o PUNTOS, RECTAS Y PLANOS

IDEAS CLAVE• ideas intuitivas

• términos indefi-nidos

LA RECTITUD

Se dice que una personaes "recta" cuando es justa,firme e intachable. Además,su conducta bajo ningunacircunstancia es reprocha-ble.

• ¿Qué otros términos delas matemáticas conocesque tengan un significadoen la vida real?

En geometría existen términos tales como punto, recta y plano, qi.sponden a ideas intuitivas, porque no se pueden definir.

r

Las rectas se nombran con letras minúsculas: r, 5, t...

Dos puntos, A y B, determinan la recta AB, denotada AB.

Los puntos de un conjunto son colineales si hay una recta que los:a todos, y son coplanarios si hay un plano que los éontiene a todcs

Dos rect~s, r y 5, pueden tener un punto común o ninguno.

Dos rectas que se cortan en un punto son secantes.•••Dos rectas que están en el mismo plano y no se cortan en algún p..:paralelas. .

IR'

I )

ACTIVIDAD RESUELTA

• Dada la recta r y el punto A. dibuja una recta 5, que pase por t _paralela a T,

Solución: Pará resolverlo, se sitúan las escuadras como se muestre ::-figuras 3.27 y 3.28 v ee traza la recta 5.

r

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

INTERPRETA

1. EJERCITACIÓN. Traza en el plano 13de la figura3.29, los elementos indicados.

al La recta AR

bl Un punto B colineal con A y R

e] Una recta secante a AR que pase por B.

d] Un punto e que no pertenezca a AR.

el Una recta paralela a AR que pase por C.

tl Un punto S coplanario a los puntos A. B, ey R.

gl Una recta que pase por los puntos e y s.

•A

Figura 3.27 .

2. f.!$¡14ii.i4;i¡¡iW.M Observa la figura 3.30. l.ueqcbra los elementos que se indican. Com :=:resultados con un compañero. ¿Son ún :-respuestas?

al Dos rectas distintas .

bl Tres puntos colineales .

el Tres puntos coplanarios .

d] Tres puntos no colineales .

el Un plano .

• ¿Qué soluciones nuevas obtuviste lUE;comparar tus resultados? ¿Hubieras :::encontrar todas las soluciones tú so e

pQ

R

M •

Figura 3 -

PROYECTO APRENDER JUNTOS © :::::

_IIO:C~-:.Indica si cada afirmación es verda-o falsa [Fl. de acuerdo con la figura

p

s

o

Figura 3.31

: .nto S pertenece a la recta TO.: untos P, R Y S son coplanarios.

_ cuntos S, O Y P son colineales.

- ~r¡to O es común a las rectasTO.

- ~'lto P pertenece a la recta Ti).

-o. Relaciona cada enunciado con elcorrespond iente.

- ~ punto se pueden trazar infinitas rec-

=_s rectas distintas se cortan, entonces--ersección es un único punto.

::s planos diferentes se cortan, entonces--ersección es una recta.

p

QFigura 3.32

Figura 3.33

ARGUMENTA5. COMUNICACiÓN. Dos puntos determinan una recta.

al ¿Cuántas rectas se pueden trazar con unsolo punto? .

bl ¿Cómo son las rectas que pasan por esepunto? .

PROPONE6. EJERCITACIÓN. Dibuja dos rectas paralelas a la

recta r que pasen por los puntos A y B [fi-gura 3.35].

Figura 3.35

7. Lee y resuelve.

En geometría, las ideas de punto, recta y planosurgen de la simplificación de los hechos de lanaturaleza.

• La huella que deja la punta de un lápiz sobreel papel da la idea de punto.

• Un trozo de cuerda completamente tensadada la idea de recta.

• Una s1llerficie absolutamente lisa y planada la idea de plano.

Escribe ~lano, recta o punto al frente de cadaafirmacion, según convenga.

IDEA INTUITIVA

al La superficie de una mesa

b] La punta de una espada

e) La cabeza de un aLfiLer

d] EL fiLo de una hoja

e) La superficie de una puerta

f) Un vidrio

g\ Un grano c:\earena

~ SEMIRRECTAS y SEGMENTOS

,, P, P,\ \ \· ,· " "· ,

· , ,A · B A

, B A, ,· , , , -, , ,

,r,, q,'.: q; :,, ,

Figura 3.37 Figura 3.38 Fie:; -=

IDEAS CLAVE

• parte de la recta• recta perpendi-

cular

Una semirrecta es cada una de las dos regiones en que un punto O de ur erecta r separa esta recta.Un segmento es la parte de la recta delimitada por dos puntos, que son losextremos del segmento.

