodos curtos de tempo, não há uma mudança muito significante napopulação.)

Utilizando esses pressupostos, chega-se nas equações diferenciais abaixo [16].

dS

dt= −βSI

N(3.1)

dI

dt=

βSI

N− γI (3.2)

dR

dt= γI, (3.3)

tal que as soluções pertencem ao conjunto Ω = (S, I,R) ∈ R3, S, I, R > 0 .Para esse modelo, é possível normalizar as equações, definindo S∗ =

S

N, I∗ =

I

Ne R∗ =

R

N.

Temos S∗ + I∗ +R∗ = 1 [11] e as equações normalizadas são:

dS∗

dt= −βS∗I∗ (3.4)

dI∗

dt= βS∗I∗ − γI∗ (3.5)

dR∗

dt= γI∗, (3.6)

com soluções pertencentes ao conjunto Ω = (S∗, I∗, R∗) ∈ R3;S∗ ∈ [0, 1], I∗ ∈ [0, 1], R∗ ∈ [0, 1].

Neste trabalho, por preferência, utilizaremos o modelo com as equações sem normalização.

Como o sistema de equações do modelo não pode ser resolvido analiticamente, vamos procurar

uma solução numérica utilizando o método de Runge Kutta (4,4) [11].

3.1 Dinâmica do Modelo

A dinâmica do modelo é afetada principalmente por duas coisas: a reprodutividade basal, de-

notada por R0 e o tempo de infecção (também chamado de período infeccioso), que é o tempo em

que o indivíduo se recupera totalmente do vírus e migra para a classe de removidos. A taxa de

recuperação, γ, é considerada como 1 sobre o tempo de infecção. Sendo assim, o tempo de infecção

pode ser representado por 1γ , e é, em média, 7 dias para a Dengue [13].

3.1 DINÂMICA DO MODELO 9

3.1.1 Reprodutividade Basal

A reprodutividade basal, também conhecida como número básico de reprodução (R0), é o nú-

mero médio de casos secundários causados por um indivíduo infectado inserido um uma população

totalmente suscetível [11, 16].

Reescrevendo a equação (3.2), temos:

dI

dt= I

(βS

N− γ)

(3.7)

Ao analisar a variação do número de infectados, percebe-se que sedI

dt> 0 então o número de

infectados irá aumentar e a infecção irá se espalhar, caso contrário, a infecção irá ser disseminada.

Para encontrar a reprodutividade basal, utilizamos I = 1 e S ≈ N , logo, podemos dizer queS

N= 1. Chegando em:

dI

dt= β − γ (3.8)

Para quedI

dt> 0, é necessário que:

β − γ > 0⇒ β

γ> 1 (3.9)

Sendo assim, a reprodutividade basal é dada por:

R0 =β

γ(3.10)

A reprodutividade basal é utilizada para entender a dinamica da infecção, pois se R0 > 1, então

a infecção se espalhará e, se R0 < 1, o número de infectados vai reduzir e a doença se dissiminará.

Isso ocorre pois sua fórmula é dada pela divisão da taxa de transmissão da doença pela taxa de

recuperação. Se R0 > 1, a doença é transmitida mais rapidamente do que os infectados se recuperam

e, assim, a doença de propaga. Caso contrário, os infectados se recuperam mais rapidamente e a

doença não tem força para se propagar.

10 MODELO SIR 3.1

3.1.2 Estabilidade do Modelo

Primeiramente, precisamos encontrar os pontos críticos do modelo, ou seja, os pontos onde a

derivada se anula. Como no modelo consideramos que a população é fechada, ou seja, temos N

constante, então N = S + I +R. Sendo assim, podemos considerar apenas as equações de S e I, já

que é possível obter R através de R = N − S − I.

Para que o ponto seja um ponto crítico, precisamos que:

dS

dt= 0

dI

dt= 0

(3.11)

Sendo assim, temos:

− βSI

N= 0 (3.12)

βSI

N− γI = 0 (3.13)

Substituindo (3.12) em (3.13), temos:

γI = 0 (3.14)

Como γ > 0, então temos que I = 0. Logo, os pontos críticos são da forma (s, 0), onde s > 0,

ou seja, para o modelo SIR com população fechada, não existe ponto de equilíbrio endêmico. Existe

apenas ponto de equilíbrio livre de infecção.

