ix workshop de verão em matemática · ix workshop de verão em matemática de 13/fev a 17/fev de...

MAT

Arte: Inspirada em Athos Bulcão, 1984. Painel em azulejos, Residência Celso Kaufman, Brasília - DF (imagem gentilmente cedida pela Fundação Athos Bulcão - www.fundathos.org.br)

IX Workshop de Verãoem Matemática

De 13/fev a 17/fev de 2017

Livro de ResumosBook of Abstracts

XLVI Escola de Verão em Matemática

IX Workshop de Verão em Matemática

Livro de Resumos

Universidade de BrasíliaInstituto de Ciências ExatasDepartamento de MatemáticaCampus Universitário Darcy Ribeiro70910-900 Brasília - DF

XLVI Escola de Verão em MatemáticaIX Workshop de Verão em Matemática

Reitora da Universidade de Brasília: Márcia AbrahãoDiretor do Instituto de Ciências Exatas: Adail de Castro CavalheiroChefe do Departamento de Matemática: Hemar Teixeira GodinhoCoordenadora de Extensão: Regina da Silva Pina NevesCoordenador de Pós-Graduação: Marcelo Fernandes Furtado

Coordenadores da XLVI Escola de Verão em Matemática e do IX Workshop de Verão emMatemática:Leandro Martins CiolettiPaulo Henrique P. da Costa

Coordenadores de Áreas do IX Workshop de Verão em Matemática:Álgebra e Teoria dos Números: Raimundo BastosAnálise: Jaqueline G. MesquitaEducação Matemática: Regina da Silva Pina NevesGeometria: João Paulo dos SantosMatemática Aplicada: Camila de Oliveira VieiraProbabilidade: Ary Vasconcelos MedinoSistemas Dinâmicos: André CaldasTeoria da Computação: Daniele Nantes Sobrinho

Elaboração do Livro de Resumos: Camila de Oliveira VieiraApoio à Elaboração do Livro de Resumos: Wesley Pereira da SilvaProjeto Gráfico da Capa: Janaína Mendes Pereira da Silva

Brasília, fevereiro de 2017.

IX Workshop de Verão em Matemática - MAT/UnB

Prefácio

Caros participantes,

É com enorme prazer que lhes damos as boas-vindas ao IX Workshop de Verão em Matemática,realizado paralelamente aos cursos da Escola de Verão do Departamento de Matemática da Univer-sidade de Brasília.

A Escola de Verão do Departamento de Matemática da Universidade de Brasília foi idealizadano início dos anos 70 e, nestes mais de quarenta anos de tradição, tem fomentado em diversosníveis o intercâmbio científico-cultural entre seus participantes. Estas interações acadêmicas sãofundamentais para o progresso do conhecimento e para propiciar colaborações de pesquisa de valorinestimável. De fato, o Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade de Brasília,atualmente avaliado com nota 7 na CAPES, muito tem se beneficiado de um ambiente acadêmicoativo e produtivo e, de fato, eventos como o Workshop foram importantes para que nosso programade pós-graduação atingisse este nível de excelência.

Neste evento serão promovidas palestras de divulgação científica e minicursos em diferentes áreasde interesse, fornecendo aos participantes da Escola de Verão uma visão diversificada sobre varia-dos tópicos de pesquisa em Matemática, em especial nas áreas de interesse dos pesquisadores doMAT/UnB. O principal objetivo destas atividades consiste no intercâmbio e divulgação de trabalhosdesenvolvidos pelos pesquisadores e estudantes de pós-graduação participantes do evento. Assim,gostaríamos de agradecer todo o suporte e empenho dos subcoordenadores de áreas do Workshop edas secretarias de graduação e de pós-graduação do Departamento de Matemática.

Agradecemos, em especial, o apoio substancial da Universidade de Brasília, da FAP-DF e daCAPES, que nos concederam recursos essenciais para a organização deste evento.

Finalmente, apenas nos resta desejá-los uma excelente estadia em Brasília e na Universidade deBrasília. Assistam a muitas palestras, interajam com várias pessoas, aprendam muita matemática e,acima de tudo, divirtam-se!

Um grande abraço,

Leandro Martins Cioletti e Paulo Henrique P. da CostaCoordenadores do IX Workshop de Verão em MatemáticaCoordenadores da XLVI Escola de Verão do MAT-UnB

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Álgebra e Teoria dos Números

Conjectura de Goldbach sobre anéis de Polinômios

Abílio Lemos ([email protected])Universidade Federal de Viçosa

Resumo. Dizemos que o anel D satisfaz a “Propriedade de Goldbach” se : todo elemento de D[x]de grau d > 1 pode ser escrito como soma de dois irredutíveis em D[x]. Em 1965, Hayes provou queo anel dos inteiros satisfaz a Propriedade de Goldbach, resultado redescoberto por Rattan e Stewartem 1998. Em 2010, Pollack provou que se D é um domínio de integridade que é Noetheriano e possuiinfinitos ideais maximais, então D satisfaz a propriedade de Goldbach.

Definimos R(y) como o número de representações do polinômio mônico f(x) em D[x] de graud > 1 como uma soma de dois polinômios mônicos irredutíveis g(x) e h(x) emD[x], com os coeficientesde g(x) e h(x) limitados em módulo complexo por y. Em 2010, Kozek provou que R(y) é assintóticoa (2y)d−1 quando D é o anel dos inteiros. Em 2014, De Araujo-Lemos provaram que quando D é umanel quadrático complexo, então R(y) é assintótico a (4y)2d−2.

Representações transitivas e fechadas por estado de produtosentrelaçados de grupos abelianos

Alex Carrazedo Dantas ([email protected])Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Campus de Guarapuava

Resumo. Dizemos que um grupo G é transitivo e fechado por estado se existem um subgrupo H deG, com índice finito, e um homomorfismo f : H → G tais que se K ≤ H é normal em G e Kf ≤ K,então K = 1. É conhecido que o lamplighter group Z2 o Z é fechado por estado, mais geral, A o Ztambém o é, onde A é um grupo abeliano finito. Nessa apresentação, vamos mostrar que se A o Bé um produto entrelaçado de grupos abelianos transitivo e fechado por estado, onde B é livre detorção, então A é de torção com expoente finito.

Joint work with Said Najati Sidki.

Referências[1] M. F. Atiyah, Elliptic operators, discrete groups and von Neumamm Algebras, Société

Mathématic de France, (1976), 43-72.

[2] A. C. Dantas and S. N. Sidki, On state-closed representations of restricted wreath productof groups of type Gp,d = CpwrC

d, Journal of Algebra, Accepted, 2017.

[3] A. C. Dantas and S. N. Sidki, On self-similarity of wreath products of abelian groups,Groups, Geometry, and Dynamics, Accepted, 2017.

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[4] R. Grigorchuck and A. Zuk, The Lamplighter group as a group generated by 2-stateautomaton and its spectrum, Geometriae Dedicata, 87 (2001), 209-244.

[5] M. Kambides, P. Silva and B. Steinberg, The spectra of Lamplighter groups end Cayleymachines, Geom. Dedicata, 120 (2006), 193-227.

[6] P. Silva, B. Steinberg, On a class of automata groups generalizing Lamplighter groups, Int.J. Algebra Comut. 15 (2005), 1213-1234.

An explicit family of Um-numbers

Ana Paula Chaves ([email protected])Universidade Federal de Goiás

Abstract. In 1844 Liouville constructed the first example of a transcendent number

` =∞∑n=1

10−n!.

Almost hundred years later K. Mahler [J. Reine Angew. Math. 166, 118–136 (1931; Zbl 0003.15101)]proposed to subdivide the real numbers into four classes, according to their properties of approxima-tion by algebraic numbers. He split the set of transcendental numbers into three disjoint sets, namedS−, T− and U−numbers. The U−numbers generalize the concept of Liouville numbers. LeVequenoticed in [J. Lond. Math. Soc. 28, 220–229 (1953; Zbl 0053.36203)], that the U−numbers can befurther split into the Um classes, according to their properties of approximation of algebraic numberof degree m. In this presentation, we work towards to construct Um numbers as a product of ` withsome algebraic numbers of degree m.

Propriedades homológicas de produto fibra

Dessislava H. Kochloukova ([email protected])Universidade Estadual de Campinas

Resumo. Vamos discutir a Homológica n− (n+1)− (n+2) Conjectura que trata o tipo homológicoFPn de produto fibra de duas sequencias exatas de grupos. Os resultados que serão discutidos foramobtidos junto com Francismar F. Lima durante o doutorado dele no IMECC, UNICAMP.

Identidades de Álgebras Reais Simples com Graduação com Di-visão

Diogo Diniz Pereira da Silva e Silva ([email protected])Universidade Federal de Campina Grande

Resumo. Sejam A e B álgebras reais simples de dimensão finita munidas com uma graduação porum grupo abeliano G. Nesta palestra daremos condições necessárias e suficientes para a coincidência

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das identidades graduadas de A e de B. Para álgebras sobre um corpo algebricamente fechado éconhecido que A e B satisfazem as mesmas identidades graduadas se, e somente se, são isomorfascomo álgebras graduadas. Tamém descreveremos bases para as identidades graduadas e polinômioscentrais graduados de G-graduações com divisão nestas álgebras.

Sequências maximais livres de soma-zero para grupos metací-clicos

Fabio Enrique Brochero Martinez ([email protected])Universidade Federal de Minas Gerais

Resumo. Seja G um grupo não necessariamente abeliano, escrito multiplicativamente. Dizemos queuma subsequencia S de G é livre de soma-zero se nenhuma subsequencia não vazia tem produto 1.Em geral podemos dizer que problema de tipo soma-zero estudam condições para que um sequenciaS de G possua subsequencia com produto 1 satisfazendo alguma propriedade especial. Um exemplode problema de tipo soma-zero é o Teorema de Erdös-Ginzburg-Ziv: Dados 2n− 1 inteiros, podemosescolher n tal que sua soma é divisível por n, ou em linguagem de teoria de grupos, toda sequencia decomprimento 2n−1 em um grupo cíclico com n elementos possui uma subsequencia de comprimenton com produto 1. Neste caso, é fácil verificar que existem sequencias de comprimento 2n− 2 e livresde soma-zero de comprimento n. Nosso trabalho consideramos o grupo metabeliano G tal que Zq ésubgrupo normal (com q primo) tal G/Zq = Zm, e caraterizamos todas as sequencias em G maximaislivres de soma-zero.

Este trabalho é feito em conjunto com Sávio Ribas, (UFMG).

Introdução ao GAP

Igor dos Santos Lima ([email protected])Universidade Federal de Goiás

Ricardo Nunes de Oliveira ([email protected])Universidade Federal de Goiás

Objetivos. Este minicurso visa apresentar algumas aplicações de Teoria de Conjuntos, teoria degrupos e teoria de números utilizando o software livre GAP (Groups, Algorithms and Programming)em ambiente Linux e uma versão interativa para Windows, o GGAP.

Ementa. Tópicos em teoria de conjuntos: operações entre conjuntos. Teoria de grupos: grupos fini-tos, simples, livres, apresentação de grupos e propriedades de grupos. Teoria de números: fatoração,congruência, símbolos de Legendre e reciprocidade quadrática. Teorema do resto chinês. Funçõesφ. de Euler, σ e τ . Instalação do GAP e passos iniciais envolvendo listas e funções. Interações:interação entre o GAP o LATEX, resolução do Cubo de Rubik via GAP. Versão interativa GGAP doGAP aplicada ao ensino de Álgebra.

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Referências[1] Manual do GAP do Prof. Noraí Rocco. Uinversidade de Brasília.

[2] Manual do GAP disponível no site oficial do GAP.

[3] Manual do GAP e GGAP implementado no próprio GAP.

[4] Apostila do minicurso GAP do Prof. Csaba Schneider. Escola de Álgebra. Maringá 2014.

[5] Manual do GGAP do Prof. Igor Lima. Universidade Federal de Goiás/Catalão.

Zeta functions of groups and isospectral pro-p groups

Ilir Snopche ([email protected])Universidade Federal do Rio de Janeiro

Abstract. Let Γ be a finitely generated abstract group or a finitely generated profinite group, andfor n ∈ N, let an(Γ) denote the number of subgroups of index n in Γ. The subgroup zeta function ofΓ is given by the formal Dirichlet series

ζΓ(s) =∞∑n=1

an(Γ)n−s.

We say that two groups H and K are isospectral if their subgroup zeta functions are the same. Inthis talk I will discuss various results about isospectral pro-p groups.

Coberturas de módulos por submódulos cíclicos

Irene Naomi Nakaoka ([email protected])Departamento de MatemáticaUniversidade Estadual de Maringá

Resumo. Dado um módulo M sobre um anel comutativo com identidade, dizemos que um subcon-junto H de M é uma cobertura cíclica de M quando este módulo é a união dos submódulos cíclicos〈h〉, onde h está em H. Tal cobertura é irredundante se nenhum subconjunto próprio de H é umacobertura cíclica de M .

Nessa palestra, discutiremos alguns problemas envolvendo existência e construção de coberturascíclicas irredundantes de módulos, em especial quando o módulo é livre de posto finito sobre um anelartiniano. No caso particular em queM é um módulo livre e finito, discutiremos também o problemade se determinar a menor cardinalidade de uma cobertura cíclica de M .

Esse é um trabalho em conjunto com Otávio J.N.T.N dos Santos.

Sigma-invariantes de grupos de Artin

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Kisnney Emiliano de Almeida ([email protected])Universidade Estadual de Feira de Santana

Resumo. Sigma-invariantes são invariantes geométricos de grupos finitamente gerados que, dentreoutras aplicações, podem ser utilizados para determinar se um dado subgrupo de G que contenhaG′ herda as propriedades de finitude homotópicas e homológicas de G. Os Sigma-invariantes degrupos de Artin ainda não estão totalmente descritos. Apresentaremos avanços já obtidos nessaárea, incluindo alguns resultados recentes.

Path algebra as a left adjoint functor

Kostiantyn Iusenko ([email protected])Universidade de São Paulo

Abstract. Quivers play a fundamental role in the representation theory of algebras. It is well knownthat any finite-dimensional algebra (over an algebraically closed field) is Morita equivalent to thepath algebra of a certain quiver modulo an admissible ideal. We consider intermediate categoriesbetween "quivers"and "elementary algebras"so that the path algebra (viewed as a functor) has aright adjoint.

Based on joint work in progress with John MacQuarrie,(UFMG).

Cocaracteres graduados para a álgebra de Lie W1

Manuela da Silva Souza ([email protected])Universidade Federal da Bahia

Resumo. Com base no trabalho de Freitas, Koshlukov e Krassilnikov “Z−graded identities of the LiealgebraW1” descrevemos os cocaracteres Z−graduados da álgebra de LieW1, a álgebra de derivaçõesde polinômios em uma variável.

Esse trabalho é em colaboração com Gildeane Almeida Duarte.

Produto tensorial de representações primas de grupos quânticos

Matheus Brito ([email protected])Universidade Federal do Paraná

Resumo. Nesta palestra discutiremos sobre objetos primos na categoria de representações de di-mensão finita de álgebras afim quantizadas. Para certas subcategorias, classificamos tais objetos efornecemos condições necessárias e suficientes para o produto tensorial de dois tais objetos ser ir-redutível. Além disso, no caso que for redutível, provamos que sua sequência de Jorda-Holder temcomprimento 2 e descrevemos explicitamente seus fatores.

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Partial cohomology of groups

Nicola Sambonet ([email protected])Universidade de São Paulo

Abstract. Many classical concepts find an analogue in the theory of partial actions of groups.Nonetheless, the partial counterpart of a notion could exhibit unexpected features. We describesome elements of cohomology in this new framework.

Resultados recentes sobre zeros p-ádicos de polinômios diago-nais

Paulo Henrique de Azevedo Rodrigues ([email protected])Universidade Federal de Goiás

Resumo. Nesta apresentação trataremos sobre zeros de polinômios diagonais sobre o corpo dosnumeros p-ádicos, exibindo algumas técnicas recentes e releituras de métodos clássicos para garantira existência de soluções tanto de equações diagonais como de sistemas de tais equações. Em algunscasmos mostraremos que os resultados são os melhores possíveis.

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Análise

A sharp Adams type inequality for weighted Sobolev spacesincluding fractional dimensions

Abiel Costa Macedo ([email protected])Universidade Federal de Goiás

Abstract. In this work we derive a sharp Adams type inequality for weighted sobolev space andthe best constant for some Hardy Inequality in the fractional case. The inequalities we obtain hereextend for fractional dimensions the classical results in the radial case. The first derivative case wasextended by Oliveira and do Ó [3].

References[1] Adams, D. R.: A sharp inequality of J. Moser for higher order derivatives. Ann. Math. 128,

385–398 (1988).

[2] P. Clément, D. G. de Figueiredo, E. Mitidieri, Quasilinear elliptic equations with critical expo-nents, Topol. Methods Nonlinear Anal. 7 (1996), 133–170.

[3] J. F. de Oliveira, J. M. do O, Trudinger-Moser type inequalities for weighted sobolev spacesinvolving fractional dimensions, Proceedings of the American Mathematical Society, vol. 142(2014), 2813–2828.

[4] A. Kufner, B. Opic, Hardy–type Inequalities, Pitman Res. Notes in Math., vol. 219, LongmanScientific and Technical, Harlow, (1990).

Asymptotic behavior of the Schrödinger-Debye system with re-fractive index of square wave amplitude

Adán J. Corcho ([email protected])Universidade Federal do Rio de Janeiro

Abstract. We consider (uτ , vτ ) ∈ H1 ×H1 solutions of the focusing one-dimensional Schrödinger-Debye system with small response time (0 < τ 1) and data (uτ0 , vτ0) uniformly bounded in H1×L2

and verifying that uτ0H1

−→ u0 as τ tends to 0. We prove that (uτ , vτ ) converge to (u,−|u|2) in thespace L∞[0,T ]L

2x×L1

[0,T ]L2x, when τ tends to zero, where u is the solution of the classical one-dimensional

cubic nonlinear Schrödinger equation with initial data u0. Furthermore, under certain compatibility

conditions for initial data we prove the convergence vτL∞T L

2x−−−→ −|u|2. Our results improve the previous

ones obtained by B. Bidégaray in 1998 (see Advances in Differential Equations Vol. 3, Number 3,1998).

This a joint work with Juan Carlos Cordero (Universidad Nacional de Colombia - Sede Manizales).

Invertibility of nonsmooth mappings

Adilson Eduardo Presoto ([email protected])Universidade Federal de São Carlos

Abstract. Let F : RN → RN be a locally Lipschitz continuous function. We prove that F is a globalhomeomorphism or only injective, under suitable assumptions on the subdifferential ∂F (x). We usevariational methods, nonsmooth inverse function theorem and extensions of the Hadamard-LevyTheorem. We also address questions on the Markus-Yamabe conjecture.

Positive Solution of Null Mass Nonlinear Field equation in Ex-terior Domains

Alireza Khatib ([email protected])Universidade de Brasília

Abstract. We will present some recent results, part of my doctorate thesis, on the existence of apositive solution for the following class of elliptic problems

−∆u = f(u), in Ω, u ∈ H10 (Ω),

where Ω is an unbounded domain in RN not necessarily symmetric, N ≥ 3, with smooth boundary∂Ω 6= ∅ bounded, and such that RN \ Ω is bounded. The non-linearity f is super-critical at zeroand superquadratic and subcritical at infinity. This result is established via a linking argument onthe Nehari manifold and by means of a barycenter function. We give a brief overview of the Orliczspaces involved.

This is a work in collaboration with my advisor Professor Liliane A. Maia.

On a class of bi-nonlocal problems with critical growth in Sobolevspaces with variable exponent

Augusto César dos Reis Costa ([email protected])Universidade Federal do Pará

Abstract. We study existence and multiplicity of solutions of nonlocal p(x)-Kirchhoff equationswith critical exponent, involving an additional nonlocal term. Our result is related to the problemsof Dirichlet and Neumann. We use the concentration compactness principle of P.L. Lions, to thevariable exponent spaces, extended by Bonder and Silva [1], and it’s version from the point of viewof the trace, due to Bonder, Saintier and Silva [2].

References[1] J.F. Bonder and A. Silva, The concentration compactness principle for variable exponent spaces

and application, Electron. J. Differential Equations, Vol. 2010, no. 141, 1-18.

[2] J.F. Bonder, N. Saintier and A. Silva, On the Sobolev trace theorem for variable exponentspaces in the critical range, Ann. Mat. Pura Appl., (4), 193 (2014), 1607-1628.

Nonquadraticity conditions at infinity

Edcarlos Domingos da Silva ([email protected])Universidade Federal de Goiás

Abstract. In this talk we consider some elliptic problems using the nonquadraticity condition atinfinity proving existence and multiplicity results. The main novel here is to ensure the compactnesscondition using the nonquadraticiy condition on the nonlinear term.

Regularity theory for mean-field games systems

Edgard Pimentel ([email protected])Pontificia Universidade Católica, Rio de Janeiro

Abstract. In this talk, we discuss the existence of smooth solutions (u,m) for the following mean-field games problem

−ut + H(x,Du) = ∆u + g[m] in Td × (0, T )

mt − div(DpH(Du)m) = ∆m in Td × (0, T ),

under certain assumptions on the Hamiltonian H : Td × Rd → R and the mean-field hypothesisg : R→ R. Our reasoning relies on a number of a priori estimates for the solutions of an approximateproblem; such estimates depend intrinsically on the various formulations of the coupling g, as well ason the growth regime of H. We also present a few results regarding the elliptic (stationary) versionof this system. To conclude the talk, we discuss some work in progress and various open problemsin the field.

Uma versão do Teorema de Massera para funções definidas emescalas temporais

Eduard Toon ([email protected])Universidade Federal de Juiz de Fora

Resumo. No presente trabalho apresentaremos uma versão de um teorema do tipo Massera parafunções definidas em escalas temporais, isto é, buscaremos condições para obtenção de soluçõesperiódicas para equações dinâmicas em escalas temporais. Além disso, mostraremos que toda solução

quase-periódica é na verdade periódica, desde que o lado direito da equação dinâmica seja uma funçãoperiódica.

Existência de solução para equação de Schrödinger com poten-cial Periódico

Everaldo Medeiros ([email protected])Universidade Federal da Paraíba

Resumo. Nesta palestra apresentaremos alguns resultados de existência de solução para uma classede equações de Schrödinger cujo potencial e período com zero pertencente a fronteira do gap espectral.

Some results of analyticity and regularity for second order dif-ference equations

Filipe Dantas dos Santos ([email protected])Universidade Federal de Sergipe

Abstract. We will develop a theory of analyticity for second order equations in discrete time and,from the obtained results, we will give a characterization to the problem of maximal regularity in `pspaces, with p ∈ (1,∞).

Existence and asymptotic behavior of solutions to α-Navier-Stokes-Vlasov equations

Gabriela Planas ([email protected])Universidade Estadual de Campinas

Abstract. In this talk we consider the α-Navier-Stokes equations coupled with a Vlasov typeequation to model the flow of an incompressible fluid containing small particles. We prove the globalexistence of weak solutions to the coupled system subject to periodic boundary conditions. We alsodiscuss the convergence of its solutions to that of the Navier-Stokes-Vlasov equations when α tendsto zero.

Joint work with Cristyan Pinheiro (Unicamp).

Existence of ground state solutions to Dirac equations with van-ishing potentials at infinity

Giovany Figueiredo ([email protected])Universidade de Brasília

Abstract. In this work we study the existence of ground-state solutions of Dirac equations withpotentials which are allowed to vanish at infinity. The approach is based on minimization of theenergy functional over a generalized Nehari set. Some conditions on the potentials are given in orderto overcome the lack of compactness.

References[1] Alves, C.O., Souto, M.A., Existence of solutions for a class of nonlinear Schrödinger equations

with potential vanishing at infinity, J. Differential Equations, 254 (2) (2013), 1977-1991.

[2] Barile, S., Figueiredo, G.M., Existence of least energy positive, negative and nodal solutionsfor a class of p&q-problems with potentials vanishing at infinity, J. Mat. Anal. Appl., 427 (2)(2015), 1205 - 1233.

[3] Bartsch, T., Ding, Y., Solutions of nonlinear Dirac equations, J. Differential Equations, 226(2006), 210 - 249.

[4] Del Pino, M., Felmer, P. Local mountain pass for semilinear elliptic problems in unboundeddomains, Calc. Var. Partial Differential Equations, 4 (1996), 121 - 137.

[5] Ding, Y., Variational methods for strongly indefinite problems, Reviews in MathematicalPhysics, 24 (10), (2012).

[6] Ding, Y., Liu, X., On semiclassical ground states of a nonlinear Dirac equation, Interdisci-plinary mathematical sciences, Vol - 7, World Scientific, (2007).

[7] Ding, Y., Liu, X., Semi-classical limits of ground states of a nonlinear Dirac equation, J.Differential Equations, 252, (2012), 4962 - 4987.

[8] Ding, Y., Ruf, B., Solutions of a nonlinear Dirac equation with external fields, Arch. RationalMech. Anal, 190 (2008), 1007 - 1032.

[9] Ding, Y., Xu, T., Localized concentration of semi-classical states for nonlinear Dirac equations,Arch. Rational Mech. Anal, 216 (2015), 415 - 447.

[10] Esteban, M., Séré, E., Stationary states of the nonlinear Dirac equation: A variational ap-proach, Comm. Math. Phys. (1995), 323 - 350.

[11] F. Merle, Existence of stationary states for Dirac equations, J. Differential Equations, 74,(1988), 50-68.

[12] Nezza, E., Palatucci, G., Valdinoci, E. Hitchhiker’s guide to the fractional Sobolev spaces, Bull.Sci. Math., 136, (2012), 521 - 573.

[13] A. Pankov, On decay of solutions to nonlinear Schrödinger equations, Proc. Amer. Math. Soc.,136, (2008), 2565?2570.

[14] Rabinowitz, P. H., On a class of nonlinear Schrödinger equations, ZAMP, 43, (1992), 270 - 291.

[15] Szulkin, A., Weth, T., The method of Nehari manifold, Handbook of nonconvex analysis andapplications, Int. Press., Somerville, (2010, 597 - 632.

[16] Willem, M., Minimax methods , Handbook of nonconvex analysis and applications, Int. Press.,Somerville, (2010, 597 - 632.

[17] Zhang, J., Tang, X., Zhang W., Ground state solutions for nonperiodic Dirac equation withsuperquadratic nonlinearity, J. Math. Phys., 54 (2013), 101502.

[18] Zhang, J., Tang, X., Zhang W., On ground state solutions for superlinear Dirac equation, ActaMathematica Scientia, 34B, (2014), 840 - 850.

Semigroups on time scales and applications to abstract Cauchyproblems

Jaqueline Godoy Mesquita ([email protected])Universidade de Brasília

Abstract. In this paper, we introduce a definition of C0-semigroup on time scales, which unifies thecontinuous, discrete and the cases in “between”. Also, it extends the classical theory of operator semi-groups to the quantum case. We study the relationship between the semigroup and its infinitesimalgenerator. We apply our theory to study the homogeneous and non homogeneous abstract Cauchyproblem in Banach and Fréchet spaces. Finally, we present some examples to illustrate this newconcept on a wide class of time scales.

It is a joint work with Carlos Lizama and Hernán Henríquez.

A non-periodic and asymptotically linear indefinite variationalproblem in RN

José Carlos de Oliveira Junior ([email protected])Universidade Federal do Tocantins

Abstract. We consider the nonlinear Schrödinger equation

−∆u+ V (x)u = f(u),

in RN , where V changes sign and f is an asymptotically linear function at infinity, with V non-periodic in x. The existence of a solution is established employing spectral theory, a classical linkingtheorem, interaction between translated solutions of the problem at infinity.

References[1] A. Azzollini and A. Pomponio, On the Schrödinger equation in RN under the effect of a general

nonlinear term, Indiana University Mathematics Journal, 58 (2009), 1361–1378.

[2] D.G. Costa and H. Tehrani, Existence and multiplicity results for a class of Schrödingerequations with indefinite nonlinearities, Adv. Difference Equation, 8 (2003), 1319–1340.

[3] L. Jeanjean, K. Tanaka, A positive solution for an asymptotically linear elliptic problem onRN autonomous at infinity, ESAIM Control Optim. Calc. Var., 7 (2002), 597–614.

[4] L.A Maia, J.C. Oliveira Junior and R. Ruviaro, A non periodic and asymptotically linearindefinite variational problem in RN , Indiana University Mathematics Journal, 66, issue 1(2017).

[5] A. A. Pankov, Periodic nonlinear Schrödinger equation with application to photonic crystals,Milan J. Math., 73 (2005), 259–287.

[6] A. Szulkin and T. Weth, Ground state solutions for some indefinite variational problems, J.Func. Anal., 257 (2009), 3802–3822.

Longtime behavior of reaction-diffusion equations with infinite-time blow-up

Juliana Pimentel ([email protected])Universidade Federal do ABC

Abstract. We account for the longtime behavior of solutions for a class of reaction-diffusion equa-tions. In particular, we address those with global well-posedness but exhibiting blow-up in infinitetime. The existence of unbounded trajectories requires the introduction of some objects interpretedas equilibria at infinity, yielding a more complex orbit structure than that appearing on dissipa-tive systems. Under this setting, we still manage to extend known results and obtain a completedecomposition for the related unbounded global attractor.

This is based on joint works withC. Rocha and A. N. Carvalho.

Método da Variedade de Nehari e o Quociente de Rayleigh NãoLinear

Kaye Oliveira da Silva ([email protected])Universidade Federal de Goiânia

Resumo. Apresentaremos o quociente de Rayleigh não linear e os valores extremais para as var-iedades de Nehari. Os valores extremais esão relacionados com a aplicabilidade do método da var-iedade de Nehari. Estudos em casos onde o método da variedade de Nehari não pode ser aplicadotambém são considerados.