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular a él que pasa p...-su punto medio.

Para trazar la n'tediatriz de un segmento AB utilizando regla y compás s::sigue este procedimiento:TEN EN CUENTA

005 rectas son perpen-diculares si forman cua-tro ángulos rectos [figura3.361

1.° Se abre el~om-pás con un radiomayor que la mi-tad del segmento.Con centro en Ase dibuja un arco[figura 3.37].

90'" 90'0

90'0 90'0

Figura 3.36

DESARROLLA TUS COMPETENCIAS

INTERPRETA

1. RAZONAMIENTO. Ten en cuenta las claves para co-lorear en la figura 3.41, los elementos quese indican.

p

M R

Figura 3.40

al OMde_ bl OS de

cl OP de dl MN de-el Nade_ n NR de

2. RAZONAMIENTO. El punto P de la recta AB de lafigura 3.41 determina en ella dos conjuntosde puntos. ¿Cuáles son?

A P B---++----i+~----1+~, Figura 3.41

2.° Con el mismo ra-dio, se dibuja unarco con centroen B de modoque corte al ante-rior en dos pun-tos, P y Q [figura3.381.

3° Se dibuja la rec-ta que contiene lospuntos P y Q Y e:perpendicular a A~Esta recta, que cc>ta al segmento ::su punto medio, =_la .rnediatriz [fig ...-3.391.

m

3. EJERCITACIÓN. Traza los elementos indicados

4. RAZONAMIENTO. La distancia del punto A al p_-es 2,5 cm. Si M es el punto medio de. :mento AB, ¿cuánto mide el segment -

.Q

al La recta AR

el La semirrecta RQ

el La semirrecta QT

.p

•T

bl El segment -d] El segmentc -fl El segmen e

t:

Fig -=

~~RCITACIÓN. Lee la información. Luego, realizaque se indica.

...,una recta, dos puntos determinan un seg-ento y cuatro semirrectas.

Observa la figura 3.43.

M+

N+Figura 3.43

_os puntos M y N determinan en 7:

• MN• MN

• NM• 'La semirrecta opuesta a MN

• La semirrecta opuesta a NM

ombra todas las semirrectas y segmentos quecnservas en figura 3.44.

A B e

Figura 3.44

egmentos: .

Sernirrectas: .

o <ZONAMIENTO. ¿Cuántos segmentos diferentes se....tilizaron para construir la figura 3.45?

A

E B~----~~--~-+--------~

" o eFigura 3.45

:3••• ENTA

¿Existe alguna diferencia entrese-nirrecta y segmento? Si es así, escríbela.::::scute tu solución con el resto de la clase.

'=~ENDER JUNTOS.

• Cómo te sentiste al exponer tus ideas? ¿Fue"ácil o difícil que los demás entendieran tusconclusiones?

8. COMUNICACiÓN. Traza las mediatrices de los seg-mentos AC y BD de la figura 6.46 y di quéobservas .

A

o B

e Figura 3.46

9. COMUNICACiÓN. ¿Qué relación encuentras entre lasmediatrices de las diagonales del cuadradode la figura 3.47?

Figura 3.47

10. RAZONAMIENTO. Traza dos segmentos perpendicu-• lares. Construye la mediatriz de cada uno.

¿Qué relación existe entre las dos mediatri-ces trazadas? Plantea una conjetura.

PROPONE

11. EJERCITACIÓN. Traza en tu cuaderno las mediatri-ces de dos segmentos paralelos de 4 cm y6 cm de longitud.

12. COMUNICACiÓN. Dibuja en tu cuaderno un segmentovertical de 7 cm de longitud.

al Traza su mediatriz utilizando regla y compás.

bl Comprueba que el punto de corte de la me-diatriz con el segmento es su punto medio.

13. Completa la tabla 3.5; para. . .ello, elabora una figura que te permita con-tar el número de semirrectas y segmentosque determinan algunos puntos en una recta.

RESOLUCiÓN DE PROBLEMAS.

NÚMERO DE NÚMERO DE NÚMERO DE

PUNTOS SEGMENTOS SEMIRRECTAS

1-- O 22 1 43.•.. 3 645

678910

Tabla 3.5