Podemos então calcular o Jacobiano para ter uma ideia do comportamento, já que os pontos de

equilíbrio não são isolados.

J(S, I) =

−βIN

−βSN

βI

N

βS

N− γ

Para o ponto (s, 0), temos:

3.1 DINÂMICA DO MODELO 11

J(S, I) =

0 −βs

N

0βs

N− γ

Calculando o polinômio característico do Jacobiano, temos:

λ2 −(βs

N− γ)λ = 0

Podemos rescrever então como

λ

(λ−

(βs

N− γ))

= 0

E, portando, as raízes do polinômio característico são: λ1 = 0 e λ2 =βs

N− γ.

Isto nos dá uma indicação de que o modelo pode ser estável se λ2 < 0. Sendo assim, precisamos

que

βs

N− γ < 0.

Ou seja, o modelo pode ser estável se

βs

N< γ =⇒ βs

γN< 1

Então, utilizando (3.10), temos uma indicação de que o sistema é estável se R0s

N< 1. Como,

no ponto inicial, S ≈ N , então o equilíbrio livre de doença pode ser estável se R0 < 1.

Para comprovar a estabilidade do modelo, pode ser utilizada a função de Lyapunov [17].

Além disso, podemos ter uma noção da estabilidade analisando também os retratos de fase.

12 MODELO SIR 3.1

Figura 3.2: Retrato de Fases do modelo para N = 1000000, β = 3.5, α = 1 ,em semanas, e R0 = 3.5,considerando diferentes valores iniciais de S e I, com R(0) = 0

Figura 3.3: Retrato de Fases do modelo para N = 1000000, β = 0.91, α = 1 ,em semanas, e R0 = 0.91,considerando diferentes valores iniciais de S e I, com R(0) = 0

Nota-se que o quando R0 > 1, o número de infectados e de suscetíveis tendem à valores próximos

de zero. Enquanto, para R0 < 1, a quantidade de suscetíveis se mantém mais estável.

Para analisar o equilíbrio endêmico e a estabilidade deste, é necessário ter um modelo com

demografia.

Capítulo 4

Resultados Numéricos

4.1 Método de Runge Kutta 4,4

Para resolver equações diferenciais em que não é possível encontrar a solução analítica, são

utilizados métodos numéricos.

São usados alguns métodos para aproximar problemas de valores iniciais da forma

dy

dt= f(t, y)

com a ≤ t ≤ b e y(a) = α. Entre eles, o método de Euler é considerado o método mais elementar,

mas que, por pouca eficácia, acaba não sendo bastante utilizado. Temos também os métodos de

Taylor de altas ordens, que apresentam maior eficácia por terem erros de altas ordens, porém, para

utilizá-los, é necessário ter conhecimento sobre as derivadas da função f(t, y). Para suprir então a

necessidade de alta eficácia e manter a facilidade de uso, utilizaremos os métodos de Runge-Kutta.

Nos métodos de Runge-Kutta, é utilizada a teoria dos métodos de Taylor porém as derivadas de f

são substituídas por cálculos da própria função, para tentar aproximar os valores das derivadas.

O método consiste em, primeiramente, definir os valores iniciais, t0 = a e y0 = α e depois repetir

n vezes, os cálculos abaixo:

13

14 RESULTADOS NUMÉRICOS 4.2

κ1 = hf(ti, yi)

κ2 = hf(ti + h2 , yi + 1

2κ1)

κ3 = hf(ti + h2 , yi + 1

2κ2)

κ4 = hf(ti+1, yi + κ3)

yi+1 = yi + 16(κ1 + 2κ2 + 2κ3 + κ4)

(4.1)

em que n é um número real, t ∈ [a, b] , h = b−an é um espaçamento uniforme de tempo e yi ≈ y(ti)

é a aproximação da função y no ponto ti = a+ ih para i = 0, 1, ..., n [18].

