Mestrado Integrado em Engenharia Mecanica

Investigacao Operacional2010.02.09

Prova com consultaAlunos admitidos a exame com avaliacao contınua

Duracao: 2h30

A FIA – Federation Internationale de l’Automobile gere os desportos motorizados a nıvel mundial.Fundada em 1904, com sede em Paris, a FIA e uma associacao sem fins lucrativos. Agrega 228associacoes nacionais de 132 paıses, distribuıdos pelos 5 continentes. Os membros destas organizacoesrepresentam mais de 100 milhoes de condutores e suas famılias.

A FIA tem representado os direitos das organizacoes e dos utilizadores dos veıculos motorizadosatraves de campanhas e actividades que defendem os seus interesses. A FIA promove activamente osinteresses dos condutores junto das Nacoes Unidas, da Uniao Europeia e outras corpos internacionais,em assuntos como a seguranca, a mobilidade, o ambiente e as leis de proteccao do consumidor.

Mas a FIA tambem governa os desportos motorizados a nıvel mundial. Define as regras e regula-mentos para todas as competicoes internacionais motorizadas de 4 rodas, incluindo o Campeonato doMundo de Formula 1, o Campeonato do Mundo de Rallies e o Campeonato do Mundo de “Touring”.O Conselho Mundial para o Desporto Motorizado (WMSC – World Motor Sport Council) e o orgao daFIA responsavel por todos os aspectos do desporto motorizado internacional. Na sua accao, o WMSC,da prioridade a melhoria nas normas de seguranca e normas ambientais em todas as formas do des-porto, adopta regulamentos comuns para as varias series competitivas e nutre as raızes do desportomotorizado, desenvolvendo todas as suas formas, especialmente entre os jovens e nos paıses em viasde desenvolvimento.

1

1. (20/3 valores)

A FIA, Federacao Internacional do Automovel, e a entidade que governa o desportoautomovel mundial e a federacao das principais organizacoes de desportos motorizados.

Neste contexto, a FIA tera de garantir a supervisao de varias actividades da organizacaoda 5a prova do Campeonato Mundial de Rally, que vai ter lugar entre 23 e 26 de Abrilna Argentina. A contratacao dos servicos de charters de helicopteros necessarios para asdeslocacoes dos funcionarios desta Federacao e uma das tarefas da responsabilidade daequipa das operacoes logısticas da FIA (ELFia).

Apos pesquisa da oferta local deste tipo de servicos, a ELFia compilou a informacaoapresentada na Tabela I, relativa as tres principais empresas de charters.

O numero maximo de passageiros que cada modelo de helicoptero pode transportar, bemcomo a velocidade de cruzeiro de cada um deles, sao indicados na Tabela II.

Modelo de No maximo de Velocidadehelicoptero passageiros de cruzeiro

Bell JetRanger 4 150 milhas/horaEurocopter AStar 5 169 milhas/hora

Eurocopter TwinStar 5 130 milhas/horaBell LongRanger 6 150 milhas/hora

Tabela II – Caracterısticas dos modelos de helicoptero

Os funcionarios da FIA deslocam-se sempre em grupos de 2, 3, 4, 5 e 6 elementos.

Foi feito um levantamento das necessidades de transporte dos funcionarios da FIA parao perıodo da prova, tendo-se determinado o numero de milhas a efectuar por dimensaodo grupo a transportar (Tabela III).

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Dimensao do grupo No de milhasa transportar a efectuar

2 7 5003 10 0004 6 0005 5 0006 2 000

Tabela III – Necessidades de transporte

A ELFia pretende construir um modelo de programacao linear que lhe permita determi-nar a polıtica mais economica de aluguer dos helicopteros necessarios ao transporte doselementos da FIA, tendo em conta a seguinte informacao:

• num determinado helicoptero so pode viajar um unico grupo;

• a duracao dos voos pode ser calculada com base na velocidade de cruzeiro dos he-licopteros;

• o numero de horas de voo de cada helicoptero que for alugado nao pode exceder as64 horas no perıodo referido.

(a) Descreva detalhadamente (apenas por palavras) a funcao objectivo para este pro-blema.

(b) Descreva detalhadamente (apenas por palavras) todas as restricoes para este pro-blema.

(c) Defina de forma clara (por palavras) o significado das variaveis de decisao para esteproblema.

