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FRACTAIS – UMA ABORDAGEM EM SALA DE AULA COM O AUXÍ LIO DE SOFTWARES GEOMÉTRICOS

Julia Satiko Kawamoto Macedo 1 Valdeni Soliani Franco 2

INTRODUÇÃO

Não se sabe ao certo como a geometria nasceu, mas o homem através de

observações do mundo que o cerca, reconhecendo e comparando formas criou no

subconsciente uma geometria. Segundo Gerdes (1992, p.18) “a relação dialética

entre a vida ativa e pensamento abstrato é o “motor” do desenvolvimento da

geometria”. Assim, o homem constrói os conhecimentos e encontra formas de

desenvolvê-las por meio de conceitos já adquiridos, e cria novas teorias como

ocorreu com as Geometrias não-Euclidianas. A geometria dos fractais faz parte das

Geometrias não-Euclidianas e estuda os objetos ou entidades geométricas,

denominadas fractais , que possuem uma característica especial onde cada uma de

suas partes representa o todo. Observando algumas árvores, podemos ter uma idéia

dessa característica. Veja, por exemplo, a árvore da foto a seguir. Se pegarmos um

galho dela, constatamos uma semelhança com a árvore, e se observarmos mais um

galhinho, percebemos que continua parecida com a árvore original.

Fonte: Julia S. K. Macedo

Fonte: Julia S. K. Macedo

1 Professor da Rede Pública de Ensino do Estado do Paraná - e-mail: jskm@seed.pr.gov.br 2 Professor do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Maringá e-mail: vsfranco@uem.br

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O mesmo ocorre com outros objetos e elementos:

Fonte : Julia S. K. Macedo Fonte: Paulo Matsumura Fonte : Julia S. K. Macedo

As folhas da samambaia, os raios que riscam o céu durante um relâmpago, a couve-

flor, todos são exemplos de fractais. E são essas formas que nos cercam, que

constituem a natureza. As formas representadas e estudadas pela Geometria

Euclidiana são aquelas que o homem constrói e que apresentam regularidades.

Contemplar um fractal da natureza ou aqueles resultantes de programas

computacionais através de várias iterações de equações é algo gratificante e

inacreditável que possam ter sido estudados ou terem sido criados pela matemática.

Por intermédio do Laboratório de Ensino da Matemática aliado à informática, e do

software educacional GeoGebra, propomos um material de apoio contendo a

construção de partes de fractais famosos como a Curva de Koch, a Ilha de Koch ou

Floco de Neve, o Triângulo de Sierpinski e o Tapete de Sierpinski e a

fundamentação teórica para essas construções.

DESENVOLVIMENTO

Ao sugerirmos a utilização de um laboratório de matemática, visamos proporcionar

uma aprendizagem mais significativa ao educando, pois conforme afirma Lopes e

Araújo (2007), possibilita ao aluno elaborar a sua própria aprendizagem,

participando ativamente nas aulas, tornando o processo ensino-aprendizagem mais

motivador. Acreditamos também que esse estudo o incentivará ao processo da

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investigação e pesquisa. Não podemos esquecer que cada pessoa possui um ritmo

próprio no processo de aprendizagem. E para que ela ocorra, é imprescindível a

formalização das atividades, pois o raciocínio lógico é resultado de uma seqüência

de ações ordenadas. Nesse sentido, Lorenzato (2006a) destaca que não faltam

argumentos favoráveis para que se utilize nas escolas objetos e imagens como

facilitadores da aprendizagem, tornando a Matemática mais compreensível aos

educandos.

Vivemos hoje numa sociedade em que a tecnologia domina e a informatização é

crescente. Por exemplo, nas transações comerciais cada vez mais utilizamos

cartões magnéticos, os meios de comunicação e informação são mais rápidos e

avançados, entre outros tantos progressos da atualidade.

Como a escola está inserida nessa sociedade, obrigatoriamente deve acompanhar

esse desenvolvimento. De acordo com Miranda e Laudares (2007), os recursos

tecnológicos facilitam a mediação didática com o uso de ferramentas desenvolvidas

pela eletrônica e microeletrônica. Sendo assim, uma das ferramentas que podemos

estar utilizando, é o software educacional GeoGebra.