4.2 Simulações Numéricas

Para entender o comportamento do modelo, foram realizadas algumas simulações de cenários,

variando os valores de β. Para as simulações, consideramos período semanal. Consideramos γ = 1

(em dias γ = 17 , pois o tempo médio de recuperação é 7 dias), N = 1000000 , I(0) = 10 e R(0) = 0

e o tempo da simulação de 52 semanas. As simulações foram realizadas em R, baseando-se na teoria

de [19] e para a aproximação da solução do sistema de equações diferenciais, utilizamos o método

Runge Kutta 4,4 [18].

4.2.1 Cenário 1 : β = 2.1

Para o primeiro cenário, consideramos β = 2.1 , considerando os parâmetros em semanas (em

dias β = 0.3, já que a a taxa de propagação da Dengue é geralmente em torno deste valor [13]). A

figura 4.5 representa a distribuição da população nos grupos ao longo do tempo.

4.2 SIMULAÇÕES NUMÉRICAS 15

Figura 4.1: Distribuição da população total, dividida em classes, para a solução aproximada do modeloSIR, apresentado nas equações 3.1, 3.2, 3.3, com parâmetros β = 2.1 e γ = 1 dados em semanas

E as figuras abaixo representam a distribuição individual de cada grupo.

Figura 4.2: Distribuição da população de Suscetíveis para a solução aproximada do modelo SIR, apresentadonas equações 3.1, 3.2, 3.3, com parâmetros β = 2.1 e γ = 1 dados em semanas


Figura 4.3: Distribuição da população de Infectados para a solução aproximada do modelo SIR, apresentadonas equações 3.1, 3.2, 3.3, com parâmetros β = 2.1 e γ = 1 dados em semanas

Figura 4.4: Distribuição da população de Removidos para a solução aproximada do modelo SIR, apresentadonas equações 3.1, 3.2, 3.3, com parâmetros β = 2.1 e γ = 1 dados em semanas

É possível notar que o número de infectados começa a aumentar na semana 6, e que esses

indivíduos se recuperam, fazendo a população de removidos aumentar. Nota-se que o número de

infectados chega ao máximo entre a semana 10 e 11, perto de 180 mil indivíduos. Ou seja, os

indivíduos infectados causaram muitos casos secundários da infecção, e portanto, o número de

infectados e, posteriormente, removidos aumenta bastante. Isso acontece pois

R0 =β

γ=

(2.1)

1= 2.1 > 1


e, sendo assim, a incidência da doença aumenta na população.

4.2.2 Cenário 2 : β = 0.91

Para o segundo cenário, utilizamos uma taxa de propagação menor, β = 0.91 dado em semanas

(em dias β = 0.13). Para esse caso, temos

R0 =β

γ=

(0.91)

1= 0.91 < 1,

então o esperado é que o número de pessoas infectadas diminua. Na imagem abaixo, temos a

distribuição da população ao longo do tempo.


Como o número de infectados e removidos é muito pequeno comparado ao número de suscetíveis,

não é possível observar a curva no gráfico da população. Desta forma, vamos analisar a distribuição

por grupos ao longo do tempo.


Figura 4.6: Distribuição da população de Suscetíveis para a solução aproximada do modelo SIR, apresentadonas equações 3.1, 3.2, 3.3, com parâmetros β = 0.91 e γ = 1 dados em semanas

Figura 4.7: Distribuição da população de Infectados para a solução aproximada do modelo SIR, apresentadonas equações 3.1, 3.2, 3.3, com parâmetros β = 0.91 e γ = 1 dados em semanas


Figura 4.8: Distribuição da população de Removidos para a solução aproximada do modelo SIR, apresentadonas equações 3.1, 3.2, 3.3, com parâmetros β = 0.91 e γ = 1 dados em semanas

Pelos gráficos, é possível ver que o número de pessoas infectadas, ao invés de aumentar, reduz ,

conforme esperado já que R0 < 1. Nota-se também que o número de pessoas removidas do modelo

passa de 100, que é maior do que o número de pessoas infectadas chegou. Isso ocorre devido à uma

limitação do modelo. Como o modelo é contínuo, mesmo quando o número de pessoas infectadas

está diminuindo e é um número não inteiro, o número de pessoas que se tornam não suscetíveis

continua aumentando, passando do valor máximo de infectados no período.