Referências[1] Y. Il’yasov, On extreme values of Nehari manifold method via nonlinear Rayleigh’s quotient,

Topological Methods Nonlinear Analysis, 6 (2017), 1-31.

Regularity theory and global existence of small data solutionsto semi-linear de Sitter models with power non-linearity

Marcelo Rempel Ebert ([email protected])Universidade de São Paulo

Abstract. In this talk we discuss the Cauchy problem for semi-linear de Sitter models with powernon-linearity. The model of interest is

φtt − e−2t∆φ+ nφt +m2φ = |φ|p, (t, x) ∈ (0,∞)× Rn,

(φ(0, x), φt(0, x)) = (f(x), g(x)), x ∈ Rn,(1)

where p > 1, n is the spatial dimension and m2 is a non-negative constant. This model describes thede Sitter model for the expansion of the universe. We study the global (in time) existence of smalldata solutions. In particular, we show the interplay between the power p, admissible data spaces andadmissible spaces of solutions (in weak sense, in sense of energy solutions or in classical sense).

This is a joint work with Prof. M. Reissig, Technical University Bergakademie Freiberg.

The Generalized Feynman Integral and Applications

Márcia Federson ([email protected])Instituto de Ciências Matemáticas e de ComputaçãoUniversidade de São Paulo, São Carlos

Abstract. The objective of this talk is to present some applications of the generalized Feynmanintegral.

An approach to spatial spread in thin structures

Marcone Correa Pereira ([email protected])Universidade de São Paulo

Abstract. In this talk we discuss an approach to considerer spatial spread in N-dimensional thinstructures. We introduce equations with nonlocal diffusion and defined in tight domains contrastingit with its corresponding local diffusion equation with Neumann and Dirichlet boundary conditions.Here the thin structure effect is modeled by an ε-parameter family of open sets which squeezes to alower dimension open set as ε → 0. The asymptotic behavior of the solutions is analyzed and theresults are compared with classical situations to elliptic equations in thin domains.

Quasilinear elliptic systems with convex-concave singular termsΦ−Laplacian operator

Marcos Leadro Mendes Carvalho ([email protected])Universidade Federal de Goiás

Abstract. This work deals with existence of positive solutions for a class of quasilinear ellipticsystems involving the Φ-Laplacian operator and convex-concave singular terms. Our approach is


based on the generalized Galerkin Method along with perturbartion techniques and comparisonarguments in the setting of Orlicz-Sobolev spaces.

This talk is based on a work in collaboration with Carlos Alberto Santos (UnB) and José Valdogonçalves (UFG).

References[1] Goncalves, J. V., Carvalho, M. L. M., Santos, C. A. P., Quasilinear elliptic systems with

convex-concave singular terms Φ−Laplacian operator, arxiv.org/pdf/1610.02718v1.pdf.

Periodicity and Optimal Harvesting in the Beverton–Holt Pop-ulation Model

Martin Bohner ([email protected])Universidade de Brasília, Missouri S&T

Abstract. We consider the Beverton–Holt population model and let both the carrying capacity andthe inherent growth rate vary periodically. Versions of two so-called Cushing–Henson conjectures arepresented. Dynamic analogues of the Beverton–Holt equation are considered, on arbitrary periodictime scales and also on the quantum time scale. Optimal harvesting policies are presented for thediscrete and the quantum case.

References[1] M. Bohner and S. Streipert. The Beverton–Holt equation with periodic growth rate. Int. J.

Math. Comput., 26(4):1–10, 2015.

[2] M. Bohner and S. Streipert. The Beverton–Holt q-difference equation with periodic growthrate. In Difference equations, discrete dynamical systems, and applications, volume 150 ofSpringer Proc. Math. Stat., pages 3–14, Cham, 2015. Springer. Proceedings of the TwentiethInternational Conference on Difference Equations and Applications, Wuhan, China, 21–25 July2014.

[3] M. Bohner and S. Streipert. The second Cushing–Henson conjecture for the Beverton–Holtq-difference equation. Opuscula Math., 2017. To appear.

[4] M. Bohner and S. Streipert. Optimal harvesting policy for the Beverton–Holt model. Math.Biosci. Eng., 13(4):673–695, 2016.

[5] M. Bohner and S. Streipert. Optimal harvesting policy for the quantum Beverton–Holt model.Math. Morav., 20(2):39–57, 2016.

Solutions for a Schrödinger problem on orlicz sobolev space withassintoptically linear conditions at infinity

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Maxwell Lizete ([email protected])Universidade Federal de Goiás

Abstract. We deal with schrodinger problem Lu = h(x, u) where the h function is “like” s at originand s3 at infinity.

Sobre uma classe de problemas elípticos não isotropicos

Olimpio Miyagaki ([email protected])Universidade Federal de Juiz de Fora

Resumo. Discute-se uma classe de problemas elípticos não isotropicos em Rn, quanto a existência,não existência, fenomenos de concentrações e regularidade e decaimento das soluções. Discute-sea dificuldade em lidar com esses problemas, e possíveis contornos para resolvê-los. O conteúdo dapalestra serão extraídos dos artigos em conjunto com C.O.Alves.

Sobre equações diferenciais neutras em medida com retardo in-finito

Patrícia Hilário Tacuri ([email protected])Universidade Estadual Paulista

Resumo. Neste trabalho introduziremos um certo sistema de condições para obter um adequadoespaço de face para as equações diferenciais funcionais neutras em medida com retardo infinito. Emseguida, mostraremos resultados de existência e unicidade das soluções, assim como dependênciadas soluções em relação aos parâmetros, uma vez que obtém-se a correspondência das soluções dasequações em questão com soluções de uma classe de EDO generalizadas.

Elliptic Systems under superlinear assumption just in some partof the domain

Pedro Ubilla ([email protected])Universidad de Santiago de Chile

Abstract. Using a priori bound techniques we study existence of positive solutions of the ellipticsystem:

−div(|x|α1∇u) = |x|β1f(|x|, u, v) x ∈ B,−div(|x|α2∇v) = |x|β2g(|x|, u, v) x ∈ B,u(x) = 0 = v(x), x ∈ ∂B .

where B is the unitary ball centered at the origin. Assuming that f, g are nonnegative nonlinearitiesand that f(|x|, u, v)+g(|x|, u, v) is superlinear at 0 and at∞ we establish some results of existence ofone positive solution. As an application we establish two positive solutions for some non-homogeneouselliptic system. The main novelties here are that the nonlinearities could have growth from abovethe critical hyperbole on some part of the domain as well as the local superlinear hypotheses at ∞ .

The study of existence of solutions of the non-linear elliptic systems has been of great interest inrecent years. For this type of result see, among others, [1, 3, 4, 6, 7, 8] and the survey papers [5, 2].

This is joint work with M.A. Souto(UFCG) and P. Cerda(USACH).

References[1] L. Boccardo and D.G. de Figueiredo. Some remarks on a system of quasilinear elliptic equations.

NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl., 9(3) (2002), 309-323.

[2] D. Bonheure, E. Moreira dos Santos and H. Tavares, Hamiltonian elliptic systems: a guide tovariational frameworks. Port. Math. 71 (2014), no. 3-4, 301–395.

[3] Ph. Clément, D.G. de Figueiredo and E. Mitidieri. Positive solutions of semilinear ellipticsystems. Comm. Partial Differential Equations, 17 (1992), 923-940.

[4] D.G. de Figueiredo. Positive solutions of semilinear elliptic equations. Springer Lecture Notesin Mathematics 957 (1982), 34-87.

[5] D.G. de Figueiredo. Semilinear elliptic systems: a survey of superlinear problems. Resenhas,2(4) (1996), 373-391.

[6] D.G. de Figueiredo and P.L. Felmer. On superquadratic elliptic systems. Trans. Amer. Math.Soc., 343 (1994), 99-116.

[7] D.G. de Figueiredo and C.A. Magalhaes. On nonquadratic hamiltonian elliptic systems. Ad-vances Differential Equations, 1(5) (1996), 881-898.

[8] P. Felmer, R.F. Manásevich and F. de Thélin. Existence and uniqueness of positive solutionsfor certain quasilinear elliptic systems. Comm. Partial Differential Equations, 17 (1992), 2013-2029.

On General Properties of N-th order Retarded Functional Dif-ferential Equations

Pierluigi Benevieri ([email protected])Instituto de Matemática e EstatísticaUniversidade de São Paulo

Abstract. Consider the second order RFDE (retarded functional differential equation) x′′(t) =f(t, xt), where f is a continuous real-valued function defined on the Banach space R×C1([−r, 0],R).The weak assumption of continuity on f (due to the strong topology of C1([−r, 0],R)) makes notconvenient to transform this equation into a first order RFDE of the type z′(t) = g(t, zt). In fact, inthis case, the associated R2-valued function g could be discontinuous (with the C0-topology) and, inaddition, not necessarily defined on the whole space R×C([−r, 0],R2). Consequently, in spite of whathappens for ODEs, the classical results regarding existence, uniqueness, and continuous dependenceon data for first order RFDEs could not apply.

Motivated by this obstruction, we provide results regarding general properties, such as ex-istence, uniqueness, continuous dependence on data and continuation of solutions of RFDEs of

the type x(n)(t) = f(t, xt), where f is an Rk-valued continuous function on the Banach spaceR × C(n−1)([−r, 0],Rk). Actually, for the sake of generality, our investigation will be carried outin the case of infinite delay.

Existence and nonexistence of solutions of an asymptoticallylinear Klein-Gordon equation

Raquel Lehrer ([email protected])Universidade Estadual do Oeste do Paraná

Abstract. In this talk we will present a study of a nonlinear Klein-Gordon equation when thenonlinear term is asymptotic linear at infinity. We used the Pohozaev manifold to separate a subspaceof H1(Rn) on a global existence region and a blow up region.

References[1] Carrião, P. C., Lehrer, R., Vicente, A.,Existence and nonexistence of solutions of asymptotically

linear Klein-Gordon equation, Electronic Journal of Differential Equations, 2016.

The p-laplacian operator on thin domains: Neumann x Dirichletboundary conditions

Ricardo Parreira da Silva ([email protected])Universidade de Brasília

Abstract. The limiting behavior of solutions of a quasilinear elliptic equation on thin domainsis investigated. The boundary conditions play an important role: If one considers homogeneousDirichlet boundary conditions the sequence of solutions will converges to the null function, whereas,if one considers Neumann boundary conditions there is a non trivial equation which determines thelimiting behavior.

References[1] R.P. Silva, A note on resolvent convergence on a thin domain, Bulletin of the Australian

Mathematical Society, 89, (01), 141–148, (2014).

[2] M.C. Pereira, R.P. Silva, Remarks on the p-laplacian on thin domains, Contributions to Nonlin-ear Elliptic Equations and Systems - A Tribute to Djairo Guedes de Figueiredo on the occasionof his 80th birthday, Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, v.86,Birkhauser-Springer, 389-403, (2015).

[3] R.P. Silva, Global attractors for parabolic equations governed by the p-laplacian on unboundedthin domains, Monatshefte fur Mathematik, v. 180, (3), 649-660, (2016).


Pseudodifferential operators, Rellich-Kondrachov theorem andSobolev-Hardy spaces

Tiago H. Picon ([email protected])Faculdade de Filosofia, Ciências e Letras de Ribeirão PretoUniversidade de São Paulo, Ribeirão Preto

Abstract. In this talk, we present a version of the Rellich-Kondrachov theorem for pseudodifferentialoperators acting on localizable Hardy spaces hp(RN). Part of the techniques includes boundednessproperties for pseudodifferential operators with symbols in the Hörmander class Smρ,δ(RN) on hp(RN),extending results previously obtained by Goldberg, Álvarez and Hounie, Taylor – among others. Asapplication, we obtain compact embedding results for distributions in the nonhomogeneous localizableSobolev-Hardy spaces hα,pc (B).

This is joint work with Gustavo Hoepfner (UFSCar) and Rafael Kapp (UFSCar).

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Educação Matemática

Uma experiência de uso da plataforma khan academy na edu-cação de jovens e adultos.

Ana Gabriella de Oliveira Sardinha ([email protected])Secretaria de Estado de Educação do Distrito Federal

Resumo. Ser educador requer a habilidade de conseguir diagnosticar cotidianamente a realidadedos estudantes, de planejar o ensino de forma que facilite a aprendizagem e de modo que favoreça aemancipação e a transformação dos sujeitos envolvidos no processo. A rotina de ensinar matemáticapara uma turma de 5o ano do ensino fundamental não é nada fácil, e em se tratando da realidade dosestudantes da Educação de Jovens e Adultos (EJA), este processo se torna ainda mais difícil. O alunodo 5o ano da EJA é proveniente de processo de marginalização escolar. Desse grupo, os mais experi-entes, tiveram que abandonar os estudos para sustentar a família. Os mais jovens mantiveram-se naescola, porém foram reprimidos pelo sistema. Primeiro com as reprovações, depois com a mudança deturno. Hora aquele aluno estava no matutino, depois no vespertino e quando completado quinze anossão atirados na EJA, como sendo “refugo” do período diurno. Iniciando-se o semestre, geralmentesão quarenta e cinco estudantes em uma turma. A maioria já tiveram suas más experiências comalgum professor de matemática e, por isso, inconscientemente “detestam” essa disciplina. E, ao finaldo primeiro mês, restam sete. O que fazer para manter a turma unida até o fim? A ideia foi usar aplataforma Khan Academy.

Palavras-chave: Educador Matemático. EJA, Khan Academy.

Referências[1] LIMA, Francisco José de. Docência em matemática e formação em serviço: um estudo

sobre a epistemologia da prática em torno do conceito de professor reflexivo. 2013. 150f. Dis-sertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática) – Centro de Ciências, UniversidadeFederal do Ceará,Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática, Fortaleza,2013.

[2] MARIA DA CONCEIÇÃO, F. R. Educação Matemática de Jovens e Adultos-Especificidades, desafios e contribuições. Autêntica, 2016.

[3] KHAN, Salman. Um mundo, uma escola. Editora Intrínseca, 2013.

[4] MENEGAIS, Denice Aparecida Fontana Nisxota. A formação continuada de professo-res de matemática: uma inserção tecnológica da plataforma khan academy na prática docente.2015. 201f. Tese (Doutorado)- Centro de Estudos Interdisciplinares em Novas Tecnologias daEducação. Progama de Pós-Graduação em Informática na Educação. Universidade Federal doRio Grande do Sul, Porto Alegre, RS, 2015.

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Xadrez um estudo sobre matrizez

Bruna Alves Costa (e-mail não informado)Universidade de Brasília

Andreia Júlio de Oliveira Rocha ([email protected])Universidade de Brasília

Resumo. A presente pesquisa apresenta um estudo sobre o processo de ensino aprendizagem deMatrizes, respondendo a seguinte indagação: Quais as possibilidades didáticas da utilização do jogode xadrez no ensino-aprendizagem de matrizes numa turma de 1o ano do ensino Médio de uma escolapública de Ceilândia? Para que tal objetivo fosse alcançado, foi realizada uma pesquisa bibliográ-fica baseada em referencial teórico pertinente ao tema, tendo como objetivo recolher informações ouconhecimentos prévios sobre o problema. Assim como, também foi aplicado um questionário paradocentes de uma escola de ensino médio da cidade satélite de Ceilândia- DF. Concluiu-se, com apesquisa, que a possibilidade didática do xadrez o torna um ótimo motivador educacional, possibili-tando a melhora na assimilação e análise de conteúdos adquiridos em sala. O jogo de xadrez estimulao desenvolvimento de habilidades cerebrais importantes, como: concentração, atenção, julgamento,planejamento, paciência, antecipação, memória, análise, imaginação, criatividade, organização e prin-cipalmente raciocínio lógico e estratégico. Conclui-se, também, que a metodologia apresentada napesquisa pode ser aplicada em todas as séries escolares, pois vários países utilizam essa metodologiaem sala de aula com o objetivo de melhorar o desempenho dos alunos. Essa metodologia tornao aprendizado mais atrativo e receptivo pelos discentes, derrubando várias barreiras entre eles e amatemática.

Palavras-chave: Jogos. Ensino Médio. Matrizes. Xadrez.

Referências[1] OLIVEIRA, M.K. Vygotsky: aprendizado e desenvolvimento: um processo sócio histórico.

São Paulo: Scipione, 2003.

[2] PIAGET, Jean. A formação do símbolo na criança: imitação, jogo e sonho, imagem erepresentação. [tradução Álvaro Cabral, 1975]. 2a ed. Rio de Janeiro: Zahar, 1975. In; PAIM,Liege Marciel Ramos. Contribuição do jogo de xadrez na aprendizagem de matemática nasséries iniciais. Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre 2010.

[3] REZENDE, Sylvio. Xadrez pré-escolar: uma abordagem pedagógica. Rio de Janeiro: EditoraCiência Moderna Ltda, 2005.

[4] VALLE, Adriano. Cartilha da Semana Nacional de Ciência e tecnologia 2015. 1.ed. Brasília,DF. 2015.

[5] VYGOTSKY, L. A formação social da mente. São Paulo: Martins Fontes, 1989.

Geometria espacial com o geogebra 3D

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Bruno Marx de Aquino Braga ([email protected])Instituto Federal de Brasília

Resumo. A oficina tem como proposta explorar e integrar o Geogebra 3D como ferramenta intera-tiva, dotando os participantes de elementos que possam contribuir para uma melhoria e diversificaçãodas suas práticas docentes, particularmente na área das novas tecnologias, para que seja possível pro-porcionar aos alunos condições para o desenvolvimento da sua competência matemática. Durante operíodo de realização da oficina serão trabalhas duas construções geométricas:• Modelagem do preenchimento de uma pirâmide;• Cálculo do volume da pirâmide.Na execução de tais construções, as principais ferramentas do software serão utilizadas, assim oparticipante obterá uma visão ampla do geogebra 3D.

Referências[1] Lima, Elon Lages. Medida e forma em geometria, 4 ed, Rio de janeiro, SBM, 2006.

[2] Nóbriga, Jorge C.C e Araújo, Luis C. L. Aprendendo matemática com o Geogebra, 1ed, São Paulo, Editora Exato, 2010.

[3] Abar, Celina A.A.P. Geogebra na produção do conhecimento matemático, 1 ed, São Paulo,Editora Iglu, 2010.

[4] Borsoi, Caroline. Geogebra 3 D no ensino médio: uma possibilidade para a aprendizagemda geometria espacial, mestrado profissional, UFRS, 2016.

[5] Aranha, Álvaro Z. e Rodrigues, Manoel B. Aranha, Álvaro Z. e Rodrigues, Manoel B.Geometria Espacial volume 1 caderno de atividades, 3 ed, São Paulo, Editora Policarpo, 2010.

Narrativas (auto)biográficas na formação de professores: apren-der e ensinar matemática nos anos iniciais

Cármen Lúcia Brancaglion Passos ([email protected])Universidade Federal de São Carlos

Resumo. Pretende-se debater e apresentar reflexões a respeito da formação matemática de profes-sores que ensinam matemática nos anos iniciais. A partir de uma breve retrospectiva a respeito daformação de professores que atuam nos anos iniciais no Brasil, serão delineadas algumas considera-ções sobre possibilidades e dificuldades de formação nos cursos de Pedagogia. Segundo Gatti (2010),os docentes ocupam, no Brasil, o 3o subconjunto de ocupações, constituem a categoria mais homo-gênea e de maior nível de escolaridade do país (nível médio e superior) e, ainda, 83% dos empregosno magistério estão na esfera pública e 77% dos postos de trabalho são ocupados por mulheres. Poroutro lado, temos vivido tempos de aversão à carreira docente. Os variados aspectos e problemasligados à docência na educação básica e à formação de professores que ensinam matemática nos anosiniciais têm sido estudados, com perspectivas e metodologias diferenciadas. As contribuições dessesestudos são inegáveis e têm guiado a formação inicial e continuada de professores. Focalizaremosa importância da tomada de consciência sobre o que a matemática representou na escolarização de

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futuros professores a partir de escritas narrativas, o ensino de matemática através da resolução deproblemas e de investigações matemáticas e a análise de casos de ensino como importantes elementosna formação matemática de professores dos anos iniciais.

Referências[1] GATTI, B. A. Formação de professores no Brasil: características e problemas. In: Educação

& Sociedade. Campinas, v. 31, n. 113, p. 1355-1379, 2010.

[2] NACARATO, A. M.; MENGALI, B. L. S.; PASSOS, C. L. B. A matemática nos anos ini-ciais do ensino fundamental: tecendo fios do ensinar e do aprender. Belo Horizonte: Autêntica,2011.

[3] NACARATO, A. M. Narrativas (auto)biográficas: artes de conhecer como professores dematemática se constituem profissionalmente. In: SILVA, V. L. G.; CUNHA, J. L. (Org.).Práticas de formação, memória e pesquisa (auto)biográfica. São Paulo: Cultura Acadêmica,2010. p. 131-148.

[4] PASSOS, C. L. B. Narrativas de licenciados de matemática participantes em grupo de estudos.In: In: SILVA, V. L. G.; CUNHA, J. L. (Org.). Práticas de formação, memória e pesquisa(auto)biográfica. São Paulo: Cultura Acadêmica, 2010. p. 149-166.

A Matemática moderna no decênio de 1960 em Brasília-DF

Carmyra Oliveira Batista ([email protected])Grupo COMPASSODFSecretaria de Estado de Educação do Distrito Federal

Mônica Menezes de Souza ([email protected])Grupo COMPASSODFSecretaria de Estado de Educação do Distrito Federal

Edilene Simões Costa dos Santos ([email protected])Grupo COMPASSODFUniversidade Federal do Mato Grosso do Sul

Rosália Policarpo Fagundes de Carvalho ([email protected])Grupo COMPASSODFSecretaria de Estado de Educação do Distrito FederalUniversidade de Integração da Amazônia

Resumo. Trata-se de pesquisa referente a uma história da matemática moderna na educação médiano Distrito Federal-DF. A investigação fundamenta-se em conceitos como apropriação, representa-ção (CHARTIER, 2002), memória (LE GOFF, 2003) e cultura escolar (JULIÁ, 2001) entre outros.Utiliza-se para recolhimento de informações tanto fontes orais como documentos. Tem-se como prin-cipais achados: como no resto do país, poucos professores de matemática tinham formação específica,

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alguns eram engenheiros e arquitetos; a instituição do MMM no DF teve início somente em 1964apesar do congresso realizado em Belém do Pará, no qual foi divulgada a ideia do MMM; não háindícios de participação do DF em tal congresso, no entanto, Osvaldo Sangiorgi veio a Brasília fa-zer propaganda dos seus livros; o grupo de professores que trabalhava na educação média estudoue aplicou livros desse autor de forma que o programa curricular passou a ser o próprio livro. Osprofessores pioneiros no início da capital, ao que tudo indica, adotaram a MM mais pelo sentimentode inovação do que pelo debate e aceitação de seus fundamentos e propósitos. Portanto, o espíritode renovação que impregnava os professores pioneiros fez com que eles abraçassem a MM como ummodelo ideal de ensino.

Palavras-chave: Matemática Moderna-MM. Educação média. História da educação matemática.

Referências[1] CHARTIER, Roger. A História Cultural: entre práticas e representações. 2. ed. Tradução

de Maria Manuela Galhardo. Portugal: DIFEL Difusão Editorial S.A, (2002).

[2] JULIA, Dominique. A cultura escolar como objeto histórico. Revista Brasileira de Históriada Educação, Campinas, n. 1, p. 9-44, (2001).

[3] LE GOFF, Jacques. História e memória. 5. ed. Tradução Bernardo Leitão et al. Campinas:Editora da Unicamp, (2003).

Planejamento de tarefas: caminhos para aprender e ensinarmatemática

Cília Cardoso Rodrigues da Silva ([email protected] )Instituto de Educação da Universidade de Lisboa, Portugal

Lurdes Serrazina (e-mail não informado)Instituto de Educação da Universidade de Lisboa, Portugal

Resumo. A intenção é discutir sobre a importância de planejar tarefas para o aprender e ensinarmatemática com compreensão e significado nos anos iniciais. Esta discussão faz parte do estudo dedoutoramento realizado no Instituto de Educação, Universidade de Lisboa. O tema é a flexibilidadede cálculo mental nas operações de multiplicação e divisão. Para compreender a evolução da flexi-bilidade de cálculo mental em turmas de 4o ano, em duas escolas públicas do Distrito Federal, foinecessário planejar e aplicar tarefas que envolvessem as operações de multiplicação e divisão, consi-derando seus significados e conceitos. A ação de planejar consistiu nos processos de elaborar, validar,selecionar e aplicar as tarefas de acordo com os seguintes aspectos: (i) tema/conteúdo; (ii) naturezada tarefa; (iii) objetivos de aprendizagem; (iv) conhecimentos anteriores necessários; (v) possíveisestratégias dos alunos; (vi) possíveis representações dos alunos; (vii) possíveis dificuldades dos alu-nos na resolução da tarefa; (viii) possibilidades de raciocínio (generalizações e/ou justificações); (ix)organização da sala; (x) recursos; (xi) duração prevista e, (xii) sugestão para exploração da tarefa.Apresento o planejamento de duas tarefas com as estratégias e procedimentos utilizados pelos alunosao resolvê-las.

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Palavras-chave: Tarefa. Multiplicação. Divisão. Planejamento.

Referências[1] Buys, K. Mental arithmetic. In M. van den Heuvel-Panhuizen (Ed.), Children learn mathe-

matics (pp. 121-146). Rotterdam: Sense Publishers,(2001).

[2] Ponte, J. P. El saber y entender de la profesión docente. Estúdios Públicos, n. 99, 2005,Santiago-Chile, 2005. p. 195-224.(2005).

[3] Ponte, J. P., Quaresma, M., & Branco, N. Tarefas de exploração e investigação na aulade Matemática. Educação Matemática em Foco, (2012).

[4] Ponte, J. P. Tarefas. Texto de apoio elaborado no âmbito da disciplina de FDM - Funda-mentos de Didática da Matemática. (28 setembro 2013). Obtido em 20 e janeiro de 2014 emhttp://www.ie.ul.pt.

[5] Threlfall, J. Strategies and flexibility in mental calculation. ZDM Mathematics Education,(2009).

Cálculo no Ensino Médio: uma proposta fundamentada

Daniel Perdigão ([email protected])Universidade de Brasília

Raimundo de Araújo Bastos Júnior (e-mail não informado)Universidade de Brasília

Resumo. Disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral apresentam baixas médias de rendimentoacadêmico no mundo todo, segundo Pyzdrowski e colaboradores (2013). Raros são os professoresque vão além de aulas teóricas baseadas em demonstrações e cobranças de aplicação das regras dederivação e integração em listas de exercícios e avaliações, conforme constata Rezende (2003). O pro-blema se espraia pelo ensino Médio: baixo rendimento em matemática e reduzida contextualização einterdisciplinaridade dos conteúdos. Nosso principal objetivo é propor novo projeto interdisciplinarque relacione conteúdos do Ensino Secundário, tendo como eixo de convergência noções de Cálculo.A interdisciplinaridade, nesse contexto, é uma de muitas formas possíveis de fazer com que os alunosdominem os saberes matemáticos. Entretanto, em Educação, a palavra interdisciplinaridade admitediversas interpretações. Entre os pontos comuns das interpretações, está a visão de complexidade domundo, que só pode ser enfrentada por aqueles que tenham visão interdisciplinar. Em linha com osparâmetros curriculares nacionais em vigor, buscaremos contemplar no estudo de noções de Cálculoum sentido prático para o aluno, limitando-nos a conteúdos já presentes no ensino Médio. O desafio égrande, já que o Cálculo é potencialmente propedêutico, por estar diretamente associado a conteúdostípicos da Educação Superior.

Palavras-chave: Educação matemática. Ensino médio. Cálculo Diferencial e Integral.

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Referências[1] PYZDROWSKI, Laura J.; SUN, Ye; CURTIS, Reagan; MILLER, David; WINN,

Gary; HENSEL, Robin A.M. Readiness and attitudes as indicators for success in collegeCalculus. International Journal of Science and Mathematics Education, n.11, p.529-554, 2013.

[2] REZENDE, Wanderley Moura. O ensino de Cálculo: dificuldades de natureza epistemo-lógica. 2003. 449 f. Tese (Doutorado em Educação). Faculdade de Educação, Universidade deSão Paulo, São Paulo, 2003.

Reflexões sobre a aquisição do letramento estatístico: uma ex-periência no ensino médio.

Diogo Getulio Freire ([email protected])Universidade Federal de Goiás

Resumo. Este trabalho tem o objetivo de investigar e descrever certos cenários de letramento fo-mentados por determinadas práticas de ensino e aprendizagem de estatística na educação básica.Nosso trabalho pretendeu assumir um caráter investigativo que possibilitasse a descrição da dinâ-mica que se ocorre no fenômeno da aquisição de conceitos e procedimentos, no tratamento de dadose informação por parte dos alunos. Propomos ainda uma perspectiva de trabalho que tivesse porescopo a descrição da prática docente submerso nesse processo de mediação. Nossa filiação teóricaé fundamentada nos moldes de uma investigação etnográfica que possa servir de suporte à reflexãosobre a prática docente, além de contemplar aspectos atrelados aos mecanismos de aquisição deliteracia estatística por parte dos alunos. Esperamos contribuir com o fomento de uma narrativaque possibilite um olhar novo sobre o ecossistema escolar e os saberes e fazeres que permeiam esseambiente. Incorporamos, em nosso trabalho, conceitos oriundos de algumas recentes reflexões sobreletramento e letramento estatístico.

Palavras-chave: Cenários de aprendizagem. Etnografia. Letramento estatístico.

Referências[1] ANDRÉ, M. Etnografia da prática escolar. São Paulo: Papirus, 2005.