(d) Escreva o modelo de programacao linear para este problema.

(e) Admita agora que, pelo simples facto de se alugar um determinado modelo de he-licoptero a uma das empresas, se incorre no pagamento de uma caucao (nao re-embolsavel, e que e fixa independentemente do numero de aparelhos desse modeloque foram alugados a essa empresa). O valor dessa caucao varia com o modelo doaparelho e com a empresa contratada, conforme se apresenta na Tabela IV.

Reformule o modelo da alınea anterior considerando estes novos dados.

Modelo de Valor da caucaohelicoptero ARGENTAIR HELIARG AIRPAMPAS

Bell JetRanger 30 000 e 25 500 e 22 500 eEurocopter AStar 15 000 e 12 000 e 14 000 e

Eurocopter TwinStar 20 000 e 18 000 e 16 000 eBell LongRanger 10 000 e 6 000 e 12 000 e

Tabela IV – Valor das caucoes

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2. (20/3 valores) A FIA pretende, na proxima epoca, alargar as competicoes de desportosmotorizados aos paıses da Asia Central: “Kazakhstan, Kyrgyzstan, Mongolia, Tajikistan,Turkmenistan and Uzbekistan”, criando um novo circuito num desses paıses. De todosesses paıses foi escolhida a Mongolia, dado o empenho dos seus governantes em manterfortes lacos com os paıses ocidentais.

Os custos da construcao desse novo circuito na Mongolia, junto a capital Ulaanbaatar, saomuito elevados porque e necessario, para alem do circuito em si, fazer varias intervencoesnas infraestruturas de transportes e tambem infraestruturas hoteleiras.

Para ajudar a suportar esses custos a FIA podera lancar uma campanha forte para an-gariacao de fundos para esse novo circuito. A FIA e ja muito experiente neste tipo desituacoes e os seus dirigentes sabem que a campanha de angariacao de fundos correspondea um investimento elevado e nao e seguro que os resultados financeiros sejam satisfatoriosou mesmo positivos.

De facto a resposta a campanha de angariacao de fundos depende fortemente do ındice decorrupcao do Estado. Esse ındice de corrupcao foi de 10 no ultimo estudo divulgado. Se,quando forem divulgados os novos resultados, a Mongolia tiver um ındice de corrupcaoigual ou inferior a 5, estima-se que a campanha renda 3 milhoes de Euros. Caso contrarioa campanha de angariacao de fundos trara um prejuızo de 2 milhoes de Euros. A pro-babilidade do proximo ındice de corrupcao a ser divulgado ser igual ou inferior a 5 e de60%.

Claro que, se nenhuma campanha for levada a cabo, nao ha qualquer despesa nem receitaextraordinaria para alargar as competicoes de desportos motorizados aos paıses da AsiaCentral.

(a) Apresente uma formulacao de teoria de decisao para este problema, indicando claramenteas accoes alternativas, os estados da natureza e os custos/lucros associados.

(b) Indique qual a melhor decisao segundo o criterio da Maximizacao do Valor Esperado.

(c) Um analista internacional, especialista na avaliacao dos ındices de corrupcao de estadoscom base em inqueritos a diversas personalidades propoe-se fazer uma avaliacao previa doındice de corrupcao na Mongolia. Esse estudo custara 100 000 Euros. Esse especialista jafez varios estudos desse mesmo teor noutros anos e para outros estados e tem a seguintematriz de credibilidade:

P (rk|θj) Indice corrup. Indice corrup.≤ 5 > 5

Prev. ındice corrup. ≤ 5 0,75 0,25Prev. ındice corrup. > 5 0,25 0,75

Represente o problema atraves de uma arvore de decisao e calcule a melhor decisao e oseu valor esperado.

4

3. (20/3 valores) O Conselho Mundial para o Desporto Motorizado segue um polıtica de rota-tividade nos seus conselheiros, que sao escolhidos com particulares cuidados geo-polıticosde entre os 5 continentes habitados: Africa, Americas, Asia, Australia com a Oceania,e Europa. Anualmente, os conselheiros de dois destes continentes sao substituıdos e oConselho recomposto podendo alterar o numero total de conselheiros, sendo este o anode substituir os conselheiros da Asia e das Americas.