4.2.3 Cenário 3 : β = 3.5

Para o cenário 3, consideramos β = 3.5 dado em semanas (em dias β = 0.5). Chegando nas

seguintes distribuições ao longo do tempo:



Figura 4.10: Distribuição da população de Suscetíveis para a solução aproximada do modelo SIR, apresen-tado nas equações 3.1, 3.2, 3.3, com parâmetros β = 3.5 e γ = 1 dados em semanas


Figura 4.11: Distribuição da população de Infectados para a solução aproximada do modelo SIR, apresen-tado nas equações 3.1, 3.2, 3.3, com parâmetros β = 3.5 e γ = 1 dados em semanas

Figura 4.12: Distribuição da população de Removidos para a solução aproximada do modelo SIR, apresen-tado nas equações 3.1, 3.2, 3.3, com parâmetros β = 3.5 e γ = 1 dados em semanas

Como temos R0 = 3.51 = 3.5 > 1, a doença se espalha na população. Nota-se que o surto é um

pouco mais rápido que no cenário 1.


4.2.4 Cenário 4 : β = 6.3

Já para o cenário 4, consideramos β = 6.3 dado em semanas (em dias β = 0.9) e chegamos nas

seguintes distribuições ao longo do tempo:


Figura 4.14: Distribuição da população de Suscetíveis para a solução aproximada do modelo SIR, apresen-tado nas equações 3.1, 3.2, 3.3, com parâmetros β = 6.3 e γ = 1 dados em semanas


Figura 4.15: Distribuição da população de Infectados para a solução aproximada do modelo SIR, apresen-tado nas equações 3.1, 3.2, 3.3, com parâmetros β = 6.3 e γ = 1 dados em semanas

Figura 4.16: Distribuição da população de Removidos para a solução aproximada do modelo SIR, apresen-tado nas equações 3.1, 3.2, 3.3, com parâmetros β = 6.3 e γ = 1 dados em semanas

Como pode-se notar, temos R0 = 6.31 = 6.3 > 1 e a doença se espalha rapidamente devido à

alta taxa de propagação. Nota-se que o surto é bem mais rápido que no cenário 1 e acaba rápido

devido ao esgotamento dos suscetíveis.


4.2.5 Discussões

É possível notar que, conforme aumentamos a taxa de propagação da doença, temos um cres-

cimento mais rápido dos valores de I(t). Por exemplo, na simulação 3, o número de infectados

começa a aumentar na semana 3, chegando em aproximadamente 350 mil infectados na semana 6.

Na simulação 4, esse aumento já começa entre as semanas 1 e 2, chegando em aproximadamente

550 mil infectados na semana 3.

Podemos concluir, com essas simulações, que ter uma epidemia da doença depende do valor

de R0. Ou seja, se R0 > 1, a doença se propaga mais rapidamente do que os indivíduos que

estão infectados se recuperam, e assim, a doença se espalha. Já quando R0 < 1, a recuperação

dos individuos infectados é mais rápida do que a infecção de novas pessoas, e assim, o número de

infectados diminui e a doença se dissemina.

4.3 MCMC

Como o modelo SIR é uma aproximação da doença, em que o objetivo é tornar os resultados

mais realistas, o ideal seria estimar os parâmetros do modelo a partir dos dados reais de notificação

da doença.

Para otimizar o ajuste dos parâmetros para o modelo, utilizamos o método MCMC (Markov

Chain Monte Carlo), que é um dos métodos estatísticos mais utilizados para otimização de pa-

râmetros para modelos epidemiológicos por possibilitar a estimação de parâmetros em modelos

complexos, onde o uso de métodos padrões é muito complicado. Porém, para o uso de MCMC, é

necessário um entendimento básico do método para entender quando o método convergiu para a

distribuição desejada ou não [20].

