VETORES

Vetores

Segmentos orientados

Conceitos e exemplos de vetor.

Segmentos orientados

.

Segmento orientado: segmento de reta com um sentido fixado. => liga dois pontos do plano ou do espao tridimensional.

Um segmento orientado definido por dois pontos: o ponto inicial A e o ponto final B, logo dois segmentos orientados com mesma direo, mesmo sentido e mesmo comprimento que tem, por exemplo, pontos iniciais diferentes so segmentos orientados diferentes (Segmentos Equipolentes)

A

B

Segmentos orientados

.

Dados os segmentos orientados AB, CD e EF, temos as seguintes propriedades da Equipolncia: 1. AB ~ AB. -> Propriedade Reflexiva. 2. Se AB ~ CD ento CD ~ AB -> Propriedade Simtrica. 3. Se AB ~ CD e CD ~ EF, ento AB ~ EF. -> Propriedade Transitiva. Quando uma relao tem as propriedades reflexiva, simtrica e transitiva

dizemos que esta relao uma relao de equivalncia.

Vetores: Definio

=> Como segmento orientado

=> Como vetor

Vetor: o conjunto de todos segmentos orientados de mesma direo, mesmo sentido e mesmo comprimento. Uma classe de equivalncia ou Equipolncia

Vetores: Definio

EXEMPLO 2- Na figura abaixo contida no plano (R2) temos 30 segmentos orientados. Quantos vetores temos na figura?

Vetores: Definio

EXEMPLO 2- Na figura abaixo contida no plano (R2) temos 30 segmentos orientados. Quantos vetores temos na figura?

Se v um vetor, ou seja, v pertence a V , ento v um conjunto de segmentos orientados equipolentes.

Vetores exemplos

Quantidades como massa, comprimento ou tempo -> descritas apenas atravs de nmeros.=> grandeza escalar

Quantidades como fora, velocidade e posio so necessrios: o nmero, a direo e o sentido, nos quais ela atua. => quantidade ou grandeza vetorial (representado por um segmento de reta orientado).

Vetor velocidade da figura a cima aponta na direo e no sentido do movimento e seu comprimento a magnitude desta velocidade.

As quatros setas (segmentos de retas orientados) tem o mesmo comprimento, direo e sentido. ==> REPRESENTAM O MESMO VETOR (vetor anda no espao)

Notao de vetores:

Letras latinas minsculas: u, v e w.

Letras latinas maisculas: F - vetor fora.

Letras latinas maisculas e minsculas com uma seta em cima:

Este vetor v especificado atravs das coordenadas do seu ponto final (v1 ,v2 ,v3).

cujo o seu ponto inicial a origem.

Chamamos de posio padro de um vetor v aquele segmente de reta

Um vetor tridimensional um trio ordenado de nmeros reais.

Dois vetores u e v so iguais se, e somente se, seus segmentos orientados em posio padro so idnticos. Ou seja,

A magnitude ou mdulo de um vetor o comprimento de qualquer uma das representaes equivalentes de seus segmentos de reta orientados, i.e.

O nico vetor sem direo especfica e com comprimento nulo o vetor nulo:

Vetor nulo

Observe que se v for representado pelo segmento de reta cujo o

ponto inicial P(x1 ,y1 ,z1) e o ponto final Q(x2 ,y2 ,z2) ento as suas componentes so dadas por,

Exemplo 3: Componentes e comprimento de um vetor

Operaes entre Vetores

Operaes algbricas com vetores.

Vetores unitrios (versores).

Construes geomtricas.

Operaes algbricas com vetores Definiremos duas operaes no tratamento de quantidades vetoriais:

Adio de vetores e multiplicao de um vetor por um escalar real.

Adio de vetores corresponde a soma de suas componentes.

Multiplicao por um escalar => multiplicamos cada uma das componentes do vetor pelo escalar.

A adio de vetores pode ser interpretada geometricamente de duas formas:

O ponto inicial de um vetor colocado no ponto final de outro. Soma das componentes = vetor resultante.

Regra do paralelogramo onde a soma, denominada vetor resultante, a diagonal do paralelogramo.

A interpretao geomtrica do produto ku do escalar k e do vetor u mostrada na figura ao lado.

O comprimento de ku o valor absoluto de k multiplicado pelo mdulo de u, veja:

A diferena de dois vetores a soma u - v = u + (-v). Assim, Observe que

(u - v) + v = u .

Provas de algumas propriedades:

P. 8:

P. 1:

Exemplo : Operaes com vetores

Vetores unitrios

Um vetor v dito unitrio (versor) se ele possui comprimento 1.

Os vetores unitrios padro so:

Qualquer vetor v pode ser escrito como combinao linear destes vetores padro:

Os vetores i, j e k formam uma base chamada base cannica.

Seguindo esta abordagem o vetor de P1(x1 ,y1 ,z1) a P2(x2 ,y2 ,z2) escrito como:

Exemplo : Direo de um vetor

Exemplo : Direo e mdulo do vetor velocidade

Construes geomtricas

Ponto mdio de um segmento de reta