Para se tomar a decisao sobre quantos conselheiros devem ser atribuıdos a cada conti-nente, e construıda uma funcao que pesa cuidadosamente factores como a populacao, onumero de eventos desportivos, as contribuicoes passadas para a FIA, mas tambem facto-res negativos, em particular os efeitos que escolher um conselheiro de um continente causano outro bloco. Os Estados Unidos tem andado a fazer particular pressao para minimizara participacao da China, pelo lado do continente asiatico. Assim, o resultado global euma funcao custo que associa a cada variavel, que representa o numero de conselheiros aatribuir ao continente, um peso. Globalmente, essa funcao custo deve ser minimizada.

Como o numero de conselheiros tem que ser inteiro (para que entrem para o ConselhoMundial para o Desporto Motorizado vivos), a optimizacao da constituicao do Conselhotem que ser feita atraves da resolucao de um modelo de Programacao Inteira, pelo metodode “branch and bound”. Era este o trabalho que Mao Zedong estava a fazer para a FIAquando foi chamado com urgencia a consultas a China. A unica coisa que conseguiudeixar foi uma lista de sub-problemas que ele ja tinha resolvido, mas nem se sabe setinha terminado o trabalho ou nao. Na tabela seguinte resume-se a informacao sobreesses sub-problemas, sendo que x representa o numero de conselheiros a atribuir a Asia ey o numero de conselheiros a atribuir as Americas. F representa o valor da tal funcao aminimizar.

Sub-problema A B C D E F Gx 5 3,9 — 2 4,2 4,1 4,5y 2,8 4,8 — 3 3,1 4 1F 43,4 48 SSA 46,5 41,3 44,4 45,1

(a) Reconstrua a arvore de sub-problemas.

(b) Quais sao os melhores limites superior e inferior da pesquisa? Justifique.

(c) Ja foi encontrada a solucao optima? Justifique.

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Resolucao

1. (a) A funcao objectivo devera garantir que o custo total e minimizado:

Minimizar: custo total = custo das milhas a efectuar + custo das taxas de seguranca

(b) • Numero maximo de horas de voo com aparelhos do modelo do tipo i da empresaj. (esse valor maximo e igual a 64 h × numero maximo de aparelhos disponıveisdo modelo i da empresa j).

• Satisfacao das necessidades de transporte de passageiros (em milhas)

(c) O que se pretende decidir e o numero de milhas a contratar de um modelo do tipoi = 1, 2, 3, 4 a empresa j = 1, 2, 3 para transporte de grupos de dimensao k = 2, . . . , 6.

(d) Modelo

Indices

i modelo de helicoptero i ∈ [1, 2, 3, 4];

j empresa de aluguer de helicopteros j ∈ [1, 3];

k numero de elementos dos grupos transportados k ∈ [2, . . . , 6].

Dados

Pmij preco por milha do modelo i da empresa j;

V ci velocidade de cruzeiro do modelo i, em milhas/hora;

Txi taxa/hora do modelo i;

nij numero maximo de aparelhos tipo i disponıveis na empresa j

mk necessidades de transporte (em milhas) de passageiros, em grupos de k ele-mentos

Mpi numero maximo de passageiros que comporta o modelo i

64 numero maximo de horas de voo para qualquer helicoptero.

Variaveis de decisao

xijk numero de milhas a contratar do modelo i a empresa j, para transporte de gruposde k elementos.

Funcao objectivo O objectivo pretendido e a minimizacao do custo total, isto e:

min CustoTotal =4∑

i=1

3∑j=1

6∑k=2

(Pmij +

Txi

V ci

)xijk

Restricoes

∀i,j

∑6k=2

xijk

V ci≤ 64nij

Estas restricoes garantem que o numero total de horas de voo dos helicopteros deum determinado modelo de uma determinada empresas nao ultrapassa o numero

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maximo de horas por helicoptero × o numero de helicopteros desse modelo e dessaempresa.

∀k

∑i:Mpi≥k

∑3j=1 xijk ≥ mk

Estas restricoes garantem que, para cada dimensao dos grupos, o numero total demilhas contratadas e igual ou superior ao numero de milhas necessarias.

∀j,j,k xijk ≥ 0

Estas restricoes garantem que as variaveis sao maiores ou iguais a zero.