O método utiliza processos estocásticos e simula um passeio aleatório, onde temos os possíveis

valores do parâmetro, que são amostrados aleatóriamente e alguns valores podem ser mais prováveis

que outros. Ao fazer uma amostragem proporcional à probabilidade dos valores, o método tenta

chegar numa distribuição de probabilidade que se aproxime dos dados para conseguir ajustar os

parâmetros do modelo e convergir para a distribuição estacionária de interesse.

Existem alguns algoritmos para essa simulação, dentre os mais utilizados estão o algoritmo de

Metropolis-Hastings e o algoritmo de Gibbs [21].

O algoritmo de Metropolis-Hastings consiste em:

1. Começar com um valor θ1 que poderia otimizar os parâmetros para se ajustarem aos dados.

2. Calcular a probabilidade associada a θ1 (P1).

4.3 MCMC 25

3. Gerar um novo conjunto de parâmetros a partir de uma certa distribuição dada para θ1 e

calcular P2 associada a θ2.

4. Gerar um número aleatório, u entre 0 e 1. Se u < P2P1, então θ1 = θ2 e retorna ao passo 3.

Caso contrário, volta ao passo 2, usando o θ1 para alterar a região amostral.

Esse algoritmo vai ser repetido pelo número de iterações desejado para se obter um bom ajuste.

Para as iterações, considera-se um período de aquecimento, onde a idéia é que o parâmetro comece a

se aproximar da distribuição desejada. Os resultados do período de aquecimento não são utilizados.

Após o período de aquecimento, iniciam-se as iterações [21].

Um dos desafios de utilizar o MCMC é determinar quantas iterações são necessárias e se o método

convergiu ou não. Para analisar a convergência, pode-se utilizar os gráficos de traços, gráficos de

autocorrelação e gráfico de densidade [20]. Para os gráficos de traços, quando há convergência, os

valores do parâmetro não devem apresentar muitas variações, diminuindo e aumentando os valores.

Quanto à autocorrelação, é importante que, com o tempo, a autocorrelação diminua. Já para a

densidade dos valores, é importante verificar se não existem picos ou formas estranhas, que podem

indicar uma convergência ruim.

As limitações do método, em geral, estão relacionados com a convergência das cadeias, que pode

levar bastante tempo para ocorrer, e a autocorrelação dos valores gerados [22]. Entre os problemas

que interferem na convergência do método, temos, por exemplo, parâmetros com restrições, como

parâmetros estritamente positivos. Outro problema é iniciar a estimação com valores iniciais dis-

tantes do parâmetro desejado, podendo, em alguns casos inviabilizar a convergência do método

[23].

4.3.1 Adaptação do Código

Para o ajuste de parâmetros, foi adaptado o código sir_harm_mcmc_fit.R, disponível em [21].

No programa, é criada uma função para o modelo SIR.

1 SIRfunc_harmonic=func t i on ( t , x , vparameters )

2 S = x [ 1 ] # S no tempo t

3 I = x [ 2 ] # I no tempo t

4 R = x [ 3 ] # R no tempo t

5 i f ( I <0) I=0

6

7 with ( as . l i s t ( vparameters ) ,

8 npop=S+I+R

9 beta = beta0


10 dS = −beta ∗S∗ I /npop

11 dI = +beta ∗S∗ I /npop − gamma∗ I

12 dR = +gamma∗ I

13 out = c (dS , dI ,dR)

14 l i s t ( out )

15 )

16

Para cada ajuste, são especificados valores para a população (npop), número inicial de infectados

(I0), taxa de recuperação (gamma) e número de iterações (niter). Além disso, para cada ajuste, é

utilizada uma base de dados reais com o número de infectados semanal. Desta forma, vamos estimar

parâmetro β do modelo que se ajuste melhor aos dados.