Para Geraldes (2006), o programa GeoGebra é um software de geometria dinâmica,

criado por Markus Hohenwarter, com o objetivo educacional e que possibilita o

trabalho com a geometria, álgebra e cálculo. Este programa registra os

procedimentos realizados durante a construção, mostra representações que seriam

impossíveis pelo método tradicional utilizando o quadro e o giz. É um instrumento

muito rico e deve ser explorado pelos professores de Matemática uma vez que já o

temos implantado nos computadores das Escolas Públicas do Paraná. Da mesma

forma que um livro didático excelente não garante o sucesso de um curso, a

utilização do programa sem o prévio preparo do professor também não trará

resultados satisfatórios.

Quase a totalidade dos professores não conhece os softwares educacionais livres

que existem e, não se ensina o que não se sabe. Nesse sentido concordamos com

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Lorenzato (2006b), quando afirma que devemos investir na procura de novas

metodologias que auxiliem a nossa prática pedagógica, promovendo maior

motivação e interesse dos alunos para aprender Matemática.

A beleza infinita dos fractais nos incentiva a conhecer mais sobre eles. Ao observar

que cada parte é similar ao todo e que, a cada nova observação, aparecem outras

partes a serem consideradas é fascinante! Para que o educando possa ter o

primeiro contato com os fractais que não sejam da natureza, há a necessidade da

instalação de um programa que possa gerá-los. E para isso, basta digitar a palavra

FRACTINT3 no Google e fazer o download gratuitamente do software Fractint que

gera fractais. Ou então, apenas observar aqueles já programados no site

http://superdownloads.uol.com.br/download/138/chaos pro/videos.html# ,

acessado em 03.08.08 e especialmente em

http://www.youtube.com/watch?v=G_GBwuYuOOs&NR=1 ,

acessado em 03.08.08 é suficiente para termos uma idéia.

A palavra fractal vem do verbo frangere, que quer dizer quebrar, fragmentar. O seu

criador foi Benoit Mandelbrot, nascido em 1924, em Varsóvia. Matemático estudioso

de assuntos econômicos, analisando o comportamento gráfico de preços de

algodão, verificou que a sua variação era irregular, mas incrivelmente, as variações

diárias coincidiam com as mensais. Observe os gráficos:

3 Sugestão retirada do texto de Tânia Baier e Vivian Otte Rocha (2001), p. 79.

5

Figura 1: Gráfico de distribuição normal dos preços do

algodão em função do tempo4.

Anos mais tarde percebeu que a mesma situação se repetia em ruídos nas linhas

telefônicas. Por solucionar esses problemas, Mandelbrot se tornou mundialmente

conhecido. E essa descoberta juntamente com o avanço da tecnologia

computacional, possibilitou a pesquisa e utilização cada vez maior dos fractais

como, por exemplo, em montagem de paisagens cinematográficas, em construções

arquitetônicas, entre outros.

O nosso intuito agora, é introduzir o software GeoGebra mediante a construção de

pedacinhos de alguns fractais famosos e através dessa, incentivar e aprofundar a

pesquisa por parte dos professores e educandos nas suas diversas aplicações e

utilizações.

Iremos agora conhecer o software que será utilizado para nossas construções.

Procure onde foi instalado o GeoGebra no seu computador. Ao abrir o software

aparecem as palavras Arquivo – Editar - Exibir- Opções – Ferramentas – J anela

– Ajuda , que correspondem ao menu de edição do arquivo e embaixo 10 ícones

com figuras. Para acioná-los, deve-se clicar sempre no triângulo invertido, em

vermelho, que aparece abaixo e à direita de cada ícone.

Quando clicamos o 1º ícone aparecem as opções:

4 Gráfico retirado do trabalho Natureza - Caos ou Ordem, de autoria de Ana Batanete, Andréia Castro e Hirllany Lago (2004-2005) da Universidade de Coimbra.

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• com o mouse clicar com o botão da esquerda sobre o objeto

para movê-lo.

• clicar e segurar com o botão da esquerda, para

girar.

Ao clicar sobre o 2º ícone teremos as opções:

• clicar com o botão da esquerda em qualquer local do plano.

• clicar sobre os dois objetos que queremos

determinar a intersecção.

• clicar sobre os dois pontos que queremos

determinar o ponto médio.

No 3º ícone encontramos as opções:

• clicar com o botão da esquerda os dois

pontos.

• clicar com o botão da esquerda os dois

pontos, que definem o segmento.

• clicar com o botão da esquerda

sobre o ponto, definir o

comprimento e clicar a palavra

aplicar. Quando o comprimento

tem o número subscrito por

exemplo: a2, devemos colocar a_2,

para subscrever. Essa ferramenta

assinala o ponto somente na

horizontal.