(e) Modelo com custos fixos

Indices

i modelo de helicoptero i ∈ [1, 2, 3, 4];

j empresa de aluguer de helicopteros j ∈ [1, 3];

k numero de elementos dos grupos transportados k ∈ [2, . . . , 6].

Dados

Pmij preco por milha do modelo i da empresa j;

Cij valor da caucao do modelo i na empresa j;

V ci velocidade de cruzeiro do modelo i, em milhas/hora;

Txi taxa/hora do modelo i;

nij numero maximo de aparelhos tipo i disponıveis na empresa j

mk necessidades de transporte (em milhas) de passageiros, em grupos de k ele-mentos

Mpi numero maximo de passageiros que comporta o modelo i

64 numero maximo de horas de voo para qualquer helicoptero.

Variaveis de decisao

xijk numero de milhas a contratar do modelo i a empresa j, para transporte de gruposde k elementos.

yij variavel binaria que sera igual a 1 se for alugado algum helicoptero do modelo ia empresa j e que sera igual a 0 caso contrario.

Funcao objectivo O objectivo pretendido e a minimizacao do custo total (in-cluindo o custo das caucoes), isto e:

min CustoTotal =4∑

i=1

3∑j=1

6∑k=2

(Pmij +

Txi

V ci

)xijk +

4∑i=1

3∑j=1

Cijyij

7

Restricoes

∀i,j

∑6k=2

xijk

V ci≤ 64nij

Estas restricoes garantem que o numero total de horas de voo dos helicopteros deum determinado modelo de uma determinada empresas nao ultrapassa o numeromaximo de horas por helicoptero × o numero de helicopteros desse modelo e dessaempresa.

∀k

∑i:Mpi≥k

∑3j=1 xijk ≥ mk

Estas restricoes garantem que, para cada dimensao dos grupos, o numero total demilhas contratadas e igual ou superior ao numero de milhas necessarias.

∀i,j

∑6k=2 xijk ≤Myij

Estas restricoes fazem a ligacao entre as variaveis de decisao x e as variaveis dedecisao y, garantindo que se, para algum i, j, xij > 0 entao yij = 1.

∀j,j,k xijk ≥ 0

Estas restricoes garantem que as variaveis sao maiores ou iguais a zero.

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2. (a) Accoes alternativas:

• Fazer campanha de angariacao de fundos;

• Nao fazer campanha de angariacao de fundos.

Estados da natureza:

• Indice de corrupcao na Mongolia a ser publicado no proximo ano: ≤ 5;

• Indice de corrupcao na Mongolia a ser publicado no proximo ano: > 5.

Matriz de decisao:

Acontecimentos da natureza Indice corrup. Indice corrup.Accoes ≤ 5 > 5Fazer campanha 3 -2Nao fazer campanha 0 0Probabilidade de ocorrencia 60% 40%

(b)

Acontecimentos da natureza Indice corrup. Indice corrup. ValorAccoes ≤ 5 > 5 esperadoFazer campanha 3 -2 3× 0.6 + (−2)× 0.4 = 1Nao fazer campanha 0 0 0Probabilidade de ocorrencia 60% 40%

MVE 1 Me(fazer campanha)

(c) Matriz de “credibilidade” do analista internacional:

P (rk|θj) Indice corrup. Indice corrup.≤ 5 > 5

Prev. ındice corrup. ≤ 5 0,75 0,25Prev. ındice corrup. > 5 0,25 0,75Probabilidade de ocorrencia 60% 40%

Resultado da experiencia r1: Prev. ındice corrup. ≤ 5

Resultado da experiencia r2: Prev. ındice corrup. > 5

P (r1) = 0, 75× 0, 6 + 0, 25× 0, 4 = 0, 55

P (r2) = 0, 25× 0, 6 + 0, 75× 0, 4 = 0, 45

P (θj|rk) Indice corrup. Indice corrup.≤ 5 > 5

Prev. ındice corrup. ≤ 5 0,450,55

0,10,55

Prev. ındice corrup. > 5 0,150,45

0,30,45

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1.01

Recorrer a analista internacional

Não recorrer aanalista internacional

Previsão índice de corrupção <=5

(0.55) r1

Previsão índice de corrupção >5

(0.45) r2

1.095/0.55

Lançar campanhaangariação de fundos

Não lançar campanhaangariação de fundos

1.095/0.55

Índice de corrupção<=5

P = (0.45/0.55)