Então, aproxima-se a solução do sistema através do método Runge Kutta 4,4:

17 sirharm = as . data . frame ( rk4 ( i n i t s , vt , SIRfunc_harmonic , vparameters ) )

E usando a aproximação, calcula os valores para o modelo que se aproximam dos dados reais.

18 Y_model = beta0 ∗ sirharm$S ∗ s i rharm$I /npop

19 Y_model = Y_model∗sum(Y_data) /sum(Y_model)

Então, para cada iteração, vê se a razão da verossimilhança dos valores de β é menor do que

r ∼ U(0, 1). Se for, troca o valor de β estimado.

20 i f ( i t e r ==1|( po i s_neg log l i ke <min_like&r>exp ( po i s_neg log l i ke−min_like ) ) )

21 cat ( "New best f i t va lue s found" ,b0 , t0 , "\n" )

22 Y_model_best = Y_model

23 min_like = po i s_neg l og l i k e

24 b0_old = b0

25 t0_old = t0

26

E então, no final, cria o gráfico dos dados reais com o ajuste de β.

27 p lo t ( mydata$time , mydata$Y_data , xlab="Tempo , em semanas" , ylab="Número de casos " )

28 l i n e s ( sirharm$time , Y_model_best , c o l =4, lwd=4)

29 legend ( " t o p l e f t " , l egend=c ( "Dados Reais " , "Ajuste do modelo" ) , c o l=c (1 , 4 ) , lwd

=4,bty="n" )

4.4 AJUSTE DOS PARÂMETROS 27

4.4 Ajuste dos Parâmetros

Os dados reais utilizados para ajustar o modelo foram retirados de [24] e são os dados de

notificação semanais de Dengue. Para o ajuste dos modelos aos dados reais, para cada cidade,

consideramos o número da população como a população da cidade no Censo IBGE de 2010 [25].

Além disso, para todos os casos consideramos o número de iterações como 10000 e γ = 1, ou seja,

consideramos que semanalmente, todos os infectados se curam e migram para a classe de removidos.

Desta forma, conseguimos ajustar o modelo à incidência da doença, ou seja, ao número de novos

infectados a cada semana. Os resultados para algumas capitais da região Sudeste são mostrados a

seguir.

4.4.1 São Paulo

Para a cidade de São Paulo, vamos fazer o ajuste para os anos de 2013 e 2014, mostrando

exemplos de como o ajuste fica considerando o ano todo ou somente o período de surto. Nos

ajustes, consideramos a população da cidade igual a 11.253.503 [25].

A distribuição dos casos de São Paulo, em 2013, é dada por:

Figura 4.17: Distribuição de casos de notificação da Dengue para a cidade de São Paulo em 2013


E, em 2014, é dada por:

Figura 4.18: Distribuição de casos de notificação de Dengue para a cidade de São Paulo em 2014

Para 2014, temos um surto de Dengue bem mais forte que em 2013, já que em 2014 chega-se a

quase 8.000 casos e em 2013 o número de casos máximo não passa de 2.000. Sendo assim, espera-se

que o β seja menor em 2013 do que em 2014. Iremos realizar primeiro o ajuste dos dados de 2014,

já que apresenta um surto epidêmico mais forte.

2014

Para o ajuste do β para São Paulo em 2014, utilizamos o número de infectados iniciais como 21,

que é o número de infectados na primeira semana de 2014 para a cidade de São Paulo. Realizando

o ajuste, foi encontrado β ≈ 1.45 em semanas, conforme a figura 4.20, e, com esse ajuste, obtemos

o seguinte resultado para o modelo:


Figura 4.19: Ajuste do modelo SIR com parâmetro β ≈ 1.45, em semanas, estimado via MCMC através dedados reais de notificação de Dengue para a cidade de São Paulo em 2014

O modelo ajusta-se bem aos dados, porém não consegue pegar o pico da incidência da doença.

A convergência do ajuste pode ser avaliada através do gráfico abaixo, onde vemos que aproxima-

damente na iteração 1.000 o valor de β em semanas converge para um intervalo entre 1.35 e 1.55 e

permanece nesse intervalo de valores.