• clicar com o botão da esquerda na origem

da semi-reta e depois o outro ponto

pertencente a ela.

7

• clicar com o botão da esquerda o ponto

inicial do vetor e depois o outro ponto.

• considerar um vetor e clicar com o botão

da esquerda o segundo ponto e o vetor,

para criar um outro vetor.

As opções seguintes são encontradas no 4º ícone:

• clicar com o botão da esquerda sobre a reta que

queremos que seja perpendicular à nova reta. Clicar

sobre um ponto que queremos que a nova reta

contenha.

• clicar com o botão da esquerda a reta que queremos

que seja paralela à nova reta. Clicar sobre um ponto

que queremos que a nova reta contenha.

• clicar com o botão da esquerda sobre os dois pontos

do segmento que quero determinar a mediatriz.

• clicar com o botão da esquerda sobre as duas semi-

retas que queremos determinar a bissetriz dos ângulos

formado por elas.

• clicar com o botão da esquerda sobre a circunferência

e sobre o ponto de tangência.

• relacionado sempre à uma cônica. Clicar com o

botão da esquerda um ponto e a cônica para se

obter a reta polar ou clicar um vetor ou reta e uma

cônica para encontrar a reta diametral.

• clicar com o botão da esquerda o ponto que

queremos traçar o lugar geométrico e depois um outro

ponto pertencente a uma reta, segmento, curva... no

qual o primeiro ponto dependa.

No 5º ícone encontramos:

8

• clicar com o botão esquerdo sobre os vértices do

polígono qualquer.

• clicar com o botão da esquerda sobre dois dos vértices

do polígono. Digitar quantos lados terá o polígono

regular e clicar em aplicar. Se marcarmos os pontos da

direita para a esquerda, o polígono será construído

abaixo destes pontos. Se forem marcados da esquerda

para a direita, ele ficará acima desses pontos.

As opções seguintes aparecem no 6º ícone:

• clicar com o botão esquerdo do

mouse sobre o centro da

circunferência, mantendo clicado

até obter o círculo com o raio

desejado.

• clicar sobre o centro da circunferência com o

botão esquerdo, digitar o raio com a medida

que queremos e clicar em aplicar.

• clicar os três pontos com o botão esquerdo

do mouse.

• clicar os dois pontos com o botão esquerdo

do mouse.

• clicar com o botão esquerdo, primeiro

o centro e após os dois pontos do

arco.

• clicar os três pontos com o botão

esquerdo.

• clicar inicialmente o centro e depois

os dois pontos da circunferência.

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• clicar com o botão esquerdo, os três

pontos da circunferência.

• localizar com o botão esquerdo do

mouse os cinco pontos.

Clicando no 7º ícone, encontramos:

• clicar o vértice e um ponto pertencente a cada um

dos lados do ângulo que queremos representar,

no sentido horário.

• clicar sobre um ponto pertencente a um dos

lados do ângulo, depois o vértice. Digitar o

ângulo desejado e clicar em aplicar.

• clicar sobre os dois pontos que queremos

determinar a distância.

• clicar com o botão da esquerda sobre a figura

que queremos determinar a área.

• clicar com o botão da esquerda sobre a reta que

queremos determinar a inclinação.

No 8º ícone temos as opções:

• clicar inicialmente com o botão da esquerda

sobre a reta que queremos refletir e depois

sobre a reta que fará a reflexão.

• clicar com o botão da esquerda sobre o

ponto que queremos refletir e depois sobre

o ponto que fará a reflexão.

• Marcar um ponto e ao marcar o outro

(que será o vértice) escolher um

ângulo e clicar com o botão da

esquerda em aplicar.

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• Criar um vetor de uma medida qualquer,

clicar com o botão da esquerda sobre o

objeto a ser transladado e sobre o vetor.

• Definir um

segmento e um

ponto e a seguir

clicar sobre o

objeto, depois o

ponto e nomear

o tamanho do

segmento.

No penúltimo ícone temos as opções:

• Clicar em qualquer posição da

página e definir o nome do seletor e

a variação que queremos. Para

arrastá-lo basta clicar com o botão

esquerdo do mouse sobre o

segmento do seletor e carregá-lo até

a posição desejada.