[2] Gal, I. Adult statistical literacy: meanings, components, responsabilities. International Sta-tistical Review, 70(1), 1-25 (2002).

[3] OTTE, Michael. O formal, o social e o subjetivo: umaintrodução à filosofia e à Didática daMatemática. São Paulo: Editora Unesp, 1993.

[4] SOARES, Magda. Letramento: um tema em três gêneros. Belo Horizonte: Autêntica Editora,(2001).

[5] STREET, B. Dimensões “escondidas” na escrita de artigos acadêmicos. Revista Perspectiva,Florianópolis, v. 28, n. 2, 541-567, jul./dez. (2010b).

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Como usar a contradição na resolução de problemas

Douglas Oliveira de Lima ([email protected])Universidade de Brasília

Vinícius de Carvalho Rispoli (e-mail não informado)Universidade de Brasília

Resumo. É muito comum em matemática usarmos técnicas e métodos para resolver problemas,seja na hora de provar um teorema ou calcular um resultado. Normalmente ensinamos aos nossosalunos como calcular um determinante ou uma área de uma figura, ou multiplicar matrizes atravésde fórmulas previamente estabelecidas para isso, mas existe um outro lado da matemática que é maisteórico do que mecânico.Aqui o objetivo principal é entender a estrutura da matemática, para provardeclara ações matemáticas e até para inventar ou descobrir novos teoremas e teorias matemáticas. Namatemática, as técnicas e procedimentos utilizados são fundamentados no lado teórico da matemá-tica. Por exemplo, para calcular a área sob uma curva, utiliza-se o teorema fundamental de cálculo.Só encontramos a resposta correta porque este teorema é verdadeiro. No entanto, no cálculo deaprendizagem, provavelmente, a preocupação é muito mais em relação a como esse teorema poderiaser aplicado do que em compreender por que é verdade. Mas como sabemos que é verdade? Comopodemos convencer a nós mesmos ou a outros da sua validade? Questões desta natureza pertencemao domínio teórico da matemática. Existem alguns tipos de provas em matemática. Nesse trabalhovamos nos ater ao uso da prova por contradição, ou Reductio ad Absurdum. . Este método nãose limita a provar apenas declarações condicionais, ele pode ser usado para provar qualquer tipo dedeclaração. A ideia básica é assumir que a armação que queremos provar é falsa, e então mostrarque esta suposição leva ao absurdo.

Palavras-chave: Contradição. Absurdo. Reductio Ad Absurdum.

Referências[1] MASLOV, S.Yu. (originator) Reductio ad absurdum.

[2] MEDEIROS, M. da P. N. A prova por redução ao absurdo na lógica clássica.

[3] LARRY W. Cusick’s How To Write Proofs

Os conceitos de isometria no ensino e aprendizagem de mate-mática.

Edson Ferreira da Costa Junior ([email protected])Universidade Federal de Goiás

Karly Barbosa Alvarenga ([email protected])Universidade Federal de Goiás

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Resumo. O principal objetivo desse trabalho é apresentar resultados de uma pesquisa bibliográficaque busca desenvolver, baseados na Teoria de Aprendizagem Significativa de Ausubel (MOREIRA,2010), uma metodologia de ensino sobre Isometrias. A isometria é utilizada na computação gráfica,para o movimento da imagem e a construção dos padrões com beleza geométrica. Denominamosestes movimentos como: Isometria de Reflexão Axial, de Translação, de Rotação e de Reflexão comdeslizamento. Quando realizamos movimentos que preservam a forma, as suas características, ângu-los, tamanho e comprimentos de lados, denominamos como Transformações Isométricas. A ideia quenorteia a investigação é a possibilidade de ensino e aprendizagem dessas transformações de formalúdica e significativa, fazendo uso dos conhecimentos prévios, subsunçores, para captar a dinamici-dade, sentido e linguagem dos materiais, de maneira a reorganizar o conhecimento gerando novasaprendizagens. Fundamentamo-nos na ludicidade para registrar, utilizando linguagem matemática,modelando, reorganizando e sistematizando o tema através da manipulação do material. Para o em-basamento matemático do estudo de isometria, focamos em Farmer (1999) e Barbosa (1993). Depoisda análise bibliográfica, criamos o nosso próprio material didático e elaboramos oficinas abordandoestes conceitos de movimentos isométricos desde o ensino fundamental até o ensino superior, de umaforma mais simples até mais complexa. Criamos situações onde os alunos realizam e registram mo-vimentos já propostos ou identificam alguns pré-determinados. O próximo passo é a elaboração deatividades dinâmicas no GeoGebra.

Palavras-chave: Isometrias. Ensino. Matemática.

Referências[1] BARBOSA, R. M. Descobrindo Padrões em Mosaicos. São Paulo: Atual Editora, 1993.

[2] FARMER, D. W. Grupos e Simetria: Um guia para descobrir a matemática. Tradução deCristina Isabel Januário. 1. Ed. Lisboa: Gradiva, 1999. 139 p. Tradução de: Groups andSymmetry: A Guide to Discovering Mathematics. ISBN 972-662-661-7.

[3] MOREIRA, M. A. Aprendizagem significativa crítica. Porto Alegre, RS: UFRGS, (2010).

Vivenciando os efeitos da resolução colaborativa de problemasem uma turma da EJA.

Edson Ferreira da Costa Junior ([email protected])Universidade Federal de Goiás

Raul Rodrigues de Oliveira ([email protected])Universidade Federal de Goiás

Elisabeth Cristina de Faria ([email protected])Universidade Federal de Goiás

Resumo. O principal objetivo deste trabalho é apresentar as atividades desenvolvidas durante oEstágio III e IV em uma turma de EJA, compondo período de observação e intervenção, juntamentecom a aplicação da metodologia, coleta e análise de dados. Durante as observações, notamos a apatia

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de alguns alunos em relação às aulas de matemática, nos levando a utilizar a resolução de problemasem primeiro momento, não sendo suficiente, desenvolvemos e investigamos o trabalho colaborativo,aderindo à pergunta investigativa: que resultados obteremos com o trabalho colaborativo para oaprendizado do aluno da EJA? Nosso principal objetivo é analisar os efeitos do trabalho colaborativona turma. Como referenciais teóricos, nos baseamos em Ambrosetti (2006), Fonseca (2007) e Martins(2013) para compreender as características dos alunos da EJA; Polya (1995) e Torres e Irala (2007)para o trabalho com a resolução de problemas; e Damiani (2008), Tartagiba e Filártiga (2002) paraas componentes do trabalho colaborativo. Utilizamos da metodologia de pesquisa-ação com umaabordagem qualitativa, com foco na autonomia, aprendizagem e colaboração dos alunos. Para a co-leta de dados, os cadernos de campo, os indicadores avaliativos e a ficha de cada uma das atividadestrabalhadas. Como resultados, observamos o desenvolvimento da autonomia e uma postura maisativa nos alunos.

Palavras-chave: EJA. Matemática. Ensino. Trabalho colaborativo.

Referências[1] DAMIANI, M. F. Entendendo o trabalho colaborativo em educação e revelando seus benefícios.

Revista Educar, Curitiba, n.31, p.213-230, 2008.

[2] MARTINS, R. M. K. Pedagogia e andragogia na construção da educação de jovens e adultos.Revista Ed. Popular, Uberlândia, v.12, n.1, p.143-153, 2013.

[3] AMBROSETTI, N. B. O “eu” e o “nós”: Trabalhando com a diversidade em sala de aula. In:ANDRÉ M. (Org.). Pedagogia das diferenças em sala de aula. Campinas, SP: Papirus, 1999.

[4] OLIVEIRA, R. N. M. Formação de professores da EJA na contempora-neidade: exigências, desafios e proposições. In: In: ENCONTRO NACI-ONAL D DIDÁTICA E PRÁTICAS DE ENSINO da UNICAMP, 16., 2012,Campinas. Anais eletrônicos? Campinas: UNICAMP, 2012. Disponível em:http://www.infoteca.inf.br/endipe/smarty/templates/arquivos_template/upload_ arqui-vos/acervo/docs/3323b.pdf. Acesso em: 04 janeiro 2017.

[5] POLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático. 2 ed. -Rio de Janeiro: Interciências, 1995.

[6] FONSECA, M. C. F. R. Educação matemática de jovens e adultos. 2 ed. - Belo Horizonte:Autêntica, 2007.

[7] TORRES, P. L.; IRALA E.A.F. Aprendizagem Colaborativa. In: TORRES, P. L. (Org.).Algumas Vias para Entretecer o Pensar e o Agir. Curitiba: SENAR-PR p.196, 2007.

[8] TARTAGIBA, M. C.; FILÁRTIGA V. Vivendo e aprendendo com grupos: uma metodologiaconstrutivista de dinâmica de grupo. 2 ed. Rio de Janeiro: DP&A, 2002.

Uma proposta para a formação dos professores de matemática:uso da coletânea LABGG (laboratório no Geogebra) nas escolase universidades

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Eimard Gomes Antunes do Nascimento ([email protected])Universidade de Aveiro – PortugalInvestigador Capes - BrasilIG Fortaleza - Brasil

Resumo. Na era da globalização, observam-se mudanças tecnológicas devido ao seu rápido avançoe, como consequência, cada vez mais cedo, as crianças estão em contato com as tecnologias, fazendocom que os profissionais da educação busquem se posicionar mais rapidamente a respeito de seuuso (VALENTE, 1999; FREIRE, 2005; NASCIMENTO, 2013). O uso de computadores e outrosrecursos tecnológicos (como computadores, celulares, Smartphone, tablets, projetores) nas escolase universidades têm se mostrado muito importante no auxílio educacional, sendo utilizados comorecursos didáticos e tornando-se, cada vez mais, presentes no ambiente educacional. Papert (Mate-mático) defende a pedagogia experimental, na qual, o aluno deva vivenciar cada conteúdo que aprende(FREIRE; PAPERT, 1995). O uso das Tecnologias de Informação e Comunicação (TIC) no contextoescolar e acadêmico necessita ser fortalecido, uma vez que existe uma considerável distância entre osavanços tecnológicos na produção de softwares educacionais e a aceitação, compreensão e utilizaçãodesses mesmos recursos pelos professores. Neste sentido, foi criada, em 2012, a Coletânea LABGG(Laboratório no GeoGebra) com a finalidade de servir como ferramenta pedagógica e tecnológicade apoio para os professores utilizarem em sala de aula, sob uma abordagem construtivista no pro-cesso de possibilidades de estudo e aprendizagem da Matemática e disciplinas afins (NASCIMENTO,2012). A Coletânea foi organizada numa forma estrutural de módulos, em sua forma teórica, queforam transformados em Cursos-Oficinas (C-O) em sua forma prática. Atualmente, esta coletânea étrabalhada com o apoio metodológico da sequência de ensino chamado de EDT (Ensino Dinâmicocom Tecnologia, em desenvolvimento no Doutorado) para orientar os professores sobre como utilizara Coletânea LABGG para uma utilização do software GeoGebra de forma dinâmica e interativa. Suaoperacionalização se efetiva através de módulos de Ensino-Aprendizagem (EA) relativos aos assuntosprescritos na integração curricular e do projeto pedagógico.

Palavras-chave: Coletânea LABGG. Educação Matemática. Formação de Professores. GeoGebra.Tecnologia e Matemática.

Referências[1] FREIRE, P. Pedagogia do Oprimido: Saberes necessários à prática educativa (47a ed.). São

Paulo: Paz e Terra, 2005.

[2] FREIRE, P.; PAPERT, S. O Futuro da escola e o impacto dos novos meios de comunicacaono modelo de escola atual. Vídeo produzidos por Márcia Moreno e Marco Aurélio Del Rosso.São Paulo: TV PUC de São Paulo com apoio do Jornal, 1995.

[3] NASCIMENTO, E. G. A. do. Avaliação do software GeoGebra como instrumento psicopeda-gógico de ensino em geometria. 2012. 234f. (Dissertação de Mestrado). Faculdade de Educação- Universidade Federal do Ceará, Fortaleza, CE, 2012.

[4] NASCIMENTO, E. G. A do. A importância da informática educativa nas séries iniciais.Encontro da Linha de Educação Currículo e Ensino da Universidade Federal do Ceará, V. 1,p. 295-300. Brasil: Imprece, 2013.

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[5] VALENTE, J. A. Informática na educação: a prática e a formação do professor. In: IXENDIPE (Encontro Nacional de Didática e Prática de Ensino), Águas de Lindóia, Anais... p.1-10, 1998.

Aprender e ensinar matemática como um processo dialógicocom diferentes estilos

Erondina Barbosa da Silva ([email protected])Universidade Católica de Brasília

Resumo. O presente trabalho apresenta uma das cinco categorias de análise de uma tese de dou-torado, cujo objetivo era analisar possibilidades e limites da criação de um ambiente que favoreça odiálogo e a cooperação entre os diferentes sujeitos que interagem no contexto da aprendizagem escolarda Matemática nos anos finais do ensino fundamental. A categoria abordada trata do processo deaprender e ensinar matemática como duas faces de um mesmo processo dialógico e fundamentou-sena perspectiva de diálogo de Freire (1977, 2011) e Bakhtin (2010) e também no trabalho de Alrø eSkovsmose (2006) sobre diálogo e aprendizagem matemática. A pesquisa de natureza participante foirealizada em uma escola pública do Distrito Federal, localizada na região administrativa da Estrutu-ral, com 14 estudantes do 7o ano do ensino fundamental e sua respectiva professora. Os estudantesforam observados em três cenários de pesquisa: a sala de aula, o laboratório de informática e oambiente do projeto do projeto de pesquisa no contraturno. Os resultados evidenciam quatro estilosde trabalho entre os estudantes e esses estilos apresentam padrões de comunicação diferenciados erelações mais horizontais ou menos horizontais, que precisam ser observadas pelo professor na orga-nização do trabalho pedagógico. Esses estilos modulam o engajamento dos estudantes na atividadematemática.

Palavras-chave: Aprender. Ensinar. Matemática. Processo dialógico.

Referências[1] ALRØ, Helle; SKOVSMOSE, Ole. Diálogo e aprendizagem em Educação Matemática.

Belo Horizonte: Autêntica: 2006.

[2] BAKHTIN, Mikhail M. Estética da criação verbal. Tradução de Paulo Bezerra. São Paulo:Editora WMF Martins Fontes, 2010.

[3] D’AMBRÓSIO, Ubiratan. Etnomatemática – elo entre as tradições e a modernidade. BeloHorizonte: Autêntica: Papirus, 2001.

[4] FREIRE, Paulo. Pedagogia do oprimido. Rio de Janeiro: Paz e Terra, 2011.

[5] FREIRE, Paulo; SHOR, Ira. Medo e Ousadia: cotidiano do professor. Rio de Janeiro: Paze Terra, 1986.

[6] GONZÁLEZ REY, Fernando Luis. Pesquisa qualitativa em psicologia: caminhos e desafios.São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2005.

[7] IEZZI;Gelson; DOLCE;Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e realidade – 7o

ano. São Paulo: Saraiva, 2009.

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[8] PONTE, João Pedro; et al. Didáctica da Matemática. Lisboa: DES do ME, 1997.

Trabalho pedagógico e criatividade em matemática: um olhara partir da prática docente nos anos iniciais do ensino funda-mental.

Fabiana Barros de Araújo e Silva ([email protected])Secretaria de Estado de Educação do Distrito Federal

Cleyton Hércules Gontijo ([email protected])Universidade de Brasília

Resumo. Esta investigação teve como objetivo geral analisar o trabalho pedagógico do professor ecomo ele pode estimular o desenvolvimento da criatividade matemática de estudantes do 4o ano doEnsino Fundamental de uma Escola Pública do Distrito Federal. Os conceitos centrais da pesquisasão: criatividade, criatividade em matemática e trabalho pedagógico. Sobre este último, o foco recaitambém para as questões relativas ao clima de sala de aula. É uma pesquisa qualitativa que apresentacaracterísticas de estudo de caso. Os instrumentos utilizados foram entrevistas com a professora, 14observações em sala de aula e construção de textos pela professora. As observações foram realizadascom o apoio de uma ficha composta por 25 indicadores que direcionou o olhar da pesquisadora quantoà inclusão de estratégias para a criatividade. Como base teórica, optou-se, principalmente, pelos se-guintes autores: Csikszentimihalyi (1988, 1998), Amabile (1996), Martinez (2002, 2014), Alencar eFleith (2003), Wechsler (2002, 2011), Gontijo (2007), Higginson (2000), Muniz (2009, 2015). Du-rante toda a pesquisa de campo, a pesquisadora assumiu uma postura analítica, buscando, a partirde problematizações, construir uma relação de discussões e reflexões junto à professora. Com base naanálise das fichas de observação e dos relatos escritos no diário de campo, encontraram-se no trabalhopedagógico indícios de estímulos realizados de maneira intuitiva, que podem influenciar o desenvolvi-mento da criatividade matemática dos estudantes. Alguns fatores como a avaliação realizada em salade aula e a cobrança do tempo para a realização das atividades foram refletidos durante os quatroencontros individuais com a professora, por terem sido apontados como fragilidades em seu trabalhopedagógico com relação ao desenvolvimento da criatividade matemática. Assim, evidenciou-se a ne-cessidade de investir em mais processos de pesquisa e de formação continuada acerca da constituiçãode um ambiente propício à aprendizagem matemática e ao desenvolvimento da criatividade nessaárea do conhecimento.

Palavras-chave: Criatividade. Criatividade em matemática. Trabalho pedagógico.

Referências[1] ALENCAR, Eunice. M. L. Soreano; FLEITH, Denise de Souza. Criatividade: múlti-

plas perspectivas. 3a ed. Brasília: Editora Universidade de Brasília, 2003b, 2009(reimpressão).

[2] AMABILE, T. M. Creativity in contexto. Boulder, CO: Westview Press, (1996).

[3] CSIKZENTMIHALYI, M. M. Society, culture and persona systems view of creativity. In:STERBERG, R. J. (Ed.). The nature of creativty. New York: Cambridge University Press,1988. p. 325-339.

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[4] GONTIJO, Cleyton Hércules. Estratégias para o desenvolvimento da criatividade emmatemática. Revista Linhas Críticas, Brasília, v. 12, n. 23, p.229 a 243, (2006).

[5] HIGGINSON, William. Creativity in Mathematics Education: The Role of the Teacher. 9o

Congress International on Mathematical Education, Tokyo, (2000).

[6] MARTINEZ, Albertina. A criatividade na escola: três direções de trabalho. Revista LinhasCríticas, v. 8, n. 15, p. 189-206, (2002).

Problematização e investigação como método de ensino de ma-temática: o que podemos incluir na sala de aula?

Iran Abreu Mendes ([email protected])Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Resumo. Nesta palestra, argumento favoravelmente sobre um ensino de matemática que inclua, emsala de aula, múltiplas formas de leitura de mundo e amplie os sentidos da construção matemáticaescolar pelos alunos, por meio de um processo de aprendizagem da sociedade e da cultura e pelasrelações entre sociedade, cognição e cultura. Inicio minha reflexão focando a matemática como umconhecimento produzido socialmente, nas interações sociais e imaginárias manifestadas no contextoda sociedade e da cultura; nas múltiplas formas explicativas para as experiências socioculturais; nosmodos de ler, compreender e explicar como se constitui a cultura humana para marcar sua passagemno planeta e nos métodos e códigos de leitura matemática das realidades socioculturais, ou seja,uma leitura matemática apoiada em princípios da observação, da investigação, da curiosidade, dacriatividade e da complementaridade, implicando um olhar uno, múltiplo, tranversal e globalizante.Tal leitura significa olhar para as atividades matematizantes sob o maior número de focos possível,a partir de uma correlação entre sociedade, cognição e cultura, tal como a humanidade o fez e faz aolongo da sua história sociocultural e científica. É necessário, portanto, pensar a matemática como umprocesso social, histórico, cultural e científico em uma interação inter e extraescolar, operacionalizadopor meio da investigação e problematização de práticas socioculturais na escola e fora dela, vinculadasao currículo e relacionadas diretamente aos conhecimentos escolares.

Referências[1] LIZCANO, Emmánuel. Imaginario colectivo y creación matemática. La construcción social

del número, el espacio y lo imposible en China y en Grécia. Barcelona: Gredisa Editorial.

[2] MENDES, Iran Abreu. História da Matemática no Ensino. Entre trajetórias profissionais,epistemologias e pesquisas. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2015.

[3] VERGANI, Teresa. O zero e os infinitos. Uma experiência de antropologia cognitiva e edu-cação matemática intercultural. Lisboa: Editorial Minerva, 1991.

Mediações pedagógicas e o uso de tecnologia assistiva no ensinoe aprendizagem da matemática no contexto da educação espe-cial

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Jaqueline Araújo Civardi ([email protected])Universidade Federal de Goiás

Resumo. Tecnologia Assistiva (TA) é um conceito desenvolvido pelo Comitê de Ajudas Técnicas(CAT) como sendo uma área do conhecimento de característica interdisciplinar que engloba produtos,recursos, metodologia, estratégias, práticas e serviços que objetivam promover a funcionalidade, rela-cionada à atividade e participação de pessoas com deficiência, incapacidade ou mobilidade reduzida,visando sua autonomia, independência, qualidade de vida e inclusão social. Temos como objetivosaprofundar a discussão sobre esse conceito na área educacional e apresentar resultados e análisesoriundos de investigações na área da educação matemática inclusiva, desenvolvidas no âmbito dagraduação e pós-graduação stricto sensu (nível mestrado). A discussão se subdividirá em cinco mo-mentos nos quais: 1o) apresentaremos as razões que levaram o Núcleo de Investigação em EducaçãoMatemática e Tecnologia Assistiva (Niemat), do Instituto de Matemática e Estatística, da Universi-dade Federal de Goiás a desenvolver pesquisas nesta área; 2o) discorreremos sobre o conceito de TAe sua aplicação na educação e no ensino de matemática; 3o) apresentaremos os resultados e algumasanálises oriundas de investigações sobre processos de ensino da matemática e sua aprendizagem,por educandos com deficiência intelectual e baixa visão, a partir do uso de estratégias pedagógicasque se valeram dos conceitos de mediações presentes na teoria freireana e sócio-histórico-culturalde Vigotski e seus colaboradores; 4o) discorreremos sobre o uso de materiais manipuláveis, objetode aprendizagem e TA com educandos com deficiência intelectual e transtornos do neorodesenvolvi-mento, inseridos em escolas regulares (níveis fundamental e médio) das redes pública e particular deGoiânia/ Goiás e em um centro de reabilitação para pessoa com deficiência visual e 5o) divulgaremosas pesquisas que se encontram em andamento no Niemat, sobre esta temática.

Referências[1] DELABONA, S. C. A mediação do professor e a aprendizagem de geometria plana por aluno

com transtorno do espectro autista (síndrome de asperger) em um laboratório de matemáticaescolar. 2016. Dissertação (Mestrado em Ensino da Educação Básica) – Programa de Pós-Graduação em Ensino na Educação Básica. Universidade Federal de Goiás, Goiânia, 2016.

[2] FREIRE, P. Pedagogia da Autonomia: saberes à prática educativa. São Paulo: Paz e Terra,2005.

[3] KRANZ, C. R. O desenho universal pedagógico na educação matemática inclusiva. São Paulo:Editora da Física, 2015.

[4] RODRIGUES, L. B. O uso da calculadora como recurso de tecnologia assistiva no ensinode aritmética para os alunos com deficiência intelectual inseridos na educação de adolescentes,jovens e adultos (EAJA). 2015. Dissertação (Mestrado em Ensino da Educação Básica) –Programa de Pós-Graduação em Ensino na Educação Básica. Universidade Federal de Goiás,Goiânia, 2015. MENDES JÚNIOR, J. L. Objeto de aprendizagem hiperligado com materiaismanipuláveis para o ensino de geometria espacial para alunos com baixa visão na educaçãobásica. 2016. Dissertação (Mestrado em Ensino da Educação Básica) – Programa de Pós-Graduação em Ensino na Educação Básica. Universidade Federal de Goiás, Goiânia, 2016.

[5] OLIVEIRA, R. R.; CARVALHO, S. B. OLIVEIRA, R. R.; CARVALHO, S. B. Mediaçõesdocentes realizadas durante o estágio e as respostas dadas pelos alunos com deficiência intelec-tual (DI) em atividades matemáticas na educação de jovens e adultos (EJA). 2016 Relatório

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Investigativo-Pedagógico (Trabalho de Conclusão de Curso da Licenciatura em Matemática).Universidade Federal de Goiás, Goiânia, 2016.

[6] VYGOTSKY, L. S. A construção do pensamento e da linguagem; Tradução Paulo Bezerra.São Paulo: Martins Fontes, 2010.

[7] VYGOTSKY, L. S. Fundamentos de defectologia. In: Obras escogidas. Madri: Visor, 1995.Tomo 5.

[8] XAVIER, A. K. C. A influência da linguagem nas repostas efetuadas pelos alunos, em ta-refas subsidiadas pelo desenho universal para a aprendizagem. 2016. Relatório Investigativo-Pedagógico (Trabalho de Conclusão de Curso da Licenciatura em Matemática). UniversidadeFederal de Goiás, Goiânia, 2016.

A Matemática por trás do sistema de posicionamento global edo movimento de robôs aplicada ao Ensino Médio

Jeferson Teixeira de Freitas ([email protected])Universidade de Brasília

Antonio Luiz Melo (e-mail não informado)Universidade de Brasília

Resumo. O trabalho visa mostrar o mecanismo de funcionamento do Sistema de PosicionamentoGlobal (GPS) e também fazer um estudo do movimento de robôs, usando conceitos por trás dessesmecanismos para discutir algumas alternativas de intervenções didáticas que possam ser aplicadasem sala de aula. Para tanto, será necessária uma abordagem teórica de alguns temas que sãopré-requisitos para o melhor entendimento desses mecanismos e que também abrem um leque de pos-sibilidades para intervenções didáticas futuras. Aqui, o estudo de temas como a superfície esférica(Globo Terrestre) e a cartografia é usado para introduzir o estudo do funcionamento do mecanismoGPS nos seus três segmentos: espacial, de controle e de usuário. O mesmo será feito quando doestudo do movimento dos robôs. Após fazer algumas reflexões sobre o número de graus de liberdadedesses movimentos, pretende-se dar uma ênfase maior num exemplo simples de três graus de liber-dade para os movimentos de robôs (esquema de uma garra mecânica) para, posteriormente, dar umasugestão de intervenção didática, com os movimentos dessa “garra mecânica” inseridos num plano decoordenadas cartesianas ortogonais, algo mais acessível aos alunos da educação básica.

Palavras-chave: GPS. Robôs. Aplicações.

Referências[1] MONICO, J. F. G. Posicionamento pelo NAVSTAR-GPS. Descrição, fundamentos e aplica-

ções.1.ed. Presidente Prudente: Editora UNESP, 2000.

[2] ROUSSEAU, C.; SAINT-AUBIN, Y. Matemática e atualidade. Volume 1.ed. Rio de Janeiro:SBM, 2015.

[3] ROCHA, J. A. M. R. GPS, uma abordagem prática. 4.ed. Recife: Edições Bagaço, 2003.

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[4] ROCHA, J. A. M. R. O abc do Gps. 2.ed. Recife: Edições Bagaço, 2005.

Princípios básicos de uso do computador na visualização de en-tidades geométricas euclideanas em 3d com o Linux Educacionaldo Proinfo/MEC

Jorge Barros de Abreu ([email protected])Secretaria de Estado de Educação do Distrito Federal

Resumo. Todas as técnicas de criação de figuras aqui expostas podem ser reduzidas à montagemde figuras espaciais, definindo-as como compostas por polígonos planos. Por exemplo, o tetraedroregular é composto por quatro triângulos equiláteros e o cone reto de folha simples pode ser visua-lizado no computador como sendo construído por 100 triângulos isósceles e um polígono regular de100 lados na base. De outra forma, se pode definir um tetraedro mostrando somente os pontos dos 4vértices, mas pode também mostrar além dos 4 pontos dos 4 vérticas mais 4 pontos centrais de cadaface ou mais três pontos em cada face ou mais 100 pontos em cada face. No computador, o tratra-edro apareceria mais definido à medida que se aumentasse o número de pontos. Vale ressaltar queo Geomview trata pontos como vértices e traz tudo para dentro do cubo unitário, mas isso pode sermodificado. O Geomview e a OOGL foram desenvolvidos pelo “Geometry Center” da Universidadede Minesota (EUA). Apesar de o “Geometry Center” ter sido desfeito, o Geomview continuou e éuma excelente ferramenta de visualização de objetos tridimensionais.

Palavras-chave: Entidades geométricas, Linux Educacional.

Referências[1] M. Phillips at all. Geomview Manual. http://www.geomview.org/docs/geomview.pdf.

Notas de aula de geometria no GGBOOK

Jorge Cássio C. Nóbriga ([email protected])Universidade Federal de Santa Catarina, Blumenau

Bruno Santos Ferreira ([email protected])Universidade de Brasília

Gilberto Lacerda dos Santos ([email protected])Universidade de Brasília

Stephanie Coomans ([email protected])Universidade de Brasília

Regina da Silva Pina Neves ([email protected])

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Universidade de Brasília

Resumo. O GGBOOK (NÓBRIGA, 2015) é um sistema que integra o GeoGebra com um editor detexto e equações. Os dois se “comunicam” de forma dinâmica, de maneira que quando se alteram aspropriedades de um objeto no ambiente gráfico, os valores a ele remetidos no ambiente texto tambémse alteram. O desenvolvimento foi fundamentado na teoria das Representações Semióticas de Duval(DUVAL, 2009, 2011) e buscou encontrar soluções para os limites detectados no GeoGebra. Nesta co-municação, apresentaremos o GGBOOK com seus recursos, modos de funcionamentos, possibilidadesde exploração e contribuições. Para isso, mostraremos exemplos de notas de aula que têm caracte-rísticas de um livro de matemática digital dinâmico, que possui ilustrações, definições, propriedades,demonstrações, etc. Destacamos ainda que o GGBOOK possui espaços para que os estudantes façamtarefas, compartilhem e interajam com o professor e com os colegas. Mostraremos como organizaras atividades, usando diferentes recursos (GeoGebra, Vídeos, Questionários, etc.), compartilhandocom estudantes e dando feedbacks. Durante a apresentação, faremos algumas comparações entre aspossibilidades do GGBOOK e do GeoGebratube.