Figura 4.20: Convergência dos valores do parâmetro β no ajuste via MCMC utilizando dados reais denotificação de Dengue para a cidade de São Paulo em 2014

2013

Para o ajuste do β para São Paulo em 2013, utilizamos o número de infectados iniciais como 31,

que é o número de infectados na primeira semana de 2013 para a cidade de São Paulo. Realizando

o ajuste, foi encontrado β ≈ 1.18 em semanas, conforme a figura 4.22, que, conforme esperado, é

menor do que o β de 2014. Com esse ajuste, obtemos o seguinte resultado para o modelo:


Figura 4.21: Ajuste do modelo SIR com parâmetro β ≈ 1.18, em semanas, estimado via MCMC através dedados reais de notificação de Dengue para a cidade de São Paulo em 2013

O modelo não se ajusta bem ao pico na curva da distribuição dos dados e fica mais próximo

dos dados nas semanas com pouca incidência da doença. Portanto, além de se obter um valor de

β inferior, o ajuste do modelo também apresentou qualidade inferior à de 2014. Apesar disto, o

ajuste mostrou-se convergente também, conforme gráfico abaixo, onde rapidamente o valor de β em

semanas converge para o intervalo entre 1.1 e 1.3.

Figura 4.22: Convergência dos valores do parâmetro β no ajuste via MCMC utilizando dados reais denotificação de Dengue para a cidade de São Paulo em 2013

Para tentar obter um ajuste mais eficiente e facilitar a comparação entre os anos de 2013 e 2014,

vamos considerar, para o ajuste do ano de 2013, apenas as semanas de 1 a 35, já que, a partir da

semana 35, o número de casos da doença mantém-se baixo e pode gerar uma aproximação tendendo

para os valores de baixa incidência que aparecem em maior quantidade.

Considerando apenas as semanas de 1 a 35, obtemos β ≈ 1.3 em semanas, conforme a figura 4.24,

e o seguinte resultado para o modelo:


Figura 4.23: Ajuste do modelo SIR com parâmetro β ≈ 1.3, em semanas, estimado via MCMC através dedados reais de notificação de Dengue para a cidade de São Paulo em 2013, considerando apenas as semanasde 1 a 35

Portanto, considerando apenas as semanas de 1 a 35, além de obter um valor de β superior,

nota-se um ajuste melhor do modelo aos dados. A convergência do ajuste se mantém, conforme

figura abaixo, já que o valor de β em semanas converge rapidamente para o intervalo de 1.2 a 1.4 e

permanece nesse intervalo de valores.

Figura 4.24: Convergência dos valores do parâmetro β no ajuste via MCMC utilizando dados reais denotificação de Dengue para a cidade de São Paulo em 2013 considerando apenas as semanas de 1 a 35

4.4.2 Vitória

Para Vitória, consideramos os dados de incidência da Dengue em 2013, da semana 1 a 52 do

ano. Consideramos a população como 327.801 e o número de infectados inicial como 302, que é a

quantidade de infectados na primeira semana de 2013 para Vitória [25]. O surto desse ano em Vitória,

representado pela figura 4.25, é interessante pois difere dos dados de São Paulo, apresentando uma

grande quantidade de casos na primeira semana do ano, o que indica que o surto começou no fim


do ano anterior.

Figura 4.25: Distribuição de casos de notificação de Dengue para a cidade de Vitória em 2013

Nota-se que a distribuição dos casos não forma uma curva com alto pico como no caso de São

Paulo em 2014.

Realizando o ajuste de β, foi encontrado, dado em semanas, β ≈ 1.16, conforme 4.27. Conforme

esperado, o valor de β é menor do que no caso de São Paulo. Com esse ajuste, obtemos o seguinte

resultado para o modelo:

Figura 4.26: Ajuste do modelo SIR com parâmetro β ≈ 1.16, em semanas, estimado via MCMC através dedados reais de notificação de Dengue para a cidade de Vitória em 2013

A convergência do ajuste pode ser avaliada através do gráfico abaixo, onde vemos que rapida-

mente o valor de β, dado em semanas, converge para um intervalo entre 1 e 1.3 e permanence nesse

intervalo de valores.