• Ativar a opção e clicar com o botão

direito do mouse, na janela de

álgebra, sobre um dos objetos

escondidos e que queremos exibir

novamente. Uma caixa irá aparecer

para selecionamos os objetos a

exibir.

• clicar sobre o ponto a partir do qual queremos

escrever um texto e clicar em aplicar.

• clicar com o botão esquerdo sobre o ponto

inferior esquerdo da imagem no local

queremos colocá-la.

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• clicar com o botão da esquerda sobre os

objetos que queremos descobrir a relação.

E as opções que encontramos no último ícone são:

• clicar com o botão da esquerda sobre a figura e

arrastar.

• clicar com o botão da esquerda sobre o objeto a

ser ampliado e soltar.

• clicar com o botão esquerdo do mouse sobre o

objeto a ser reduzido e soltar.

• clicar com o botão da esquerda sobre todos os

objetos a serem exibidos ou ocultados e depois

clicar sobre qualquer ícone.

• clicar com o botão da esquerda sobre todos os

rótulos a serem exibidos ou ocultados e depois

clicar sobre qualquer ícone.

• clicar com o botão da esquerda sobre o objeto a

ser copiado o estilo visual (cor, espessura,...) e

depois sobre o objeto que queremos alterar.

• clicar com o botão da esquerda sobre o objeto que

queremos apagar.

Na matemática existem resultados que são aceitos sem demonstração como é o

caso das definições, dos axiomas e dos postulados. Quando realizamos uma

construção geométrica há a necessidade de comprovarmos, através desses

resultados, a existência e a possibilidade da construção5.

5 Toda parte conceitual da matemática registrada nesse trabalho foi extraído do livro Geometria Plana e Espacial – Um estudo axiomático, de autoria de João Roberto Gerônimo e Valdeni Soliani Franco, 2004.

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Ao utilizar o GeoGebra, devemos considerar que: existe ponto; existe reta e

qualquer que seja a reta existem pontos que pertencem à reta e pontos que não

pertencem à reta; e que dados dois pontos distintos, existe uma única reta que

contém esses pontos (p. 7).

ATIVIDADES

1. Vamos construir a Curva de Koch :

a) Abra uma janela no GeoGebra e se o plano cartesiano estiver sendo exibido,

esconda-o, clicando o botão direito do mouse e com o esquerdo clicar sobre

eixo.

b) Ao considerar dois pontos A e B sobre uma reta, o conjunto de pontos

constituído por A e B e pelos pontos que estão entre A e B é chamado

segmento de reta (p. 9). Construa um segmento de reta definido por dois

pontos, utilizando o 3º ícone. Observe que o programa nomeia o segmento.

Vamos dividir o segmento construído em três partes iguais. Para isso

utilizaremos a definição de circunferência, retas paralelas e um teorema sobre

retas paralelas:

• considere O um ponto do plano e r um número real positivo. Ao

conjunto de todos os pontos C, tais que, a distância deles até o ponto

O é sempre igual a r, chamamos de circunferência de centro O e raio

r (p. 33).

• dada uma reta, existe uma reta paralela a ela, passando por um ponto

fora da reta dada6 (duas retas são denominadas paralelas quando não

se intersectam e estão contidas num mesmo plano, p. 174).

• Se três ou mais paralelas determinam segmentos congruentes sobre

uma transversal, então elas determinam segmentos congruentes sobre

qualquer outra transversal (p. 89).

6 Esse resultado, assim como outros que serão citados, pode ser demonstrado, mas como o intuito do trabalho são as construções, vamos aceitar como verdadeiras as afirmações.

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c) Em algum local da tela, construa um outro segmento de reta, que será a

nossa unidade. Construa uma semi-reta partindo do ponto A, de um tamanho

qualquer. Observe:

d) Agora marcaremos na semi-reta três segmentos de mesmo tamanho

utilizando a nossa unidade, a partir do ponto A. Para isso construa uma

circunferência de centro em A e raio b, conforme instruções constantes no 6º

ícone - círculo dados centro e raio – e marcaremos a intersecção de dois

objetos (circunferência e semi-reta – 2º ícone). Repetir o processo mais duas

vezes, centrando o círculo na intersecção. Marque o ponto de interseção da

semi-reta auxiliar com a última circunferência construída.

e) Traçar o segmento de reta g ( 3º ícone), passando pelos pontos B e J e

paralelas a g passando pelos pontos de intersecção F e H de acordo com as

instruções do 4º ícone (retas paralelas). Encontrar o ponto de intersecção

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entre o segmento a e as paralelas que passam por F e H. Observe que

dividimos o segmento em três partes congruentes.