Referências[1] DUVAL, R. Semiósis e Pensamento Humano: Registros semióticos e aprendizagens intelec-

tuais. Tradução L. F LEVY; M.R.A SILVEIRA. 1. ed. S.P.: Livraria da Física, 2009

[2] DUVAL, R. Ver e Ensinar a Matemática de outra forma. Entrar no modo matemático depensar: os registros de representações semióticas. São Paulo: PROEM, 2011.

[3] NÓBRIGA, J. C. C. GGBOOK: Uma plataforma que integra o software de geometria dinâ-mica GeoGebra com editor de texto e equações a fim de permitir a construção de NarrativasMatemáticas Dinâmicas. Tese de Doutorado em Educação, Universidade de Brasília, Brasília,2015.

Produção de notas de aula de geometria no GEOGEBRATUBE

Jorge Cássio C. Nóbriga ([email protected])Universidade Federal de Santa Catarina, Blumenau

Resumo. O GeoGebra é um software mundialmente conhecido. Diversas pesquisas têm mostradoo potencial didático da ferramenta. No entanto, tal potencial parece não ter chegado ainda à salade aula. É fato que o software por si só não ensina nada. É preciso ter professores bem preparadose materiais didáticos com boas sugestões de utilização. Atualmente, existem milhares de materiaisdisponíveis: exemplos de construções, vídeos-aulas, apostilas, etc. Em geral, esses materiais estãodispostos de maneira desorganizada e são usados mais para manipulação e visualização. Neste mini-curso, mostrarei como fazer exemplos de notas de aula no GeoGebratube. Tais notas têm caracterís-ticas de um livro de matemática digital e dinâmico, possuindo ilustrações, definições, propriedades,demonstrações, etc. Possui ainda espaços para que os estudantes possam fazer tarefas e interagircom o professor. Mostrarei como organizar as atividades, usar diferentes recursos (GeoGebra, Vídeos,Questionários, etc.), compartilhar com estudantes e dar feedbacks. Durante a apresentação, buscareifazer algumas comparações entre as notas de aula tradicionais e as produzidas no GeoGebratube.

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Referências[1] DUVAL, R. Semiósis e Pensamento Humano: Registros semióticos e aprendizagens intelec-

tuais. Tradução L. F LEVY; M.R.A SILVEIRA. 1. ed. S.P.: Livraria da Física, 2009

[2] DUVAL, R. Ver e Ensinar a Matemática de outra forma. Entrar no modo matemático depensar: os registros de representações semióticas. São Paulo: PROEM, 2011.

[3] NÓBRIGA, J. C. C. GGBOOK: Uma plataforma que integra o software de geometria dinâ-mica GeoGebra com editor de texto e equações a fim de permitir a construção de NarrativasMatemáticas Dinâmicas. Tese de Doutorado em Educação, Universidade de Brasília, Brasília,2015.

A inserção da história na prática do professor de matemática

Josinalva Estacio Menezes ([email protected])Universidade de Brasília

Resumo. A história da matemática tem sido alvo de interesse de pesquisadores e matemáticos, desdeo século XVII. No Brasil, a criação da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM) trouxea história da educação matemática para o cenário educacional, hoje, o quinto grupo de trabalho-GT.No mundo, também são realizados eventos nacionais e internacionais sobre o tema. Este trabalhotraz os resultados de uma pesquisa que objetivou coletar as eventuais formas de inserção da históriano ensino de matemática em professores em diversos níveis e países. O estudo bibliográfico apoia-senas ideias de Miguel, Ferreira, Fossa e Mendes. Empiricamente, aplicamos um questionário, con-tendo perguntas abertas e fechadas, junto a trezentos professores que participaram de um eventointernacional em história da educação matemática. Destes, selecionamos 37 respondentes, sendodois estrangeiros. Dos resultados, encaminhamos a necessidade de ampliar o acesso do professor eda instituição às produções mais recentes, por meios econômicos de tecnologia de comunicação demassa, como também apontamos a necessidade de que a história da matemática seja utilizada naprática, o que pode contribuir mais efetivamente para melhorar a situação do ensino de matemáticano Brasil, e com a interação internacional, também em outros países.

Palavras-chave: História da matemática. Ensino.

Referências[1] MENDES, Iran Abreu. O uso da história no ensino de matemática: reflexões teóricas e

experiências. Belém: EDUEPA, 2001.

[2] MIGUEL, Antônio. Três estudos sobre história e educação matemática. Tese de Doutorado.Campinas: UNICAMP, 1993.

[3] MONTUCLA, Jean Etienne; LALANDE, Joseph Jérome. Le Français de,. Histoire desmathématiques Paris: H. Agasse. an VII [1798 or 1799]-an X (mai 1802). 4 v.

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Jogo e produção de registros pela criança do 3o ano do EnsinoFundamental nas aulas de matemática.

Keila Cristina de Araújo Reis ([email protected])Universidade de Brasília

Antônio Villar Marques de Sá ([email protected])Universidade de Brasília

Resumo. A presente pesquisa propõe o desafio de investigar a relação entre jogos e registros orais eescritos como estratégias propulsoras da comunicação matemática no que tange ao desenvolvimentodo campo conceitual aditivo. O jogo, em específico, ganhará destaque por sua expectativa lúdica epor ser um mediador do conhecimento que, ao articular-se à produção de registros pelas crianças,trará possibilidade de desenvolvimento dos conceitos que constituem o campo aditivo a partir dametacognição e da metacomunicação, segundo Muniz (2010). A comunicação matemática será anali-sada a partir das representações semióticas, com apoio teórico nos autores Peirce (1995), Santanella(2004) e Duval (2009), à luz da teoria Histórico-Cultural, cujo precursor é Vigotski (2008). A fimde investigar o problema que emerge do/no contexto da alfabetização, será realizado um estudo decaso, de abordagem qualitativa, com três crianças que cursam o 3o ano do Ensino Fundamental, deuma escola pública do Distrito Federal. Essas crianças serão acompanhadas em situações de jogos ea partir deles serão propostas situações de registros que tencionem a representação dos conceitos emdesenvolvimento.

Palavras-chave: Jogo. Registro. Comunicação. Desenvolvimento. Matemática.

Referências[1] MUNIZ, Cristiano Alberto. Brincar e jogar enlaces teóricos e metodológicos no campo da

educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, (2010).

[2] PIERCE, Charles Sandes. . Semiótica. Trad. José Teixeira Coelho Neto. 2a ed. São Paulo:Perspectiva, (1995).

[3] SANTAELLA, Lúcia. O que é Semiótica. São Paulo, Brasiliense, (1983).

[4] VIGOTSKI, Lev Seminovitch. A brincadeira e o seu papel no desenvolvimento psíquico dacriança. Tradução de Zoia Prestes. Revista Virtual de Gestão de Iniciativas Sociais, Rio deJaneiro, n. 8, p. 23-36, jun. 2008 (1933).

Um estudo sobre a sequência de fibonacci e a proporção áureano ensino de Matemática no Ensino Médio

Leonardo Monteiro de Sousa (e-mail não informado)Universidade de Brasília

Andréia Júlio de Oliveira Rocha ([email protected])

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Universidade de Brasília

Resumo. Este trabalho busca abordar a sequência de Fibonacci e a proporção áurea como conteúdosa serem trabalhados em sala de aula, de forma didática, para auxiliar o ensino da matemática nasturmas do primeiro ano de Ensino Médio, realçando a relação entre a sequência de Fibonacci e aproporção áurea com a realidade que nos cerca, devido à abstração da matemática vista nos cálculose equações. A pesquisa possui uma parte bibliográfica e uma parte de campo. A pesquisa de campofoi realizada com a aplicação de um questionário com questões fechadas, no intuito de identificar seos alunos conheciam a sequência Fibonacci ou a proporção áurea. Após a aplicação do questionário,obtivemos como resultado que 100% dos alunos não conheciam a sequência, mas que 40% viam queos conteúdos pesquisados poderiam vir a acrescentar algo a mais para a aula. Contudo, concluímosque a sequência de Fibonacci e a proporção áurea são pouco utilizadas em sala de aula, e que osprincipais problemas que tornam difícil trazer algo diferente, lúdico para as aulas é a falta de interessede alguns alunos com relação à disciplina de matemática e um planejamento e utilização do tempode forma inadequada.

Palavras-chave: Sequência. Fibonacci. Proporção. Áurea.

Referências[1] DANTE, Luiz Roberto. Matemática - Contexto e Aplicações. Volume 1. São Paulo: Editora

Ática, 2012. 504p.

[2] Matemática Didática. Números de Fibonacci Disponível emhttp://www.matematicadidatica.com.br/SequenciaFibonacci.aspx. Acesso em: 02novem-bro de (2015).

[3] HUNTLEY, H. E. A Divina Proporção - Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática. Brasília.Editora Universidade de Brasília, 1985. 178p.

[4] RIGONATTO, Marcelo. Sequência de Fibonacci. Brasil Escola. Disponível emhttp://www.brasilescola.com/matematica/sequencia-fibonacci.htm. Acesso em 21 de outubrode (2015).

[5] REIS, Ismael. Retângulo Áureo; Matemáticando. Disponivel emhttp://topicosmatematicos.blogspot.com.br/2008/11/o-retngulo-ureo.html. Acesso em 02de novembro de (2015).

[6] SILVA, Marcos Noé Pedro da. Proporção, Brasil Escola. Disponível emhttp://brasilescola.uol.com.br/matematica/proporcao.htm. Acesso em 11 de maiode (2016).

[7] Matemática Essencial. Sequência de Fibonacci: Aplicação Disponível em pes-soal.sercomtel.com.br/matematica/alegria/fibonacci/seqfib2.htm. Acesso em 10/04/2016.

[8] SILVA, Jose Lucivaldo Leite da. Passei Web. Razão Áurea. Disponívelem<http://www.passeiweb.com/estudos/sala_de_aula/matematica/geometria_razao_aurea>.Acesso em 17/04/2016.

[9] Leonardo Fibonacci. Aplicações da Sequência de Fibonacci. Disponível emhttps://sites.google.com/site/leonardofibonacci7/aplicacoes-da-sequencia-de-fibonacci. Acessoem 10/04/2016.

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A ludicidade como ferramenta para o ensino-aprendizagem dematemática. passeando por Brasília e aprendendo geometria

Luís Dionísio Paz Lapa ([email protected])Secretaria de Estado de Educação do Distrito Federal

Resumo. Neste trabalho, debateremos o que temos desenvolvido na dissertação a ser apresentada noâmbito do programa de Mestrado Profissional em Matemática em rede Nacional da Universidade deBrasília. Recente artigo da organização “Todos pela educação” aponta que apenas 7,3% dos alunos,ao final do ensino médio, atingem níveis satisfatórios de aprendizagem. Quando a pesquisa faz umrecorte entre alunos das escolas públicas este resultado cai para 3,6%. Estes números reiteram o quehá muito se intitula o fracasso no ensino de matemática na educação básica. Neste cenário, muitotem sido produzido acerca dos caminhos que se deve seguir para a busca da melhoria no ensino eaprendizagem de matemática. Em 2016, ao assumir a direção do IMPA (Instituto de MatemáticaPura e Aplicada), Marcelo Viana vaticinou: “As crianças nascem gostando de matemática. os pro-fessores é que se encarregam de acabar com isso.” Propomos uma reflexão sobre a importância daludicidade no processo de reencantamento e de facilitador do processo de ensino-aprendizagem dematemática. Apresentaremos exemplos de sucesso pelo Brasil afora e, ao final, uma proposta jáiniciada em escola pública de São Sebastião, no Distrito Federal: o projeto “passeando por Brasíliae aprendendo matemática”.

Palavras-chave: Ensino da matemática. Atividades lúdicas.

Referências[1] ÁVILA, G. Várias faces da matemática: tópicos para licenciatura e leitura geral, 2a ed. São

Paulo: Blucher, 2010.

[2] TASSONE, Márcia Zulian Teixeira. Construção da parábola através de modelos lúdicose computacionais. 2015. 132 P. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de São Carlos:UFSCAR, São Carlos, São Paulo, 2015.

Jogo tapete cartesiano com a atividade “UnB analítica”.

Marcos Paulo Barbosa ([email protected])Faculdade de EducaçãoUniversidade de Brasília

Alessandra Lisboa da Silva ([email protected])Faculdade de EducaçãoUniversidade de Brasília

Resumo. O presente resumo discorre sobre aplicação e análise do Jogo “Tapete Cartesiano”. Ojogo teve um momento teórico e outro prático, foi aplicado em 2015 em um grupo de 40 alunos doCentro de Ensino Médio 09 de Ceilândia-DF, durante as aulas do “Projeto Matemática Todo Dia”.

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O momento teórico aconteceu em um encontro e abordou assuntos relacionados à geometria analíticacom auxílio do software Graphmatica. A parte teórica foi apresentada considerando a aprendizagempor recepção da teoria de Ausubel (2000). Inicialmente, os conteúdos foram revisados considerandoa teoria da assimilação e retenção do conhecimento. Dividimos a turma em grupos com cinco partici-pantes que teriam como desafio colaborativo concluir a missão proposta que se resumia em encontraro posicionamento correto das edificações da UnB num tapete cartesiano, através da resolução dealguns desafios. Propomos que os alunos encontrassem os pares ordenados das edificações, distânciasentre edificações, equações das retas que passavam pelos pontos, as áreas das figuras formadas pelasedificações. A interação entre os integrantes do grupo permitiu que os conteúdos fossem gradativa-mente assimilados por todos, pois o desafio que um não compreendia era explicado pelos demais. Osdados coletados mostram que a atividade apresentou um resultado ótimo em relação à aprendizagemsignificativa. Verificamos que a assimilação dos conteúdos aconteceu por recepção, excetuando algunscasos que inferimos aprendizagem por descoberta.

Palavras-chave: Tapete Cartesiano. Aprendizagem Significativa. Grupos Colaborativos. EnsinoMédio.

Referências[1] AUSUBEL, David P, Aquisição e retenção de conhecimentos: uma perspectiva cognitiva.

Tradução: Lígia Teopisto, Lisboa: Paralelo, 2003 (Edição original 2000).

[2] BRENELLI, Rosely Palermo, O jogo como espaço para pensar: a construção de noçõeslógicas e aritmética., Campinas: Papirus, (1996).

[3] DA SILVA, Alessandra Lisboa; BARBOSA, Marcos Paulo, Facebook: diálogosna rede social estimulando a participação de alunos nas olimpíadas científicas, Lisboa:III Colóquio Luso-Brasileiro de Educação a Distância e Elearning, (2013). Disponível em:http://lead.uab.pt/OCS/index.php/CLB/club/paper/view/330. Acesso em: 09 jan. 2017.

[4] HUIZINGA, Johan, Homo ludens, São Paulo: Perspectiva, 2000 (Edição original 1938).

[5] POLYA, George, A arte de resolver problemas, Rio de Janeiro: Interciência, 1995 (Ediçãooriginal 1945).

O Pibid na escola 102 norte: experiências matemática em prolda aprendizagem conceitual e mediacional

Maria Luiza de Oliveira Silva ([email protected])Universidade de Brasília

Regina da Silva Pina Neves ([email protected])Departamento de MatemáticaUniversidade de Brasília

Resumo. Este texto apresenta etapas de um estudo em desenvolvimento que une o Programa Insti-tucional de Bolsa de Iniciação à Docência (PIBID), do curso de licenciatura em matemática da UnB,

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e a Escola 102 Norte, da Secretaria de Estado de Educação do Distrito Federal (SEEDF). O objetivocentral é promover experiências matemáticas que ampliem a conceituação junto aos estudantes denono ano do Ensino Fundamental atendidos pelo programa. No Departamento de Matemática daUniversidade de Brasília (MAT/UnB), o PIBID está em vigor desde 2009 e vem realizando traba-lhos junto a licenciandos e orientadores, a fim de elaborar materiais didáticos na forma de cadernos,que consistem em atividades investigativas a partir da resolução de problemas, em diálogo com aspesquisas de Onuchic (1999) e Skovsmose (2000). Diante disso, assumimos as atividades junto a umgrupo de 8 estudantes de nono ano do ensino fundamental da referida escola com idades entre 14 e 16anos. Em um total de 8 encontros, ofertamos a eles experiências matemática a partir dos cadernos“Teorema das quatro cores” e “Proporções: Razão Áurea”, cujo objetivo era avaliar o raciocínio lógicodos alunos e, por meio de diálogo, levá-los a completar os desafios presentes nos cadernos e instigá-losa desenvolver naturalmente teoremas matemáticos que são naturais e cotidianos para os alunos. Osdiscentes apresentaram dificuldades conceituais relacionadas aos conceitos abordados nos cadernos,entre eles: noções básicas de geometria, multiplicação, divisibilidade e razão. Em relação ao nossodesenvolvimento, foi possível observar a construção de novas estratégias metodológicas e a ampliaçãodo discurso mediacional a fim de auxiliar os estudantes na superação das referidas dificuldades. Aofinal do projeto, pode-se perceber que, em cerca de dois meses, alunos que se negavam a estudarmatemática conseguiram, não só resolver problemas, mas também relacionar questões e temas ma-temáticos ao seu cotidiano.

Palavras-chave: Experiências matemáticas. aprendizagem conceitual.

Referências[1] SILVA, J. C.; PINA NEVES, R. S.; BACCARIN, S. A. O. A Educação Estátistica na

Licenciatura em Matemática: o caso de uma Instituição Pública do Estado de Goiás. EncontroNacional De Educação Matemática - Anais. Curitiba, PR, 2013.

[2] PINA NEVES, R. S.; BACCARIN, S. A. O.;SILVA, J. C. Geometria Espacial na Li-cenciatura em Matemática: em análise a formação dos futuros professores de Matemática deuma instituição pública. VII Congresso Iberoamericano De Educación Matemática - Anais.Montevideo-UR, 2013.

[3] MOREIRA, P.C.; DAVID, M.M.M.S. Matemática escolar, matemática científica, saber do-cente e formação de professores. Zetetiké. v.11, n.19, p. 57-80, 2003.

[4] SKOVSMOSE, O. Cenários para investigação. Bolema: Boletim de Educação Matemática,v.14, p.66-91, 2000.

[5] SZCZPANSKI, K.; GREBOT, G. O estudo da esfera através da sua construção. VII con-gresso Ibero-Americano de Educação Matemática, Montevidéu, Anais, 2013.

[6] PEREIRA, J. E. D. 2011. A prática como componente curricu-lar na formação de professores. Revista Educação, v.36, n.2, p.203-218, 2013. Disponível em: http://cascavel.ufsm.br/revistas/ojs-2.2.2/index.php/reveducacao/article/viewFile/3184/2047.

Análise das práticas pedagógicas desenvolvidas em laboratóriosde matemática no Ensino Médio integrado ao profissional

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Marli Alves Flores Melo ([email protected])Universidade Católica de Brasília

Resumo. Este trabalho tem como objetivo apresentar uma análise das práticas pedagógicas desen-volvidas nos laboratórios de matemática implantados nas escolas de ensino médio integrado vincula-das às secretarias de educação de dois estados brasileiros localizados nas regiões norte e sul. Para isso,consideramos às metas instituídas na implementação do Programa Brasil Profissionalizado. Comosujeitos de pesquisa, participaram professores regentes de matemática e estudantes regularmente ma-triculados em cursos técnicos. Como procedimentos, realizou-se in vivo, visitas técnica e observaçõesdiretas. Utilizou-se como instrumento de investigação questionários semiestruturados e aplicados deforma on-line por meio da plataforma surveymonkey. Optou-se pelo uso da análise de conteúdo comométodo de pesquisa. Os resultados revelaram algumas das dificuldades dos atores envolvidos quantoao domínio dos novos espaços destinados às aulas práticas no ensino da matemática e no uso dejogos como suporte didático na resolução de problemas complexos. Concluímos que as atividadessugeridas nesses laboratórios, ainda, não atendem às necessidades educacionais dos alunos para in-terpretar e construir conceitos matemáticos de maneira articulada, lógica e racional. Antecipamosser importante agregar às aprendizagens as tendências teóricas da educação matemática sintonizadasàs concepções direcionadas ao entendimento do “inédito viável”.

Palavras-chave: Laboratórios de Matemática, Ensino Médio Profissional.

Referências[1] BARDIN, L. Análise de conteúdo. Lisboa: Edições 70, 2011.

[2] BRASIL. Catálogo Nacional de Cursos Técnicos (2008). Ministério da Educação. Secretariade Educação Profissional e Tecnológica. Brasília, Distrito Federal. Disponível em: <http://www.mec.gov.br/ SETEC/CNCT>. Acesso em: 10 fev. 2015b.

[3] _____. Decreto no 6.302, de 12 de dezembro de 2007c. Institui o Programa Brasil Profissi-onalizado. Diário Oficial da República Federativa do Brasil. Brasília, Distrito Federal, n. 249,13 dez. 2007, seção 1, p. 4-5.

[4] _____. Laboratórios. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Pro-fissional e Tecnológica. Brasília, Distrito Federal, 2010b. Disponível em:<http://portal.mec.gov.br/index.php?option=com_content&view=article&id=13790&Itemid=993>.Acesso em: 10 jul. 2014.

[5] _____. Sistema Integrado de Monitoramento, Execução e Controle do Ministério da Edu-cação (SIMEC). Ministério da Educação. Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica.Brasília, Distrito Federal, 2012a. Disponível em: <http:// www.simec.mec.gov.br>. Acesso em:15 jun. 2014.

[6] _____. Sistema Nacional de Informações da Educação Profissional e Tecnológica (SISTEC).Ministério da Educação. Secretaria de Educação Profissional e Tecnológica. Brasília, 2012b.Disponível em: <http://portal.mec.gov.br>. Acesso em: 10 jun. 2014.

Dimensões lúdicas prescritas: análise de conteúdo do currículo

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em movimento - SEEDF-2014

Mikaella Lima Gomes ([email protected])Faculdade Projeção Taguatinga NorteEscola de Formação de Professores

Valdir Sodré dos Santos (e-mail não informado)Universidade de Brasília

Resumo. Esta pesquisa tem como proposta analisar e discutir como a ludicidade em sala de aulapode contribuir no processo ensino-aprendizagem, averiguando se ela funciona como recurso didático.Foi utilizada como ferramenta um jogo sobre frações e um questionário sobre o jogo e situações-problemas destinadas aos alunos. Para realização da pesquisa, foram selecionados estudantes do 6o

ano do Ensino Fundamental de uma escola pública do Distrito Federal, a fim de analisar suas percep-ções e desenvoltura ao utilizar o jogo em sala de aula. Smole et al. (2011) afirma que as habilidadesdesenvolvem-se por meio do jogo, pois, ao jogar, os alunos podem resolver problemas, investigar edescobrir a melhor jogada; refletir e analisar as regras, estabelecendo relações entre os elementos dojogo e os conceitos matemáticos; o que possibilita uma situação de prazer e aprendizagem significativanas aulas de matemática. A ludicidade precisa ser implementada em sala de aula, durante os anosletivos, desvinculando a ideia de que o aluno se diverte somente da porta para fora da escola, e que asaulas são monótonas, facilitando o ensino do professor e a aprendizagem dos conteúdos matemáticos,por parte dos alunos, interligando professor, aluno e conteúdo.

Palavras-chave: Ludicidade. Jogos. Recurso. Ensino-Aprendizagem. Matemática.

Referências[1] SMOLE, K. S., et al. Cadernos do Mathema: jogos de matemática de 1o a 5o ano. Porto

Alegre: Artmed, 2007.

Dimensões lúdicas prescritas: análise de conteúdo do currículoem movimento - SEEDF-2014

Mônica Regina Colaço dos Santos ([email protected])Universidade de Brasília

Resumo. Como parte inicial da pesquisa de mestrado sobre a ludicidade no Ensino Fundamen-tal Anos Iniciais, o presente estudo de cunho bibliográfico do currículo da Secretaria de Estado deEducação do Distrito Federal - Currículo em Movimento (2014), no qual consta o lúdico como eixointegrador, propondo uma relação alfabetização/Letramento/Ludicidade. Para interpretar a dimen-são lúdica, presente no documento, o Currículo foi categorizado com o apoio da análise de conteúdobaseada em Bardin (2011). Na pesquisa foram utilizados como contributo teórico Huizinga (2012),Kishimoto (2001), Muniz (2010), entre outros. O estudo pretendeu identificar e articular o lúdicocomo objetivo quanto como conteúdo curricular como consta no documento supracitado. Conso-nante com as análises realizadas, podemos destacar as propostas da Educação Matemática e o lúdico

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no Currículo em Movimento (2014). O lúdico se elevou ao posto de eixo integrador equivalente aoconceito de letramento de forma que a ludicidade pode ser mais uma forma do sujeito aprender e seexpressar no ambiente escolar.

Palavras-chave: Lúdico; Currículo em Movimento Ensino Fundamental Anos Iniciais (2014); Edu-cação Matemática.

Referências[1] BARDIN, Laurence. Análise de conteúdo. Trad.: Luís Antero Reto, Augusto Pinheiro. 2o

ed. São Paulo: Edições 70, 2011.

[2] DISTRITO FEDERAL. SEEDF. Currículo em movimento da educação básica.Brasília 2014. Disponível em: http://www.se.df.gov.br/content/article/282-midias/443-curriculoemmovimento.html Acesso em: 31. jan. 2017.

[3] HUIZINGA, Johan. Homo ludens: o jogo como elemento da cultura. 7. ed. São Paulo:Perspectiva, [1938], 2012.

[4] KISHIMOTO. Tisuko Morchida. Brinquedos e materiais pedagógicos nas escolas infantis.Educação e Pesquisa. São Paulo, v. 27, n. 2, p. 229-245, jul./dez. 2001.

[5] MUNIZ, Cristiano Alberto. Brincar e jogar: enlaces teóricos e metodológicos no campoda educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2010.

Identificação e superação de inadequações conceituais e meto-dológicas na aprendizagem de conjuntos numéricos

Nayra Thayne Cena de Oliveira ([email protected])Universidade Federal de Goiás

Dayane Palmer de Oliveira ([email protected])Universidade Federal de Goiás

Janice Pereira Lopes ([email protected])Universidade Federal de Goiás

Resumo. O presente trabalho corresponde a uma das cinco etapas (Observação e escrita do Pro-jeto de Ensino-Aprendizagem, primeira intervenção, observação e escrita do Projeto Investigativo-Pedagógico, segunda intervenção, análise e escrita do Relatório Investigativo-Pedagógico) necessáriaspara a conclusão do Estágio Supervisionado III e IV do curso de Licenciatura em Matemática daUniversidade Federal de Goiás. Essa pesquisa investigou o processo de aprendizagem do conceito defração associado ao uso de materiais manipuláveis, em especial, o uso da Escala Cuisenaire, em umaturma de 4o Ano do Ensino Fundamental. Durante o desenvolvimento da pesquisa, identificamos apresença de um aluno com Síndrome de Down na turma, o que exigiu a dedicação de tempo e plane-jamento específicos, a fim de que pudéssemos garantir, na medida do possível, atendimento didáticoe metodológico adequado às necessidades cognitivas do estudante e uma aprendizagem matemática

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minimamente significativa. Buscamos subsídios de teóricos, como Lorenzato (2006) e Passos (2006),para compreender com maior profundidade as contribuições dos materiais manipuláveis associadosao ensino de matemática, além de referenciais teóricos que nos auxiliassem na compreensão maisefetiva do processo de inclusão de crianças com SD na escola e na sala de aula, dentre eles Voivodic(2004) e D’Antino (1998).

Palavras-chave: Materiais manipuláveis. Anos iniciais. Educação matemática.

Referências[1] BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Pa-

râmetros Curriculares Nacionais: Matemática (1o e 2o ciclos do ensino fundamental). v. 3.Brasília: MEC, 1997.

[2] CAVALIERI, L. O Ensino de Frações. Monografia (Especialização em Ensino da Matemática)- Universidade Paranaense - UNIPAR, Umuarama, 2005. 54 f.

[3] D’ANTINO, M.E.F. A máscara e o rosto da instituição especializada. São Paulo: Memnon,1998.

[4] LORENZATO, S. Laboratório de ensino de Matemática e materiais didáticos manipuláveis.In: LORENZATO, S. (Org.). O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Pro-fessores. Campinas: Autores Associados, 2006. p. 3-37.

[5] PASSOS, C.L.B. Materiais manipuláveis como recursos didáticos na formação de professoresde matemática. In: LORENZATO, S. (Org.). O Laboratório de Ensino de Matemática naFormação de Professores. Campinas: Autores Associados, 2006. p. 77-92.

[6] SILVA, J. A. Modelos explicativos elaborados por adolescentes e adultos para o cálculo com fra-ções: da percepção ao pensamento operatório. In: Educação Matemática Pesquisa, São Paulo,v. 9, n.2, 2007. Disponível em: http://revistas.pucsp.br/index.php/emp/article/view/905/598.Acesso em: 6 de jun. 2016.

[7] VOIVODIC, M.A.M.A. Inclusão escolar de crianças com Síndrome de Down. 7o ediçãoPetrópolis, RJ: Vozes, 2013. p. 39-65.