Figura 4.27: Convergência dos valores do parâmetro β no ajuste via MCMC utilizando dados reais denotificação de Dengue para a cidade de Vitória em 2013

4.4.3 Belo Horizonte

Para Belo Horizonte, consideramos os dados de incidência da Dengue em 2013, da semana 1 a

52 do ano. Consideramos a população como 2.375.151 e o número de infectados inicial como 101,

que é a quantidade de infectados na primeira semana de 2013 para Belo Horizonte [25].

A distribuição dos casos em Belo Horizonte, ao longo do ano, é dada por:

Figura 4.28: Distribuição de casos de notificação de Dengue para a cidade de Belo Horizonte em 2013

Nota-se que a distribuição dos casos forma uma curva com pico alto, passando de 16.000 casos

na semana 14, indicando um surto forte.

Realizando o ajuste de β, foi encontrado, em semanas, β ≈ 1.49, conforme a figura 4.30. Con-

forme esperado, o valor de β é bem maior do que no caso de Vitória. Com esse ajuste, obtemos o

seguinte resultado para o modelo:


Figura 4.29: Ajuste do modelo SIR com parâmetro β ≈ 1.49, em semanas, estimado via MCMC através dedados reais de notificação de Dengue para a cidade de Belo Horizonte em 2013

O modelo, nesse caso, aproxima bem a dinâmica da doença. A convergência do ajuste pode ser

verificada no gráfico abaixo, onde o valor de β, dado em semanas, que foi iniciado em 2, primei-

ramente cai até perto de 1 e depois volta a subir, se mantendo, a partir da iteração 2000, em um

intervalo entre 1.4 e 1.6.

Figura 4.30: Convergência dos valores do parâmetro β no ajuste via MCMC utilizando dados reais denotificação de Dengue para a cidade de Belo Horizonte em 2013

Capítulo 5

Conclusões

Neste trabalho, estudamos a dinâmica de transmissão da Dengue através de um modelo SIR sem

demografia. Para exemplificar a dinâmica apresentada no modelo, fizemos simulações de valores da

taxa de transmissão, aproximando a solução do modelo através do método de Runge Kutta 4,4. Para

aproximar o modelo à dinâmica real de transmissão da doença, foram feitos ajustes de parâmetros

com dados reais de incidência da doença utilizando o método MCMC.

O modelo SIR, apesar de ser um modelo simplificado, apresentou boa performance para entender

a dinâmica da Dengue, já que foi testado para cidades com perfis epidemiológicos diferentes, obtendo

bons resultados na aproximação. Os resultados dos valores estimados de β indicam que conforme a

incidência da doença aumenta, temos um aumento no valor da taxa de transmissão β. Isto indica,

que conforme a taxa de transmissão da doença aumenta, mantendo fixa a taxa de recuperação, o

poder da infecção é maior e mais pessoas suscetíveis são infectadas.

Além disso, o ajuste foi feito estimando-se apenas o parâmetro β, o que evidência novamente que

o modelo SIR descreve a dinâmica da Dengue de forma realista e que melhores resultados poderiam

ser obtidos estimando-se também o parâmetro γ e os valores iniciais S(0) e I(0).

35

36 CONCLUSÕES 5.0

Referências Bibliográficas

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37

38 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 5.0

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http://www4.ncsu.edu/eos/users/w/white/www/white/ma302/less808.pdf

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http://sherrytowers.com/2014/07/15/markov-chain-monte-carlo-parameter-optimization-method/

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http://www.estatisti.co/2013/09/mcmc-e-inferencia-bayesiana.html

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http://tabnet.datasus.gov.br/cgi/tabcgi.exe?sinannet/cnv/denguebr.def

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https://ww2.ibge.gov.br/censo2010/apps/sinopse/

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jenifer waschburger monich instituto de matemática e estatística...

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