f) Para esconder os objetos que apareceram durante a construção, basta clicar

com o botão direito do mouse sobre o objeto e em exibir objeto. Se quisermos

esconder os nomes dos objetos, clicar em exibir rótulo.

g) Para apagar a parte central, teremos que esconder a reta a e construir dois

segmentos de reta: AK e LB . Vamos agora substituir a parte central por um

triângulo eqüilátero sem um lado, e para isso, desenharemos um círculo de

centro em K e outro, de centro em L e raio j ou k. Marcar o ponto de

intersecção dessas duas circunferências.

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h) Desenhar o segmento de reta KN e NL e esconder as circunferências e o

ponto de intersecção M.

Agora vamos repetir, para cada segmento, o mesmo processo realizado no

segmento inicial. Esse processo é chamado iteração e assim obtemos a curva

Koch . Mas repetir toda a construção realizada nos dará muito trabalho. O

GeoGebra permite a criação de uma ferramenta que reproduz a construção, o qual

recebe o nome de macro construção . Para isso, ative a opção ferramentas – criar

nova ferramenta , abrindo uma janela com as abas:

a) Saída de objetos: são os objetos que quero reproduzir e que dependem de outros.

No nosso caso são pontos K, L, M, segmento j, segmento l, segmento m e

segmento n. Para inseri-los na construção, basta clicar sobre esses objetos com o

botão esquerdo do mouse.

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b) Entrada de objetos: são os objetos que foram informados inicialmente dos quais

dependem toda a construção. No nosso exemplo corresponde aos pontos A, B, C, D

e E. Esses objetos automaticamente aparecem em entrada de objetos .

c) Nome &Ícone: Nomear a nova ferramenta digamos com o nome de Curva de

Koch e clicar em concluído .

Irá aparecer um novo ícone com a ferramenta construída. Para utilizá-la, iremos

clicar no ícone Curva de Koch e nos pontos A, K, C, D e E. Ao construir essa nova

parte da curva, teremos que esconder o segmento j para eliminar o segmento

central. Vamos repetir esse processo novamente, mas agora com os pontos: K, N,

C, D e E; N, L, C, D e E; L, B, C, D e E. Teremos assim finalizado mais uma

iteração. Podemos realizar várias iterações mas como o processo é meramente

repetitivo, faremos somente até a terceira, como indica a figura a seguir.

Se não fixarmos qual segmento será substituído, podemos obter a curva parecida

como a seguir, que é uma curva de Koch irregular . Essa curva é utilizada por

geógrafos para representar a linha costeira que possui reentrâncias irregulares que

se alteram constantemente.

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O nosso mundo é descrito em três dimensões que são o comprimento, largura e

altura. Quando tratamos de superfícies planas, consideramos duas dimensões,

comprimento e largura. E a reta como possui apenas o comprimento, dizemos que

tem uma única dimensão. Segundo Gerônimo e Franco (2004), devemos lembrar

que ponto, reta e plano são noções primitivas, ou seja, conceitos aceitos sem

definição e que existem somente na nossa idéia.

2. Nesta atividade, vamos mostrar como se calcula a dimensão de um fractal. Se

tomarmos uma reta e dividi-la em seis pedaços de mesmo tamanho, podemos

considerar cada um deles auto-similares. Então, para desenhar a reta do

exemplo, são necessárias 6 peças auto-similares. O número 6 é chamado fator

de aumento. Podemos representar o número de peças (p) por ad, onde a é o

fator de aumento e d a dimensão. Dessa maneira, p = ad.

No nosso exemplo, 6 = 6d d = 1.

E uma superfície plana? Como concluir que tem dimensão dois? Considere um

quadrado de lado 6. Sabemos que são necessárias 36 peças quadradas auto-

similares para construí-lo. E o fator de aumento, no caso é 6, pois temos que

aumentar 6 peças no comprimento e 6 na largura. Assim,

p = ad 36 = 6d 6² = 6d d = 2

Raciocinando da mesma forma, considere um cubo de aresta 6. São necessárias

216 peças cúbicas auto-similares para construí-lo. Como temos que aumentar 6

peças no comprimento, 6 na largura e 6 na altura, concluímos que o fator de

aumento é 6. Portanto,

p = ad 216 = 6d 6³= 6d d = 3

E a dimensão de um fractal? Como calcular?