Identificação e superação de inadequações conceituais e meto-dológicas na aprendizagem de conjuntos numéricos

Nilza Eigenheer Bertoni ([email protected])Universidade de Brasília

Resumo. Esta proposta constitui-se parte como relato de experiência, parte como pesquisa emandamento, inserida na tendência de insubordinação criativa na pesquisa científica (D’AMBROSIO;LOPES, 2015), que admite novos caminhos na busca de descobertas em aprendizagem matemática.O foco central são as inadequações conceituais e metodológicas encontradas em propostas de apren-dizagem dos conjuntos numéricos N, Z, Q, I, R. Em especial, dois fatos têm sido alvo especial denossa atenção: a desarticulação nas propostas de aprendizagem dos vários conjuntos e interpreta-ções errôneas, causadas pelos diagramas de Venn. Quanto à desarticulação, observamos a falta de

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consistência entre unidades concretas representativas, jogos, significados e procedimentos operatóriosusados na aprendizagem dos vários conjuntos. Quanto ao diagrama de Venn, observamos a indução aideias de que os novos elementos (de Z e Q) aparentemente ficam “em volta” do conjunto de partida;e que na constituição de R parece haver elementos de Q, I e alguns outros (não identificados). Serãodesenvolvidas atividades para a superação dessas inadequações, algumas constantes em projeto an-terior e outras decorrentes da pesquisa continuada.

Palavras-chave: Conjuntos numéricos. Aprendizagem. Inadequações metodológicas e conceituais.

Referências[1] AMATO, S. dos R. Frações. Apostila do Projeto Um Novo Currículo de Matemática.

MEC/CAPES/PACT/UnB-Década de 1990.

[2] BERTONI, N. E.; GUIDI, R.M. Numerização. Apostila do Projeto Um Novo Currículo deMatemática. MEC/CAPES/PACT/UnB-Década de 1990.

[3] D‘AMBROSIO, B.S. e LOPES, C.E. (Org.). Vertentes da Subversão na Produção Cientí-fica em Educação Matemática. Campinas: Mercado de Letras, 2015.

[4] GASPAR, M.T.J.C. e DIAS, A.L.B. Inteiros. Apostila do Projeto Um Novo Currículo deMatemática. MEC/CAPES/PACT/UnB-Década de 1990.

[5] MUNIZ, C. A. Decimais. Apostila do Projeto Um Novo Currículo de Matemática.MEC/CAPES/PACT/UnB-Década de 1990.

[6] WU, H. The Mis-Education of Mathematics Teachers. Notices of the AMS. Volume 58,Number 3.

Como manipular bases numéricas para resolução de problemas

Olinto de Oliveira Santos ([email protected])Centro Territorial de Educação Profissional da Costa do Descobrimento

Resumo. Este trabalho mostra que, manipulando as Bases Numéricas, é possível resolver problemasque envolvem soma de potências de mesma base. Ele está dividido em duas partes. Na primeira,trata do conceito de Base Numérica e apresenta uma nova forma de escrever os números usandoalgarismos Hindu-arábicos, a Escrita pela Definição (ED) e suas propriedades. Na segunda parte,é apresentada uma nova Equação Diofantina, a EDEB (Equação Diofantina Exponencial Básica),que pode ser resolvida com a manipulação de bases numéricas e é capaz de resolver problemas tantona Educação Básica como Superior, que envolvem soma de potências de mesma base como, porexemplo: Equações Exponenciais, Análise Combinatória, Séries e Teoria dos Números. O sistema denumeração Hindu utiliza um sistema posicional para facilitar a escrita de um número em qualquerbase, especialmente na base 10 que é a mais utilizada, temos que o número 351, 5; por exemplo, podeser escrito como 3 ·102+5 ·10+1+5 ·10−1 esta forma de escrever será denominada, neste trabalho,escrita pela definição (ED) . Este sistema posicional de escrita esconde uma característica que podeser explorada para a solução de diversos problemas, o fato de que os números são criados pela soma

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de potências de mesma base.

Palavras-chave: Bases numéricas.

Referências[1] CHAVES, A. P. A. Equações Diofantinas Envolvendo Potências de Termos de Sequências

Recorrentes. Brasília: Universidade de Brasília (UNB), 2013, p. 1.

[2] HEFEZ, M. Elementos de Aritmética. Rio de Janeiro, SBM, 2011, p. 43-52.

[3] LIPING, M. Sem a Pele as Penas Caem. Revista Cálculo. São Paulo: Editora Segmento,p.16-19, mar. 2014.

[4] RIBEIRO, R. Equações Diofantinas: Uma Abordagem para o Ensino Médio. Brasília: Uni-versidade de Brasília (UnB), 2014.

[5] SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA. Diretrizes Curriculares para o Ensinoda Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2015.

O laboratório de ensino de matemática do departamento dematemática da universidade de Brasília: atividades lúdicas ecriativas para o ensino e aprendizagem da matemática

Paulo Victor Reis Moreira ([email protected])Universidade de Brasília

Regina da Silva Pina Neves ([email protected])Universidade de Brasília

Nathália Duarte da Silva (e-mail não informado)Universidade de Brasília

Resumo. Os autores que investigam a relação Laboratório de Ensino - Educação Básica são unâni-mes ao defender que esse espaço modifica e/ou amplia as oportunidades de mediação do conhecimentomatemático pelo professor, a partir do uso/criação/ adaptação de materiais concretos/recursos di-dáticos/materiais manipuláveis/materiais didáticos com objetivos pedagógicos. Já em relação aoestudante, o argumento incide sobre o fato de que a vivência nesses espaços amplia suas oportuni-dades de aprendizagem, na medida em que se diversificam as situações nas quais um determinadoconceito se apresenta. Nesse contexto, muitos estudos defendem essa vivência como possibilidadede (re)construção da atividade de pesquisa – visto que são fomentadas as seguintes ações: observar,comparar, deduzir, organizar e relatar observações e resultados, entre outras atividades típicas daprática da investigação. A atividade proposta neste evento consiste em uma demonstração lúdicade um dos materiais que pertencem ao inventário do laboratório, o Pentaminó. Pentaminós sãofiguras planas formadas por agrupações de cinco quadrados congruentes dispostos um ao lado dooutro, justapostos, cada dois com um lado completo em comum, incluídos os vértices. A atividadese dará como um desafio composto de vários níveis de dificuldade de forma a levar o participante a

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um melhor domínio da atividade.

Palavras-chave: Laboratório de ensino. recursos didáticos.

Referências[1] LEMAT, Laboratório de Ensino de Matemática. Disponível em:

<www.mat.unb.br/lemat>. Acesso em: 15 de Dezembro de 2016.

[2] GANDULFO, Ana Maria Redolfi; COLONA, Maria do Carmo P. Santos; SILVA,Carlos Francisco. Experiências em geometria no laboratório de Ensino. Brasília.

[3] BERTONI, N. E.; GASPAR, M. T. J. Laboratório de Ensino de Matemática da Universidadede Brasília - uma trajetória de pesquisa em educação Matemática, apoio à formação do professore interação com a comunidade. In: LORENZATO, Sergio. (Org.). O laboratório de ensino dematemática na formação de professores. 1ed.Campinas-SP: Autores Associados, 2006, p. 135-151.

A análise da produção escrita de estudantes como oportunidadede aprendizagem e prática de investigação

Paulo Vinícius Pereira de Lima ([email protected])Faculdade Projeção

Valdir Sodré dos Santos ([email protected])Faculdade Projeção

Regina da Silva Pina Neves ([email protected])Universidade de Brasília

Resumo. A análise da produção escrita em matemática de estudantes tem contribuído nos processosde formação inicial e continuada dos futuros e dos professores de matemática, uma vez que promovehabilidades sobre os processos de ensino e aprendizagem e auxilia no desenvolvimento de novas estra-tégias de aprendizagem matemática. É possível discorrer sobre as respostas dadas, indagar-se sobre asua configuração e analisar quais são relações que as constituem. O estudo considerou a atual litera-tura no ensino de Matemática e produção escrita apresentada por Buriasco (2016), Bachelard (1938),Fávero (2012). Diante disso, este trabalho tomou por análise a produção escrita em matemática deuma estudante que frequenta o acompanhamento escolar, assumindo como dado de investigação aavaliação escrita formal realizada por ela em sua escola regular. Tal avaliação abordava os conteúdosde propriedade de potências e operações com frações e números decimais. A atividade mostrou-sesignificativa para o desenvolvimento profissional do professor de matemática, visto que promove areflexão e ação a partir da produção matemática de estudantes reais em situação de escolarização,possibilitando a reorientação de sua prática educacional. Quanto ao estudante, a análise da produ-ção escrita possibilitou refletir sobre suas ações revendo suas práticas de estudo e compreendendo osmeios pelos quais ele aborda o conhecimento, interrogando e observando as diferentes estratégias.

Palavras-chave: Avaliação. Análise. Produção escrita em matemática.

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Referências[1] BACHELARD, Gaston. A formação do espírito científico: contribuição para uma psicaná-

lise do conhecimento. Rio de Janeiro: Contraponto, 1938 (impressão 1996) 316 p.

[2] BURIASCO, R.L.C. de. Análise da Produção Escrita: alguns apontamentos. Minicursoministrado. In: VIII Workshop de Verão em Matemática, 25-26 jan. 2016. Brasília, p. 30-31(caderno de resumos).

[3] FÁVERO, M. H, PINA NEVES, R. S. A pesquisa de intervenção psicopedagógica: evidênciassobre o ensinar e aprender matemática. Linhas Críticas, vol. 18, n. 35, jan-abr, 2012, pp. 47-68.Universidade de Brasília. Brasilia, Brasil.

Um novo olhar sobre as futuras práticas do professor de mate-mática em formação- uma perspectiva do PIBID

Paulo Vinícius Pereira de Lima ([email protected])Faculdade Projeção

Valdir Sodré dos Santos ([email protected])Universidade de Brasília

Resumo. Este trabalho tem como proposta apresentar as contribuições do Programa Institucionalde Bolsas de Iniciação à Docência (PIBID) na formação inicial de estudantes de licenciatura emMatemática da Faculdade Projeção - DF. Procurou-se identificar até que ponto esse projeto temcontribuído para as experiências para a formação profissional e suas possíveis implicações na carreirade licenciados em Matemática. O estudo considerou a literatura de Leite (2008), Polya (1978) eSantos (2015). Os dados indicaram que o programa propicia a criação efetiva de um ambiente pro-pulsor de aprendizagem e de construção de novos conhecimentos, ao possibilitar o ganho de novasexperiências, viabilizando o desenvolvimento de novas metodologias estruturais e humanas para afutura prática docente. Sobre as ações desenvolvidas no PIBID, observa-se que essas têm permitidoaos estudantes-bolsistas refletirem sobre suas atuações pedagógicas, fazendo compreender-se comoparte desse processo e sendo capazes de modificarem e transformarem a realidade de um ambienteescolar. Os resultados indicam que a inclusão de estudantes no real contexto escolar, desde o iniciode sua formação acadêmica, lhes permitem ações que propiciam a sua formação como futuros pro-fessores, numa dinâmica que favorece um exercício de busca de discernimento, a partir da reflexãosobre a ação docente, que realça e compõe sua identidade profissional e o seu papel como educadormatemático em construção.

Palavras-chave: Formação de professores de Matemática. PIBID. Iniciação à docência.

Referências[1] LEITE, Yoshie Ussami Ferrari, GHENDI, Evandro, ALMEIDA, Maria Isabel de.

Formação de Professores: caminhos e descaminhos da prática. Brasília: Liber Livro Editora,(2008).

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[2] POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, (1978).

[3] SANTOS, Valdir Sodré dos. Percepções de Docentes de Matemática de Ensino Médio emrelação ao Processo de Avaliação da Aprendizagem. Dissertação de mestrado. Brasília - DF:FE - UnB, (2015).

Desenvolvimento de conceitos matemáticos: relações entre oaprender e o ensinar

Raimunda de Oliveira ([email protected])Universidade de Brasília

Cristiano Alberto Muniz ([email protected])Universidade de Brasília

Resumo. Esta investigação teve como objetivo central analisar o desenvolvimento de conceitosmatemáticos como saberes necessários à docência e suas implicações no planejamento pedagógicorealizado por professores que ensinam matemática nos anos iniciais. A pedra angular das discus-sões propostas é que o desenvolvimento de conhecimentos necessários à profissão contribui para aconstituição de uma postura mais autônoma frente ao trabalho didático-pedagógico. Para tanto,realizou-se uma pesquisa participante, ancorada na constituição de grupo de estudos, com o foco nodesenvolvimento dos conceitos relativos ao número fracionário. O cenário da pesquisa foi uma escolapública do Distrito Federal e os participantes são seis professores, atuantes em turmas de quartoe quinto ano do Ensino Fundamental. Os principais aportes teóricos são: Santos (2010), Shulman(1986, 2005), Silva (2011), Vergnaud (2009, 2014) e Vigotski (2003, 2007). As informações coletadasrevelam a importância de se ampliar os estudos, em relação ao ensino de matemática, nos espaçosformativos com foco nos conhecimentos de conteúdo (SHULMAN, 1986), e ainda explicitam que aconstituição de grupos de estudo no espaço da escola, como espaços formativos, pode contribuir parao desenvolvimento profissional dos professores envolvidos.

Palavras-chave: Formação de professores. Conhecimentos necessários para o ensino. Desenvolvi-mento de conceito matemático.

Referências[1] SANTOS, Edlamar Oliveira dos., A Formação continuada na rede municipal de ensino

do Recife: concepções e práticas de uma política em construção., 2010 Tese (Doutorado).Universidade Federal de Pernambuco, Recife, (2010).

[2] SHULMAN, L. S., El saber y entender de la profesión docente., Estúdios Públicos, n. 99,2005, Santiago-Chile, 2005. p. 195-224.(2005).

[3] SHULMAN, L. S., Those who understand: knowledge growth in teaching., EducationalResearcher, v.15, n. 2, 1986. p. 4-14.

[4] SILVA, Kátia Augusta Curado Pinheiro Cordeiro da., A Formação de professoresna perspectiva crítico-emancipadora., Brasília: FE/UNB: Revista Linhas Críticas, v.17, n. 32,p. 12-31, jan/abril. (2011).

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[5] VERGNAUD, Gerárd., O que é aprender? In: BITTAR, Marilena; MUNIZ, Cristiano Al-berto (Orgs.). A aprendizagem Matemática na perspectiva da Teoria dos Campos Conceituais.,Curitiba: Editora CRV, (2009).

[6] VERGNAUD, Gerárd., A criança, a matemática e a realidade: problemas do ensino damatemática na escola elementar., Curitiba: Ed. da UFPR, (2014).

[7] VIGOTSKI, Liev Semenovich., Psicologia Pedagógica., Porto Alegre: Artmed, (2003).

[8] VIGOTSKI, Liev Semenovich., Pensamento y habla. Tradução de Alejandro., BuenosAires: Colihue, (2007).

Mediações docentes desenvolvidas em aulas práticas de mate-mática: um estudo sobre o caso de um aluno com autismo naEJA

Rodrigo Rodrigues de Oliveira ([email protected])Universidade Federal de Goiás

Sandra Bento de Carvalho ([email protected])Universidade Federal de Goiás

Sônia Regina da Silva Miranda (e-mail não informado)Universidade Federal de Goiás

Resumo. O presente trabalho é reflexo das ações desenvolvidas nas disciplinas de Estágio Su-pervisionado III e IV, do Instituto de Matemática e Estatística, da Universidade Federal de Goiás(IME/UFG). Foi desenvolvido em uma escola municipal inclusiva, da cidade de Goiânia, nas turmasmultisseriadas de 3a e 4a series no Ensino Fundamental I. Teve como objetivo geral: investigar osprocessos de mediações docentes e as respostas de alunos com deficiência intelectual na Educaçãode Jovens e Adultos (EJA) em tarefas sobre o conteúdo de tratamento de informações - tabelas egráficos de barra. Como objetivos específicos, buscou-se: identificar as ações docentes e os recursosdidáticos que potencializam aprendizagem de conceitos na área de tratamento da informação e, porúltimo, analisar as respostas dos educandos com DI em tarefas de matemática no contexto da EJA.A pesquisa passou por duas observações participantes e duas intervenções pedagógicas. A pesquisa-ação foi o método de pesquisa utilizado e os instrumentos para a coleta de dados foram: entrevistacom a professora supervisora, diário de campo, atividades desenvolvidas pelos educandos e memórianarrativa dos estagiários. Uma das conclusões a que chegamos foi que os processos de mediaçõesdocentes, desenvolvidos pelos estagiários com um educando autista, desencadearam níveis crescentesde comunicação interpessoal, desenvolvimento e autonomia na realização de tarefas matemáticas.

Palavras-chave: Estágio. Matemática. Educação especial. Inclusão.

Referências[1] REVISTA EDUCAÇÃO. História da pedagogia. vol. 2 - Ed. Segmento - ISSN 1415-5486 -

agosto - 2010.

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[2] REVISTA LER & SABER Autismo - Ano 2, no 3 - Ed. Alto Astral – 2016

[3] VYGOTSKY, L. S. A formação social da mente. Ed. Fontes - São Paulo - SP - 4a edição -1991.

[4] FREIRE, Paulo. Educação como prática da liberdade. 8a ed., Rio de Janeiro, Paz e Terra,1978.

[5] VASCONCELOS. Planejamento: Projeto de Ensino-Aprendizagem e Projeto Político-Pedagógico - elementos metodológicos para elaboração e realização, 7a Ed. - São Paulo - Li-bertad - 2000.

Princípios base e modelos de aprendizagem baseada em projetosinterdisciplinares (PBL)

Rui M. Lima e Diana Mesquita ([email protected])Universidade do Minho

Resumo. O Processo de Bolonha veio reconfigurar a abordagem curricular do Ensino Superior naEuropa, ao colocar o aluno no centro do processo de ensino-aprendizagem, atribuindo-lhe maior auto-nomia. Neste contexto, possibilitou a introdução de estratégias de aprendizagem ativa (CHRISTIE;DE GRAAFF, 2017; LIMA; ANDERSSON; SAALMAN, 2017), capazes de aumentar a motivação dosalunos e o desenvolvimento de competências técnicas e transversais. Entre estas estratégias podemdestacar-se as seguintes: aprendizagem Baseada em Problemas (PBL – Problem-Based Learning)(GRAAFF; KOLMOS, 2003; PERRENET; BOUHUIJS; SMITS, 2000), aprendizagem Baseada emProjetos (PBL – Project-Based Learning) (EDSTRÖM; KOLMOS, 2014; HELLE; TYNJÄLÄ; OL-KINUORA, 2006; POWELL; WEENK, 2003), Sala de aula invertida (LUCKE; DUNN; CHRISTIE,2017), Jogos de aprendizagem (DESHPANDE; HUANG, 2011). Na Engenharia tem sido relevante aaplicação de projetos como meio de aprendizagem. Projetos individuais ou em grupo, com maior oumenor grau de interdisciplinaridade têm vindo a ser aplicados ao longo da história da Educação emEngenharia. Nos últimos anos, tem sido dada particular atenção aos projetos em equipe com eleva-dos requisitos de interdisciplinaridade. Esta aposta justifica-se pelas potencialidades das abordagensbaseadas em PBL: a) sendo projetos abertos, sem uma solução previamente definida, as equipasde alunos têm de ir tomando decisões ao longo do processo; b) sendo projetos interdisciplinares,contempla a integração de várias áreas de conhecimento (e.g. Química, Programação, Matemática),tornando a aprendizagem dos alunos mais significativa; c) sendo projetos com temáticas que per-mitem uma aproximação à realidade profissional, a articulação entre a teoria e a prática torna-semais evidente. A implementação dos projetos de aprendizagem interdisciplinares surge no MestradoIntegrado em Engenharia e Gestão Industrial em 2004/05 no contexto do desenvolvimento de expe-riências inovadoras de preparação para a adequação do curso aos desafios propostos pelo Processo deBolonha (CARVALHO; LIMA, 2006; LIMA; DINIS-CARVALHO; FLORES; HATTUM-JANSSEN,2007). Atualmente assumem um lugar de destaque na estrutura curricular do Mestrado Integrado emEngenharia e Gestão Industrial, decorrente do trabalho desenvolvido por um conjunto de professoresque trabalham num ambiente colaborativo e de alunos que se comprometem com a concretizaçãodos projetos e o reconhecem com uma mais-valia na formação inicial (FERNANDES; MESQUITA;FLORES; LIMA, 2014; MESQUITA; LIMA; FLORES, 2013). Esta comunicação tem por objetivoa divulgação e disseminação do impacto da implementação da aprendizagem baseada em projetos

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interdisciplinares (“Project Based Learning”) no Mestrado Integrado em Engenharia e Gestão Indus-trial, da Universidade do Minho. Procura-se documentar o trabalho desenvolvido em 12 anos deimplementação e potenciar a sua difusão a outros contextos de educação, visando fomentar processosinovadores de ensino e aprendizagem, assentes nos princípios da interdisciplinaridade e articulaçãoentre a formação inicial e a prática profissional. Adicionalmente, algumas considerações serão colo-cadas, no sentido de promover uma reflexão crítica sobre como a Aprendizagem Baseada em ProjetosInterdisciplinares pode ser implementada em diferentes contextos, áreas de conhecimento e níveis deensino.

Referências[1] Carvalho, D., & Lima, R. M. (2006). Organização de um Processo de Aprendizagem

Baseado em Projectos Interdisciplinares em Engenharia. Paper presented at the XXXIV Con-gresso Brasileiro de Ensino de Engenharia (COBENGE’2006) (pp. 1475-1488), Passo Fundo,Rio Grande do Sul, Brasil.

[2] Christie, M., & de Graaff, E. (2017). The philosophical and pedagogical underpinningsof Active Learning. in Engineering Education. European Journal of Engineering Education,42(1), 5-16. doi:10.1080/03043797.2016.1254160

[3] Deshpande, A. A., & Huang, S. H. (2011). Simulation games in engineering education: Astate-of-the-art review. Simulation games in engineering education: A state-of-the-art review.

[4] Edström, K., & Kolmos, A. (2014) PBL and CDIO: complementary models for engi-neering education development. European Journal of Engineering Education, 39(5), 539-555.doi:10.1080/03043797.2014.895703

[5] Fernandes, S., Mesquita, D., Flores, M. A., & Lima, R. M. (2014). Engaging studentsin learning: findings from a study of project-led education. European Journal of EngineeringEducation, 39(1), 55-67. doi:10.1080/03043797.2013.833170

[6] Graaff, E. d., & Kolmos, A. (2003). Project-Based Learning in Post-Secondary Education- Theory, Practice and Rubber Sling Shots. Higher Education, 51(2), 287-314.

[7] Helle, L., Tynjälä, P., & Olkinuora, E. (2006). Organização de um Processo de Apren-dizagem Baseado em Projectos Interdisciplinares em Engenharia. Paper presented at the XX-XIV Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia (COBENGE’2006) (pp. 1475-1488), PassoFundo, Rio Grande do Sul, Brasil.

[8] Lima, R. M., Andersson, P. H., & Saalman, E. (2017). Active Learning in Enginee-ring Education: a (re)introduction. European Journal of Engineering Education, 42(1), 1-4.doi:10.1080/03043797.2016.1254161

[9] Lima, R. M., Dinis-Carvalho, J., Flores, M. A., & Hattum-Janssen, N. v. (2007).A case study on project led education in engineering: students’ and teachers’ perceptions. Eu-ropean Journal of Engineering Education, 32(3), 337 - 347.

[10] Lucke, T., Dunn, P. K., & Christie, M. (2017). Activating learning in engineering edu-cation using ICT and the concept of ’Flipping the classroom’. European Journal of EngineeringEducation, 42(1), 45-57. doi:10.1080/03043797.2016.1201460

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[11] Mesquita, D., Lima, R. M., & Flores, M. A. (2013, 8-9 July 2013). Developingprofessional competencies through projects in interaction with companies: A study in Indus-trial Engineering and Management Master Degree. Paper presented at the Fifth InternationalSymposium on Project Approaches in Engineering Education (PAEE’2013): Closing the Gapbetween University and Industry (pp. [1-7]ID103), Eindhoven, The Netherlands.

[12] Perrenet, J. C., Bouhuijs, P. A. J., & Smits, J. G. M. M. (2000). The Suitability ofProblem-based Learning for Engineering Education: Theory and practice. Teaching in HigherEducation, 5(3), 345-358. doi:10.1080/713699144

[13] Powell, P. C., & Weenk, W. (2003). Project-Led Engineering Education. Utrecht: Lemma.

Oficina de implementação de processos de aprendizagem base-ada em projetos (PBL)

Rui M. Lima e Diana Mesquita ([email protected])Universidade do Minho

Resumo. Com esta oficina pretende-se explorar as dimensões relacionadas com a AprendizagemBaseada em Projetos Interdisciplinares (“Project Based Learning” - PBL). A base conceitual para estaoficina será uma palestra apresentada previamente e, neste contexto, 30 professores, durante 3 horase meia, terão a oportunidade de consolidar os princípios do PBL através de uma abordagem práticae interativa. A oficina terá como objetivo principal despertar os professores para o processo PBL edeixar uma semente que possa vir a crescer nas suas instituições. Por essa razão, as atividades foramplanejadas de forma indutiva, em que se encontra prevista uma grande intensidade de trabalho ativoe autônomo que terá duas fases: conceitos básicos e planejamento de um processo PBL baseado numtema transversal (grupo dividido em 4 ou 5 equipes); outras dimensões sobre o PBL e reformulaçãoe melhoria da proposta. Esta oficina vai exigir trabalho em equipes de 6 a 8 docentes. Os trabalhosserão desenvolvidos em sala com espaços de trabalho adequado para comportar todas as equipes. Omaterial necessário será projetor de vídeo, folhas de flip chart, fita crepe, post its e marcadores devárias cores para cada equipe. Pretende-se que os participantes desenvolvam competências de projeto,de colaboração docente e de planejamento introdutório de processos de aprendizagem baseados emprojectos interdisciplinares (LIMA et al., 2011). A oficina será, portanto, centrada em atividadesrealizadas pelos próprios participantes que visam à construção e apresentação de uma proposta deprojeto de aprendizagem PBL de acordo com o trabalho desenvolvido, em que os participantes,em equipe, analisam, discutem e refletem sobre um processo colaborativo como forma de iniciar eplanejar um projeto.

Referências[1] Lima, R. M., Carvalho, D., Sousa, R. M., Alves, A., Moreira, F., Mesquita, D.,

& Fernandes, S. (2011). Estrutura de Gestão para Planejamento e Execução de ProjetosInterdisciplinares de Aprendizagem em Engenharia. In L. C. d. Campos, E. A. T. Dirani, &A. L. Manrique (Eds.), Educação em Engenharia: Novas Abordagens (pp. 87-121). São Paulo,Brasil: EDUC – Editora da PUC-SP.

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O PEPG em educação matemática da PUC/SP: histórico e pa-norama atual

Saddo Ag Almouloud ([email protected])Pontifícia Universidade Católica, São Paulo

Resumo. As pesquisas em Educação Matemática têm sua origem no fracasso da reforma da Matemá-tica Moderna dos anos de 1970. As primeiras pesquisas tiveram como base de apoio essencialmenteas teorias psicológicas de Piaget. As pesquisas feitas em muitos países e no Brasil, a partir dosanos 1980, tiveram como foco principal o ensino e a aprendizagem de matemática. Os resultadosalcançados demonstram avanços importantes na identificação e na compreensão dos fenômenos queinterferem nos processos de ensino e de aprendizagem dos conceitos matemáticos. Além disso, essesresultados colaboram na constituição da Educação Matemática como área de investigação que temsuas especificidades no que diz respeitos aos objetos de investigação. A complexidade das questõesestudadas nesta área exige a interlocução interdisciplinar que envolve a Matemática, a Psicologia,a Sociologia, a História da Matemática, a Linguística, a Epistemologia, a Filosofia, a Antropologiae a Informática Aplicada à Educação. A ênfase dada à compreensão dos fenômenos de ensino e deaprendizagem trouxe à tona a necessidade urgente de formação de especialistas e pesquisadores naárea de Educação Matemática. Esta necessidade levou à criação de programas de pós-graduação emEducação, e mais especificamente em Educação Matemática. Esses programas vêm sendo incentiva-dos e apoiados pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES). É essecenário nacional e internacional que motivou a criação do Programa de Estudos – Pós-graduados emEducação Matemática da PUC/SP. O objetivo de nossa palestra é fazer um histórico do Programade Estudos Pós-graduados em Educação da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo. Apre-sentaremos, também, os fundamentos norteadores de sua implementação, os objetivos dos cursosde Mestrado Acadêmico e de Doutorado em Educação Matemática que o compõem, suas linhas depesquisa e grupos de pesquisa, entre outros aspectos.

Referências[1] CAPES. Seminário para além da academia – A pós-graduação contri-

buindo para a sociedade CAPES, março/abril de 2005. Disponível em:http://www.capes.gov.br/capes/portal/conteudo/APCN%20MP%2020052.pdf (acessadoem 22/10/2005 às 21 horas).