Índice de corrupção>5

P = (0.1/0.55)

-0.1Lançar campanha

angariação de fundos

Não lançar campanhaangariação de fundos

-0.1

Índice de corrupção<=5

P = (0.45/0.55)

Índice de corrupção>5

P = (0.1/0.55)

-0.195/0.45

Índice de corrupção<=5

P = (0.15/0.45)

Índice de corrupção>5

P = (0.3/0.55)

-0.1

Índice de corrupção<=5

P = (0.15/0.45)

Índice de corrupção>5

P = (0.3/0.55)

1

Lançar campanhaangariação de fundos

Não lançar campanhaangariação de fundos

1

Índice de corrupção<=5

P = 0.6

Índice de corrupção>5

P = 0.4

0

Índice de corrupção<=5

P = 0.6

Índice de corrupção>5

P = 0.4

3-0.1 M€

-2-0.1 M€

-0,1 M€

-0,1 M€

-0,1 M€

-0,1 M€

3-0.1 M€

-2-0.1 M€

3

-2

0

0

10

3. (a) Pelo enunciado sabemos que este e um problema de minimizacao. Entao, como osvalores da funcao objectivo ou pioram ou se mantem a medida que vamos descendona arvore de sub-problemas, temos que comecar pelo sub-problema com menor valorde funcao objectivo, isto e, o E.

A analise seguinte que se tera que fazer e se a primeira ramificacao e na variavel x ouna variavel y. Se fosse na variavel x nao poderia haver mais nenhum sub-problemacom valores desta variavel entre 4 e 5, o que e manifestamente falso. Entao, aprimeira ramificacao e na variavel y e as restricoes adicionadas sao y ≤ 3 e y ≥ 4.

Pegando no ramo correspondendo ao y ≥ 4, os sub-problemas que respeitam estarestricao sao o B e o F. O de menor valor e o F, pelo que sera este a inserir. Apartir do sub-problema F nao ha alternativa para a ramificacao, tem que ser navariavel x, por ser a unica nao inteira: x ≤ 4 e x ≥ 5. O unico sub-problema que,simultaneamente, verifica a restricao x ≤ 4 e a anterior y ≥ 4 e o B, enquanto naoha nenhum que respeite simultaneamente as restricoes x ≥ 5 e y ≥ 4, a nao ser o C,que corresponde a um sub-problema impossıvel. Esta e uma possıvel arrumacao dosub-problema C, ja que o mesmo poderia ser tambem colocado abaixo do no G.

Explorando agora o ramo da arvore que parte do primeiro sub-problema a partirda restricao y ≤ 3, o sub-problema de valor mais baixo e o A, sendo que a partirdaqui a ramificacao tem que ser feita na variavel y: y ≤ 2 e y ≥ 3. Desta forma, osdois sub-problemas restantes arrumam-se em cada um deste ramos de acordo comos valores que apresentam para a variavel y.

A arvore de sub-problemas resultante e entao a seguinte:

x = 4,2y = 3,1

F = 41,3

x = 5y = 2,8

F = 43,4

x = 4,5y = 1

F = 45,1

x = 4,1y = 4

F = 44,4

x = 3,9y = 4,8F = 48

y ≤ 3 y ≥ 4

y ≤ 2 x ≤ 4

A

B

E

F

G

x = 2y = 3

F = 46,5SSAy ≥ 3 x ≥ 5 CD

(b) O melhor limite superior e a melhor solucao inteira ja encontrada, isto e, o corres-pondente ao valor da funcao objectivo do sub-problema D: 46,5.

O melhor limite inferior corresponde ao valor da funcao objectivo do sub-problemamais promissor ainda nao explorado. Neste caso ha dois sub-problemas nao explora-dos, o no B e o no G. O mais promissor e o que tem menor valor de funcao objectivo,isto e, o sub-problema G: 45,1.

(c) Se, por um lado, o sub-problema B nunca podera dar origem a uma solucao inteira

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melhor do que a D, porque o valor da funcao objectivo ja e 48, o sub-problema Gainda podera gerar alguma solucao inteira melhor do que a D, razao pela qual naopodemos afirmar que a solucao optima ja foi encontrada.

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