Tomemos como exemplo a Curva de Koch. Dividimos o segmento inicial em 3

partes, resultando em 4 pedaços. Logo, o total de peças é 4 e o fator de aumento 3

e assim,

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p = ad 4 = 3d . Como as bases são diferentes, temos que aplicar o logaritmo em

ambos os membros.

log 4 = log 3d pela propriedade do logaritmo de uma potência log 4 = d.log3

d =3 log

4 log d =

47712,0

60206,0 d = 1,262

Podemos então, generalizar e calcular a dimensão fractal utilizando a fórmula7:

= log (número de peças)d

log (fator de aumento)

Repare que a dimensão do fractal é fracionária, ou seja, está entre 1 e 2 e portanto

não é nem um ponto e nem uma reta. Ao se trabalhar com o Ensino Fundamental,

sugere-se somente apresentar a fórmula e o cálculo feito por intermédio de uma

calculadora.

3. A próxima atividade é a construção das ilhas de Koch ou Floco de Neve .

Iniciaremos construindo um polígono regular de 3 lados, ou seja, um polígono

que possui 3 vértices A1, A2 e A3, dois a dois distintos, formado por segmentos

A1A2, A2A3 e A1A3 , denominados lados (p. 21). Os lados não consecutivos não

se interceptam. Um polígono é chamado regular quando todos os seus lados

são congruentes. Portanto, iniciaremos construindo um triângulo eqüilátero e

sobre cada lado do triângulo construiremos a sua curva de Koch como mostra a

figura:

Observação : Ao utilizar a macro construção na base do triângulo eqüilátero temos

que clicar os pontos da direita para a esquerda, para que a figura não fique

invertida.

7 O cálculo da dimensão foi adaptado do livro Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula, de Ruy Madsen Barbosa, p.69, bem como o seu desenvolvimento.

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Aproveitando a atividade 2 podemos perguntar: Qual é a dimensão do floco de

neve? Dividimos cada lado do triângulo inicial em 3 partes, resultando em 4

pedaços. Logo, o total de peças é 4 e o fator de aumento 3 e assim,

= log (número de peças)d

log (fator de aumento)

1,262 d 0,47712

0,60206

3log

4log d ≅⇒≅=

Podemos falar em perímetro de fractais? Segue outra atividade.

4. Pensemos na curva de Koch, preenchendo a tabela a seguir.

Níveis Quantidade de segmentos

Comprimento do segmento

Comprimento total

inicial 1 c 1.c = c 1ª iteração 4 = 4¹ c 41. c

2ª iteração 16 = 4² .c 4². .c

3ª iteração 64 = 4³ .c 4³. .c

... ... ... ... n-ésima iteração

4n .c 4n. .c

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O que mudaria na tabela para o cálculo do perímetro da Ilha de Koch ou Floco de

Neve? Observe que o processo para construção do Floco de Neve é o mesmo da

Curva de Koch, só que multiplicado por três pois iniciamos com o triângulo

eqüilátero. Logo teremos

Níveis Quantidade de

segmentos de cada lado

Comprimento do segmento

Perímetro

inicial 1 c 3.1.c = 3c 1ª iteração 4 = 4¹ c 3.4. c = .c

2ª iteração 16 = 4² .c 3.4². .c = 3. .c

3ª iteração 64 = 4³ .c 3.4³. .c = 3. c

... ... ... ... n-ésima iteração 4n .c 3.4n. .c = 3. .c

Uma questão que se pode sugerir para os educandos do Ensino Médio, utilizando a

generalização do perímetro do Floco de Neve8: Considere que o comprimento inicial

seja, c = 1m, quantas iterações teriam que ser realizadas para que o perímetro seja

igual a 60 metros?

3.n

3

4

.c = 60 n

3

4

.1 = 20 aplicando logaritmo em ambos os lados temos,

log. n

3

4

= log.20 pela propriedade dos logaritmos,

n. log 3

4 = log (2².5) aplicando outra propriedade dos logaritmos,

n.(log 4 – log 3) = log 2² + log 5 aplicando novamente as propriedades, encontramos

n =3 log -2 2log

5 log 2 2log +

Considerando log 2 = 0, 301; log 3 = 0,477 e log 5 = 0,699, teremos

8 A atividade sugerida foi adaptada do livro Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula, de Ruy Madsen Barbosa, p.74, bem como o seu desenvolvimento.

