DEFINIÇÃO

Seja A uma matriz quadrada de ordem n.

A inversa da matriz A

tem ordem n,

é indicada por A-1

obedece a relação: A-1 . A = A . A-1 = In

onde In é a matriz identidade de ordem n.

A =a bc d

A-1 =x yz w

Por definição:a bc d

x yz w. =

1 00 1

Tem-se: (ad – bc)z = - c z = -c/(ad – bc)

(ad – bc)x = d x = d/(ad – bc)

ax + bz = 1cx + dz = 0

-acx - bcz = - c acx + adz = 0

INVERSA DE UMA MATRIZ DE ORDEM 2 X 2

Por processo semelhante se calcula: y = -b/(ad – bc) w = a/(ad – bc)

ad – bc = det(A) é o determinante da matriz A.

Deste modo:

A-1 = d/det(A) -b/det(A)

-c/det(A) a/det(A

ou

adx + bdz = d-bcx - bdz = 0

A-1 = 1det(A)

d -b

-c a

Em resumo:

Se

então

A-1 = 1det(A)

A = a b

c d

d

a

Troca de posição

-c

-b

Troca o sinal

Lembre-se que:

1 – o complemento algébrico do elemento aij é o elemento denotado por ai

j que se obtém por:

aij = (-1)i+j.(determinante da matriz obtida ao cortar a

linha i e a coluna j da matriz A)

2 – somando os produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos complementos algébricos dessa mesma fila obtém o determinante da matriz A.

3 – somando os produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos complementos algébricos de uma fila paralela da mesma matriz o resultado é zero.

MATRIZ ADJUNTA

Se A =

a11 a12 a13 .....

a21 a22 a23 ...

a31 a32 a33 ...

........................................

A matriz adjunta, indicada por A de uma matriz A é formada pelos complementos algébricos dos elementos da matriz A.

então A =

a11 a1

2 a13 .....

a21 a2

2 a23 ...

a31 a3

2 a33 ...

........................................

A TRANSPOSTA DA MATRIZ ADJUNTA

Sendo A =

a11 a1

2 a13 .....

a21 a2

2 a23 ...

a31 a3

2 a33 ...

...................................

( A ) = Ta1

1 a21 a3

1 .....

a12 a2

2 a32 ...

a13 a2

3 a33 ...

...................................

O produto A. ( A ) será uma matriz C, tal que:T

Se i = j, cij = aik.aik = det(A).

K = 1

n

pois é a soma dos produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos complementos algébricos de igual fila.

Se i j, cij = aik.aik = 0

K = 1

n

pois é a soma dos produtos dos elementos de uma fila da matriz A pelos complementos algébricos de fila paralela.

Portanto, C =

det(A) 0 0 ... 0 det(A) 0 ... 0 0 det(A) .............................................

= Det(A).

1 0 0 ...0 1 0 ...0 0 1 .......................

A INVERSA DE UMA MATRIZ

Como foi visto:

A.( A )T = det(A).I

A. = I.( A )

T

det(A)

ou

Concluindo:

( A )T

det(A)

1

é a inversa da matriz A.

EXEMPLO:

Calcular a inversa da matriz A = 3 1 74 4 96 6 2

a11 = (-1)1+1.det = 1.(8 – 54) = - 46. 4 9

6 2

a12 = (-1)1+2.det = (-1).(4 – 54) = 50.

2 9

6 2a1

3 = 1. (12 – 24) = -12

a21 = (-1). (2 – 42) = 40

a22 = (1). (6 – 42) = - 36

a23 = (-1). (18 – 6) = -12

a31 = (1). (9 – 36) = - 27

a32 = (-1). (6 – 42) = 36

a33 = (1). (12 – 2) = - 27

Matriz adjunta

-46 50 -12 40 -36 -12-27 36 -27

A =

Determinante da matriz A

Det(A) = 3.(-46) + 1.50 + 7.(-12) = -172

Primeira linha de A e primeira linha de A.

Transposta da adjunta

-46 40 -27 50 -36 36-12 -12 -27

A = T

( )

INVERSA-46 40 -27 50 -36 36-12 -12 -27

A-1 = -1172