[2] Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática. Pro-jeto de criação do curso de Doutorado e de Mestrado Profissional. Disponível em:www.pucsp.br/pos/edmat/

Didática da matemática: fundamentos teóricos e perspectivas

Saddo Ag Almouloud ([email protected])Pontifícia Universidade Católica, São Paulo

Resumo. Os fatores que interferem no ensino e na aprendizagem da matemática têm despertadoo interesse de vários pesquisadores da área de Educação Matemática. As pesquisas desenvolvidas

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seguiram diferentes direções. A Didática da Matemática é uma das direções que surgiu nesse cenário.A Didática da Matemática, que se desenvolveu na França a partir dos anos de 1970, no contextomarcado pela reforma da Matemática Moderna, pela criação dos IREMs (Instituto de Pesquisa sobreEnsino da Matemática), e pelo sucesso das teorias psicológicas de Piaget sobre o desenvolvimento dainteligência e a aquisição de conceitos fundamentais, insistiu, em primeiro lugar, sobre os problemasde ensino de conceitos matemáticos em razão das exigências próprias ao saber matemático. Propo-mos apresentar, de forma sucinta, uma parte da contribuição teórica da Didática da Matemática paraa compreensão dos processos de ensino e aprendizagem de conceitos matemáticos. Os avanços daspesquisas em Didática da Matemática conduziram em pensar na constituição de uma área cientificaque investiga os processos de ensino e de aprendizagem de conceitos matemáticos. Partindo desseprincípio, a Didática da Matemática é entendida como a ciência da educação que estuda situaçõesque visam à aquisição de conhecimentos pelos alunos, estudantes ou adultos em formação, tantodo ponto de vista das características dessas situações como da aprendizagem que elas possibilitam.Ela estuda também as condições que favorecem a aquisição de conceitos matemáticos pelos alunos.Em nosso minicurso, focaremos essencialmente a Teoria das Situações Didáticas (TSD) de Brous-seau e a Teoria Antropológica do Didático (TAD), cujo alcance vai além do estudo de fenômenosrelacionados à construção de conceitos matemáticos por alunos. Além disso, analisaremos algumassituações nos apoiando em alguns construtos teóricos dessas duas teorias, articulando-as com a Dia-lética Ferramenta-Objeto e jogos de quadros (Régine Douady), a noção de Contrato Didático (GuyBrousseau) e a Teoria dos Registros de Representação Semiótica (Raymond Duval), entre outrasteorias.

Referências[1] BROUSSEAU, G. La Théorie des Situations Didactiques – Le Cours De Montreal,

1997(Guy Brousseau in http://guy-brousseau.com/1694/la-theorie-des-situations-didactiques-le-cours-de-montreal-1997/, acessado em 10 de fevereiro de 2014).

[2] BROUSSEAU, G. Fondements et méthodoes de la Didactique des Mathématiques. Recherchesen Didactique des Mathématiques, Grenoble: La Pensée Sauvage-Éditions, p.33-115, v.7, n.2,1986.

[3] CHEVALLARD, Y. Analyse des pratiques enseignantes et didactique des mathematiques:L’approche antropologique. Recherches en Didactique des Mathématiques, v. 19, no 2, p. 221-266. Grenoble, France: La Pensée Sauvage, 1999.

[4] DUVAL, R. Sémiosis et pensée humaine: registres sémiotiques et apprentissages intellectuals.Berna: Peter Lang, 1995.

[5] DOUADY, R. Ingénierie didactique et évolution du rapport au savoir. Une chronique en calculmental, un projet en algèbre à l’articulation collègeseconde. Repères IREM no 15, avril 1994,Topiques Éditions.

[6] DOUADY, R. L’ingénierie didactique: un moyen pour l’enseignant d’organiser les rapportsentre l’enseignement et l’apprentissage. Cahier DIDIREM, Université de Paris VII, 1993. v.191.

Educação matemática + inclusão: como você resolve professor?

Solange Hassan Ahmad Ali Fernandes ([email protected])

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Centro Universitário Anhanguera de Niterói

Resumo. Políticas públicas e movimentos oriundos da sociedade têm promovido o aumento dasmatrículas dos alunos, que são público alvo da educação especial nas escolas regulares. Tal fatotorna crucial compreendermos como a construção do conhecimento é mediada por diferentes meiosde acesso aos sistemas sensoriais do corpo humano. Nessa apresentação, pretendo refletir sobre osdesafios de curto e de longo prazo que, ainda, como educadores, precisamos enfrentar para construiruma matemática escolar mais inclusiva. Ao abordar temas que envolvem necessidades educacionaisespeciais, o foco daqueles que atuam no cenário educacional não deve ser as dificuldades específicasdos educandos, mas suas potencialidades. Desse modo, a questão norteadora de nossas discussõesserá: Como os educadores podem explorar as potencialidades dos seus alunos respeitando a diver-sidade de cada indivíduo? Durante a apresentação, compartilharei alguns resultados de pesquisasrealizadas sob uma perspectiva colaborativa, na qual pesquisadores, professores e alunos buscamcaminhos para uma matemática escolar que respeite as particularidades dos alunos. Apresentareialguns de nossos ensaios na criação de cenários de aprendizagem matemática inclusivos, dos quais fazparte uma variedade de objetos matemáticos que exploram experiências sensoriais (visuais, sonorase táteis). Tais experiências são viáveis graças ao desenvolvimento de ferramentas (materiais, tecnoló-gicas e/ou semióticas) que oferecem diferentes formas de ouvir, sentir, ver e expressar a matemáticapara envolver os alunos que podem ter dificuldade com o fazer matemática convencional. Ensinarrequer também a promoção de oportunidades para que o aprendiz possa fazer uso da matemáticaembutida em sua vida. Para isso, o professor precisa sentir-se preparado para trabalhar com todos osalunos, incluindo aqueles que anteriormente estavam em escolas especializadas, um processo que re-quer a ressignificação de suas crenças pedagógicas e epistemológicas. Finalmente, é preciso olhar paraalém da sala de aula e dos atores que participam de cenários de aprendizagem específicos, focandoalgumas das estruturas educacionais, tais como o currículo e a avaliação, que acabam condicionandoo que acontece nas salas de aula. Isso porque incluir não é “juntar” em um mesmo espaço físico.Antes de tudo, incluir é uma atitude.

Referências[1] FERNANDES, S. H. A. A.; HEALY, L. Algebraic expressions of deaf students: connecting

visuo-gestural and dynamic digital representations. In: 38th Conference the International Groupfor the Psychology of Education and the 36th Conference of the North American Chapter ofthe Psychology of Mathematics Education, 2014, Vancouver. Proceedings. . . Vancouver: PME,v. 3. p. 49-56, 2014.

[2] FERNANDES, S. H. A. A.; HEALY, L. Cenários multimodais para umaMatemática EscolarInclusiva: Dois exemplos da nossa pesquisa. In: XIV CIAEM Conferencia Interamericanade Educación Matemática, 2015, Tuxtla Gutiérrez. Anais... Conferencia Interamericana deEducación Matemática. Chiapas: Editora do CIAEM, v. 1. p. 1-12, 2015.

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Resultados brasileiros em matemática no PISA 2015: possíveismotivos para o baixo desempenho

Tânia Schmitt ([email protected])Universidade de Brasília

Resumo. O PISA - Programa Internacional de Avaliação de Estudantes, é uma avaliação trienal deestudantes entre 15 anos e três meses e 16 anos e 2 meses, coordenada mundialmente pela Organiza-ção para Cooperação e Desenvolvimento Econômico – OCDE. Dela participam estudantes dos paísesmembros da OCDE e países parceiros convidados, entre eles o Brasil. O desempenho dos estudantesbrasileiros no PISA tem sido inferior ao de estudantes da maioria dos países membros da OCDE, e étambém inferior ao desempenho de estudantes de países latino-americanos. Este artigo, que se origi-nou da parceria com pesquisadores da Diretoria de Avaliação do Ensino Básico do Instituto Nacionalde Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira – DAEB/INEP, para a elaboração da parterelacionada à área de Matemática do documento Brasil no PISA 2015 – Análises e reflexões sobreo desempenho dos estudantes brasileiros, busca determinar motivos para esse baixo desempenho,observando características de itens considerados pontos fortes e pontos fracos de nossos estudantes(em relação a alguns países da OCDE e a alguns países latino-americanos), itens deixados em brancopelos brasileiros, e uma possível relação entre a matriz do PISA e do exame brasileiro de larga escalaque lhe é mais próximo – a Prova Brasil (9o ano).

Palavras-chave: Escala de proficiência. Matriz de Referência. Letramento em Matemática.

Referências[1] Brasil. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Tei-

xeira, O que é o SAEB. Disponível em http:// portal.inep.gov.br/saeb

[2] Brasil. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educa-cionais Anísio Teixeira, Brasil no PISA 2015 - Análises e re-flexões sobre o desempenho dos estudantes brasileiros. Disponível emhttp://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/resultados/2015/pisa2015_completo_final_baixa.pdf

[3] Brasil. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Aní-sio Teixeira, Matriz de avaliação de Matemática - PISA 2012. Disponível emhttp://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/marcos_referenciais/2013/matriz_avaliacao_matematica.pdf

Contribuições dos jogos na construção de conceitos matemáticos

Thiago Henrique Santos Torres ([email protected])Universidade de Brasília

Raimundo de Araújo Bastos Júnior (e-mail não informado)Universidade de Brasília

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Resumo. Este trabalho trata, de forma lúdica, conceitos matemáticos na educação básica comênfase em jogos de natureza combinatória. São analisadas e propostas atividades a respeito dosconceitos matemáticos envolvidos em jogos de tabuleiro, em especial os chamados jogos com palitos,como, por exemplo, o Jogo do NIM. O objetivo é abordar, com maior empatia, conceitos matemá-ticos como divisibilidade, sistema numérico em base decimal e em base binária, entre outros tantosconceitos envolvidos na aritmética e, assim, contribuir para a divulgação e a disseminação de jogoscombinatórios como ferramenta pedagógica na educação básica.

Palavras-chave: Jogos combinatórios. Matemática. Jogo do NIM.

Referências[1] FOMIN, D.; GENKIN, S.; ITENBERG, I. Círculos Matemáticos: Tradução de Valéria

Guimarães Iório., Rio de Janeiro: IMPA, (2012).

[2] GRANDO, R. C. O conhecimento matemático e o uso de jogos na sala de aula. 2000. 239f.Dissertação de Doutorado - Universidade Estadual de Campinas, Campinas-SP, (2000).

[3] HELLMEISTER, A. C. P. O Jogo do Nim: um problema de divisão. Revista do Professor deMatemática: Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Janeiro, ( ) , n. 59, p.36-37, ( )/2006.Mensal.

[4] LIMA, J. M. O jogo como recurso pedagógico no contexto educacional. São Paulo: CulturaAcadêmica: Universidade Estadual Paulista, Pró-Reitoria de Graduação, (2008).

[5] TEIXEIRA, R. C.. Jogos Combinatórios e Números Surreais. In: 2o Colóquio da RegiãoSudeste, 2, 2013, São Carlos-SP, Livros do Colóquio, Departamento de Matemática Aplicadada Universidade Federal Fluminense, 2013. p. 41.

A matemática na educação infantil: o uso dos jogos de reflexãopura

Virginia Perpetuo Guimarães Pin ([email protected])Faculdade de EducaçãoUniversidade de Brasília

Antônio Villar Marques de Sá ([email protected])Faculdade de EducaçãoUniversidade de Brasília

Resumo. O ambiente escolar deve ser acolhedor, interessante e provocativo. Uma forma de esti-mular a aprendizagem matemática e o raciocínio dos alunos da educação infantil e despertar o seuinteresse pela aprendizagem é utilizando instrumentos lúdicos, e em especial os jogos. Os Jogos deReflexão Pura são um tipo de jogo de estratégia construído sobre bases matemáticas, mas que nãoapresentam um conteúdo matemático específico e oferecem diferentes situações e possibilidades queestimulam o pensamento e o raciocínio. Estes jogos são capazes de estimular as bases necessárias paraa aprendizagem matemática da criança. Desta forma, esta pesquisa teve como objetivo compreender

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o os Jogos de Reflexão Pura na aprendizagem matemática da educação infantil. Esta pesquisa foirealizada com alunos do 2o período da educação infantil e sua base foi o desenvolvimento de jogos,observando a relação dos alunos com eles e como isto influencia a sua aprendizagem matemática.Para isso, foram utilizados os Jogos de Reflexão Pura: Jogo da Velha, Jogo da Memória, Cara aCara, Mancala e Pontinhos. Este trabalho apresenta o conceito de Jogos de Reflexão Pura com basenos estudos de Muniz (2010), Spada (2009) e Mezzarroba (2010). Também foram trabalhados osconceitos de ludicidade e aprendizagem matemática. Foram utilizados como referências principaisos autores Piaget (1974, 1979, 1983, 1990, 2015), Kishimoto (2000), Macedo, Petty, Passos (2005),Huizinga (2007), Nunes e Bryant (1997), Muniz (2010) e Kamii (2012), dentre outros. Ao final dapesquisa, observaram-se diferentes habilidades matemáticas desenvolvidas a partir dos Jogos de Re-flexão Pura, concluindo que estes podem contribuir para esta aprendizagem na educação infantil demaneira lúdica.

Palavras-chave: Ludicidade. Aprendizagem. Jogos. Matemática. Educação infantil.

Referências[1] KISHIMOTO, Tizuko Morchida (Org.). Jogo, brinquedo, brincadeira e a educação. 4.

ed. São Paulo: Cortez, (2000).

[2] LORENZATO, Sergio. Educação infantil e percepção matemática. 3. ed. São Paulo: AutoresAssociados, (2011).

[3] MACEDO, Lino de; PETTY, Ana Lúcia Sícoli; PASSOS, Norimar Christe. Osjogos: o lúdico na aprendizagem escolar. Porto Alegre: Artmed, (2005).

[4] MUNIZ, Cristiano Alberto. Brincar e jogar: enlaces teóricos e metodológicos no campoda educação matemática. Belo Horizonte: Autêntica, (2010).

[5] PIAGET, Jean. A formação do símbolo na criança: imitação, jogo e sonho, imagem erepresentação. 3. ed. Rio de Janeiro: LTC, (1990).

A geometria analítica como um modelo para a geometria eucli-diana.

Welington Fernandes de Sousa ([email protected])Universidade de Brasília

Nilton Moura Barroso Neto (e-mail não informado)Universidade de Brasília

Resumo. No capítulo 1, falaremos sobre a Geometria Euclidiana do ponto de vista axiomático.Consideraremos, no início, a forma como Euclides de Alexandria a concebeu no quinto século antesde Cristo, dissertando sobre seus fundamentos (axiomas, noções comuns, definições), primeiros teo-remas e as falhas lógicas. Depois falaremos sobre o sistema axiomático elaborado pelo matemáticoalemão David Hilbert (1862-1943) em seu famoso trabalho Grundlagen der Geometrie de 1899, comoas falhas de Euclides foram corrigidas e primeiros teoremas. Citaremos o axioma de intersecção de

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círculos e o axioma de Dedekind. No capítulo 2, iniciaremos o caminho que nos permitirá demonstrarque a geometria Analítica é um modelo para a Geometria Euclidiana. Veremos que os axiomas deincidência, das paralelas, de Arquimedes, de congruência de segmentos, congruência de ângulos ede interposição podem ser demonstrados como teorema nesse modelo. Definiremos corpo F, corpoordenado, característica de um corpo e principais propriedades. Em seguida definiremos plano car-tesiano F2=FxF e definições de ponto, reta, retas paralelas, etc. No capítulo seguinte, verificaremoscomo os demais axiomas do plano de Euclides, a saber, axioma LAL e axioma de intersecção decírculos, podem ser demonstrados como teoremas da Geometria Analítica. Com isso, concluímosnosso trabalho, mostrando que a geometria analítica é um modelo para o plano Euclidiano. Caso ne-cessário, incluiremos um capítulo 4 com atividades propostas sobre o assunto discutido neste trabalho.

Palavras-chave: Geometria analítica; Geometria euclidiana.

Referências[1] CHARTIER, Roger. A História Cultural: entre práticas e representações. 2. ed. Tradução

de Maria Manuela Galhardo. Portugal: DIFEL Difusão Editorial S.A, 2002.

[2] JULIA, Dominique. A cultura escolar como objeto histórico. Revista Brasileira de Históriada Educação, Campinas, n. 1, p. 9-44, 2001.

[3] LE GOFF. Jacques. História e memória. 5. ed. Tradução Bernardo Leitão et al. Campinas:Editora da Unicamp, 2003.

Jogos digitais adaptados para estudantes com deficiência visual:jogos matemáticos no Dosvox

Wesley Pereira da Silva ([email protected])Faculdade de EducaçãoUniversidade de Brasília

Antônio Villar Marques de Sá ([email protected])Faculdade de EducaçãoUniversidade de Brasília

Resumo. Esta investigação teve como objetivo o estudo dos jogos digitais adaptados para estudan-tes com deficiência visual. Dentro da infinidade de tipos de jogos que encontramos, o jogo digital éo que mais ascendeu, nos últimos anos, principalmente entre os jovens. Hoje, vários jogos digitaisforam adaptados e novos jogos digitais adaptados foram criados para que a pessoa com deficiênciavisual possa utilizar essa ferramenta lúdica. Os principais aportes teóricos foram: Borges (2009),Huizinga (1938/2014), Lent (2004), Matlin (2004) e Ramos (2013). A pesquisa consistiu no estudoda interação entre o estudante e os jogos digitais adaptados presentes no sistema Dosvox e no pro-grama Jogavox. Os participantes da pesquisa foram seis alunos com deficiência visual, do terceiroano do Ensino Médio, da rede pública de ensino do Distrito Federal. Três dos estudantes tinhambaixa-visão e três tinham cegueira total. Como instrumentos de pesquisa, utilizamos a entrevista se-miestruturada, o diário de bordo e gravações da tela do computador e dos rostos dos participantes dapesquisa com o software Camtasia Studio. As informações coletadas foram agrupadas e organizadas

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em categorias. Os jogos de raciocínio lógico foram evidenciados na fala dos estudantes. Jogos comoo Nimvox (o jogo dos palitinhos), o jogo do Cassino (alto ou baixo), Aterrissagem Lunar e o jogo OCasamento da Princesa Nuriar foram considerados como jogos que auxiliam no desenvolvimento doraciocínio lógico. As informações coletadas revelam que os jogos podem favorecer o desenvolvimentodo raciocínio lógico, apesar de não ser o objetivo principal da ferramenta lúdica em questão.

Palavras-chave: Deficiência visual. Dosvox. Jogavox. Jogo digital. Jogos de raciocínio lógico.

Referências[1] BORGES, José Antônio dos Santos. Do Braille ao Dosvox - diferenças nas vidas dos

cegos brasileiros. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, 2009. XVI, 327 p.: il.; Tese (doutorado) -UFRJ/ COPPE/ Programa de Engenharia de Sistemas e Computação, (2009).

[2] HUIZINGA, J. Homo ludens: o jogo como elemento da cultura. Trad.: João Paulo Monteiro.Brasília: 8. ed. São Paulo: Perspectiva, [1938], (2014).

[3] LENT, Roberto. Cem bilhões de neurônios: conceitos fundamentais de neurociência. Ed.rev. e atual. São Paulo: Atheneu, (2004).

[4] MATLIN, Margaret. W. Psicologia cognitiva. 5. ed Rio de Janeiro (RJ): LTC, (2004).

[5] MUNIZ, Cristiano Alberto. Brincar e jogar: enlaces teóricos e metodológicos no campoda educação matemática. 2 ed. Autêntica: Belo Horizonte, (2014).

[6] RAMOS, Daniela Karine. Jogos cognitivos eletrônicos: contribuições à aprendizagem nocontexto escolar. Ciências & Cognição, Rio de Janeiro, v. 18, n. 1, p. 19-32, (2013a).

[7] SILVA, Wesley Pereira da. Jogo digital no contexto educacional: aportes para pessoas comdeficiência visual. In: Antônio Villar Marques de Sá; Luiz Nolasco de Rezende Júnior; Simãode Miranda. (Org.). Ludicidade: desafios e perspectivas em educação. 1ed. Jundiaí: Paco, 2016,v., p. 93-120.

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Geometria

Classes de superfícies Weingarten em S2 ×R

Armando Mauro Vasquez Corro ([email protected])Departamento de MatemáticaUniversidade Federal de Goiás

Resumo. Apresentamos o modelo conforme de S2 × R e obtemos representações de Weierstrass deduas classes de superficies Weingarten em S2×R, que satisfazem relações entre as curvaturas media,a curvatura extrínseca e a curvatura Gaussiana.

Equações evolutivas da segunda ordem que descrevem superfí-cies pseudo-esféricas

Diego Catalano Ferraioli ([email protected])Departamento de MatemáticaUniversidade Federal da Bahia

Resumo. Será apresentada uma classificação das equações evolutivas de segunda ordem que des-crevem superfícies pseudo-esféricas. Além disso, será discutido o problema de existência de imersõesisométricas locais das superfícies pseudo-esféricas descritas pelas soluções genéricas dessas equações.

Referências[1] D. Catalano Ferraioli and L. A. de Oliveira Silva, Second order evolution equations

which describe pseudospherical surfaces, J. Differential equations 260 (11) (2016) 807-8108.

[2] D. Catalano Ferraioli and L. A. de Oliveira Silva, Local isometric immersions ofpseudospherical surfaces described by evolution equations in conservation law form, J. Math.Anal. Appl. 446 (2017) 1606-1631.

Subvariedades biconservativas em Sn × R

Fernando Manfio ([email protected])Instituto de Ciências Matemáticas e de ComputaçãoUniversidade de São Paulo, São Carlos

Resumo. Nesta palestra daremos uma breve introdução sobre o conceito de subvariedades bicon-servativas. Apresentaremos condições necessárias e suficientes para uma subvariedade em Sn×R serbiconservativa. Em particular, apresentaremos uma classificação daquelas que tem codimensão 2 evetor curvatura média paralela em S4 × R.

Este é um trabalho conjunto com N. C. Turgay e A. Upadhyay.

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Referências[1] F. Manfio, N. C. Turgay, A. Upadhyay, Biconservative submanifolds in Sn × R and

Hn × R, preprint.

Ricci soliton gradiente com estrutura de produto torcido

Romildo Pina ([email protected])Departamento de MatemáticaUniversidade Federal de Goiás

Resumo. Nesta palestra vamos construir uma família de Ricci soliton gradiente steady, com estru-tura de produto torcido.

Imersões isométricas de formas espaciais em Sm+1 × R

Samuel Canevari ([email protected])Departamento de MatemáticaUniversidade Federal de Sergipe

Resumo. Será apresentada uma classificação das imersões isométricas f : Mmc → Sm+1 timesR com

m ≥ 4 e c ≤ 1, em que Mmc denota uma variedade Riemanniana com curvatura seccional constante

c e dimensão m.

Trabalho em conjunto com Ruy Tojeiro.

Referências[1] Canevari, S. and Tojeiro, R., Isometric immersions of space forms into R × R, In

preparation.

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Matemática Aplicada

Dinâmica de Fluidos

Cálculo da viscosidade rotacional de fluidos magnéticos em ci-salhamento simples usando dinâmica browniana

Adriano Possebon Rosa ([email protected])Departamento de Engenharia MecânicaUniversidade de Brasília

Resumo. Neste trabalho é investigado o aumento da viscosidade em um fluido magnético sujeitoa um campo magnético externo. São observadas as influências da intensidade do campo magnético,da taxa de cisalhamento e da interação dipolar nesse aumento. Para baixas taxas de cisalhamentonota-se um aumento significativo da viscosidade quando há interação dipolar devido formação decadeias de partículas na direção do campo.Essas cadeias são quebradas quando maiores taxas decisalhamento são impostas.

Referências[1] P. llg, M. Kroger, S. Hess, Magnetoviscosity of semidilute ferrofluids and the role of

dipolar interactions: comparison of molecular simulations and dynamical mean-field theory,Physical Review E 71 (2005) 031205.

[2] R. E. Rosensweig, Ferrohydrodynamics, Cambridge University Press, Cambridge, 1985.

[3] S. Odenbach, Magnetoviscous Effects in Ferrofluids, Springer, Berlin, 2002.

[4] Z. Wang, C. Holm, H. W. Muller, Molecular dynamics study on equilibrium magnetizationproperties and structure of ferrofluids, Physical Review E 66 (2002) 021405.

Asymptotic and Stability Analysis of a Two Dimensional Two-Phase Model of Avascular Tumour Growth based on MovingFrame Steady States

Andrea Genovese de Oliveira ([email protected])University of Nottingham

Abstract. We investigate avascular tumour growth as a two-phase process consisting of cells andliquid through the moving boundary continuum model formulated by Byrne, King, McElwain, andPreziosi (Applied Mathematics Letters, 2003, 16, 567-573).

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By working with steady state solutions in a moving frame, we define instability of a time-dependent non-homogeneous base state solution in a way that allows us to compare simulated solu-tions to the saturation growth and exponential decay profiles of tumour size.

We formulate the analogous model for tumour growth in two dimensions. After some simplifyingassumptions (negligible nutrient uptake and cell drag), we perform asymptotic analysis on the systemsatisfied by the two dimensional perturbations on a one dimensional solution, which we then compareto its numerical counterpart. Eventually, through the method of matched asymptotics, we charac-terised boundary layers and corresponding outer and inner solutions which allowed us to obtain acondition for instability in the two dimensional case.

References[1] Byrne, Helen M and King, John R and McElwain, DL Sean and Preziosi, Luigi,

A two-phase model of solid tumour growth, Applied Mathematics Letters, v. 16, p. 567-573,2003.

Difusão Hidrodinâmica e Migração de Partículas deformáveisInduzidas por Cisalhamento em Regime de Stokes

Gesse Arantes de Roure Neto ([email protected])Departamento de Engenharia MecânicaUniversidade de Brasília

Resumo. Escoamentos em baixos números de Reynolds têm como uma de suas principais carac-terísticas a reversibilidade. Esta reversibilidade no caso da interação entre duas partículas esféricasimplica uma reversibilidade cinemática em suas trajetórias relativas. A quebra desta simetria causaum deslocamento de trajetória das partículas. Esta quebra de simetria, junto com a randomici-dade das colisões entre partículas, resulta em um “random walk”ao longo das linhas de corrente, doqual decorre um efeito de auto-difusão, dependente do escoamento e da concentração de partículas[1, 2, 3]. No caso de partículas deformáveis próximas a uma parede, a interação parede-partículadevido à deformação da partícula induz uma migração das partículas para longe da parede [4]. Estetrabalho discute a modelagem do problema de difusão e migração de uma forma geral, aplicando ateoria em uma suspensão de gotas, prevendo a formação de uma camada livre de partículas na regiãoadjacente à parede, fenômeno este que é observado experimentalmente em suspensões como o sangue[5].

Referências[1] R. H. Davis, Hydrodynamic diffusion of suspended particles: a symposium, Journal of Fluid

Mechanics, vol. 310, pp. 325-335, 1996.

[2] F. R. Cunha and E. J. Hinch, Shear-induced dispersion in a dilute suspension of roughspheres, Journal of Fluid Mechanics, vol. 309, pp. 211-223, 1996.

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[3] A. Acrivos, G. K. Batchelor, E. J. Hinch, D. L. Koch, and R. Mauri, Longitudinalshear-induced diffusion of spheres in a dilute suspension, Journal of fluid mechanics, vol. 240,pp. 651-657, 1992.

[4] J. R. Smart and D. T. Leighton Jr, Measurement of the drift of a droplet due to the presenceof a plane, Physics of Fluids A: Fluid Dynamics (1989- 1993), vol. 3, no. 1, pp. 21-28, 1991.

[5] O. K. Baskurt, H. J. Meiselman, et al., Blood rheology and hemodynamics, in Seminars inthrombosis and hemostasis, vol. 29, pp. 435-450, New York: Stratton Intercontinental MedicalBook Corporation, c1974-, 2003.

Ondas de Combustão em Meios Porosos

Grigori Chapiro ([email protected])Departamento de MatemáticaUniversidade Federal de Juiz de Fora

Resumo. O método de combustão in-situ é uma técnica térmica com grande potencial para uso naexploração de petróleo off-shore, como no caso dos reservatórios Pré-Sal. A modelagem de combustãoem meios porosos envolve Dinâmica dos Fluidos e Cinética Química. Os modelos que descrevemcombustão in-situ são compostos por equações de Reação-Convecção-Difusão, apresentam escalasdiferentes (problemas rígidos) e são difíceis de trabalhar matematicamente e computacionalmente.

Em nossos trabalhos recentes[2, 4] foi resolvido o Problema de Riemann correspondente ao modelodescrevendo o processo de combustão baseado em [1]. A estrutura das frentes de combustão foiestudada usando teoria geométrica de perturbação singular para casos de combustão ao longo dofluxo do gás (velocidade da onda positiva) e no contra-fluxo do gás (velocidade da onda negativa)respectivamente. Os resultados analíticos foram validados através de simulações numéricas.

O problema foi abordado de forma rigorosa em [6]. Neste trabalho resolvemos o Problema deRiemann correspondente. A existência de soluções para um modelo de combustão in-situ na formade ondas viajantes foi estudada usando análise planar. Também conseguimos provar a unicidadeusando a integral de Melnikov. Neste trabalho foi usada uma hipótese forte, a de que todas asondas de combustão tem velocidade positiva. Como mostrado em [2], isso nem sempre é verdade.É interessante generalizar estes resultados para modelos que levam em conta as perdas térmicas.Primeiros passos nesta direção foram feitos em [5].

A estabilidade das soluções encontradas em [6] foi estudada numericamente em [3] usando oMétodo de Diferenças Finitas. Neste trabalho algumas interações entre ondas foram apresentadas ediscutidas.

Referências[1] I.Y. Akkutlu and Y.C. Yortsos, The dynamics of in-situ combustion fronts in porous

media, J. of Combustion and Flame, 134:229-247, 2003.

[2] G. Chapiro and A. J. de Souza, Asymptotic approximation for counterflow combustion inporous media, Applicable Analysis, 2016.

[3] G. Chapiro, L. Furtado, D. Marchesin, and S. Schecter, Stability of interactingtraveling waves in reactionconvection-diffusion systems , DCDS, 2015.

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[4] G. Chapiro, A. A. Mailybaev, A. J. Souza, D. Marchesin, and J. Bruining, Theeffect of thermal losses on traveling waves for in-situ combustion in porous medium , Comput.Geosciences, 16:799-808, 2012.