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n =0,477 - 2.0,301

0,699 2.0,301+ n =

125,0

301,1 n = 10,4

Seriam necessárias aproximadamente 11 iterações para que o perímetro seja igual

a 60 metros. Faremos agora o mesmo cálculo, considerando c = 1 m, para que o

perímetro seja igual a 600 metros, e iremos obter

3. n

3

4

.c = 600 n

3

4

= 200 n = 125,0

301,2 n= 18,4

Seriam necessárias aproximadamente 19 iterações para que o perímetro seja igual

a 600 metros. Faremos agora o mesmo cálculo para que o perímetro seja igual a

6000 metros, e iremos obter

3. n

3

4

.c = 6000 n

3

4

= 2000 n = 125,0

301,3 n= 26,4

Seriam necessárias aproximadamente 27 iterações para que o perímetro seja igual a

6000 metros. O que se pode concluir?

Percebe-se um padrão nessas iterações, isto é, vão aumentando de 8 em 8.

Experimente realizar os mesmos cálculos para 90 m, 900 m e 9000 m.

Por que isso ocorre?

Os perímetros são múltiplos de 10, então representaremos por 10p. Ao realizarmos

os cálculos, considerando c=1, encontramos:

3. n

3

4

.c = 10.p 3.n

3

4

= 10.p 3

p10.

3

4n

=

log

=

3

p.10log

3

4n

n. log 3

4 = log 10 + log

3

p

n.(log 4 – log 3) = log 10 + log p - log 3 como log 10 = 1,

22

n.(log 4 – log 3) = 1 + log p - log 3 n =3) log - 4 (log

3 log - p log 1+

n =3 log - 4 log

1 +

3) log - 4 (log

3 log - p log n =

1249,0

1 +

3) log - 4 (log

3 log - p log

Observe que a expressão 3) log - 4 (log

3 log - p log corresponde ao valor das iterações que

tínhamos determinado para perímetros 60, 600 e 6000. Como a fração 1249,0

1 é

aproximadamente 8, podemos concluir que o número de iterações para perímetros

múltiplos de 10 seguirão sempre um padrão de 8 em 8.

Como já temos algum conhecimento da utilização do software GeoGebra, sugerimos

as seguintes atividades:

a) Faremos agora a construção do triângulo de Sierpinski . Considere um

triângulo eqüilátero e, clicando no segundo ícone, determine o ponto médio

de cada lado do triângulo (um ponto C é dito ponto médio de um segmento

AB, se C pertence ao AB e a distância entre A e C tiver a mesma medida que

a distância entre B e C).( p. 32).

Vamos unir os três pontos médios com um polígono, formando quatro

triângulos congruentes e eqüiláteros. Devemos agora retirar o triângulo

central, e para isso iremos mudar a sua cor clicando com o botão direito do

mouse sobre o objeto que queremos alterar a cor e depois em: propriedades

– escolher uma cor – estilo – preenchimento 100 – f echar. Para construir

uma ferramenta que repita o processo, considerar como saída de objetos os

segmentos que correspondem aos lados do triângulo, os pontos médios dos

lados do triângulo e o polígono central que foi retirado. A figura que iremos

obter até a terceira iteração é

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b) Propomos agora um jogo9 que mostra que é possível existir ordem na

desordem. Antes, é necessário conhecermos a definição de mediana e de

baricentro.

Considere um triângulo ABC e o ponto médio M do lado BC. O segmento AM

denomina-se mediana do triângulo relativo ao lado BC (p. 54). O encontro

das medianas dos lados de um triângulo é chamado baricentro (p. 150).

No GeoGebra, considere um triângulo ABC e tome um ponto qualquer P0 em

seu interior, que não seja o baricentro. Escolha, por sorteio, um dos vértices

do triângulo e faça um segmento unindo P0 com esse vértice. Encontre o

ponto médio do segmento e chame-o de P1. Sorteie outro vértice do triângulo,

construa um segmento de reta unindo P1 com esse vértice. Determine o ponto

médio desse segmento e chame-o de P2. Repita esse processo no mínimo

dez vezes, construa triângulos com os pontos médios dos lados do triângulo,

como no triângulo de Sierpinski e observe o resultado.

9 Adaptado do livro Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula, de Ruy Madsen Barbosa, p. 15.

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Não teremos pontos em nenhum dos triângulos centrais, mesmo que

repetirmos os processos, tanto na determinação dos pontos Pi, quanto na

construção dos triângulos.

c) Para a construção do Tapete de Sierpinski procederemos como no Triângulo

de Sierpinski. Iniciaremos construindo um quadrado, dividindo-o em 9

quadrados congruentes e removendo o quadrado central. Na macro

construção, deve-se considerar como saída de objetos os segmentos centrais

e o polígono 2, que corresponde ao quadrado central (pintar com uma cor

escura).

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d) Tente agora construir um fractal hexagonal tipo Dürer , iniciando por um

hexágono regular e obtendo ao centro um hexágono regular estrelado. Dividir

o lado do hexágono em três partes iguais e colocar como objetos de saída, na

macro construção, todos os segmentos que constituem os hexágonos

internos.

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Vivemos numa sociedade em constante transformação e a educação há muito

deixou de acompanhar essas mudanças. Temos muita dificuldade em abandonar a

forma tradicional de ministrar as aulas e nos adaptar aos aparatos que a tecnologia

disponibiliza. Mas os educandos, por sua vez, vivem essa realidade de maneira

natural e se desinteressam pela aula que só se utiliza somente dessa antiga

metodologia de ensino.

A prática escolar nos permite acreditar que a apresentação de novas formas de

abordar conteúdos torna as aulas da disciplina de Matemática mais atraentes e

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produtivas. Ao se utilizar um software geométrico percebe-se a facilidade para a

construção de figuras geométricas e o educando pode fazer e refazer as atividades

de forma lúdica, ao mesmo tempo em que vai internalizando os conceitos e as

propriedades inerentes a cada construção. Poder observar o resultado do trabalho

realizado, proporciona uma satisfação indescritível e prazerosa, além do que,

verifica-se as propriedades que os fractais apresentam.

Espera-se que com as atividades sugeridas, o educando se interesse pelo software

GeoGebra e explore outras possibilidades da utilização do mesmo. A expectativa

que se tem com relação aos docentes é que se sintam motivados a procurar

inovações tentando diminuir um pouco a distância que se formou entre a realidade

dos jovens e a escola.

A avaliação consistirá em observar se os conceitos geométricos foram

compreendidos, através dos passos que forem sendo seguidos durante as

construções.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BARBOSA, Ruy M.. Descobrindo a Geometria Fractal para a sala de aula. 2. ed.. Belo Horizonte: Autêntica, 2005. BAIER, Tânia; ROCHA, Vivian O.; Geometria Fractal para o Ensino Fundamental e Médio. Páginas: 75-82. In: GAERTTNER, R. org. Tópicos de Matemática para o ensino médio. Blumenau: Edifurb, 2001. BATANETE, Ana; CASTRO, Andréia; LAGO, Hirllany. Natureza – Caos ou Ordem. Fundamentos e Ensino da Álgebra. Coimbra. 2004-2005. Disponível em : www.mat.uc.pt/~mcag/FEA2005/natureza .doc - acesso em: 03.08.08 -22:58

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GERALDES, Jorge. Ajuda do Geogebra, 2006. http://www.ead.ufpb.br/file.php/116/Biblioteca/geogebra_parte1.pdf - acesso em 20.07.08-17:23 GERÔNIMO, João R.; FRANCO, Valdeni S.. Geometria Plana e Espacial – um estudo axiomático. Maringá, 2004. GERDES, Paulus. Sobre o despertar do pensamento geométrico. Curitiba: Editora da UFPR, 1992. LOPES, Jairo de A.; ARAÚJO, Elizabeth A. de. O Laboratório de Ensino da Matemática: Implicações na Formação de Professores. Revista Zetetiké, Cempem-FE-Unicamp, v.15, n. 27, p. 57-69, jan./jun. 2007. LORENZATO, Sérgio. Laboratório de ensino de matemática e materiais didáticos manipuláveis. In: _______ (Org.). O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de Professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2006a. ________. Para aprender matemática. Campinas, SP: Autores Associados, 2006b. MIRANDA, Dimas F.; LAUDARES, João B.. Informatização no Ensino da Matemática: investindo no ambiente de aprendizagem. Revista Zetetiké, Cempem-FE-Unicamp, v.15, n. 27, p. 71-88, jan./jun. 2007. http://www.youtube.com/watch?v=G_GBwuYuOOs&NR=1 acesso em 03.08.08 http://superdownloads.uol.com.br/download/138/chaospro/videos.html# acesso em 03.08.08 13:57