[5] G. Chapiro and D. Marchesin, The effect of thermal losses on traveling waves for in-situcombustion in porous medium, J. of Physics: Conference Series, 2015.

[6] G. Chapiro, D. Marchesin, and S. Schecter, Combustion waves and Riemann solutionsin light porous foam, JHDE, 11(02):295-328, 2014.

CFD-DEM simulations of gas-solid fluidized bed

Shyam Sumanta Das ([email protected])Departamento de MatemáticaUniversidade Federal de Juiz de Fora

Abstract. A gas-solid fluidized bed consists of mixture of gas-solid in which the particles weresuspended by an imposed upward flow. In the present paper, we have carried out two dimensionalnumerical simulations of gas-solid fluidized bed. CFD-DEM (Computational fluid dynamicsdiscreteelement modeling) approach is used to model two phase flow composed of solid particles and gasinside the fluidized bed. It uses Eulerian and Lagrangian methods to solve fluid and solid particlesrespectively. Numerical simulations were carried out for various inlet gas velocities.The aim of thepresent work to investigate the instabilities associated with the fluidized bed. Spectral analyses werecarried out to investigate the nature of the signals.

References[1] Anderson, T.B., Jackson, R., A fluid mechanical description of fluidized beds: Equations

of motion, I&EC Fundamentals, vol. 6, n. 4, pp. 527-539, 1967.

[2] Cunha, F. R., Sobral, Y. D., Gontijo, R. G., Stabilization of concentration waves influidized beds of magnetic particles, Powder Technology, vol. 24, pp. 219-229, 2013.

[3] Garg, R., Galvin, J., Li, T., Pannala, S., Open-source MFIX-DEM software for gassolidsflows: Part I - verification studies, Powder Technology , vol. 220, pp. 122-137, 2012.

[4] Sobral, Y.D, Hinch, E.J., Gravitational overturning in stratified particulate flows, SIAMJournal on Applied Mathematics, vol. 71, pp. 2151-2167, 2011.

[5] Sobral, Y. D., Instabilities in fluidised beds, Ph.D Thesis, Department of Applied Mathe-matics and Theoretical Physics, University of Cambridge, England, 2008.

[6] Sobral, Y.D., Cunha,F.R., A linear stability analysis of a homogeneous fluidized bed,Tendencies in Computational and Applied Mathematics, vol. 3, pp. 197-206, 2002.

Fluidos, partículas e magnetismo: modelagem e aplicações

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Yuri Dumaresq Sobral ([email protected])Departamento de MatemáticaUniversidade de Brasília

Resumo. Escoamentos de fluidos e partículas acontecem de maneira bastante abundante, tantoem fenômenos naturais quanto em processos industriais, dos mais diferentes tipos: deslizamentos deterra, transporte de sedimentos em leitos de rios, reatores nucleares, indústria alimentícia, produçãode medicamentos, etc. Em todos esses escoamentos, é muito importante compreender os mecanismosfísicos que determinam sua dinâmica e estabelecer o que pode ou não ser controlado. É neste pontoque a matemática torna-se uma ferramenta fundamental de análise para compreender os diversosaspectos de cada problema. Para mostrar algumas técnicas diferentes de abordagem, serão apresen-tados problemas envolvendo leitos fluidizados (estabilidade de ondas de concentração), escoamentosde materiais granulares (dissipação e rugosidade macroscópica) e interação de partículas magnéticas(formação de agregados). Todos os temas serão abordados de uma maneira adequada para umaaudiência de não especialistas.

Referências[1] SOBRAL, Y. D. ; HINCH, E. J., Finite amplitude steady-state one-dimensional wa-

ves in fluidized beds, SIAM Journal on Applied Mathematics (Print), 2017 (in press; DOI:10.1137/16M1084031).

[2] JING, L. ; KWOK, F. C. Y. ; LEUNG, A. Y. F. ; SOBRAL, Y. D., Characterization ofbase roughness for granular chute flows, PHYSICAL REVIEW E, v. 94, p. 052901, 2016.

[3] GONTIJO, R. G. ; SOBRAL, Y. D. ; CUNHA, F. R., Symmetry breaking of particletrajectories due to magnetic interactions in a dilute suspension, Journal of Magnetism andMagnetic Materials, v. 326, p. 240-250, 2013.

[4] SOBRAL, Y. D.; HINCH, E. J., Gravitational Overturning in Stratified Particulate Flows,SIAM Journal on Applied Mathematics (Print), v. 71, p. 2151-2167, 2011.

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Probabilidade

Processo de Exclusão com Taxa Lenta na Fronteira

Adriana Neumann de Oliveira ([email protected])Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Resumo. Nesta palestra irei falar sobre o processo de exclusão com taxa lenta na fronteira. Apre-sentarei o seu comportamento hidrostático e hidrodinâmico. Além disso, falarei sobre as flutuaçõesdeste processo fora do equilíbrio e no equilíbrio.

Topologia das Folheações e Decomposição de Fluxos Estocásti-cos

Alison Marcelo Van Der Laan Melo ([email protected])Universidade Federal do Vale do São Francisco

Resumo. A apresentação será sobre trabalho feito em colaboração com Paulo R. Ruffino (Unicamp)e Leandro Morgado (UFSC) [2].

Referências[1] P. J. Catuogno, F. B. da Silva and P. R. Ruffino, Decomposition of stochastic flows

in manifolds with complementary distributions, Stochastics and Dynamics 13 (2013), no. 4,1350009, 12 pp.

[2] Melo, A., Morgado, L., Ruffino, P., Topology of Foliations and Decomposition of Sto-chastic Flows of Diffeomorfisms, PREPRINT: arXiv:1511.01376.

Introdução ao Formalismo Termodinâmico

Artur Oscar Lopes ([email protected])Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Objetivos. Vamos apresentar em cinco aulas de uma hora e meia cada alguns dos resultados básicosdo Formalismo Termodinâmico para potenciais Lipchitz no contexto dos modelos XY com umamedida a priori. Mais precisamente demonstraremos o Teorema de Ruelle que descreve a relaçãoentre medida de equilíbrio, automedida, autofunção, o operador de Ruelle e a Pressão Topológica.Outras questões associadas como o decaimento de correlação, o kernel de involução e o limite quandoa temperatura vai a zero de estados de equilíbrio serão também descritos na medida que se tenhatempo para tanto.

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Ementa. O operador de Ruelle, o Teorema de Ruelle-Perron-Frobenius, Pressão Topológica, Pro-blema Variacional.

Referências[1] A. O. Lopes, Thermodynamic Formalism, Maximizing Probabilities and Large Deviations,

Preprint, 2014. Lectures notes.

[2] W. Parry and M. Pollicott, Zeta functions and the periodic orbit structure of hyperbolicdynamics, Astérisque, (187-188):268, 1990.

[3] A. T. Baraviera, L. Cioletti, A. O. Lopes, J. Mohr, and R. R. Souza, On the generalone-dimensional XY model: positive and zero temperature, selection and non-selection, Rev.Math. Phys., 23(10):1063–1113, 2011.

Nonlocal Conservation laws from Stochastic Particle Systems

Christian Horacio Olivera ([email protected])Universidade Estadual de Campinas

Abstract. We consider an interacting particle system modeled as a system of N stochastic diffe-rential equations driven by Levy process. The limiting behavior as the size N grows to infinity isachieved as a law of large numbers for the empirical process associated with the interacting particlesystem.

Uma Introdução à Teoria da Resposta ao Item (TRI)

Dalton Francisco Andrade ([email protected])Universidade Federal de Santa Catarina

Resumo. O curso será dado em três módulos: Teoria da Resposta ao Item (TRI), que vem sendoprogressivamente introduzida em nosso meio como um instrumento poderoso nos processos quantita-tivos de avaliação educacional, pelo fato de permitir, inclusive, a construção de escalas de habilidadecalibradas. No entanto, pelo fato de permitir a estimação de uma variável latente (não-observável)que é subjacente ao processo mensurável/observável, a utilização dos modelos de TRI não se restringeà área da Educação. Na literatura encontram-se aplicações em áreas tão diversas quanto Psicologia,Marketing, Sociologia, Enfermagem, entre outras. O curso está dividido em três partes:Em 13/02/2017 - Introdução e apresentação dos principais modelos e aplicações da TRI nas maisdiferentes áreas.Em 14/02/2017 - Modelos da TRI para itens dicotômicos/dicotomizados, com métodos de estimaçãoe recursos computacionais.Em 15/02/2017 - Modelos da TRI para itens politômicos ordinais, com métodos de estimação erecursos computacionais.

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Referências[1] ANDRADE, D. F de.; TAVARES, H. R.; VALLE, R. da C., Teoria da resposta ao

item: conceitos e aplicações, São Paulo:Associação Brasileira de Estatística. Disponível em:http://www.inf.ufsc.br/ dandrade/TRI/,2000.

[2] AZEVEDO, Caio L. N.; GAMERMAN, Dani, Mini-curso introdutório: teoria de respostaao item, Trabalho apresentado ao 1o Congresso Brasileiro de Teoria de Resposta ao Item,Florianópolis, dez./2009.

[3] BAKER, F. B.; KIM, S., Item response theory: parameter estimation techniques, 2.ed. NovaYork: Marcel Dekker, 2004.

[4] BOCK, R. D.; AITKIN, M., Marginal maximum likelihood estimation of item parameters:An application of a EM algorithm, Psychometrika. n. 46, p. 433-459, 1981.

[5] BOCK, R. D.; LIEBERMAN, M., Fitting a response model for n dichotomously scoreditems, Psychometrika. n. 35, p. 179-197, 1970.

The Infinitely Many Zeros of Stochastic Coupled OscillatorsDriven by Random Forces

Hugo Alexander de la Cruz Cansino ([email protected])Escola de Matemática AplicadaFundação Getúlio Vargas, Rio de Janeiro

Abstract. This work deals with the oscillatory behavior around 0 of the stochastic coupled oscillatorsdriven by random forces. We focus on three main aspects:1) the analysis of this oscillatory behavior for the case of coupled harmonic oscillators, a propertythat had only been demostrated for simple harmonic oscillators;2) the capability of some numerical integrators for reproducing this dynamical property;3) the identification of some classes of coupled nonlinear oscillators that can be shown to have thisoscillatory dynamics by reducing their analysis to equivalent linear oscillators. Some simulationsare also considered to illustrate the results.

Processos Tipo OU Generalizado: Teoria e Simulação

Josiane Stein ([email protected])Instituto Federal Sul-rio-grandense, Campus Sapiranga

Resumo. Estudamos uma classe de processos a tempo contínuo que generaliza o processo Ornstei-nUhlenbeck(OU). Chamamos estes processos do tipo OU generalizado. Consideramos diversos tiposde ruído no processo considerado, tais como movimento browniano, processo de Lévy alfaestável, pro-cesso de Lévy e processo de Poisson. Provamos alguns resultados teóricos sobre a esta cionariedadee propriedade Markoviana para estes processos, quando o ruído é o movimento browniano. Para ocaso em que o ruído é um processo de Lévy, provamos que sua distribuição é infinitamente divisí-vel. Apresentamos alguns exemplos obtidos a partir dos processos tipo OU generalizado, mostrandoalgumas propriedades básicas, sua geração, medidas de dependência e estimação dos parâmetros.

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Uma Introdução aos Sistemas Dinâmicios Estocásticos

Paulo R. C. Ruffino ([email protected])Universidade Estadual de Campinas

Objetivos. A intenção deste minicurso é divulgar a teoria de sistemas dinâmicos estocásticos, suasmotivações, exemplos clássicos, seu potencial, aplicações e na medida do possível, instigar e provocaros alunos de graduação com problemas em aberto que tem enunciados compreensíveis neste nível.No livro texto Uma Iniciação aos Sistemas Dinâmicos Estocásticos, depois de construir os objetosbásicos da teoria, apresento com mais detalhes, sem perder o caráter elementar dos argumentos e damotivação, uma série de propriedades, resultados e exemplos que venho apresentando em palestrasde divulgação que venho fazendo há vários anos.

Referências[1] Ruffino, P.R.C., Uma Iniciação aos Sistemas Dinâmicos Estocásticos, IMPA. Publicações

Matemáticas (2009).

Introdução às Equações Diferenciais Estocásticas

Pedro José Catuogno ([email protected])Universidade Estadual de Campinas

Objetivos. Aula 1- Movimento Browniano. Integral estocástica. Fórmula de Itô. Equações diferen-ciais estocásticas.Aula 2- Equações diferenciais estocásticas e EDP’s. Equações diferenciais estocásticas parciais tipoKunita. Método das características.Aula 3- Uma breve introdução aos Rough Paths. Rough paths e equações diferenciais estocásticas.

Referências[1] P. Friz ; M. Hairer, A course on Rough Paths, Universitext. Springer, 2015.

[2] B. Oksendal, Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications, FifthEdition. Springer, 2003.

[3] H. Kunita, First order stochastic partial differential equations, Proceedings of the TaniguchiInternational Symposium on Stochastic Analysis. 249-269, North Holland 1984.

Convergência em Distância Mallows para sistemas de spins uni-dimensionais

Roberto Vila Gabriel ([email protected])

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Departamento de EstatísticaUniversidade de Brasília

Resumo. Este seminário é baseado no artigo [2]. Apresentaremos alguns teoremas limite segundoa distância Mallows [3], tanto para processos aleatórios associados estacionários e não estacioná-rios. Pelo Teorema de Bickel e Freedman [1], é conhecido que a convergência referida é mais forteque a de distribuição, portanto, implicitamente apresenta-se, também, teoremas do limite central.Como aplicação de nossos resultados, apresentaremos a convergência de alguns processos aleatóriosunidimensionais com dependência Gibbsiana: especificamente do modelo de Ising.

Referências[1] P. J. Bickel and D. A. Freedman, Some asymptotic theory for the bootstrap, Annals of

Statistics v. 9, p. 1196-1217, 1981.

[2] L. Cioletti, C. C. Y. Dorea and R. Vila Limit Theorems in Mallows Distance forProcesses with Gibssian Dependence, Preprint: https://arxiv.org/abs/1701.03747, 2017.

[3] C. L. Mallows, A note on asymptotic joint normality, The Annals of Mathematical Statisticsv. 43, p. 508-515, 1972.

Discrete Time Trawl Processes with Long Memory

Sílvia Regina Costa Lopes ([email protected])Universidade Federal do Rio Grande do Sul

Abstract. We introduce a class of discrete time stationary trawl processes taking real or integervalues and written as sums of past values of independent seed processes on shrinking intervals (trawlheights). Related trawl processes in continuous time were studied in Barndorff-Nielsen (2011) andarndorff-Nielsen et al. (2014), however in our case the i.i.d. seed processes can be very general andneed not be infinitely divisible. In the case when the trawl height decays with the lag as jα, for some1 < α < 2, the trawl process exhibits long memory and its covariance decays as j1α. We show thatunder general conditions on generic seed process, the normalized partial sums of such trawl processmay tend either to a fractional Brownian motion or to an α stable Lévy process. Since the exponentis of a special importance for both situations, a section is devoted to the empirical comparison of twodifferent consistent estimators for this parameter.

Uma Proposta de Ordenação de Periódicos Científicos via Teo-ria da Resposta ao Item

Suélio Alves de Moura ([email protected])Departamento de EstatísticaUniversidade de Brasília

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Resumo. Neste trabalho objetiva-se descrever um índice de proficiência"ou valor dos periodi-cos das áreas de Matematica, Estatística e Matematica Aplicada baseado em Modelos Politômi-cos da Teoria da Resposta ao Item. As variáveis que compõem o banco de dados a ser utilizadonas análises consistem nos indicadores bibliométricos fornecidos pelo Journal Indicators CWTS(http://www.journalindicators.com/), o Scimago (http://www.scimagojr.com/), a Web Of Science(http://wokinfo.com/) e WebQualis (http://qualis.capes.gov.br/webqualis).

Inferência Indireta para Modelos Estocásticos de VolatilidadeGovernados por Processos de Lévy

Thiago do Rêgo Sousa ([email protected])Technical University of Munich

Resumo. Modelos estocásticos de volatilidade governados por processos de Lévy tem importânciasubstancial para a área de finanças. Eles são utilizados para a modelagem de dados financeiros,porquê preços de ativos podem manifestar um comportamento descontínuo, lembrando a trajetóriade um processo com saltos. Dois dos modelos mais conhecidos são os processos GARCH a tempocontínuo introduzidos em Klüppelberg et al. (2004) e os modelos não Gaussianos do tipo Ornstein-Uhlenbeck introduzidos por Barndorff-Nielsen e Shephard (2001). Para tais modelos, a estimaçãode parâmetros utilizando o método da Máxima Verossimilhança não pode ser diretamente aplicadae portanto o método da inferência indireta apresentado em Gourie-roux et al. (1993) provou seruma alternativa simples e útil para modelos definidos por equações diferenciais estocásticas. As duaspremissas principais para a aplicação desse método é de que o modelo de interesse seja facilmentesimulado e que tenhamos um método razoável para estimação de um modelo auxiliar (que aproximeo modelo de interesse). Neste trabalho iremos aplicar o método da inferência indireta para estimaros parâmetros de um modelo de volatilidade estocástica governado por um processo composto dePoisson. Escolhemos os modelos discreto GARCH(1,1) como modelo auxiliar, devido ao fato de queeles possuem características similares aos modelos de volatilidade estocástica, como por exemplo, aformação de clusters de volatilidade. Também comparamos o método da inferência indireta com ummétodo baseado na estimação da função de auto-correlação dos retornos financeiros. Os resultadosdos experimentos de Monte Carlo mostraram que ambos os métodos tiveram performance similar,indicando que o método da inferência indireta deve ser investigado mais profundamente em outroscenários.

Referências[1] Barndorff-Nielsen, O. E. and Shephard, N., Non-Gaussian Ornstein-Uhlenbeck-based

models and some of their uses in financial economics, Journal of the Royal Statistical Society:Series B (Statistical Methodology) 63.2 (2001): 167-241.

[2] Gourieroux, C., Monfort, A. and Renault, E., Indirect inference, Journal of appliedeconometrics 8.S1 (1993): S85-S118.

[3] Klüppelberg, C., Lindner, A. and M., Ross., A continuous-time GARCH process drivenby a Lévy process: stationarity and second-order behaviour, Journal of Applied Probability 41.3(2004):601-622.

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Sistemas Dinâmicos

Transitividade e mistura topológicas para operadores de com-posição agindo em espaços Lp

Benito Pires ([email protected])Universidade de São Paulo

Resumo. Sejam X = (X,Σ, µ) um espaço de medida σ-finito e f : X −→ X uma transformaçãobimensurável injetiva satisfazendo µ(f(B)) ≥ cµ(B) para algum c > 0 e todo mensurável B, entãoTf : ϕ −→ ϕ f é um operador linear contínuo agindo sobre Lp(X,Σ, µ), 1 ≤ p < ∞, denominadooperador de composição induzido por f . Vamos dar condições sobre f necessárias e suficientespara a transitividade topológica ou mistura topológica de Tf . Também vamos dar exemplos detransformações bimensuráveis injetivas f cujo operador de composição Tf é topologicamente transitivomas não topologicamente misturador.

Joint work with Udayan Darji.

Referências[1] U. B. Darji and B. Pires, Topological transitivity and mixing of the composition operator

on Lp spaces 2016, https://arxiv.org/pdf/1610.00863.pdf

Sistemas dinâmicos globalmente hiperbólicos

Carlos Alberto Maquera Apaza ([email protected])Instituto de Ciências Matemáticas e de ComputaçãoUniversidade de São Paulo, São Carlos

Resumo. Os sistemas dinâmicos clássicos são definidos por ações do grupo Z (no caso discreto)e R (no caso continuo). Neste minicurso consideramos sistemas dinâmicos definidos por ações deum grupo de Lie (com maior ênfase no caso do grupo Rk). Apresentaremos exemplos, algumaspropriedades gerais e alguns problemas em aberto.

Informações dinâmicas associadas à sequências espectrais

Dahisy Lima ([email protected])Instituto de Matemática, Estatística e Computação CientíficaUniversidade Estadual de Campinas

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Resumo. Abordamos ferramentas topológicas na teoria do índice de Conley, com o propósito deexplorar complexos de cadeia (C,∆) gerados pelos pontos críticos de funções de Morse f : M → Re de funções de Morse circular f : M → S1 definidas em n-variedades suaves e fechadas.

Descrevemos um algoritmo de varredura que, a partir da matriz de conexão ∆, nos permitecodificar as informações dadas pela sequência espectral, produzindo um sistema de geradores paraos seus módulos e determinando suas diferenciais.

Finalmente, obtemos resultados dinâmicos explorando as informações algébrica da sequência es-pectral via este algoritmo. Além disso, mostramos que este processo corresponde a propriedades decontinução do fluxo associado.

Referências[1] M. A. Bertolim, D.V.S. Lima, M. P. Mello and K. A. de Rezende, M. R. Silveira,

An Algorithmic Approach to Algebraic and Dynamical Cancellations associated to a SpectralSequence. (Submitted)

[2] M. A. Bertolim, D.V.S. Lima, M. P. Mello and K. A. de Rezende, M. R. Silveira,A Global two-dimensional Version of Smale’s Cancellation Theorem via Spectral Sequences.Ergodic Theory and Dynamical Systems vol. 36(6) (2016), 1795-1838.

[3] O. Cornea, K. A. de Rezende and M. R. da Silveira, Spectral sequences in Conley’stheory. Ergodic Theory and Dynamical Systems, vol 30(4) (2010), 100

[4] D. V. S. Lima, K .A. de Rezende, M. R. Silveira, O. Manzoli, Cancellations forCircle-valued Morse Functions via Spectral Sequences. Submitted. ArXiv:1610.08579, 2016.

On the dynamics of foliations with recurrent leaves

Gabriel Ponce ([email protected])Instituto de Matemática, Estatística e Computação CientíficaUniversidade Estadual de Campinas

Abstract. Inspired by Smale’s work [6] on the dynamics of Cr diffeomorphisms on closed Riemannianmanifolds, the study of the dynamics of foliations aims to understand the behavior of a foliationin terms of its dynamical characteristics such as the existence of minimal sets and orbit growth ofleaves for example. As in the case of diffeomorphisms concepts such as transitivity, hyperbolicity andentropy are in the core of the theory though each of these concepts are treated in a completely differentway when working with foliations. Topological entropy of a map or flow is a dynamical invariantwhich captures the exponential complexity of the given dynamical system.The analogous notion oftopological entropy for the foliation theory context was introduced by GhysLangevin-Walczak [3]in a similar way to the definition of topological entropy of maps given by Bowen [1]. Dynamicalinvariants such as entropy are crucial in the theory of classification of dynamical systems. A globaltheory of classification for foliations theory is out of question and what happens is that, due to thegenerality of the phenomenons which are possible, several types of equivalences were introduced inthe literature. One of this equivalence types is the concordance equivalence (see for example [2]).The relations between dynamical characteristics of a foliation and concordance equivalence relation,if there are any, are not clear. It was already known [4], Lemma 8.5] that any two linear foliations

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on T 2 were concordant, thus a foliation with linear growth rate can be concordant with a foliationby compact leaves, however every linear foliation on T 2 have zero geometric entropy so this leadsno direct conclusion on the relation between positiveness of entropy and concordance equivalence.In this talk we will show that there is no clear relation even between the exponential growth rateof leaves and concordance equivalence and, consequently, positivity of geometric entropy is not aconcordant invariant.

Theorem A: [5] For any r <∞ there exist Cr-concordant foliations F and G, arbitrarily Cr-closeto each other, such that F is Riemannian and G has a resilient leaf. Consequently h(F) = 0 andh(G) > 0.

References[1] R. Bowen, Entropy for group endomorphisms and homogeneous spaces, Trans. Amer. Math.

Soc., 153:401–414, 1971.

[2] A. Candel and L. Conlon, Foliations I, volume 23 of Graduate Studies in Mathematics,American Mathematical Society, Providence, RI, 2000.

[3] E. Ghys, R. Langevin, and P. Walczak, Entropie geometrique des feuilletages, ActaMath., 168:105–142, 1988.

[4] J. Milno, Foliations and foliated vector bundles, In Collected Papers of John Milnor: IV.Homotopy, Homology and Manifolds, pages 279–320. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2009.

[5] G. Ponce, Generating positive geometric entropy from recurrent leaves, preprint, 2016.

[6] S. Smale, Differentiable dynamical systems, Bull. Amer. Math. Soc., 73:747–817, 1967.

Caos para ações de semigrupos

Hélio V. M. Tozatti ([email protected])Universidade Tecnológica Federal do Paraná - Campus de Campo Mourão

Resumo. As noções de caos para sistemas dinâmicos têm sido extensivamente estudadas desde 1975,quando Lie, T. e Yorke, J. deram a primeira definição formal de sistemas dinâmicos caóticos. Moti-vados por este e outros conceitos de caos, apresentaremos estes conceitos para ações de semigruposem espaços completamente regulares, suas relações e aplicações em sistemas de controle.

Referências[1] Alves, R. W. M.; Rocha, V. H. L.; and Souza, J. A.. A characterization of completely regular

spaces. Int. J. Math, 26 (2015), 1550032.

[2] Braga Barros, C.J. and Reis R.A.: On the number of control sets on compact homogeneousspaces. Portugaliae Mathematica, 60 (2003), 359–371.

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[4] Braga Barros, C. J. and Souza J. A., Attractors and chain recurrence for semigroup actions. J.Dyn. Diff. Eq., 22 (2010), 723–740.

[5] Braga Barros, C. J.; Rocha, V. H. L.; and Souza, J. A., Lyapunov stability for semigroup actions.Semigroup Forum, 88 (2014), 227–249.

[6] Braga Barros, C. J.; Rocha, V. H. L.; and Souza, J. A., Lyapunov stability and attraction underequivariant maps. Canad. J. Math., 67 (2015), 1247–1269.

[7] Braga Barros, C. J.; Rocha, V. H. L. e Souza, J. A., On attractors and stability for semigroupactions and control systems. Math. Nachr., 1–16 (2015) / DOI 10.1002/mana.201400389.

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[10] Devaney, R., An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Addison-Wesley, Redwood (1989).

[11] Huang, W. and Ye, X., Devaney’s chaos or 2-scattering implies Lie-Yorke chaos. Topology Appl.,117 (2002), 259–272.

[12] Kliemann, W., Recurrence and invariant measures for degenerate diffusions. Ann. Probab., 15(1987), 690–707.

[13] Kontorovich, E. and Megrelishvili, M., A note on sensitivity of semigroup actions. SemigroupForum, 76 (2008), 133–141.

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[16] Rybak, O. V., Li-Yorke sensitivity for semigroup actions. Ukrainian Mathematical Journal, 65(2013), 752–759.

[17] San Martin, L. A. B., Invariant Control Sets on Flag Manifolds. Math. Control Signals Systems,6 (1993), 41–61.

[18] San Martin, L.A.B. and Tonelli P.A., Semigroup actions on homogeneous spaces. SemigroupForum, 50 (1995), 59-88.

[19] Schneider, F. M.; Kerkhoff, S.; Behrisch, M.; and Siegmund, S., Chaotic actions of topologicalsemigroups. Semigroup Forum, 87 (2013), 590–598.

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[23] Souza, J. A., Recurrence theorem for semigroup actions. Semigroup Forum, 83 (2011), 351–370.

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[24] Souza, J. A. and Tozatti, H. V. M., Some aspect of stability for semigroup actions. J. Dyn. Diff.Equations, 26 (2014) , 631–654.

[25] Souza, J. A.; Tozatti, H. V. M.; Rocha, V. H. L., On stability and controllability for semigroupactions. To apear in Topological Methods in Nonlinear Analysis.

[26] Wang, H.; Long, X.; Fu, H., Sensitivity and chaos of semigroup actions. Semigroup Forum, 84(2012), 81–89.

Entropy and pressure for Iterated Function Systems with a ge-neral family of branches

Jairo Kras Mengue ([email protected])Instituto de Matemática e EstatísticaUniversidade Federal do Rio Grande do Sul

Abstract. In this talk we will present a possible definition of entropy for holonomic probabilitiesand some of its properties. We assume that X and Z are compact metric spaces and the iteratedfunction system τx : Z → Z, x ∈ X is defined using uniform contractions. We say that a probabilityπ ∈ P (X × Z) is holonomic if

∫g(τx(z))dπ(x, z) =

∫g(z)dπ(x, z), for any g ∈ C(Z).

Given a probability α ∈ P (X) with supp(α) = X we define the entropy of a holonomic probabilityπ with respect to α as

Hα(π) := − sup

∫c dπ, c is Lipschitz and

∫ec(x,z) dα(x) = 1 ∀ z ∈ Z

and the pressure of a continuous function c(x, z) with respect to α as

Pα(c) = sup

∫c dπ +Hα(π), π is holonomic

.

If c is Lipschitz, then ePα(c) is equal to the spectral radius of the operator Lc,α : C(Z)→ C(Z) givenby Lc,α(ψ)(z) =

∫Xec(x,z)ψ(τx(z)) dα(x).

The entropy is a concave function on the convex set of holonomic probabilities, but we will exhibitan example where it is not an affine function. As a consequence, no extremal points of the convexset of holonomic probabilities attain the supremum that defines Pα(c).

The minimal Morse components of translations on flag mani-folds are normally hyperbolic

Lucas C. Seco Ferreira ([email protected])Departamento de MatemáticaUniversidade de Brasília

Abstract. Consider the iteration of an invertible matrix on the projective space: are the Morsecomponents normally hyperbolic? As far as we know, this was only stablished when the matrixis diagonalizable over the complex numbers. In this article we prove that this is true in the far

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more general context of an arbitrary element of a semisimple Lie group acting on its generalizedflag manifolds: the so called translations on flag manifolds. This context encompasses the iterationof an invertible non-diagonazible matrix on the real or complex projective space, the classical flagmanifolds of real or complex nested subspaces and also symplectic grassmanians. Without thesetools from Lie theory we do not know how to solve this problem even for the projective space.

Joint work with Mauro Patrão MAT-UnB.

References[1] G. Ammar and C. Martin: The Geometry of Matrix Eigenvalues Methods, Acta Appl. Math.

5 (1986), 239-278.

[2] S. Batterson: Structurally Stable Grassmann Transformations, Trans. Amer. Math. Soc., 231(1977), 385-404.

[3] C. Conley: Isolated invariant sets and the Morse index, CBMS Reg. Conf. Ser. Math. 38,American Mathematical Society (1978).

[4] J.J. Duistermat, J.A.C. Kolk and V.S. Varadarajan: Functions, flows and oscilatory integralon flag manifolds. Compos. Math. 49 (1983), 309-398.

[5] T. Ferraiol, M. Patrão, L. Seco: Jordan decomposition and dynamics on flag manifolds, DiscreteContin. Dynam. Systems A, 26(3) (2010).

[6] C. Pugh and M. Shub: Linearization of normally hyperbolic diffeomorphisms and flows. Invent.Math. 10 (1970), 187-198.

[7] M. Shub and A. Vasquez: Some linearly induced Morse-Smale systems, the QR algorithm andthe Toda lattice, Contemp. Math., 64 (1987), 181-194.

Uma abordagem da teoria ergódica via desintegração de Rohk-lin

Régis Varão ([email protected])Instituto de Matemática, Estatística e Computação CientíficaUniversidade Estadual de Campinas

Resumo. Este minicurso é voltado a alunos e pesquisadores. O clássico resultado de Anosov dadécada de 60 provando a ergodicidade dos, hoje conhecidos como, difeomorfismos de Anosov passoupor provar que as folheações estáveis e instáveis sào absolutamente contínuas. Este minicurso vainesta direção de mostrar como essas propriedades métricas de certas folheações invariantes a umsistemas dinâmicos nos fornece informações relevantes da dinâmica em si.

Referências[1] R. Varão, Rigidity for partially hyperbolic diffeomorphisms, To appear on Ergodic Theory

and Dynamical Systems.

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[2] R. Varão, Center foliation: absolute continuity, disintegration and rigidity, Ergodic Theoryand Dynamical Systems, 2016.

[3] G. Ponce, A. Tahzibi, R. Varão, Minimal yet measurable foliation, Journal of ModernDynamics, 2014.

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Teoria da Computação

Equivalência entre a noção de terminação via Dependency Pairse TCC/CCG terminação

Ariane Alves ([email protected])Departamento da Ciência da ComputaçãoUniversidade de Brasília

Resumo. Diversas técnicas são desenvolvidas para verificar terminação de sistemas de reescrita eprogramas em geral, por ser uma propriedade essencial para a análise de correção de programas. Porser um problema indecidível, são propostas diversas abordagens de semi-decisão que podem apre-sentar resultados distintos. No entanto, a "completude"de cada técnica garante que, embora usadasdiferentes noções para terminação, exista sempre alguma medida decrescente segundo a execução deum programa terminante. Relacionar diferentes noções de terminação e formalizar sua equivalênciaé uma maneira de se mostrar que técnicas distintas podem ser utilizadas para análise de termina-ção e que, verificando-se terminação com uma técnica é também possível obtê-la com outra. Duasnoções de terminação que funcionam de maneira similar e podem ter sua equivalência formalizadasão Dependency Pairs (DPs) e Calling Context Graphs (CCGs). Os DPs são utilizados em sistemasde reescrita onde os lados esquerdos de cada regra formam pares de dependência com subtermoscuja raiz sejam símbolos definidos dos lados direitos. A existência de possíveis execuções infinitas édetectada através da análise de cadeias de dependência entre estes pares, abstraindo-as em um grafoe analisando o decrescimento dos ciclos criados por estas cadeias. Já os CCGs analisam programasfuncionais segundo grafos cujos vértices são os contextos de chamados de funções, que contém asinformações dos parâmetros atuais da função em execução bem como os parâmetros da próximafunção a ser executada e as condições que levam a este chamado. Aos vértices são associadas medi-das que, comparadas com as medidas dos vértices adjacentes, formam uma família de medidas querotula as arestas do grafo. Uma combinação de medidas que leve ao decrescimento de um parâmetrogarante a terminação. Algumas noções de terminação estão formalizados no assistente de provasPVS para programas funcionais. Dentre elas, CCG, Type Correcteness Conditions (TCC), que exigeuma medida decrescente nos parâmetros de cada chamada recursiva da função definida, e terminaçãosemântica pela a existência de um valor de saída para todas as entradas de uma função ou númerofinito de chamadas recursivas que o geram. Temos também formalizadas as equivalências entre estasabordagens, podendo ser usadas para relacionar novas abordagens ainda não formalizadas neste as-sistente (como DP) com todas as outras por transitividade. Serão apresentados aqui alguns desafiosque cercam a formalização em andamento entre DP e as demais técnicas citadas, como sutilezasentre reescrita e programas funcionais que podem influenciar a especificação, elementos que podemosreutilizar de outras formalizações e como relacioná-los com DP.

Referências[1] Arts, T. and Giesl, J., Termination of Term Rewriting using Dependency Pair , Theoretical

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[2] Manolios, P. and Vroon, D., Termination analysis with calling context graphs, In Proce-edings of the 18th International Conference on Computer Aided Verification, 2006.

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Unificação em Grupos Abelianos de Expoente 2

Bruno de Assim Delboni ([email protected])Departamento de MatemáticaUniversidade de Brasília

Resumo. Neste capítulo iremos apresentar algoritmo de unificação correto, completo e terminante,para a teoria equacional ACUNh que consiste das seguintes identidades: Associatividade, Comuta-tividade, Unidade, Nilpotência e homomorfismo. Para tal definiremos alguns conceitos necessáriossobre a teoria ACUNh, cujos modelos são os grupos abelianos em que todos os elementos tem ordem2 e o símbolo de função h é um homomorfismo entre os elementos do grupo. O tipo do problema deunificação ACUNh varia de acordo com a existência ou não de símbolos de função não-interpretados:- Quando Γ é um problema de ACUNh-unificação elementar ou com constantes, o problema de unifi-cação é do tipo unitário e decidível em tempo polinomial, este resultado foi enunciado por Narendranem seu artigo [1] e também Kaltofen no artigo [3].- Quando Γ é um problema de ACUNh-unificação geral, isto é, a assinatura considerada contémsímbolos de função não-interpretados, o problema de unificação é do tipo finitário, este resultado foienunciado por Zhiqiang-Liu em seu artigo [2]. A solvabilidade deste problema de unificação torna-semuito mais complexa, Schulz mostrou no trabalho [4] que o problema de decidir a solvabilidade é daclasse NP-difícil.

Referências[1] Q. Guo, P. Narendran and D. A. Wolfram, Unification and Matching Modulo Nilpotence

, In Proc. of 13th International Conference on Automated Deduction (CADE13), vol. 1104 ofLNCS, pages 261–274, Springer, 1996.

[2] Zhiqiang Liu, Dealing Efficiently with Exclusive-Or, Abelian Groups and Homomorphism inCryptographic Protocol Analysis. PhD Thesis, Clarkson University, 2012.

[3] E. Kaltofen, M.S. Krishnamoorthy and B.D. Saunders, Fast parallel computation ofHermite and Smith forms of polynomial matrices, In SIAM Journal of Algebraic and DiscreteMethods (SIAM j.), vol. 8(4) of LNCS, pages 683-690, 1987.

[4] K. U. Schulz, A Criterion for Intractability of E-unification with Free Function Symbolsand Its Relevance for Combination Algorithms, In Proc. of 8th International Conference onRewriting Techniques and Applications (RTA97), vol. 1232 of LNCS, pages 284–298, Springer,1997.

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Maude in a nutshell with pecan pie

Christiano Braga ([email protected])Instituto de ComputaçãoUniversidade Federal Fluminense

Abstract. In this talk we present a short tutorial on Maude and Rewriting Logic. The emphasisis on specification and automated reasoning in Maude. The logical foundations of the reasoningtechniques are discussed together with non-trivial examples of their application.

References[1] Manuel Clavel, Francisco Durán, Steven Eker, Patrick Lincoln, Narciso

Martí-Oliet, José Meseguer, Carolyn Talcott, All About Maude - A High-Performance Logical Framework, How to Specify, Program and Verify Systems in RewritingLogic, Lecture Notes in Computer Science, Volume 4350, 2007.

[2] Maude Manual (Version 2.7.1), July 2016, url:http://maude.cs.illinois. (Last accessed: Feb.10, 2017)

[3] José Meseguer, Conditional rewriting logic as a unified model of concurrency,Theoretical Computer Science,Volume 96, Issue 1, 6 April 1992, Pages 73-155,Elsevier,http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975(92)90182-F.

[4] Christiano Braga, Maude in a Nutshell with Pecan Pie, slides and examples, url:http://www.ic.uff.br/ cbraga/maude-in-a-nutshell

Manutenção e dinamização de vetores de bit para consultaseficientes

Daniel Saad ([email protected])Departamento da Ciência da ComputaçãoUniversidade de Brasília

Resumo. Vetores de bits são estruturas de dados fundamentais para construção de Estruturas deDados Sucintas complexas, tais como: Arranjos de Sufixos comprimidos, K2-Trees, Árvores Orde-nadas Sucintas, Wavelet-Trees, FM-índices, dentre várias outras. De modo a tornar estas estruturasde dados sucintas em sua versão dinâmica, que permite atualizações, emprego de vetores de bitsdinâmicos é essencial. O presente trabalho expõe como manter um vetor de bits dinâmico que possi-bilite a execução de consultas eficientemente ao privilegiar regiões com poucas atualizações e muitosacessos.

Referências[1] Gonzalo Navarro and Yakov Nekrich, Optimal Dynamic Sequence Representations,

SIAM J. Comput., volume 43 (5), pages 1781–1806, 2014. .

91


[2] J. Ian Munro and Yakov Nekrich, Compressed Data Structures for Dynamic Sequences,In Proc. of 23rd Annual European Symposium Algorithms - ESA 2015 -, Patras, Greece,September 14-16, 891–902, 2015.

[3] Rodrigo González and Gonzalo Navarro, Rank/select on dynamic compressed sequen-ces and applications, Theor. Comput. Sci., volume 410(43), pages 4414–4422, 2009.

[4] Simon Gog and Timo Beller and Alistair Moffat and Matthias Petri, FromTheory to Practice: Plug and Play with Succinct Data Structures, In Proc. of 13th InternationalSymposium of Experimental Algorithms, SEA 2014, Copenhagen, Denmark, June 29 - July 1,pages 326–337, 2014.

Casamento Módulo AC via Grafos Bipartidos

Deivid Vale ([email protected])Departamento de MatemáticaUniversidade de Brasília

Resumo. Neste trabalho estuda-se uma versão mais fraca do problema de unificação para teoriasequacionais Associativas-Comutativas (AC). O objetivo é encontrar uma substituição σ tal que tσ =s. Mostraremos que o problema é NP-completo no no caso geral e polinomial para o caso restrito deocorrências distintas de variáveis.

Referências[1] Nantes, Daniele, The Intruder Deduction Problem for AC-convergent Locally Stable The-

ories, PhD Thesis, Department of Mathematics - University of Brasília and Department ofInformatics, King’s College London, 2013.

[2] Benanav, Dan; Kapur, Deepak and Narendran, Paliath, Complexity of MatchingProblems Corporate Research and Development, General Electric Company / Schenectady,NY.

[3] Papadimitriou H., Christos and Kenneth, Steiglitz, Combinatorial OptimizationAlgorithms and Complexity, Englewood Cliffs, N.J, Prentice Hall, 1982.

Fragmentos de MSO2 e Quantificação de Relações de Grau Li-mitado

Francicleber M. Ferreira ([email protected])Departamento de ComputaçãoUniversidade Federal do Ceará

Resumo. Em Teoria dos Modelos Finitos e Complexidade Descritiva estamos interessados em ca-racterizar o poder expressivo de lógicas com relação a modelos finitos e classes de complexidade

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computacional. Nesse contexto, resultados de separação de lógicas são importantes pois podemser utilizados para separar classes de complexidade computacional. Apresentaremos um resultadode separação entre fragmentos da lógica de segunda-ordem sobre grafos com quantificação restritaconjuntos de arestas de grau limitado.

Referências[1] Grädel, Erich, et al., Finite Model Theory and its applications, Springer, 2007.

[2] Ferreira, F. M., Expressiveness and Complexity in Preferential, Hybrid and TransitiveClosure Logics. PhD Thesis in Computer Science, Universidade Federal do Ceará, 2012.

Some connections between Categories, Logic and Computation

Hugo L. Mariano ([email protected])Instituto de Matemática e EstatísticaUniversidade de São Paulo

Abstract. In this general talk, we will approach some connections between Categories, Logic andComputation, by the presentation of three cases:(i) cartesian closed categories;(ii) sketches;(iii) institutions.

References[1] J. Adámek, J. Rosický, Locally Presentable and Accessible Categories, Lecture Notes Series

of the LMS, 189, Cambridge University Press, 1994.

[2] M. Barr, C. Wells, Category Theory for Computing Science, Prentice Hall, 1990.

[3] J. A. Goguen, R. M. Burstall, Institutions: abstract model theory for specification andprogramming, Journal of the Association for Computing Machinery (JACM), 39(1), 95-146,1992.

[4] J. Lambek, P.J. Scott, Introduction to Higher-Order Categorical Logic, Cambridge Uni-versity Press, 1988.

Algoritmos genéticos paralelos com troca de indivíduos paraordenar genomas utilizando reversões

Lucas Angelo ([email protected])Departamento da Ciência da ComputaçãoUniversidade de Brasília

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Resumo. Rearranjo por reversões é uma operação global adequada para tratar genomas com umúnico cromossomo. Ordenação de genomas sem sinal utilizando reversões consiste em um problemade otimização o qual foi mostrado ser NP-difícil. A literatura provê vários algoritmos de aproximação,entre eles, em trabalhos anteriores, foi introduzido um algoritmo genético competitivo e sua versãoparalela o qual forneceu um substancial ganho de performance de execução. Aqui, será apresentandoduas abordagens usando modelos de paralelização para o algoritmo genético citado anteriormente.A primeira abordagem usa topologia unidirecional de comunicação em anel para trocar indivíduosentre ilhas vizinhas e, a segunda usa um esquema de gráfico completo para a distribuição de indi-víduos entre ilhas. Ambas as abordagens foram propostas com o objetivo de melhorar a precisão(isto é, para reduzir o número de reversões) e diminuir o tempo de execução em relação ao algoritmogenético. Experimentos foram realizados com genomas sintéticos gerados aleatoriamente, os resulta-dos mostram que a abordagem paralela usando topologia de comunicação em anel supera o algoritmogenético e a sua versão paralela em termos de precisão fornecendo soluções com um número menorde reversões e que a abordagem paralela usando topologia de comunicação com grafo completo nãofornece melhorias significativas em relação aos outros algoritmos. Em relação ao tempo de execução,ambas as novas abordagens paralelas obtêm speedups competitivos em relação à aceleração alcançadapela versão paralela do algoritmo genético proposta anteriormente.

Referências[1] D. A. Bader, B. M. Moret, and M. Yan, A linear-time algorithm for computing inversion

distance between signed permutations with an experimental study, Journal of ComputationalBiology, vol. 8, no. 5, pp. 483–491, 2001.

[2] A. Caprara, Sorting by reversals is difficult, in Proceedings of the first annual internationalconference on Computational molecular biology. ACM, 1997, pp. 75–83.

[3] D. A. Christie, A 3/2-approximation algorithm for sorting by reversals, in Proceedings ofthe ninth annual ACM-SIAM symposium on Discrete algorithms. Society for Industrial andApplied Mathematics, 1998, pp. 244–252.

[4] J. L. Soncco- Alvarez and M. Ayala-Rincon, A genetic approach with a simple fitnessfunction for sorting unsigned permutations by reversals, in Computing Congress (CCC), 20127th Colombian. IEEE, 2012, pp. 1–6.

[5] J. L. Soncco- Alvarez, G. M. Almeida, J. Becker, and M. Ayala-Rincon, Pa-rallelization and virtualization of genetic algorithms for sorting permutations by reversals, inNature and Biologically Inspired Computing (NaBIC), 2013 World Congress on. IEEE, 2013,pp. 29–35.

Lógica de primeira ordem e funções de primeira ordem

Rodrigo Freire ([email protected])Departamento de FilosofiaUniversidade de Brasília

Resumo. Esta palestra tem por finalidade apresentar, para a lógica de primeira ordem, objetossemânticos que correspondem de modo relevante às funções de verdade da lógica proposicional.

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Usando o método dos isomorfismos parciais, vamos definir as noções relevantes e mostrar o quantopodemos desenvolver um paralelo entre a lógica de primeira ordem e a lógica proposicional.

Referências[1] Freire, R. A., First-Order Logic and First-Order Functions, Log. Univers. (2015), vol. 9,

issue 3, pp. 281-329.

Isomorfismos Parciais

Rodrigo Freire ([email protected])Departamento de FilosofiaUniversidade de Brasília

Objetivos. Neste minicurso vamos apresentar o método dos isomorfismos parciais com algumasaplicações. Vamos mostrar como a noção de q-isomorfismo parcial pode ser usada para caracterizara equivalência elementar e a definibilidade de predicados em lógica de primeira ordem. Vamos aindausar os isomorfismos parciais para construir formas normais disjuntivas para a lógica de primeiraordem. Por fim, vamos deixar indicado como esse método pode ser estendido a outros sistemaslógicos mais expressivos que a lógica de primeira ordem.

Referências[1] Freire, R. A., INTRODUCTORY NOTES ON PARTIAL ISOMORPHISMS, Lecture Notes,

2017.

Formalização da Terminação de Especificações Funcionais

Thiago M. F. Ramos ([email protected])Departamento da Ciência da ComputaçãoUniversidade de Brasília

Resumo. Terminação é uma parte crítica de especificação de correção de programas. Verificarautomaticamente terminação de um programa é conhecido como Problema da Parada e Turingprovou que é um problema indecidível. Apesar disso, é possível construir programas de semi decisãoque verifica terminação, que responde ‘sim’ se o algoritmo para e ‘talvez’ se não é conhecido. Paraconstruir esses programas de semi decisão é necessário diferente noções de terminação, provando quetodas noções são equivalentes. Neste trabalho, noções de terminação são formalizadas equivalentespara uma linguagem funcional de primeira ordem PVS0 usando o assistente de prova PrototypeVerification System. Essas noções são: as funções produzem uma saída, a árvore de chamado defunções tem tamanho finito (ambas as noções são chamadas terminação semântica), e os argumentosdas funções decrescem para cada chamado recursivo (essa noção é chamada (ranking function). Ascontribuições desse trabalho incluem a formalização de equivalência entre noções de terminaçãosemântica e ranking function, formalização de indecidibilidade do Problema da Parada e Turing-Completude de PVS0.

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Referências[1] Panagiotis Manolios and Daron Vroon, Termination Analysis with Calling Context

Graphs, In Thomas Ball and RobertB. Jones, editors, Computer Aided Verification, volume4144 of Lecture Notes in Computer Science, pages 401–414. Springer Berlin Heidelberg, 2006.

[2] Andréia B. Avelar, Formalização da automação da terminação através de grafos commatrizes de medida, PhD thesis, Universidade de Brasília, Departamento de Matemática,Brasília, Distrito Federal, Brasil, 2015.

[3] Thiago Ramos and Mauricio Ayala-Rincón, Formalization of the undecidability ofthe halting problem for a turing complete functional language, In Submetido para Escola deInformática Teórica e Métodos Formais, 2016.

[4] Byron Cook, Andreas Podelski, and Andrey Rybalchenko, Proving program ter-mination, Commun. ACM, 54(5):88–98, May 2011.

[5] Chin Soon Lee, Neil D. Jones, and Amir M. Ben-Amram, The size-change principlefor program termination, In Proceedings of the 28th ACM SIGPLAN-SIGACT Symposium onPrinciples of Programming Languages, POPL ’01, pages 81–92, New York, NY, USA, 2001.ACM.

A Formalisation of Nominal Unification Modulo C and AC

Washington L. R. de Carvalho Segundo ([email protected])Departamento da Ciência da ComputaçãoUniversidade de Brasília

Abstract. Unification, matching and checking equality are basic operations in a lot contexts. Forexample, in:a) linear programming: equational systems are transformed to simpler “equivalent” ones;b) information retrieval needs to search for matchings to a particular string; andc) programming languages: unification is the core of type checking and type inference process.

The “equivalence” between two objects can be extended to more complex relations. For instance,if one has the definition of a function, the names of its parameters will be irrelevant. Example:

def1: ln(x) := x 7→∫ x

1

dx

xand def2: ln(u) := u 7→

∫ u

1

dw

w

In the above definitions both functions have the same behaviour, although the names of variablesare different. It is also necessary to note that particularly in def1 are two “binding scopes of x": firstx was used as the top limit of the integral, and x was also in the body of the differential dx. Thesetwo scopes were nested and the name x was used for completely different purposes. So in def2 thisdifference are explicited by choosing different names u and v for different binding scopes.

Another way to extend the notion of equality between objects is to consider some properties overthe function symbols, such as: associativity, commutativity, distributivity, neutral element, etc. Theseproperties occur very often in many operators. The main examples are the basic logical connectives(disjunction and conjunction), and the operators of union and intersection of the set theory.

We are presenting a formalisation of a unification procedure that uses the nominal approachto deal with binding, and it also allows the occurrence of an enumerable set of C function symbols.

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This procedure was shown to be terminant and correct, and we hope that an extension of theseproofs, including also A and AC function symbols, won’t be hard to be done. Moreover, when westarted writing the proof of the completeness of the procedure, it gave us a clue that the cardinalityof the solutions set has changed. We have as result that nominal commutative unification maygive rise to an infinite minimal complete set of solutions.

Joint work with Mauricio Ayala-Rincón (CIC/UnB), Maribel Fernández (King’s College London)and Daniele Nantes-Sobrinho (MAT/UnB).

References[1] Ayala-Rincón, M. and Carvalho-Segundo, W. and Fernández, M. and Nantes-

Sobrinho, D., A Formalisation of Nominal Equivalence with Associative-Commutative Func-tion Symbols, Logical and Semantic Frameworks with Applications, 78–93 (2016).Post pro-ceedings version accepted for publication in ENTCS.

[2] Ayala-Rincón, M. and Fernández, M. and Rocha-oliveira, A. C., Completenessin PVS of a Nominal Unification Algorithm, In Proc. of the 10th Workshop on Logical andSemantic Frameworks, with Applications (LSFA 2015), volume 322 of ENTCS, 57-74, 2016.

[3] Fernández, M. and Gabbay, M. J, Nominal Rewriting, Information and Computation, 6,917-965, 2007.

[4] Kapur, D. and Narendran, P., Complexity of Unification Problems with Associative-Commutative Operators, Journal of Automated Reasoning, 1, 261–288 (1992).

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IndexAbílio Lemos, 5Abiel Costa Macedo, 11Adán J. Corcho, 11Adilson Eduardo Presoto, 12Adriana Neumann de Oliveira, 76Adriano Possebon Rosa, 71Alessandra Lisboa da Silva, 45Alex Carrazedo Dantas, 5Alireza Khatib, 12Alison Marcelo Van Der Laan Melo, 76Ana Gabriella de Oliveira Sardinha, 24Ana Paula Chaves, 6Andréia Júlio de Oliveira Rocha, 44Andrea Genovese de Oliveira, 71Andreia Júlio de Oliveira Rocha, 25Antônio Villar Marques de Sá, 43, 65, 67Antonio Luiz Melo, 39Ariane Alve , 89Armando Mauro Vasquez Corro, 69Artur Oscar Lopes, 76Augusto César dos Reis Costa, 12

Benito Pires, 82Bruna Alves Costa, 25Bruno de Assim Delboni, 90Bruno Marx de Aquino Braga, 26Bruno Santos Ferreira, 41

Cília Cardoso Rodrigues da Silva, 28Cármen Lúcia Brancaglion Passos, 26Carlos Alberto Maquera Apaza, 82Carmyra Oliveira Batista, 27Christian Horacio Olivera, 77Christiano Braga, 91Cleyton Hércules Gontijo, 36Cristiano Alberto Muniz, 56

Dahisy Lima, 83Dalton Francisco Andrade, 77Daniel Perdigão, 29Daniel Saad, 91Dayane Palmer de Oliveira, 50Deivid Vale, 92Dessislava H. Kochloukova, 6Diego Catalano Ferraioli, 69Diogo Diniz Pereira da Silva e Silva, 6Diogo Getulio Freire, 30

Douglas Oliveira de Lima, 31

Edcarlos Domingos da Silva, 13Edgard Pimentel, 13Edilene Simões Costa dos Santos, 27Edson Ferreira da Costa Junior, 32Eduard Toon, 13Eimard Gomes Antunes do Nascimento, 34Elisabeth Cristina de Faria, 32Erondina Barbosa da Silva, 35Everaldo Medeiros, 14

Fabiana Barros de Araújo e Silva, 36Fabio Enrique Brochero Martinez, 7Fernando Manfio, 69Filipe Dantas dos Santos, 14Francicleber M. Ferreira, 92

Gabriel Ponce, 83Gabriela Planas, 14Gesse Arantes de Roure Neto, 72Gilberto Lacerda dos Santos, 41Giovany Figueiredo, 15Grigori Chapiro, 73

Hélio V. M. Tozatti, 84Hugo Alexander de la Cruz Cansino, 78Hugo L. Mariano, 93

Igor dos Santos Lima, 7Ilir Snopche, 8Iran Abreu Mendes, 37Irene Naomi Nakaoka, 8

Jairo Kras Mengue, 86Janaína Mendes Pereira da Silva, 54Janice Pereira Lopes, 50Jaqueline Araújo Civardi, 38Jaqueline Godoy Mesquita, 16Jeferson Teixeira de Freitas, 39Jorge Barros de Abreu, 40Jorge Cássio C. Nóbriga, 41José Carlos de Oliveira Junior, 16Josiane Stein, 78Josinalva Estacio Menezes, 42Juliana Pimentel, 17

Karly Barbosa Alvarenga, 32Kaye Oliveira da Silva, 17

98


Keila Cristina de Araújo Reis, 43Kisnney Emiliano de Almeida, 9Kostiantyn Iusenko, 9

Leonardo Monteiro de Sousa, 44Luís Dionísio Paz Lapa, 45Lucas Angelo, 94Lucas C. Seco Ferreira , 86Lurdes Serrazina , 28

Márcia Federson, 18Mônica Menezes de Souza, 27Mônica Regina Colaço dos Santos, 49Manuela da Silva Souza, 9Marcelo Rempel Ebert, 18Marcone Correa Pereira, 18Marcos Leadro Mendes Carvalho, 18Marcos Paulo Barbosa, 45Maria Luiza de Oliveira Silva, 46Marli Alves Flores Melo, 48Martin Bohner, 19Matheus Brito, 9Maxwell Lizete, 20Mikaella Lima Gomes, 49

Nathália Duarte da Silva, 53Nayra Thayne Cena de Oliveira, 50Nicola Sambonet, 10Nilton Moura Barroso Neto, 66Nilza Eigenheer Bertoni, 51

Olimpio Miyagaki, 20Olinto de Oliveira Santos, 52

Patrícia Hilário Tacuri, 20Paulo Henrique de Azevedo Rodrigues, 10Paulo R. C. Ruffino, 79Paulo Victor Reis Moreira, 53Paulo Vinícius Pereira de Lima, 54, 55Pedro José Catuogno, 79Pedro Ubilla, 20Pierluigi Benevieri, 21

Régis Varão, 87Raimunda de Oliveira, 56Raimundo de Araújo Bastos Júnior, 29, 65Raquel Lehrer, 22Raul Rodrigues de Oliveira, 32Regina da Silva Pina Neves, 41, 46, 53, 54Ricardo Nunes de Oliveira, 7Ricardo Parreira da Silva, 22

Roberto Vila Gabriel, 80Rodrigo Freire, 94, 95Rodrigo Rodrigues de Oliveira, 57Romildo Pina, 70Rosália Policarpo Fagundes de Carvalho, 27Rui M. Lima e Diana Mesquita, 58, 60

Sílvia Regina Costa Lopes, 80Sônia Regina da Silva Miranda, 57Saddo Ag Almouloud, 61Samuel Canevari, 70Sandra Bento de Carvalho, 57Shyam Sumanta Das, 74Solange Hassan Ahmad Ali Fernandes, 63Stephanie Coomans, 41Suélio Alves de Moura, 81

Thiago do Rêgo Sousa, 81Thiago Henrique Santos Torres, 65Thiago M. F. Ramos, 95Tiago H. Picon, 23

Valdir Sodré dos Santos, 49, 55Vinícius de Carvalho Rispoli, 31Virginia Perpetuo Guimarães Pin, 65VTânia Schmitt , 64

Washington L. R. de Carvalho Segundo, 96Welington Fernandes de Sousa, 66Wesley Pereira da Silva, 67

Yuri Dumaresq Sobral, 75

99

Departamento de MatemáticaCampus Universitário Darcy Ribeiros70910-900Brasília DF - Brasilhttp://[email protected]:+ 55 (61) 3107-7236 (Secretaria)+ 55 (61) 3107-6481 (Graduação)+ 55 (61) 3107-6482 (Pós-Graduação)Graduação em MatemáticaMestrado Profissional em MatemáticaMestrado e Doutorado em Matemática

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